流体力学作业2

第二章 流体的平衡

2.2 给出如下体力场，分别在均质或正压流体斜压流体情况下说明流场能否静止：

()()()()

;1222222k y xy x j x zx z i z yz y f

++++++++=

()k r r k

f

,23

-

=为常数，r 是内径。 [解答] （1）流体平衡的基本方程为P F b ∇=ρ

对于正压流体（含均质流体）平衡的必要条件是体力有势，即体力无旋0=⨯∇b F 。 对于斜压流体在有势力作用下不可能处于平衡态。

()()()k y x j x z i z y y xy x x zx z z

yz y z y x k

j

i F b -+-+-=⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡++++++∂∂

∂∂∂∂

=⨯∇222222

222则当z y x ==时，正压流体平衡；当不满足此条件时，斜压流体才有可能平衡。

（2）000

3=⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎣

⎡-∂∂∂∂∂∂

=⨯∇r k r k j

i F b ϑθ，∴正压流体平衡，斜压流体不能平衡。

2.3 图示一种酒精和水银的双液测压计，细管上端为大气压时酒精液面高度为零，当细管上端的表压为p 时，酒精的液面下降h,试用321,,d d d 和h 来表示p 。酒精和水银密度均为已知。

[解答] 设开始时酒精液面高度（即液面上端距酒精水银的分界面）为H ，则有流体静力学规律知，分界面即等压面，从而有

H g P gH P atm atm ∆+=+mercury alcohol ρρ

（1）

施加表压P 后，同理可得 )()(21mercury 1alcohol h h H g P h h H g P P atm atm ++∆+=+-++ρρ

（2）

其中1h 为分界面下降高度，2h 为水银面上升高度，由液体排开体积相等得：

()

22

223

12

22

14

4

4

h d d h d h d -=

=

π

π

π

（3）

解之得h d d d h h d d h 2

2

2

32

1

22

2

211,-=

=

（4）

()(),12-并将（4）代入得)()(21mercury 1alcohol h h g h h g P ++-=ρρ

)11()1(2

2

23222

1mercury 222

1alcohol d d d ghd d d gh -++-=ρρ 2.4 如图的微测压计用来测量两容器E 和B 中的气体压强差，试用21,,,ρρδd 表示

,B E p p -并说明当横截面积,A a 〈〈，而且两种液体1ρ和2ρ相近似，很小的B E p p -就能

引起很大的液面高差d ，从而提高了测量精度。

[解答] 根据流体静力学规律，()δρρρ-+-++=d d g gd gd P P B E 11211

δρρρg gd P B 112)(+-+=

即δρρρg gd P P B E 112)(+-=-

由图示可知，ad A =δ

d A

a =

∴δ

d A a g

gd P P B E 112)(ρρρ+-=-∴gd A a gd 211ρρ+⎪⎭

⎫

⎝⎛-= 当,A a 〈〈,0≈A

a

gd P P B E )(12ρρ-≈-∴

g

P P d B

E )(12ρρ--≈

∴

故当两种液体的密度相差很近时，很小的B E p p -就能引起很大的液面高差d 。