数学建模与数学实验：第13讲 个人住房抵押贷款模型养老保险模型
住房贷款问题模型【定稿】
数学建模一周论文住房贷款问题模型姓名1：学号：姓名2：学号：姓名3：学号：专业：班级：指导教师：年月日住房贷款问题模型摘要这是一个关于银行住房贷款利率调整问题的数学模型。
本文根据已知利率，针对每月还款额和期限满后的最后一月付款后本利和为零，推算出所求公式。
对于问题一，根据银行通用算法，容易计算出1年期的一次性支付还款总额和利息负担总和分别10612元和612元。
再根据推算公式可计算出5年期和20年期限下的月均还款额分别为196.4118元、80.9266元；还款总额分别为11784.7075元、19422.3830元；利息负担总和分别为1784.7075元、9422.3830元。
对于问题二，根据新利率和公式计算出5年期、20年期的月均还款额分别为190.1359元、69.2414元；与原规定相比，还款负担分别降低了6.2759元、11.6852元。
还款总额分别为11408.1526元、16617.9245；分别降低了376.5549元、2804.4585元。
利息负担总和分别为1408.1526元、6617.9245元；分别降低了376.5549元、2804.4585元。
此模型给出的公式和程序能适合任意年限和年利率情况下的相关计算，适用范围较广。
此外，我们新定义了一个“比率”来刻画还款负担的降低程度并由此得出以下结论：一、新政策与原规定相比，还款额都有所下降，降低了居民购房的还款负担。
二、延长贷款期限尽管看似利息负担加重，但实际上能减少每月的还款金额；这对于偿还能力较弱的居民应该是首选。
关键词：住房贷款；利率调整；还款负担一、问题的提出住房问题是目前全国上下大家都关注的热点。
住房问题引起了国务院党中央的注意，为了满足广大的人民能住得上房，能减轻人们的压力，由中国建设银行北京市分行印发的《个人住房贷款简介》的小册子中介绍了有关个人住房贷款的有关问题。
其中指明贷款额最高为拟购买住房费用总额的70%；贷款期限最长为20年。
数学建模与数学实验：第13讲 个人住房抵押贷款模型养老保险模型
马氏链 (Markov Chain) ——时间、状态均为离散的随机转移过程
马氏链的基本方程
xk 1 Axk
xk x1k , x2k , , xnk T
xik与状态i有关，i 1, 2, , n
转移概率aij 从状态j一步变化到状态i的概率
(1)aij 0,i, j 1, 2,
比例（概率）为aij； 3）T为资源总数，保持恒为正常数。
结论：
经过多轮分配，各个部门分配到的资源趋向于稳定， 总数为T 的资源，将按照P的分量比例分配到各个部门。
金融机构为保证现金充分支付,设立一笔总额T=5400万的基金,分开放置 在位于A城和B城的两家公司,基金在平时可以使用,但每周末结算时必须 确保总额仍然为5400万。经过相当长的一段时期的现金流动,发现每过一 周,各公司的支付基金在流通过程中多数还留在自己的公司内,而A城公司 有10%支付基金流动到B城公司,B城公司则有12%支付基金流动到A城公司。 起初A城公司基金额为2600万,B城公司基金为2800万。
一阶差分方程基础知识
定义：一阶差分方程 xk1 f (xk ), xk Rn , k N 平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的根
平衡点的稳定性
lim
k
xk
x
lim
k
xk
x
x*是稳定平衡点 x*是不稳定平衡点
一阶线性差分方程
xk axk1 b, a,b为常数，且a 1
通解：
xk
吸收态。
有r个吸收状态的吸收链的 转移矩阵标准形式
A
Ir O
R
S
S Rnrnr , 非吸收态之间的转移矩阵
R Rrnr , 非吸收态到吸收态的转移矩阵
个人住房抵押贷款以及其它金融问题(ppt 26页)
比逐月还款本息总额n=10664.54元多！ 一般呢？
任务2:制定住房商业性贷款利率表和还款表
若已知如下贷款年限的住房贷款利率(％):
1年：6.35
3年：6.43
5年：6.58
>5年：6.66
试制作一张为期1－30年的还款表
任务3 一个购房贷款的比较
Ak —贷款后第k 个月时欠款余数,A0 —初始贷款数 Rl—年利率，r=Rl/12 —月利率
Ak＝(r＋1)Ak-1 –m，k =1,2,…, K Ak – Ak-1 = r Ak-1 –m， k = 1,2,…, K
——差分方程
四、问题求解
令Bk=Ak - Ak-1 Ak+1＝(r＋1)Ak –m Ak＝(r＋1)Ak-1 –m →Bk+1=(r+1)Bk
结果：294.5455 245.4545
FM =0 → (1+ r )M－ (1+ q/p ) (1+ r )M－N + q/p ＝0
记 x=1+ r， 得
xM - (1+q/p)xM-N +q/p=0 — 求方程根 r=x-1
以25岁起投保60岁开始领取养老金至75岁为例：
x600－12.41x180＋11.41＝0 使用Matlab：
(注意：显然结果依于投保人寿命)
p —停交保险费前所交的月保险费数目(元)
N —自投保起至停交保险费的时间长度(月)
q —停交保险费起所领月养老金的数目(元)
M —自投保起至停领养老金的时间长度(月) (依赖于投保人寿命，取平均寿命75岁） Fk —投保人在投保后第k个月所交保险费及利息的
实验3住房抵押贷款
实验3：个人住房抵押贷款问题(一) 实验目的1．复习数列、方程求根等有关知识；2．了解差分方程在经济生活中的应用；3．学会使用Mathematica的进行基本运算和求解方程的命令。
(二) 研究问题1．根据国家贷款利率表（下表），确定商业银行个人住房贷款利率表（1-5年）；2. 抵押贷款(1-5年期), 每月还款一次, 每万元的月还款额和本息总额;3. 贷款年限固定时,还款周期变化对次还款额和本息总额的影响.(三) 数学模型1．住房贷款利率的确定商业银行个人住房贷款利率相对于国家利率一般采取放宽一档的原则，即1年期、3年期、5年期分别采用国家半年期、1年期、3年期的利率，对没有对应档次，就按平均值处理。
从前面的3个数据6.12、6.39、6.66分析得出：年均利率增值应为d=0.27/2=0.135所以可得如下商业银行个人住房贷款1-10年期限的利率表2．贷款总额和期限固定时, 每月还款一次, 如何确定月还款额和本息总额?设贷款总额为A0,第k个月时欠款余额为Ak,k=0,1,2,…,月还款额为m, 月贷款利率为r ，则可得差分方程1(1),1,2,...k k A r A m k -=+-= 利用上面的递推关系式，就有 1(1)k k A r A m -=+-2(1)[(1)]k r r A m m -=++--22(1)[(1)1]k r A r m -=+-++23(1)[(1)][(1)1]k r r A m r m -=++--++323(1)[(1)(1)1]k r A r r m -=+-++++......=120(1)[(1)(1)...1]k k k r A r r m --=+-+++++ 01(1)(1)1(1)kkr r A m r -+=+--+0(1)[(1)1]k k mA r r r=+-+-。
那么，最后到期还清时(共n 次)，A n =0 .代入可求得月还款额0(1)(1)1n nA r r m r +=+- 这时还款本息总额为 M=n ⨯m .例如, 2年期贷款1万, A 0 =10000, n =24,r=0.06255/12=0.0052125, 代入上面的公式, 得月还款额242410000(10.0052125)0.0052125444.356(10.0052125)1m +⋅=≈+- 还款总额 M=n ⨯m=24⨯444.356=10664.543.贷款年限固定时,还款周期变化对次还款额和本息总额的影响.例如, 2年期贷款1万, (1)月还一次;(2)半年还一次;(3)一年还一次;(4)二年一次还清. 那么次还款额和本息总额分别是多少呢?经计算后, 可得下表注：若已知A0、m 、n，也可确定r（利率情况）。
养老金问题的数学模型探究
−
.
×
.
整合呈现பைடு நூலகம்问题求解
整合研究，问题求解
年份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
缴纳
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
= . ， = . − + .
故{ +
设，使得 + = . − + ≥
即 = 1.035−1 + 0.035，
故. = . , 即 =
.
.
=
+
，公比. ，
通项公式为
式，年利率为3.5%
第1年
第2年
第3年
第4年
……
第n年
……
利润
结余
分段探究，建立模型
任务三、寻求 与− 的递推关系
【学生展示1】
【学生展示2】
×
没缴纳养老金≠没利润
递推关系： = . − − ≥
分段探究，建立模型
任务四：由 与− 的递推关系推导 的通项公式
P 没
钱
【推选】数学建模个人住房抵押贷款问题PPT资料
解题过程
第四步 本息总额的下界
事实上，如果二年期贷款的还款周期为
1 n
年，那么
每个周期的利率为 R ，于是 k，2n由公式(7)得到
n
， 0A 0(1R n)2nm R[1 n (R n)2n1 ]
从而每周期末的还款额为
本息总额为
， m A0R(1Rn)2n
n[(1Rn)2n 1]
. 2nm2A0R(1Rn)2n
这就是问题的数学模型.其中月利率采用将年利率 R0.0的652平5 均，即
r0.0162255(3)0.0052125. 若 m是已知的，则由式(1)可以依次求出 中Ak 的每一 项，我们称(1)为差分方程.
解题过程
第二步 ：月还款额
பைடு நூலகம்
以二年期为例来求月还款额。二年期的贷款在第
24个月时还清,即
A
2
然第而一既 步然数逐学月模还型款(差比分逐方年程还)款的本息总额数少，人们自然关心进一步缩短还款周期的结果，仍以二年其为例，假定采用逐周还款的方
这样本息总额将为 式事，实则 上公，式如(果7)二中年的期利贷率款应的代还之款以周周期利为率年，那么每个周期的利率为 ，于是 ，由公式(7)得到
第，三步 还(7款) 周期的讨论
10 664.54
3
36
305.989 6
11 015.63
4
48
237.264 9
11 388.71
5
60
196.411 8
11 784.71
(1)这张表是如何制定的，即怎样得出月还款额？ (2)讨论还款周期对本息总额的影响
应用背景
数学在人们生活中的应用越来越普遍，金融问 题中的数学应用是相当典型的例子.
优秀实验报告二-上海交通大学数学系
个人住房抵押贷款及其它金融问题的数学模型颜齐，F1502008，515020910184指导老师陈贤峰上海交通大学机械与动力工程学院目录个人住房抵押贷款及其它金融问题的数学模型 (1)一、实验背景 (2)二、实际任务及相应解法 (2)2.1 制定住房商业性贷款利率表和（月）还款表 (2)2.2 请自己到银行了解最新住房贷款利率，试制作一张为期1－20年的贷款利率表和（月）还款表 (3)2.3 一个购房贷款的比较 (4)2.4 还款周期比较 (5)2.5 某保险公司的推出结合养老的寿险计划 (6)2.6 金融公司的支付基金问题一 (9)2.7 等额本息与等额本金还款 (10)2.8 金融公司的支付基金问题二 (12)2.9 国债收益率问题 (14)三、小程序说明 (15)四、对某些任务的分析讨论 (15)4.1 任务2.5的思路一与思路二之争 (16)4.2 任务2.5思路2中的计算方法 (17)五、结语 (18)一、实验背景个人住房商业抵押贷款是常见的一种额度大、期限长的贷款形式，每期还款的数额根据贷款期限的长短、年利率的高低、还款方式（等额本息、等额本金）、还款周期的不同而不同，这些因素的变更会导致累计支付的利息有一定差异。
在数额较大的贷款中，这种差异有时还会有相当大的区别，因此有必要建立数学模型研究其对分期还款的具体影响。
此外，对于养老保险、人寿保险、基金流动等问题，利率、周期等因素对结果也有不同程度的影响，可通过数学模型定量探究。
二、实际任务及相应解法2.1 制定住房商业性贷款利率表和（月）还款表2.1.1 模型建立依照PPT的暗示，这种情况下为等额本息、按月还款的模式，否则采用等额本金还款办法的话，每月还款额将会有变化。
输入还款期限年数、年利率、贷款总额，可得到总期次、月利率，设为完成第期还款后还剩下的欠款总额，则有:为等额本息下每月的固定还款额度。
迭代后可以得到从而可得每期还款额2.1.2 MATLAB代码function [m]=function_1(yr,rate)if(nargin~=2)error(‘输入的参数不正确’);elser=0.01*rate/12;n=yr*12;m=10000*(1+r)^n*r/((1+r)^n-1);end2.1.3 运行结果(以2年、6.25%利率为例，详细列表见任务2)>> function_1(2,6.25)ans =444.3334此即为2年期、6.25%年利率的贷款，按等额本息的还款模式的每月还款额。
养老金计划数学建模
重庆工商大学第六届大学生数学建模竞赛暨2014年全国大学生数学建模选拔赛论文题目：养老金计划参赛队员信息2013年 6 月 5 日养老金计划的数学模型摘要中国正在跑步进入老龄化社会，养老金短缺问题受到了社会各界的广泛关注。
经预测，到2039年,我国将出现不足两个纳税人供养一个养老金领取者的局面,这被称为“老龄社会危机时点”.本文就养老金问题进行了讨论。
假定养老金计划从20岁开始至80岁结束，参加者20到60岁时工作阶段，他会每月存入一定的金额，60岁退休以后，每月初领取相等的退休金，一直领取20年。
建立数学模型，计算参加者不同年龄阶段投入不同的金额，他所领取到的养老金是多少。
我们把它分为了两个阶段，先是以年金的形式算出参加者从投入资金到60岁一月初时的本息和，再计算出了他从60岁到80岁领取养老金的公式，从而求出了他每月领取的养老金P.然后利用Matlab编写程序，最终得出了结果，越早参加养老金计划，领取的养老金越多。
从20岁开始参加养老金计划，每月领取的养老金为12205.7元；从35岁开始参加养老金计划，每月领取的养老金为5747.6元；从48岁开始参加养老金计划，每月领取的养老金为4644.4元.最后，本文讨论了该模型的优缺点，并进行了进一步的推广与分析.关键词：老龄化养老金年金 Matlab一、问题重述养老金是指人们在年老失去工作能力后可以按期领取的补偿金，这里假定养老金计划从20岁开始至80岁结束，年利率为10℅.参加者的责任是，未退休时（60岁以前）每月初存入一定的金额，其中具体的存款方式为：20岁~29岁每月存入X1元，30岁~39岁每月存入X2元，40岁~49岁每月存入X3元，50岁~59岁每月存入X4元.参加者的权利是，从退休（60岁）开始，每月初领取退休金，一直领取20年.建立养老金计划的数学模型，并计算不同年龄的计划参加者的月退休金.1、从20岁开始参加养老金计划，假设X1=X2=X3=X4=200元；2、从35岁开始参加养老金计划，假设X2=200元，X3=500元，X4=1000元；3、从48岁开始参加养老金计划，假设X3=1000元，X4=2000元.二、问题分析我们先对整个问题进行分析，建立一个适用于从任何年龄（20—59岁）开始参加养老金计划的数学模型，再分别代入数据，计算出从20岁开始参加养老金计划、从35岁开始参加养老金计划和从48岁开始参加养老金计划可以得到的养老金补助.我们把参加者从开始参加养老金计划到80岁分为两个阶段。
_住房反向抵押贷款_养老模式的精算模型构建与应用_沈志江
γ S(t)A(t)e
-(a-g)t
款 ” 养老 ， 尽管在此之后借款人可能因多种原因搬出住房 ， 但
dt
（5 ）
考虑到老年人口搬迁率较低的现实 ， 以及搬迁对老年人生活 的影响 ， 本文假设老年人一直居住实行 “ 住房反向抵押贷款 ” 的住房中 。
由式 （5 ） 可以解得 A(t) 的值 。 “住 房 反 向 抵 押 贷 款 ”养 老 的 运 作 模 式 按 照 保 障 对 象 的 不 同 ，可 以 分 为 个 体 “住 房 反 向 抵 押 贷 款 ”和 家 庭 “住 房 反 向 抵 押贷款 ”。 个体 “ 住房反向抵押贷款 ” 是指仅考虑户主的养老 保障问题 ， 在户主的生存期限内按约定给付养老金 ； 家庭 “ 住 房反向抵押贷款 ” 是指以保障老年人口夫妇双方的生活为目 的 ， 在夫妇双方任何一方生存的期限内给付养老金 。 同时 ， 养 老金的给付方式可以分为趸领型和年金型 ， 现实操作中的方
2.1
庭 “住 房 反 向 抵 押 贷 款 ”精 算 模 型 ，目 的 是 检 验 “住 房 反 向 抵 押贷款 ” 养老是否对供 、 需双方均具有吸引力 ， 即是否能够通 过合理的风险回报率等假设， 一方面使得寿险公司有利可 图 ， 另一方面使得领取金额对需方的生活质量会产生足够重 大 的 影 响 ；同 时 ，在 两 个 模 型 内 部 又 分 为 趸 领 精 算 模 型 和 年 金型精算模型 。 根 据 期 望 收 支 平 衡 的 原 则 ，金 融 机 构 在 “住 房 反 向 抵 押 贷款” 养老业务中未来可能发生的收付的精算现值之和为
者状态下首付终身生存年金的精算现值 。
Y.K.Tse 提供了家庭 “ 住房反向抵押贷款 ” 精算 模 型 的 构
建思想 ， 但他并未构建出这一模型 。 本文依据他的思想 ， 加入 了费用和折旧因素 ， 并充分考虑了夫妇双方的存货概率及其 组合 ， 在个体精算模型的基础上 ， 构建了家庭 “ 住房反向抵押 贷款 ” 精算模型 。
数学建模之养老保险
数学建模之养老保险摘要：本文通过对给定保险方案的分析，针对生活中养老保险的实际情况，本文特提出了一系列令投保人受益较大的投保方案，并建立一般数学模型来解决这个问题，此模型对实际投保问题很有意义，既可做为保险公司方的参考工具，又可为投保人提供一定的参考信息。
与此同时，本文也对寿命的变化所引起的模型的变化做了相对灵敏的分析。
关键词：投保利率利息投保额投保期限一问题重述某人50岁时参加养老保险，有二家保险公司推出二种不同的方案，方案I：50岁起每年交费500元，一直交到59岁为止；从60岁起每年领取养老金1500元直至死亡，死亡后保险公司一次性支付给家属15000元。
方案II：50岁起每年交费800元，连续交纳10年；从60岁起领取养老金，第一年1000元，以后每年增加70元，直至死亡，死亡后保险公司一次性支付给家属15000元。
若预期寿命为75岁、银行年利率为6%,问：1、哪一种投保方案对投保人有利；2、根据此问题试建立一般数学模型。
二基本假设根据题目的规定并结合实际情况，提出如下合理的假设，使问题简化，而且便于解决。
1、假设交纳保险费与领取养老金的时间分别为每年的年初与年末。
2、假设预期寿命时间即为领取养老金的最后年份。
3、银行的年利率不会因时间的变化而变化。
4、对投保人更有利的理解为：在不同方案中，死亡时的领取养老金的总金额（包括利息）与投保总金额（包括利息）的差值与投保总金额的比率更大。
5、除去一定的政策因素。
三符号说明β：投保利息；1β：投保收入利息；2ξ：投保收入(领取的总金额+利息)；ξ：领取总金额；1ω：投保费(投保总金额+利息)；ω：投保总金额；1a ：投保人去世后，保险公司一次支付其家属所有金额。
四 问题分析本问题是一个在实际社会背景下有多因素共同作用的模糊描述的问题，解决本问题需要经过以下几个过程：1．问题及其抽象根据我们所假设的条件可知：投保人的受益程度取决于领取的养老金总金额（包括利息）与投保总金额（包括利息）的差值与投保总金额的比率。
数学建模养老金计划
数学建模养老金计划养老金计划是一种为退休人员提供经济保障的制度。
随着人口老龄化的加剧和养老金体系的不断完善，养老金计划的建模成为一个重要的问题。
通过数学建模的方法，可以更好地理解和优化养老金计划。
假设雇主和雇员的缴费比例分别为e和w，工资的增长率为g。
我们可以将缴费比例和工资增长率视为参数，根据实际情况进行调整。
随着时间的推移，养老金的积累可以被表示为一个累积函数P(t)，其中t表示时间。
养老金的支付可以被定义为一个支付函数F(t)，表示在每个时间点t上支付的养老金金额。
我们可以使用微分方程来描述养老金计划的动态演化。
假设P'(t)表示养老金的增长速率，根据缴费比例和工资增长率的定义，我们可以得到以下微分方程：P'(t)=e·(1+w)·g·P(t)其中e·(1+w)·g表示每个时间点上的养老金总体增长率。
这个微分方程描述了养老金积累的变化速率。
我们可以通过数值积分的方法来求解这个微分方程，得到养老金的积累函数P(t)。
养老金计划的另一个重要问题是养老金的支付方式。
养老金可以分为一次性支付和定期支付两种方式。
一次性支付指的是在退休时一次性支付全部的养老金；定期支付指的是在退休后每年按一定比例支付一定金额的养老金。
我们可以通过一个优化模型来确定最优的养老金支付方式。
假设养老金计划的目标是最大化养老金的支付总额，其中支付总额是养老金积累函数P(t)和支付函数F(t)的乘积的累积值。
我们可以将这个优化问题表示为一个目标函数和一组约束条件的数学问题。
目标函数可以表示为：Maximize: ∫[0,T]P(t)·F(t)dt其中T表示退休的时间。
约束条件包括工资缴费比例、养老金支付比例和退休年龄等。
除了养老金计划的运作方式和支付方式，数学建模还可以用于其他养老金相关的问题，如养老金资金的投资和运营。
通过建立投资模型和风险模型，可以帮助养老金计划管理人员更好地管理和分配养老金资金，提高投资回报率和风险管理能力。
住房贷款的数学模型教学内容
住房贷款的数学模型住房贷款的数学模型[摘要]:随着我国改革开放的发展和人民生活水平的提高，人们越来越不满足于只是吃饱、穿暖，而是向更高的目标迈进，房子自然成了人们渴求的目标。
另外，从某种意义上来说，人类文明的进程就是建筑和城市化的过程，从原始洞穴发展到现代摩天大厦，体现了人类的进步。
人类对居所的投资，直接为劳动力的再生产提供了最基本的生活资料，从而直接为社会劳动生产力的延续与发展创造了物质载体。
近几年，我国经济快速发展，社会传统的房屋卖买方式受到较大冲击而日趋缩萎，取而代之的银行按揭贷款买房成为新的购房趋势,并日渐盛行。
这对现代社会的消费及生活所产生的积极意义与便利是不容抹杀。
目前银行提供的贷款期限在一年以上的房屋贷款还款方式一般等额本息还款法、等额本金递减法，等额递增还款法，等额递减还款法，等比递增还款法，等比递减还款法。
面对这些贷款还款方式，如何根据自己的现在及预期未来的收入情况，作出一个合理的还款方案，是每个打算贷款买房的人所必须认真考虑。
在本次购房贷款问题中所列举的案例，王先生计划向银行贷款20万元来买房，并以15年作为还请贷款的期限，在还款过程中，根据银行利率，可采用等额本息还款，等额递增还款法等不同方式，考虑到这些因素，我们运用数学建模的方法，通过建立相关的购房贷款模型，结合实际情况对各种还款方式进行分析比较，从而得出最佳方案。
关键词 : 购房贷款等额本息还款等额递增还款1 问题的提出王先生打算向银行贷款20万人民币买房子，分15年还清，银行的贷款利率是6%／年,在向银行咨询的时候，银行还提到6种还款方法：①等额本息还款法：是指在贷款期内每月以相等的金额平均偿还贷款本息的还款方法；②等额本金递减法：是指在贷款期内每月等额偿还本金，贷款利息随本金逐月递减的还款方法；③等额递增还款法：是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额有一个固定增加额，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法；④等额递减还款法：是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额有一个固定减少额，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法；⑤等比递增还款法：是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额呈一固定比例递增，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法；⑥等比递减还款法：是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额呈一固定比例递减，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法。
数学建模课件第四章
4.1.5
模型求解
• 在(4.1.4)中两式，取初始值，我们可以得到： p k Fk F0 (1 r ) [(1 r ) k 1], k 0,1,2,.., N r q k N Fk FN (`1 r ) [(1 r ) k N 1], k N 1,..., M r • 再分别取，k=N和k=M，并利用FM=0可以求出： q q M M N (1 r ) (1 )(1 r ) 0 p p 它是一个非线性方程。
lim xk x* 为方程
例4.2.4 对例4.2.1中方程考查用迭代法求根
2 bk ak 1 x xk k b a 2 2
4.2.2
• 确定新的含根区间 [ak 1 , bk 1 ]，即如果 f (ak ) f ( xk ) 0 ， 则根必在 [ak 1 , bk 1 ][ak , xk ] 内，否则必 在 [ak 1 , bk 1 ] [ xk , bk ] 内，且有： 1 bk 1 ak 1 (b a ) 。总之，由上 k 2 述二分法得到序列 xk ，由(4.2.2) 有： lim xk x 。
代数方程求根问题是一个古老的数学问题。早在16 世纪就找到了三次、四次方程的求根公式。但直到19世 纪才证明了 n 5 次的一般代数方程式是不能用代数公 式求解的，因此需要研究用数值方法求得满足一定精度 的代数方程式的近似解。
在工程和科学技术中许多问题常归结为求解非线性方 程式问题。正因为非线性方程求根问题是如此重要和基 础，因此它的求根问题很早就引起了人们的兴趣，并得 到了许多成熟的求解方法。下面就让我们首先了解一下 非线性方程的基本概念。
• 定理4.2.2 设 f ( x) 在 a, b 连续,且 f (a) f (b) 0 ，则存 在 x a, b ，使得 f ( x ) 0 ，即 f x 在 a, b)内存在实零点。 （
数学建模——关于养老金的分析与计算及简化编程
北京高中数学知识应用竞赛论文题目：社会养老保险缴纳方式的建议与养老金的计算分析学校：北京市第三十五中学作者：***指导老师：李赤军、王霞一、摘要本文论述了北京的养老模式问题，并由此进行了对养老金的计算、分析、缴纳方式的研究，并运用matlab进行了编程，并对过去、未来的工资、养老金最低标准等进行了拟合、推算。
关键词：matlab 拟合养老金二、问题的提出早在2008年底，北京市民政局、市发改委、市规划委员会、市财政局以及市国土资源局等五个部门联合下发了《关于加快养老服务机构发展的意见》，提出了“9064”养老新模式。
即到2020年，90%的老年人在社会化服务的协助下通过居家养老，6%的老年人通过政府购买社区服务照顾养老，4%的老年人入住养老服务机构集中养老。
而这其中90%的老人的生活消费的新型养老模式就是我们所要探讨与研究的话题。
所以，在这里我们提出了几个问题：问题一：对于正常的养老来说，我们每月需要花费多少养老金呢？对于这部分养老金，我们是如何分配的呢？问题二：现在网络上的养老金计算器的计算所需要的数据太繁复，怎么才能更简单的了解自己的现在或未来的养老金多少，和相应的其他信息？问题三：那么我们为了能使退休时的养老金达到一定的标准，保证未来的生活品质，我们应该怎么做？三、问题的分析养老金也称退休金、退休费，是一种最主要的养老保险待遇。
即国家有关文件规定：在劳动者年老或丧失劳动能力后，根据他们对社会所作的贡献和所具备的享受养老保险资格或退休条件，按月或一次性以货币形式支付的保险待遇，是造福社会的需要，主要用于保障职工退休后的基本生活需要。
然而，由于中国的养老金主要分为两类——机关事业单位人员退休养老金和企业人员退休养老金，而机关事业单位人员退休养老金远比企业人员退休养老金高，比例大约是300%-500%。
所以，企业人员退休后，如何用相对退休前工资较低的退休金来合理规划，独立生活，就成了一个急需解决的社会普遍问题，特别是在中国老龄化社会愈发严重的大背景下，北京的老龄化程度更是达到了全国第四的极高的比例，所以，如何合理运用时间，规划夕阳生活，成了北京的一个重要的难题。
数学建模“养老金”个人解析3
（1）中国的经济不受金融危机的影响
（2）中国经济能保持平稳发展
(3)银行利率保持不变
四、符号说明
:表示养老金
：表示基础养老金
：表示个人账户养老金
：表示个人账户储存额
、 ：表示计发月数
：表示全省上年度在岗职工月平均工资
;表是本人指数化月平均缴费工资
表示缴费年限
：表示本人平均缴费指数
：表示替代率
企业退休职工养老金制度的改革
摘要：本题结合实际，间接地表现出平均工资和养老金的关系，养老金的发放依据退休前一年的平均工资，根据附表1可以用MATLAB拟合函数可以估算出2011～2035年的平均工资。然后根据附件2和附件3按照不同岁数近似地所可领得的养老金和退休前应缴纳的费用。根据题2数据，求退休后所得的养老金总额和退休前所缴纳的保险费用的差值，便可知道缺口状况，如果要使得收支平衡，则可根据退休后n年所领的总养老金比上缴纳的总费用近似等于替代率 ，可求出n，n加上该职工应退休时的岁数可得问题3结果。养老金受很多因素的影响，比如利率，社会的平均工资，但是按总体角度来看，缴费费用和退休年限是两大因素，上缴的年限越长缴费费用越大，养老金越多。
问题三：此题考虑到所退休前缴费的总数额和到75岁时所领养老金总数额的缺口问题，缺口根据退休前从工资缴纳的保险和总共领得到养老金差值可得。如果要使得收支平衡，则可根据退休后n年所领的总养老金比上缴纳的总费用近似等于替代率 ，可求出n，n加上该职工应退休时的岁数可得上述问题结果。
问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，则缴纳的费用足够多，因为所得养老金和缴纳的费用成一定比例，或者延长退休的年限，与上类似，延长退休年限使得所缴的费用增加，以至于使养老金的费用增加。
住房贷款的数学模型
住房贷款的数学模型[摘要]:随着我国改革开放的发展和人民生活水平的提高，人们越来越不满足于只是吃饱、穿暖，而是向更高的目标迈进，房子自然成了人们渴求的目标。
另外，从某种意义上来说，人类文明的进程就是建筑和城市化的过程，从原始洞穴发展到现代摩天大厦，体现了人类的进步。
人类对居所的投资，直接为劳动力的再生产提供了最基本的生活资料，从而直接为社会劳动生产力的延续与发展创造了物质载体。
近几年，我国经济快速发展，社会传统的房屋卖买方式受到较大冲击而日趋缩萎，取而代之的银行按揭贷款买房成为新的购房趋势,并日渐盛行。
这对现代社会的消费及生活所产生的积极意义与便利是不容抹杀。
目前银行提供的贷款期限在一年以上的房屋贷款还款方式一般等额本息还款法、等额本金递减法，等额递增还款法，等额递减还款法，等比递增还款法，等比递减还款法。
面对这些贷款还款方式，如何根据自己的现在及预期未来的收入情况，作出一个合理的还款方案，是每个打算贷款买房的人所必须认真考虑。
在本次购房贷款问题中所列举的案例，王先生计划向银行贷款20万元来买房，并以15年作为还请贷款的期限，在还款过程中，根据银行利率，可采用等额本息还款，等额递增还款法等不同方式，考虑到这些因素，我们运用数学建模的方法，通过建立相关的购房贷款模型，结合实际情况对各种还款方式进行分析比较，从而得出最佳方案。
关键词 : 购房贷款等额本息还款等额递增还款1 问题的提出王先生打算向银行贷款20万人民币买房子，分15年还清，银行的贷款利率是6%／年,在向银行咨询的时候，银行还提到6种还款方法：①等额本息还款法：是指在贷款期内每月以相等的金额平均偿还贷款本息的还款方法；②等额本金递减法：是指在贷款期内每月等额偿还本金，贷款利息随本金逐月递减的还款方法；③等额递增还款法：是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额有一个固定增加额，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法；④等额递减还款法：是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额有一个固定减少额，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法；⑤等比递增还款法：是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额呈一固定比例递增，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法；⑥等比递减还款法：是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额呈一固定比例递减，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法。
数学建模论文 以房养老策略问题
数学建模论文以房养老策略问题,共42页，11787字摘要本文根据现有人口老龄化、死亡等数据，提出一种较为合理的“以房养老”解决方案，建立相应的数学模型，使参与多方的利益得到充分考虑。
随后，通过模型求解，对未来10年后我国以房养老的前景和实施可行性进行分析，并提出合理的政策性建议。
首先，根据通货膨胀、风险贴水等数据，运用数据拟合的方法，估算出固定利率、房屋增长率、实际利率以及根据计算出老人生存率。
针对《中国人寿保险业经验生命表(2000-2003)养老金业务表》没有给出T岁以后的平均余寿的情况，本文提出了平均余寿估算模型。
鉴于附表7没有给出男性72岁以后的平均余寿，本文通过反比例曲线拟合出女性72-105岁的平均余寿曲线，再由已知的男女性0-72岁平均余寿，求出其差值，利用二次曲线拟合出修正函数，从而估算出男性72岁以后的平均余寿。
然后，本文给出一种“以房养老”的解决方案，建立了反向抵押贷款定价模型和保险机构利润模型，利用控制变量法定量分析趸领金额和年金支付的形式下，老人和保险机构各自的利益。
编写MATLAB和C++程序，求出老人和保险机构在趸领金额和年金支付的形式下各方利益，用Excel绘制出各方利益随老人年龄、固定利率、房屋增长率、实际利率以及第1年抵押房屋的价值变化的走势图。
最后，通过各方利益走势图，得出我国“以房养老”前景乐观，可在国内进行逐步推广。
并提出政府应控制固定利率，确保其略大于4%、中央银行在必要时给予保险机构资金援助以及政策支持。
关键字：以房养老反向抵押贷款利益分析建议数学建模论文评阅试卷算法建模，共50页，15022字摘要：本文主要研究了，在论文评审中，由于聘请的评委用于评卷的时间有限，评审费用也是竞赛组委会必须考虑的问题。
面对大量的参赛论文，竞赛组委会在既要保证论文评分的公平又要兼顾评委时间及费用的前提下，常采用尽量保证论文评分公平的折中方法来对论文评分。
对怎样避免人员不同带来的差异以及怎样在保质保量的情况下来折合分数或校正分数，在对所给数据的进行分析后来建立数学模型，建立科学合理评阅试卷的方法。
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A
f
(
x
)
fi x j
xx
Rnn
方程(1)(2)的平衡点x* (3)的平衡点0。
0是(3)的稳定平衡点 x是(1)的稳定平衡点 0是(3)的不稳定平衡点 x是(1)的不稳定平衡点
A Rnn 谱: A 1, ,n
谱半径:
A
max i
kห้องสมุดไป่ตู้
称为A的主特征值 A, A
假设矩阵A可以相似对角化
问题 客户应当如何选择最适合自己的养老金计划？
模型假设
1. 投保时采取月供 p元 方式，退休后逐月领取养老金 q元。
2.投保人在投保后第k个月所交保险费及利息累计总额为Fk, 3.月利率为r，N, M 分别是投保起至停交保险费和至停领
养老金的时间(单位:月).
模型建立
Fk Fk
Fk1(1 r) p, k 1, 2, , N Fk1(1 r) q, k N 1, N 2,
一阶差分方程基础知识
定义：一阶差分方程 xk1 f (xk ), xk Rn , k N 平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的根
平衡点的稳定性
lim
k
xk
x
lim
k
xk
x
x*是稳定平衡点 x*是不稳定平衡点
一阶线性差分方程
xk axk1 b, a,b为常数，且a 1
通解：
xk
稳定性判据
f (x* ) 1 f (x* ) 1
x*是稳定平衡点 x*是不稳定平衡点
表7.1 中国人民银行贷款利率表(1998.12)
贷款期限 半年 一年 三年 五年 五年以上
利率﹪ 6.12 6.39 6.66 7.20
7.56
表7.2上海市商业银行住房抵押贷款利率表
贷款期限 一年 二年 三年 四年 五年
1. 若25岁起投保,届时月养老金2282元; 2. 若35岁起投保,月养老金1056元; 3. 若45岁起投保,月养老金420元。 该保险公司养老金计划所在地男性寿命的统计平均值为75岁
模型求解 1.x600-12.41x180+11.41=0
x=1.00485, r=0.485% 2.x480-6.28x180+5.28=0
模型建立
Ak
1 r
Ak 1
m, r
R ,kN 12
模型求解
Ak
A0 A*
1 r k A*, A* m , k N
r
A12n 0
m
rA0 1 r 12n 1 r 12n 1
模型分析
逐月还款与逐年还款哪种对贷款者更有利？
逐年还款年还款额 m RA0 1 Rn 1 Rn 1
逐月还款与逐年还款总还款额之比
利率﹪ 6.12 6.255 6.390 6.525 6.660
表7.3上海市商业银行住房抵押贷款分期付款表
贷款期限
一年
二年
三年
四年
到期 月还款（元） 一次还清
444.36
305.99
237.26
本息总和（元） 10612.00 10664.54 11015.63 11388.71
五年 196.41 11784.71
12nm
1
1
1 Rn
nm
1
1
1 r
12
n
1
Ak 1 r Ak1 m
A m r
某保险公司的一份材料指出:在每月交费200元至60岁开始领 取养老金的约定下,公司针对男子推出三种养老金计划：
1.若25岁起投保,届时月养老金2282元; 2.若35岁起投保,月养老金1056元; 3.若45岁起投保,月养老金420元。 该保险公司养老金计划所在地男性寿命的统计平均值为75岁
,M
模型求解
Fk Fk
p r
[(1
r)k
1], k
0,1,
,N
FN (1
r)kN
q r
[(1
r)kN
1], k
N
1, N
2,
,M
令x 1 r,由FM 0得
f
x
xM
1
q p
x
M
N
q p
0
某保险公司的一份材料指出:在每月交费200元至60岁开始领 取养老金的约定下,公司针对男子推出三种养老金计划：
记A=f
( x )
fi x j
nn
R nn
1) A 1 x是稳定平衡点
2) A 1 x是不稳定平衡点
一阶线性齐次差分方程非零平衡点稳定性判据
假设 x是xk1 Axk的非零平衡点
A唯一的主特征值是1 x是稳定平衡点 存在不等于1的主特征值 x是不稳定平衡点
一维差分方程
xk1 f (xk ), k N , f : R R
问题
1. 表7.3是如何制定的？
2. 贷款额度是如何确定的？
模型假设
1.以商业贷款10000元为例,贷款采取逐月还贷方式偿还 2.不得提前或延期还贷，即在贷款期限最后一个月还清 3.月利率采用将对应年利率按月平均化方式计算
设n年期贷款年利率为R，月利率为r，共贷款A0元， 贷款后第k个月时欠款余额为Ak元，月还款m元。
cak
x, x
b 1 a
, c为任意常数
a 1
a 1
x*是稳定平衡点 x*是不稳定平衡点
假设一阶差分方程存在平衡点 x*
1 xk1 f (xk ), xk Rn, k N
2 xk1 f (x) f (x)(xk x) 线性近似方程
令yk=xk -x*,则 3 yk1 f (x ) yk
P p1,
,
pn
, P1
p1T
p1T
x p x p / / p , k lim xk
k k 1
p1Tx0 p1
k
Tk
101 1
1
1
结论：
向量xk的结构趋向稳定，其稳定结构与主特征向量平行， 而与初始值无关。
一阶差分方程平衡点稳定性判据
假设 x是xk1 f (xk )的平衡点,f : Rn Rn
x=1.00461, r=0.461% 3.x360-3.1x180+2.1=0
x=1.00413, r=0.413%
主讲人 王峰
Markov Chain(马尔可夫链)
• 系统在每个时刻所处的状态是随机的 • 从一时刻到下一个时刻的状态按一定概率转移 • 下一个时刻的状态只取决于当前时刻状态和转移概率。
已知当前状态，未来状态与过去无关（无后效性）
马氏链 (Markov Chain) ——时间、状态均为离散的随机转移过程
P Rnn , s.t.A PJP1
则J diag 1, ,n 称为A的Jordan标准型
Matlab命令：[P,J] = eig(A)
常系数线性齐次差分方程
xk1 Axk , A Rnn , xk Rn , k N
假设 1 是可对角化矩阵 A 唯一的主特征值
xk Ak x0 PJ k P1x0