高二数学北师大版必修教案：第一章《等差数列》

§2.1 等差数列（二）

教学目标

1．知识与技能:能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。

2. 过程与方法:进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。

3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。

教学重点：会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。 教学难点：等差数列与一次函数之间的联系

教学过程：

一、等差数列的通项公式

)(1d a dn a n -+= )()(1d a dn n f -+=

特征：

1︒ 等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，n 是自变量,+∈N n n a 是函数 2︒ 如果通项公式是关于n 的一次函数，则该数列成等差数列；

证明：若A n B A B A n A B An a n )1()()1(-++=++-=+=

它是以B A +为首项，A 为公差的等差数列。

3︒ 图象是直线)(1d a dx y -+=上一些等间隔的点，公差d 是该直线的斜率. 4︒ 公式中若 0>d 则数列递增，0

等差数列与一次函数的异同：

例1:已知(1,1),(3,5)是等差数列{an}图像上的两点.

(1)求这个数列的通项公式;

(2)画出这个数列的图像;

(3)判断这个数列的单调性.

解:(1)略.

(2)图像是直线y=2x-1上一些等间隔的点.

(3)因为一次函数y=2x-1是增函数, 所以数列{an}是递增数列.

二、等差中项的概念

如果在a 与b 中间插入一个数A, 使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项

若A 是a 与b 的等差中项，则2

b a A +=

或b a A +=2 证明：设公差为d ，则d a A += d a b 2+= ∴A d a d a a b a =+=++=+222 例2:一个木制梯形架的上、下两底边分别为33cm ，75cm ，把梯形的两腰各6等分，用平行木

条连接各对应点，构成梯形架的各级。试计算梯形架中间各级的宽度。

解: 记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为{an},则由梯形中位

线的性质，易知每相邻三项均成等差数列，从而{an}成等差数列。 依题意有cm a 331= cm a 757=

现要求65432,,,a a a a a ,即中间5层的宽度。 )(76

33751717cm a a d =-=--=cm a 407332=+=， cm a 477403=+=,cm a 544=， cm a 615=，cm a 686=

答：梯形架中间各级的宽度自上而下依次是40cm,47cm,54cm,61cm,68cm.

例3：在-1与7之间顺次插入三个数c b a ,,使这五个数成等差数列，求此数列。

解：∵成等差数列7,,,,1c b a - ∴b 是-1与7 的等差中项 ∴ 3271=+-=

b a 又是-1与3的等差中项 ∴12

31=+-=a 7533

c 又是1与7的等差中项 ∴52

73=+=c 解：设11-=a 75=a ∴d )15(17-+-= 2=⇒d ∴所求的数列为-1，1，3，5，7 小结：

❖ 这节课你学习了哪些知识？

❖ 体会到了哪些数学思想方法？

❖ 你最大的收获是什么？

思考题：1、证明你刚才关于等差数列特征的猜想。

2、总结归纳：证明一个数列为等差数列的方法有哪些？ 作业: P 19 习题1-2 第9、11、13题