函数及其表示-课件ppt

答案：B
2．(2012·温州模拟)设函数 f(x)＝1x－ 2＋xx2， －x2≤ ，1x， ＞1，
则
1 ff2
的值为
()
A.1156
B．－2176
C.89
D．18
解析：f(2)＝4，f12＝14， 故 ff12＝f14＝1－142＝1156.
答案： A
[冲关锦囊] 1.函数值f(a)就是a在对应法则f下的对应值，因此由函
[冲关锦囊] 对于分段函数应当注意的是分段函数是一个函数， 而不是几个函数，其特征在于“分段”，即对应关系在不 同的定义区间内各不相同，在解决有关分段函数问题时 既要紧扣“分段”这个特征，又要将各段有机联系使之整 体化、系统化．分段函数的解析式不能写成几个不同的 方程，而应写成函数的几种不同的表达式并用一个左大 括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.
[答案] D
[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
3．(2012·衢州模拟)图中的图象所表示的函数的解析式 f(x)＝____________.
解析：由图象知每段为线段．
设f(x)＝ax＋b，把(0,0)，(1，
3 2
)和(1，
3 2
)，(2,0)分别代入求解
a＝32， a＝－32， b＝0， b＝3.
cx，x<A， cA，x≥A
(A，c为常数)．已
知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分
钟，那么c和A的值分别是
()
A．75,25 C．60,25
B．75,16 D．60,16
[自主解答] 因为组装第 A 件产品用时 15 分钟， 所以 cA＝15，① 所以必有 4<A，且 c4＝2c＝30.② 联立①②解得 c＝60，A＝16.
[巧妙运用] 首先讨论 1－a,1＋a 与 1 的关系， 当 a<0 时，1－a>1,1＋a<1， 所以 f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2. 因为 f(1－a)＝f(1＋a)，所以－1－a＝3a＋2， 所以 a＝－34.当 a>0 时，1－a<1,1＋a>1，
6．(2012·绍兴模拟)已知 f(1－cos x)＝sin2x，则 f32＝________. 解析：f(1－cos x)＝sin2x＝1－cos2x， 令1－cos x＝t，则cos x＝1－t. ∵－1≤cos x≤1，∴0≤1－cos x≤2.∴0≤t≤2. ∴f(t)＝1－(1－t)2＝－t2＋2t(0≤t≤2)． 故f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)．∴f32＝－94＋3＝34. 答案：34
所以f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a；f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1. 因为f(1－a)＝f(1＋a)， 所以2－a＝－3a－1，所以a＝－32(舍去)． 综上，满足条件的a＝－34. 答案：－34
[题后悟道] 解答本题利用了分类讨论思想，分类讨论思想是 将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性 问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的 思想策略．因f(x)为分段函数，要表示f(1－a)和f(1＋a) 时，要对自变量1－a和1＋a的范围进行分类讨论，才能 选取不同的关系式．另外，本例中求出a的值后，要注 意检验．
第
二
章
第
一
函
节
数
、
函
导 数 及 其
数 及 其 表 示
应
用
抓基础 明考向 提能力
教你一招 我来演练
[备考方向要明了]
考什么 1.了解函数、映射的概念． 2.理解函数的源自文库种表示法：解析法、图象法和列表法． 3.了解简单的分段函数，并能简单应用.
怎么考 1.函数的概念、表示方法、分段函数是近几年高考的热 点． 2.函数的概念、三要素、分段函数等问题是重点，也是
数关系求函数值，只需将f(x)中的x用对应的值代入计 算即可．另外，高考命题一般会与分段函数相结合， 求值时注意a的范围和对应的关系． 2.求f(f(f(a)))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则.
[精析考题] [例3] (2011·北京高考)根据统计，一名工人组装第x件某产品所
用的时间(单位：分钟)为f(x)＝
难点． 3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以
解答题的形式出现.
一、函数与映射的概念
函数
映射
两集合 设A、B是两个非空数集 设A、B是两个 非空集合 A、B
如果按照某种确定的对 如果按某一个确定的对
对应关 应关系f，使对于集合A 应关系f，使对于集合A
系f： 中的任意 一个数x，在 中的 任意 一个元素x， A→B 集合B中有唯一确定 的 在集合B中有 唯一确定
[答案] －2
[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．(2011·宁波一模)已知 f：x→sin x 是集合 A(A⊆[0,2π])到集合
B＝{0，12}的一个映射，则集合 A 中的元素个数最多有( )
A．4 个
B．5 个
C．6 个
D．7 个
解析：∵A⊆[0,2π]， 由sin x＝0，得x＝0，π，2π； 由sin x＝12，得x＝π6，56π， 所以A中最多有5个元素．
数f(x)和它对应
的元素y与之对应
函数
映射
称 f：A→B 为从集合 称对应 f：A→B 为从集 名称
A到集合B的一个函数 合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射
二、函数的有关概念 1．函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值， 函数值的集合{f(x)|x∈A} 叫做函数的值域．显然，值 域是集合B的子集． 2．函数的三要素： 定义域 、值域 和 对应关系 ．
若f(a)＝4，则实数a＝
()
A．－4或－2
B．－4或2
C．－2或4
D．－2或2
[自主解答] 当a＞0时，有a2＝4，∴a＝2；当a≤0时，有 －a＝4，∴a＝－4，因此a＝－4或a＝2. [答案] B
[例2] (2011·陕西高考)设f(x)＝l1g0xx，，xx≤＞00，， 则f(f(－2)) ＝________. [自主解答] 显然f(－2)＝10－2＝1100，f1010＝lg1100＝－2.
1．已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{0,1,2}，给出下列
四个对应法则，其中能构成从M到N的函数的是( )
A．y＝x2
B．y＝x＋1
C．y＝2x
D．y＝log2|x|
解析：用排除法，易验证选项A，B，C都存在M 中的元素在N中没有元素和它对应，所以排除A， B，C，故选D.
答案： D
2．(教材习题改编)设f，g都是从A到A的映射(其中A＝ {1,2,3})，其对应关系如下表：
B．y＝[x＋103] D．y＝[x＋105]
[自主解答] 当各班人数x除以10，商为n余数为0,1,2,3,4,5,6时， 即x＝10n＋m,0≤m≤6时，y＝n；当各班人数x除以10商为n余数 为7,8,9时，即x＝10n＋7，x＝10n＋8，x＝10n＋9时，即x＋3＝ 10(n＋1)，x＋3＝10(n＋1)＋1， x＋3＝10(n＋1)＋2时，y＝n＋1.故y＝[x＋ 103]．
得a＝－1.
答案： D
4．已知f1x＝x2＋5x，则f(x)＝________. 解析：令t＝1x，∴x＝1t .∴f(t)＝t12＋5t . ∴f(x)＝5xx＋2 1(x≠0)．
答案：5xx＋2 1(x≠0)
5．(教材习题改编)若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0， f(3)＝0，则f(－1)＝________.
2．定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数 如函数y＝x与y＝x＋1，其定义域与值域完全相同，但 不是相同函数；再如函数y＝sin x与y＝cos x，其定义域 与值域完全相同，但不是相同函数．因此判断两个函数 是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同．
[精析考题]
[例1] (2011·浙江高考)设函数f(x)＝x－2，x，x＞x≤0.0，
三、函数的表示方法 表示函数的常用方法有：解析法 、图象法 和 列表法 ．
四、分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系 不同而
分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集 ，其值
域等于各段函数的值域的 并集 ，分段函数虽由几个部分组 成，但它表示的是一个函数．
注意新元的取值范围；
(4)方程思想：已知关于f(x)与f1x或f(－x)的表达式，可根据已知 条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)．
数学思想 的应用
分类讨论思想在分段函数中
[考题范例]
(2011·江苏高考)已知实数 a≠0，函数 f(x)＝－2x＋x－a，2a，x＜x≥1，1. 若 f(1－a)＝f(1＋a)，则 a 的值为________．
[冲关锦囊] 函数解析式的求法 (1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成 关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表 达式； (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次 函数)可用待定系数法；
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要
x123
f 312
g321 则f(g(3))等于
()
A．1
B．2
C．3
D．不存在
解析：f(g(3))＝f(1)＝3. 答案：C
3．(教材习题改编)设函数f(x)＝
x，x≥0， －x，x＜0，
若f(a)＋
f(－1)＝2，则a＝
()
A．－3
B．±3
C．－1
D．±1
解析：若a≥0，则 a＋1＝2，得a＝1；若a<0，则 －a＋1＝2，
[答案] B
[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)
5．(2012·金华模拟)某工厂六年来生产某种产品的情况
是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年
产量保持不变，则该厂六年来这种产品的总产量C与
时间t(年)的函数关系可用图象表示为
()
解析：前三年年产量的增长速度越来越快，总产量C与 时间t(年)的函数关系在题图上反映出来，当t∈[0,3]时是 选项A、C中的形状；又后三年年产量保持不变，总产 量C与时间t(年)的函数关系应如选项A所示． 答案： A
答案：f(x)＝323x－，320x≤，x1≤≤1x≤2
4．(2012·丽水模拟)设函数 f(x)＝2x－ 2，x，x∈ x∈[1， －＋ ∞∞ ，1 若 f(x)>4， 则 x 的取值范围是________．
解析：当x<1时，2－x>4，即x<－2；当x≥1时，x2＞4，
即x＞2.故x的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
[精析考题]
[例4] (2010·陕西高考)某学校要召开学生代表大会，规
定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数
大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y
与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不
大于x的最大整数)可以表示为
()
A．y＝[1x0] C．y＝[x＋104]
解析：由已知得19＋＋b3＋b＋c＝c＝0，0， 得bc＝＝3－. 4， ∴f(x)＝x2－4x＋3. ∴f(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8.
答案：8
1．函数与映射的区别与联系 (1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与集合B只
能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的 映射． (2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不 是数集，则这个映射便不是函数．