周期信号的傅立叶变换

无失真传输的条件 H ( j) Ke jt0
即：| H ( j) | H () K () t0，
为实现无失真传输，在全部频带内，系统函数的幅频特性 应为一个常数，而相频特性应为通过原点的直线，即信号 通过线性系统时各谐波的相移必须与其频率成正比
X
| H(j )| H() K () t0， 其幅频特性和相频特性如下图：
H ( j) H ()e j()
e
jt0
0
c
其它
1 H ()
c
0 c
()
c
0 c
X
第九节 调制与解调
一、调制原理 调制：用一个信号去控制另一信号的某一参量的过程。
被控制的信号叫载波,也叫被调信号 控制信号叫调制信号
载波是高频余弦波，余弦波有三个要素：幅值、相位、 频率
控制载波的幅度叫调幅（AM)； 控制频率叫调频（FM）； 控制相位叫调相 （PM）；
分类：调幅，调频，调相
对信号进行调制的框图如下图所示
f (t) y(t)
发射装置 Cos0t
f (t) F( j)
Cos0t p [ ( 0 ) ( 0 )]
y(t) f (t) Cos0t
Y ( j) 1
2p
F( j)*[p ( 0 ) p ( 0 )]
1
2
F [ j(
0 )] F [ j(
y(t) f-1-(t-) 低通滤波器
接收系统 Cos0t
f (t)
这里 cos0t 是接收端的本地载波信号，它与发送端 的载波同频同相。
X
f1(t) y(t)Cos0t ( f (t) Cos0t) Cos0t
1 2
f
(t) (1 Cos20t)
1 2
f
(t)
1 2
f
F n e jn1t
n
FT j F fT t
F
n
•
F
n
e jn1t
n
•
F
nF
e jn1t
•
F n 2π n1 n
•
2π F n n1 n
X
几点认识
•
FT j 2π F n n1
1 fTt的频谱由冲激序列组成;
(2)这些冲激函数位于谐波频率处: n1 谐波频率
F ( j ) H (j ) y( j )
无失真传输通俗地讲，就是输入什么形状的信号，输
出仍要完全保持原形状，只允许有幅度大小的变化和时
间的延迟。
X
无失真传输 只有幅度大小的变化和时间的 延迟，而无波形变化。即:
y(t) K f (t t0 )
如 f (t) F( j)
无失真传输时，Y ( j) KF( j)e jt0
即： h(t) H ( j)
3、H(jω)的求法
①当给定激励与零状态响应时，根据定义
H(j )
Yzs(j ) F(j )
②当已知系统的冲击响应h(t)时，可
H ( j) h(t)e jtd
③给定系统的数学模型(微分方程)时，用傅里叶变换的 性质求。
X
4、非周期信号激励下的零状态响应 求解零状态响应的方法如下图所示.
mom mom
P
j1
F1
PFjjj
抽样冲激序列
pt
p(1()t)
E
(1T)s(t
)E
(t
n
nTss )
s s (
n
ns )
o TS o o ot TS t t t
s o s msoommoms
fS(t) p(tf)Sp((t相 乘t))
卷相 积乘
(1) (1) E
卷 积
(B) f(t) = sin(2t) + sin(4t)
(C) f(t) = sin(2t) sin(4t)
(D) f(t) = cos2(4t)
|H( jω) | π
0
10
(a)
θ (ω) 5
-5 0
ω
-5
5ω
(b)
三、理想低通滤波器
1、理想低通滤波器的系统函数
具有如图所示幅频、相 频特性的系统称为理想 低通滤波器。c称为截 止角频率。
＝p m
是最大抽样间隔 , 称为“奈奎斯特抽样间隔”。
fs 2 fm 是最低允许的抽样频率 , 称为“奈奎斯 特抽样频率”
1 T
F0
j
n1
•
FT j 2π F n n1
•
即F0 ( j) F n FT ( j) X
例1 周期单位冲激序列的傅里叶变换
T1 t t nT1 n
因为 t 1
所以 T1 t 的傅氏级数谱系数
T t
1 1 1 1 1
2T1 T1 o T1 2T1 t
(t) Cos20t)
F1( j) F [ f1(t)]
1 2
F
(
j)
1
4
F
[
j(
20 )
F
[
j(
20 )]
相应的频谱如图，可见借助低通滤波器，
可恢复出所需信号。
1 F1 ( j)
2
1 4
20
m 0 m
20
X
三．频分复用
信道：信号传输的媒介； 无线通信：信道是广阔天空 有线通信：信道是传输线 复用：是为有效利用信道资源，在一个信道上同时 传输多路信号。
fs
2
fm (或s
2m ),即其抽样间隔Ts
1 2 fm
m
2πfm
s
F 1s
j
Ts
om s
X
重建原信号的必要条件：s－m m s 2m
s 2π fs 2m 2 2πfm 即 fs 2fm
或s
2π Ts
2m
2 2p
fm
即 Ts
1 2 fm
不满足此条件，就会发生频谱混叠现象。
1 Ts 2 fm
•1 Fn
T1
•
F j F T t 2p F n ( n1) n
1 ( n1) n X
频谱
•
Fn
1
T1
21 1 o 1 21
F j
1 1 1 1 1
21 1 o 1 21
T t 的频谱密度函数仍是冲激序列, 强度和间隔都是1。
X
§3.6 连续时间系统的频域分析
(3)每个冲激的强度等于周期信号傅里叶级数展开系
•
数 F n的 2p 倍。
X
二、傅里叶系数与傅里叶变换的关系
•
即单个脉冲的 F0 j与周期信号fT t 的谱系数 F n 的关系
f0 t
fT t
T o
T
t T
o
T
2
2
设 f0 t F0 j
T
F0 j
2 T
f0 t ejt d t
(1)
mommoommoomPPPmmmmjjj
(1p(()(11((11tp)))))(t)EEEE
o
ooo TTTSSS o TffSSSfTS(((ttS))t) fS(ftS)(t)
t
ttt t
相 相相 相乘 乘乘 相 乘乘
o ooooTSTTTTSSSS
ttt tt
卷 卷卷
sss
s s
0 )]
X
Y ( j) 1
2p
F( j)*[p ( 0 ) p ( 0 )]
1
2p
F [ j(
0 )] F [ j(
0 )]
调制过程是信号频谱被搬移到0的过程，如下图所示：
f (t)
F ( j)
1
t
0
(a)
m 0 m
y(t)
0
t
(b)
0
Y ( j)
1
2
0 0
X
二、解调原理
把已知信号 y(t) 恢复原始信号 f (t) 的过程称为解调。
§3.5周期信号的傅立叶变换
引言
周期信号：
•
f t 傅里叶级数 F n 离散谱
非周期信号：
f t 傅里叶变换F j 连续谱
周期信号的傅里叶变换如何求？ 与傅里叶级数的关系？
X
一．一般周期信号的傅里叶变换
设信号周期 :T 2π
1 由傅里叶级数的指数形式出发：
其傅氏变换(用定义)
•
fT t
F 1
s
j
P
FPjjj
1s
Ts
sTs
s
o TS o ooTtSTTSS t t t
s
omss sso
oo
m
ss
s
X
fs(t ) of(t )Ts(tt)
mom
Fs
j
F
opf(t)t
p(t)
Ts
t
t
(1)
(1)
1E
Ts En
F[
1 2π
j
F
ns
j
]
s
mo(mPnjs
n P j
s
s
)
o TS
t
o fS(TtS)
fS(t)
t 相
乘
s
s
o
o
F
s
s
j
F 1s s j
1
TTs s
oo TTS S
tt
s s oomms s
X
冲激抽样信号的频谱分析
ff((f(tt))t) f(tf)(t)
1
111FFFFFjjjjj
1
ooo o o ppp(((tt))t)
ttt tt
得：
H
(
j
)
Y( F(
j ) j )
1
(
j
j 3 2)( j
1)
则 Y ( j) H ( j)F ( j) 1 1 1 j 3 j 1 j 2
零状态响应： yzs (t) (e3t et e2t ) (t)
X
二、无失真传输
信号通过系统框图如图所示
f (t) h(t) y(t)
频分复用 时分复用
（FDM） （TDM）
频分复用(frequency division multiply)：以频段 分割的方法在一个信道内实现多路通信的传输体制。
§3.10 抽样信号的频谱
一．抽样
从连续时间信号中每隔固定的时间间隔抽取一系列的 离散样值，称为抽样信号。
抽样是从连续信号到离散信号的桥梁，也是对信号 进行数字处理的第一个环节。
卷积 积积 卷
积积
sss
s s
ooooooPooooTF1msTTFFs1m1mPTTFFs1m1mssssjssssssssssjjssssjjsssjsj
源自文库
X
三、 时域抽样定理
一个频带受限的信号 f (t)，若频谱只占据 m ~ m
的范围，采样后保证不丢失原信号的信息，即通过合
适的低通滤波器后可恢复原信号 f t 的条件是采样频率
X
例1：已知系统微分方程： y'' (t) 3y' (t) 2 y(t) f ''(t) 4 f '(t) 5 f (t)
激励 f (t) e3t (t) ，求零状态响应。
法一：解
F ( j) 1 j 3
[( j)2 3 j 2]Y ( j) [( j)2 4 j 5]F( j)
fT t
在
T 2
,
T 2
内f
0
t
与fT
t
相同
•
所以F n
1 T
F0
j
n1
X
（所以说，周期信号的傅里叶系数―――复振
幅
•
F
n
等于单信号的傅里叶变换
F0
(
j
)
在
n1
1
频率点的值乘以 ）
T •
我们可由F0 j求周期函数 fT t 的谱系数 F n
周期信号的傅立叶变换与傅里叶级数的关系如下：
•
Fn
H ()
K
0
( )
0 t0
(a)
(b)
在工程上所谓无失真传输，其含义是保证 系统的无失真传输带宽与信号有效带宽相匹配。
理想滤波器
X
例：系统的幅频特性 |H(jω)|和相频特性如图 (a)(b)所示，则下列信 号通过该系统时，不 -10 产生失真的是
(A) f(t) = cos(t) + cos(8t)
"0"
f (t)
LTI
y f (t)
h(t)
F
F 1
F( j) H ( j) Y ( j)
X
频域系统分析的步骤： ①输入信号的FT f(t)→F(jω) ②系统函数 h(t)→H(jω) ③输出信号的FT Y(jω)=F(jω)H(jω) ④输出的零状态响应 yzs(t)=F-1[Y(jω)]
H ( j) YZS ( j) F( j)
H ( j) 是线性系统的频率传输函数，有时也叫系统频响 函数。它的定义是零状态响应傅氏变换与激励傅氏变换 之比。
X
2、H ( j)与 h(t)的关系
Q yzs (t) f (t)*h(t) 令 f (t) (t) 则yzs (t) h(t)
F [h(t)] Y(j) H(j)F(j) H(j)
fT
t
2
•
F n e jn1t
n
•
Fn
1
T
T
f 2
T T 2
t e jn1t d t
(2)
t
X
T
F0 j
2 T
f0 t ejt d t
2
fT
t
•
F n e jn1t
n
F• n
1 T
T
f 2
T T 2
t e jn1t d t
(1)
(2)
比较式(1), (2)
f0 t
n1
一、频域的系统函数及频域分析
(对于LTI系统除了可以用第二章讲过的时域分析法外还可以用频域 分析法进行分析。它的基本原理是：将信号分解为无穷多项不同频 率的虚指数信号之和通过系统，最后进行响应的合成得到待求的响 应。时域分析与频域分析的关系如图)
f (t)
信号分解
F( j)
LTI
h(t)
H( j)
抽样原理图：
f (t)
fs (t ) A/D
f (n)
量化编码
周期 信号
p( t )
需解决的问题
:
fs (t) Fs j与F
由fs t能否恢复f
j 的关系
t
X
二．抽样信号的频谱（单位冲激序列抽样）
f(t)
f(t)
连续信号
1
F j
1
F jft
抽样信号
fs t
o
ot
t
p(t) f(tp)(f(t)t)
yzs (t)
响应合成
Y( j)
图3.10-1
X
(将 f (t) 在区间 内分解成虚指数信号的连续和的
形式,
f (t) 1 F( j)e jtdt
2p
1
2p
F(
j )
为每一个分量的展开系数)
1、定义
yzs (t) f (t) h(t) Yzs ( j) F ( j) H ( j)