高等数学教学教案 函数的极值与最大值最小值
函数的最大值与最小值教案
课题：函数的最大值与最小值 教学目的：⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； ⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤 教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 教学过程：一、复习引入：1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 二、讲解新课： 1.函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． 说明：⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⒉利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值三、讲解范例：例1求函数5224+-=x x y 在区间[]2,2-例2已知x,y 为正实数，且满足22240x x y -+=，求xy例3.设213a <<,函数323()(11)2f x x ax b x =-+-≤≤的最大值为1,最小值为,求常数a,b 例4已知23()log x ax bf x x++=,x ∈(0,+∞).是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由.四、课堂练习：1．下列说法正确的是( )A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2.函数y =f (x )在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ,若M =m ,则f ′(x ) ( ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能3.函数y =234213141x x x ++，在［－1，1］上的最小值为( )A.0B.－2C.－1D.1213 4.函数y =122+-x x x 的最大值为( )。
高等数学教学教案 函数的极值与最大值最小值
§3. 5 函数的极值与最大值最小值授课次序22极大值和函数在区间端点的函数值中最大者. 同理, 函数在闭区间[a , b ]上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者. 最大值和最小值的求法:设f (x )在(a , b )内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , 则比较f (a ), f (x 1), ⋅ ⋅ ⋅ , f (x n ), f (b )的大小, 其中最大的便是函数f (x )在[a , b ]上的最大值, 最小的便是函数f (x )在[a , b ]上的最小值. 例3求函数f (x )=|x 2-3x +2|在[-3, 4]上的最大值与最小值.解 ⎩⎨⎧∈-+-⋃-∈+-=)2 ,1( 23]4 ,2[]1 ,3[ 23)(22x x x x x x x f , ⎩⎨⎧∈+-⋃-∈-=')2 ,1( 32)4 ,2()1 ,3( 32)(x x x x x f 在(-3, 4)内, f (x )的驻点为23=x ; 不可导点为x =1和x =2.由于f (-3)=20, f (1)=0,41)23(=f , f (2)=0, f (4)=6, 比较可得f (x )在x =-3处取得它在[-3, 4]上的最大值20, 在x =1和x =2处取它在[-3, 4]上的最小值0.例4 工厂铁路线上AB 段的距离为100km . 工厂C 距A 处为20km , AC 垂直于AB . 为了运输需要, 要在AB 线上选定一点D 向工厂修筑一条公路. 已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3:5. 为了使货物从供应站B 运到工厂C 的运费最省, 问D 点应选在何处？解 设AD =x (km), 则 DB =100-x , 2220x CD +=2400x +=.设从B 点到C 点需要的总运费为y , 那么 y =5k ⋅CD +3k ⋅DB (k 是某个正数), 即 24005x k y +=+3k (100-x ) (0≤x ≤100).现在, 问题就归结为: x 在[0, 100]内取何值时目标函数y 的值最小. 先求y 对x 的导数: )34005(2-+='x x k y . 2400x CD += 解方程y '=0, 得x =15(km).由于y |x =0=400k , y |x =15=380k ,2100511500|+==k y x , 其中以y |x =15=380k 为最小, 因此当AD =x =15km 时, 总运费为最省.例2' 工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km,A 点到火车站B 的距离为100km. 欲修一条从工厂到铁路的公路CD . 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5. 为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处？解 设AD =x (km), B 与C 间的运费为y , 则y =5k ⋅CD +3k ⋅DB )100(340052x k x k -++=(0≤x ≤100), 其中k 是某一正数. 由)34005(2-+='x x k y =0, 得x =15. 由于y |x =0=400k , y |x =15=380k ,2100511500|+==k y x , 其中以y |x =15=380k 为最小, 因此当AD =x =15km 时, 总运费为最省.DC20km A B 100km。
函数的最大值和最小值教案
函数的最大值和最小值教案一、教学目标1. 理解函数最大值和最小值的概念。
2. 学会使用导数和图像来求解函数的最大值和最小值。
3. 能够应用函数最大值和最小值解决实际问题。
二、教学内容1. 函数最大值和最小值的定义。
2. 利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 利用图像求函数最大值和最小值的方法。
4. 实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数最大值和最小值的概念，求解方法及实际应用。
2. 教学难点：利用导数和图像求解函数最大值和最小值的方法。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解函数最大值和最小值的概念及求解方法。
2. 使用案例分析法分析实际问题中的应用。
3. 利用数形结合法讲解利用图像求解函数最大值和最小值的方法。
五、教学准备1. 教学课件：包含函数最大值和最小值的概念、求解方法及实际应用。
2. 案例分析：选取几个实际问题进行分析。
3. 数形结合：准备函数图像，用于讲解求解方法。
六、教学过程1. 引入新课：通过复习导数的概念和性质，引导学生思考如何利用导数求解函数的最值。
2. 讲解函数最大值和最小值的定义，解释其在数学和实际应用中的重要性。
3. 分步讲解利用导数求解函数最值的方法，包括：a. 确定函数的单调区间b. 找到导数为零的点c. 判断极值点是最大值还是最小值4. 通过案例分析，让学生练习利用导数求解函数最值，并讨论解题过程中的关键步骤。
七、案例分析1. 分析案例一：给定函数f(x) = x^2 4x + 5，引导学生利用导数求解最值。
2. 分析案例二：给定函数g(x) = (x 1)^2 + 3，引导学生利用导数求解最值。
3. 学生分组讨论，分享解题过程和结果，教师点评并总结。
八、图像分析1. 利用计算机软件或板书，绘制函数f(x) = x^2 4x + 5和g(x) = (x 1)^2 + 3的图像。
2. 引导学生观察图像，找出函数的局部最大值和最小值。
3. 解释图像分析与导数求解之间的关系，强调数形结合的重要性。
高中数学教案认识函数的极值和最值
高中数学教案认识函数的极值和最值高中数学教案：认识函数的极值和最值函数的极值和最值是数学中重要的概念，它们在解决实际问题和推导数学定理中起着重要的作用。
本教案将引导学生深入理解函数的极值和最值，并通过具体例子和实际应用展示相关概念的应用。
一、引入在学习函数的极值和最值之前，我们需要先了解函数的基本定义。
函数是一种建立变量之间关系的规则，它可以用来描述实际问题中的变化规律。
函数的极值和最值描述了函数在某一区间内的最大值和最小值。
二、函数的极值1. 局部极值函数在某一区间内的取值达到了局部的最大或最小值，我们称之为局部极值。
局部极大值和极小值统称为局部极值。
例如，函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]内有一个局部极小值0。
2. 极值点在某一函数中，函数取得极值的点称为极值点。
极值点可以通过求导数或观察图像得到。
例如，函数f(x) = x^3的导函数f'(x) = 3x^2。
当f'(x) = 0时，即3x^2 = 0，解得x = 0。
所以函数f(x) = x^3在x = 0处取得极小值。
3. 极值的判断要确定一个函数的极值，我们可以通过求导数和求导数的零点进行判断。
当函数的导数变号时，极值点就出现了。
例如，函数f(x) = x^2在x < 0和x > 0时，导数f'(x) = 2x的符号分别为负和正。
所以在x < 0时，函数f(x) = x^2取得极大值；在x > 0时，函数f(x) = x^2取得极小值。
三、函数的最值1. 最值定义函数在定义域内能够取得的最大值和最小值，称为函数的最大值和最小值。
最大值和最小值统称为最值。
例如，函数f(x) = x^2在整个实数域内没有最大值，但在闭区间[0,+∞)内取得最小值0。
2. 最值点函数取得最值的点称为最值点。
例如，函数f(x) = -x^2 + 4x - 3在x = 2处取得最大值。
3. 最值的判断要确定一个函数的最值，我们可以通过求导数和求导数的零点进行判断。
函数的最大值和最小值教案
函数的最大值和最小值教案一、教学目标1. 让学生理解函数最大值和最小值的概念。
2. 让学生掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 函数最大值和最小值的概念。
2. 利用导数求函数最大值和最小值的方法。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数最大值和最小值的概念，利用导数求函数最大值和最小值的方法。
2. 教学难点：利用导数求函数最大值和最小值的方法。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解函数最大值和最小值的概念。
2. 采用案例分析法，让学生通过实际案例掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 采用练习法，巩固学生对函数最大值和最小值的求解能力。
五、教学准备1. 教学课件。
2. 相关案例题。
3. 粉笔、黑板。
教案内容：一、导入（5分钟）1. 引入函数最大值和最小值的概念。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解函数最大值和最小值的概念。
2. 讲解利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 通过案例分析，让学生理解并掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成相关案例题，巩固所学知识。
四、课堂小结（5分钟）1. 总结本节课所学内容，强调函数最大值和最小值的概念及求解方法。
五、作业布置（5分钟）1. 布置相关作业，巩固学生对函数最大值和最小值的求解能力。
六、教学拓展（10分钟）1. 讲解函数在区间上的最大值和最小值的存在性定理。
2. 介绍利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理证明函数最大值和最小值的存在性。
七、实际应用（10分钟）1. 介绍函数最大值和最小值在实际问题中的应用，如最优化问题、经济管理问题等。
2. 让学生举例说明函数最大值和最小值在实际问题中的应用。
八、课堂互动（10分钟）1. 学生分组讨论：如何求解多元函数的最大值和最小值。
2. 各组汇报讨论成果，教师点评并总结。
九、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结函数最大值和最小值的求解方法。
有关函数的最大最小值的教学教案
有关函数的最大最小值的教学教案一、教学目标1. 让学生理解函数最大值和最小值的概念，掌握函数取得最大值和最小值的判定条件。
2. 培养学生运用函数最值解决实际问题的能力，提高学生的数学建模素养。
3. 引导学生通过合作、探究、交流，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
二、教学内容1. 函数最大值和最小值的概念。
2. 函数取得最大值和最小值的判定条件。
3. 实际问题中函数最值的运用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数最大值和最小值的概念，函数取得最大值和最小值的判定条件。
2. 教学难点：实际问题中函数最值的运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数最值问题。
2. 利用案例分析法，让学生通过实际问题学会运用函数最值解决实际问题。
3. 采用合作学习法，培养学生团队合作和沟通能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生关注函数最值问题。
2. 知识讲解：讲解函数最大值和最小值的概念，阐述函数取得最大值和最小值的判定条件。
3. 案例分析：分析实际问题，让学生学会运用函数最值解决问题。
4. 课堂练习：布置相关练习题，巩固所学知识。
5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
6. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学活动设计1. 小组讨论：让学生分组讨论函数最值在实际生活中的应用，例如最优化问题、成本问题等。
2. 分享成果：每组选取一名代表分享讨论成果，其他组进行评价和补充。
3. 案例研究：选取几个典型的实际问题，让学生运用函数最值进行解决，并展示解题过程。
4. 互动提问：鼓励学生提问，解答学生在学习过程中遇到的问题。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习态度。
2. 练习题：对学生所做的练习题进行批改，评价学生的掌握程度。
3. 小组讨论：评价学生在小组讨论中的表现，包括合作、沟通、解决问题能力等。
函数的最大值和最小值(教案与课后反思
函数的最大值和最小值一、教学目标：1. 让学生理解函数的最大值和最小值的概念。
2. 让学生掌握求函数最大值和最小值的方法。
3. 培养学生解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 函数的最大值和最小值的定义。
2. 求函数最大值和最小值的方法。
3. 实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数的最大值和最小值的定义，求最大值和最小值的方法。
2. 教学难点：如何运用方法求解实际问题中的最大值和最小值。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解函数最大值和最小值的概念及求解方法。
2. 利用案例分析，让学生理解最大值和最小值在实际问题中的应用。
3. 开展小组讨论，培养学生合作解决问题的能力。
五、教学过程：1. 引入新课：通过生活中的例子，如购物时如何选择最划算的商品，引出函数的最大值和最小值的概念。
2. 讲解概念：详细讲解函数的最大值和最小值的定义，让学生明确最大值和最小值的意义。
3. 方法讲解：讲解求函数最大值和最小值的方法，并通过示例进行演示。
4. 案例分析：分析实际问题中的最大值和最小值，让学生了解最大值和最小值在生活中的应用。
5. 小组讨论：让学生分组讨论，运用所学方法解决实际问题。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调最大值和最小值的概念及求解方法。
7. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
课后反思：本节课通过生活中的例子引入最大值和最小值的概念，让学生容易理解。
在讲解方法时，结合示例进行演示，有助于学生掌握。
在案例分析和小组讨论环节，学生能够积极参与，运用所学知识解决实际问题。
但部分学生在理解最大值和最小值的应用时仍有一定难度，需要在今后的教学中加强引导和练习。
六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改和课后访谈等方式，了解学生对函数最大值和最小值概念的理解程度。
2. 评估学生在实际问题中运用最大值和最小值方法的能力。
3. 根据学生的表现，调整教学策略，以提高教学质量。
七、教学拓展：1. 引导学生关注其他类型的函数（如二次函数、指数函数等）的最大值和最小值问题。
函数的极值与最大(小)值(第一课时)(教学设计)
§5.3.2函数的极值与最大（小）值（第一课时）一、内容和内容解析内容：极值的概念，了解函数的极值与导数的关系，运用导数方法求函数极值.内容解析：（1）极值的概念：函数的极值本质反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.教学时可以用高台跳水实例引入函数极值的讨论，先让学生结合实际经验，通过观察图形直观形象的得到“局部最值"的初步想法，通过对比函数的最值，引发学生的认知冲突,使学生认识到“局部最值”不同于函数最值，是一个全新的概念，从而生成函数极值的概念.（2）函数的极值与导数的关系：学生对函数的极值有了初步的了解后，学生就会面临难题，如何利用导数求函数的极值呢？这一部分主要是探究求极值的算法，虽然没有新知识和新概念的生成，但教师在教学中依然要符合学生的认知规律，要让学生认识到利用导数来求极值是通过探究自然而然形成的.先让学生观察函数极值附近两侧的图像变化，认识到函数极值点左右两侧图像变化趋势是相反的.学生知道图象的上升与下降是用单调性来刻画的，而函数单调性又可以用导数来刻画的.从而，学生自然而然地就明白函数的极值可以借助导数来求解.二、目标和目标解析目标：结合函数图像，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值.通过观察具体的函数图像，学生直观感知极值这一概念的生成过程，并积极主动地参与探索函数的极值与导数值变化之间的关系的活动，亲身经历用导数研究极值方法的过程.通过学习，学生体会导数在研究函数性质中的工具性和优越性，掌握极值是函数的局部性质，增强数形结合的意识；通过体会成功，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度；通过规范地表达求函数极值的过程，养成缜密的思维习惯.目标解析：达成上述目标的标志是：能够通过函数图象判断函数的极值点和极值.能够通过导函数的图象判断函数的极值点.能够利用导数研究解一元三次函数的极值.三、教学问题诊断分析1.教学问题一：为何可以利用导数直接判断极值是第一个教学问题，也是教学难点，在没有教师的引导下，导数介入函数的极值中是很难理解.因此，探究的起点应从学生熟悉的公式或概念开始.学生对函数的极值有了初步的了解后，那么困惑产生了：如何求函数的极值呢?2.教学问题二：函数在某点处的导数值为0是可导函数取得极值的必要条件，而非充分条件.这个第二个教学问题，也是教学难点.基于以上分析，确定本节课的教学重难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件，求可导函数的极值的步骤.四、教学策略分析t a =时，运动员距水面的高度h t=a 附近函数导数值的正负性变化，教学时可以采用信息技术工具，放大函数在t a =t=a 的左侧某点处的切线，当切点沿函数图象从t a =的左侧移动至右侧时，切线斜率由正数变到为0，再由0变到负数. 五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图情景 引入观察庐山连绵起伏的图片，思考庐山的山势有什么特点？师生活动：学生间激烈地争论着这个问题，教师再给出这节课要研究的角度，结合苏轼在《题西林壁》中的诗句“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”，描述的是庐山的连绵起伏.由此联想庐山的连绵起伏形成好多的"峰点" 与''谷点"，这就象数学上要研究的函数的极值.将学生从"要我学"被动学习情绪激发到“我要学”的积极主动的学习欲望上来，学生能够自觉地参与课堂教学的过程中来.探究新知[问题1]观察下图，图1和图2，函数在点x a =处的函数值与它附近的函数值之间有什么关系？ayxO[问题2] 观察图像，找出图中的极值点，并说明哪些为极大值点，哪些为极小值点？教师1：提出问题1. 学生1：学生观察分析后发表自己的见解.师生共同总结：函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都大，它是一个局部的概念，不同于函数的最值，为了区分函数的最值，我们要加以新的定义.教师引导学生，给出极大值的概念：函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都大，我们把a 叫做函数()y f x =的极大值点，()f a 叫做函数()y f x =的极大值.学生通过类比，给出极小值的概念：函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，我们把a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值. 教师再强调：让学生将观察分析得到的结论用科学严谨的数学语言表达出来，有利于学生思维从感性层面提升到理性层面，培养归纳概括能力.fed cb O xyay=f'(x )O a b x 1x 2x 3x 4x 5x 6。
高中数学教案函数的极值与最值
高中数学教案函数的极值与最值高中数学教案：函数的极值与最值一、引言函数的极值与最值是数学中重要且常见的概念。
通过求解函数的导数和解方程，我们可以确定函数在特定区间内的极值和最值。
本教案将介绍如何理解和求解函数的极值与最值。
二、概念解释1. 极值：函数在某个区间内取得的最大值或最小值称为极值。
极大值是最大值，极小值是最小值。
2. 最值：函数在整个定义域内取得的最大值或最小值称为最值。
最大值是所有极大值中的最大值，最小值是所有极小值中的最小值。
三、求解过程1. 确定定义域：首先确定函数的定义域，即函数的取值范围。
2. 求导数：对函数进行求导，得到函数的导数表达式。
3. 求导数为零的点：将导数表达式等于零，求解方程，得到导数为零的点，即可能的极值点。
4. 求导数不存在的点：在导数表达式中寻找导数不存在的点，即可能的极值点。
5. 确定极值点：将求解得到的导数为零和导数不存在的点代入原函数，求出对应的函数值。
6. 比较大小：通过比较极值点对应的函数值，确定极大值和极小值。
四、示例教学在具体教学中，可以通过以下步骤和实例来引导学生理解和掌握函数的极值与最值。
步骤一：引入问题利用一个实际问题，例如一个汽车行驶的距离和时间的关系，通过绘制图像或给出函数公式，展示函数的变化趋势，并引出极值和最值的概念。
步骤二：概念解释在引入问题后，对极值和最值进行简单而清晰的解释，帮助学生理解这两个概念的含义，并区分极值和最值之间的区别。
步骤三：求解过程演示通过具体的函数例子，例如二次函数或三角函数，演示求解函数的极值与最值的过程。
引导学生理解每一步骤的目的和意义。
步骤四：学生练习提供一些练习题目，让学生自己应用所学的求解方法，求解给定函数的极值与最值。
逐步增加难度，让学生独立思考和解决问题。
步骤五：总结与巩固结合课堂练习的结果，对函数的极值与最值进行总结，强化学生对这一概念的理解和应用能力。
五、教学评估在教学过程中，可以进行以下一些评估方式：1. 课堂练习：通过课堂练习题目的完成情况，评估学生对函数极值与最值的理解和应用能力。
2022年 《学案5.3.2函数的极值与最大小值》优秀教案
函数的极值与最大小值第1课时函数的极值与导数1．极值点与极值1极小值点与极小值假设函数＝f 在点＝a的函数值f a比它在点＝a附近其他点的函数值都小，f ′a＝0，而且在点＝a附近的左侧f ′＜0，右侧f ′＞0，就把点a叫做函数＝f 的极小值点，f a叫做函数＝f 的极小值．2极大值点与极大值假设函数＝f 在点＝b的函数值f b比它在点＝b附近其他点的函数值都大，f ′b＝0，而且在点＝b附近的左侧f ′＞0，右侧f ′＜0，就把点b叫做函数＝f 的极大值点，f b叫做函数＝f 的极大值．3极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．思考：导数为0的点一定是极值点吗？[提示]不一定，如f ＝3，f ′0＝0，但＝0不是f ＝3的极值点．所以，当f ′0＝0时，要判断＝0是否为f 的极值点，还要看f ′在0两侧的符号是否相反．2．求可导函数＝f 的极值的方法解方程f ′＝0，当f ′0＝0时：1如果在0附近的左侧f ′＞0，右侧f ′＜0，那么f 0是极大值；2如果在0附近的左侧f ′＜0，右侧f ′＞0，那么f 0是极小值．1．判断正误正确的打“√〞，错误的打“×〞1极大值一定比极小值大．2每一个函数都至少有一个极大值或极小值．3假设f ′0＝0，那么0一定是极值点．4单调函数不存在极值．[提示]1极大值不一定比极小值大，∴1错误；2有的函数可能没有极值．∴2错；3假设f ′0＝0，只有导函数的变号零点，0才是极值点，故3错误；4正确．[答案]1×2×3×4√2．函数f 的定义域为R，导函数f ′的图象如下图，那么函数fA．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点C[设＝f ′的图象与轴的交点从左到右横坐标依次为1，2，3，4，那么f 在＝1，＝3处取得极大值，在＝2，＝4处取得极小值．]3．多项选择题以下四个函数中，在＝0处取得极值的函数是A．＝3B．＝2＋1C．＝|| D．＝2BC[对于A，′＝32≥0，∴＝3单调递增，无极值；对于B，′＝2，＞0时′＞0，＜0时′＜0，∴＝0为极值点；对于C，根据图象，在0，＋∞上单调递增，在－∞，0上单调递减，∴C符合；对于D，＝2单调递增，无极值．应选BC]4．函数f ＝＋2co 在错误!上的极大值点为A．0B．错误!C．错误!D．错误!B[f ′＝1－2in ．令f ′＝0，∵∈错误!，∴＝错误!，∈错误!时f ′＜0，∈错误!时，f ′＞0∴＝错误!是f 在错误!上的极大值点．]不含参数的函数求极值【例1】求以下函数的极值：1＝3－32－9＋5；2＝3－52[解]1∵′＝32－6－9，令′＝0，即32－6－9＝0，解得1＝－1，2＝3当变化时，′，的变化情况如下表：－∞，－1－1－1，333，＋∞′＋0－0＋↗极大值↘极小值↗∴当＝－1时，函数＝f 有极大值，且f －1＝10；当＝3时，函数＝f 有极小值，且f 3＝－222′＝32－52＋23－5＝52－3－5．令′＝0，即52－3－5＝0，解得1＝0，2＝3，3＝变化时，′与的变化情况如下表：－∞，000，333，555，＋∞′＋0＋0－0＋↗无极值↗极大值108↘极小值0↗∴＝0不是的极值点；＝3是的极大值点，极大值＝f 3＝108；＝5是的极小值点，极小值＝f 5＝0一般地，求函数＝f的极值的步骤1求出函数的定义域及导数f′；2解方程f′＝0，得方程的根0可能不止一个；3用方程f′＝0的根，顺次将函数的定义域分成假设干个开区间，可将，f′，f 在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；4由f′在各个开区间内的符号，判断f在f′＝0的各个根处的极值情况：如果左正右负，那么函数f在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数f在这个根处取得极小值；如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点[跟进训练]1．求函数f ＝33－3＋1的极值．[解] f ′＝92－3，令f ′＝0，得1＝－错误!，2＝错误!当变化时，f ′，f 的变化情况如下表：错误!－错误!错误!错误!错误!f ′＋0－0＋f ↗极大值↘极小值↗1错误!3错误!错误!＝错误!为函数f ＝33－3＋1的极小值点，极小值为f 错误!＝1－错误!2含参数的函数求极值[思路探究]错误!―→错误!―→错误!―→错误![解]∵f ＝163－2021＋8a2－a3，其中a≠0，∴f ′＝482－40a＋8a2＝862－5a＋a2＝82－a3－a，令f ′＝0，得1＝错误!，2＝错误!①当a＞0时，错误!＜错误!，那么随着的变化，f ′，f 的变化情况如下表：错误!错误!错误!错误!错误!f ′＋0－0＋f ↗极大值↘极小值↗错误!错误!错误!当＝错误!时，函数f 取得极小值，为f 错误!＝0②当a＜0时，错误!＜错误!，那么随着的变化，f ′，f 的变化情况如下表：错误!错误!错误!错误!错误!f ′＋0－0＋f ↗极大值↘极小值↗∴当＝错误!时，函数f 取得极大值，为f 错误!＝0；当＝错误!时，函数f 取得极小值，为f 错误!＝错误!综上，当a＞0时，函数f 在＝错误!处取得极大值错误!，在＝错误!处取得极小值0；当a＜0时，函数f 在＝错误!处取得极大值0，在＝错误!处取得极小值错误!函数极值的注意点1求函数的极值需严格按照求函数极值的步骤进行，重点考虑两个问题：一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如果不在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，假设异号，那么该点是极值点，否那么不是极值点2求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题讨论的依据有两种：一是看参数是否对f′的零点有影响，假设有影响，那么需要分类讨论；二是看f′在其零点附近的符号确实定是否与参数有关，假设有关，那么需要分类讨论[跟进训练]2．假设函数f ＝－a n a∈R，求函数f 的极值．[解]函数f 的定义域为0，＋∞，f ′＝1－错误!＝错误!1当a≤0时，f ′＞0，函数f 在0，＋∞上单调递增，函数f 无极值．2当a＞0时，令f ′＝0，解得＝a当0＜＜a时，f ′＜0；当＞a时，f ′＞0∴f 在＝a处取得极小值，且f a＝a－a n a，无极大值．综上可知，当a≤0时，函数f 无极值；当a＞0时，函数f 在＝a处取得极小值a－a n a，无极大值．由极值求参数的值或取值范围A．4或－3B．4或－11C．4 D．－32假设函数f ＝错误!2＋a－1－a n 没有极值，那么A．a＝－1 B．a≥0C．a＜－1 D．－1＜a＜0[思路探究]1由f ′1＝0且f 1＝，b，注意检验极值的存在条件．2求导分解因式主要对参数分类讨论．按根的大小1C2A[1∵f ＝3＋a2＋b＋a2，∴f ′＝32＋2a＋b由题意得得即错误!解得错误!，或错误!当错误!，时，f ′＝32－6＋3＝3－12≥0，故函数f 单调递增，无极值，不符合题意．∴a＝2f ′＝－1错误!，＞0，当a≥0时，错误!＋1＞0，令f ′＜0，得0＜＜1；令f ′＞0，得＞在＝1处取极小值．当a＜0时，方程错误!＋1＝0必有一个正数解＝－a，①假设a＝－1，此正数解为＝1，此时f ′＝错误!≥0，f 在0，＋∞上单调递增，无极值．②假设a≠－1，此正数解为≠1，f ′＝0必有2个不同的正数解，f 存在2个极值．综上，a＝－]函数极值求参数的方法对于可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号1可导函数的极值求参数问题的解题步骤：①求函数的导数f′；②由极值点的导数值为0，列出方程组，求解参数注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件2对于函数无极值的问题，往往转化为f′≥0或f′≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立[跟进训练]3．假设＝2是函数f ＝－m2的极大值点，求函数f 的极大值．[解]∵f ′＝－m3－m，且f ′2＝0，∴m－2m－6＝0，即m＝2或m＝61当m＝2时，f ′＝－23－2，由f ′＞0得＜错误!或＞2；由f ′＜0得错误!＜＜2∴＝2是f 的极小值点，不合题意，故m＝2舍去．2当m＝6时，f ′＝－63－6，由f ′＞0得＜2或＞6；由f ′＜0得2＜＜6∴＝2是f 的极大值，∴f 2＝2×2－62＝32即函数f 的极大值为321．如何画出函数f ＝23－32－36＋16的大致图象．[提示] f ′＝62－6－36＝62－－6＝6－3＋2．由f ′＞0得＜－2或＞3，∴函数f 的递增区间是－∞，－2和3，＋∞．由f ′＜0得－2＜＜3，∴函数f 的递减区间是－2，3．由得f －2＝60，f 3＝－65，f 0＝16∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f 大致图象如下图．2．当a变化时，方程23－32－36 ＋16＝a有几解？[提示]方程23－32－36＋16＝a解的个数问题可转化为函数＝a与＝23－32－36＋16的图象有几个交点的问题，结合探究点1可知：1当a＞60或a＜－65时，方程23－32－36＋16＝a有且只有一解；2当a＝60或a＝－65时，方程23－32－36＋16＝a有两解；3当－65＜a＜60时，方程23－32－36＋16＝a有三解．【例4】函数f ＝3－3＋aa为实数，假设方程f ＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．[思路探究]求出函数的极值，要使f ＝0有三个不同实根，那么应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围．[解]令f ′＝32－3＝3＋1－1＝0，解得1＝－1，2＝1当0；当－11时，f ′>0所以当＝－1时，f 有极大值f －1＝2＋a；当＝1时，f 有极小值f 1＝－2＋a因为方程f ＝0有三个不同实根，所以＝f 的图象与轴有三个交点，如图．由应有错误!解得－2<a<2，故实数a的取值范围是－2，2．1．改变条件本例中，假设方程f ＝0恰有两个根，那么实数a的值如何求解？[解]由例题知，函数的极大值f －1＝2＋a，极小值f 1＝－2＋a，假设f ＝0恰有两个根，那么有2＋a＝0，或－2＋a＝0，所以a＝－2或a＝22．改变条件本例中，假设方程f ＝0有且只有一个实根，求实数a的范围．[解]由例题可知，要使方程f ＝0有且只有一个实根，只需2＋a＜0或－2＋a＞0，即a＜－2或a＞23．变条件、变结论讨论方程错误!＝a的根的情况．[解]令f ＝错误!，那么定义域为0，＋∞，f ′＝错误!令f ′＝0，得＝e当变化时，f ′与f 的变化情况如下表：因此，＝e是函数f 的极大值点，极大值为f e＝错误!，函数f 没有极小值点．其图象如图．∴当0＜a＜错误!时，错误!＝a有两个不同的根；当a＝错误!或a≤0时，错误!＝a只有一个根；当a＞错误!时，错误!＝a没有实数根．利用导数求函数零点的个数1利用导数可以判断函数的单调性；2研究函数的极值情况；3在上述研究的根底上突出函数的大致图象；4直观上判断函数的图象与轴的交点或两个图象的交点的个数假设含有参数，那么需要讨论极值的正负1．假设函数＝f 在区间a，b内有极值，那么＝f 在a，b内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．2．函数的极值情况，逆向应用确定函数的解析式，研究函数性质时，需注意两点：1常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．2因为函数在一点的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证极值点的合理性．3．函数零点方程根的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：1直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；2别离参数法，先将参数别离，转化成求函数值域问题加以解决；3数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数＝g，＝h的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为＝a，＝g的图象的交点个数问题．1．函数f 的定义域为R，它的导函数＝f ′的局部图象如下图，那么下面结论错误的选项是A．在1，2上函数f 为增函数B．在3，4上函数f 为减函数C．在1，3上函数f 有极大值D．＝3是函数f 在区间[1，5]上的极小值点D[由题图可知，当1＜＜2时，f ′＞0，当2＜＜4时，f ′＜0，当4＜＜5时，f ′＞0，∴＝2是函数f 的极大值点，＝4是函数f 的极小值点，故A，B，C正确，D错误．]2．设函数f ＝e，那么A．＝1为f 的极大值点B．＝1为f 的极小值点C．＝－1为f 的极大值点D．＝－1为f 的极小值点D[令f ′＝e＋·e＝1＋e＝0，得＝－＜－1时，f ′＜0；当＞－1时，f ′＞＝－1时，f 取得极小值．]3．函数f ＝3＋3a2＋3a＋2＋1既有极大值又有极小值，那么实数a的取值范围是________．－∞，－1∪2，＋∞[f ′＝32＋6a＋3a＋2，∵函数f 既有极大值又有极小值，∴方程f ′＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝36a2－36a＋2＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1]4．函数f ＝2e f ′en －错误!，那么函数f 的极大值为________．2n 2[f ′＝错误!－错误!，故f ′e＝错误!－错误!，解得f ′e＝错误!，所以f ＝2n －错误!，f ′＝错误!－错误!由f ′＞0得0＜＜2e，f ′＜0得＞在0，2e单调递增，在2e，＋∞单调递减，故f 的极大值为f 2e＝2n 2e－2＝2n 2]。
函数的最大值与最小值教案
函数的最大值与最小值教案教案：函数的最大值与最小值一、教学目标1.理解函数的最大值与最小值的概念；2.掌握求解函数最大值和最小值的方法；3.能够应用所学知识解决实际问题。
二、教学重难点1.理解函数的最大值与最小值的含义；2.运用导数来确定函数的极值点；三、教学准备1.课件、投影仪；2.板书工具。
四、教学过程Step 1 引入新知1.引出问题：大家知道什么是函数吗？函数在数学中有很多应用，我们今天要了解一个新的概念，函数的最大值与最小值。
2.引导学生思考：你们在实际生活中有遇到过函数的最大值或最小值吗？可以举例说明。
Step 2 基本概念解释1.函数的最大值与最小值：当变量的取值范围为一个区间内时，函数在这个区间内的最大值与最小值分别称为函数的最大值和最小值。
Step 3 寻找函数极值的方法1.导数的作用：导数是函数变化速率的度量。
2.求解函数的极值点：通过求解导数为0或不存在的点来确定函数的极值点。
3.边界值的考虑：将函数定义域的边界值带入函数，与极值点进行比较，确定最大值和最小值。
Step4 理论分析1.什么是极大值和极小值：函数在极值点上取得的最大值和最小值。
2.极值点与导数的关系：导数为0或不存在的点是函数的极值点。
Step5 实例演练1.案例一：已知函数y=x^3-3x+2，求函数在[-2,2]上的最大值和最小值。
Step6 拓展应用1.案例二：一个圆形的围墙，我们要从中间开一个门出去。
怎样选择门的位置，使走出来的路径最短？五、课堂练习1.练习一：已知函数y=2x^3-3x^2-12x+5，求函数在[-3,3]上的最大值和最小值。
2.练习二：一堆火柴棍，可以任意拼成数字。
请问我们可以拼出哪些差值为0的正整数？3.练习三：已知函数y=x^4-4x^3+4x+1，求函数在[-1,3]上的最大值和最小值。
六、总结与展望1.今天我们学习了函数的最大值与最小值的概念和求解方法；2.函数的最大值和最小值在实际生活中有很多应用；3.下节课我们将进一步学习函数的应用领域，如优化问题等。
函数的最大值和最小值教案
函数的最大值和最小值教案第一章：函数最大值和最小值的概念1.1 函数最大值1.2 函数最小值1.3 函数的最大值和最小值的意义第二章：函数的单调性2.1 单调递增函数2.2 单调递减函数2.3 单调性与最大值最小值的关系第三章：一次函数的最大值和最小值3.1 一次函数的图像特征3.2 一次函数的最大值和最小值的求法3.3 实际问题中的应用第四章：二次函数的最大值和最小值4.1 二次函数的图像特征4.2 二次函数的最大值和最小值的求法4.3 实际问题中的应用第五章：分段函数的最大值和最小值5.1 分段函数的定义5.2 分段函数的最大值和最小值的求法5.3 实际问题中的应用本教案旨在帮助学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握求解函数最大值和最小值的方法，并能够将所学知识应用于解决实际问题。
在教学过程中，应注意引导学生通过观察函数图像、分析函数性质来求解最大值和最小值，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
结合具体实例，使学生能够更好地理解函数最大值和最小值在实际问题中的应用。
第六章：利用导数求函数的最值6.1 导数的定义6.2 导数与函数单调性的关系6.3 利用导数求函数的最值第七章：利用基本不等式求最值7.1 基本不等式的概念7.2 基本不等式在求最值中的应用7.3 常见不等式求最值的方法第八章：函数最值在实际问题中的应用8.1 最大利润问题8.2 最小成本问题8.3 最优路径问题第九章：函数最值的计算技巧9.1 换元法9.2 构造法9.3 利用不等式性质求最值10.1 函数最值的重要性质10.3 函数最值在实际问题中的应用案例分析重点和难点解析一、函数最大值和最小值的概念补充说明：理解函数最大值和最小值在数学分析中的重要性，以及它们在实际问题中的应用。
二、函数的单调性补充说明：深入解析单调性如何影响函数的最大值和最小值的求解，以及如何利用单调性进行简化计算。
三、一次函数的最大值和最小值补充说明：详细阐述一次函数图像特征对最大值和最小值求解的影响，以及如何通过图像分析得到答案。
函数的最大值和最小值教案
函数的最大值和最小值教案第一章：引言1.1 课程目标让学生理解函数的概念，掌握函数的最大值和最小值的基本性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
1.2 教学内容本章将介绍函数的最大值和最小值的概念，并通过实例来解释它们的含义和应用。
1.3 教学方法采用讲解和案例分析相结合的方法，引导学生通过观察和思考来理解函数的最大值和最小值的概念。
第二章：函数的最大值和最小值的概念2.1 课程目标让学生理解函数的最大值和最小值的概念，并能够判断一个函数是否存在最大值或最小值。
2.2 教学内容本章将通过具体的例子来介绍函数的最大值和最小值的概念，并解释它们的区别和联系。
2.3 教学方法通过讲解和案例分析，引导学生通过观察和思考来理解函数的最大值和最小值的概念。
第三章：函数的最大值和最小值的求法3.1 课程目标让学生掌握函数的最大值和最小值的求法，并能够运用这些方法解决实际问题。
3.2 教学内容本章将介绍常用的求函数最大值和最小值的方法，包括导数法、图像法和对称轴法等。
3.3 教学方法通过讲解和案例分析，引导学生掌握函数的最大值和最小值的求法，并能够运用这些方法解决实际问题。
第四章：函数的最大值和最小值的应用4.1 课程目标让学生能够运用函数的最大值和最小值的概念和求法解决实际问题，提高解决问题的能力。
4.2 教学内容本章将通过实例来介绍函数的最大值和最小值在实际问题中的应用，如最优化问题、经济问题等。
4.3 教学方法采用案例分析的方法，引导学生通过观察和思考来理解函数的最大值和最小值的应用。
第五章：总结与展望5.1 课程目标让学生总结本章所学的内容，理解函数的最大值和最小值的概念、求法和应用，并能够运用这些知识解决更复杂的问题。
本章将对本章所学的内容进行总结和回顾，并通过思考题来激发学生对函数的最大值和最小值更深入的思考。
5.3 教学方法采用总结和思考题的方式，引导学生对所学内容进行回顾和思考，提高解决问题的能力。
函数的最大值和最小值(教案与课后反思
函数的最大值和最小值教学内容：本节课主要讲解函数的最大值和最小值的概念，以及如何求解函数的最大值和最小值。
教学目标：1. 理解函数的最大值和最小值的概念。
2. 学会使用图像法求解函数的最大值和最小值。
3. 学会使用导数法求解函数的最大值和最小值。
教学准备：1. 教学课件。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数的最大值和最小值的概念。
2. 举例说明函数的最大值和最小值的意义。
二、函数的最大值和最小值的概念（10分钟）1. 讲解函数的最大值和最小值的定义。
2. 给出函数的最大值和最小值的判定条件。
三、图像法求解函数的最大值和最小值（10分钟）1. 讲解图像法求解函数的最大值和最小值的方法。
2. 举例说明图像法求解函数的最大值和最小值的步骤。
四、导数法求解函数的最大值和最小值（10分钟）1. 讲解导数法求解函数的最大值和最小值的方法。
2. 举例说明导数法求解函数的最大值和最小值的步骤。
五、练习题讲解（10分钟）1. 讲解练习题的解题思路。
2. 逐个解答学生提出的疑问。
教学反思：本节课通过讲解函数的最大值和最小值的概念，以及如何求解函数的最大值和最小值，使学生掌握了这一重要知识点。
在教学过程中，采用图像法和导数法两种方法进行讲解，使得学生能够更好地理解和运用。
通过练习题的讲解，巩固了学生所学的知识，并解答了学生提出的疑问。
总体来说，本节课的教学效果较好，学生对函数的最大值和最小值的概念和求解方法有了较为深入的理解。
但在教学过程中，仍需注意引导学生主动思考和探索，提高学生的学习兴趣和参与度。
六、案例分析：实际问题中的最大值和最小值（10分钟）1. 引入实际问题，如成本最小化、收益最大化等。
2. 展示如何将实际问题转化为函数的最大值和最小值问题。
3. 引导学生运用所学的图像法和导数法解决实际问题。
七、练习与讨论：小组合作求解复杂函数的最大值和最小值（15分钟）1. 分配练习题，要求学生以小组合作的形式进行求解。
【教案】函数的极值与最大(最小)值(第3课时)教学设计人教A版(2019)选择性必修第二册
第五章一元函数的导数及其应用《5．3．2函数的极值与最大（小）值》教学设计第3课时◆教学目标1．了解函数极值的概念，会从函数图象直观认识函数极值与导数的关系．2．初步掌握求函数极值的方法．3．体会渗透在数学中的整体与局部的辩证关系．◆教学重难点◆教学重点：求函数极值教学难点：函数极值与导数的关系◆课前准备PPT课件．◆教学过程【新课导入】问题1：阅读课本第89~92页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．预设的答案：（1）本节课主要学习函数的极值；（2）学生已经具有导数概念、导数几何意义、导数计算、函数的单调性等相关的数学概念知识，对函数的单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具有一定的储备．函数的极值与最值是函数的一个重要性质．在学习运用导数判断函数单调性的基础上，研究和学习函数的极值与最值是导数的一个重要应用，注意培养学生数形结合思想、特殊到一般的研究方法，发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养．设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．问题2：在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函的增减．如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？设计意图：通过该问题，引起学生思考，顺利地进入本节课的学习．进一步培养学生学会分析和思考的能力．【探究新知】知识点1：函数的极值问题3：观察图（1），当t a =时，高台跳水运动员距水面的高度最大．那么，函数()h t 在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的正负性有什么变化规律？图（1）图（2）师生活动：学生思考后回答，教师完善．预设的答案：放大t a =附近函数()h t 的图象，如图（2）．可以看出，()0h a '=；在t a =的附近，当t a <时，函数()h t 单调递增，()0h t '>；当t a >时，函数()h t 单调递减，()0h t '<．这就是说，在t a =附近，函数值先增（当t a <时，()0h t '>）后减（当t a >时，()0h t '<）．这样，当t 在a 的附近从小到大经过a 时，()h t '先正后负，且()h t '连续变化，于是有()0h a '=． 设计意图：通过熟悉的例子及图象，逐步引导学生思考导数值为0的点附近函数图象的特点以及导数正负性的变化规律．发展学生的数学抽象、直观想象和数学建模等核心素养． 思考：对于一般的函数()y f x =，是否也有同样的性质呢？问题4：如图，函数()y f x =在x a b c d e =，，，，等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？()y f x =在这些点的导数值是多少？在这些点附近，()y f x =的导数的正负性有什么规律？师生活动：学生认真观察图形后回答，教师完善．预设的答案：以x a b =，两点为例，可以发现，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，()0f a '=；而且在点x a =附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>．类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其他点的函数值都大，()0f b '=；而且在点x b =附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<．教师总结：我们把a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．设计意图：通过特例，体会导数与函数极值之间的关系，发展学生直观想象、数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养． 结论：(1)极小值点与极小值若函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，就把点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值． (2)极大值点与极大值若函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，就把点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质．【练一练】函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点 师生活动：学生讨论后回答，教师完善．预设的答案：设y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点从左到右横坐标依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则f (x )在x ＝x 1，x ＝x 3处取得极大值，在x ＝x 2，x ＝x 4处取得极小值．即答案为B. 问题5：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？师生活动：学生分组讨论，每组派一代表发言，教师完善．预设的答案：导数值为0的点不一定是函数的极值点．例如，对于函数3()f x x =，我们有2()3f x x '=．虽然(0)0f '=，但由于无论0x >，还是0x <，恒有()0f x '>，即函数3()f x x =是增函数，所以0不是函数3()f x x =的极值点．一般地，对于可导函数()y f x =在一点的导数值为0是函数()y f x =在这点取极值的必要条件，而非充分条件．设计意图：通过寻找特例，让学生明白对于可导函数来说，导数值为0的点与该点为极值点之间的关系．同时让学生明白，极值不是可导函数的特有的．发展学生数学抽象的核心素养． 问题5：极大值一定大于极小值吗？师生活动：学生分组讨论，每组派一代表发言，教师完善． 预设的答案：如图是函数1()sin 2f x x x =-的部分图象，由图可知，函数1()sin 2f x x x =-在73x =π处的极小值大于在点73x =-π处的极大值．设计意图：通过该例，让学生不要产生极大值一定大于极小值的错误想法．【巩固练习】例1 求函数31()443f x x x =-+的极值．师生活动：学生分组讨论，每组派一代表发言，教师完善．预设的答案：因为31()443f x x x =-+，所以2()4(2)(2)f x x x x =-=+-'．令()0f x '=，解得2x =-或2x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示．x (2)-∞-，2-(22)-，2 (2)+∞，()f x '＋ 0 － 0 ＋()f x单调递增 283单调递减 43- 单调递增因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为28(2)3f -=；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为4(2)3f =-．设计意图：通过典型例题的分析和解决，帮助学生掌握运用导数求函数极值的一般方法，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养． 方法总结：一般地，可按如下方法求函数()y f x =的极值： 解方程()0f x '=，当0()0f x '=时：（1）如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么0()f x 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么0()f x 是极小值． 例2求函数y ＝x 3(x －5)2的极值：师生活动：学生分组讨论，每组派一代表发言，教师完善． 预设的答案：y ′＝3x 2(x －5)2＋2x 3(x －5)＝5x 2(x －3)(x －5)． 令y ′＝0，即5x 2(x －3)(x －5)＝0，解得x 1＝0，x 2＝3，x 3＝5．当x 变化时，y ′与y 的变化情况如下表：x (－∞，0) 0 (0，3) 3 (3，5) 5 (5，＋∞) y ′ ＋＋0 －0 ＋y↗无极值↗极大值 108↘ 极小值0↗∴x ＝0不是y 的极值点；x ＝3是y 的极大值点，y 极大值＝f (3)＝108； x ＝5是y 的极小值点，y 极小值＝f (5)＝0．设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．方法总结：一般地，求函数()y f x =的极值的步骤 （1）求出函数的定义域及导数f ′（x ）；（2）解方程f ′（x ）＝0，得方程的根x 0可能不止一个；（3）用方程f ′（x ）＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x ，f ′（x ），f （x ）在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；（4）由f ′（x ）在各个开区间内的符号，判断f （x ）在f ′（x ）＝0的各个根处的极值情况： 如果左正右负，那么函数f （x ）在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么函数f （x ）在这个根处取得极小值； 如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点． 练习：教科书P 92练习1、2【课堂总结】1．板书设计：5．3．2 函数的极值与最大（小）值（第1课时）新知探究巩固练习 知识点1：函数的极值例1例22．总结概括：函数的极值的有关定义；求函数()y f x =极值的方法和步骤． 师生活动：学生总结，老师适当补充．3．课堂作业：教科书P 98习题5．34、5 【目标检测设计】1．设函数()e (1)(2)x f x x x =--，则( ) A ．()f x 的极大值点在()1,0-内 B ．()f x 的极大值点在()0,1内 C ．()f x 的极小值点在()1,0-内D ．()f x 的极小值点在()0,1内设计意图：进一步巩固利用导数求函数的极值的步骤和方法，以及函数零点存在定理．2．已知函数()()3261f x x mx m x =++++既存在极大值，又存在极小值，则实数m 的取值范围是( ) A ．()1,2-B ．(),36,()⋃-∞-+∞C ．()3,6-D ．(),12,)(⋃-∞-+∞设计意图：进一步巩固利用导数求函数极值的方法以及方程有解问题的处理方法． 3．求函数y ＝x 3－3x 2－9x ＋5的极值．设计意图：进一步巩固利用导数求函数的极值的步骤和方法． 参考答案：1．A 依题意()()22()e 32,()e 1x x f x x x f x x x '=-+=--，令)'(0f x =，解得15x ±=．当15x -<或15x +>时，)'(0f x >1515x -+<<时，)'(0f x <，故函数()f x 在15(1,0)x -=-时取得极大值，在151x +=>时取得极小值．故选A ． 2．B32()(6)1f x x mx m x =++++，2()32'6f x x mx m ∴=+++，函数()f x既存在极大值，又存在极小值，∴导函数'()f x有两个不相等的变号零点，2412(6)0m m∴∆=-+>，即23180m m-->，解得3m<-或6m>．∴实数m的取值范围是(,3)(6,)-∞-⋃+∞．故选B．3．解：(1)∵y′＝3x2－6x－9，令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3．当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)y′＋0－0＋y ↗极大值↘极小值↗当x＝3时，函数y＝f (x)有极小值，且f (3)＝－22．。
高等数学教学教案函数的极值与最大值最小值
高等数学教学教案函数的极值与最大值最小值§3. 5 函数的极值与最大值最小值授课次序22极大值和函数在区间端点的函数值中最大者. 同理, 函数在闭区间[a , b ]上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者. 最大值和最小值的求法:设f (x )在(a , b )内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为x 1,x 2, ? ? ? , x n , 则比较f (a ), f (x 1), ? ? ? , f (x n ), f (b )的大小, 其中最大的便是函数f (x )在[a , b ]上的最大值, 最小的便是函数f (x )在[a , b ]上的最小值. 例3求函数f (x )=|x 2-3x +2|在[-3, 4]上的最大值与最小值.解∈-+-?-∈+-=)2 ,1( 23]4 ,2[]1 ,3[ 23)(22x x x x x x x f , ∈+-?-∈-=')2 ,1( 32)4 ,2()1 ,3( 32)(x x x x x f 在(-3, 4)内, f (x )的驻点为23=x ; 不可导点为x =1和x =2.由于f (-3)=20, f (1)=0,41)23(=f , f (2)=0, f (4)=6, 比较可得f (x )在x =-3处取得它在[-3, 4]上的最大值20, 在x =1和x =2处取它在[-3, 4]上的最小值0.例4 工厂铁路线上AB 段的距离为100km . 工厂C 距A 处为20km , AC 垂直于AB . 为了运输需要, 要在AB 线上选定一点D 向工厂修筑一条公路. 已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3:5. 为了使货物从供应站B 运到工厂C 的运费最省, 问D 点应选在何处？解设AD =x (km), 则 DB =100-x , 2220x CD +=2400x +=.设从B 点到C 点需要的总运费为y , 那么 y =5k ?CD +3k ?DB (k 是某个正数), 即 24005x k y +=+3k (100-x ) (0≤x ≤100).现在, 问题就归结为: x 在[0, 100]内取何值时目标函数y 的值最小. 先求y 对x 的导数: )34005(2-+='x x k y . 2400x CD += 解方程y '=0, 得x =15(km).由于y |x =0=400k , y |x =15=380k ,2100511500|+==k y x , 其中以y |x =15=380k 为最小, 因此当AD =x =15km 时, 总运费为最省.例2' 工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km,A 点到火车站B 的距离为100km. 欲修一条从工厂到铁路的公路CD . 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5. 为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处？解设AD =x (km), B 与C 间的运费为y , 则y =5k ?CD +3k ?DB )100(340052x k x k -++=(0≤x ≤100), 其中k 是某一正数. 由)34005(2-+='x x k y =0, 得x =15. 由于y |x =0=400k , y |x =15=380k ,2100511500|+==k y x , 其中以y |x =15=380k 为最小, 因此当AD =x =15km 时, 总运费为最省.DC20km A B 100km。
函数的最大值与最小值(高数) 教学设计
教学设计课程名称：高等数学参赛教师：时间： 20XX年10月教学设计方案学习任务名称函数的最大值和最小值专业机制教学对象13级机械制造与自动化专业设计者课时2课时一、教材内容分析《高等数学》是一门满足高职教育发展需要同时结合我院教学特点的适应于工程类、经济类以及理工类各专业的重要公共基础理论课，为和谐社会的进步和发展培养创新型高级适应性人才服务。
本课程以“深化概念，加强计算，注重应用，提高素质”为特色，充分体现了“以应用为目的，以必须够用为度”的原则；通过本课程的学习，主要是培养学生运用数学来分析、解决实际问题的数学能力，为后续各课程的学习奠定较好的数学基础，形成一定的数学思想。
使学生成为综合能力强，素质全面，能更好地适应未来发展需求的高级应用型人才。
本次课程主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，它是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值”，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题．这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义．二、学习者特征分析1、教学对象是20XX级机制等专业高职班学生，共87人。
2、该班学生是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值”，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？3、该班学生人数多，性格外向，大多数学生都有较强的表现欲望，但数学语言表达书写能力需要进一步提高。
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§3. 5 函数的极值与最大值最小值
授课次序22
极大值和函数在区间端点的函数值中最大者. 同理, 函数在闭区间[a , b ]上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者. 最大值和最小值的求法:
设f (x )在(a , b )内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , 则比较
f (a ), f (x 1), ⋅ ⋅ ⋅ , f (x n ), f (b )
的大小, 其中最大的便是函数f (x )在[a , b ]上的最大值, 最小的便是函数f (x )在[a , b ]上的最小值. 例3求函数f (x )=|x 2-3x +2|在[-3, 4]上的最大值与最小值.
解 ⎩⎨⎧∈-+-⋃-∈+-=)2 ,1( 23]4 ,2[]1 ,3[ 23)(22x x x x x x x f , ⎩⎨⎧∈+-⋃-∈-=')2 ,1( 32)4 ,2()1 ,3( 32)(x x x x x f 在(-3, 4)内, f (x )的驻点为2
3=x ; 不可导点为x =1和x =2.
由于f (-3)=20, f (1)=0,41)23(=f , f (2)=0, f (4)=6, 比较可得f (x )在x =-3处取得它在[-3, 4]上的最
大值20, 在x =1和x =2处取它在[-3, 4]上的最小值0.
例4 工厂铁路线上AB 段的距离为100km . 工厂C 距A 处为20km , AC 垂直于AB . 为了运输需要, 要在AB 线上选定一点D 向工厂修筑一条公路. 已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3:5. 为了使货物从供应站B 运到工厂C 的运费最省, 问D 点应选在何处？
解 设AD =x (km), 则 DB =100-x , 2220x CD +=2400x +=.
设从B 点到C 点需要的总运费为y , 那么 y =5k ⋅CD +3k ⋅DB (k 是某个正数), 即 24005x k y +=+3k (100-x ) (0≤x ≤100).
现在, 问题就归结为: x 在[0, 100]内取何值时目标函数y 的值最小. 先求y 对x 的导数: )34005(2
-+='x x k y . 2400x CD += 解方程y '=0, 得x =15(km).
由于y |x =0=400k , y |x =15=380k ,21005
1
1500|+
==k y x , 其中以y |x =15=380k 为最小, 因此当AD =x =15km 时, 总运费为最省.
例2' 工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km,A 点到火车站B 的距离为100km. 欲修一条从工厂到铁路的公路CD . 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5. 为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处？
解 设AD =x (km), B 与C 间的运费为y , 则
y =5k ⋅CD +3k ⋅DB )100(340052x k x k -++=(0≤x ≤100), 其中k 是某一正数. 由)34005(
2
-+='x x k y =0, 得x =15. 由于y |x =0=400k , y |x =15=380k ,21005
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1500|+==k y x , 其中以y |x =15=380k 为最小, 因此当
AD =x =15km 时, 总运费为最省.
D
C
20km A B 100km。