(完整版)由三角函数图像求解析式(适合讲课使用)
由三角函数图像求解析式(适合讲课使用)
图像的变换与对称性
01
平移变换
三角函数图像可以在x轴或y轴方向上平移，而不改变其形状和性质。
例如，正弦函数向右平移a个单位后变为$y=sin(x-a)$。
02
伸缩变换
三角函数图像可以在x轴或y轴方向上伸缩，从而改变其周期和振幅。
例如，正弦函数在x轴方向上伸缩a倍后变为$y=sin(frac{1}{a}x)$。
余弦函数
定义域
全体实数，即$R$。
值域
$[-1,1]$。
周期性
余弦函数具有周期性，最小正 周期为$2pi$。
单调性
在每个周期内，余弦函数在$[0, pi]$上单调递减，在$[pi, 2pi]$
上单调递增。
正切函数
定义域
01
不连续，无周期性。
值域
02
全体实数，即$R$。
单调性
03
正切函数在每一个开区间$(kpi-frac{pi}{2}, kpi+frac{pi}{2})$内
01
1. 绘制直角坐标系
根据解析式的定义域，绘制直角 坐标系。
02
03
2. 确定关键点
3. 绘制图像
根据解析式的值，确定直角坐标 系中的关键点。
根据关键点，绘制三角函数的图 像。
例题三：综合应用题
1. 分析题目
仔细阅读题目，理解题目的要求和条件。
2. 确定解题步骤
根据题目要求，确定解题步骤，包括已知条件的分析、未知条件的推导等。
由三角函数图像求解析式
contents
目录
• 引言 • 三角函数的基本性质 • 三角函数图像的绘制 • 由三角函数图像求解析式的方法 • 实例分析 • 总结与思考
高中数学解题方法系列：三角函数中根据图象求解析式的几种方法
高中数学解题方法系列：三角函数中根据图象求解析式的几种方法已知函数y ＝Asin(ωx+φ)+k(A ＞0，ω＞0)的部分图象，求其解析式，与用“五点法”作函数y ＝Asin(ωx+φ)＋ｋ的图象有着密切联系，最主要的是看图象上的“关键点”与“特殊点”．本文就一般情况例析如下．一、A 值的确定方法：A 等于图象中最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标所得差的一半．二、 ω值的确定方法：方法１.在一个周期内的五个“关键点”中，若任知其中两点的横坐标，则可先求出周期Ｔ，然后据ω＝Tπ2求得ω的值． 方法２：“特殊点坐标法”。
特殊点包括曲线与坐标轴的交点、最高点和最低点等。
在求出了A 与φ的值之后，可由特殊点的坐标来确定ω的值．三、 φ值的确定方法：方法１：“关键点对等法”．确定了ω的值之后，把已知图象上五个关键点之一的横坐标代人ωx+φ，它应与曲线ｙ＝sinx 上对应五点之一的横坐标相等，由此可求得φ的值．此法最主要的是找准“对等的关键点”，我们知道曲线y ＝sinx 在区间[0，2π]上的第一至第五个关键点的横坐标依次为0、2π、π、23π、2π,若设所给图象与曲线y=sinx 上对应五点的横坐标为x J (J ＝1,2,3,4,5), 则顺次有ωx 1+φ＝0、 ωx 2+φ＝2π、ωx 3+φ＝π、ωx 4+φ＝23π、ωx 5+φ＝2π,由此可求出φ的值。
方法2：“筛选选项法”，对于选择题，可根据图象的平移方向经过筛选选项来确定φ的值．XY 220 8π83π87π方法3：“特殊点坐标法”．（与2中的方法2类同）．四、 k 值的确定方法： K 等于图象向上或向下平移的长度，图象上移时k 为正值，下移时k 为负值．另外A 、ω、φ的值还可以通过“解方程（组）法”来求得． 例1.图1是函数ｙ＝2sin （ωx+φ）(ω＞０，φ≤2π)的图象，那么正确的是（ ）Ａ.ω＝1110, φ＝6π Ｂ．ω＝1110, φ＝－6πＣ．ω＝２，φ＝6π Ｄ．ω＝２，φ＝－6π, 解：可用“筛选选项法”．题设图象可看作由y ＝2sin ωx 的图象向左平移而得到，所以φ＞0 排除B 和D ，由A,C 知φ＝6π； ω值的确定可用“关键点对等法”， 图1因点（1211π,0）是“五点法”中的第五个点， ∴ω·1211π+6π＝2π 解得ω＝２， 故选C ．例2.图2是函数y ＝Asin(ωx+φ)图象上的一段, （A ＞0，ω＞0,φ∈（0，2π））,求该函数的解析式． 解法一：观察图象易得A ＝2,∴T ＝2×（87π-83π）＝π，∴ω＝ππ2＝2.∴y ＝2sin(2x+φ).1211π1211πx y0 2 -2下面用“关键点对等法”来求出 图2φ的值,由2×83π+φ＝π（用“第三点”） 得φ＝4π∴所求函数解析式为y ＝2sin(2x+4π)．说明：若用“第二点”，可由2×8π +φ＝2π求得φ的值；若用“第五点”，可由2×87π+φ＝2π求得φ的值．解法二：由解法一得到T= π，ω=2后，可用“解方程组法”求得φ与A 的值，∵点（0，2）及点（83π，0）在图象上， ∴Asin φ＝2 (1)Asin(2×83π+φ)＝0 (2) 由(2)得 φ＝k π-43π(k ∈Z)， 又φ∈（0，2π)， ∴只有K ＝1，得φ＝4π， 代人（1）得A ＝2.∴所求函数解析式为 y ＝2sin(2x+4π)．例3.已知函数y ＝Asin(ωx+φ) (A ＞0，ω＞0, φ＜2π)图象上的一部分如图3所示，则必定有（）(A) A=-2 （B ）ω＝1 （C ）φ＝3π（D ）K ＝-2解：观察图象可知 A ＝2,k ＝2. ∴y ＝2sin(ωx+φ)+2 下面用“解方程组法”求φ与ω的值. ∵图象过点（0，2+3）、（－6π，2） ∴ 2+3=2sin φ142xy2=2sin(-6πω+φ)+2解得ω＝2，φ＝3π故选C.例4.如图4给出了函数y ＝Asin(ωx+φ)(A ＞0，ω＞0, φ ＜2π)图象的一段，求这个函数的解析式．解：由图象可知 T=2×(4-1)=6,∴ω＝62π＝3π，∴y ＝2sin （3πx +φ)下面用“特殊点坐标法”求φ，∵ 图象过点（1，2）∴2＝2sin(3π×1+φ)，又 φ ＜2π图４∴只有φ＝6π ∴所求函数解析式为y ＝2sin(3πx +6π).说明：本题φ的值也可由“关键点对等法”来求得，如令3π×1+φ＝2π 或3π×4+φ＝23π等均可求得φ的值．。
三角函数图象解析式的求法 ppt课件
O
1、先用明显的性质来求对应参数；
2、再用方程（五点对应）p来pt课件求余下参数.
6
变式2 已知f (x) Asin(x )(A 0, 0,0 )
2
的图像上相邻的两个对称中心距离为 ，且图像
2
上一个最低点为（7 ， 2），则其解析式为___.
12
由性质反映参数，或由几何描述和性质的几何特征画图辅助解题；
4
问题：已知 f (x) Asin(x )(A 0, 0,| | ) 的部分图像如图，则其解析式为____.
O
1、先用明显的性质来求对应参数；
2、再用方程（五点对应）p来pt课件求余下参数.
5
变式1：已知 f (x) Asin(x )(A 0, 0,| | ) 的部分图像如图，则其解析式为______.
注意多值的取舍（利用单调性判断）， 优先选择最值点。
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作业： 配套检测卷 P123
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2 ( x).
3
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例2.已知f ( x) Asin(x )(其中A, 0, )的部分
图象如下，确定函数解析式.
y
3
O1 3
3
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x
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例3.下列函数中，图象的一部分如图的是( )
A. y sin( x )
6
C . y cos(4x )
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1
考情析
• “根据图像和性质求三角型函数解析式”是 高考常考内容.一般以小题和大题的第一问 为主,考察时有时只求部分参数,且往往会再 结合其他性质提出问题.难度一般不大.
三角函数求解析式及其图象变换
1 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.求三角函数的解析式的一般方法是待定系数法，即把已知点的坐标代入三角函数式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，求出需要确定的系数A ，ω，φ，b ，得到三角函数的解析式． 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ； (3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下： “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.3．五点作图法是画正弦函数、余弦函数草图的重要方法，正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上五个关键点是(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)；余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上五个关键点是(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．4．由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种方法2【巩固练习】1．(2015·山西四校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，||φ＜π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k π－π6，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π－π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝2k π－π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π－π3，k ∈Z 2．(2015·东北三校联考)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( ) A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2 3．函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1D ．2π，24．(2015·青岛一模)函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( ) A ．1 B.12 C.22D.325．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象完全相同，若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的值域是________．6．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象．7．(2015·长春调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图象如图所示． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－π6时，求f (x )的取值范围．3[典型母题](2014·重庆高考)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________.[题点发散1] 将本例变为：由函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象？[题点发散2] 将本例中函数f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值为________．[题点发散3] 将本例变为：若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为________．2．把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位，得到的函数图象的解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 3．(2015·合肥二检)为了得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，可将函数y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移5π6单位长度B ．向右平移5π6单位长度C ．向左平移5π12单位长度D ．向右平移5π12单位长度4．将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π6C ．x ＝πD ．x ＝π245．设函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在x ＝π2时，取最大值A ，在x ＝3π2时，取最小值－A ，则当x ＝π时，函数y 的值( )A ．仅与ω有关B ．仅与φ有关C ．等于零D ．与φ，ω均有关6．(2015·广东梅州二模)把函数y ＝sin 2x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y ＝f (x )的图象，对于函数y ＝f (x )有以下四个判断：①该函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6；②该函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称；③该函数在⎣⎡⎦⎤0，π6上是增函数；④函数y ＝f (x )＋a 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为3，则a ＝2 3.其中，正确判断的序号是________． 7．已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．。
高考数学中的三角函数图像及解析式
高考数学中的三角函数图像及解析式在高中数学的学习中，三角函数是一个非常重要的概念之一，而三角函数的图像及解析式往往是高考数学中的常考的知识点之一。
在本文中，我们将详细地探讨三角函数的图像及解析式，帮助读者更好地掌握这一知识点，提高高考数学的成绩。
一、正弦函数的图像及解析式正弦函数是三角函数中最为基础的一个函数，其通式为：y = sin x正弦函数的图像为一条波形曲线，波峰和波谷交替出现，形状类似于一条弯曲的绳子或者水波。
正弦函数的图像以 y 轴为对称轴，且有一个最高点和最低点，最高点为(π/2，1)，最低点为(3π/2，-1)。
而整张图像的周期为2π，也就是说函数在 x 轴上每隔2π 个单位长度就会重复一次。
二、余弦函数的图像及解析式余弦函数也是一个基础的三角函数，通式为：y = cos x余弦函数的图像也是一条波形曲线，波峰和波谷也是交替出现，但是与正弦函数的图像不同，余弦函数图像是以 x 轴为对称轴，它也有一个最高点和最低点，最高点为(0，1)，最低点为(π，-1)。
余弦函数的周期也是2π。
三、正切函数的图像及解析式正切函数是三角函数中比较特别的一个函数，通式为：y = tan x正切函数的图像类似于一条斜率一直不断变大或变小的直线，它的图像在π/2 和3π/2 处有一个垂直渐近线。
除此之外，还有一个水平渐近线 y=0。
正切函数的周期为π。
四、余切函数的图像及解析式余切函数是正切函数的倒数，通式为：y = cot x余切函数的图像是一条波形曲线，它也有一个垂直和水平的渐近线。
余切函数的周期也是π。
总之，三角函数的图像及解析式是高考数学中的重要知识点，掌握这些知识不仅能够帮助我们在数学考试中取得好成绩，还能增进我们对数学知识的理解和掌握。
高考数学大题规范解答-(三)由三角函数图象确定解析式的答题模板
函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定A 、ω、φ问题是高考的热点，题型多样，难度中低档，主要考查识图、用图的能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力．“大题规范解答——得全分”系列之(三)由三角函数图象确定解析式的答题模板[典例] (2012湖南高考·满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω>0，0<ω<π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的单调递增区间．[教你快速规范审题]1．审条件，挖解题信息观察条件―→函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)的部分图象―――――――――→可知图象与y 轴的交点及两个平衡点(0，1)，⎝⎛⎭⎫5π12，0，⎝⎛⎭⎫11π12，0―――――→可确定周期 T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π2．审结论，明解题方向 观察所求结论―→求函数f (x )的解析式―――――――――――→需要确定A ，ω，φ三个参数应建立关于A ，ω，φ的三个方程3．建联系，找解题突破口结合条件和求解可知――――――→由周期确定ω2πω＝π，即ω＝2――――――→由平衡点确定φ2×5π12＋φ＝π即φ＝π6――――――――→初步确定函数解析式 f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6――――――――→由点(0，1)确定A A sin π6＝1，A ＝2―――――――――――――→A ，ω，φ都已求出，解析式确定 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π61．审条件，挖解题信息观察条件―→f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 2．审结论，明解题方向观察所求结论―→求函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的单调递增区间―――――――→化简g (x )的解析式 g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 3．建联系，找解题突破口联想函数y ＝sin x 的单调性5[2,],Z 212k k k ππππ∈−−−−−−−−−−−→增－＋单调递区间为2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ⇒ k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ⇒g (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z [教你准确规范解题](1)由题设图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT＝2.(2分) 因为点⎝⎛⎭⎫5π12，0在函数图象上，所以A sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝0. 又∵0<φ<π2， ∴5π6<5π6＋φ<4π3，从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.(4分)又点(0,1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，解得A ＝2， 故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.(6分)(2)g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋π6－2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6 ＝2sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝2sin 2x －2⎝⎛⎭⎫12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，(9分)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .(11分) ∴g (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .(12分) [常见失分探因]易忽视φ的范围或点⎝⎛⎭⎫5π12，0为第二个平衡点而导致解题错误. 易将单调区间写成不等式k π－12π≤x ≤k π＋512π k ∈Z 或漏写k ∈Z 造成结论表述不准确.———————————————[教你一个万能模板]—————————————由图象确定函数y＝A sin(ωx＋φ)的解析式，一般可用以下几步解答：――→。
由图像或性质求三角函数解析式的方法
求三角函数解析式常用的方法三角函数是高中数学的一个重点,而三角函数图象与性质又是其中的难点,学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。
现就几道例题谈谈常用的求解方法。
1 利用五点法，逆求函数解析式例1．右图所示的曲线是)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式． 解:由22y -≤≤，得A=2已知第二个点(,2)12π和第五个点5(,0)6π 35346124T πππ=-= T π∴= 2ω=把(,2)12π代入，2122ππφ⨯+=得3πϕ=所以y=)32sin(2π+x点评：由图像确定解析式，观察图像的特征，形助数寻找“五点法”中的整体点，从而确定初相ϕ。
2 利用图像平移，选准变换过程切入求解例2下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（ ）A ．sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.cos 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭解：从图象看出，41T =1264πππ+=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=sin 2x 向左平移了6π个单位，即sin 2()6y x π=+=sin(2)cos(2)cos(2)3236x x x ππππ+=-++=-，故选择答案D 。
点评：数形结合，由图像确定周期和初相位后，选准图像平移变换过程切入，如本题y=sin 2x 向左平移了6π个单位进行验证化简是求解的关键。
对于利用图象的变换来求解函数的解析式，一定要清楚每一种变换对,,A ωϕ的影响，注重整体变量观念的应用。
3 特殊化赋值法求解例3设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x 。
求()y f x =的解析式。
解：对称性特殊赋值切入，8x π=是函数()y f x =的图像的对称轴，()()88f x f x ππ∴+=-令8x π=，则()(0)4f f π=，即sin() =sin cos 2πϕϕϕ+=，tan 1ϕ∴=。
三角函数解析式的求法教师版
第5页（共17页）
令 f (0) = 50sin + 60 = 10 ，得 sin = −1 ；
又 [− ， ] ， 所以 = − ；
2 所以函数 y = 50sin( 2 t − ) + 60 ．
32 故选： C ．
变式 1. 如图, 一个大风车的半径长为 8m , 每12 min 旋转一周, 最低点离地面为 2m . 若风 车翼片从如图所示的点 P0 处按逆时针方向开始旋转,已知点 P0 离地面 6m ，则该翼片的端点 离地面的距离 y(m) 与时间 x(min) 之间的函数关系是
故所得图象对应的函数为 g(x) = sin(2x + ) + 1， 3
则 g(0) = sin(0 + ) +1 = 1 + 3 ，
3
2
故选： A ．
变 式 1 ． 函 数 f (x) = cos(x + )( 0,| | ) 的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 则 函 数 2
A． y = 2sin(1 x + ) 66
B． y = 2sin(1 x − ) 36
第4页（共17页）
C． y = 2cos(1 x + ) 33
【答案】B
D． y = 2cos(1 x − ) 63
【解答】解：由图象可知，得函数的周期T = 4 (3.5 − 2 ) = 6 ，
3
3
故选： D ．
变式 3．已知函数 f (x) = Asin(x + )(A 0 ， 0 ，| | ) 在一个周期内的简图如图所示， 2
则方程 f (x) = m(m 为常数且1 m 2) 在[0 ， ] 内所有解的和为 ( )
三角函数解析式的求法
函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用‖知识梳理‖ 1．y ＝Asin (ωx ＋φ)的有关概念 T ＝2πωωx ＋φ用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3.| 微 点 提 醒 |1．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k∈Z 确定其横坐标．‖易错辨析‖判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”)(1)把y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .(×)(2)将y ＝sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象．(×) (3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)的最大值为A ，最小值为－A .(×)(4)如果y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.(√) (5)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝2k π＋π2(k ∈Z )．(×)‖自主测评‖1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，π4B ．2，12π，π4C ．2，1π，π8D ．2，12π，－π8解析：选A 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅为2，频率为1π，初相为π4.2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B 、D ；当x ＝π6时，y ＝0，排除C ，故选A.3．(教材改编题)为了得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π5的图象，只需将y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π5的图象上的所有点( )A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移2π5个单位长度D ．向右平移2π5个单位长度解析：选D 因为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π5＝3sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π5－2π5，故选D. 4．用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________.答案：⎝⎛⎭⎫π6，0 ⎝⎛⎭⎫2π3，1 ⎝⎛⎭⎫7π6，0 ⎝⎛⎭⎫5π3，－1 ⎝⎛⎭⎫13π6，0 5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.解析：由题图可知，T 4＝2π3－π3＝π3，即T ＝4π3，所以2πω＝4π3，故ω＝32.答案：32………考点一 函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及变换………|重点保分型|…………|研透典例|【典例】 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值； (3)作出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．[解] (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称， 所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.(3)由数据作出的图象如图所示：『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津| 1.函数y ＝Asin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法(1)五点法：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换法：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 2．三角函数图象的左右平移时应注意的三点(1)弄清楚平移方向，平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．(2)注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．(3)由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω而不是|φ|. [提醒]y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象横向伸缩规律，可联系周期计算公式T ＝2π|ω|进行记忆；纵向伸缩规律，可联系函数的最值进行记忆．|变式训练|1．(2018届河南豫南九校联考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位，则所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π24 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π12D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π12 解析：选B 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4经伸长变换得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，再作平移变换得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x －π6－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 2．(2019届南昌模拟)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象可以由函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度得到B ．向右平移π3个单位长度得到C ．向左平移π6个单位长度得到D ．向左平移π3个单位长度得到解析：选A 将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π4个单位长度，可得函数y ＝sin2x 的图象，再将y ＝sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，综上可得，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象可以由函数y ＝cos2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故选A. 3．(2019届石家庄质量检测)若ω>0，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为________．解析：将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度，得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3＋π3的图象．因为所得函数图象与y ＝sin ωx 的图象重合，所以－ωπ3＋π3＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝－72－6k (k∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝－1时，ω取得最小值52.答案：52………考点二 由图象确定y ＝Asin (ωx ＋φ)的解析式…………|重点保分型|………|研透典例|【典例】 (1)(2018届兰州诊断考试)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12 B.22C.32D ．1(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，x ∈R ，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为f (x )＝________.[解析] (1)由题图知，T 2＝π2，即T ＝π，则ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，因为点⎝⎛⎭⎫π3，0在函数f (x )的图象上，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝0，即2π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ， 所以φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 因为x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3， 且f (x 1)＝f (x 2)， 所以x 1＋x 22＝π12，所以x 1＋x 2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝32. (2)由题图可知，函数的最大值为A ＋B ＝3，最小值为－A ＋B ＝－1，解得A ＝2，B ＝1. 函数的最小正周期为T ＝2×⎣⎡⎦⎤5π12－(－π12)＝π， 由2πω＝π，解得ω＝2. 由f ⎝⎛⎭⎫－π12＝2sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π12＋φ＋1＝－1，得sin ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝－1， 故φ－π6＝2k π－π2(k ∈Z )，解得φ＝ 2k π－π3(k ∈Z )，又因为|φ|<π， 所以φ＝－π3.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1. [答案] (1)C (2)2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1 『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津| 确定y ＝Asin (ωx ＋φ)＋b (A>0，ω>0)的步骤和方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2.(2)求ω：确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πT .(3)求φ：常用的方法有①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z .|变式训练|1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫11π24的值为( )A ．－62B ．－32C ．－22D ．－1解析：选D 由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝⎛⎭⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－2，得φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2sin ⎝⎛⎭⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1，选项D 正确．2．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f ⎝⎛⎭⎫－π6＝( )A ．－23B ．－12C.23D.12解析：选A 由题图知T 2＝11π12－7π12＝π3，所以T ＝2π3，即ω＝3，当x ＝7π12时，y ＝0，即3×7π12＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π－9π4，k ∈Z ，即k ＝1时，φ＝－π4，所以f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4. 即A cos ⎝⎛⎭⎫3π2－π4＝－23，得A ＝223， 所以f (x )＝223cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4， 故f ⎝⎛⎭⎫－π6＝223cos ⎝⎛⎭⎫－π2－π4＝－23. …………考点三 三角函数图象与性质的应用……………|多维探究型|……………|多角探明|角度一 三角函数模型的实际应用【例1】 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2，3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________ ℃. [解析] 依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4＝20.5. [答案] 20.5角度二 与三角函数有关的零点(方程根)问题【例2】 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0在⎝⎛⎭⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________．[解析] 方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0可转化为m ＝1－2sin 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π， 所以题目条件可转化为m2＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π有两个不同的实数根． 所以y ＝m2和y ＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m2的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－12， 故m 的取值范围是(－2，－1)．[答案] (－2，－1)角度三 三角函数的图象与性质的综合问题【例3】 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3(ω>0)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间． [解] (1)函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，得函数f (x )的最小正周期为T ＝2×π2＝2π2ω，得ω＝1，故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )＝ 3 s in ⎣⎡⎦⎤2(x ＋m )＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2m ＋π3的图象，根据g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0， 可得3sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2m －π3＝0， 所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )，因为m >0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6.此时，g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，7π12，所以2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤π3，11π6. 当2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，即x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，－π12时，g (x )单调递增， 当2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤3π2，11π6，即x ∈⎣⎡⎦⎤5π12，7π12时，g (x )单调递增． 综上，g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π6，－π12和⎣⎡⎦⎤5π12， 7π12. 『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题：二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．|变式训练|1．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的取值范围是________． 解析：画出函数的图象．由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3， 因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝－32且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝cosπ＝－1，要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，只要2π9≤m ≤5π18，即m ∈⎣⎡⎦⎤2π9，5π18. 答案：⎣⎡⎦⎤2π9，5π182．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间． 解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·⎝⎛⎭⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a ＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin2ωx ＋cos2ωx ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1＋a . 当sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ，又f (x )图象上最高点的纵坐标为2， 所以3＋a ＝2，所以a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，所以2ω＝2πT ＝2，所以ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z . 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，所以函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 核心素养系列 数学建模——三角函数中的实际问题【典例】 已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据：t (小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5数据，(1)求函数f (t )的解析式；(2)求一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间．[解] (1)由表格得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝1.5，－A ＋b ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝12，b ＝1，又因为T ＝12，所以ω＝2π12＝π6，故y ＝f (t )＝12cos π6t ＋1.(2)由题意，令12cos π6t ＋1>1.25，即cos π6t >12，又因为t ∈[0,24]，所以π6t ∈[0,4π]，故0≤π6t <π3或5π3<π6t ≤2π，或2π<π6t <2π＋π3或2π＋5π3<π6t ≤2π＋2π，即0≤t<2或10<t≤12或12<t<14或22<t≤24，所以在一日内该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时．[点评]数学建模是通过计算得到结果来解释实际问题，并接受实际的检验，具体来讲，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段．。
由三角函数图像求解析式(适合讲课使用)
y 2
0 )的部分图像。
5 6
6
x
o
-2
求函数的振幅；
y 3
o
2 3
x
6
-3
一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.
学习新知
探究二
问题2 .如图是函数 y 2 sin( x )( 0 )的部分图像。 3 y (1)求函数的周期；
y 2
7 12
如何确定的值
问题3 .如图是函数 y 2 sin( 2 x )( < ) 2 y 的部分图像 , 求 的值。 2 y
2
6 7 12
x
o x o -2
-2
题型三
由函数的图象确定函数解析式
【例 3】 (1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图①，则其一个 函数解析式为________．
2k ,k Z 6 2
即A( ,2 )代入y A sin( x ),得 12 2 2 sin( ) 6
3
例5 : 图中曲线是函数y A sin( x )的图像的一部分 ， 求这个函数的解析式 。
2 1 O x0 Y A
21
走
进高考
2 f( ) f ( x) =Acos( x )的图象如图所示， 2 3，则
2009辽宁卷理
已知函数
w.w.
f (0)
=（ ） 2 （A） （B） （C） （D）
3 2 3
1 2
1 2
当
堂检测 堂检测
1.(2009辽宁卷文)已知函数 f ( x) sin( x )( 0) 的图象如图1所示，则
专题：三角函数及解三角形 第二课时 三角函数的图象与解析式(课件)高三数学二轮复习
（D）y=2sin（2x– ）
3
题型突破
题型一 三角函数的图象变换问题
2.(2022·浙江高考)为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数 y 2sin3x
5
图象上所有的点 ( D )
A.向左平移 个单位长度
5
B.向右平移 个单位长度
5
C.向左平移 个单位长度
15
D.向右平移 个单位长度
( C)
A． 10π 9
B． 7π 6
C． 4π 3
D． 3π 2
题型突破
题型二 三角函数的图象及应用
7. 如 图 所 示 的 曲 线 为 函 数 f x Acosx A 0, 0, 的 部 分 图 象 , 将
2
y f x 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍,再将所得曲线向右平移
2
8
个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求 gx =
2sin 2x
达标检测
1.为了得到函数 y 2sin 2x 的图象，可以将函数y＝2sin
3
2x的图象(
C)
A．向右平移π 个单位长度 6
B．向右平移π 个单位长度 3
C．向左平移π 个单位长度 6
D．向左平移π 个单位长度 3
达标检测
15Leabharlann 题型突破题型一 三角函数的图象变换问题
3. （2021年全国乙卷）把函数y＝f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的1 2
倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数
3
y＝sin（x−
）的图像，则f（x）＝（
4
B
）
A．sin（
2
−
7）
如何由三角函数的图象求解析式
如何由三角函数的图象求解析式t1r—J『]野]rtP一目卿舶1]r"CJ]训fIiX腑C*rIlSUPxlulEIDAISIJ数学大世界—]":=兰:竺兰兰.I如何由三角函数的◎唐春健河南安阳一中如何由三角函数的图象来确定它的解析式?用什么方法能够达到快速解答的目的?我们用实例来说明.[例1]如图是某正弦函数的部分图象,则其解析式是()A.一2sin(2z+手)B..y一2sin2一手)c.一2sin2一号)D.一2sin(2z十号)2…一一手lox.方法一看图司知,与Y一2sin2x的图象对照,只须将它向右平移手单位,所以把一2sin2x中的改为z一季即可,得一2sin2(一手)一2sin(2一号),选C.方法二抓住特征点(号,2),当取一号的时候Y…一2,得2—2sin2?号+),则sin(7r+)一1,于是sin一一1,一2k丌一号,取志一0,得=--号,故选C.或取x----0时,Y一一2.方法三抓住特征点(一手,0),(0,一2),(手,o),(号,2),(等,o)中任意一个代人选择支,验证即知C正确.取特殊值是解选择题最常用的方法之一.圈此题条件完备,可直接计算求解,但有些选择题则根据图象提供的信息无法求出未知的常数,必须结合选择支方可确定其解析式.下图是函数一2sin(cu+)(I≤号)的一St图象求解析式图象,那么()A.一订10,一百/rB.∞一订10,一一詈C.一2,一詈,一2,一一詈'2l',.等-2分析图象是由一2sino~x的图象向左平移而得,则>0,于是可以否定B,D,而选择支中II一罢,那么移动量为,因此周期T一+一O(￡,j∞,所以∞一2,选C.I发散类比I函数_厂()=Msin(~ox+9)(cu>0)在区间[口,6] 上是增函数,且f(a)一一M,,(6)一M,则函数g(z) =Mcos(tot+)在[口,6]上()A.是增函数B.是减函数C.可取得最大值MD.可取得最小值一M方法一(直接推算)由于,(z)在[口,6]上是增函数,于是厂(n)<厂(6),即一M<M,得M>O. 而厂(n)一一M,n+一2k~r--鲁,厂(6):M,+—2krr+鲁(是∈z).又∞>O,因此当z∈[1,6]时,z+∈E2k~r一号,2志丌+吾](是∈z),对于z∈[n,6],当∞+一2k~r(k∈z)时,函数g()=Mcos(tox+9)有最大值M,故选C.方法二画张草图(如下图),观察图象,轻松获解. Y/…,,,,,\()/:,_【",b】■强露Q瑟35/::一……..………数形结合是解选择又一常用的方法.[例2]xE(o,2丌),—Asin(z+手)与函数—sin(2+)图像有一个相同的最高点,那么A一——,一——分析显然A一1,在(O,2丌)上,y=sin(+手)的最高点为(7I",1),把这点坐标代入—sin(2+),即一O,如下图././手4三角函数的图象把它的性质清楚直观地表述出来了,因此熟悉三角函数的图象对进一步理解三角的本质具有重要的意义.[例3]如图是由一正弦函数图象变换而得,则其解析式为.\f\/号.号\/V………一一,/分析图中阴影面积如何处理?它是不规则图形,求其面积肯定要用特殊的手段.由正弦函数图象的性质我们去寻找解题的途径.由于函数Y—Asin(十)的图象是关于它与轴交点成中心对称图形,所以图中阴影部分面积可转化为求矩形F0HP的面积,而A—lFOI一2,因此IOHI一一37f,从而得丁一3丌, 则cu=6丁7r2,于是移动量为一,故一号.[例4]已知正弦曲线Y—Asin(+)fA>0,>o,iI≤号)的一个最高点是(2,√),由这个最高点到相邻的最低点的曲线与轴相交于点(6,O),求曲线的解析式.分析如何确定是本题的关键,画张草图注意到两点(2,)和(6,0),两横坐标的差为车.解A一,T一16,T一,故詈,有一sin(詈z+)因点(2,)在曲线上,从而有一sin(季+),sin(号+)一1.又I~l-<T一,季+一号,一手.因此所求解析式一sin(专+).通常我们总是先确定A,然后求求T,通过T一求∞,最后确定.但这也不是绝对的,A,,三个元素中到底先求谁,读者可以在自己认最熟悉的情况下自由选择.翮1.如图为函数Y一-厂()=Asin('+)的一个周期的图象.(1)写出Y—f()的解析式;2}:\一I:///-2(2)写出Yg(x)的解析式,便f()与g()的图象关于直线z一2对称.分析抓住移动量为1,而T一8,然后去求.解(1)A一2,T一7一(一1)一8,而T一,则一孚,C移动量为里6O—l,于是一号,故所求解析式为一2sin(+手).(2)设(.,.)是曲线—g(1z)上任一点,(z,Y)是曲线一-厂()上关于直线一2对称的点.即有0一2,0—4--X2,则)-2n[号(4z)+刳一2sin(一手)in[丌一(号一)]一2sin(-~--5r2--号).\冒警:一,√_:.一:::二:…一…一一…一,……………一……一,故=::g()一2sin(手一号).或由于-厂()与g(x)的图象关于直线一2对称,而函数3,一,(z)图象靠近直线z===2最左侧的一条对称轴为直线一1.于是直线z=3是g(z)的一条对称轴.2.如图单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离S()和时间￡(sec)的函数关系是s=Asin(cot-F~p),根据图象,求(1)函数解析式;(2)单摆摆动到最右边时,离开平衡位置是多少?(3)单摆来回摆动一次需要多少时间?解(1)由图知:手丁一一百1一3,则T=I,故∞一擎一2丌.又:时取得最大值,bm.I1I7r则27rX百+一号,O所以一詈.2()_L\/I_Lt\v/又当￡一0时,S一2,因此2一Asin詈,得A一4, 因此,函数解析式为s一4sin2丌+詈).≥SHUX'UEDASHIJIE数学大世界{(2)由于A一4,则单摆摆动到最右边时,离开平i衡位置4cm.(3)因为T一1,所以单摆来回摆动一次需时间为1sec.3.如图,某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数一4sin(oJx+~o)+b.(1)求这段时间的最大温度差;(2)写出这段曲线函数解析式.解(1)由题中图所示,这段时间的最大温度差是30—10:20(℃).(2)图中从6时到14时的图象是函数—Asin(cU+)4-b的半个周期的图象,3O/,,2O,lO/1D61014所以专,一14—6,解得一号.∞o由图示,A=l(30—10)=10,b=1(30+10)=20.这时一10sin(詈z+)+2o.将—,一10代人上式,可取一.综上,所求的解析式为.y=1osin(詈+)+数学史上的冤案在自然科学领域,有不少公式和定律都以发理者的名字而命名.而数学上的"卡尔丹诺公式"的命名则是一桩地地道道的冤案.在中世纪的意大利,盛行在街头打数学擂台.通常是摆上一张桌子.数学斗士们各向对手提交一批数量不等的难题,谁先做出正确的解答,谁就是优胜者.这种风气有效地培养出一批颇具才华的数学家.出身寒微而自学成才的尼古拉?塔尔达利亚便是其中的佼佼者.由于他才智过人,又极为勤奋好学,因而享有"不可战胜者"的盛誉.一次,他接到了平庸的大富豪费奥里的挑战书,并且得知费奥里已向一位教师要到了三次方程式的秘密解法,企图以此获胜.塔尔达利亚为赢得得这次胜利,闭门谢客,废寝忘食,苦苦琢磨了三天三夜,终于找到了三次方程式的新解法,并在随后的比赛中,又一次轻取桂冠.这时,一个名叫卡尔丹诺的科学骗子找到了塔尔达利亚,狂妄地自称他有4万项发明,只有三次方程式的解法才是他唯一的不解之谜,并为此痛不欲生.在卡尔丹诺甜言蜜语的哄骗下,诚实而善良的塔尔达利亚便毫不保留地将自己的新发现告诉了他.谁知,几天以后,卡尔丹诺意发表了一篇论文,阐述了三次方程式的新解法,并大言不惭地宣称,这是他的最新发现.待人一向诚恳的诺尔达利亚,被骗子这一欺世盗名的无耻行径激怒了,他向卡尔丹诺堂堂正正地提出挑战, 并把骗子派来的数学高手击得惨败.然而,在随即而来的一个没有星光的夜晚,塔尔达利亚竞被骗子收买的亡命之徒秘密刺杀了.从此,在罗马街头的数学擂台上,不可战胜的数学斗士塔尔达利亚的勃勃英姿永远消逝了,他对三次方程式的新解法的卓越贡献,也被一些不公正的记载一笔抹煞了, 在今天的不少数学着作中,他的发现仍被称为"卡尔丹诺公式",这使凡是熟知上述史实的人,无不痛感必须恢复真理的权威性和历史本身的尊严.。
看图像求三角函数的解析式
2看图像求三角函数的解析式解析式求法1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A举例：比如画 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像。
结论：如何确定y ＝A sin(ωx ＋φ)图像的五点。
找最高点，最高点为第二点，最高点左面的点是第一点（也可认为是第五点），最高点右面的点是第三点，最低点为第四点。
作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】：已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图解 (1)列表取值：x π2 32π 52π 72π 92π 12x －π4 0 π2 π 32π 2π f (x )3－3描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．1.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．o3π56π xy11-2.已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示．(1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．3.已知函数()sin()(,0,02f x A x x R πωϕωω=+∈><<的部分图像如图5所示.（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式； （Ⅱ）求函数()()()1212g x f x f x ππ=--+的单调递增区间.4.已知函数()sin y x =ω+ϕ(0,0)2πω><ϕ≤的部分图象如图所示,则点P (),ωϕ的坐标为(A)(2,)3π (B)(2,)6π(C)1(,)23π (D)1(,)26π5.如图是函数)2,0)(sin(2πϕωϕω<>+=x y 与的图象，那么A ．6,2πϕω-== B ．6,2πϕω== C ．6,1110πϕω==D ．6,1110πϕω-==6.已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0ω>,2πϕ<)的部分图象如图所示,则ω=__________;函数()f x 在区间[,]36ππ-上的最大值为__________.。
由三角函数图象求解析式
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【解析】由图象知最小正周期T＝（）＝＝，故＝3，又x＝时，f（x）＝0，即2）＝0，可得，所以，2＝0。
）已知函数（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.(Ⅰ)求的解析式；（Ⅱ）当，求的值域. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】（1）由最低点为得A=2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即，由点在图像上得故又（2）当=，即时，取得最大值2；当即时，取得最小值-1，故的值域为[-1,2] w.w.w.k.s.5把函数y＝cos(3x＋)的图象适当变动就可以得到y＝sin(－3x)的图象，这种变动可以是( )A.向右平移B.向左平移C.向右平移D.向左平移分析：三角函数图象变换问题的常规题型是：已知函数和变换方法，求变换后的函数或图象，此题是已知变换前后的函数，求变换方式的逆向型题目，解题的思路是将异名函数化为同名函数，且须x的系数相同.解：∵y＝cos(3x＋)＝sin(－3x)＝sin［－3(x－)］∴由y＝sin［－3(x-)］向左平移才能得到y＝sin(－3x)的图象.答案：D4.将函数y＝f(x)的图象沿x轴向右平移，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y＝sinx的图象相同，则y＝f(x)是( )A.y＝sin(2x＋)B.y＝sin(2x－)C.y＝sin(2x＋)D.y＝sin(2x－)分析：这是三角图象变换问题的又一类逆向型题，解题的思路是逆推法.解：y＝f(x)可由y＝sinx，纵坐标不变，横坐标压缩为原来的1/2，得y=sin2x;再沿x轴向左平移得y＝sin2(x＋)，即f(x)＝sin(2x＋).若函数f(x)＝sin2x＋acos2x的图象关于直线x＝－对称，则a＝–1.分析：这是已知函数图象的对称轴方程，求函数解析式中参数值的一类逆向型题，解题的关键是如何巧用对称性.解：∵x1＝0，x2＝－是定义域中关于x＝－对称的两点∴f(0)＝f(－)即0＋a＝sin(－)＋acos(－)∴a＝－1若对任意实数a，函数y＝5sin(πx－)(k∈Ｎ)在区间［a，a＋3］上的值出现不少于4次且不多于8次，则k的值是( )A.2B.4C.3或4D.2或3分析：这也是求函数解析式中参数值的逆向型题，解题的思路是：先求出与k相关的周期T的取值范围，再求k.解：∵T＝又因每一周期内出现值时有2次，出现4次取2个周期，出现值8次应有4个周期.∴有4T≥3且2T≤3即得≤T≤，∴≤≤解得≤k≤，∵k∈Ｎ，∴k＝2或3.巧求初相角求初相角是高中数学学习中的一个难点，怎样求初相角?初相角有几个?下面通过错解剖析，介绍四种方法.如图，它是函数y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω＞0)，｜｜＜π的图象，由图中条件，写出该函数解析式.错解：由图知：A＝5由得T＝3π，∴ω＝＝∴y＝5sin(x＋)将(π，0)代入该式得：5sin(π＋)＝0由sin(＋)＝0，得＋＝kπ＝kπ－(k∈Z)∵｜｜＜π，∴＝－或＝∴y＝5sin(x－)或y＝5sin(x＋)分析：由题意可知，点(，5)在此函数的图象上，但在y＝5sin(x－)中，令x＝，则y＝5sin(－)＝5sin(－)＝－5，由此可知：y＝5sin(x－)不合题意.那么，问题出在哪里呢?我们知道，已知三角函数值求角，在一个周期内一般总有两个解，只有在限定的范围内才能得出惟一解.正解一：(单调性法)∵点(π，0)在递减的那段曲线上∴＋∈［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)由sin(＋)＝0得＋＝2kπ＋π∴＝2kπ＋(k∈Z)∵｜｜＜π，∴＝正解二：(最值点法)将最高点坐标(，5)代入y＝5sin(x＋)得5sin(＋)＝5∴＋＝2kπ＋∴＝2kπ＋(k∈Z)取＝正解三：(起始点法)函数y＝Asin(ωx＋)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x 正是由ωx+=0解得的，故只要找出起始点横坐标x0,就可以迅速求得角.由图象求得x0=-,∴=-ωx0=- (-)=.正解四：(平移法)由图象知，将y=5sin(x)的图象沿x轴向左平移个单位，就得到本题图象，故所求函数为y＝5sin(x＋)，即y＝5sin(x＋).【基础知识精讲】1.用五点法作y=Asin(ωx+φ)(ω＞0)的图像时，我们采用换元法，将ωx+φ看成y=sinx中的x，模仿y=sinx的五点法来作.ωx1+φ=0x1=-,ωx2+φ=x2=ωx3=πx3=,ωx4+φ=x4=,ωx5+φ=2πx5=.即五点(-,0),( ,A),( ,0).( ,-A).( ,0)2.函数y=Asin(ωx+φ)的图像与y=sinx的图像关系.(1)振幅变换函数y=Asinx(A＞0,且A≠1)的图像，可以看作是y=sinx图像上所有点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的.这种变换叫振幅变换，它实质上是纵向的伸缩.(2)周期变换函数y=sinωx(ω＞0,且ω≠1)的图像，可以看作是把y=sinx的图像上各点的横坐标都缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1到原来的倍(纵坐标不变)而得到的，由y=sinx的图像变换为y=sinωx的图像，其周期由2π变.这种变换叫做周期变换.它实质上是横向的伸缩.(3)相位变换函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y=sinx的图像上各点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移｜φ｜个单位而得到的.这种由y=sinx的图像变换为y=sin(x+φ)的图像的变换，使相位x变为x+φ,我们称它为相位变换.它实质上是一种左右平移变换.应用振幅变换、周期变换、相位变换(左右平移变移)和上下平移变换可由y=sinx的图像得到y=Asin(ωx+φ)+k的图像.事实上，设f、t、h分别表示相位变换，周期变换，振幅变换，则变换作图法共有以下不同的程序.(1)f→t→h;(2)f→g→t(3)t→h→f;(4)t→f→h;(5)h→f→t;(6)h→t→f3.y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0)与振动在物理学中，y=Asin(ωt+φ)(A＞0,ω＞0),其中t∈［0，+∞)，表示简谐振动的运动方程.这时参数A，ω，φ有如下物理意义.A称为振幅，它表示振动时物体离开平衡位置的最大距离.T=称为周期，它表示振动一次所需的时间(亦即函数y的最小正周期).f== 称为振动的频率，它表示单位时间内往复振动的次数，ωt+φ叫做相位，当t=0时的相位，即φ称为初相.4.函数图像的对称变换一个函数的图像经过适当的变换(例如对称、平移、伸缩等)得到与其图像有关函数的图像，叫做函数的初等变换.前面的平移、伸缩变换均属初等变换.对称变换主要指下面几种：(1)函数y=-f(x)的图像与y=f(x)的图像关于x轴对称.(2)函数y=f(-x)的图像与y=f(x)的图像关于y轴对称.(3)函数y=f(-x)的图像与y=-f(x)的图像关于原点对称.(4)函数y=f-1(x)(或x=f(y))的图像与y=f(x)的图像关于直线y=x对称.【重点难点解析】重点：用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的简图及三角函数的图像变换.难点：三角函数的图像变换.即由y=sinx的图像变换到y=Asin(ωx+φ)的过程.关键：理解A、ω、φ的对图像变化所起的作用.例1 函数y=3cos(-)的图像可以由y=sinx的图像经过怎样的变换得到?解：y=3cos(-)=3sin［+( -)］=3sin(+).先将y=sinx的图像向右平移个单位，得到y1=sin(x+)的图像.再将y1的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y2=sin(+)的图像.再将y2的图像上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，就得到所求函数的图像.评析：这种图像变换的顺序通常是先作相位变换，再作周期变换，最后作振幅变换.本题中若将相位变换与周期变换的顺序交换，得到的结果将是y=3sin(+)而不是y=3sin(+).例2 用五点法作出函数y=4sin(+)在一个周期内的简图.解：函数y=4sin(+)的振幅A=4，周期T=4π,令+=0,得初始值x0=-(初始值指图像由x轴下方向上经过x轴时的横截距).列表：评注：注意到五点的横坐标是从x0开始，每次增加周期的，即xi=xi-1+(i=1,2,3,4)可简化x的五个值的运算.例3 设三角函数f(x)=sin(x+)(k≠0).(1)写出f(x)的最大值M，最小值m和最小正周期T；(2)试求最小正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x)至少有一个值是M，一个值是m.解：(1)M=1,m=-1,T==.(2)f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m，而任意两个整数间的距离都≥1，因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M 与一个值m，必须且只须f(x)的周期≤1，即≤1,｜k｜≥10π=31.4,可见，k=32就是这样的最小整数.例4 已知正弦数y=Asin(ωx+φ)(其中A＞0，ω＞0)的一个周期的图像如图所示，试求函数的解析式.分析：求函数的解析式，就是确定解析式中A，ω，φ的值.由图像中三个已知点的坐标列出A，ω，φ的方程组求解.若令X=ωx+φ,要注意x0=-是初始值，对应于X=0,x=-π时对应于X=π.∴函数解析式为y=2sin(x+).【难题巧解点拔】例1 指出将y=sinx的图像变换为y=sin(2x+)的图像的两种方法.思路1 x→2x→2(x+)=2x+.解法1 y=sinxy=sin2xy=sin［2(x+)］=sin(2x+).思路2 x→x+→2x+.解法2 y=sinxy=sin(x+)y=sin(2x+).说明：在解法1中，先伸缩，后平移.在解法2中，先平移，后伸缩.表面上看来，两种变换方法中的平移是不同的(即和)，但由于伸缩变换的影响，所以实质上都是一致的.例2 函数f(x)的横坐标伸长到原来的两倍，再向左平移个单位，所得到的曲线是y=sinx的图像，试求函数y=f(x)的解析式.分析：这个问题有两种解法，一是考虑以上变换的“逆变换”(所谓“逆变换”，即将以上变换倒过来，由y=sinx变换到y=f(x);二是代换法，即设y=Asin(ωx+φ),然后按题设中的变换分两步得：y=Asin［(x+)+φ］,它就是y=sinx，即可求得A、ω、φ的值.解法1：问题即是将y=sinx的图像先向右平移个单位，得y=sin(x-);再将横坐标压缩到原来的，得y=sin(2x-),即y=-cos2x.这就是所求函数f(x)的解析式.例2 已知正弦函数y=Asin(ωx+φ)的一段曲线(如下图)，试求解析式.解：(1)因为A=3，T=π,ω=2,φ=-ωx0=-2(-)=,所以y=3sin(2x+).(2)A=,当x=0时，y=1,所以sinφ=1,又｜φ｜＜，所以φ=,当x=π时，y=0，即sin(ω·+)=0,所以ω=,所以y=sin(x+).评析：若已知曲线与x轴的交点的坐标，先确定ω=；若已知曲线与y轴的交点的坐标，先确定φ；若先确定ω则有φ=-ωx0,其中x0是离y轴最近的递增区间的中心点的横坐标.1.如图，是正弦函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的一个周期的图像.(1)写出f(x)的解析式；(2)若g(x)与f(x)的图像关于直线x=2对称，写出g(x)的解析式.2.试说明y=cosx的图像经怎样的变换可得到y=3cos(3x+)+1的图像?3.已知y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0,0＜φ＜π的最小正周期为，最小值为-2，且过点(π，0)，求它的表达式.1.已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0,｜φ｜＜)的图像在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0，2)和(x0+3π，-2).(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)y=f(x)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，然后再将所得图像向x轴正方向平移个单位，得到函数y=g(x)的图像.写出函数y=g(x)的解析式并用列表作图的方法画出y=g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图像.xyeq \f(13π,3) ππeq \f(π,3)3－3O例2 右图为某三角函数图像的一段（1）试用y=Asin（ωx+φ)型函数表示其解析式；（2）求这个函数关于直线x=2π对称的函数解析式．解：（1）T= eq \f(13π,3)－ eq \f(π,3) =4π．∴ω= eq \f(2π,T) = eq \f(1,2) ．又A=3，由图象可知所给曲线是由y=3sin eq \f(x,2)沿x轴向右平移 eq \f(π,3)而得到的．∴解析式为 y=3sin eq \f(1,2) (x－ eq \f(π,3))．(2)设（x，y)为y=3sin( eq \f(1,2) x－ eq \f(π,6) ）关于直线x=2π对称的图像上的任意一点，则该点关于直线x=2π的对称点应为（4π－x，y)，故与y=3sin( eq \f(1,2) x－ eq \f(π,6)）关于直线x=2π对称的函数解析式是y=3sin［ eq \f(1,2)（4π－x)－ eq \f(π,6)］=－3sin( eq\f(1,2) x＋ eq \f(π,6)）．点评y=sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象由y=s inωx的图象向左平移（φ＞0）或向右平移（φ＜0） eq \f(|φ|,ω)个单位．特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量．求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用．例1 求函数f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值，并求出此时x的值．分析由于f（x）的表达式较复杂，需进行化简．解 y=sin2x+cos2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= eq \r(2) sin(2x+ eq \f(π,4))+2当2x+ eq \f(π,4)=2kπ+ eq \f(π,2)，即x=kπ+ eq \f(π,8) (k∈Z)时，ymax= eq \r(2) +2 ．点评要熟练掌握y=asinx+bcosx类型的三角函数最值的求法，asinx+bcosx= eq \r(a2+b2) sin（x+φ）．例2 若θ∈［－ eq \f(π,12), eq \f(π,12)］，求函数y=cos( eq \f(π,4)+θ）+sin2θ的最小值．分析在函数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，若能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子，则问题可得到简化．解 y=cos( eq \f(π,4)+θ)－cos［2(θ+ eq \f(π,4))］=cos( eq\f(π,4)+θ)－［2cos2(θ+ eq \f(π,4))－1］=－2cos2(θ+ eq \f(π,4))+cos( eq \f(π,4)+θ)+1 =－2［cos2(θ+ eq \f(π,4))－ eq \f(1,2)cos(θ+ eq \f(π,4))］+1=－2［cos(θ+ eq \f(π,4))－ eq \f(1,4)］2+ eq \f(9,8) ．∵θ∈［－ eq \f(π,12), eq \f(π,12)］，∴θ＋ eq\f(π,4)∈［ eq \f(π,6)， eq \f(π,3)］．∴ eq \f(1,2)≤cos(θ+ eq \f(π,4))≤ eq \f( eq \r(3) ,2)，∴y 最小值 = eq \f( eq \r(3) －1,2) ．点评（1）三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式（即f(sinx)或g(cosx))，是常见的转化目标；（2）形如y=f(sinx)或y=g(cosx)的最值，常运用sinx，cosx的有界性，通过换元转化成y=at2+bt+c在某区间上的最值问题；（3）对于y= Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最值的求法，应先求出t=ωx+φ的值域，然后再由y=Asint和y=Acost的单调性求出最值．例3 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值．分析由于sinx+cosx与sinxcosx可以相互表示，所以令sinx+cosx=t，则原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c在某区间上的最值问题．解令t=sinx+cosx，则y=t+t2+1=(t+ eq \f(1,2))2+ eq \f(3,4)，且t∈［－ eq \r(2) ， eq \r(2) ］，∴ymin= eq \f(3,4) ，ymax=3+ eq \r(2) ．点评注意sinx+cosx与sinxcosx的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c在某个区间上的最值问题．【知能集成】较复杂的三角函数的最值问题，往往通过需要恒等变形，转化成形如y=f(sinx)或y=g(cosx)型或y= Asin(ωx+φ)+k型的三角函数的最值问题，运用三角函数的有界性、单调性求三角函数的最值．用换元法解题，特别要注意sinx+tcosx与sinxcosx的关系，令sinx+cosx=t，则sinxcosx= eq \f(t2－1,2) ．y=sinxcosx+sinx+cosx，求x∈［0， eq \f(π,3)］时函数y的最大值。
由三角函数图像求解析式
y = sin(wx +（) w > 0,-p < p）
=
y = 2sin(wx + （) 其中| |< p ）
2
1
y
0
3p
4
-1
2p
x
y
0
p
2p
3
3
x
当堂检测：
y
2
1
11p
12
0
x
y
2
1
0
p
4
-1
-2
5p
x
4
2
分图像，求它的解析式
y
2
p o
6
-2
5p
6x
y = 2sin(2x + p )
3
变 式 1：
如图是函数 y = Asin(wx + )( A > 0,w > 0, < p )的部
分图像，求它的解析式
y
2
3
y = 3sin( 3x p )
3
x
o p 4p
9
9
-3
变 式 2:
如图是函数 y = Asin(wx + ) + B( A > 0,w > 0, < p )的部
2
一最高点P的坐标为（p ，2），且与它相邻的最低点Q,
12
又 PQ = 16 + p 2 ，求它的解析式。
4
y
P
(p
12
,2)
x o
M
Q
y = 2sin(2x + p )
3
f (x) = sin(wx +)(w > 0) 求w
4.4 三角函数的图象 解析式Microsoft Word 文档
4.4 三角函数的图象 解析式一、明确复习目标1.了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，2.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A ω、φ的物理意义3.会由图象求y=Asin(ωx+φ)的解析式.二．建构知识网络1．三角函数线[见课本]利用三角函数线可以:比较三角函数值的大小,求取值范围,证明:“若0<α<2π则 sin α＜α＜tan α”; 画三角函数y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象； 2．y=Asin(ωx+φ)的图象：①用五点法作图:五点取法由ωx +ϕ=0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图.②图象变换：先平移、再伸缩两个程序③A---振幅 ϖπ2=T ----周期 πω21==T f ----频率 相位--+ϕωx 初相--ϕ3．图象的对称性①y=sinx 图象的对称中心(k π,0), 对称轴x=k π+2π; y=cosx 呢? ②y=tanx 图象的对称中心(2k π,0), 渐近线x= k π+2π;③ y=Asin(ωx+φ)图象的对称轴是: ωx+φ=k π+2π,即x=? (k ∈Z).由ωx+φ=k π得对称中心为:(ωφπ-k ,0), k ∈Z.4.给出图象确定解析式y=Asin(ωx+φ)的题，一般先找“五点”中的第一零点或第一个最大值点确定ω或φ.三、双基题目练练手1.在（0，2π）内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围是 ( ) A .（4π，2π）∪（π，4π5） B .（4π，π） C .（4π，4π5）D .（4π，π）∪（4π5，2π3） 2.函数y =cos （x +3π4）的图象向左平移φ个单位，所得的函数为偶函数，则ϕ的最小值是 ( )A .3π4B .3π2C .3πD .3π5 3. (2006天津)已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是 （ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 4.（2005湖北）若∈<<=+απαααα则),20(tan cos sin （ ）A ．)6,0(πB ．)4,6(ππC ．)3,4(ππD ．)2,3(ππ5.将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是______________6.（2005湖南）设函数f (x )的图象与直线x =a ，x =b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b]上的面积，已知函数y ＝sinn x 在[0，nπ]上的面积为n 2（n ∈N * ），（i ）y ＝sin3x 在[0,32π]上的面积为 ；（ii ）y ＝sin （3x －π）＋1在[3π，34π]上的面积为 .✿简答:1-4.CBDC; 1.利用三角函数线; 2.设平移后:y =cos （x +3π4+ϕ）， 则3π4+ϕ=k π.ϕ=k π－3π4＞0.∴k ＞34.∴k =2.∴ϕ=3π2;3.()),f x x ϕ=-可取35,424πππϕϕ-==-得,∴5())4f x x π=+, 3())4f x x x ππ-=-= 4.利用图象可得解.5.平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262πππω+=，所以2ω=，答案sin(2)3y x π=+。
题型-三角函数看图求解析式
三角函数看图求解析式
一、题型要求：
1、如果题目给出或者说明图像，就可以根据图像信息分别求出ϕω,,A 的值
2、最值看A ；ω看周期；ϕ要代点求解
3、要注意“五点作图法”原则，函数的周期性和系数的范围
二、例题讲解：
1、已知函数sin()y A x ωϕ=+ ),0,0(πϕω<>>A 一个周期内的函数图象，
如下图所示，求函数的一个解析式.
三、练习巩固：
1、已知函数y=Asin （ωx+φ），x ∈R （其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜
2
π）的部分图象如图所示，求这个函数的解析式．
2、已知函数f （x ）=Asin （wx+φ），（A ＞0，w ＞0，|φ|＜
2
π，x ∈R ）的图象的一部分如图所示,求函数f （x ）的解析式；
3、已知函数y=Asin （ωx+φ），x ∈R （其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π\2）的部分图象如图所示，求这个函数的解析式．
4、函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）在一个周期内的图象如图，求函数的解析式．
5、如图是函数y=Asin（wx+φ）一个周期内的图象，试确定函数的解析式．
6、函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，求此函数的解析式．。
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14 X ( 时间/h )
例5 :图 中 曲 线 是 函 数y A sin( x )的 图 像 的 一 部 分，
求 这 个 函 数 的 解 析 式。
解析： 显然A 2
T 2( 5 ) 63
2 2
T
x0 3 4 12
Y
2
A
1
3
O x0
即A( ,2 )代 入y A sin( x ),得
(3)从寻找“五点法”中的第一零点－ωφ ，0(也叫初始点)作为 突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置，从而确定
φ. 依据五点列表法原理，点的序号与式子关系如下： “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象曲线的“峰点”)为 ωx＋φ＝π2； “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象曲线的“谷点”)为 ωx＋φ＝32π；
6
-2
5
6x
变 式 1：
如图是函数 y Asin(x )( A 0, 0, < )的部
分图像，求它的解析式
y
2
3
y 3sin( 3x )
3
x
o 4
9
9
-3
变 式 2:
如图是函数 y Asin(x ) B( A 0, ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0, < )的部
2
分图像，求它的解析式
y
2
)(
0 )的部分图像。
(1)求函数的周期；
3y
(2)求的值；
y
2
7
12
x
o
2
o
6
-2
5
6x
3
-2
(1)求函数的周期； (2)求的值；
y 4
2 o 6
x
-4
如果是文字叙述呢？
因为T＝ ，所以往往通过求周期T来确定ω， 可通过已知曲线与x轴的交点确定T；相邻的 最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高 点(或最低点)之间的距离为T.
“第五点”(即图象第二次上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝2π. 在用以上方法确定 φ 的取值时，还要注意题目中给出的 φ 的范 围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内．
例题讲解
例 1.如图是函数y Asin(x )(A 0, 0, < )的部
2
分图像，求它的解析式
y
2
o
2.掌握如何利用图像求三角函数的解析式。
学习新知
探究一 如何确定A的值
问题1 .如图是函数 y Asin( 2 x
)(
0 )的部分图像。
求函数的振幅；
3y
2
o
6
-2
5
6x
求函数的振幅；
y
3
2
3
o
6
x
-3
一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.
学习新知
探究二 如何确定的值
问题2 .如图是函数 y 2 sin( x
3
12
2 2 sin( ) 6
2k,k Z
6
2
取k 0,得 . 3
所求函数的解析式为： y 2 sin（ 2x ) 3
5 6
X
例5 :图 中 曲 线 是 函 数y A sin( x )的 图 像 的 一 部 分，
求 这 个 函 数 的 解 析 式。
Y
2A
3
2
y 2sin( x ) 2
4
o 5
x
44
例、如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足 函数y=Asin(ωx+φ)+b. （1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式。
分析:(1)由图意知,最大温度差为30 10 20 ( 2 )此图为y A sin( x ) b的图像,求出各个参数即可.
y Asin(x )，其中A 0, 0
A：振幅 (运动的物体离开平衡位置的最大距离) T：周期T＝ 2
(运动的物体往复运动一 次所需要的时间 )
f：频率f 1 ＝ T 2
(运动的物体在单位时间 内往复运动的次数 )
x ：相位 x 0时的相位称为初相
利用图像求三角函数解析式
学习目标
1.掌握函数 y Asin(x ) B（A 0， 0） 中A, B,, 与图像的关系。
法二 由图象知 A＝2，且图象过点38π，0，78π，0.
38πω＋φ＝π， 根据五点法作图原理有78πω＋φ＝2π，
ω＝2， 解得φ＝π4，
∴y＝2sin2x＋π4.
在由图象求解析式时，“第一个零点”的确定是关键，一般地可将 所给一段图象左、右扩展找离原点最近且穿过 x 轴上升的即为“第 一零点”(x1,0)．从左到右依次为第二、三、四、五点分别有 ωx2 ＋φ＝π2，ωx3＋φ＝π，ωx4＋φ＝32π，ωx5＋φ＝2π.
4
9
9
x
o
y 3sin( 3x ) 1
3
-4
当堂训练
1.如图是函数y Asin(x )(A 0, 0, < )的部
2
分图像，求它的解析式。
y 2sin( x )
6
2
6
o
-2
x
5
6
2.如图是函数 y Asin(x ) B( A 0, 0,0 < < )
的部分图像，求它的解 析式。y
图 中 从6时 到14时 是 半 个 周 期 的 图 像
T 16, 2 16 8
Y (温度 /。C) 30
20
又由图意知A 30 10 10,b 30 10 20 10
2
2
这时y 10 sin( x ) 20
O
8
6 10
又将点( 6,10 )代入即可求得 3 . 4
可得解析式为: y 10 sin( x 3 ) 20,x ［ 6,14］. 84
1
3
O x0
5 6
X
解后反思：由y=Asin(ωx+φ)的图像求其解析式φ较为难 求，通常取函数最值点确定φ的值不易出错，因函数的零点 有两种情况，容易出错，尽量避免。
练习1.函数y Asin(x ), ( A 0, 0,| | )
探究三 如何确定 的值
问题3 .如图是函数
y 2 sin( 2 x )(
<
)
2
的部分图像 , 求 的值。
y
y
2
7
2
12
x
o
o
6
x -2
-2
题型三 由函数的图象确定函数解析式 【例 3】 (1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图①，则其一个 函数解析式为________．
①
[思路探索] 可由最高、最低点确定 A，再由周期确定 ω，然后 由图象过三点确定 φ，或由点的坐标代入解析式求解． 解析 (1)法一 由图象知 A＝2，T＝78π－－π8＝π. ∴ω＝2ππ＝2. 又过点－π8，0，令－8π×2＋φ＝0. 得 φ＝4π，∴y＝2sin2x＋4π.