高中数学选修2-1第二章 (9)

第2课时　双曲线的几何性质及应用

学习目标　1.理解直线与双曲线的位置关系.2.会求解弦长问题．

知识点一　直线与双曲线的位置关系

思考　直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？

答案　不能．

梳理　设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①

双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，②

把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.

(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±ba时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．

(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时，”＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．

”＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；

”＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；

”＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．

知识点二　弦长公式

若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则

|AB|＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝ (1＋1k2[y1＋y22－4y1y2].

(1)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．(×)

(2)过点A(1,0)作直线l与双曲线x2－y2＝1只有一个公共点，这样的直线可作2条．(×)

(3)直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点．(√)

类型一　直线与双曲线位置关系

例1　已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试确定满足下列条件的实数k的取值范围．

(1)直线l与双曲线有两个不同的公共点；

(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；

(3)直线l与双曲线没有公共点．

考点　直线与双曲线的位置关系

题点　直线与双曲线的位置关系

解　联立 {x2－y2＝4，y＝kx－1，消去y，

得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)

当1－k2≠0，即k≠±1时，

”＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4×(4－3k2)．

(1)由{4－3k2＞0，1－k2≠0，得－233＜k＜233且k≠±1，

此时方程(*)有两个不同的实数解，

即直线与双曲线有两个不同的公共点．

(2)由{4－3k2＝0，1－k2≠0，得k＝±233，

此时方程(*)有两个相同的实数解，

即直线与双曲线有且只有一个公共点，

当1－k2＝0，即k＝±1时，

直线l与双曲线的渐近线平行，

方程(*)化为2x＝5，

故方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，

有且只有一个公共点．

故当k＝±233或±1时，

直线与双曲线有且只有一个公共点．

(3)由{4－3k2＜0，1－k2≠0，得k＜－233或k＞233，

此时方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点．

反思与感悟　(1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．

(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：双曲线与直线相切或直线与双曲线的渐近线平行．

(3)注意对直线l的斜率是否存在进行讨论．

跟踪训练1　已知双曲线x2－y24＝1，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l 的斜率k.

考点　直线与双曲线的位置关系

题点　直线与双曲线的位置关系

解　当直线l的斜率不存在时，

l：x＝1与双曲线相切，符合题意．

当直线l的斜率存在时，

设l的方程为y＝k(x－1)＋1，

代入双曲线方程，

得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.

当4－k2＝0时，k＝±2，

l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；

当4－k2≠0时，令”＝0，得k＝52.

综上，k＝52或k＝±2或k不存在．

类型二　弦长公式及中点弦问题

例2　过双曲线x2－y23＝1的左焦点F1作倾斜角为π6的弦AB，求|AB|的长．

考点　直线与双曲线的位置关系

题点　直线与双曲线相交弦长与三角形面积

解　易得双曲线的左焦点F1(－2,0)，

∴直线AB的方程为y＝33(x＋2)，

与双曲线方程联立，得8x2－4x－13＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝12，x1x2＝－138，

∴|AB|＝1＋k2· x1＋x22－4x1x2

＝1＋13×(122－4×(－138＝3.

反思与感悟　解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围问题．

跟踪训练2　设A，B为双曲线x2－y22＝1上的两点，线段AB的中点为M(1,2)．求：

(1)直线AB的方程；

(2)△OAB的面积(O为坐标原点)．

考点　直线与双曲线的位置关系

题点　直线与双曲线相交弦长与三角形面积

解　(1)显然直线AB的斜率存在，

设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，

即y＝kx＋2－k.

由{y＝kx＋2－k，x2－y22＝1，消去y，

整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则1＝x1＋x22＝ k2－k2－k2，解得k＝1.

当k＝1时，满足”＞0，

∴直线AB的方程为y＝x＋1.

(2)由(1)得x1＋x2＝2，x1x2＝－3，

∴|AB|＝2· x1＋x22－4x1x2

＝2×4＋12＝42.

又O到直线AB的距离d＝12＝22，

∴S△AOB＝12|AB|·d＝12×42×22＝2.

类型三　直线与双曲线位置关系的综合问题

例3　直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A，B.

(1)求实数k的取值范围；

(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

考点　直线与双曲线的位置关系

题点　直线与双曲线的其他问题

解　(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1，整理得(k2－2)x2＋2kx＋2

＝0，①

依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，

故 {k2－2≠0，Δ＝2k2－8k2－2＞0，－2kk2－2＞0，2k2－2＞0，

解得k的取值范围为－2＜k＜－2.

(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

则由①式，得{x1＋x2＝2k2－k2，x1x2＝2k2－2.

假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(62，0，则FA⊥FB，

∴(x1－62(x2－62＋y1y2＝0，

即(x1－62(x2－62＋(kx1＋1)·(kx2＋1)＝0，

(1＋k2)x1x2＋(k－62(x1＋x2)＋52＝0，

∴(1＋k2)·2k2－2＋(k－62·2k2－k2＋52＝0，

化简得5k2＋26k－6＝0，

解得k＝－6＋65或k＝6－65(舍去)，

可知k＝－6＋65使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．

反思与感悟　解决综合问题时，可以仿照椭圆的处理思路，借助于方程思想，将问题进行化归，然后利用直线与双曲线位置关系进行求解．

跟踪训练3　已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为y＝3x，右焦