利息理论年金

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利息理论第二章年金

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基本年金图示
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 ------1
---1 1 ----
1 1
1
1---- 延付永久年金 1---- 初付永久年金 0--0--初付年金延付年金
0 0 1 0
0
1
2
3
-------
n
n+1 n+2---
Page 6
2.1.1期末付年金
1 0 1
Page 20
假设分别在 1、2、3、…、n 时刻付款 1 的 n 次付款所形成的付款系列，记该系列付款在 t 时的值为 V(t)，则 V(0)、V(1)、V(n)、V(n+1)分别为
an 、 an 、 sn 和 sn ，对于其他任意（整数）点 t，
（1）如果 t<0（这里为了方便，我们允许负数作为时间的标识数，其意义符合逻辑顺序，如-1 表示在 0 前一期，-5 表示在 0 前 5 期），则 V(t)= (1+i)t an = v t an = ant - at 注意，这里 t<0 为负数；（2）如果 1<t<n，则 V(t)= (1+i)t an = vnt sn = st + ant ；（3）如果 t>n+1，则 V(t)= (1+i)t an = (1 i)t n sn = st - st n ；
Page 21
2.1.3 任意时刻的年金值
例某人从1980年1月1日起开始向希望工程捐款，每年捐款支付3000元，到 2005年1月1日为止从未间断。该人还表示，他的捐款将持续到2019年1月1 日为止。假设年实质利率为6%，分别求该人的全部捐款在下列各时刻的价值：（1）1960年1月1日；（2）1979年1月1日；（3）1980年1月1日；（4）2000年1月1日；（5）2019年1月1日；（6）2020年1月1日；

(完整版)利息理论第二章年金部分习题参考答案

第二章年金部分习题参考答案证明：(1)(1)(1)(1)(1)(1)[]()m nn m m n m n m n v v v v v v i iv v i i a a i i⌝⌝----=---=⨯--=⨯-=⨯-证明：n n n-t t n t t n tttt nnnnn nn t t tt t t t t t t t n na S a a v a a v a =a S v a v a v a v a i v a ia 1111v =====1v v a viv a v v v--+=+----（1-）（1-）（1-）（1-）6. 解：由公式得：mn m+n mva =a a-71118777v a =a a 7.036=9.180 5.153i i=1=0.08299---也即：（1+）解得：7. 设X 可取得的存款额为S,根据题意：5712120.08 0.0818187121000(10.08)1000(10.08)100037.45024 1.0839169.84S S S -=+=+=⨯⨯=12. 解：根据题意，有1010301030101000a 1000a v =a a v K K +-又由于，则上式经整理得：10v =1/21030101030101030101030101111(1)a -a v 10001-v -v (1v )5822111a +a v 1-v +v (1v )91(1)8221800K K ----====--+-=解得：14. 设该永续年金每年支付R ，结合公式: nn a =a v a ∞∞+根据题意该永续年金为三人年金现值之和，即：n n n a a Ra =Rv a 22RR ∞∞++又由于三人所领取的年金现值相等，有:nnn n n 1v a v 2=v a R =R 2i i v =1/3R R ∞- 即，所以，19. 根据题意：22i i 2222222i i 222105105i i 22105i 2i 21051051000=1700011==171=t t t 17t 15=0f()t t 17t 15escart t=f =-0.00117fS S S S t D ⨯++++++-++-+（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）-1+（）-1则：令，上式经过整理为：令=根据规则，上式最多有两个正根，而1显然不符合实际，故排除。

第1章利息理论

2.1.6 利息问题求解
一个简单的利息问题通常包括以下四个基本量： 1.原始投资的本金 2.投资时期的长度 3.利率 4.本金在投资期末的积累值如果已知其中的任何三个，就可以建立一个价值等式，由此等式确定第四个量。
利息问题求解举例
例1：某人借款50000元，每半年结算一次利息，年名义利率为6%，两年后他还了30000元，又过3 年后还了20000元，求7年后的欠款额为多少。
●
积累函数a (t)有时也称作 t 期积累因子;
称 a-1(t)为折现函数或 t 期折现因子。特别地，把一期折现因子a-1(1)简称为折现因子。
●
在复利方式下，当年利率不变时通常记
1 a (t ) (1 i)t
1
1 v a (1) 1 i
1
a (t )
现值
1
1 本金
a (t )
常数利率时
A(t ) A(0)(1 பைடு நூலகம் it )
• 复利：利上生利的计息方式
A(n) A(0)(1 i1)(1 i2)(1 in)
常数利率时
A(t ) A(0)(1 i)t
a(t ) (1 i)t 此时累积函数为
例1. 某人到银行存入1000元，第一年末他存折上的余额为1050元，第二年末他存折上的余额为1100元，问：第一年、第二年的实际利率分别是多少？
价值等式
f (i) ＝2000×(1＋i)5＋3000×(1＋i)2 －6000
可利用中点插值法求解
补充作业：
1、设 m 1，请把的次序排列。
i, i
( m)
, d, d
( m)
, 按从大到小

第三章--基本年金(利息理论-陈萍)课件资料讲解

《利息理论》等额年金知识分析

4
1、期末付年金（Annuity-immediate）
期末付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期末付款1。
年金
111
时间 0 1 2 3
11 n-1 n
5
期末付年金的现值因子
（annuity-immediate present value factor）
a ：a-angle-n n
n期期末付年金的现值因子 a ，a表示annuity，i表示每 ni
a 1v n
vn1
1 vn 1 vn
1v d
s ——期初付年金的积累值因子 n|i
s (1 i) (1 i)n (1 i)[1 (1 i)n1] n
(1 i)n 1 (1 i)
(1 i)n 1
(1 i) 1
d
16
a n|
和
s 的关系 n|
（1）
s a (1 i)n
n|
n|
（2） 1 1 d an sn
a
a m
m|
a n
vmna
m|
a n
a
a m
vmna
0
m
m+n
a m
m|
a n
vmna
a
38
6、可变利率年金（了解）
问题：如果用 ik 表示第k个时期的利率，即从时刻k-1到时刻 k 这段时间的利率， i1，i2，，it 分别表示第1， 2，…，t 期的利率。如何计算年金的现值和累积值？
34
解：10万元每年产生的利息是7000元。
A所占的份额是 7000a 7000(7.0236) 49165 10|
B所占的份额是 7000(a a ) 7000(10.5940 7.0236) 24993 20| 10|

第二章利息理论2

1)10000(1.08)5 10000 4693.28
2)5 (10000 0.08) 4000 10000 3) R 2504.56; I 5 2504.56 10000 2522.8 a5 0.08
例. 某人以月计息的年名义利率5.58%从银行贷款30万元，计划在15年里每月末等额偿还。问：（1）他每月等额还款额等于多少？（2）假如他想在第五年末提前还完贷款，问除了该月等额还款额之外他还需一次性付给银行多少钱？（1）Ra1512 0.00465 300000
单利与复利两者关系：t 1,( 1 i ) 1 i t
t
0 t 1,( 1 i )t 1 i t
t 1,( 1 i ) 1 i t
t
单利的实际利率逐期递减，复利的实际利率保持恒定。
0 t 1 相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大
利息问题求解
利息问题求解四要素 1）原始投资本金； 2）投资时期长度； 3）利率及计息方式期初/期末计息：利率/贴现率积累方式：单利计息、复利计息利息转换时期：实质利率、名义利率、利息力 4）本金在投资期末的积累值；
利息问题求解原则本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题。工具：现金流图
( 1 1%)
(12)
为12%，问本金翻倍需要几年？
i( 12 ) 12%时，
12 n
ln 2 2n 5.8 12 ln1.01
第二节年金
定义:按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。分类： 1）基本年金等时间间隔付款；付款频率与利息转换频率一致；每次付款金额恒定； 2）一般年金不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金

第二章利息理论

现值和贴现率

在单利下，
现值和贴现率

将应在未来某时期支付的金额提前到现在支付，则支付额中应扣除一部分金额，这个扣除额叫贴现额。相当于资金投资在期初的预付利息。
贴现率：单位货币在单位时间内的贴现额，单位时间
以年度衡量时，成为实际贴现率。
d表示一年的贴现率:
d

A(1) A(0) a(1) 1 1 i 1 i A(1) a(1) 1 i 1 i

定义：

利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。本金利率时期长度

影响利息大小的三要素：

（一）总额函数

总额函数是t时资金累积额（本利和），
以 A(t) 表示。

其中，I(t)=A(t)-A(0)。 I(t)表示t时利息。
0
1
2
3
-------
n
n+1 n+2---
期首付年金现值
an 1 2 3 n1
1 n = 1 1 n = d
期末付年金现值
an 2 3 n
(1 n ) = 1
1 n = i
m m
等价公式

一般公式
a (t ) e

0 s ds
t
恒定利息效力场合 ln(1 i) a(n) exp{n } ln v a 1 (n) exp{n }
例4

确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值

保险精算之利息理论第二章

利息理论-3

n &&( m ) v + 2v + L + nmv n an − nv = = 2 m i(m)
2 m
23
a )(nm )代表下面这种年金的现值： 1 第一个周期内的首付款为 R 2 ，然后每次增加 R 1 。 m m2 1 从而第一个周期结束时的最后一次付款额为R ,L ， n m 第 n 个周期结束时的最后一次付款额为 R m
递增年金：
6
由流程图可知，递增年金的现值为：
(Ia)n = an + van−1 + v2an−2 +L+ vn−1a1 = ∑vt an−t
t =0 n−1
1− v = ∑v i t =0
n−1 t
n−t
=
&& an − nvn i
7
（标准）递减年金标准）
若 P = n, Q = −1，则称此变化年金为标准递减年金
注：当k = i时的永续年金的现值也是不存在的
15
例2.2.16 某期末付永续年金首期付款额为5000元，以后每期付款额是前一期付款额的1.05倍。当利率分别为 0.04，0.05，0.08时，计算该永续年金的现值。
解： 1.05 = 1 + 0.05 = 1 + k k = 0.05
当i = 0.04时，有i < k，永续年金现值不存在；当i = 0.05时，有i＝k，永续年金现值不存在；当i = 0.08时， 1+ k n 1 + 0.05 n 1− ( ) 1− ( ) 1 + i = lim 5000 ⋅ 1 + 0.08 V (0) = lim R ⋅ n →∞ n →∞ 0.08 − 0.05 i−k 5000 = = 166666.67 （元） 0.03

利息理论第3章等额年金(下)

ak n sk
令：m=kn,为计息的总次数。则
an ( k )
am sk
终值
sn (k ) 1 (1 i ) k (1 i ) 2 k (1 i ) ( n 1) k
1 (1 i ) 1 (1 i ) k
kn
(1 i ) kn 1 i i (1 i ) k 1
(k ) s
( m) ni

i d
( m)
sn i
d d
( m)
n i s
3、永续年金
a
( m)
(k ) lim a
n
( m) ni

1 i
( m)
a
( m)
(k ) lim a
n
( m) ni

1 d
( m)
例：设有一基金，每季度末支付10，000元，共支付5 年。已知年利率为6%，且每4个月计息1次，求该年金的现值和终值。
43.07688 26 .973465 24 1000 (1 1%) 2000 11.255077 11.255077 9652 .78元
解2

设每年度利率为i。
i0 (1 1%)12 1 0.12683
5 (12 ) 1000 3 (1 i ) 2 2000 2 s s s

一、n年期年金 1、期末付假设年利率为i，每次末的支付额为1∕m，每年支付额为1 元。
m m 1 1/m 2 1/m ---n-1 1/m m n 1/m
0 1/m
现值
( anm )
1 v m (1 v n ) 1 1 v n 1 1 m m m m 1 v v 1

利息理论总结

第一章利息的基本计算一、利息基本函数(一)累积函数本金：初始投资的资本金额累积值：过一定时期后收到的总金额利息：累积值与本金之间的金额差值积累函数a(t)表示0时刻的本金1经过t年的连续累积得到的积累值，也称作累积因子。

总量函数A(t)表示本金为k的透支在时刻t>=0是的积累值。

A(t)=k∗a(t)累积函数a(t)的倒数a-1(t)为t期折现因子或折现函数，把一期折现因子a-1(t)简称为折现因子，记为v(二)单利和复利将从投资之日算起的第n个时期内所获得的利息金额记为I，有I n=A(n)−A(n−1),n≥1利率等于一定的货币量在一段时间（计息期）内的变化量（利息）与期初货币量的比值利息计算公式：利率=利息/期初本金*100%1.单利如果其在t时的积累值为a(t)=1+it 其中i为某常数。

那么，我们就说该项投资以单利i计息，并将这种计息方式称为单利(计息方式)。

2. 复利如果其在t 时的积累值为a (t )=(1+i )t那么，我们就说该项投资以复利i 计息，这种计息方式称为复利。

3. 单利计算与复利计算的区别1) 若单利率=复利率，当0<t<1，时单利>复利，而当t>1时，单利<复利2) 两者短期差距不大，长期两者有显著差距3) 复利几乎用于所有金融业务，单利只用于短期计算或复利的不足期近似计算 (三) 贴现函数如果在期初投资(1+i )-1则期末是恰好累积到1，把v=(1+i )-1称为是贴现因子，即期初本金=期末累积值*贴现因子一个计息期内的利息收入与期末货币量的比值称为实贴现率贴现率d 的计算公式：d n =A (n )−A(n −1)A(n)=I n A(n)=a (n )−a(n −1)a(n)1. 单贴现贴现函数为a −1(t )=1+dt,0≤t ≤1d ,其中d 为单贴现率2. 复贴现3.贴现函数为a−1(t)=（1+d）t,0≤t,其中d为复贴现率●如果对给定的投资金额，在同样长的期间类，它们产生同样的积累值，则称两个“率”是“等价”等。

[经济学]2利息理论——年金

an 1 an 1 S n S n 1 1
12
一年多次收付的年金
对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付 ( m) a 年金现值，以 n 表示，
1 1 1/ m 1 2 / m a m m m 1 1 n 1/ m m 1 1 n ( m ) d
3
确定年金是年金的一种形式。确定年金与人的生死不发生关系。确定年金的支付总期间事前确定，纯粹以预定利息率作为累积基础。确定年金有多种分类，通常情况下的分类有：年金给付于每期开始时支付的期初付年金以及每期完了时支付的期末付年金；年金的给付在签约后即刻开始的即时年金以及经过一段时间后才开始的延付年金；年金的给付限于一定期间的有限期年金以及年金的给付无限期延续的无限期年金等。 4
n
23
变额递减年金
当第一年收付n元，以后每隔一年收付额减少一单位元的 n年定期递减的期末付年金为，
( Da)｜ n
n a｜ n i
上述定期递减年金在期首付时，为
) ( Da n ｜
n(1 i) a n ｜ i
变额年金的终值是现有这样的一种递减确定年金，第一年年末给付额为100元，第二年年末给付额为99元，以后每年年末给付额较上年给付额递减1，直至给付额为10元为止。试写出这一年金的现值符号表达式?
n
1 = i
n
7
期首付年金终值
sn an (1 i)
n
n
(1 i) 1 d
8
期末付年金终值
s n a n (1 i )
1 n (1 i ) i
n
n
(1 i ) 1 i

第一章利息理论年金问题教材课程

1 vn
n
n
d
s 1 (1 i ) L (1 i ) n 1 1 (1 i ) n (1 i ) n 1
n
1 (1 i )
i
&s& (1 i ) L
(1 i ) n (1 i ) s
1im 1 v n 1
400.045
2020/8/3
例1.12
• 某人以月度转换名义利率5.58%从银行贷款30 万元，计划在15年里每月末等额偿还。问：
2020/8/3 （1）他每月等额还款
例1.12答案
（1）Ra
300000
1 51 20.4 6% 5
R2464
PV60
Ra 1200.465%
2
262
1.054
10 0.07
D : 7000 (a a ) 25842
0.07
20 0.07
2020/8/3
2020/8/3
未知时间问题
• 年金问题四要素
– 年金、利率、支付时期
（次数）、积累值（现
时值）
R Rn
• 2020/8/3 关注最后一次R付Rn 款问题
例1.17
• 有一笔1000元的投资用于每年年底付100元，时间尽可能长。如果这笔基金的年实质利率为 5%，试确定可以作多少次正规付款以及确定较小付款的金额，其中假定较小付款是：
• A留下一笔100000元的遗产。这笔财产头10 年的利息付给受益人B ，第2个10年的利息付
2020/8/3 给受益人C，此后的利
例1.16答案
I 100000 7 % 7000
B ：7000 a 49465 10 0.07
C : 7000 (a a ) 24993

第一章利息理论(年金问题)

6 0.1
两笔年金积累值之和为: 8217.89 8487.17 16702.06
例1.19:
某人每年年初存进银行1000元,前4次存款的年利率为6%,后6次付款的年利率升到 10%,计算第10年年末时存款的积累值.
例1.19答案
前四次付款第四年年末积累值为 1000s 4637.09
支付。（精算时刻）
例1.17答案
100a 1000 n 14.21 n 0.05
(1)FD14
1000(1.05)14
100s 14
0.05
20.07
R14 R FD14 120.07
(balloon payment)
(2)FD14 20.07
R15 FD14 1.05 21.07
(1i1)n
(1int1)t
t1
例1.18:
某人每年年初存进银行1000元,前4年的年利率为6%,后6年由于通货膨胀率,年利率升到10%,计算第10年年末时存款的积累值.
例1.18答案
前四年的积累值在第四年年末积累值为 1000s 4637.09
4 0.06
这笔存款再按10%的年利率积累到第10年年末, 积累值为 4637.09(110%)6 8214.89 后六年年金积累到第十年的积累值为 1000s 8487.17
例1.24
确定利息效力使
s 3s
20
10
s 3s
20
10
e 20 1 3 e 10 1
e 20 3 e 10 2 0
e 10 2 or e 10 1
ln 2 0 ( delete ) 10
变额年金
等差年金
递增年金递减年金
等比年金

2.1利息基本理论(保险精算课程讲义)

第2章利息理论
利息基本理论年金
2.1 利息基本理论
2.1.1 累积函数时间 t 1 总额函数 A(t):t时资金累积额 2 利息 I(t)=A(t)-A(0)累积额与本金之差 A(t)=A(0)+I(t)
2 累积函数为了反映单位本金的增值情况，引入累积函数a(t) a(t)=A(t)/A(0) 3 利息率衡量资金生息水平的指标是利息率：单位本金在单位时间内的利息。 in表示第n个基本计息时间单位的实际利率。 in=(A(n)-A(n-1))/A(
假设每年的结算次数为m次，名义利率为i ，m表示结算次数，则
m
1 i m 结算时间间隔为年，每次的实际结算利息率为，在复利计算 m m 下，一年的累积额为： i 1 m 1 i i表示年实际利息率。 i 所以，i 1 m
2.1.5 利息力（利息力度）利息力是衡量确切时点上利率水平的指标。对于名义利率，当结算次数m趋于无穷大时，可以表示确切时点上的利率水平。
lim i
m
m
lim m[1 i
m
1/ m
1]
0
1 i lim
m t
1/ m
1 i 1/ m
m m
m
1
m
在年实际利息率i一定的情况下，i m 是关于m的递减函数。（参见课本p18表2 1）
名义贴现率的定义可以相应给出： d 1 d 1 m 几个重要公式： 1 1 d 1 i
m

m
d d 1 1 m
m

m

1 i m 1 1 i m m 1 d / m

利息理论 ppt课件

例1.7 已知现在投入1000元，第3年底投入2000元，第10年底全部收入为5000元，计算半年换算名利率
解题：设半年换算名利率为 i ( 2 ) ，令 j i(2) / 2，则有
10(10 j0 )20 20(10 j0 )14 5000
令 f(i) 10 (1 0j)2 0 020 (1 0j)1 0 450，0分0 别验证f(j0),f(j1) 使得 f(j0)f(j1)0，则有 j2j0ff((jj01))(j1f(jj00)) 按照相同原则迭代出 j3 , j4 等
2.1 基本年金
续例2.1 A: 500(1 00.0)0 8 10 5000 50 70 9.5406
B: 5000 0 .00 8 10 0400000
C: 500001005000020451.445
a 100.08
（利息的发生过程未予考虑）
2.1 基本年金
2.1.2 期初年金
定义2.3 若年金的首次现金流在合同生效时立即产生，随后依次分期进行，这种年金称为期初年金
aA (5 ) 1 .41a 0 B (5 6 ) 1 .4058
1.1 利率基本函数
定义1.11 设累积函数 a (t ) 为 t(t 0) 的连续可微函
数，则称函数
t
a' (t) ,(t 0)
a(t)
为累积函数a (t ) 对应的利息力函数，并称其在各个
时刻的值为利息力。
a(t)exp0t(sd)st,0
后5年内按月偿还，如果年实际利率为6.09%，计算每月末的付款金额。
【解】付款按月进行，因此可以先将年利率转换成实际月利率（ 16.0% 9） 1/12 10.49% 3，86 再按照基本年金公式有

利息理论——第二章2.1

1 (1 i ) n (1 i ) n 1 1 (1 i ) i
(2.1.4)
关于 an 的基本公式
1 v 公式(2.1.2) an i 也可以写为 n
n
(2.1.5) 经济意义解释：公式的左侧表示在时刻0进行投资，投资本金为1，公式的右侧表示投资的回收方式，即这1单位的本金每期投资一次，并在每一期期末均产生利息i，那么n期利息的现值之和为 ian ；到n期末，即时刻n时，将投资本金1收回， n v 并折现到时刻0的现值为。在利率为i时，投资额与投资回报本利和的现值是相等的。因而，公式(2.1.5)左右两侧相等，如下图所示。
n
关于 sn 的基本公式
(1 i ) 1 公式(2.1.4) sn 也可以写为 i n
n
(2.1.6) 经济意义解释：公式左侧表示将1单位本金投资n期, 每期按复利i计算，在n期期末，投资积累值即本利 n 和为 (1 i)；公式右侧表示投资本金为1，即这1单位的本金每期投资一次，每期期末产生利息i，而每期所产生的利息又以利率i再投资，这样到n期期末各积累值之和为isn ，这部分是所生利息的积累值，再加上投资本金1，即为全部本利和，等式左右两侧分别是一种投资的两种算法，实质上是相等的，如下图：
an
于在0时刻投资本金为1，则n期期末本利和为 n n (1 i) ，而 (1 i) 1 isn ，这与每期期末投资 P的n期积累值是等价的，即 1 isn Psn ，由此 1 1 得
an
P
sn
i
an 和 sn 在几种不同利率情况下，对于n从1~50 的值在本书附录中可以查到。通常an 和sn 符号中不必标出计算所依据的利率，在一个问题中涉 a 及多个利率时，为避免引起混淆，可写作： n i a 和 sn i 的形式，如 a10 0.06 、 20 0.08 和 s20 0.07 等。

第0章利息理论和年金计算讲诉

终身寿险
终身寿险是提供终身保障的保险，一般到生命表的终极年龄100岁为止。如果被保险人生存到100岁，保险人则向其本人给付保险金。
两全保险
定期寿险和终身保险都是在被保险人死亡情况下给付保险金。两全保险不仅在被保险人在保险期内死亡时向其受益人给付保险金，而且在被保险人期满生存时也向其本人给付保险金。因此，两全保险是定期寿险和生存保险的综合，与终身寿险的区别是保险有一定期限，其年均衡保费要高于终身寿险。
王晓军等，保险精算学，中国人民大学出版社， 1995。
考核办法
上课到课率平时作业期末考试
第零章
利息理论基础
利息理论要点
利息的度量利息问题求解的原则确定性年金
第一节
利息的度量
第一节汉英名词对照
积累值现实值实质利率单利复利名义利率贴现率利息效力
关键概念
保险合同可保风险
保险的分类
保险分：非寿险和寿险。非寿险分：财产保险(车险,房屋保险,火
灾险,信用险,知识产权保险)和责任保险；寿险（广义）分：人寿保险（狭义）、
年金保险（生存保险）和健康保险；狭义的人寿保险分：定期寿险、终生寿
险和两全保险。
定期寿险
定期寿险又称死亡寿险。它只提供一个确定时期的保障，如1年、5年、10年、 20年或者到被保人达到某个年龄为止，如60岁。如果被保人在这个时期内死亡，保险人向受益人给付保险金。如果被保人期满生存，保险人无给付保险金的责任。
Accumulated value Present value Effective annual rate Simple interest Compound interest Nominal interest Discount rate Force of interest

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汉英名词对照
▪ 年金 ▪ 支付期 ▪ 延付年金 ▪ 初付年金 ▪ 永久年金 ▪ 变额年金 ▪ 递增年金 ▪ 递减年金
Page ▪ 4
▪ Annuity ▪ Payment period ▪ Annuity-immediate ▪ Annuity-due ▪ perpetuity ▪ Varying annuity ▪ Increasing annuity ▪ Decreasing annuity
a 1 vn ,故有：
n
d
da 1 vn； n
1=da +vn n
s (1 i)n 1，有
n
d
(1 i)n =ds 1 n
s a (1 i)n
n
n
Page ▪ 16
1 1 d
as
n
n
2.1.2期初付年金
显然，a 与a ; s 与s 之间存在一定的联系。
n
nn
n
a =1+v+v2 n
年金的分类
▪ 分类1
– 基本年金 • 等时间间隔付款 • 付款频率与利息转换频率一致 • 每次付款金额恒定
– 一般年金 • 不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金
▪ 分类2
– 付款时刻不同：初付年金/延付年金 – 付款期限不同：有限年金/永久年金
Page ▪ 5
基本年金图示
1 1 1 ---- 1 1 1---- 延付永久年金
第二章年金
深圳大学经济学院 Economics school Shenzhen university
Page ▪ 1
第一节基本年金
Page ▪ 2
年金的定义
• 所谓年金是指一系列按照相等时间间隔支付的款项。 • 原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列
付款。
Page ▪ 3
n
n
11
i
a ni
s ni
as
nnBiblioteka 推导：1 sn
i
1
i
in
1
i
i
i 1 i 1 in
n
1
i
i 1 in 1 in 1
i 1 vn
1 a
n
Page ▪ 11
2.1.1期末付年金
▪ 例2.1 计算年利率为6%的条件下，每年年末投资1000元，投资10年的现值及其累积值。
▪ 例2.2 某银行客户想通过零存整取的方式在1年后获得10000元，在月复利为0.5%的情况下，每月末存入多少钱，才能达到要求。
图（2-1） n 期延付年金的付款情况图
a ni
s ni
Page ▪ 7
2.1.1期末付年金
1 1 1…
1 1 1 (付款额)
a ni
s ni
0 1 2 3…
n-2 n-1 n（时间）
图（2-1） n 期延付年金的付款情况图
a v v2 n
1 ia vn n
vn v(1 vn ) 1 vn
1 11
---- 1 1 1---- 初付永久年金
1 1 1 ---- 1 0 0 0---
初付年金
1 1 1 ---- 1 0 0---
延付年金
0 1 2 3 ------- n n+1 n+2---
Page ▪ 6
2.1.1期末付年金
1 1 1…
1 1 1 (付款额)
0 1 2 3…
n-2 n-1 n（时间）
n
1 v iv
d
s (1 i)n (1 i)n1 (1 i) (1 i) (1 i)n 1 (1 i)n 1 (1 i)n 1
n
(1 i) 1
iv
d
Page ▪ 15
2.1.2期初付年金
1 本金
d d d d…
dd
利息流
0 1 2 3…
n-2 n-1 n 时间
本金支出
1
图（2-4）投资 1 产生的以贴现的方式支付利息的现金流图
同理，
vn1 v v2 v
vn
a n
a (1 v)
vn
s =s 1 i nn
a = v v2
n
v
a 1 n1
vn
a n1
vn
1 i a
vn1 a
ia
vn1
v
n1
n1
n1
Page ▪ 17
2.1.2期初付年金
▪ 例2.5 某银行客户想通过零存整取的方式在1年后获得10000元，在月复利为0.5%的情况下，每月初存入多少钱，才能达到要求。
5
5
Page ▪ 20
V(6)= s ；V(7)= s 。
5
5
Page ▪ 21
假设分别在 1、2、3、…、n 时刻付款 1 的 n 次付款所形成的付款系列，记该系列付款在 t 时的
值为 V(t)，则 V(0)、V(1)、V(n)、V(n+1)分别为
a 、 a 、 s 和 s ，对于其他任意（整数）点 t，
1 v
i
经济解释
Page ▪ 8
2.1.1期末付年金
1 1 1…
1 1 1 (付款额)
a ni
s ni
0 1 2 3…
n-2 n-1 n（时间）
图（2-1） n 期延付年金的付款情况图
s 1 (1 i) n
(1 i)n 1 is n
(1 i)n1
1 (1 i)n
(1 i)n
1
1 (1 i)
Page ▪ 18
2.1.3 任意时刻的年金值
1 1 … …1 1
……
（共 n 次付款）
aa nn
ss
n
n
图（2-6）年金在四个特殊时间点上的价值图
Page ▪ 19
1 1 11 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
aa
5
5
ss
5
5
图（2-7）年金时间图
V(1)= a ；V(2)= a ；
2.1.2期初付年金
1111
11
付款额
0 12 3
n-2 n-1 n 时间
图（2-3）初付年金付款情况图
a n
s n
Page ▪ 14
2.1.2期初付年金
1111
11
付款额
0 12 3
n-2 n-1 n 时间
图（2-3）初付年金付款情况图
a 1 v v2 vn1 1 vn 1 vn 1 vn
i
经济解释
Page ▪ 9
2.1.1期末付年金
a 与s 之间的关系
n
n
a v v2 vn v(1 vn ) 1 vn
n
1 v
i
a ni
s ni
1 in a 1 in v v2 vn n
1 in1 1 in2
1
i
1
s n
Page ▪ 10
2.1.1期末付年金
a 与s 之间的关系
Page ▪ 12
2.1.1期末付年金
▪ 例2.4 已知年实际利率为8%，乙向银行贷款1000元，期限为5年，计算下面的三种还款方式中利息所占的额度。
▪ （1）贷款的本金和利息累积值在第5年末一次还清； ▪ （2）每年末致富贷款利息，第5年末归还本金； ▪ （3）贷款每年年末均衡偿还。
Page ▪ 13
n
n
n
n
（1）如果 t<0（这里为了方便，我们允许负数作为时间的标识数，其意义符合逻辑顺序，如-1 表示在 0 前一期，-5 表示在 0 前 5 期），则