【新人教】高考数学专题复习《含绝对值的不等式》测试题2013
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不等式同步检测(含解析)新人教A版选修45
1.2绝对值不等式同步检测一、选择题1. 不等式5310x x -++≥的解集为（ ） A ．[]5,7- B ．[]4,6- C.(][),57,-∞-+∞ D ．(][),46,-∞-+∞答案：D解析：解答：由不等式的几何意义，不等式53x x -++表示数轴上的点x 与点5的距离和数轴上的点x 与点3-的距离之和，其距离之和的最小值为8，结合数轴，选项D 正确。
分析：本题主要考查了绝对值不等，解决问题的关键是根据不等式的几何意义进行分析计算即可2. 下列关于实数x 的不等式关系中，恒成立的是（ ） A ．12x x+≥ B ．212x x +>C 1≤D ．|1||2|3x x --+≤ 答案：D解析：解答：当1x =-时，122x x+=-<，故A 错； 当1x =时，212x +=，故B 错；当12x =1==>，故C 错； 由绝对值的几何意义知，|1||2|x x --+表示数轴上的点到()1A 和()2B -的距离之差，其最小值为3，故D 正确分析：本题主要考查了绝对值不等，解决问题的关键是根据绝对值的几何意义分析判断即可 3. 不等式0)12(|1|≥-+x x 的解集是（ ）A ．),21[+∞ B ．),21[]1,(+∞⋃--∞ C ．),21[}1{+∞- D ．]21,1[-- 答案：C解析：解答：本题考查绝对值的意义,不等式的解法,等价转化.因为|1|0,x +≥所以不等式0)12(|1|≥-+x x 可化为|1|0210,x x +=-≥或解得11;2x x =-≥-或则不等式0)12(|1|≥-+x x 的解集是),21[}1{+∞- .故选C分析：本题主要考查了绝对值不等式的解法，解决问题的关键是根据绝对值不等式分析计算即可4. 不等式22x x x x-->的解集是（ ） A ．(0,2) B ．(,0)-∞ C ．(2,)+∞ D ．(,0)(0,)-∞+∞答案：A解析：解答：本题考查绝对值的含义,不等式的解法,等价转化思想. 因为0a ≥时，||;a a =0a <时，||,a a =-则||0;a a a >⇔<所以不等式22||x x x x-->可化为20x x-<，即(2)0x x -<，解得0 2.x <<故选A 分析：本题主要考查了绝对值不等式的解法，解决问题的关键是根据绝对值不等式的性质分析计算即可5. 设,a b 是满足0ab <的实数,那么（ ） A ．||||a b a b +>-B ．||||a b a b +<-C ．||||||||a b a b -<-D ．||||||a b a b -<+ 答案：B解析：解答：本题考查绝对值不等式的性质及推理能力.220,||||20ab a b a b ab <∴+--=<所以22||||a b a b +<-，所以||||.a b a b +<-22||||||||22||220a b a b ab ab ab ab ---=-+=-->，所以||||||||;a b a b ->- 22||(||||)22||220a b a b ab ab ab ab --+=--=-+=，所以||||||;a b a b -=+故选B分析：本题主要考查了绝对值不等，解决问题的关键是根据绝对值的性质分析判断即可 6. ．不等式|4－3x|－5≤0的解集是（ ） A.{x| －31<x<3} B.{x| x≤－31或x≥3} C.{x|31≤x≤－3} D.{x| －31≤x≤3} 答案：D解析：解答：：由5435≤-≤-x 得331≤≤-x 故解集为{x| －31≤x≤3}分析：本题主要考查了绝对值不等式的解法，解决问题的关键是根据绝对值的性质分析计算即可7. 若实数a ，b ，c 满足|a －c |＜|b |，则下列不等式中成立的是( ) A ．|a |＞|b |－|c | B ．|a |＜|b |＋|c | C ．a ＞c －b D ．a ＜b ＋c答案：B 解析：解答：因为实数a ，b ，c 满足|a －c |＜|b |，利用绝对值不等式的性质放缩可知|a |＜|b |＋|c |成立，选B分析：本题主要考查了绝对值不等式，解决问题的关键是根据绝对值的性质分析判断即可 8. 不等式|x 2－2|＜2的解集是( )．A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－2,0)∪(0,2)答案：D解析：解答：由|x 2－2|＜2⇔－2＜x 2－2＜2，∴0＜x 2＜4，则－2＜x ＜2且x ≠0. 分析：本题主要考查了绝对值不等式的解法，解决问题的关键是根据绝对值性质分析计算即可9. 对于实数x ，若,1n Z n x n ∈≤<+规定[]x n =，则不等式24[]60[]1250x x -+<的解集是( )A. ]13,3[B.]12,4[C.)13,3[D. )12,4[ 答案：C解析：解答：正确理解“对于实数x ，若n ∈Z ，n≤x＜n+1，规定[x]=n”，是本题的关键所在．先解得[]525x 22＜＜，因为n ∈Z ，n≤x＜n+1时，[x]=n ，所以3≤x＜13，即不等式4[x]2-60[x]+125＜0的解集是{x|3≤x＜13}．所以答案为C ．分析：本题主要考查了其他不等式的解法，解决问题的关键是首先正确理解“对于实数x ，若n ∈Z ，n≤x＜n+1，规定[x]=n”，是本题的关键所在．即[x]为取整函数．然后由后边的不等式解除[x]的取值范围，然后把不等式的两边取整．即得到答案． 10. 关于x 的不等式|x-3|+|x-4|＜a 的解集不是空集，a 的取值范围是（ ）A ．0＜a ＜1B ．a ＞1C ．0＜a ≤1D ．a ≥1答案：B解析：解答：因为对任意x R ∈，都有|3||4||(3)(4)|1x x x x -+-≥-+-=恒成立，所以要使不等式|3||4|x x a -+-<的解集表示空集，需使 1.a >故选B分析：本题主要考查了绝对值不等式的解法，解决问题的关键是根据绝对值不等式的性质及转化思想,分析解决问题即可.11. 如果,,x y R ∈那么""xy o >是""x y x y +=+成立的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析：解答：由已知中x ，y ∈R ，根据绝对值的性质，分别讨论“xy ＞0”⇒“|x+y|=|x|+|y|”，与“|x+y|=|x|+|y|”⇒“xy＞0”，的真假，然后根据充要条件的定义，即可得到答案．解答：解：若“xy＞0”，则x ，y 同号，则“|x+y|=|x|+|y|”成立 即“xy＞0”是“|x+y|=|x|+|y|”成立的充分条件但“|x+y|=|x|+|y|”成立时，x ，y 不异号，“xy≥0”，“xy＞0”不一定成立， 即“xy＞0”是“|x+y|=|x|+|y|”成立的不必要条件 即“xy＞0”是“|x+y|=|x|+|y|”成立的充分不必要条件 故选A分析：本题主要考查了不等式的基本性质，解决问题的关键是根据绝对值的性质，判断“xy ＞0”⇒“|x+y|=|x|+|y|”，与“|x+y|=|x|+|y|”⇒“xy＞0”的真假，是解答本题的关键． 12. 若0a >，使不等式43x x a -+-<在R 上的解集不是空集，则a 的取值范围（ ） A.(0,1) B.(0,1] C.(1,)+∞ D.[1,)+∞ 答案：C解析：解答：|x-3|+|x-4|的几何意义是数轴上的点x 到3和4的距离之和， 当x 在3、4之间时，这个距离和最小，是1．其它情况都大于1 所以|x-3|+|x-4|≥1 如果不是空集，所以 a ＞1 故选C ．分析：本题主要考查了绝对值不等式的解法，解决问题的关键是先求不等式|x-3|+|x-4|的最大值，要求解集不是空集时实数a 的取值范围，只要a 大于不等式|x-3|+|x-4|的最大值即可．13. 对任意实数x , 若不等式k x x >+++|1||2|恒成立, 则实数k 的取值范围是 ( ) A k ≥1 B k >1 C k ≤1 D k <1 答案：D解析：解答：对任意实数x , 若不等式k x x >+++|1||2|恒成立 等价于min |)1||2(|+++<x x k 而min |)1||2(|+++x x =1 故k<1分析：本题主要考查了绝对值不等式的解法，解决问题的关键是根据绝对值不等式的几何意义分析计算即可14. 不等式220x x -++<的解集是（ ）A.{}|22x x -<<B.{}|22x x x <->或C.{}|11x x -<<D.{}|11x x x <->或答案：B解析：解答：原不等式化为|x|2-|x|-2＞0,因式分解得（|x|-2）（|x|+1）＞0,因为|x|+1＞0，所以|x|-2＞0,即|x|＞2,解得：x ＜-2或x ＞2．,故选B ．分析：本题主要考查了绝对值不等式的解法，解决问题的关键是把原不等式中的x 2变为|x|2，则不等式变为关于|x|的一元二次不等式，求出解集得到关于x 的绝对值不等式，解出绝对值不等式即可得到x 的解集 二、填空题15. 对于任意实数(0)a a ≠和b 不等式1a b a b a x ++-≥-恒成立，则实数x 的取值范围是_________ 答案：[1,3]-解析：解答：依题意可得111b bx a a-≤-++恒成立，等价于1x -小于或等于11b ba a-++的最小值.因为11(1)(1)2bb b b aaa a-++≥-++=.所以12,[1,3]x x -≤∴∈-. 分析：本题主要考查了绝对值不等式的解法，解决问题的关键是根据绝对值不等式的性质分析计算即可16. 若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 答案：24a -≤≤解析：a -表示横坐标为x 的点P 到横坐标为a 的点A 距离，x -P 到横坐标为1的点B 的距离，所以1m i n PA PB a +=-（），13-≤，解得24a -≤≤．故答案为24a -≤≤．分析：本题主要考查了绝对值不等式的解法，解决问题的关键是为使存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，只需|x a ||x 1|-+-的最小值满足不大于3.17. 已知命题1|211:|≤+-x p ，命题)0(012:22><-+-m m x x q ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的范围是 答案：2m > 解析：解答：命题p 首先化简为13x -≤≤，命题q 是二次不等式，p 是q 的充分不必要条件说明当13x -≤≤时不等式22210x x m -+-<恒成立，故2222(1)2(1)10,32310,m m ⎧--⨯-+-<⎪⎨-⨯+-<⎪⎩又0m >，故可解得2m > 分析：本题主要考查了绝对值不等式的解法，解决问题的关键是根据绝对值不等式的解法结合命题的关系分析计算即可18. 若不等式2373x x a a ++-≥-的解集为R ，则实数a 的取值范围是____． 答案：[]2,5-解析：解答：不等式2373x x a a ++-≥-的解集为R ，所以2min 3(37)a a x x -≤++-.373(7)10x x x x ++-≥+--=，所以2310a a -≤，23100,25a a a --≤-≤≤分析：本题主要考查了绝对值不等式的解法，解决问题的关键是 19. 如果关于x 的不等式1020x x a -+-<的解集不是空集，则实数a的取值范围为_____________. 答案：a 10> 解析：解答：1020x x -+-表示x 轴上的点到点10和20的距离和，因为x 轴上的点10和20的距离是10，所以1020x x a -+-<的解集不是空集的话a 10>.分析：本题主要考查了绝对值不等式的解法，解决问题的关键是根据绝对值的性质分析计算即可20. 不等式923<-≤x 的解集为___________ 答案：(][)7,15,11--解析：解答：不等式3|2|9x ≤-<可化为|2|3|2|9x x -≥⎧⎨-<⎩由|2|3x -≥得23x -≥或23x -≤-.解得5x ≥或1x ≤- 由|2|9x -<得929x -<-<，解得711x -<< 将上述结果用数轴表示出来，如图示。
高三数学绝对值不等式试题
高三数学绝对值不等式试题1.函数的定义域为，若存在常数，使得对一切实数均成立，则称为“圆锥托底型”函数．（1）判断函数，是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由．（2）若是“圆锥托底型” 函数，求出的最大值．（3）问实数、满足什么条件，是“圆锥托底型” 函数．【答案】（1）是，不是，（2），（3）【解析】（1）新定义问题，必须读懂题意，严格按定义进行等价转化.本题判断函数是否为“圆锥托底型”函数，即判断是否存在常数，使得对一切实数均成立，若成立必须证明，否则给出反例.本题解题关键在于常数的确定. ，所以可确定常数而由可知无论常数为什么正数，总能取较小的数比它小，即总能举个反例，如当时，就不成立.（2）本题实质按新定义转化为不等式恒成立问题：存在，使得对于任意实数恒成立．即当时，，而取得最小值2，．（3）本题是讨论满足不等式恒成立的条件.即实数、满足什么条件，存在常数，使得对一切实数均成立.当时，，、无限制条件；当时，，需，否则若，则当时，，即不能恒成立；若，则.试题解析：（1）．，即对于一切实数使得成立，是“圆锥托底型” 函数． 2分对于，如果存在满足，而当时，由，，得，矛盾，不是“圆锥托底型” 函数． 4分（2）是“圆锥托底型” 函数，故存在，使得对于任意实数恒成立．当时，，此时当时，取得最小值2，． 7分而当时，也成立．的最大值等于． 8分（3）①当，时，，无论取何正数，取，则有，不是“圆锥托底型” 函数． 10分②当，时，，对于任意有，此时可取是“圆锥托底型” 函数． 12分③当，时，，无论取何正数，取．有，不是“圆锥托底型” 函数． 14分④当，时，，无论取何正数，取，有，不是“圆锥托底型” 函数．由上可得，仅当时，是“圆锥托底型” 函数． 16分【考点】不等式恒成立问题2.不等式的解集是.【答案】{}【解析】由绝对值的几何意义，分别表示数轴上点到点的距离，不等式的解集，就是数轴上到距离之和不小于的的集合.结合数轴知所求解集为{}.【考点】不等式选讲，绝对值不等式.3.（不等式选讲题）对于任意实数和不等式恒成立，则实数x的取值范围是_________.【答案】【解析】依题意可得恒成立，等价于小于或等于的最小值.因为.所以.【考点】1绝对值不等式的性质.2.恒成立问题.3.最值问题.4.不等式|x＋2|－|x|≤1的解集是________．【答案】【解析】①当x≤－2时，原不等式可化为－x－2＋x≤1，该不等式恒成立．②当－2＜x＜0时，原不等式可化为x＋2＋x≤1，∴2x≤－1，∴x≤－，∴－2＜x≤－.③当x≥0时，原不等式可化为x＋2－x≤1，无解．综上，原不等式的解集为5.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题考查绝对值不等式的解法和不等式的恒成立问题，考查学生的分类讨论思想和转化能力.第一问，利用零点分段法进行求解；第二问，利用绝对值的运算性质求出最小值证明恒成立问题.试题解析：（1）原不等式等价于或或，解得或或，∴不等式的解集为.（5分）（2）依题意得：关于的不等式在上恒成立，∵，∴，即，解得，∴实数的取值范围是.(10分)【考点】1.绝对值不等式的解法；2.恒成立问题；3.绝对值的运算性质.6.（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．设不等式的解集是，．（I）试比较与的大小；（II）设表示数集的最大数．,求证：．【答案】（I）＞；（II）见解析【解析】(1)先解出M={x|0<x<1}.（I）比较两个数的大小，最基本的方法就是作差比较.即.问题得证.（2），可知,所以根据不等式的性质，同向正向不等式具有可乘性，从而可证出.7.选修4—5；不等式选讲已知a和b是任意非零实数.（1）求的最小值.（2）若不等式恒成立，求实数x的取值范围.【答案】（I）最小值等于4. （II）【解析】(I)根据绝对值不等式的性质可知,可得的最小值等于4.(II)先把不等式转化为恒成立问题，然后根据第（I）的结论，进一步转化为.解此不等式即可.（I）对于任意非零实数a和b恒成立，当且仅当时取等号，的最小值等于4.（II）恒成立，故不大于的最小值由（I）可知的最小值等于4.实数x的取值范围即为不等式的解.解不等式得8.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲。
高中数学含绝对值不等式(2)复习试题
含绝对值的不等式（组）1、绝对值不等式：a b a b a b -≤+≤+（1）a b a b +≤+等号成立条件当且仅当0ab ≥（2）a b a b -≤+等号成立条件当且仅当0ab ≤（3）a b b c a c -+-≥-：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当()()0a b b c --≥典例分析例1. (1)不等式|5||4|x x a ++-<有解，求a 的取值范围？(2)a 取何值时，不等式|25||42|x x a +--<无实数解？(3)若不等式|1|12|3|x x x x a ++-+-+-≥恒成立，求a 的取值范围.（4）若不等式|1|2132|43|x x x x a ++-+-+-≥恒成立，求a 的取值范围.例2.已知||1x ≤，||1y ≤，且|||1||24|k x y y y x =++++--，求k 的最小值和最大值.例3.实数a 、b 、c 满足不等式||||a b c +≥，||||b c a +≥，||||c a b +≥.求证0a b c ++=.例4.实数a 、b 、c 满足a b c ≤≤，0ab bc ca ++=，1abc =.求最大的实数k ，使得不等式||||a b k c +≥恒成立.例5.已知（1）0a >；（2）当11x -≤≤时，满足2||1ax bc c ++≤；（3）当11x -≤≤时，ax b +有最大值2.求常数a 、b 、c .例6.证明|||2|||24max{,,}A x y x y z x y x y z x y z =-++-+-+++=，其中max {x ，y ，z }表示x 、y 、z 这三个数中的最大者.例7.设2()f x ax bx c =++（a 、b 、c 都是实数），已知|(1)|1f -≤，|(0)|1f ≤，|(1)|1f ≤，求证：当11x -≤≤时，5|()|4f x ≤.含绝对值的不等式（组）练习姓名： 班级：1、若不等式62<+ax 的解集为()1,2-，则实数a 等于 （ ）.A 8 .B 2 .C 4- .D 8-2、对任意的,x y R ∈，111x x y y -++-++的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44.关于x 的不等式|kx －1|≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}，则k 的值 ．5.()1对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是 ； ()2对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是 ；()3若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，则a 的取值范围是 ；6.若不等式131x x m +++≥-恒成立，则m 的取值范围为________．7、函数f(x)=x 2+ax+b （a,b ∈R ），x ∈[－1,1],|)(|x f 的最大值为M ，证明：M ≥218、设函数ax －b|，a ，b ∈R ..（I ）当a=0，b=1时，写出函数f(x)的单调区间；（II ）当a=时，记函数f(x)在[0，4]上的最大值为g(b)，在b 变化时，求g(b)的最小值； （III ）若对任意实数a ，b ，总存在实数x 0∈[0，4]使得不等式f(x 0)≥m 成立，求实数m 的取值范围。
高三数学绝对值不等式试题答案及解析
高三数学绝对值不等式试题答案及解析1.不等式有实数解的充要条件是_____.【答案】．【解析】记，则不等式有实数解等价于，因为，故【考点】绝对值三角不等式.2.（2013•重庆）若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是_________．【答案】（﹣∞，8]【解析】由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，故答案为：（﹣∞，8]．3.若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是()A．[3，+∞)B．(－∞，3]C．(-1,2)D．(-2,3]【答案】B【解析】当x≤－1时，|x＋1|＋|x－2|＝－x－1－x＋2＝－2x＋1≥3；当－1<x≤2时，|x＋1|＋|x－2|＝x＋1－x＋2＝3；当x>2时，|x＋1|＋|x－2|＝x＋1＋x－2＝2x－1>3；综上可得|x＋1|＋|x－2|≥3，所以只要a≤3.即实数a的取值范围是(－∞，3]，故选B.4.解不等式：|2x－1|－|x－2|<0.【答案】{x|－1＜x＜1}．【解析】原不等式等价于不等式组①无解；②解得<x<1；③解得－1＜x≤.综上得－1＜x＜1，所以原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}．5.解不等式：|x＋3|－|2x－1|<＋1.【答案】{x|x<－或x>2}【解析】①当x<－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<10，∴x<－3.②当－3≤x<时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<－，∴－3≤x<－.③当x≥时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)<＋1，解得x>2，∴x>2.综上可知，原不等式的解集为{x|x<－或x>2}．6.若不等式|3x－b|＜4的解集中整数有且只有1，2，3，求实数b的取值范围．【答案】5＜b＜7【解析】由|3x－b|＜4，得－4＜3x－b＜4，即＜x＜.因为解集中整数有且只有1，2，3，所以解得所以5＜b＜7.7.已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【答案】（1）x≤1或x≥4（2）－3≤a≤0【解析】(1)当a＝－3时，f(x)≥3，|x－3|＋|x－2|≥3，或或解得x≤1或x≥4.(2)原命题f(x)≤|x－4|在[1，2]上恒成立|x＋a|＋2－x≤4－x在[1，2]上恒成立－2－x≤a≤2－x在[1，2]上恒成立，故－3≤a≤0.8. A.（坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为(为参数)，圆的参数方程为(为参数),则圆心到直线的距离为_________．B．（几何证明选讲）如右图，直线与圆相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点，，,则_________．C．（不等式选讲）若存在实数使成立，则实数的取值范围是_________．【答案】A.；B．；C．【解析】A.先把直线l和圆C的参数方程化为普通方程y=x+1，（x-2）2+y2=1，再利用点到直线的距离公式求出即可．B．在圆中线段利用由切割线定理求得PA，进而利用直角三角形PCO中的线段，结合面积法求得CE即可．C.由绝对值的基本不等式得：，解得－3≤m≤1.【考点】(1)参数方程；（2）圆的性质；（3）绝对值不等式.9.不等式的解集是【答案】【解析】解答本题可利用“分段讨论法”，也可利用“几何法”，根据绝对值的几何意义，结合数轴得，不等式的解集是.【考点】绝对值不等式的解法10.设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解不等式f(x)>2；(2)求函数y＝f(x)的最小值．【答案】（1）（2）－【解析】(1)f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝当x<－时，由f(x)＝－x－5>2得x<－7，∴x<－7；当－≤x<4时，由f(x)＝3x－3>2得x>，∴<x<4；当x≥4时，由f(x)＝x＋5>2，得x>－3，∴x≥4.故原不等式的解集为.(2)画出f(x)的图象如图：∴f(x)＝－.min11.已知关于x的不等式|ax－2|＋|ax－a|≥2(a>0)．(1)当a＝1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）a≥4【解析】(1)当a＝1时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥2，由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x到1、2的距离之和大于等于2. ∴x≥或x≤.∴不等式的解集为.注：也可用零点分段法求解．(2)∵|ax－2|＋|ax－a|≥|a－2|，∴原不等式的解集为R等价于|a－2|≥2，∴a≥4或a≤0.又a>0，∴a≥4.12.关于x的不等式的解集不为空集，则实数a的取值范围是 .【答案】【解析】由于表示数轴上的对应点到的距离减去它到对应点的距离，它的最小值为，要使不等式的解集为非空集合，则实数，解得，，故答案为．【考点】绝对值不等式的解法．13.若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是。
高三数学绝对值不等式试题
高三数学绝对值不等式试题1.，若，则的取值范围为__________.【答案】【解析】因为，当且仅当取等号，所以，又，所以，因此的取值范围为.【考点】含绝对值不等式的性质2.设A＝{x∈Z||x－2|≤5}，则A中最小元素为( )A．2B．－3C．7D．0【答案】B【解析】由|x－2|≤5，得－3≤x≤7，又x∈Z，∴A中的最小元素为－3，选B.3.解不等式|2x－4|＜4－|x|.【答案】【解析】原不等式等价于①或②或③不等式组①无解．由②0<x≤2，③2<x<，得不等式的解集为.4.已知f(x)=.(1)当a=1时，求f(x)≥x的解集；（2）若不存在实数x，使f(x)<3成立，求a的取值范围.【答案】(1)；(2)【解析】(1)根据绝对值的几何意义分类去掉绝对值符号，化为几个整式不等式，然后求解，最后求它们的并集即可.(2)由题意可知恒成立，由绝对值不等式的性质可得，即，解出a即可.试题解析：(1)当a=1时，，解得；当时，解得，无解，解得； 3分综上可得到解集. 5分(2)依题意，，则， 8分（舍），所以 10分【考点】解绝对值不等式的解法.5.设，若关于的不等式有解，则参数的取值范围为________．【答案】[0,3]【解析】由知，不等式有解等价于，解得.【考点】绝对值不等式的解法、转化思想.6.若存在实数使成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】为使存在实数使成立，只需的最小值满足不大于.在数轴上，表示横坐标为的点到横坐标为a的点A距离，就表示点到横坐标为1的点B的距离，所以，从而，解得．故答案为．【考点】绝对值的几何意义，绝对值不等式的解法.7.不等式的解集是________．【答案】【解析】，当即时，则或，所以，故此时不成立；当即时，显然恒成立，故答案为.【考点】绝对值不等式的解法.8.定义：关于的不等式的解集叫的邻域．已知的邻域为区间，其中、分别为椭圆的长半轴和短半轴．若此椭圆的一焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题中的定义知，的邻域为区间，则关于不等式的解集为，解关于不等式得，解得，所以，又由于椭圆的一焦点与抛物线的焦点重合，则，即，所以，解得，，故此椭圆的方程为，故选B.【考点】1.新定义；2.含绝对值的不等式的解法；3.椭圆的方程9.已知函数，若不等式的解集为,则的值为__________．【答案】．【解析】当且时，．【考点】不等式选讲．10.已知的最小值为，则二项式展开式中项的系数为 .【答案】15【解析】二项式展开式中含的项为其系数为．【考点】1、绝对值不等式的性质；2、二项式定理．11.解不等式.【答案】【解析】先构造函数，去绝对值，将函数的解析式利用分段函数的形式求出，将问题转化为分段不等式进行求解.令，当时，，，则，此时恒成立； 3分当时，，，则，令，即，解得，由于，则有； 6分当时，，，则，此时不成立， 9分综上所述，不等式的解集为. 10分【考点】含绝对值不等式的解法、分段函数12.设函数（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若函数有最小值，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）分类去掉绝对值符号，化为整式不等式再解，最后取并集即可.（Ⅱ）把函数f（x）化为分段函数，然后再找出f(x)有最小值的充要条件解之即可.试题解析：（Ⅰ）a=1时，f(x)=+x+3当x≥时，f(x)≤5可化为3x-1+x+3≤5,解得≤x；当x<时，f(x)≤5可化为-3x+1+x+3≤5,解得-,综上可得，原不等式的解集为（Ⅱ）f(x)= +x+3=函数有最小值的充要条件是，解得【考点】1.绝对值不等式；2.分段函数及其求函数值.13.已知函数，（Ⅰ）已知常数，解关于的不等式；（Ⅱ）若函数的图象恒在函数图象的上方，求实数的取值范围.【答案】（1）不等式的解集为（2）【解析】解：（Ⅰ）由得，或或故不等式的解集为 3分（Ⅱ）∵函数的图象恒在函数图象的上方∴恒成立，即恒成立 5分∵，∴的取值范围为. 7分【考点】绝对值不等式点评：主要是考查了绝对值不等式的定义，以及不等式的恒成立问题转化为最值来处理的运用，属于中档题。
含绝对值的不等式考试试题及答案
含绝对值的不等式考试试题及答案例5-3-13解下列不等式：(1)|2-3x|-1＜2(2)|3x+5|+1＞6解(1)原不等式同解于(2)原不等式可化为|3x+5|＞5 3x+5＞5或3x+5＜-5注解含绝对值的不等式，关键在于正确地根据绝对值的定义去掉绝对值符号。
解5-3-14解不等式4＜|x2-5x|≤6。
解原不等式同解于不等式组不等式(i)同解于x2-5x＜-4或x2-5x＞4不等式(ii)同解于-6≤x2-5x≤6取不等式(i)，(ii)的解的交集，即得原不等式的解集其解集可用数轴标根法表示如下：注本例的难点是正确区别解集的交、并关系。
“数轴标根法”是确定解集并防止出错的有效辅助方法。
例5-3-15解不等式|x+2|-|x-1|≥0。
解原不等式同解于|x+2|≥|x-1| (x+2)2≥(x-1)2注解形如|ax+b|-|cx+d|≥0的不等式，适合于用移项后两边平方脱去绝对值符号的方法。
但对其他含多项绝对值的情形，采用此法一般较繁，不可取。
例5-3-16解下列不等式：解(1)原不等式同解于不等式组左边不等式同解于右边不等式同解于取(i)，(ii)的交集，得原不等式的解集为{x|1＜x＜2} (2)原不等式同解于取(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)的并集，得原不等式的解集为例5-3-17解不等式||x+1|-|x-1||＜x+2。
分析要使不等式有解，必须x+2＞0即x＞-2。
又|x+1|，|x-1|的零点分别为-1，1，故可在区间(-2，-1)，[-1，1]，[1，+∞)内分别求解。
解原不等式同解于注解含多个绝对值项的不等式，常采用分段脱号法。
其步骤是：找出零点，确定分段区间；分段求解，确定各段解集；综合取并，确定所求解集。
例5-3-18已知a＞0，b＞0，解不等式|ax-b|＜x。
解显然x＞0，故原不等式同解于注含绝对值的不等式中，若含有参数，则先去掉绝对值符号并化简，再根据具体情况对参数进行分类讨论。
高三数学绝对值不等式试题答案及解析
高三数学绝对值不等式试题答案及解析1.（不等式选讲题）对于任意实数和不等式恒成立，则实数x的取值范围是_________.【答案】【解析】依题意可得恒成立，等价于小于或等于的最小值.因为.所以.【考点】1绝对值不等式的性质.2.恒成立问题.3.最值问题.2.关于x的不等式|x-3|+|x-4|<a的解集不是空集,求a的取值范围.【答案】(1,+∞)【解析】∵|x-3|+|x-4|≥|(x-3)-(x-4)|=1,∴a>1.即a的取值范围是(1,+∞).3.设函数f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈R.(1)求关于x的不等式f(x)≤5的解集.(2)若g(x)=的定义域为R,求实数m的取值范围.【答案】(1) x∈[-,] (2) m>-2【解析】(1)或或不等式的解集为x∈[-,].(2)若g(x)=的定义域为R.则f(x)+m≠0恒成立,即f(x)+m=0在R上无解,又f(x)=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2,f(x)的最小值为2,所以m>-2.4.若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．【答案】[－2,4]【解析】|x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.5.若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，8]【解析】因为|x－5|＋|x＋3|表示数轴上的动点x到数轴上的点－3,5的距离之和，而(|x－5|＋|x＋＝8，∴当a≤8时，|x－5|＋|x＋3|<a无解，3|)min故实数a的取值范围为(－∞，8]．6.已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)设a>－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．【答案】（1）{x|0＜x＜2}（2）【解析】(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．(2)当x∈时，f(x)＝1＋a，不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3，所以x≥a－2对x∈都成立，应有－≥a－2，则a≤，从而实数a的取值范围是.7.若不等式的解集为，则实数的取值范围是____．【答案】【解析】不等式的解集为，所以.，所以，.【考点】不等式8.设函数.（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）当时，不等式的解集为，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）原不等式的解集等价于不等式组或的解集的并集；（Ⅱ）当时，不等式的解集为，恒成立问题，对分类讨论，①，②.试题解析：（Ⅰ）当时，，或或，∴不等式的解集是. 5分[（Ⅱ）不等式可化为，∴，由题意，时恒成立，当时，可化为，，，，综上，实数的取值范围是. 10分【考点】绝对值不等式，恒成立问题.9.（本题满分10分）《选修4-5：不等式选讲》已知函数(1)证明:(2)求不等式:的解集【答案】（1）；（2）【解析】（1）对于x进行分三类讨论，得到关于x的分段函数，进而分别求解得到解集取其并集得到。
高三数学绝对值不等式试题答案及解析
高三数学绝对值不等式试题答案及解析1. (1).（不等式选做题）对任意,的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，选C.【考点】含绝对值不等式性质2.若存在实数使成立，则实数的取值范围_______【答案】【解析】由又因为存在实数使成立则，则【考点】绝对值不等式；存在性问题.3.若关于x的不等式|x－2|＋|x－a|≥a在R上恒成立，则a的最大值是（）A．0B．1C．－1D．2【答案】B【解析】由于|x－2|＋|x－a|≥|a－2|，∴等价于|a－2|≥a，解之得a≤1.故实数a的最大值为1，选B.4.解不等式：3≤|5－2x|<9.【答案】(－2，1]∪[4，7)．【解析】得解集为(－2，1]∪[4，7)．5.解不等式：|x＋3|－|2x－1|<＋1.【答案】{x|x<－或x>2}【解析】①当x<－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<10，∴x<－3.②当－3≤x<时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<－，∴－3≤x<－.③当x≥时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)<＋1，解得x>2，∴x>2.综上可知，原不等式的解集为{x|x<－或x>2}．6.设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a＞0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．【答案】（1）{x|x≥3或x≤－1}（2）a＝2【解析】(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.由此可得x≥3或x≤－1，故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0，此不等式化为不等式组或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为.由题设可得－＝－1，故a＝2.7. A.（坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为 (为参数)，圆的参数方程为(为参数), 则圆心到直线的距离为_________．B．（几何证明选讲）如右图，直线与圆相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点，，,则_________．C．（不等式选讲）若存在实数使成立，则实数的取值范围是_________．【答案】A. ； B．； C．【解析】A. 先把直线l和圆C的参数方程化为普通方程y=x+1，（x-2）2+y2=1，再利用点到直线的距离公式求出即可．B．在圆中线段利用由切割线定理求得PA，进而利用直角三角形PCO中的线段，结合面积法求得CE即可．C. 由绝对值的基本不等式得：，解得－3≤m≤1.【考点】(1)参数方程；（2）圆的性质；（3）绝对值不等式.8.设函数.（1）若不等式的解集为，求的值；（2）若存在，使，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据绝对值不等式公式可得的解集，根据其解集与集合可得的值。
河北省邯郸四中2013届高考数学复习《含绝对值的不等式解法》典型例题
河北省邯郸四中2013届高考数学复习《含绝对值的不等式解法》典型例题例1 不等式|8－3x|＞0的解集是[ ]A B RC {x|x }D {83}．．．≠．∅83 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 83答 选C ．例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ]A ．3B ．2C ．－2D ．－5分析 列出不等式．解 根据题意得2＜|x|≤5．从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5， 答 选D ．例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形．解 原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为－≤＜－或＜≤．3x 14x 2x 1{x|2x 1x }53835383例4 已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ．分析 转化为解绝对值不等式． 解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为2＜|2x －6|＜5即－＜－＜，－＞或－＜－，52x 652x 622x 62⎧⎨⎩ 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4⎧⎨⎩解之得＜＜或＜＜．4x x 211212因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}．说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么[ ]A ．|a －b|＜|a|＋|b|B ．|a ＋b|＞|a －b|C ．|a ＋b|＜|a －b|D ．|a －b|＜||a|＋|b||分析 根据符号法则及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ．例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为[ ]A ．a ＝1，b ＝3B ．a ＝－1，b ＝3C ．a ＝－1，b ＝－3D a b ．＝，＝1232分析 解不等式后比较区间的端点．解 由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得．a b 1a b 2a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．⎧⎨⎩1232 答 选D ．说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析 分类讨论．解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 112式的解集为；∅若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 12x ＜m ．综上所述得：当≤时原不等式解集为；当＞时，原不等式的解集为m m 1212{x|1－m ＜x ＜m}．说明：分类讨论时要预先确定分类的标准．例解不等式－＋≥．8 3212||||x x分析 一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母．解 注意到分母|x|＋2＞0，所以原不等式转化为2(3－|x|)≥|x|＋2，整理得|x|x {x|x }≤，从而可以解得－≤≤，解集为－≤≤．4343434343说明：分式不等式常常可以先判定一下分子或者分母的符号，使过程简便．例9 解不等式|6－|2x ＋1||＞1．分析 以通过变形化简，把该不等式化归为|ax ＋b|＜c 或|ax ＋b|＞c 型的不等式来解．解 事实上原不等式可化为6－|2x ＋1|＞1①或 6－|2x ＋1|＜－1②由①得|2x ＋1|＜5，解之得－3＜x ＜2；由②得|2x ＋1|＞7，解之得x ＞3或x ＜－4．从而得到原不等式的解集为{x|x ＜－4或－3＜x ＜2或x ＞3}． 说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论．例10 已知关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －3|＜a 的解集是非空集合，则实数a 的取值范围是________．分析 可以根据对|x ＋2|＋|x －3|的意义的不同理解，获得多种方法． 解法一 当x ≤－2时，不等式化为－x －2－x ＋3＜a 即－2x ＋1＜a 有解，而－2x ＋1≥5，∴a ＞5．当－2＜x ≤3时，不等式化为x ＋2－x ＋3＜a 即a ＞5．当x ＞3是，不等式化为x ＋2＋x －3＜a 即2x －1＜a 有解，而2x －1＞5，∴a ＞5．综上所述：a ＞5时不等式有解，从而解集非空．解法二 |x ＋2|＋|x －3|表示数轴上的点到表示－2和3的两点的距离之和，显然最小值为3－(－2)＝5．故可求a 的取值范围为a ＞5．解法三 利用|m|＋|n|＞|m ±n|得|x ＋2|＋|x －3|≥|(x ＋2)－(x －3)|＝5． 所以a ＞5时不等式有解．说明：通过多种解法锻炼思维的发散性． 例11 解不等式|x ＋1|＞2－x ．分析一 对2－x 的取值分类讨论解之． 解法一 原不等式等价于：①－≥＋＞－或＋＜－2x 0x 12x x 1x 2⎧⎨⎩ 或②－＜∈2x 0x R ⎧⎨⎩由①得≤＞或＜－x 2x 1212⎧⎨⎪⎩⎪ 即≤＞，所以＜≤；x 2x x 21212⎧⎨⎪⎩⎪ 由②得x ＞2．综合①②得＞．所以不等式的解集为＞．x {x|x }1212分析二 利用绝对值的定义对|x ＋1|进行分类讨论解之．解法二 因为|x 1| x 1x 1x 1x 1＋＝＋，≥－－－，＜－⎧⎨⎩原不等式等价于：①≥＞或②＜＞x x x x x x++-⎧⎨⎩+---⎧⎨⎩10121012 由①得≥＞即＞；x x -⎧⎨⎪⎩⎪11212 x 由②得＜－－＞即∈．x 112x ⎧⎨⎩∅所以不等式的解集为＞．{x|x }12例12 解不等式|x －5|－|2x ＋3|＜1．分析 设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分区间讨论，事实上，由于＝时，－＝，＝－时＋＝．x 5|x 5|0x |2x 3|032所以我们可以通过－，将轴分成三段分别讨论．325x解当≤－时，－＜，＋≤所以不等式转化为 x x 502x 3032－(x －5)＋(2x ＋3)＜1，得x ＜－7，所以x ＜－7；当－＜≤时，同理不等式化为32x 5－(x －5)－(2x ＋3)＜1，解之得＞，所以＜≤；x x 51313当x ＞5时，原不等式可化为x －5－(2x ＋3)＜1，解之得x ＞－9，所以x ＞5．综上所述得原不等式的解集为＞或＜－．{x|x x 7}13说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值”是基本策略． 例13 解不等式|2x －1|＞|2x －3|．分析 本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝对值，但这样比较复杂．如果采取两边平方，即根据＞＞解|a||b|a b 22之，则更显得流畅，简捷．解 原不等式同解于(2x －1)2＞(2x －3)2，即4x2－4x＋1＞4x2－12x＋9，即8x＞8，得x＞1．所以原不等式的解集为{x|x＞1}．说明：本题中，如果把2x当作数轴上的动坐标，则|2x－1|＞|2x－3|表示2x到1的距离大于2x到3的距离，则2x应当在2的右边，从而2x＞2即x ＞1．。
高考数学理一轮总复习开卷速查绝对值不等式(含解析)新人教A版选修4
开卷速查(选修4－5－1) 绝对值不等式A 级 基础巩固练1．设不等式|x －2|＜a(a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．解析：(1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2＜a ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，解得12＜a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1.(2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号． 所以f (x )的最小值为3.2．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1.其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是 {x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立． 故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－1，43.3．[2014·课标全国Ⅱ]设函数f (x )＝|x ＋1a|＋|x －a |(a ＞0)．(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围．解析：(1)由a ＞0，有f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |≥|x ＋1a －(x －a )|＝1a＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)f (3)＝|3＋1a|＋|3－a |.当a ＞3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)＜5得3＜a ＜5＋212.当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a，由f (3)＜5得1＋52＜a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.4．已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 解析：(1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解； 当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4， 解得x ≥5；所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则 h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.B 级 能力提升练5．[2014·福建]已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a . (1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3. 解析：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立， 所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.6．[2014·辽宁]设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.解析：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3，x ∈[1，＋∞，1－x ，x ∈－∞，1当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；当x ＜1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x ＜1. 所以f (x )≤1的解集为M ＝{x |0≤x ≤43}．(2)由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142≤4，解得－14≤x ≤34.因此N ＝{x |－14≤x ≤34}，故M ∩N ＝{x |0≤x ≤34}．当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x ·f (x )＝x (1－x )＝14－⎝⎛⎭⎪⎫x －122≤14.。
高考数学选修部分专题4绝对值不等式测试卷(含答案)
高考数学选修部分专题4绝对值不等式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.设集合M={x||x−1|<1}，N={x|x<2}，则M∩N=()A. (−1,1)B. (−1,2)C. (0,2)D. (1,2)2.若不等式|x+1|+|x−3|≥|m−1|恒成立，则m的取值范围为()A. [−3,5]B. [3,5]C. [−5,3]D. [−5,−3]3.若关于x的不等式|x+1|−|x−2|<a2−4a有实数解，则实数a的取值范围()A. a<1或a>3B. a>3C. a<1D. 1<a<34.不等式|x−3|−|x+1|≤a2−3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是()A. (−∞,−1]∪[4,+∞)B. [−1,4]C. [−4,1]D. (−∞,−4]∪[1,+∞)5.|x−2|−|x+3|≥4的解集为()A. (−∞,−3]B. [−3,−52]C. (−∞,−52] D. (−∞,−3)∪(−3,−52]6.已知全集U=R，集合A={x||x−1|<1}，B={x|2x−5x−1≥1}，则A∩(∁U B)=()A. {x|1<x<2}B. {x|1<x≤2}C. {x|1≤x<2}D. {x|1≤x<4}7.已知p:|x−1|≤1，q:x2−2x−3≥0，则p是¬q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.“-3<a<1”是“存在x∈R，使得|x-a|+|x+1| <2”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件9.对任意x，y∈R，|x−1|+|x|+|y−1|+|y+1|的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 410.已知实数x，y满足x2+4y2≤4，则|x+2y−4|+|3−x−y|的最大值为()A. 6B. 12C. 13D. 14二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.已知关于x的不等式|x−a|+|x−3|≥2a的解集为R，则实数a的最大值为______．12.设x∈R，则不等式|x−3|<1的解集为______．−a|+a在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范13.已知a∈R，函数f(x)=|x+4x围是______ ．a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范14.若不等式|2x−1|+|x+2|≥a2+12围是______．三、解答题（本大题共2小题，共30.0分）15.设函数f(x)=|x+1|+|x−a|(x∈R)(1)当a=2时，求不等式f(x)>5的解集；(2)对任意实数x，都有f(x)≥3恒成立，求实数a的取值范围．16.已知函数f(x)=|2x|+|2x+3|+m(m∈R)．(1)当m=−2时，求不等式f(x)≤3的解集；(2)若∀x∈(−∞,0)，都有f(x)≥x+2恒成立，求m的取值范围．x答案和解析1.【答案】C解：集合M={x||x−1|<1}=(0,2)，N={x|x<2}=(−∞,2)，∴M∩N=(0,2)，故选C．2.【答案】A解：|x+1|+|x−3|表示数轴上的x对应点到−1和3对应点的距离之和，它的最小值等于4，由不等式|x+1|+|x−3|≥|m−1|恒成立知，|m−1|≤4，所以m∈[−3,5]．故选A．3.【答案】A解：∵||x+1|−|x−2||≤|(x+1)−(x−2)|=3，∴−3≤|x+1|−|x−2|≤3，由不等式a2−4a>|x+1|−|x−2|有实数解，知a2−4a>−3，解得a>3或a<1．故选A．4.【答案】A解：令y=|x−3|−|x+1|，当x>3时，y=x−3−x−1=−4，当x<−1时，y=−x+3+x+1=4，当−1≤x≤3时，y=−x+3−x−1=−2x+2，所以−4≤y≤4，所以要使得不等式|x+3|−|x−1|≤a2−3a对任意实数x恒成立，只要a2−3a≥y max=4即可，∴a≤−1或a≥4，故选A．5.【答案】C解：当x<−3时，原式化为−(x−2)−[−(x+3)]≥4所以x<−3，，当−3≤x<2时，原式化为−(x−2)−(x+3)⩾4所以−3⩽x⩽−52当x⩾2时，原式化为(x−2)−(x+3)⩾4，无解，]．故选C．综上所述，原式解集为(−∞,−526.【答案】C≥1}={x|x<1或x≥4}；解：集合A={x||x−1|<1}={x|0<x<2}，B={x|2x−5x−1∴∁U B={x|1≤x<4}；∴A∩(∁U B)={x|1≤x<2}．故选C．7.【答案】A解：已知p:|x−1|⩽1，∴−1≤x−1≤1，∴0≤x≤2，，记A={x|0≤x≤2}q:x2−2x−3≥0，∴¬q:x2−2x−3<0，∴−1<x<3，记B={x|−1<x<3}，∴A⫋B，∴p是¬q的充分不必要条件，故选A．8.【答案】C解：根据绝对值不等式的性质得|x−a|+|x+1|≥|x−a−x−1|=|a+1|，即|x−a|+|x+1|的最小值为|a+1|，若“存在x∈R，使得|x−a|+|x+1|<2”，则|a+1|<2，即−2<a+1<2，得−3<a<1，即“−3<a<1”是“存在x∈R，使得|x−a|+|x+1|<2”的充要条件，故选C．9.【答案】C解：对任意x，y∈R，|x−1|+|x|+|y−1|+|y+1|=|x−1|+|−x|+|1−y|+|y+1|≥|x−1−x|+|1−y+y+1|=3，当且仅当x∈[0,1]，y∈[−1,1]等号成立．故选：C．10.【答案】B解：设x=2cosθ，y=sinθ，θ∈[0,2π)．∴|x+2y−4|+|3−x−y|=|2cosθ+2sinθ−4|+|3−2cosθ−sinθ|=4−2cosθ−2sinθ+3−2cosθ−sinθ=7−4cosθ−3sinθ=7−5sin(θ+α)，∴|x+2y−4|+|3−x−y|的最大值为12，故选：B．设x=2cosθ，y=sinθ，θ∈[0,2π)，|x+2y−4|+|3−x−y|=|2cosθ+2sinθ−4|+ |3−2cosθ−sinθ|=4−2cosθ−2sinθ+3−2cosθ−sinθ=7−4cosθ−3sinθ=7−5sin(θ+α)，即可得出结论．11.【答案】1解：化简得：|x−a|+|x−3|≥|(x−a)−(x−3)|=|a−3|≥2a，当a−3>0，即a>3时，上式化为a−3≥2a，解得a≤−3，所以实数a无解；当a−3≤0，即a≤3时，上式化为3−a≥2a，解得3a≤3，解得a≤1，综上，实数a的范围为a≤1，则实数a的最大值为1．故答案为1．12.【答案】(2,4)解：∵x∈R，不等式|x−3|<1，∴−1<x−3<1，解得2<x<4．∴不等式|x−3|<1的解集为(2,4)．故答案为：(2,4)．由含绝对值的性质得−1<x−3<1，由此能求出不等式|x−3|<1的解集．本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用．13.【答案】(−∞,92]解：由题可知|x +4x −a|+a ≤5，即|x +4x −a|≤5−a ，所以a ≤5，又因为|x +4x −a|≤5−a ，所以a −5≤x +4x −a ≤5−a ，所以2a −5≤x +4x ≤5， 又因为1≤x ≤4，4≤x +4x ≤5，所以2a −5≤4，解得a ≤92，故答案为：(−∞,92].14.【答案】[−1,12]解：|2x −1|+|x +2|={−3x −1,x <−2−x +3,−2≤x ≤123x +1,x >12，∴x =12时，|2x −1|+|x +2|的最小值为52，∵不等式|2x −1|+|x +2|≥a 2+12a +2对任意实数x 恒成立， ∴a 2+12a +2≤52，∴a 2+12a −12≤0，∴−1≤a ≤12， ∴实数a 的取值范围是[−1,12].故答案为：[−1,12].15.【答案】解：(1)当a =2时，f(x)=|x +1|+|x −2|>5，当x ≥2时，x +1+x −2>5，可得x >3； 当−1≤x <2时，x +1−x +2>5，解得x ∈⌀； 当x <−1时，−x −1−x +2>5，解得x <−2； 综上x ∈(−∞,−2)∪(3,+∞)． (2)|x +1|+|x −a|≥|a +1|，对任意实数x ，都有f(x)≥3恒成立，∴|a +1|≥3，解得a ≥2或a ≤−4.16.【答案】解：(1)当m =−2时，f(x)=|2x|+|2x +3|+m ={4x +1,x ≥01,−32<x <0−4x −5,x ≤−32, 当{4x +1≤3x ≥0，解得0≤x ≤12； 当−32<x <0,1≤3恒成立；当{−4x −5≤3x ≤−32解得−2≤x ≤−32；所以此不等式的解集为[−2,12]；(2)当x ∈(−∞,0)时，f(x)=|2x|+|2x +3|+m ={3+m,(−32<x <0)−4x −3+m,(x ≤−32), 当−32<x <0时，不等式化为3+m ≥x +2x ； 由x +2x=−[(−x)+(−2x)]≤−2√(−x)(−2x)=−2√2，当且仅当−x =−2x 即x =−√2时等号成立，∴m +3≥−2√2，∴m ≥−3−2√2， 当x ≤−32时，不等式化为−4x −3+m ≥x +2x ，∴m ≥5x +2x +3， 令y =5x +2x +3，x ∈(−∞,−32],0'/>在x ∈(−∞,−32]恒成立，∴y =5x +2x+3在(−∞,−32]上是增函数，∴当x =−32时，y =5x +2x +3取到最大值为−356，∴m ≥−356， 综上m 的取值范围是[−3−2√2,+∞)．。
高考数学人教版a版一轮配套题库选4-5-1绝对值不等式
选修4—5 不等式选讲第一节 绝对值不等式时间：45分钟 分值：75分一、填空题(本大题共9小题，每小题5分，共45分)1．(2013·江西卷)在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为________．解析 原不等式即－1≤|x －2|－1≤1得0≤|x －2|≤2，－2≤x －2≤2，∴0≤x ≤4.答案 [0,4]2．不等式|x 2－3x |>4的解集为________．解析 由|x 2－3x |>4，得x 2－3x <－4或x 2－3x >4.由x 2－3x <－4，得x 2－3x ＋4<0，无实数解；由x 2－3x >4，得x 2－3x －4>0，即(x ＋1)(x －4)>0，解得x <－1或x >4.因此，不等式|x 2－3x |>4的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．答案 (－∞，－1)∪(4，＋∞)3．不等式|x －2|－|x －1|>0的解集为________．解析 原不等式等价于|x －2|>|x －1|，则(x －2)2>(x －1)2，解得x <32.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 4．不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －1x <3的解集是________． 解析 不等式可化为－3<2x －1x <3，即⎩⎨⎧0<3＋2x －1x ，2x －1x －3<0⇔ ⎩⎨⎧ 5x －1x >0，x ＋1x >0⇔⎩⎨⎧ x <0或x >15，x <－1或x >0⇔x <－1或x >15.答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ 5．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝__________.解析 依题可知x ＝1和x ＝3是方程|kx －4|＝2的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧|k －4|＝2，|3k －4|＝2⇒k ＝2. 答案 26．若f (x )＝|x －t |＋|5－x |的最小值为3，则实数t 的值是________． 解析 由f (x )＝|x －t |＋|5－x |≥|(x －t )＋(5－x )|＝|5－t |＝3，∴t ＝2或t ＝8.答案 2或87．若不等式|x ＋1x |>|a －5|＋1对一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．解析 |x ＋1x |＝|x |＋|1x |≥2|x |·1|x |＝2，故应有2>|a －5|＋1，即|a－5|<1，因此4<a <6.答案 (4,6)8．已知不等式|x －1|<a 成立的一个充分条件是0<x <4，则实数a 的取值范围为________．解析 |x －1|<a 得1－a <x <a ＋1，∵|x －1|<a 成立的一个充分条件是0<x <4，∴4≤a ＋1且1－a ≤0，即a ≥3.答案 [3，＋∞)9．如果关于x 的不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集，那么实数a 的取值范围是________．解析 设y ＝|x －3|－|x －4|，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1，x ≤3，2x －7，3<x <4，1，x ≥4的图象如下图所示：若|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集，则(|x －3|－|x －4|)min <a .由图象可知当a >－1时，不等式的解集不是空集．答案 (－1，＋∞)二、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．(2013·福建卷)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．解 (Ⅰ)因为32∈A ，且12∉A ，所以|32－2|<a ，且|12－2|≥a ，解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1.(Ⅱ)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号．所以f (x )的最小值为3.11．(2014·沈阳市质检)已知函数f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－a )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值；(2)当函数f (x )的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．解 函数的定义域满足|x －1|＋|x －5|－a ＞0，即|x －1|＋|x －5|＞a .(1)当a ＝2时，f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－2)，设g (x )＝|x －1|＋|x －5|，则g (x )＝|x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6 (x ≥5)，4 (1＜x ＜5)，6－2x (x ≤1)，g (x )min ＝4，f (x )min ＝log 2(4－2)＝1.(2)由(1)知，g (x )＝|x －1|＋|x －5|的最小值为4，|x －1|＋|x －5|－a＞0，得a ＜4，故a 的取值范围是(－∞，4)．12．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(Ⅰ)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(Ⅱ)设a >－1，且当x ∈[－a 2，12)时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．解 (Ⅰ)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0.所以原不等式的解集是{x |0<x <2}．(Ⅱ)当x ∈[－a 2，12)时，f (x )＝1＋a .不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈[－a 2，12)都成立．故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是(－1，43]．。
高考数学一轮复习随堂演练：6.5含绝对值的不等式.doc
6.5 含绝对值的不等式一、选择题1．不等式(1＋x )(1－|x |)＞0的解集为( )A ．{x |0≤x ＜1}B ．{x |x ＜0且x ≠－1}C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |x ＜1且x ≠－1}解析：不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，(1＋x )(1－x )＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，(1＋x )(1＋x )＞0. ∴0≤x ＜1或x ＜0且x ≠－1.∴x ＜1且x ≠－1.答案：D2．设a ∈(0,1)，则关于x 的不等式|x －log a x |＜|x |＋|log a x |的解集为( )A ．(0，a )B ．(0,1)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：根据绝对值不等式性质．x log a x ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，log a x ＞0，即0＜x ＜1(0＜a ＜1)． 答案：B3．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( )A ．|a －b |≤|a －c |＋|b －c |B ．a 2＋1a 2≥a ＋1aC ．|a －b |＋1a －b ≥2 D.a ＋3－a ＋1≤a ＋2－a解析：解法一：当a －b ＝－1时，|a －b |＋1a －b ＝0，故不等式|a －b |＋1a －b≥2不一定成立． 解法二：|a －b |＝|(a －c )－(b －c )|≤|a －c |＋|b －c |；a 2＋1a 2≥a ＋1a ⇔(a ＋1a )2－(a ＋1a )－2≥0⇔(a ＋1a －2)·(a ＋1a ＋1)≥0. 由a ＞0，显然a ＋1a ≥2，所以不等式成立；a ＋3－a ＋1≤a ＋2－a ⇔2a ＋3＋a ＋1≤2a ＋2＋a，则不等式显然成立．答案：C4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，3－x 3＋x ＞|2－x 2＋x|，的解集是( ) A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |0＜x ＜2.5}C ．{x |0＜x ＜6}D ．{x |0＜x ＜3}解析：解法一：由x ＞0及3－x 3＋x ＞0，知0＜x ＜3.对3－x 3＋x ＞|2－x 2＋x|两边平方，整理，得x (x 2－6)＜0. 从而0＜x ＜6，选C 项．解法二：(1)当0＜x ≤2时，不等式化为(2＋x )(3－x )＞(2－x )(3＋x )，即2x ＞0，∴0＜x ≤2；(2)当x ＞2时，不等式化为(2＋x )(3－x )＞(x －2)(3＋x )，即x 2＜6，∴2＜x ＜6，从而0＜x ＜ 6.答案：C二、填空题5．若关于x 的不等式|x ＋3|＋|x －1|＞a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：从几何角度看不等式左侧表示数轴上的点到－3和1的距离之和，最小值为4.答案：a ＜46．不等式⎝⎛⎭⎫12x 2＞2－|x |的解集是________． 解析：2－x 2＞2－|x |，所以－x 2＞－|x |，所以x 2－|x |＜0.所以|x |(|x |－1)＜0，所以－1＜x ＜0或0＜x ＜1. 答案：{x |－1＜x ＜0或0＜x ＜1}7．已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋|a －14|＋|a |＝0有实根，则a 的取值范围是________． 解析：方程即|a －14|＋|a |＝－x 2－x ，利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行求解)可得实数a 的取值范围为[0，14]． 答案：[0，14] 三、解答题8．设f (x )＝x 2－x ＋b ，|x －a |＜1，求证：|f (x )－f (a )|＜2(|a |＋1)．证明：∵f (x )－f (a )＝(x －a )(x ＋a －1)，又|x －a |＜1，∴|f (x )－f (a )|＝|x －a ||x ＋a －1|≤|x ＋a －1|＝|x －a ＋2a －1|≤|x －a |＋2|a |＋1＜2|a |＋2＝2(|a |＋1)．9．关于实数x 的不等式|x －(a ＋1)22|≤(a －1)22与x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0(其中a ∈R)的解集依次记为A 与B ，求使A ⊆B 的a 的取值范围．解答：简化集合A 和B ，然后对字母参数a 进行讨论．A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}．当3a ＋1≥2，即a ≥13时，得B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}． 欲使A ⊆B ，只要⎩⎪⎨⎪⎧2≤2a ，a 2＋1≤3a ＋1.得1≤a ≤3； 当3a ＋1＜2，即a ＜13时，得B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}．欲使A ⊆B ，只要⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋1≤2a ，a 2＋1≤2.得a ＝－1. 综上，使A ⊆B 的a 的取值范围是1≤a ≤3或a ＝－1.10．设m 等于|a |、|b |和1中最大的一个，当|x |＞m 时，求证：|a x ＋b x 2|＜2. 证明：∵|x |＞m ≥|a |，又|x |＞m ≥|b |，且|x |＞m ≥1，则|x |2＞|b |.∴|a x ＋b x 2|≤|a x |＋|b x 2|＝|a ||x |＋|b ||x |2＜|x ||x |＋|x |2|x |2＝2， 故原不等式成立．1．若|a |＜1，|b |＜1，则|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是________．解析：若(a ＋b )(a －b )≥0，则|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |＜2；若(a ＋b )(a －b )＜0，则|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )－(a －b )|＝2|b |＜2.∴|a ＋b |＋|a －b |＜2.答案：|a ＋b |＋|a －b |＜22．已知二次函数f (x )满足|f (1)|≤1，|f (0)|≤1，|f (－1)|≤1，求证：|x |≤1时，有|f (x )|≤54. 证明：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝f (1)c ＝f (0)a －b ＋c ＝f (－1)， ∴a ＝12[f (1)＋f (－1)－2f (0)]，b ＝12[f (1)－f (1)]，c ＝f (0)． 代入f (x )的表达式变形得：f (x )＝f (1)(x 2＋x )/2＋f (－1)(x 2－x )/2＋(1－x 2)f (0)．∵|f (1)|≤1，|f (0)|≤1，|f (－1)|≤1，∴ 当|x |≤1时，|f (x )|≤|(x 2＋x )/2||f (1)|＋|(x 2－x )/2||f (－1)|＋(1－x 2)|f (0)|≤|x |(1＋x )/2＋|x |(1－x )/2＋(1－x 2)＝－x 2＋|x |＋1＝－(|x |－1/2)2＋5/4≤5/4.。
高考数学一轮检测 第30讲 绝对值不等式精讲 精析 新人教A版
（考黄金）2014届高考数学一轮检测 第30讲 绝对值不等式精讲 精析 新人教A 版2013年考题1、（2013全国Ⅰ）不等式11X X +-＜1的解集为（ ） （A ）｛x }}01{1x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈（C ）{}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈 【解析】选D.0040)1()1(|1||1|11122<⇔<⇔<--+⇔-<+⇔<-+x x x x x x x x ， 故选择D 。
2、（2013重庆高考）不等式2313x x a a +--≤-对任意实数恒成立，则实数的取值范围为A ．(,1][4,)-∞-+∞B ．(,2][5,)-∞-+∞C ．[1,2]D ．(,1][2,)-∞+∞【解析】选A.因为24314313x x x x a a -≤+--≤+--≤-对对任意x 恒成立，所以223434041a a a a a a -≥--≥≥≤-即，解得或.3、（2013广东高考）不等式112x x +≥+的实数解为 ． 【解析】112x x +≥+2302)2()1(022122-≤⇔⎩⎨⎧≠++≥+⇔⎩⎨⎧≠++≥+⇔x x x x x x x 且2-≠x .答案：32x ≤-且2-≠x . 4、（2013山东高考）不等式0212<---x x 的解集为 .【解析】原不等式等价于不等式组①221(2)0x x x ≥⎧⎨---<⎩或②12221(2)0x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-<⎩ 或③12(21)(2)0x x x ⎧≤⎪⎨⎪--+-<⎩不等式组①无解,由②得112x <<,由③得112x -<≤,综上得11x -<<,所以原不等式的解集为{|11}x x -<<.答案：{|11}x x -<<5、（2013北京高考）若函数1,0()1(),03x x xf x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为________.【解析】主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.（1）由01|()|301133x f x x x <⎧⎪≥⇒⇒-≤<⎨≥⎪⎩.（2）由001|()|01111133333x xx x f x x ≥⎧≥⎧⎪⎪≥⇒⇒⇒≤≤⎨⎨⎛⎫⎛⎫≥≥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎩.∴不等式1|()|3f x ≥的解集为{}|31x x -≤≤，∴应填[]3,1-. 答案：[]3,1-6、（2013福建高考）解不等式∣2x -1∣<∣x∣+1【解析】当x<0时,原不等式可化为211,0x x x -+<-+>解得 又0,x x <∴不存在;当102x ≤<时,原不等式可化为211,0x x x -+<+>解得 又110,0;22x x ≤<∴<<当111,211,22222x x x x x x ≥-<+<≥∴≤<原不等式可化为解得又综上,原不等式的解集为|0 2.x x <<7、（2013海南宁夏高考）如图，O 为数轴的原点，A,B,M 为数轴上三点，C 为线段OM 上的动点，设x 表示C 与原点的距离，y 表示C 到A 距离4倍与C 到B 距离的6倍的和. （1）将y 表示成x 的函数；（2）要使y 的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？【解析】（Ⅰ）4|10|6|20|,030.y x x x =-+-≤≤（Ⅱ）依题意，x 满足4|10|6|20|70,030.x x x -+-≤⎧⎨≤≤⎩ 解不等式组，其解集为[9，23]，所以[9,23].x ∈8、（2013辽宁高考）设函数()|1|||f x x x a =-+-。
高中数学第一章不等式和绝对值不等式1.2.2绝对值不等式的解法试题新人教A版选修4_5.doc
2.绝对值不等式的解法课后篇巩固探究A组1.已知集合A={x|x2-5x+6≤0},B={x||2x-1|>3},则A∩B等于()A.{x|2≤x≤3}B.{x|2≤x<3}C.{x|2<x≤3}D.{x|-1<x<3}{x|2≤x≤3},B={x|x>2或x<-1},则A∩B={x|2<x≤3}.2.若a>2,则关于x的不等式|x-1|+a>2的解集为()A.{x|x>3-a}B.{x|x>a-1}C.⌀D.R|x-1|+a>2可化为|x-1|>2-a,因为a>2,所以2-a<0,故原不等式的解集为R.3.不等式|3x-4|>x2的解集为()A.(-4,1)B.(-1,4)C.⌀D.(-∞,-4)∪(1,+∞)|3x-4|>x2可得3x-4>x2或3x-4<-x2,解3x-4>x2得无解;解3x-4<-x2得-4<x<1,故原不等式的解集为(-4,1).4.0的解集是()A.{x|-3<x<5}B.{x|-3<x<5,且x≠2}C.{x|-3≤x≤5}D.{x|-3≤x≤5,且x≠2}|x-2|>0,且x≠2,所以原不等式等价于|x-1|-4<0,即|x-1|<4,所以-4<x-1<4,即-3<x<5.又x≠2,故原不等式的解集为{x|-3<x<5,且x≠2}.5.不等式|2x-log2x|<|2x|+|log2x|的解集为()A.(0,1)B.(1,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)|a-b|≤|a|+|b|中,“=”成立的条件是ab≤0,“<”成立的条件是ab>0,所以2x·log2x>0.又x>0,所以log2x>0,解得x>1.6.不等式|2x-1|<3的解集为.2x-1|<3⇔-3<2x-1<3⇔-1<x<2.-1,2)7.不等式|x+3|>|2-x|的解集是.|x+3|>|2-x|得(x+3)2>(2-x)2,整理得10x>-5,即8.若关于x的不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),则实数a=.0明显不符合题意.由|ax+2|<6得-8<ax<4.当a>0时,有因为不等式的解集为(-1,2),去.当a<0时,a=-4.综上,a=-4.49.已知函数f(x)a∈R).(1)若a=3,解不等式:f(x)≥2;(2)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.当a=3时,不等式f(x)≥22,所以|x+1|+|x-3|-2≥4,所以|x+1|+|x-3|≥6.从而x≥4,或x≤-2.故原不等式解集为{x|x≥4或x≤-2}.(2)f(x)的定义域为R,即不等式|x+1|+|x-a|-2≥0恒成立,所以|x+1|+|x-a|≥2恒成立.而g(x)=|x+1|+|x-a|的最小值为|a+1|,于是|a+1|≥2,解得a≥1,或a≤-3.故实数a的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞).10.已知函数f(x)=|x+a|+|2x-1|(a∈R).(1)当a=1时,求不等式f(x)≥2的解集;(2)若f(x)≤2x求a的取值范围.当a=1时,不等式f(x)≥2可化为|x+1|+|2x-1|≥2.①当x,不等式为3x≥2,解得x故x②当-1≤,不等式为2-x≥2,解得x≤0,故-1≤x≤0;③当x<-1时,不等式为-3x≥2,解得x≤故x<-1.综上,(2)因为f(x)≤2x,所以|x+a|+|2x-1|≤2x,所以不等式可化为|x+a|≤1,解得-a-1≤x≤-a+1.a≤0.故aB组1.()A.[0,1)B.(0,1)C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪(1,+∞)0,解得0<x<1.2.导学号26394014关于x的不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3|a|对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为()A.(-∞,-4]∪[4,+∞)B.(-∞,-1]∪[4,+∞)C.[-1,4]D.(-∞,1]∪[2,+∞)|x+3|-|x-1|≤4,又|x+3|-|x-1|≤a2-3|a|对任意实数x恒成立,所以a2-3|a|≥4,即a2-3|a|-4≥0,解得|a|≥4或|a|≤-1(舍去).故选A.3.在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1的解集为.-1≤|x-2|-1≤1,即0≤|x-2|≤2,解得0≤x≤4.4.若不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围为.|3x-b|<4得-4<3x-b<4,因为不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,5<b<7.(5,7)5.导学号26394015解不等式|2x+1|+|x-2|+|x-1|>4.x≤,原不等式化为-2x-1+2-x+1-x>4,解得当≤1时,原不等式化为2x+1+2-x+1-x>4,4>4,矛盾.当1<x≤2时,原不等式化为2x+1+2-x+x-1>4,解得x>1.由1<x≤2,则1<x≤2.当x>2时,原不等式化为2x+1+x-2+x-1>4,解得由x>2,则x>2.综上所述,6.导学号26394016已知函数f(x)=|x-a|,其中a>1.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.当a=2时,f(x)+|x-4当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得x≤1;当2<x<4时,f(x)≥4-|x-4|无解;当x≥4时,由f(x)≥4-|x-4|得2x-6≥4,解得x≥5.所以f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x),则h(x)|h(x)|≤2,x因为|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},a=3.。
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第3课时 含绝对值的不等式的解法
一．课题：含绝对值的不等式的解法
二．教学目标：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法．
三．教学重点：解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次
（二次）不等式（组），难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解
过程中，集合间的交、并等各种运算．
四．教学过程：
（一）主要知识：
1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离
2．当0c >时，||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +<⇔-<+<； 当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈．
（二）主要方法：
1．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；
2．去掉绝对值的主要方法有：
（1）公式法：|| (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或x a <-．
（2）定义法：零点分段法；
（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．
（三）例题分析：
例1．解下列不等式：
（1）4|23|7x <-≤；（2）|2||1|x x -<+；（3）|21||2|4x x ++->．
解：（1）原不等式可化为4237x <-≤或7234x -≤-<-，∴原不等式解集为
17[2,)(,5]22
-- ． （2）原不等式可化为22(2)(1)x x -<+，即12x >，∴原不等式解集为1[,)2+∞． （3）当12x ≤-
时，原不等式可化为2124x x --+->，∴1x <-，此时1x <-； 当122
x -<<时，原不等式可化为2124x x ++->，∴1x >，此时12x <<； 当2x ≥时，原不等式可化为2124x x ++->，∴53
x >，此时2x ≥． 综上可得：原不等式的解集为(,1)(1,)-∞-+∞ ．
例2．（1）对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞；
（2）对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是(4,)+∞．
解：（1）可由绝对值的几何意义或|1||2|y x x =++-的图象或者绝对值不等式的性质|1||2||1||2||12|3x x x x x x ++-=++-≥++-=得|1||2|3x x ++-≥，∴3a <；
（2）与（1）同理可得|1||3|4x x --+≤，∴4a >．
例3．设0,0a b >>，解关于x 的不等式：|2|ax bx -≥．
解：原不等式可化为2ax bx -≥或2ax bx -≤-，即()2a b x -≥①或
2()2a b x x a b
+≤⇒≤
+②， 当0a b >>时，由①得2x a b ≥-，∴此时，原不等式解为：2x a b ≥-或2x a b
≤+； 当0a b =>时，由①得x φ∈，∴此时，原不等式解为：2x a b
≤+； 当0a b <<时，由①得2x a b ≤-，∴此时，原不等式解为：2x a b
≤+． 综上可得，当0a b >>时，原不等式解集为22(,][,)a b a b
-∞+∞+- ， 当0a b <≤时，原不等式解集为2(,]a b
-∞+． 例4．已知{||23|}A x x a =-<，{|||10}B x x =≤，且A B ⊂≠，求实数a 的取值范围． 解：当0a ≤时，A φ=，此时满足题意；
当0a >时，33|23|22
a a x a x -+-<⇒<<，∵A B ⊂≠， ∴3102173102
a a a -⎧≥-⎪⎪⇒≤⎨+⎪≤⎪⎩， 综上可得，a 的取值范围为(,17]-∞．
例5．在一条公路上，每隔100km 有个仓库（如下图），共有5个仓库．一号仓库存有10t 货物，二号仓库存20t ，五号仓库存40t ，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物放在一个仓库里，如果每吨货物运输1km 需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？ 解：以一号仓库为原点建立坐标轴，
则五个点坐标分别为12345:0,:100,:200,:
A A A A ，
设货物集中于点:B x ，则所花的运费5||10|100|20|200|y x x x =+-+-，
当0100x ≤≤时，259000y x =-+，此时，当100x =时，min 6500y =；
当100400x <<时，57000y x =-+，此时，50006500y <<；
当400x ≥时，359000y x =-，此时，当400x =时，min 5000y =．
综上可得，当400x =时，min 5000y =，即将货物都运到五号仓库时，花费最少，为5000元．
（四）巩固练习：
1．|
|11x x x x >++的解集是(1,0)-；|23|3x x ->的解集是3(,)5
-∞； 2．不等式||1||||
a b a b +≥-成立的充要条件是||||a b >； 3．若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，则a ∈(7,)+∞； 4．不等式22|2log |2|log |x x x x -<+成立，则x ∈(1,)+∞ ．
五．课后作业：《优化设计》P7 基础过关
教学反思：
不等式的解法中体现了数学上的化归转化的思想，只要深刻理解这一点，一些陌生的不等式都有可快速化为熟悉的不等式，要注意转化过程要等价。