(完整word版)微积分在物理竞赛中的应用

VdV (L1 L2 ) 2x g,
dx
L1 L2
V
VdV
x (L1 L2 ) 2x gdx
0
0 L1 L2
V
2g L1 L2
(L1 L2 )x x2 .
令 x L2 , 可以求得链条滑离钉子时的速度大小
V 2L1L2 g L1 L2
再由V dx , 得到 dt
dx dt
。
小球 A 相对地的加速度
aA
a
A
aB
，取如图二所示的坐标系，
则有
a Ax
aA
cos
aB
sin 2 2(1 sin 2 )
g,
a Ay
aA sin
2sin 2 (1 sin 2 )
g.
旋转液体的液面
以等角速度 ω 旋转的液体，液面的形状如何求得？ 解答：
假设它的剖面是一条曲线，Y 轴是转轴，旋转面以 Y 轴为对称轴，此时在
y
m k
(V0
sin 0
mg k
)(1
kt
em
)
mg k
t.
由（3）（4）两式消去 t,得到有阻力时的轨道方程
（4）
y
(tg 0
mg kV0 cos0
)x
m2g k2
ln(1
mV0
k c os 0
)x
m2g k2
ln(1
k mV0 cos
x).
显然由于空气阻力的作用，抛体的轨道不再是简单的抛物线了，实际轨道将比理想轨
2g L1 L2
(L1 L2 )x x2
x
dx
t
0 （L1 L2）x x 2 0
积分，得到
2g dt,
L1 L2
ln[2x (L1 L2 ) 2
(L1
L2
)x
x
2
]
x 0
2g t, L1 L2
ln 2x (L1 L2 ) 2 (L1 L2 )x x 2
2g t,
L1 L2
达到最大速度时，棒浸入液体中的长度为 L1 ，设棒的截
面积为 S，则有
1SL1g 2SLg,
解得，
L1
2 1
L.
（2）
取 x 坐标如图所示，则（1）式可以写为
2 SLg
1Sxg
2 SL
dV dt
.
做变量代换，令 dV dV dx V dV , 代入上式，得到 dt dx dt dx
(1 x 1 )gdx VdV; L 2
k
mg k
.
由（1）式，得到
（2）
dy1
mg
k t
(1 e m ),
dt
k
dy1
mg k
kt
(1 e m )dt
y1 h
dy1
t
mg
(1
kt
em
)dt
0k
积分，得到
y1
h
m2g k2
(1
kt
em
)
mg k
t.
由式（2）得到
dy2 dt
(V0
mg
)e
k m
t
k
mg k
,
dy2
[(V0
这就是飞机从触地到停止所滑行的距离。
社 V0
90km/ h, Cy Cx
5 （升阻比），
0.10 。代入数值计算后，得到
x=221m.
求解阻尼自由落体和阻尼竖直上抛的相遇问题
两小球的质量均为 m，小球 1 从离地面高度为 h 处由静止下落，小球 2 在小球 1 的正
下方地面上以初速V0 同时竖直上抛。设空气阻力与小球的运动速率成正比，比例系数为 k(常
mg k
k t)e m来自mg k]dt
y2 0
dy2
t
0 [(V0
mg
)e
k m
t
k
mg ]dt k
积分，得到
y2
m k
(V0
mg k
kt
)e m
mg k
t
两小球相遇时， y1 y2 , 相遇时间为 t* ，由（3（4）两式，得到
h
m k
V0
(1
e
k m
t
*
)
，
e
k m
t*
1
kh mV0
,
故 t * m ln(1 kh ),
两边积分，得到
L1 (1 x 1 )gdx V1VdV
0
L 2
0
得到， gL1
1 2
g L
(
1 2
L12
)
1 2
V12
将（2）式代入（3）式，得棒的最大速度为V1
2 Lg. 1
运用微分法求解阻尼平抛
质量为 m 的物体，以初速为V0 ，方向与地面成 0 角抛出。如果空气的阻力不能忽略，
并设阻力与速度成正比，即 f kV ，k 为大于零的常数。求：
x
0m
两边积分，得到
kt
kt
Vx V0xe m V0 cos e m .
可见由于空气阻力的存在，x 方向的速度不再是常数，而随时间逐渐衰减。由于
Vx
dx , 再积分，并以 t=0 dt
时 x=0,代入得到
x
V0x m
kt
(1 e m )
V0
cos 0
kt
(1 e m ).
k
k
（3）
同理，由于 a y
G1 f ma （1）
G1 ma n
由（1），
（2）
a
1 (mg sin sin m
mg sin)
g sin(sin
1)
而
a
dV dt
, 得到
dV g sin(sin 1)dt,
（3）
式中 是 t 的函数，但是这个函数是个未知函数，因此还不能对上式积分，要设法在
与 t 中消去一个变量，才能积分，注意到
f N mg cos tgmg cos mg sin
重力在斜面上的分力为 G1 ，如图二，将 G1
分解为两个分力：G1 是 G1 沿轨迹切线方向的分
力， G1 G1 sin mg sin sin ； G1 是沿
轨迹法向的分力，
G1 G1 cos mg sin cos ，如图三。
根据牛顿运动定律，得运动方程为
物体的运动轨道。
解：根据受力情况，列出牛顿运动定律方程
mg f ma
其分量式， f x kVx ma x , mg kVy ma y
（1） （2）
将 ax
dVx dt
代入式（1），得
kVx
m dVx dt
,
改写成 dVx k dt,
Vx dVx
t
k
dt,
Vx
m
V V0 x
k
mV 0
把上述结果代入（3）或者（4），得到两小球相遇的地点
y* (1 mg )h m2 g ln(1 kh ).
kV0
k2
mV0
代入（1）（2），得到两小球相遇时的速度
V1*
mg k
[1
(1
kh mV0
)]
gh ;
V0
V2*
(V0
mg )(1 k
kh ) mV0
mg k
(V0
gh) V0
道向左下方偏离，如图一。
例如：以初速 620m/s,仰角 450 发射的步枪子弹的射程，没有空气阻力时应为 40km,而
实际射程只有 4km.
求解飞机的滑行距离
飞机以 V0 的水平速
度触地滑行着陆。滑行期 间受到空气的阻力为
C xV 2 ，升力为 CyV 2 ，其
中 V 是飞机的滑行速度。 设飞机与跑道间的摩擦系
m
对于小球 1，初始条件为 t 0 时，V10 0, y10 h, 故
V1 dV
0k
t
0 dt,
Vg
m
V1
mg k
(1
kt
em
).
(1)
对于小球 2，初始条件是 t=0 时，V20 V0 , y20 0, 故
V1 dV
t
dt,
V0 k g 0
m
得到V2
（V0
mg
）e
k m
t
dVy dt
, 式（2）转化为
dVy dt
g
k mVy
k ( mg mk
Vy ),
dVy
mg k
Vy
k dt. m
积分，并以 t=0 时，Vy V0 y V0 sin 0 代入，得到
Vy
(V0 sin 0
mg
)e
k m
t
k
mg k
.
可见，y 方向的速度也不再是匀减速的。再将上式对时间积分，并以 t=0 时 y=0 代入， 得到
kh. m
讨论：（1）当阻力很小时，即当 k 0 时，利用展开式
ln(1 x) x x2 , 2
上述结果简化为
t*
h V0
;
y*
h
gh 2V02
;V1*
gh V0
,V2*
V0
gh .
V0
这正是不考虑空气阻力时的结果。
（2）当考虑如提设的空气阻力时，由上述结果可知，只在下述条件下
mV 0
kh, 或者V0
量)。试求： 两小球相遇的时间、地点以及相遇时两小球的速度。
解：两小球均受重力和阻力作用，取坐标如图一所示，两小球的运动方程可统一表示 为
m d 2 y kV mg , dt 2