圆和扇形的周长与面积

第二讲圆和扇形的周长与面积

一、知识点概括

1、基础知识介绍（半径r,直径d,周长C,面积S,只要知道一个就可以推出另外三个，1推3）

基础练习：○1已知圆的半径为4，求其直径，周长，和面积？

○2已知圆的直径为12，求其半径，周长，面积?

○3已知圆的周长为75.36，求其半径，直径，面积？

○4已知圆的面积为314，求其半径，直径，周长？

通过不段的基础练习使学员熟练掌握圆的周长、面积公式。

例1、大圆周长与4个小圆的周长是一样长的。因为4个小圆的直径和等于大圆的直径，则C=,4小圆周长和=大圆周长和。+

大

拓展练习：（1）已知半径为4，求半圆图形的周长？（除了算出C以外，还要再加一个直径的长度）

（24）=12.56+8=20.56

（2）半径增加2厘米，周长会增加多少厘米？半径增加2，直径增加4，则周长增加412.56

2、曲线面积中常用图形面积总结

扇形面积

扇

（2）弓形面积：

弓扇三角形

（3）谷子面积：

谷弓或

谷

两扇形和减去一正方形面积（即半圆正方形）图如例

（4弯角面积：

弯角正方形扇

（5圆环面积：

环

=（）

3，其中旋转是本将的重点也是难点。

二、例题分析。

例1，例2为基础知识运用（总结略）

1、割补法（例3）：中间谷子型阴影面积可以一分为2，正好可以分别与另两个阴影和在一起，则，3个分开的阴影合并以后

即为扇形面积减去三角形面积。

扇===12.56

三角

阴影

12.56-8=4.56 （作业2,3题都为割补练习）

A

2、容斥原理（例2）：图中阴影面积即为谷子形，是两个扇形面积的和再减去正方形的面积。

阴影面积=2=2=8

拓展练习：○1矩形ABCD中，AB=6,BC=4,扇形ABE半径AE=6,扇形BCF的半径CB=4,求阴影面积？（取3）

（提示：扇形ABE+扇形BCF-矩形ABCD=15）

○2尖子班学案2，直角三角形中AB=3,AC=4.BC=5,求阴影面积。（取3）

（提示：左半圆+右半圆+三角形ABC-大半圆=6）

3、平移法和等积变形（例4，例5）

例4、将两空白面积和在一起即为正方形，则阴影面积=长方形-正方形=4

例5、连接AC,DF,则四边形ACFD为题型，AC平行DF，所以三角形等积变形原来的ADF面积变为CDF的面积，则整个阴影面积即为扇形CDF的面积。阴影面积= 3.14=113.04

4、旋转法（例6）

旋转法是本讲的重点与难点，对于“羊吃草”的问题还是比较简单的。关键是直线型旋转面积，学员无法想到直线旋转后所扫发到过的面积，其实，由教师讲解后你会发现，一般情况下直线所扫过一周的面积（有特例，如：钝

角三角形的长边绕钝角顶点旋转时）就是一个圆环的面积。所以旋转多少度就再乘以即可。

例6，由第一个图可知：AC边扫过的面积即为图中黄色面积，该黄色面积是如何得来得呢？点A,C,分别绕B点

以AB和CB为半径旋转而来，因此直线AC上每一点都如此操作，知识旋转半径不同。

由第二个图可知：两红色面积是一样的。因为两扇形FBC和BDG面积是一样的，半径相同，角度也相同，

都被三角形ABC剪掉后，所剩部分也是相同的。

由第三个图可知：所求面积已转化为扇环的面积，圆心角度数为120度。所以

阴影

=（）

S=

A

拓展练习：“羊吃草”问题

草场上有一个长20米，宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈外的一角，用长30米的绳子拴着一只羊，问这只羊能够活动的最大范围是多少？（ ）

分析：如图，羊活动的范围是受绳子的牵制的，所以羊活动的最大范围即绳子AE 所扫过的总面积。（三部分）

（1） 红色部分为按绳长30米所能达到的最大范围（绳子不受任何牵制），此图形为半径30， 圆心角270度的扇形。

（2）

黄色部分为按绳长10米所能达到的最大范围（绳子受点D 牵制），所以之后只能按半径 AE-AD=DG=10，圆心角90度的扇形活动。

（3）

蓝色部分与黄色部分相同，半径变为AE-AB=BF=20,圆心角90度的扇形。

S=

+

+

=

=2400

三、 本讲拓展练习

（一）周长计算

1、○

1已知圆的半径为5，求其直径、周长、面积？ ○

2已知圆的直径为14，求其半径、周长、面积？ ○

3已知圆的周长为12.56，求其半径、直径、面积？ ○

4已知圆的面积为200.96，求其半径、直径、周长？ 2、ABC 恰好把圆周分为三等分，有两只蚂蚁，一只从A 出发，顺着圆周爬回远处A ，另一只从A 出发沿着弧AOB 、

弧BOC 、弧COA 、爬回远处A.若它们爬行的速度一样快，那么哪只蚂蚁先爬回到远处A? 分析：因为A 、B 、C 三点为三等分点所以弧AOB 、弧BOC 、弧COA 只蚂蚁一起回到A 处。

3、一个直径为

厘米的圆，在圆的直径上有一条曲线，它是由五个半圆弧构成的，五个半圆的圆心都在直径AB 上 ，求这条曲线的长？

分析：此题同例1，五小圆直径和等于大圆直径，所以五小圆的周长和也等于大圆的周长，则

五小圆的周长一半也等于大圆周长的一半。即

=10

（二）面积计算( ) 1、 割补法

（1）

半圆的直径为20厘米，以直径的一段为圆心，画一个圆心角为45度的扇形， 求阴影部分的面积？

S=

3 10