高中数学选修2-1第二章 (9)

第2课时　双曲线的几何性质及应用学习目标　1.理解直线与双曲线的位置关系.2.会求解弦长问题．知识点一　直线与双曲线的位置关系思考　直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？答案　不能．梳理　设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±ba时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时，”＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．”＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；”＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；”＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．知识点二　弦长公式若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝ (1＋1k2[y1＋y22－4y1y2].(1)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．(×)(2)过点A(1,0)作直线l与双曲线x2－y2＝1只有一个公共点，这样的直线可作2条．(×)(3)直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点．(√)类型一　直线与双曲线位置关系例1　已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试确定满足下列条件的实数k的取值范围．(1)直线l与双曲线有两个不同的公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点．考点　直线与双曲线的位置关系题点　直线与双曲线的位置关系解　联立 {x2－y2＝4，y＝kx－1，消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)当1－k2≠0，即k≠±1时，”＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4×(4－3k2)．(1)由{4－3k2＞0，1－k2≠0，得－233＜k＜233且k≠±1，此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个不同的公共点．(2)由{4－3k2＝0，1－k2≠0，得k＝±233，此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且只有一个公共点，当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x＝5，故方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点．故当k＝±233或±1时，直线与双曲线有且只有一个公共点．(3)由{4－3k2＜0，1－k2≠0，得k＜－233或k＞233，此时方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点．反思与感悟　(1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：双曲线与直线相切或直线与双曲线的渐近线平行．(3)注意对直线l的斜率是否存在进行讨论．跟踪训练1　已知双曲线x2－y24＝1，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l 的斜率k.考点　直线与双曲线的位置关系题点　直线与双曲线的位置关系解　当直线l的斜率不存在时，l：x＝1与双曲线相切，符合题意．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.当4－k2＝0时，k＝±2，l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；当4－k2≠0时，令”＝0，得k＝52.综上，k＝52或k＝±2或k不存在．类型二　弦长公式及中点弦问题例2　过双曲线x2－y23＝1的左焦点F1作倾斜角为π6的弦AB，求|AB|的长．考点　直线与双曲线的位置关系题点　直线与双曲线相交弦长与三角形面积解　易得双曲线的左焦点F1(－2,0)，∴直线AB的方程为y＝33(x＋2)，与双曲线方程联立，得8x2－4x－13＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝12，x1x2＝－138，∴|AB|＝1＋k2· x1＋x22－4x1x2＝1＋13×(122－4×(－138＝3.反思与感悟　解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围问题．跟踪训练2　设A，B为双曲线x2－y22＝1上的两点，线段AB的中点为M(1,2)．求：(1)直线AB的方程；(2)△OAB的面积(O为坐标原点)．考点　直线与双曲线的位置关系题点　直线与双曲线相交弦长与三角形面积解　(1)显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，即y＝kx＋2－k.由{y＝kx＋2－k，x2－y22＝1，消去y，整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1＝x1＋x22＝ k2－k2－k2，解得k＝1.当k＝1时，满足”＞0，∴直线AB的方程为y＝x＋1.(2)由(1)得x1＋x2＝2，x1x2＝－3，∴|AB|＝2· x1＋x22－4x1x2＝2×4＋12＝42.又O到直线AB的距离d＝12＝22，∴S△AOB＝12|AB|·d＝12×42×22＝2.类型三　直线与双曲线位置关系的综合问题例3　直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A，B.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．考点　直线与双曲线的位置关系题点　直线与双曲线的其他问题解　(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1，整理得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0，①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，故 {k2－2≠0，Δ＝2k2－8k2－2＞0，－2kk2－2＞0，2k2－2＞0，解得k的取值范围为－2＜k＜－2.(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则由①式，得{x1＋x2＝2k2－k2，x1x2＝2k2－2.假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(62，0，则FA⊥FB，∴(x1－62(x2－62＋y1y2＝0，即(x1－62(x2－62＋(kx1＋1)·(kx2＋1)＝0，(1＋k2)x1x2＋(k－62(x1＋x2)＋52＝0，∴(1＋k2)·2k2－2＋(k－62·2k2－k2＋52＝0，化简得5k2＋26k－6＝0，解得k＝－6＋65或k＝6－65(舍去)，可知k＝－6＋65使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．反思与感悟　解决综合问题时，可以仿照椭圆的处理思路，借助于方程思想，将问题进行化归，然后利用直线与双曲线位置关系进行求解．跟踪训练3　已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为y＝3x，右焦点F到直线x＝a2c的距离为32.(1)求双曲线C的方程；(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B，D两点，已知A(1,0)，若DF →·BF→＝1，证明：过A，B，D三点的圆与x轴相切．考点　直线与双曲线的位置关系题点　直线与双曲线的其他问题(1)解　依题意有ba＝3，c－a2c＝32，∵a2＋b2＝c2，∴c＝2a，∴a＝1，c＝2，∴b2＝3，∴双曲线C的方程为x2－y23＝1.(2)证明　设直线l的方程为y＝x＋m(m＞0)，B(x1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD的中点为M，由{y＝x＋m，x2－y23＝1，得2x2－2mx－m2－3＝0，∴x1＋x2＝m，x1x2＝－m2＋32，又∵DF→·BF→＝1，即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1，∴m＝0(舍)或m＝2，∴x1＋x2＝2，x1x2＝－72，M点的横坐标为x1＋x22＝1，∵DA→·BA→＝(1－x1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2)＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0，∴AD⊥AB，∴过A，B，D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，∵点M的横坐标为1，∴MA⊥x轴，∴过A，B，D三点的圆与x轴相切.1．双曲线x24－y212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A．23 B．2 C.3 D．1考点　双曲线的几何性质题点　求双曲线的渐近线方程答案　A解析　∵双曲线x24－y212＝1的一个焦点为F(4,0)，其中一条渐近线方程为y＝3x，∴点F 到3x－y＝0的距离为432＝23.2．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点　直线与双曲线的位置关系题点　直线与双曲线的位置关系答案　B3．直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是( )A．(1,2) B．(－2，－1)C．(－1，－2) D．(2,1)考点　直线与双曲线的位置关系题点　直线与双曲线的位置关系答案　C解析　将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为x1＋x22＝－22＝－1，故选C.4．过点A(3，－1)且被A点平分的双曲线x24－y2＝1的弦所在的直线方程是________．考点　直线与双曲线的位置关系题点　直线与双曲线的其他问题答案　3x＋4y－5＝0解析　易知所求直线的斜率存在，设为k，设该直线的方程为y＋1＝k(x－3)，代入x24－y2＝1，消去y得关于x的一元二次方程(1－4k2)x2＋(24k2＋8k)x－36k2－24k－8＝0，∴－24k2＋8k1－4k2＝6，∴k＝－34，∴所求直线方程为3x＋4y－5＝0.5．过双曲线x2－y22＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则满足条件的直线l有________条．考点　直线与双曲线的位置关系题点　直线与双曲线相交弦长与三角形面积答案　3解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝3，由{x＝3，x2－y22＝1，得y＝±2，∴|AB|＝|y1－y2|＝4，满足题意．当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－3)，由 {y＝kx－3，x2－y22＝1，得(2－k2)x2＋23k2x－3k2－2＝0.当2－k2≠0时，x1＋x2＝23k2k2－2，x1x2＝3k2＋2k2－2，|AB|＝1＋k2 x1＋x22－4x1x2＝1＋k2(23k2k2－22－12k2＋8k2－2＝1＋k2 16k2＋1k2－22＝ 41＋k2|k2－2|＝4，解得k＝±22.故满足条件的直线l有3条．双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.一、选择题1．双曲线C与椭圆x29＋y24＝1有相同的焦距，一条渐近线的方程为x－2y＝0，则双曲线C 的标准方程为( )A．x24－y2＝1B．x24－y2＝1或y2－x24＝1C．x2－y24＝1或y2－x24＝1D．y2－x24＝1考点　由双曲线的简单几何性质求方程题点　渐近线为条件求双曲线的方程答案　B2．已知双曲线x2a2－y25＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )A.3414B.324C.32D.43考点　双曲线的简单几何性质题点　求双曲线的离心率答案　C解析　由题意知a2＋5＝9, 解得a＝2，e＝ca＝32.3．(2018届浙江东阳中学期中)已知椭圆C1：x213＋y2＝1，双曲线C2：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．若以椭圆C1的长轴为直径的圆与双曲线C2的一条渐近线交于A，B两点，且椭圆C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则双曲线C2的离心率是( )A.3 B．3 C.5 D．5答案　A解析　由已知得|OA|＝13，设OA的方程为y＝kx(k>0，x>0)，所以可设A(x0，kx0)，进一步可得1＋k2x0＝13，得A(131＋k2，13k1＋k2，所以AB的一个三等分点坐标为(1331＋k2，13k31＋k2，该点在椭圆上，所以(1331＋k2213＋(13k31＋k22＝1，即1＋13k2＝9(1＋k2)，解得k2＝2，从而有b2a2＝2，b2＝2a2，解得e＝ca＝a2＋b2a2＝3.4．(2017·嘉兴一中期末)过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(b>a>0)的右顶点A作斜率为1的直线l，分别与两渐近线交于B，C两点，若AB→＝2AC→，则双曲线C的离心率为( )A．210 B.10 C.102 D.103答案　B5．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x24－y2＝1B.x2－y24＝1C.3x220－3y25＝1D.3x25－3y220＝1考点　双曲线的几何性质题点　求双曲线的标准方程答案　A解析　由题意得c＝5，ba＝12，则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为x24－y2＝1.6．斜率为2的直线l过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是( )A．[2，＋∞) B．(1，3)C．(1，5) D．(5，＋∞)考点　双曲线的离心率与渐近线题点　双曲线离心率的取值范围答案　D7．设P为双曲线C：x2－y2＝1上一点，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，若cos∠F1PF2＝13，则△PF1F2的外接圆半径为( )A.94 B．9 C.32 D．3考点　双曲线的简单几何性质题点　由双曲线方程研究其他问题答案　C解析　由题意知双曲线中a＝1，b＝1，c＝2，所以|F1F2|＝22.因为cos∠F1PF2＝13，所以sin∠F1PF2＝223.在△PF1F2中，|F1F2|sin∠F1PF2＝2R(R为△PF1F2的外接圆半径)，即22223＝2R，解得R＝32，即△PF1F2的外接圆半径为32，故选C.二、填空题8．两个正数a，b的等差中项是52，一个等比中项是6，且a＞b，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率e＝________.考点　双曲线的简单几何性质题点　求双曲线的离心率答案　133解析　由{a＋b＝5，ab＝6，解得{a＝2，b＝3或{a＝3，b＝2.又a＞b，∴a＝3，b＝2，∴c＝13，∴e＝ca＝133.9．已知双曲线C：x24－y2m＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是________．考点　双曲线性质的应用题点　以离心率或渐近线为条件的简单问题答案　(4，＋∞)解析　∵等轴双曲线的离心率为2，且双曲线C的开口比等轴双曲线更开阔，∴双曲线C：x24－y2m＝1的离心率e＞2，即4＋m4＞2，∴m＞4.10．已知双曲线C的离心率为3，焦点为F1，F2，点A在双曲线C上，若|F1A|＝3|F2A|，则cos ∠AF2F1＝________.考点　双曲线的简单几何性质题点　由双曲线方程研究其他问题答案　33解析　设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．设A为右支上一点，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，且|F2A|＝m，由题意可得|F1A|＝3m，由双曲线的定义可得|F1A|－|F2A|＝2a，解得m＝a，又e＝ca＝3，可得c＝3a.在△AF1F2中，|F1A|＝3a，|F2A|＝a，|F1F2|＝23a，可得cos∠AF2F1＝a2＋12a2－9a22×a×23a＝33.11．已知直线l与双曲线C：x2－y24＝1交于A，B两点，且线段AB的中点为M(2,1)，则直线l 的方程是_________________．考点　直线与双曲线的位置关系题点　直线与双曲线的其他问题答案　8x－y－15＝0解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得x21－y214＝1，x22－y224＝1，两式相减可得，(x1－x2)(x1＋x2)－ y1－y2y1＋y24＝0，由M(2,1)为AB的中点，得x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，可得直线AB的斜率为k＝y1－y2x1－x2＝ 4x1＋x2y1＋y2＝4×42＝8，即直线AB的方程为y－1＝8(x－2)，即8x－y－15＝0.将y＝8x－15代入双曲线的方程x2－y24＝1，可得60x2－240x＋229＝0，即有”＝2402－4×60×229＝240×11＞0，故直线l的方程为8x－y－15＝0.三、解答题12．已知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，且过点(－3，42)．(1)求双曲线的方程；(2)若直线4x－y－6＝0与双曲线相交于A，B两点，求|AB|的值．考点　由双曲线的几何性质求方程题点　渐近线为条件求双曲线方程解　(1)设所求双曲线的方程为x2－y24＝»(»≠0)，把(－3,42)代入方程，得9－324＝»，所以»＝1，所以所求双曲线的方程为x2－y24＝1.(2)直线方程4x－y－6＝0可变形为y＝4x－6，把y＝4x－6代入x2－y24＝1，得3x2－12x＋10＝0，则x1＋x2＝4，x1x2＝103，所以|AB|＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝ 1＋16×(42－4×103＝21023.13．设A，B分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y＝33x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使OM →＋ON→＝t OD→，求t的值及点D的坐标．考点　由双曲线的简单几何性质求方程题点　已知双曲线的焦距、实虚轴求方程解　(1)由题意，知a＝23，所以一条渐近线为y＝b23x，即bx－23y＝0，所以|bc|b2＋12＝3，所以b2＝3，所以双曲线的方程为x212－y23＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.将直线方程代入双曲线方程，消去y得x2－163x＋84＝0，则x1＋x2＝163，y1＋y2＝12，所以{x0y0＝433，x2012－y203＝1，所以{x0＝43，y0＝3.由OM→＋ON→＝t OD→，得(163，12)＝(43t,3t)，所以t＝4，点D的坐标为(43，3)．四、探究与拓展14．已知椭圆C1：x2a21＋y2b21＝1(a1＞b1＞0)与双曲线C2：x2a22－y2b22＝1(a2＞0，b2＞0)有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，e1，e2又分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e21＋e22的最小值为( )A.52 B．4 C.92 D．9考点　双曲线的简单几何性质题点　由双曲线方程研究其他问题答案　C解析　由题意设焦距为2c，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，知|PF1|－|PF2|＝2a2，①由椭圆定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a1，②又∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，③①2＋②2，得|PF1|2＋|PF2|2＝2a21＋2a22，④将④代入③，得a21＋a22＝2c2，∴4e21＋e22＝4c2a21＋c2a22＝ 4a21＋a222a21＋a21＋a222a22＝52＋2a22a21＋a212a22≥52＋22a22a21·a212a22＝92，当且仅当2a22a21＝a212a22，即a21＝2a22时，取等号，故选C.15．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点为F(－2,0)．(1)求双曲线的方程；(2)设Q是双曲线上一点，且过点F，Q的直线l与y轴交于点M，若|MQ→|＝2|QF→|，求直线l的方程．考点　由双曲线的简单几何性质求方程题点　已知双曲线的焦距、实虚轴求方程解　(1)由题意可设所求的双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，则有e＝ca＝2，c＝2，所以a＝1，b＝3，所以所求的双曲线方程为x2－y23＝1.(2)因为直线l与y轴相交于点M且过焦点F(－2,0)，所以l的斜率一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋2)，令x＝0，得M(0,2k)．因为|MQ→|＝2|QF→|且M，Q，F共线于l，所以MQ→＝2QF→或MQ→＝－2QF→.当MQ→＝2QF→时，x Q＝－43，y Q＝23k，所以Q的坐标为(－43，23k，又因为点Q在双曲线x2－y23＝1上，所以169－4k227＝1，所以k＝±212，所以直线l的方程为y＝±212(x＋2)．当MQ→＝－2QF→时，同理求得Q(－4，－2k)，代入双曲线方程，得16－4k23＝1，所以k＝±352，所以直线l的方程为y＝±352(x＋2)．综上，直线l的方程为y＝±212(x＋2)或y＝±352(x＋2)．。