直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线的性质
1、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，
点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）
A．20 B．12 C．14 D．13
【答案】C；
【解析】
解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，
BC＝4，
∴AD⊥BC，CD＝BD＝1
2
∵点E为AC的中点，
∴DE＝CE＝1
AC＝5，
2
∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．
【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图所示，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD外一点，且∠APC＝∠BPD＝90°．求证：
平行四边形ABCD是矩形．
【答案】
解：连接OP．
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴ AO＝CO，BO＝DO，
∵∠APC＝∠BPD＝90°，
∴ OP＝1
2AC，OP＝1
2
BD，
∴ AC＝BD．
∴四边形ABCD是矩形．
专题训练：直角三角形斜边上中线
《直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半》 专题训练 直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点．它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。 一、直角三角形斜边上中线的性质 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 定理的证明 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 二、性质的证明 1、证明线段相等 例1、如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D 点，使，点E、F分别为边BC、AC的中点。
（1）求证：DF=BE； （2）过点A作AG∥BC，交DF于G。求证：AG=DG。 2、证明角相等 例2、已知，如图5，在△ABC中，∠BAC>90°，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证：∠FED=∠FDE。
例3、已知：如图6，在△ABC中，AD是高，CE是中线。DC=BE，DG⊥CE，G为垂足。 求证：（1）G是CE的中点；（2）∠B=2∠BCE。
3、证明线段的倍分及和差关系 例4、如图7，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连AE。求证：（1）∠AEC=∠C；（2）求证：BD=2AC。
例5、如图8，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，E、F分别是AB、CD的中点。求证：。 4、证明线段垂直 例6、如图9，在四边形ABCD中，AC⊥BC，BD⊥AD，且AC=BD，M、N分别是AB、DC边上的中点。 求证：MN⊥DC。 5、证明特殊的几何图形
例7、如图10，将Rt△ACB沿直角边AC所在直线翻折180°得到Rt△ACE，点D与点F分别是斜边AB、AE 的中点，连CD、CF，则四边形ADCF为菱形．请给予证明． 强化训练 1、如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC于D,E、 F、G分别是AC、AB、BC的中点。 求证：四边形OEFG是等腰梯形。
直角三角形斜边中线练习(尖)
直角三角形斜边中线练习【尖】 一．选择题（共8小题） 1．如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（） A．16cm B．18cm C．20cm D．22cm 2．如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1．则其旋转中心一定是（） A．点E B．点F C．点G D．点H 3．如图，△ABC中，D为AB的中点，BE⊥AC，垂足为E．若DE=4，AE=6，则BE的长度是（） A．10 B．2√5 C．8 D．2√7
4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，则∠DFE等于（） A．30°B．40°C．50°D．60° 5．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF 的中点，那么CH的长是（） A．2.5 B．√5C．3 2 √2D．2 6．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（） A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km 7．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（）A．34 B．26 C．8.5 D．6.5
8．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE=5，BC=8，则△DEF的周长是（） A．21 B．18 C．13 D．15 二．填空题（共2小题） 9．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于度． 10．如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是； 若将△ABP的PA边长改为2√2，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为．
直角三角形的性质与判定
A C B 直角三角形的性质与判定 学习目标： 1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”的定理。 2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法. 3、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用. 学习重点及难点 1、直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法. 2、直角三角形斜边上的中线性质定理的应用. 学习过程 一 、预习与交流 1、什么叫直角三角形？ 2、直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质? 二、合作与探究 （1）研究直角三角形性质定理一 如图：∠A 与∠B 有何关系？为什么？ 归纳：定理1： （2）猜一猜 量一量 证一证 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半吗？ 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边AB 的中线. 求证：CD=2 1AB A C B D
C A B D 定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 三。知识应用： 例：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形。 四：巩固练习 （1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数为 ； （2）在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= ； （3）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边AB 上的高，那么，与∠B 互余的角有 ，与∠A 互余的角有 ，与∠B 相等的角有 ，∠A 相等的角有 . 4、在△ABC 中， ∠ACB=90 °，CE 是AB 边上的中线，那么与CE 相等的线段有_________，与∠A 相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________． 5、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________． 五：作业.93页A 组1题 六：学习反思： A C B D
探索直角三角形斜边上的高与斜边的关系
探索直角三角形斜边上的 高与斜边的关系 八（3）班陈富祥 一、课题研究缘起 最近我们刚刚学完《特殊三角形》这一单元，让我们懂得了等腰三角形、等边三角形、直角三角形等特殊三角形的性质，受益匪浅。在学完勾股定理之后，我们突发奇想，想研究一下直角三角形斜边上的高与斜边在长度上的关系。想必通过查询资料与解析例题，必能探寻出其中的联系。 二、普通直角三角形斜边上的高与斜边的关系 例一、有一直角三角形ABC，AB长3m, AC长4m, ∠A=90度，求斜边BC上的高BD的长度。 解：根据勾股定理，BC2=32+42=52，∴ BC=5m； ∵直角三角形ABC面积为：（34）/2=6㎡， ∴ BD=（6*2）/BC=（6*2）/5=2.4m。 例二、有一Rt三角形ABC，AB长5m, AC长12m, ∠A=90度，求斜边BC上的高BD的长度。 解：根据勾股定理，BC2=62+82=102，∴ BC=10m； ∵ Rt三角形ABC面积为：（6*8）/2=24㎡， ∴ =（24*2）/BC=（24*2）/10=4.8m。
根据勾股定理，两条直角边a、b,斜边c与斜边上的高h的规律，绘制以下表格： 三角形 a的长度b的长度c的长度h的长度规律的边 ① 3 4 5 2.4 h=c/2-c/50 ②51 68 85 40.8 h=c/2-c/50 ③ 6 8 10 4.8 h=c/2-c/50 ④9 12 15 7.2 h=c/2-c/50 ⑤15 20 25 12 h=c/2-c/50 ⑥18 24 30 14.4 h=c/2-c/50 ⑦30 40 50 24 h=c/2-c/50 ⑧39 52 65 31.2 h=c/2-c/50 当a、b、c、h都取有理数时，斜边c与斜边上的高h的规律为（h=c/2-c/50）。但如果Rt三角形ABC为等腰三角形时，是否还会满足这个规律呢？ 三、等腰直角三角形斜边上的高与斜边的关系 根据我们学过的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，而等腰三角形的性质又有等腰三角形三线合一，地边上的中线等于地边上的高，所以等腰直角三角形中斜边上的中线等于斜边上的高，h=c/2。 例三、有一等腰直角三角形ABC，AB长1m, AC长1m, ∠A=90度，求斜边BC上的高BD的长度。 解：根据勾股定理，BC2=12+12=2，∴ BC=根号2m；
直角三角形斜边上的中线(人教版)(含答案)
直角三角形斜边上的中线（人教版） 试卷简介:本套试卷继续训练直角三角形的性质：直角三角形两锐角互余，斜边长大于任意一条直角边长，30°所对的直角边等于斜边的一半，同时加上斜边中线等于斜边的一半，检测同学们见到什么想什么，以及有序梳理条件、对条件进行搭配和组合的能力． 一、单选题(共10道，每道10分) 1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,点P是BD的中点. 若AD=6,则CP的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案：A 解题思路： ∵∠ACB=90°，∠ABC=60°， ∴∠A=30°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD=∠ABD=30°， ∴∠ABD=∠A ∴BD=AD=6， ∵点P是BD的中点， ∴ 故选A． 试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 2.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点, 连接DE,则△CDE的周长为( )
A.10 B.13 C.14 D.18 答案：C 解题思路： ∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，． 又∵点E为AC的中点，AB=AC=10， ∴， ∴△CDE的周长为：DE+CE+CD= 14． 故选C． 试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 3.如图,在Rt△ABC中,DC是斜边AB上的中线,EF过点C且平行于AB.若∠BCF=35°,则∠ACD 的度数是( ) A.35° B.45° C.55° D.65° 答案：C 解题思路： ∵EF∥AB，∠BCF=35° ∴∠B=∠BCF=35° ∵DC是斜边AB上的中线 ∴BD=CD
直角三角形性质应用(讲义)
直角三角形性质应用 ? 课前预习 1. 根据图中给出的边长及角度信息，在横线上补全下列直角三角形的边长． 1 1 45° 30° 2 30° 45° 23 2. 下列是不完整的弦图结构，请补全弦图． ? 知识点睛 直角三角形性质梳理：
1. 从边与角的角度来考虑 ①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______． ②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形． 2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角） ①直角三角形斜边上的中线等于______________； 如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形． ②30°角所对的直角边是_____________________； 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________． 3. 特殊的直角三角形 A C B 45° 1 130° 2 3 4 2 1 1 C A B C A B C A 4. 垂直（多个） ①等面积法 a 2+ b 2=c 2 C B A C B A β α C A A B C A B C C B A 2m m A B C 30°
ab=ch D h C B A c b a h h=h 1+h 2+h 3 h 3 h 2h 1 A C B ②弦图结构 外弦图（赵爽弦图） 内弦图（毕达哥拉斯图） ? 精讲精练 1. 如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ，分别过点C ，E 作 BC ，AE 的垂线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________． E D C B A A E D C B 第1题图 第2题图 2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，若DE =m ，BC =n ，且∠EBC 与∠DCB 互余，则BD 2+CE 2=__________（用含m ，n 的式子表示）． 3. 如图，在△ABC 中，∠C =2∠B ，点D 是BC 上一点，AD =5，且AD ⊥AB ，点E 是BD 的中点，AC =6.5，则AB 的长为______．
数学人教版八年级下册直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线 20170327 【教学目标要求】 【知识与技能】 （1）掌握直角三角形的性质定理，并能灵活运用. （2）继续学习几何证明的分析方法，懂得推理过程中的因果关系.知道数学内容中普遍存在的运动、变化、相互联系和相互转化的规律. 【过程与方法】 （1）经历探索直角三角形性质的过程，体会研究图形性质的方法. （2）培养在自主探索和合作交流中构建知识的能力. （3）培养识图的能力，提高分析和解决问题的能力，学会转化的数学思想方法. 【情感态度】 使学生对逻辑思维产生兴趣，在积极参与定理的学习活动中，不断增强主体意识、综合意识. 【教学重点】 直角三角形斜边上的中线性质定理的应用. 【教学难点】 直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法. 一、情境导入，初步认识 复习：直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？ 引入：如果你是设计师：（提出问题） 某地将建造一个地铁站，设计师设想把地铁站的出口建造在离附近的三个公交站点45路、13路、23路的距离相等的位置。而这三个公交站点的位置正好构成一个直角三角形。如果你是设计师你会把地铁站的出口建造在哪里？ 二、小组合作，获取新知 除了刚才同学们回答的性质外，直角三角形还具备哪些特殊性质？ 1.实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片. （1）测量边AB 的长度； （2）量一量斜边上的中线的长度. 让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间的关系. 2.提出命题： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3.证明命题： 你能否用演绎推理证明这一猜想？ C A
“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用
“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，下面举例说明． 一、有直角、有中点，利用垂直平分线性质 【例1】如图，BD 、CE 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点，N 是DE 的中点．求证：MN 垂直平分DE ． 二、有直角、无中点，取中点，连线出中线 【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD ∥BC ，∠CBE=2 1∠ABE ，求证：DE=2AB ． 三、有中点、无直角，造直角 【例3】如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 是AB 、CD 的中点，∠ADC+∠BCD=270°， 求证：MN= 2 1（AB －CD ）．
四、逆用性质解题 【例4】如图，延长矩形ABCD 的边CB 至E ，使CE=CA ，P 是AE 的中点．求证：BP ⊥DP ． 【习题练习】 1、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠ABD=∠CBD ，BD ⊥DE 于D ，DE 交BC 于E ，求证：CD=21BE ． 2、如图，△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 是BC 的中点，求证：AB=2DM ． 3、如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90°，点M 、N 分别是BD 、AC 的中点.确定MN 、AC 的位置关系．
直角三角形斜边上中线性质的应用 一、直角三角形斜边上中线的性质 1、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图，在Rt △BAC 中，∠BAC=90°，D 为BC 的中点，则BC 2 1AD =． 2、性质的拓展： 如图：因为D 为BC 中点， 所以BC 2 1DC BD = =， 所以AD=BD=DC=BC 21， 所以∠1=∠2，∠3=∠4， 因此∠ADB=2∠1=2∠2， ∠ADC=2∠3=2∠4． 因而可得如下几个结论： ①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形； ②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍． 二、性质的应用 1、2 1倍关系求值 例1、如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，若CD=4，则AB= ． 2、证明线段相等 例2、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，延长BA 到D 点，使AB 2 1AD =，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点．（1）求证：DF=BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于G ．求证：AG=DG ．
直角三角形的性质、判定习题
直角三角形习题 一、填空题 1、直角三角形中一个锐角为30°,斜边和最小的边的和为12cm,则斜边长为 . 2、等腰直角三角形的斜边长为3,则它的面积为 . 3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 . 4、已知在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，AB=4cm,则BC=_______cm,∠BCD=_______，BD=_______cm ，AD=________cm ； 5、已知三角形的的三个内角的度数之比为1：2：3，且最短边是3厘米，则最长边上的中线等于____________； 6、在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 的平分线相交于O ，则∠AOB=_________； 7、等边三角形的高为2，则它的面积是 。 8、直角三角形两直角边分别为6cm 和８cm 9、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ， BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线 AD 折迭， 使E 它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于 。 二、选择题 10、在△ABC 中, ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,CD ⊥AB 于D,AB=a ,则DB 等于( ) A.2a B.3a C.4 a D.以上结果都不对 11、 下列各组数为边长的三角形中,能构成直角三角形的有 组 (1)7,24,25 (2)2 2 2 3,4,5 (3)35,2,22 (4)8,15,17 (5)10,15,20 12、下列命题错误的是（ ） A ．有两个角互余的三角形一定是直角三角形； B ．三角形中，若一边等于另一边一半，则较小边对角为30° C ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； D ．△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：4：5，则这个三角形为直角三角形。 13、如果三角形的两条边上的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 14、将一张长方形纸片ABCD 如图所示折叠，使顶点C 落在C ′点. 已知AB=2,∠DEC ′ =30°, 则折痕DE 的长为（ ）A 、2 B 、32
直角三角形斜边中线练习教学文案
直角三角形斜边中线 1、已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为（） A．5 B．6 C．7 D．8 2.如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC于M，连CD．下列结论：①AC+CE=AB；②CD＝ 1 2 AE；③∠CDA=45°；④ AC AB AM =定值．其中正确的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 3.如图，BE和AD是△ABC的高，F是AB的中点，则图中的三角形一定是等腰三角形的有（） A．2个B．3个C．4个D．5个 4如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若BC=4，CD=25，则BE 的长为（） A.25 B.35 C. 22 D. 22 (第2题) (第3题) (第4题) 二.填空题 1、若一个直角三角形斜边上的中线与斜边上的高所夹的锐角为34°，那么这个直角三角形的较小的内角是度． 2.如图：已知在△ABC中，∠C=25°，点D在边BC上，且∠DAC=90°，AB= 1 2 DC．求∠BAC的度数__________．3.如图所示，在?ABCD中，AD=2AB，M是AD的中点，CE⊥AB于E，∠CEM=40°，则∠DME是________. 4如图，在四边形ABCD中，AB=5，AD=AC=12，∠BAD=∠BCD=90°，M、N分别是对角线BD、AC的中点，则MN=_________. (第2题) (第3题) (第4题) 三．解答题 1如图所示，BD、CE是三角形ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点 求证：MN⊥DE 变式：已知：如图△ABC中，∠ACB=90°，D是AC上任意一点，DE⊥AB于E，M，N分别是BD，CE的中点，求证：MN⊥CE． N E D C B A
直角三角形的性质教案(完美版)
【知识与技能】 （1）掌握直角三角形的性质定理，并能灵活运用. （2）继续学习几何证明的分析方法，懂得推理过程中的因果关系.知道数学内容中普遍存在的运动、变化、相互联系和相互转化的规律. 【过程与方法】 （1）经历探索直角三角形性质的过程，体会研究图形性质的方法. （2）培养在自主探索和合作交流中构建知识的能力. （3）培养识图的能力，提高分析和解决问题的能力，学会转化的数学思想 方法. 【情感态度】 使学生对逻辑思维产生兴趣，在积极参与定理的学习活动中，不断增强主体意识、综合意识. 【教学重点】 直角三角形斜边上的中线性质定理的应用. 【教学难点】 直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法. 一、情境导入，初步认识 复习：直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？ 学生回答：（1）在直角三角形中，两个锐角互余； （2）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）. 二、思考探究，获取新知 除了刚才同学们回答的性质外，直角三角形还具备哪些特殊性质？现在我们一起探索！ 1.实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片. （1）量一量边AB的长度； （2）找到斜边的中点，用字母D表示，画出斜边上的中线； （3）量一量斜边上的中线的长度. 让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间的关系.
网友可以在线阅读和下载这些文档地提升自我已知，如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的 中线. 求证：CD=12AB. 【分析】可“倍长中线”,延长CD 至点E ，使DE=CD ，易证四 边形ACBE 是矩形，所以 CE=AB=2CD. 思考还有其他方法来证明吗？还可作如下的辅助线. 4.应用： 例 如图，在Rt △ACB 中，∠ACB=90°,∠A=30°. 求证：BC=12AB 【分析】构造斜边上的中线，作斜边上的中线CD ，易证△BDC 为等边三角形，所以BC=BD=12AB. 【归纳结论】直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜 边的一半. 三、运用新知，深化理解 1.如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的中线，CD=4，则AB=______. 2.三角形三个角度度数比为1∶2∶3，它的最大边长是 4cm ，那么它的最小边长为______cm. 3.如图，在△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE ，DG ⊥CE,G 为垂足. 求证：（1）G 是CE 的中点； （2）∠B=2∠BCE.
知识点二：直角三角形的中线性质(较难)
1.2 直角三角形之斜边中线性质 1、直角三角形两直角边长分别是3cm 和4cm ，则斜边上的中线长等于（ ） A.2.5cm B.2.4cm C.5cm D.3cm 2、直角三角形斜边上的中线长是6.5，一条直角边是5，则另一直角边长等于（ ） A.13 B.12 C.10 D.5 3、直角三角形中有两条边的长分别为4，8，则此直角三角形斜边上的中线长等于（ ） A.4 B.54 C.4或54 D.4或52 4、（2004年江苏省苏州市中考）如图2，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，若CD=4，则AB= ． 5、（2004年上海市中考）如图4，在△ABC 中，∠BAC=90°，延长BA 到D 点，使AB AD 2 1 ，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点。 （1）求证：DF=BE ； （2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于G 。求证：AG=DG 。
6、已知，如图5，在△ABC中，∠BAC>90°，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证：∠FED=∠FDE。 7、（2003年上海市中考题）已知：如图6，在△ABC中，AD是高，CE是中线。DC=BE，DG⊥CE，G为垂足。 求证：（1）G是CE的中点；（2）∠B=2∠BCE。 8、（2007年呼和浩特市中考）如图7，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD 的中点，连AE。求证：（1）∠AEC=∠C；（2）求证：BD=2AC。 9、如图9，在四边形ABCD中，AC⊥BC，BD⊥AD，且AC=BD，M、N分别是AB、DC边上的中点。
求证：MN ⊥DC 。 10、如图所示，BD 、CE 是三角形ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点 求证：MN ⊥DE N M E D C B A 11、已知梯形ABCD 中，∠B+∠C ＝90o ，EF 是两底中点的连线，试说明AB －AD ＝2EF F E D C B A
直角三角形性质应用(直角 中点)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题 问题1：从边与角的角度来考虑直角三角形的性质都有哪些？ 问题2：遇到斜边上的中点怎么想？ 问题3：直角三角形斜边上的中线等于__________； 如果一个三角形__________________，那么这个三角形是直角三角形． 直角三角形性质应用（直角+中点） 一、单选题(共7道，每道12分) 1.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，斜边BC上的高AD=5cm，斜边BC上的中线AE=8cm，那么△ABC的面积为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，EF过点C且平行于AB． 若∠BCF=35°，则∠ACD的度数是( )
A.35° B.45° C.55° D.65° 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 3.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为( ) A.20 B.14 C.13 D.10 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 4.如图，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，若∠BCD=75°，则∠BDE=( ) A.25° B.20° C.15° D.10° 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 5.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E，F分别是对角线AC，BD的中点，则下列结论成立的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：
直角三角形性质应用(讲义及答案)
直角三角形性质应用（讲义） ? 课前预习 1. 根据图中给出的边长及角度信息，在横线上补全下列直角三角形的边长． 1 1 45° 30° 2 30° 45° 23 2. 下列是不完整的弦图结构，请补全弦图．
? 知识点睛 直角三角形性质梳理： 1. 从边与角的角度来考虑 ①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______． ②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形． 2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角） ①直角三角形斜边上的中线等于______________； 如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形． ②30°角所对的直角边是_____________________； 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________． 3. 特殊的直角三角形 A C B 45° 1130° 2 3 4 2 1 1 B C A B C A B C A a 2+ b 2=c 2 C B A C B A β α C A A B C A B C C B A 2m m A B C 30°
4. 垂直（多个） ①等面积法 ab=ch D h C B A c b a h h=h 1+h 2+h 3 h 3 h 2h 1 A C B ②弦图结构 外弦图（赵爽弦图） 内弦图（毕达哥拉斯图） ? 精讲精练 1. 如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ，分别过点C ，E 作BC ， AE 的垂线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________． E D C B A A E D C B 第1题图 第2题图 2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，若DE =m ，BC =n ，且∠EBC 与∠
直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线 20170327 【教学目标要求】 【知识与技能】 （1）掌握直角三角形的性质定理，并能灵活运用 （2 ）继续学习几何证明的分析方法，懂得推理过程中的因果关系?知道数学内容中普遍存在的运动、变化、相互联系和相互转化的规律 【过程与方法】 （1）经历探索直角三角形性质的过程，体会研究图形性质的方法 （2）培养在自主探索和合作交流中构建知识的能力 （3）培养识图的能力，提高分析和解决问题的能力，学会转化的数学思想方法 【情感态度】 使学生对逻辑思维产生兴趣，在积极参与定理的学习活动中，不断增强主体意识、综 合意识? 【教学重点】直角三角形斜边上的中线性质定理的应用? 【教学难点】直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法 一、情境导入，初步认识 复习：直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？ 引入：如果你是设计师：（提出问题） 某地将建造一个地铁站，设计师设想把地铁站的出口建造在离附近的三个公交站点 45路、13路、23路的距离相等的位置。而这三个公交站点的位置正好构成一个直角三角形。如果你是设计师你会把地铁站的出口建造在哪里？ 、小组合作，获取新知 除了刚才同学们回答的性质外，直角三角形还具备哪些特殊性质? 1?实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片 C （1）测量边AB的长度; （2）量一量斜边上的中线的长度? 让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间的关系 2?提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3?证明命题：你能否用演绎推理证明这一猜想?
已知，如图，在 Rt A ABC中，/ ACB=90°, CD是B上的中线.求证：CD二AB. 4?得出定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半数学语言表述为：在Rt △ ABC中??? CD是斜边AB上的中线 ???CD = AD = BD = _ AB 三、运用新知，深化理解 1?见课件PPt 2、如图，已知AD±BD, AC丄BC, E为AB的中点，试判断DE与CE是否相等，并说明理由。 3、如图，在Rt △ ABC中，EF是中位线，CD是斜边AB 四、课堂小结 1?直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 2?有斜边上的中点，要考虑构造斜边上的中线或中位线 五.布置作业： 见PPt 板书设计（略） 上的中线，求证:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半-----经常练(1)
1.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，E为AC的中点． （1）若DE＝5cm，则AB＝ cm；（2）若∠CDE＝70o，则∠B＝ 2.如图，∠BAC＝∠BDC＝90o，E为BC的中点，AE＝5cm，则BC＝ cm，DE＝ cm． 3.如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CE⊥AB，垂足为E，CE＝5cm，CD＝6cm，则AB＝ cm，△ABC的面积为 4.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90o，M、N分别是AC、BD的中点， 证明：（1）MD＝MB；（2）MN⊥BD．
1.如图，在△ABC中，BE和CF是高，M为BC中点，连接ME和MF，EF＝5cm，BC＝12cm，则△EFM的周长为 cm. 2.如图，△ABC中，BD，CE是高，G、F分别是线段BC，DE的中点，连接FG．求证：FG⊥ED. 3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝90o，AB＝AC，AD＝2，BC＝8，求梯形ABCD的面积. 4.证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
1.如图，在△ABC中，AB＝AC ，BD平分∠ABC，BD与AC交于点D，DE⊥BD，DE与BC交于点 E，DC＝5cm，那么BE＝ cm. 2.如图，AE、BD相交于点C，AC＝AD，BC＝BE，M、N、P分别是DC、CE、AB的中点，AB＝10 cm，那么PM＝ cm，PN＝ cm. 3.如图，在等腰直角△ABC中，AB＝BC ，点E在AB上，DE⊥AC，DE交AC于点D，M是EC 的中点，求证：（1）BM＝DM；（2）BM⊥DM. 4.如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DF⊥CE，F为垂足， 求证：（1）F是CE的中点；（2）∠B＝2∠BCE.
直角三角形的性质习题
19.8 (1) 直角三角形的性质（一） 1．在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD是AB边上中线，若CD=5cm,则AB=_____ 三角形ABC的面积=____________ 2.在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD是AB边上中线，图中有__________等 腰三角形. 3．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E分别是BC、AC的中点，AB=6，求DE的长。 4. 已知：四边形ABCD中，∠ABC= ∠ADC=90度， E、F分别是AC、BD的中点。 求证：EF⊥BD 1、如图，在△ABC中，∠B= 2∠C，点D在BC 边上， 且AD ⊥AC. 求证：CD=2AB 19.8（2）直角三角形性质（二） E
1、 在直角三角形ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=10，则AB=________. 2、 顶角为30度的等腰三角形，若腰长为2，则腰上的高__________，三角形面积是 ________ 3、 等腰三角形顶角为120°，底边上的高为3，则腰长为_________ 4、 三角形ABC 中，AB=AC=6，∠B=30°，则BC 边上的高AD=_______________ 5、 Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=15°，AB 的垂直平分线交AC 于D,AB 于E, 求证AD=2BC. 6、 已知：△ABC 中,AB=AC ，∠B=30°，AD ⊥AB ， 求证：2DC=BD 7.如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=60 °，EF 是AB 的垂直平分线，判断CE 与BE 之间的关系 19.8（3）直角三角形的性质(三) D A C B A E F C B A
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半教学设计
《直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半》教学设计 广州市第四中学邓丽丽 一、教学内容与内容分析 1、教学内容：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质的形成和应用。 2、内容分析： 来源于人教版八年级数学下册19.2.1矩形一节，由矩形的对角线性质“矩形的对角线相等”我们得到了直角三角形的一个重要性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”。 本课主要内容是一、为什么说“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”；二、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的应用（包括应用于生活实际问题、应用于几何计算与证明）。利用倍长中线法，利用对称的性质构造全等三角形，以及构造中位线法证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，总结中点辅助线模型，为中考常见题型中的中点问题的解决提供了基础和方法。 二、教学目标与目标分析 1、教学目标 （1）知识与技能目标：能掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用，能利用添辅助线证明有关中点的几何问题； （2）过程与方法目标：通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感悟化归思想； （3）情感与态度目标：通过提供丰富的，有吸引力的探索活动和现实生活中的问题，让学生领悟数学源于生活用于生活，鼓励学生大胆思考，勇于探索，从中获得成功的体验，激发学生的学习兴趣。 三、教学重点与教学难点： 教学重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明与应用。 教学难点：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明与应用。 3、突出重点、突破难点的方法与策略： ☆突出重点的方法： 通过设置情境问题，引导学生思考、探究和讨论，在学生的自主探究过程中突出重点☆突破难点的方法： 通过教师的启发引导，充分运用多媒体教学手段，开展小组讨论、探讨交流、归纳总结来突出主线，层层深入，逐一突破难点。 四、教学方法：
直角三角形性质应用(讲义及答案).
直角三角形性质应用（讲义） 课前预习 1. 根据图中给出的边长及角度信息，在横线上补全下列直角三角形的边长． 1 1 45° 30° 2 30° 45° 23 2. 下列是不完整的弦图结构，请补全弦图． 知识点睛 直角三角形性质梳理： 1. 从边与角的角度来考虑 ①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______． ②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形． 2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角） ①直角三角形斜边上的中线等于______________； 如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形． ②30°角所对的直角边是_____________________； 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________． 3. 特殊的直角三角形 A C 45° 1130° 2 3 42 1 1 A B A B C A a 2+ b 2=c 2 C B A C B A β α C A B A B C A B C C B A 2m m A B C 30°
4. 垂直（多个） ①等面积法 ab=ch D h C B A c b a h h=h 1+h 2+h 3 h 3 h 2h 1 A C ②弦图结构 外弦图（赵爽弦图） 内弦图（毕达哥拉斯图） 精讲精练 1. 如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ，分别过点C ，E 作BC ，AE 的垂 线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________． E D C B A A E D C B 第1题图 第2题图 2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，若DE =m ，BC =n ，且∠EBC 与∠DCB 互余，则BD 2+CE 2=__________（用含m ，n 的式子表示）． 3. 如图，在△ABC 中，∠C =2∠B ，点D 是BC 上一点，AD =5，且AD ⊥AB ，点E 是BD 的中点， AC =6.5，则AB 的长为______． A B C D F E C B A 第3题图 第4题图 4. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点E 为AB 的中点，点D 在BC 上，且AD =BD ，AD ，CE 相 交于点F ．若∠B =20°，则∠DFE 等于（ ） A ．70° B ．60° C ．50° D ．40° 5. 已知△ABC 的周长是24，M 是AB 的中点，MC =MA =5，则△ABC 的面积是__________．
直角三角形的性质和判定
第1章 直角三角形 1.1 直角三角形的性质和判定 第1课时 直角三角形的性质和判定 学习目标 1、熟练掌握直角三角形的性质、判定和运用. 2、在实际的操作中去发现直角三角形的特性，并能自主探究证明方法. 一、自主学习 认真阅读教材P1-4页内容，掌握以下基础知识： 1、三角形的内角和是 . 2、在直角三角形中，两个锐角的和是 . 3、直角三角形的判定定理： . 4、动手操作：如图，画出直角三角形ABC 斜边的中线；猜一猜，量一量；这条中线与斜边在长度上有什么关系？ AB= CD= 探究得出：在直角三角形中，斜边上的中线等于 . 写出证明过程： B D C A 二．合作探究 1、如图，在三角形ABC 中，∠A+∠B=90°,求证：三角形ABC 是一个直角三角形. 2、如图，在直角三角形ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线. （1）若AB=6cm,求CD 的长；（2）若CD=6cm,求AB 的长. B D C A 3、如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形. B D C A 4、如图，AB//CD ,∠BAC 和∠ACD 的平分线相交于点H,E 为AC 的中点. A C B
求证：（1）△ACH 是Rt △;（2）AC=2EH. H E D B C A 四、巩固小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 五、当堂测评 1、直角三角形中，到三个顶点的距离相等的点是 . 2、如图，在直角三角形ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线. （1）若DB=5cm,则CD= ； （2）若CD=12cm,则AB= ; （3）若∠A=40°，则∠BDC= ; (4)若AB+CD=15cm,则AB= ,CD= . B D C A
直角三角形斜边上的中线
C B E D A B A D C E B C A D “直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用 性质： 几何语言： 相关结论： 习题重现一 1、如图，△ABC 是直角三角形， CD 是斜边AB 上的中线。 ①AB=10cm,CD 的长为多少cm? ②CD=2cm ，则AB 的长为多少？ 2、已知：如图，C 为AB 的中点，90AEB ADB ? ∠=∠=，连结CD ，CE ，DE. 求证：△CDE 为等腰三角形 归纳一：有直角，有中点； 拓展提升 如图，已知△ADG 中，AB ⊥BD 于B ，CD ⊥AC 于C ,E 为AD 的中点，点F 是BC 的中点, EF 与BC 有什么位置关系？请说明理由. 习题重现二 3、如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，且90BAD ? ∠=，BD=2AC, 25B ? ∠= ， 求 的 度数. 归纳二：有直角，无中点； 拓展提升 已知：如图，在Rt △ABC 中，90C ?∠= ， , AD//BC, 求证：DE=2AB G F C B C ∠ABE CBE ∠=∠2 1
E B D A C 习题重现三 4、如图，已知 AB=AC ，D ，E 分别是 BC ，AC 上的中点 求证：AB=2DE 归纳三：有中点，无直角； 拓展提升 如图，在四边形ABCD 中，DC//AB ，M ，N 是AB ，DC 的中点，90A B ? ∠+∠= 求证：1 ()2 MN AB DC =- 练习 1．如图，∠ABC=∠ADC=Rt ∠，E 是AC 的中点，则（ ） A 、 21∠>∠ B 、21∠<∠ C 、 21∠=∠ D 、无法判断 2. 如图，在△ABC 中，∠C=2∠B ，D 是BC 上的一点，且AD ⊥AB ，点E 是BD 的中点，连接AE ，若AE=6.5，AD=5， 则AC= △ABE 的周长是 3. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是高，CE 是AB 边上的中线，且DC=BE ． 求证：∠B=2∠BCE ． 4. 已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD=AB ，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，AC=6．求EF 的长． A D C