利息理论年金

1 11
---- 1 1 1---- 初付永久年金
1 1 1 ---- 1 0 0 0---
初付年金
1 1 1 ---- 1 0 0---
延付年金
0 1 2 3 ------- n n+1 n+2---
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2.1.1期末付年金
1 1 1…
1 1 1 (付款额)
0 1 2 3…
n-2 n-1 n（时间）
n
n
11
i
a ni
s ni
as
n
n
推导：
1 s
n
i
1
i
in
1
i
i
i 1 i 1 in
n
1
i
i 1 in 1 in 1
i 1 vn
1 a
n
Page ▪ 11
2.1.1期末付年金
▪ 例2.1 计算年利率为6%的条件下，每年年末投资1000元，投资10年的现值 及其累积值。
▪ 例2.2 某银行客户想通过零存整取的方式在1年后获得10000元，在月复利 为0.5%的情况下，每月末存入多少钱，才能达到要求。
n
1 v iv
d
s (1 i)n (1 i)n1 (1 i) (1 i) (1 i)n 1 (1 i)n 1 (1 i)n 1
n
(1 i) 1
iv
d
Page ▪ 15
2.1.2期初付年金
1 本金
d d d d…
dd
利息流
0 1 2 3…
n-2 n-1 n 时间
本金支出
1
图（2-4） 投资 1 产生的以贴现的方式支付利息的现金流图
第二章 年金
深圳大学经济学院 Economics school Shenzhen university
Page ▪ 1
第一节 基本年金
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年金的定义
• 所谓年金是指一系列按照相等时间间隔支付的款项。 • 原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列
付款。
Page ▪ 3
1 v
i
经济解释
Page ▪ 8
2.1.1期末付年金
1 1 1…
1 1 1 (付款额)
a ni
s ni
0 1 2 3…
n-2 n-1 n（时间）
图（2-1） n 期延付年金的付款情况图
s 1 (1 i) n
(1 i)n 1 is n
(1 i)n1
1 (1 i)n
(1 i)n
1
1 (1 i)
汉英名词对照
▪ 年金 ▪ 支付期 ▪ 延付年金 ▪ 初付年金 ▪ 永久年金 ▪ 变额年金 ▪ 递增年金 ▪ 递减年金
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▪ Annuity ▪ Payment period ▪ Annuity-immediate ▪ Annuity-due ▪ perpetuity ▪ Varying annuity ▪ Increasing annuity ▪ Decreasing annuity
a 1 vn ,故有：
n
d
da 1 vn； n
1=da +vn n
s (1 i)n 1，有
n
d
(1 i)n =ds 1 n
s a (1 i)n
n
n
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1 1 d
as
n
n
2.1.2期初付年金
显然，a 与a ; s 与s 之间存在一定的联系。
n
nn
n
a =1+v+v2 n
i
经济解释
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2.1.1期末付年金
a 与s 之间的关系
n
n
a v v2 vn v(1 vn ) 1 vn
n
1 v
i
a ni
s ni
1 in a 1 in v v2 vn n
1 in1 1 in2
1
i
1
s n
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2.1.1期末付年金
a 与s 之间的关系
图（2-1） n 期延付年金的付款情况图
a ni
s ni
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2.1.1期末付年金
1 1 1…
1 1 1 (付款额)
a ni
s ni
0 1 2 3…
n-2 n-1 n（时间）
图（2-1） n 期延付年金的付款情况图
a v v2 n
1 ia vn n
vn v(1 vn ) 1 vn
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2.1.1期末付年金
▪ 例2.4 已知年实际利率为8%，乙向银行贷款1000元，期限为5年，计算下 面的三种还款方式中利息所占的额度。
▪ （1）贷款的本金和利息累积值在第5年末一次还清； ▪ （2）每年末致富贷款利息，第5年末归还本金； ▪ （3）贷款每年年末均衡偿还。
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年金的分类
▪ 分类1
– 基本年金 • 等时间间隔付款 • 付款频率与利息转换频率一致 • 每次付款金额恒定
– 一般年金 • 不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金
▪ 分类2
– 付款时刻不同：初付年金/延付年金 – 付款期限不同：有限年金/永久年金
Page ▪ 5
基本年金图示
1 1 1 ---- 1 1 1---- 延付永久年金
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2.1.3 任意时刻的年金值
1 1 … …1 1
……
（共 n 次付款）
aa nn
Fra Baidu bibliotekss
n
n
图（2-6）年金在四个特殊时间点上的价值图
Page ▪ 19
1 1 11 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
aa
5
5
ss
5
5
图（2-7） 年金时间图
V(1)= a ；V(2)= a ；
同理，
vn1 v v2 v
vn
a n
a (1 v)
vn
s =s 1 i nn
a = v v2
n
v
a 1 n1
vn
a n1
vn
1 i a
vn1 a
ia
vn1
v
n1
n1
n1
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2.1.2期初付年金
▪ 例2.5 某银行客户想通过零存整取的方式在1年后获得10000元，在月复利 为0.5%的情况下，每月初存入多少钱，才能达到要求。
2.1.2期初付年金
1111
11
付款额
0 12 3
n-2 n-1 n 时间
图（2-3）初付年金付款情况图
a n
s n
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2.1.2期初付年金
1111
11
付款额
0 12 3
n-2 n-1 n 时间
图（2-3）初付年金付款情况图
a 1 v v2 vn1 1 vn 1 vn 1 vn
n
n
n
n
（1）如果 t<0（这里为了方便，我们允许负数作 为时间的标识数，其意义符合逻辑顺序，如-1 表 示在 0 前一期，-5 表示在 0 前 5 期），则
5
5
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V(6)= s ；V(7)= s 。
5
5
Page ▪ 21
假设分别在 1、2、3、…、n 时刻付款 1 的 n 次 付款所形成的付款系列，记该系列付款在 t 时的
值为 V(t)，则 V(0)、V(1)、V(n)、V(n+1)分别为
a 、 a 、 s 和 s ，对于其他任意（整数）点 t，