大学医用高等数学习题2

9
12.(5)求导数
(x 2 x 1 1 2 x 2 x 4 x 8 x x
y x x x
y
x x x
x ) x
1 1 2 x x )
1 2 x 2 x x
(x x
x )
x
(1
x x x
x 2 x 1 x x x
10
13. (1) y=xlnx
y´=[elnxlnx]´=elnxlnx· 2lnx· 1/x=xlnx· 2lnx/x (5) y = x2x+(2x)x y´=[e2xlnx+exln(2x)]´ =e2xlnx(2xlnx)´+exln(2x)[xln(2x)]´ = 2x2x(lnx+1)+(2x)x[ln(2x)+1]
y+xy´=ex+y(1+y´)
e y xy y y x y xe x xy
x y
13
x y a 上任一点处的切线, 15.试证明曲线 截两个坐标的截距之和为 a y 1 解: 对方程两边求导: 1 y 0, y 2 x 2 y x
切线方程:
26. (4)
tan x sin x cos 3 x lim lim tan 3 x cos x sin 3 x x x
2 2
sin x cos 3 x lim lim sin 3 x cos x x x
2 2
3sin 3 x (1) lim ( 1) (3) 3 sin x x
v v0 e
A (1 e at ) a
A at e (a ) a e
at
19
v0 Ae
A (1 e at ) a
26.利用 L´Hospital 法则求下列函数极限
cos x 2 ln sin x csc x 1 sin x lim lim lim 2 ( 2 x ) 4( 2 x ) 8 8 x x x
x yy xy y 2 2 2 2 x y x y x y x yy xy y , y x y
xy y 2 1 2 x 2 yy x 2 2 y 2 2 x y 1 ( ) x
17.设 f (x) 存在, 求下列函数的二阶导数 (1) y=f (x+e-x) y=f(x2) · 2x y=2f(x2)+f(x2) · 4x2 (2) y=ln[f(x)]
x 1
lim f ( x ) 1,
x 1
lim f ( x ) a b
因此有 a+b=1 x=1 处左导数: 2xx=1=2 右导数: a
因此有 a=2, b=-1
6
*7. 若函数 f(x) 在 x0 点可导, 且 f(x0)≠0, 试计算极限
1 f ( x0 ) n ]n lim[ n f ( x0 )
x 0
1 1 e
1 x
lim
1 1 e
1 x
1, 而 lim
x 0
1 1 e
1 x
0
5
因此 f(x) 在 x=0 处不可导.
x x 1 6. 确定 a, b 的值, 使 f ( x) ax b x 1 在 x=1点处可导.
2
解: f(x) 在 x=1 处连续,
(8 ) y ( x sin x ) 1 e
1 y 2
x
x
ln y=1/2[ln x+lnsin x+1/2ln(1-ex)]
1 e xsinx 1- e [ cot x ] 11 x x 2(1 e )
x
14.求由下列方程确定的隐函数的导数.
(1) y=1+xey y´=ey+xeyy´ (1+xey)y´=ey
2 2
12
14. (3) x y=y x
两边取对数：y ln x=x ln y 两边求导数：y ln x y ln y x y x y y ln y y ( x ln y y ) x y x x ( y ln x x ) ln x x+y (4) xy=e y
x x
e 1 lim x x x 0 2e xe 2
x
23
26. (7)
lim(tan x)
x
2cos x

lim e
x
2cos x ln(tan x )

e
x
ln tan x lim 2 1

2 cos x
2 sec 2 x lim 2 tan x sec x tan x x
3
5. 讨论下列函数在点是否可导? 3 1 2 x0 x sin (1) f ( x ) x 0 x0 f(x)在 x=0 处连续. 由导数定义有:
f (0 x) f (0) f (0) lim x 0 x 3 1 2 x sin 0 1 1 x 2 lim lim x sin 0 x 0 x 0 x x
y y0
y0 x0
( x x0 )
y
y0 x0
x y0 x0 y0 y0 ( x0 y0 ) a y0
y a y0 x a x0 1
14
化为截距式: 截距之和为
a ( x0
y0 ) a
16.求下列函数的二阶导数
(3) y=xx ln y=x ln x 1/y· y´=ln x+1 y´=xx(ln x+1)
2 2 2
20
e e 2x e e 2 (1) lim lim x 0 x 0 x sin x 1 cos x x x x x e e e e lim lim 2 x 0 x 0 sin x cos x (2)
x x
x
x
26. (3)
x 2
xe lim x x e x
2
22
1 2 ln x x 2 x lim x ln x lim lim lim 0 x 0 x 0 1 x 0 2 x 0 2 2 3 x x 26. (6)
26. (5)
1 1 e 1 x e 1 lim( x ) lim lim x x x x 0 x x 0 x 0 e 1 x(e 1) e 1 xe
1 f ( x0 ) f ( x0 ) 1 n (3) lim n[ f ( x0 ) f ( x0 )] lim f ( x0 ) n n 1 n 2 n
f ( x0 t ) f ( x0 t ) (4) lim t 0 h f ( x0 t ) f ( x0 ) [ f ( x0 t ) f ( x0 )] lim t 0 t f ( x0 t ) f ( x0 ) f ( x0 t ) f ( x0 ) lim lim t 0 t 0 t t ( ) f ( x0 )
8
切线方程: y-1= - (x-1) 法线方程: y-1= x-1
8.(2)
解: 过 (x0, y0) 的切线方程: y-y0=(2-3x02)(x-x0) 因 y0=2x0-x03 y-(2x0-x03)=(2-3x03)(x-x0) 过 (0,-2), x=0, y=-2 代入: -2-2x0+x03 =-2x03 +3x03 x03 =-1, x0=-1, y0=-1 切线方程: y+1=-x-1 即 x+y+2=0 法线方程: y+1=x+1 即 y=x
f ( x ) y f ( x)
2 f ( x ) f ( x ) [ f ( x )] y [ f ( x )]2
17
19.一质点作直线运动, 其运动规律为 s t , 其中路程 s 的单位为米, 时间的单位为秒, 求质 点在第四秒末的速度与加速度?
s 1 2 t , s 1 4 t
1 f ( x0 ) n ]n } ln{ lim [ n f ( x0 )
1 [ln f ( x0 )ln f ( x0 )] n 1 lim n n
e e
e
1 lim n[ln f ( x0 ) ln f ( x0 )] n n f ( x0 ) f ( x0 )
(2) y=tan(x+y)
e y y 1 xe
y
y´=sec2(x+y)(1+y´)
[1-sec2(x+y)]· y´=sec2(x+y)
sec ( x y ) sec ( x y) 2 y 2 csc ( x y ) 2 sec ( x y) 1 tan ( x y)
因此函数 f(x) 在 x=0 点处可导.
4
x 1 (2) f ( x) 1 e x 0
x0 x0
f(x) 在 x=0 处连续, 由导数定义有: x 0 1 x f (0 x) f (0) 1 e lim lim lim x 0 x 0 x 0 x x
2
2 sec x tan x
2
lim
e
e
x

2
lim
cos x sin 2 x
e
x

2
e 1
0
26. (8)
e x 1 x 1 x 1 lim ln( e x x ) x0 x
lim(e x) e
x 0
e
x e lim x x0 1
1 x 2 x 1 y x (ln x 1) x x (ln x 1) x x
x 2 x
15
y 16.(4) ln x y arctan x
2 2
两边对 x 求导:
( x y )( x y ) ( x y )( x y ) (1 y)( x y ) (1 y )( x y) y 2 ( x y) ( x y)2 x y 2x 2 y 2 x 2 yy x y 2 x 2 4 xy 2 y 2 16 2 2 3 ( x y) ( x y) ( x y)
3
s t 4
1 , 4
s t 4
1 32
答: 4 秒末的速度为1/4 米/秒, 加速度为 -1/32 米/秒2
18
20. 许多肿瘤的生长规律为
v v0e
A (1e at ) a
其中, v 表示 t 时刻的肿瘤的大小(体积或重量), v0 为开始 (t=0) 观察时肿瘤的大小, a 和 A 为 正常数. 问肿瘤 t 时刻的增长速度是多少?
x 2 x 2
x 2
1 xe 1 x e 1 xe 2 2 lim lim lim x x x x x x e x x 1 e e 2 e2 1 2 lim 0 x x x 1 e 2 1 e2 2 2
wenku.baidu.com21
习 题二
第二章：一元函数微分学
1
3. 设 f(x) 在 x=x0 点处可导, 试计算下列极限.
f ( x0 2x) f ( x0 ) f ( x0 2x) f ( x0 ) (1) lim lim 2 2 f ( x0 ) x 0 2 x0 x 2x
f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 x) f ( x0 ) (2) lim lim f ( x0 ) x 0 2 x 0 x x
7
e
[ln f ( x0 )]
e
8. 设曲线 y=2x-x3
(1) 求 (1, 1) 点处的切线方程及法线方程; (2) (x0, y0) 点处的切线通过 (0, -2) 点, 求 (x0, y0) 点及该点处的切线方程、法线方程.
(1) y'=2-3x3
y´|x=1=2-3=-1
x+y-2=0 x-y=0