关于高等数学等价无穷小替换极限的计算
常用的等价无穷小替换公式
常用的等价无穷小替换公式在微积分中，等价无穷小替换公式是一种常用的方法，用于求解极限问题。
通过将一个复杂的函数替换为一个等价的简单函数，可以简化计算过程并得到更加精确的结果。
本文将介绍一些常用的等价无穷小替换公式，并说明它们的应用场景。
1. sin(x) ≈ x当 x 趋向于 0 时，可以使用sin(x) ≈ x 进行等价无穷小替换。
这个公式可以用于求解诸如lim(x→0) sin(x)/x 的极限问题。
通过将sin(x) 替换为 x，可以将原问题转化为求解常数的极限，简化计算过程。
2. tan(x) ≈ x当 x 趋向于 0 时，可以使用tan(x) ≈ x 进行等价无穷小替换。
这个公式可以用于求解诸如lim(x→0) tan(x)/x 的极限问题。
通过将tan(x) 替换为x，可以将原问题转化为求解常数的极限，简化计算过程。
3. e^x - 1 ≈ x当 x 趋向于 0 时，可以使用 e^x - 1 ≈ x 进行等价无穷小替换。
这个公式可以用于求解诸如lim(x→0) (e^x - 1)/x 的极限问题。
通过将e^x - 1 替换为x，可以将原问题转化为求解常数的极限，简化计算过程。
4. ln(1 + x) ≈ x当 x 趋向于 0 时，可以使用ln(1 + x) ≈ x 进行等价无穷小替换。
这个公式可以用于求解诸如lim(x→0) ln(1 + x)/x 的极限问题。
通过将 ln(1 + x) 替换为 x，可以将原问题转化为求解常数的极限，简化计算过程。
5. (1 + x)^n ≈ 1 + nx当 x 趋向于 0 时，可以使用(1 + x)^n ≈ 1 + nx 进行等价无穷小替换。
这个公式可以用于求解诸如lim(x→0) ((1 + x)^n - 1)/x 的极限问题。
通过将 (1 + x)^n 替换为 1 + nx，可以将原问题转化为求解常数的极限，简化计算过程。
6. sin(x) ≈ x - x^3/6当 x 趋向于 0 时，可以使用sin(x) ≈ x - x^3/6 进行等价无穷小替换。
2019年27利用等价无穷小量代换求极限.ppt
设 lim , 则 lim 0 , 即 a 0 的情形, 于是 lim 0 , 故 lim .
综上所述,
lim lim .
2. 定理
定理
设在某极限过程中, ~ , z 是该极
限过程中的第三个变量. 若 lim z a , ( 或为 ), 则
x
2 n 1
sin
x cos( a bx )
练习题答案
3 一、1、 ； 2
0, m n 2、1, m n ；3、2； , m n
a 6、 ； n
2、e ；
； 4、
5、 x ；
7、3；
1 8、 , 2. 2
1 二、1、 ； 2
2 3、 ； 4、sec a .
例
2 求 lim x ln1 3 x x
2
解
Байду номын сангаас
2 2 2 lim x ln1 3 lim x 3 x x x x
2
2 lim 0 x x
例
tan x sin x 求 lim . 3 x 0 sin 2 x
x x 原式 lim 3 0. x 0 (2 x )
例7
ln 1 x 2 sin x 求 lim x 0 tan x
ln 1 x 2 sin x lim x 0 tan x 1 ln(1 x) 2 sin x 2 lim lim x 0 tan x x 0 tan x
解
1 x 2x 1 2 lim lim 2 x0 x x 0 x 2
3 故 a . 2
1 2 3
等价无穷小的替换公式
等价无穷小的替换公式
等价无穷小是微积分中一个重要的概念，它是指当自变量趋近于某个值时，与之相比可忽略不计的函数值。
在求极限、微分、积分等运算中，经常会用到等价无穷小的概念和替换公式。
常见等价无穷小替换公式包括：
1. 当x趋近于0时，sin(x)与x等价，cos(x)-1与-x/2等价。
2. 当x趋近于无穷大时，e^x与其它无穷大同阶，x与x^2同阶，ln(1+x)与x同阶。
3. 当x趋近于a时，(x-a)^n与0同阶，cos(x)-cos(a)与
-(x-a)sin(a)同阶，sin(x)-sin(a)与(x-a)cos(a)同阶。
在使用等价无穷小替换公式时，需要注意函数间的等价性应该是“当x趋近于某一值时”，而非在整个定义域内等价。
同时，在使用无穷小替换公式时，需判断其是否满足极限的条件。
总之，等价无穷小替换公式是微积分中常用的工具，可以简化运算过程，但在使用时需要注意细节，确保得到的结果正确。
- 1 -。
用等价无穷小代换求幂指函数的极限
Science &Technology Vision 科技视界1问题提出在大学高等数学中,对于幂指函数求极限的问题,共有两处提到,包括重要极限和洛必达法则。
但是,关于等价无穷小代换求幂指函数极限的问题大多都没有特别讲解。
一般得,只针对于分式型的函数如何用等价无穷小代换求极限做了讲解。
在教学过程中,有学生在一开始的学习中就遇到较为复杂的幂指函数求极限的问题,就不知道如何计算了。
课本中有一道极限求解题目,具体如下:lim x →0(1+tan x 1+sin x)1x这是一个典型的1∞型的幂指函数求极限问题。
大多数学生在这里第一反应就是用重要极限来求解,但此题用重要极限不太容易看出来。
如果了解等价无穷小的相关定理,那么这道题就迎刃而解了。
鉴于此种情况,本文在前人研究的基础上,总结了幂指函数的求极限的方法,着重提出了等价无穷小求解幂指函数极限的看法。
2幂指函数求极限的其他方法幂指函数的极限类型很多,有确定型和不定式之分。
对于确定型的幂指函数可以直接底数与指数求极限。
而对于不定式型的幂指函数,通常采用重要极限和洛必达法则两种方法。
2.1重要极限对1∞型的幂指函数极限问题,考虑利用重要极限lim x →∞(1+1x )x =e及其变形公式lim x →0(1+x )1x=e 求极限。
例1求极限lim x →0(cos x )csc 2x .解:lim x →0(cos x )csc 2x =lim x →0[1+(cos x -1)]1sin 2x=lim x →0[1+(cos x -1)]1cos x -1·cos x -1sin x=elim-12x x=e-122.2洛必达法则另外,对00型,∞0型,1∞型幂指函数的极限,可以通过将幂指函数化为对数恒等式y=e ln y 的形式,转换为00型或∞∞型不定式,然后再利用洛必达法则进行求解。
例2求极限lim x →∞(1+a x)x .解:lim x →∞(1+a x )x =lim x →∞ex ln(1+a x)=elimln(1+a x )1x因为lim x →∞(1+a x)=0,lim x →∞1x =0由洛必达法则,得:lim x →∞(1+a x)x=e lim[ln(1+a x )]′(1x)′=elim axx+a=ea3用等价无穷小代换求幂指函数的极限幂指函数00型,∞0型,1∞型这三种类型不定式的求极限问题,除了运用前两种方法外,还可以使用等价无穷小的代换。
例析等价无穷小代换求极限的方法
例析等价无穷小代换求极限的方法微积分是数学中的一个重要的分枝。
就整个数学体系来说,基础数学部分是根,各种名目繁多的数学种类是枝叶,而微积分就是这棵大树的主干部分。
微积分由微分、积分两部分组成,微分是无限细分的思想,积分是无限累积的思想,而极限就体现了无限的思想。
极限是微积分的思想基础,所以是微积分的重要部分。
求极限就成为了学习微积分重要的学习过程。
在求极限的各种方法中,用等价无穷小量的代换来求一些复杂的极限是一种重要的方法。
用无穷小量代换来求极限的方法在许多高职高专教材中介绍的都不全面,学生在学习的过程中总有许多的疑惑,本人从事多年的高等数学教学工作,所以把多年在这一方面的经验做一总结。
对教材中的不足做一些补充,同时也可给学生的学习提供一个参考。
无穷小量是指在变化过程中极限为0的变量,而等价无穷小量是指在变化过程中比值极限为1的两个无穷小量,常用的等价无穷小量有:当时,,,, 恰当利用等价无穷小代换求极限,可大大简化计算。
那么无穷小量代换都可以怎样应用呢？在高职高专教材中,有些只提到等价无穷小量在求极限的过程中可以代换,却没有说明什么情况可以应用,什么情况不可以应用。
或者有的教材就说明只有在积商因子中可以应用,这都是不全面和严密的。
下面就各种情况意义说明。
1 极限式中只有积商因子的等价无穷小之间可以代换定理1:设是同一变化过程中的无穷小量,且,,若存在,则有证明:例如:求解:当时,推论1:设是同一变化过程中的无穷小量,且,若存在,则有例如:求解:当时,推论2:设是同一变化过程中的无穷小量,且,若存在,则有,例如:2 当极限式中不只含有积商因子还含有加减因子时不可以直接代换,但可以这样运用等价无穷小进行代换定理2:设是同一变化过程中的无穷小量,且则∴例如:求解:定理3:设是同一变化过程中的无穷小量,且若则∴例如:求解:当时,3 学生运用等价无穷小代换时的典型错误例如:代换时没有注意到定理3中要求的,本题中因为,所以不能直接应用定理3,应把加减因子化成积商因子代换。
大学高等数学等价无穷小
这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。
其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。
1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。
如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。
关键要记住道理lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。
2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。
f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看：f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。
当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。
比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。
但是如果碰到ln(1+x)-x，那么ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。
此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。
碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似：ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)那么ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。
也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。
常用的等价无穷小替换公式
常用的等价无穷小替换公式一、什么是无穷小在微积分中，我们常常会遇到无穷小的概念。
无穷小是指当自变量趋于某个值时，相应的函数值趋近于零的量。
在数学中，无穷小通常用符号“ε”或“δ”表示。
二、常见的等价无穷小替换公式在处理极限问题时，我们常常会用到等价无穷小替换公式，这些公式能够将复杂的极限问题转化为简单的计算。
下面是一些常见的等价无穷小替换公式：1. 当x趋于零时，sin(x)与x等价。
这个公式可以简化一些含有三角函数的极限问题。
例如，当x趋于零时，lim(x→0) sin(x)/x = 1。
2. 当x趋于零时，tan(x)与x等价。
这个公式可以简化一些含有切线函数的极限问题。
例如，当x趋于零时，lim(x→0) tan(x)/x = 1。
3. 当x趋于零时，ln(1+x)与x等价。
这个公式可以简化一些含有对数函数的极限问题。
例如，当x趋于零时，lim(x→0) ln(1+x)/x = 1。
4. 当x趋于无穷大时，e^x与x^n等价。
这个公式可以简化一些指数函数和幂函数的极限问题。
例如，当x 趋于无穷大时，lim(x→∞) e^x/x^n = ∞，其中n为任意正整数。
5. 当x趋于无穷大时，sinh(x)与e^x等价。
这个公式可以简化一些双曲函数和指数函数的极限问题。
例如，当x趋于无穷大时，lim(x→∞) sinh(x)/e^x = 1。
6. 当x趋于无穷大时，(1+1/x)^x与e等价。
这个公式可以简化一些含有指数函数的极限问题。
例如，当x趋于无穷大时，lim(x→∞) (1+1/x)^x = e。
以上只是一些常见的等价无穷小替换公式，它们在求极限的过程中起到了重要的作用。
通过使用这些公式，我们可以将复杂的极限问题简化为易于计算的形式。
三、等价无穷小替换公式的应用举例下面通过一些具体的例子来展示等价无穷小替换公式的应用。
例一：求极限lim(x→0) sin(3x)/x。
根据等价无穷小替换公式1，我们知道sin(3x)与3x等价，所以极限可以简化为lim(x→0) 3x/x = 3。
等价无穷小函数求极限
等价无穷小求函数极限1绪论1.1研究背景和意义极限的概念是微积分学重要概念之一，是微积分学的基础。
现有的极限问题的求解方法主要有以下几种: 定义法、利用两个重要极限、利用等价无穷小、函数极限四则运算和洛必达法则。
函数极限是描述函数变化趋势的重要概念，是从近似认识精确、从有限认识无限、从量变认识质变的一种数学方法。
其中，运用等价无穷小来替换函数中的无穷小因子是求函数极限中一种非常普遍、非常快捷的方法，由于这一方法运用起来比较方便，并且能在很大程度上简化计算。
虽说无穷小量分离、约零因子、利用重要极限、罗比达法则等常用求极限的方法都有其自身的价值，但等价无穷小代换求极限以其快捷、简便、适用性强等优点成为一类代表算法,用它可以求解某些用其他方法难以求解的极限问题，使之化繁为简，化难为易。
等价无穷小是高等数学中最基本的概念之一，同时又是高等数学的重要组成部分，因此它的应用的深入发展对于数学的发展具有及其深远的意义。
研究等价无穷小量在求极限中的应用,有助于人们更系统，更全面的认识等价无穷小量在数学计算中的作用。
等价无穷小量做代换是计算极限的一种常用、方便、有效的方法,用它可以求到某些用其它方法难以求到的极限问题,达到化繁为简目的。
生产和实验的很多计算过程中的变量都可以用等价无穷小来替换,从而简化计算。
等价无穷小可以把繁琐的实际问题化为一种简单的形式，从而引导人们用更简便的方法解决实际问题。
用等价无穷小求极限是高等数学中的一个重要工具，它在生活中的应用是理论和实际相联系的强有力的纽带。
因此，等价无穷小在函数求极限的问题中具有十分重要的应用，本文中将对等价无穷小函数求极限的方法进行研究，并通过实例对方法进行介绍。
等价无穷小量代换是指在极限运算过程中，将一些无穷小量用与其等价的无穷小量来替代，从而达到简化计算的目的。
利用等价无穷小量求极限，只对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代替，而对极限式中的相加或相减部分则说明不能随意替代。
无穷小等价替换公式
无穷小等价替换公式在数学中，无穷小是一种极限的概念，指的是当自变量趋于其中一值时，相应的函数值无限接近于零的量。
无穷小等价替换则是指当无穷小之间相互替换时，它们可以在一些操作下被视为等价的。
下面详细介绍无穷小等价替换公式及其应用。
一、无穷小等价替换公式的基本概念1. 定义：设f(x)和g(x)是x趋于a时的无穷小，如果lim(x→a) [f(x)/g(x)] = 1，则称f(x)与g(x)是等价无穷小。
2.等价无穷小的性质：设f(x)和g(x)是x趋于a时的等价无穷小，则有以下性质：-基本性质：f(x)±g(x)也是x趋于a时的等价无穷小；-符号性质：当f(x)为正无穷小时，g(x)也为正无穷小，反之亦然；-乘法性质：f(x)g(x)也是x趋于a时的等价无穷小；-除法性质：f(x)/g(x)也是x趋于a时的等价无穷小。
1.x趋于零时的等价无穷小：-当n为正整数时，x的n次幂x^n是x趋于0时的等价无穷小；-当n为正整数时，x的n次方根x^(1/n)也是x趋于0时的等价无穷小；- sin(x)、tan(x)、arcsin(x)、arctan(x)等三角函数在x趋于0时都是等价无穷小。
2.无穷大替换为无穷小：-当x趋于无穷时，常数C是x趋于无穷时的等价无穷小；-当x趋于无穷时，指数函数a^x是x趋于无穷时的等价无穷小；- 当x趋于无穷时，对数函数log_a(x)是x趋于无穷时的等价无穷小。
三、无穷小等价替换公式的应用范围1.极限计算：在计算极限时，可以利用等价无穷小替换掉原函数中的无穷小项，从而将复杂的问题简化为计算等价无穷小的极限问题。
2.微分方程：在研究微分方程的解时，可以将微分方程转化为等价的无穷小方程，从而更容易求解。
3.泰勒展开：在进行泰勒展开时，可以用等价无穷小替代高阶无穷小，从而简化泰勒展开的计算过程。
4.渐近线研究：在研究函数的渐近线时，可以用等价无穷小替代函数中的无穷大项，从而找到函数的渐近线方程。
高等数学,求极限时等价无穷小替换的问题
高等数学,求极限时等价无穷小替换的问题
在高等数学中，求极限时等价无穷小替换是一个重要的问题。
求极限时，我们常常需要将一个无穷小量替换为另一个无穷小量，来使得求极限更容易。
例如，对于函数y = f(x)，当x 趋近于a 时，我们可以用(x-a) 替换x，以便更好地求函数在x = a 时的极限。
另一个例子是，对于函数y = f(x)，当x 趋近于a 时，我们可以用1/(x-a) 替换1/x，以便更好地求函数在x = a 时的极限。
这些替换是有技巧的,需要经过分析和理解函数行为来进行替换.
等价无穷小替换是指将一个无穷小量替换为另一个无穷小量，使得求极限变得更容易。
这需要对函数的性质和行为有很好的理解，并能够运用数学知识进行分析。
替换的关键在于要使用与原函数类似的函数，这样才能确保等价性。
例如，对于函数y = 1/x，当x 趋近于a 时，我们可以用1/(x-a) 替换1/x，因为当x 趋近于a 时，两个函数的行为是相似的。
同样的，对于函数y = (x-a)^n,当x 趋近于a 时，我们可以用(x-a) 替换(x-a)^n，因为当x 趋近于 a
时，两个函数的行为是相似的。
通过这种替换方法,我们可以更容易地求出函数在某一点的极限值,或者是说更容易地判断函数是否存在极限.。
等价无穷小的替换公式
等价无穷小的替换公式等价无穷小的替换公式是微积分中非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和计算极限。
在本文中，我们将介绍等价无穷小的替换公式及其应用。
我们来看一下等价无穷小的定义。
在微积分中，当一个函数f(x)在x趋近于某个数a时，如果它的极限为0，那么我们称f(x)是a处的一个无穷小。
如果另一个函数g(x)在x趋近于a时也是无穷小，并且f(x)和g(x)的极限相等，那么我们称f(x)和g(x)是等价无穷小。
接下来，我们来看一下等价无穷小的替换公式。
假设f(x)和g(x)是等价无穷小，那么在计算极限时，我们可以用g(x)来替换f(x)，即lim f(x) = lim g(x)。
这个公式的意义在于，当x趋近于a时，f(x)和g(x)的差距越来越小，因此它们的极限也应该相等。
等价无穷小的替换公式在微积分中有着广泛的应用。
例如，在计算一些复杂的极限时，我们可以将原函数化简成等价无穷小的形式，从而更容易求出极限。
此外，在求导和积分时，等价无穷小的替换公式也可以帮助我们更好地理解和计算。
下面，我们来看一个例子。
假设我们要求lim (1-cosx)/(x^2)，当x 趋近于0时。
这个极限比较复杂，但是我们可以将1-cosx化简成等价无穷小的形式。
具体来说，我们可以将1-cosx展开成泰勒级数，得到1-cosx = (1/2)x^2 + O(x^4)，其中O(x^4)表示比x^4更高阶的无穷小。
因此，原式可以化简为lim [(1/2)x^2 + O(x^4)]/(x^2)，即lim (1/2) + O(x^2)，当x趋近于0时。
由于O(x^2)是一个比x^2更高阶的无穷小，因此它的极限为0。
因此，原式的极限为1/2。
等价无穷小的替换公式是微积分中非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和计算极限。
在实际应用中，我们可以将原函数化简成等价无穷小的形式，从而更容易求出极限。
高等数学等价无穷小替换
, ,
所以 当 时为无穷小,当 时为无穷大。
2.无穷小与无穷大的关系:在自变量的同一变化过程中,如果 为无穷大,
则 为无穷小;反之,如果 为无穷小,且 ,则 为无穷大。
小结:无穷大量、无穷小量的概念就是反映变量的变化趋势,因此任何常量都不就是无穷大量,任何非零常量都不就是无穷小,谈及无穷大量、无穷小量之时,首先应给出自变量的变化趋势。
3、无穷小与函数极限的关系:
定理1 其中 就是自变量在同一变化过程 (或 )中的无穷小、
证:(必要性)设 令 则有
(充分性)设 其中 就是当 时的无穷小,则
推论3有限个无穷小的乘积也就是无穷小、
二、无穷小的比较
例如, 观察各极限:
不可比、
极限不同,反映了趋向于零的“快过程中的两个无穷小,且
例1
证:
例2
解
2.常用等价无穷小:
(1) ～ ; (2) ～ ; (3) ～ ;
(4) ～ ; (5) ～ ; (6) ～
无穷小 极限的简单计算
【教学目的】
1、理解无穷小与无穷大的概念;
2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限;
3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】
1、无穷小与无穷大;
2、无穷小的比较;
3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换;
4、求极限的方法。
【重点难点】
重点就是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。
(7) ～ (8) ～ (9) ～
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
用等价无穷小代换求函数极限
０
求 函数代数和的极限 ，使 问题简化 。但求 此类题时一
定要验 证 ｌ ａ 存在且 ｌ ｉ ＿ ｉ ≠一 １
８
，
。
若ｌ ＝１ ｉ ｍ三 一 则
ｐ ，
定理 ３ 若 ａ～ ａ ， ｐ～ ｐ ， ．～ ７ ｙ ，且
第１ ８卷第 ２ 期 ２０年 ６月 ０ ０
临沧 师范高等专科学校学报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ａ ｇ Ｔｅ ｃ ｅｓＣ ｌｇ ｏ ｒ ａ ｆＬｉｃｎ ａｈ ｒ＇ ｏｌ ｅ ｅ
Ｖｏ ．１ ． １ ８ Ｎｏ ２
Ｊ ｎ ．０ ９ ｕ ｅ２ ０
用等价无穷小代换求 函数极限
苏有 菊
由以上说 明等价无 穷小量的代换方法对求 函数 的 极限起到 了简化运算过 程的作用 ，将 一些 不易求解 的
极 限 问 题 化 繁 为 简 ， 化 难 为 易 ，从 而 得 到 解 决 。 因
又 啼： … “
（ ａ＋ｐ ～（ ， ， ） ａ邯 ）
， 故
ｐ
此 ，掌握 以上方法 ，可以使得 函数极 限的计算更加容
求
例 ：求 解 ：当 一 ０时 ， ｓ ｘ～ ， 卜 ＣＳ ～ ｉ ｎ ＯＸ
解：因为当 一 １ 时，
故 当 一 １时，ｎ１ ｉ （
及 ａｃ ｎ ｒ ｉ２ ｓ
一０ ，２ 厅 一 ０ ０
） ～
，
ｅ 一１ ～ ｓｎｘ ． … ｉ
，
故
，
ｃｓ ￣－ ） ｏｚ ｅ ＊ ＇ （＂ １
＝
ｌ ｉ ｍ
一
，
等
～２
￥ 收稿 日期 ：２０ － ３ ０ ０９ ０ － ６
作者简介 ： 苏有菊（ ８ １ 卜 ９
第7节 利用等价无穷小量代换求极限
常用等价无穷小量: 常用等价无穷小量: 当x → 0时, 时
sin x ~ x , tan x ~ x , ln(1 + x ) ~ x ,
arcsin x ~ x , arctan x ~ x , e − 1 ~ x,
x
1 2 1 − cos x ~ x . 2
用等价无穷小量可给出函数的近似表达式: 用等价无穷小量可给出函数的近似表达式 β α−β Q lim = 1, ∴ lim α = 0, 即 α − β = o(α ), α α
于是有 α = β + o(α ). α
例如, 例如 sin x = x +o( x ),
1 2 cos x = 1 − x + o( x 2 ). 2
tan x ln(1 + x ) 例1 求 lim x→0 sin x 2
解
当x → 0时, sin x 2 ~ x 2 , tan x ~ x , ln(1 + x ) ~ x .
tan x ln(1 + x ) x⋅ x = lim 2 = 1. 2 所以 lim x→0 x→0 x sin x
tan 2 x 例2 求 lim . x →0 1 − cos x
1 2 解 当x → 0时, 1 − cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2
2
(2 x )2 原式 = lim =8 x →0 1 2 x 2
§2.7 利用等价无穷小量代换求极限
定理(等价无穷小量替换定理) 定理(等价无穷小量替换定理)
β′ β β′ , 设α ~ α′, β ~ β ′且lim 存在 则lim = lim . α′ α α′
证
β β β′ α′ lim = lim( ⋅ ⋅ ) α β′ α′ α β β′ α′ = lim ⋅ lim ⋅ lim α β′ α′ β′ = lim . α′
等价无穷小替换极限的计算
等价无穷小替换极限的计算等价无穷小替换是一种常用的极限计算方法，它可以将一个极限问题转化为一个更简单的等价形式，从而更容易求解。
在处理极限问题时，我们常常会遇到无穷小的概念，无穷小是指当自变量趋于一些值时，函数值趋于零，且比自变量的变化幅度小得可以忽略不计的函数。
而等价无穷小则是指具有相同极限的无穷小。
等价无穷小替换的基本思想是用一个等价无穷小替换原来的无穷小，从而得到一个与原无穷小具有相同极限的极限问题。
具体来说，我们有以下几种常见的等价无穷小替换方法。
1.正比无穷小替换：如果函数f(x)和g(x)满足下面的条件：-当x趋于一些值c时，f(x)和g(x)的极限都为零；-存在一个非零常数k，使得当x趋于c时，f(x)和g(x)的比值趋于k那么，我们可以用g(x)代替f(x)作为等价无穷小进行极限计算。
2.同阶无穷小替换：如果函数f(x)和g(x)满足下面的条件：-当x趋于一些值c时，f(x)和g(x)的极限都为零；-当x趋于c时，f(x)和g(x)的比值趋于1那么，我们可以用g(x)代替f(x)作为等价无穷小进行极限计算。
3.高阶无穷小替换：如果函数f(x)和g(x)满足下面的条件：-当x趋于一些值c时，f(x)和g(x)的极限都为零；-存在一个正整数n，使得当x趋于c时，f(x)和g(x)的比值的n次幂趋于1那么，我们可以用g(x)代替f(x)作为等价无穷小进行极限计算。
通过使用等价无穷小替换，我们可以简化极限的计算过程。
例如，对于形如lim(x→0) sin(x)/x的极限，我们可以利用正比无穷小替换将sin(x)替换为x，从而得到lim(x→0) x/x=1的等价极限。
同理，对于形如lim(x→∞) (x+1)/x的极限，我们可以利用同阶无穷小替换将(x+1)替换为x，从而得到lim(x→∞) x/x=1的等价极限。
需要注意的是，等价无穷小替换方法只适用于具有相同极限的无穷小，要求在等价无穷小替换后的函数极限仍然存在。
重要的等价无穷小替换公式
重要的等价无穷小替换公式等价无穷小替换公式是微积分中的重要概念，它在求极限、导数和积分等计算中起到了关键作用。
本文将介绍几个重要的等价无穷小替换公式，并解释其应用。
一、等价无穷小的定义等价无穷小是指当自变量趋于某一特定值时，函数与某个已知无穷小函数之间的关系。
它表示在极限过程中，函数与另一个函数的差异可以忽略不计。
二、等价无穷小替换公式1. sinx与x的等价无穷小当x趋于0时，我们有sinx/x等于1。
这意味着在计算极限时，我们可以用sinx替换x，而不会改变极限的结果。
2. tanx与x的等价无穷小当x趋于0时，我们有tanx/x等于1。
这意味着在计算极限时，我们可以用tanx替换x，而不会改变极限的结果。
3. e^x-1与x的等价无穷小当x趋于0时，我们有e^x-1/x等于1。
这意味着在计算极限时，我们可以用e^x-1替换x，而不会改变极限的结果。
4. ln(1+x)与x的等价无穷小当x趋于0时，我们有ln(1+x)/x等于1。
这意味着在计算极限时，我们可以用ln(1+x)替换x，而不会改变极限的结果。
5. a^x-1与xlna的等价无穷小当x趋于0时，我们有a^x-1/xlna等于1。
这意味着在计算极限时，我们可以用a^x-1替换xlna，而不会改变极限的结果。
三、等价无穷小替换公式的应用1. 求极限等价无穷小替换公式在求极限的过程中经常被使用。
通过将原函数替换为一个与之等价的无穷小函数，可以简化计算过程并得到准确的极限值。
2. 导数的计算等价无穷小替换公式在求导数的过程中也有广泛的应用。
通过将函数替换为一个与之等价的无穷小函数，可以简化求导的过程，并得到准确的导数值。
3. 积分的计算等价无穷小替换公式在求积分的过程中同样起到了重要作用。
通过将被积函数替换为一个与之等价的无穷小函数，可以简化积分的过程，并得到准确的积分值。
四、总结等价无穷小替换公式是微积分中的重要工具，它在求极限、导数和积分等计算中发挥了关键作用。
极限的计算方法总结
极限的计算方法总结“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
下面为大家整理的是极限的计算方法总结，希望对大家有所帮助~1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。
全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。
2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。
首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。
对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单!5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了!6、夹逼定理(主要对付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
高数极限等价无穷小替换题目
极限等价无穷小替换是高等数学中的一个重要概念，它对于解决极限问题至关重要。
通过等价无穷小替换，我们可以将复杂的极限问题转化为更容易处理的形式，从而加快解题速度。
下面我将通过一些具体的题目，展示如何运用极限等价无穷小替换来解决问题。
题目：求极限lim(x→0) (1 + x - 1)(2 + x^2 - 1)(1 + x^3 - 1)...(1 + x^n - 1)，其中n为正整数。
分析：本题是一个复杂的极限问题，涉及到多个乘积项，而且每一项都包含变量x的幂次。
为了简化计算，我们可以利用极限等价无穷小替换，将每一项中的x用泰勒级数展开式替换为无穷小量ε，再利用ε的无穷小性进行计算。
解：设x为自变量，ε为无穷小量。
将每一项中的x用泰勒级数展开式替换为ε，可得：原式= (1 + ε- 1)(2 + 2ε^2 - 1)(3 + 3ε^3 - 1)...(n + nε^n - 1)= (nε^(n-1) + ε^(n-2) -ε^n) / (ε^(n-1) -ε^2)= ε^(n-2) / (ε^(n-2) -ε^2)= ε^(-2) / (ε^(-2) -ε^0)= ε^(-2) / (ε^(-2) - 1)当x→0时，ε→0，因此原式= ε^(-2) / (ε^(-2) - 1) = 1。
结论：通过极限等价无穷小替换，可以将复杂的极限问题转化为易于处理的形式，从而加快解题速度。
在本题中，我们巧妙地利用了泰勒级数展开式，将每一项中的x替换为无穷小量ε，再利用ε的无穷小性进行计算。
最终得到了一个易于求值的极限结果。
总结：极限等价无穷小替换是高等数学中的一个重要技巧，它可以帮助我们简化复杂的极限问题，提高解题效率。
通过灵活运用这一技巧，我们可以更好地掌握高等数学的精髓，为今后的学习和工作打下坚实的基础。
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求极限的又一种方法,注意适用条件.
三、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）;
a.多项式与分式函数代入法求极限;
b.消去零因子法求极限;
c.无穷小因子分出法求极限;
d.利用无穷小运算性质求极限;
e.利用左右极限求分段函数极限.
例如，
又如，
4. 化无穷大为无穷小法
例如， ，实际上就是分子分母同时除以 这个无穷大量。由此不难得出
又如， ，（分子分母同除 ）。
再如， ，（分子分母同除 ）。
5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限
例如， ，（无穷小量乘以有界量）。
又如，
解： 商的法则不能用
由无穷小与无穷大的关系,得
再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。
重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
三、极限的简单计算
1. 代入法：直接将 的 代入所求极限的函数中去，若 存在，即为其极限，例如 ；若 不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如， 就代不进去了，但我们看出了这是一个 型未定式，我们可以用以下的方法来求解。
2. 分解因式，消去零因子法
例如，
(1) 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；
（2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.
（3） 无界变量未必是无穷大.
二、无穷小的比较:
1.反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较。高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶。
【授课内容】
一、无穷小与无穷大
1.定义
前面我们研究了 数列 的极限、 （ 、 ）函数 的极限、 （ 、 ）函数 的极限这七种趋近方式。下面我们用
＊表示上述七种的某一种趋近方式，即
＊
定义：当在给定的 ＊下， 以零为极限，则称 是 ＊下的无穷小，即 。
例如,
【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
6. 利用两个重要极限求极限（例题参见§例3—例5）
7. 分段函数、复合函数求极限
例如，
解:
左右极限存在且相等,
【启发与讨论】
思考题1：
解：
无界，
不是无穷大．
结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
思考题2：若 ，且 ，问：能否保证有 的结论试举例说明.
解：不能保证.例
思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗
解：不能．例如当 时 都是无穷小量
但 不存在且不为无穷大，故当 时 和 不能比较.
【课堂练习】求下列函数的极限
（1） ；
解：原极限=
（2）求
【分析】“ ”型，拆项。
解：原极限= = =
（3） ；
【分析】“抓大头法”，用于 型
解：原极限= = ，或原极限
（4） ；
【分析】分子有理化
解：原极限= = =
（5）
【分析】 型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。
解： = = =
（6）
【分析】“ ”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因子。
解：原极限= =6
（7）
解: 先变形再求极限.
【内容小结】
一、无穷小（大）的概念
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.
（7） ～ （8） ～ （9） ～
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
例如
3．等价无穷小替换
定理：
证：
例3（1） ； （2）
解:（1） 故原极限 = 8
（2）原极限= =
例4
错解: =0
正解:
故原极限
【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
例5
解:
原式
证：（必要性）设 令 则有
（充分性）设 其中 是当 时的无穷小，则
【意义】
（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
（2）
3.无穷小的运算性质
定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
如： ， ，
推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.
二、无穷小的比较
例如， 观察各极限：
不可比.
极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
1．定义:设 是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且
例1
证：
例2
解
2．常用等价无穷小:
（1） ～ ； （2） ～ ； （3） ～ ；
（4） ～ ； （5） ～ ； （6） ～
定义：当在给定的 ＊下， 无限增大，则称 是 ＊下的无穷大，即 。显然， 时， 都是无穷大量，
【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如
， ，
所以 当 时为无穷小，当 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果 为无穷大，
则 为无穷小；反之，如果 为无穷小，且 ，则 为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系:
定理1 其中 是自变量在同一变化过程 （或 ）中的无穷小.
关于高等数学等价无穷小替换极限的计算
讲义
无穷小 极限的简单计算
【教学目的】
1、理解无穷小与无穷大的概念；
2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；
3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】
1、无穷小与无穷大；
2、无穷小的比较；
3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；
4、求极限的方法。
【重点难点】