概率分布函数
常见的几种分布函数
常见的几种分布函数概率论中，分布函数（distribution function）是描述随机变量取值的概率分布的函数。
常见的几种分布函数包括离散型分布函数、连续型分布函数以及混合分布函数。
1. 离散型分布函数离散型分布函数是指随机变量在有限或可数个点上取值的分布函数。
离散型分布函数的特点是其概率质量函数只在有限或可数个点上取值，或者说离散型分布函数所描述的随机变量的取值是离散的。
比较常见的离散型分布函数有：- 二项分布函数：二项分布函数是描述n个独立的、相同概率的随机试验中成功的次数的分布函数。
- 泊松分布函数：泊松分布函数是描述一定时间间隔内一个随机事件发生次数的分布函数。
- 几何分布函数：几何分布函数是描述进行一系列独立的、相同概率的实验，成功的次数需要进行多次才能得到的情况的分布函数。
2. 连续型分布函数连续型分布函数是指随机变量的取值范围为连续区间的分布函数。
连续型分布函数所描述的随机变量的取值是连续的。
比较常见的连续型分布函数有：- 正态分布函数：正态分布函数又称高斯分布函数，是一种描述随机变量分布最为常用的分布函数之一。
- 均匀分布函数：均匀分布函数是描述随机变量在一定区间内取值时等概率分布的分布函数。
- 指数分布函数：指数分布函数是描述随机变量取值时间间隔的分布函数。
3. 混合分布函数混合分布函数是指一个随机变量可以同时满足两种或两种以上的分布函数时的情况。
比较常见的混合分布函数有：- 混合正态分布函数：混合正态分布函数是指由多个正态分布函数混合而成的分布函数。
- 混合伯努利分布函数：混合伯努利分布函数是指由多个伯努利分布函数混合而成的分布函数。
总之，分布函数是描述随机变量的 one-stop-shop，而离散型、连续型和混合型都是这一目的下的不同实现方式。
不同的分布函数有不同的特点和应用场景，选择合适的分布函数是进行概率论研究和应用的前提。
概率分布函数
概率分布函数u 分布的概念例如学生人数按年龄的分布 年龄15 ~1617 ~ 1819 ~20 21~22 人数按年龄的分布 200030004000 1000 人数比率按 年龄的分布20%30%40%10%速率v 1 ～ v 2 v 2 ～ v 3… v i ～ v i +Δv …分子数按速率的分布ΔN 1ΔN 2 … ΔN i … 分子数比率按速率的分布ΔN 1/NΔN 2/N…ΔN i /N…例如气体分子按速率的分布{P i =ΔN i /N ｝就是分子数按速率的概率分布∑=iii u P u实际中有很多变量是连续变化的，例如粒子的空间位置或粒子的速度。
在随机变量取连续值时，上述求平均值公式中P i 的也是连续分布的。
v到v+d v的概率分布但是因为测量仪器总有一定误差，在测量分子速率时，我们测不出分子速率恰好为100m/s的分子数是多少，若仪器的误差范围为1m/s，则我们只能测出分子速率从99.5m/s到100.5m/s的分子数是多少。
我们也不能讲分子速率恰好处于100m/s的概率，而只能讲分子速率介于某一范围（例如99m/s~101m/s）内的概率。
有关打靶试验的例子:图（a ）是用直角坐标来表示靶板上的分布；图（b ）则是用极坐标来表示其分布的。
现以靶心为原点，以直角坐标x 、y 来表示黑点的空间位置，把靶板平面沿横轴划分出很多宽为Δx 的窄条,Δx 的宽度比黑点的大小要大得多。
只要数出在x 到x +Δx 范围内的那条窄条中的黑点数ΔN ，把它除以靶板上总的黑点数N （N 应该足够大），则其百分比就是黑点处于x~x+Δx 范围内这一窄条的概率。
1. 直角坐标表示然后以 为纵坐标，以x 为横坐标，画出图。
若令Δx →0，就得到一条连续曲线。
x N N∆⋅∆21()d x x f x x ⎰=()d 1f x x +∞-∞⎰=d ()d Nf x N x=⋅ 这时的纵坐标 称为黑点沿x 方向分布的概率密度，表示黑点沿x 方向的相对密集程度。
概率分布函数
第三章 几种重要的概率分布
例 4 一页书上印刷错误的个数 X 是一个离散型随机变量，它服从参数 为 的泊松分布，一本书共有 300 页，有 21 个印刷错误，求任取 1 页 书上没有印刷错误的概率。 21 7 解：由于 300 页中有 21 个印刷错误，从而平均每页有 个印刷
300 100 7 错误，即离散型随机变量 X 的数学期望 E ( X ) ， 100 又由于离散型随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，因此数学期望
由概率加法公式得：
n
m m nm b(m; n, p) C n p q , 其中m 0,1,2,, n; q 1 p
m m nm 且 b(m; n, p) Cn p q ( p q) n 1 n
概率 b(m; n, p) 实际上是二项式 ( p q) n 的展开式中的通项公式。
2 2
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第三章 几种重要的概率分布
小结与提问： 本次课，我们介绍了贝努里概型与二项公式、二项分布。 二项分布是离散型随机变量的概率分布中的重要分布，我们 应掌握二项分布及其概率计算，能够将实际问题归结为贝努
里概型，然后用二项分布计算有关事件的概率、数学期望与
方差。。 课外作业：P150 习题三 3.01,3.02,3.03,3.04,3.05
m m nm b(m; n, p) C n p q , 其中m 0,1,2,, n; q 1 p
m 0
m 0
称为概率计算的二项公式。
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第三章 几种重要的概率分布
二、二项分布
定义 如果随机变量 X 的概率分布为
i PX i C n p i q n i
(0 p 1, p q 1)
均匀分布的概率分布函数
均匀分布的概率分布函数1. 引言概率分布函数是描述随机变量的分布规律的数学函数。
均匀分布是概率论和统计学中常见的一种概率分布类型。
在均匀分布中，随机变量在给定范围内的取值是等可能的，没有偏向性，呈现出均匀分布的特征。
本文将就均匀分布的概率分布函数进行全面、详细、完整且深入的探讨。
2. 均匀分布的定义在概率论中，均匀分布是指随机变量在某个区间内以等可能性取得任一取值的概率分布。
均匀分布的概率密度函数（Probability Density Function, PDF）为常数，表示在区间内各个取值的概率是相等的。
均匀分布的概率密度函数可以表示为：f(x) = 1 / (b - a) (a <= x <= b)其中，a和b分别为分布的左右边界。
3. 均匀分布的性质均匀分布具有以下几个重要的性质：3.1 对称性均匀分布是以区间的中心点为对称点的对称分布。
对于区间[a, b]，随机变量落在区间的左侧和右侧的概率相等。
3.2 期望值对于均匀分布，其期望值等于区间的中心点，可表示为：E(X) = (a + b) / 23.3 方差均匀分布的方差可以通过区间长度的平方除以12来计算，表示为：Var(X) = (b - a)^2 / 123.4 累积分布函数均匀分布的累积分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）可以表示为：F(x) = (x - a) / (b - a) (a <= x <= b)3.5 生成随机数由于均匀分布的随机变量在给定范围内的取值是等可能的，可以利用均匀分布生成随机数。
通过在区间[a, b]之间选择一个随机数，即可获得服从均匀分布的随机数。
4. 使用均匀分布的场景均匀分布在很多领域中都有广泛的应用，以下是一些常见的使用均匀分布的场景：4.1 随机抽样在概率抽样中，如果样本空间中的每个个体被选中的概率是相等的，那么可以使用均匀分布来生成随机样本。
概率论-分布函数
r.v的分布函数必满足性质
满足性质
的必F (是x ) 某r.v的分布函数
概率论与数理统计
设随机变量X的分布函数为
F (x ) A B arx ( c t x a n ) ,
试求 (1)系数A,B；(2)X取值落在（-1，1]中的概率。
（1）由
F () li(A m B arx ) c A t aB n 0 ,
若xr，{X x}为必然事件，F(x) = P{X x} =1；
若0 x < r，由几何概型知
F(x)P{Xx}x r2 2rx2
概率论与数理统计
0,
从而X的分布函数为
F(
x)
x r
2
,
1,
且
x0 0 xr xr
P{X 2r} 1 P{X 2r}
1 8
;
当 1x2时 ,
F (x ) P {X x }P{X0}P{X1}
1 3 1; 88 2
概率论与数理统计
当 2x3时 ,
o
1
2
3
x
F (x ) P {X x }
P {X0}P{X1}P{X2}
1337; 888 8
当x3时,
1 2141 21(4)
1 2
.
概率论与数理统计
例 将一枚硬币连, X掷表三示次“三次中正 出现的次 ” ,求 数X的分布律及分,并 布求 函下 数 列概率P{值 1X3},P{X5.5},P{1X3}.
解 设 H 正,T 面 反, 面 则
2
当x0时 ,
0
分布函数某一点的概率
分布函数某一点的概率分布函数是概率论和统计学中一种重要的概念，它是描述随机变量取值的概率分布情况。
分布函数在各个学科的研究中都有着广泛的应用，并在实际问题中起着至关重要的作用。
本文将围绕“分布函数某一点的概率”展开阐述，以期帮助读者更好地理解分布函数的基本概念和计算方法。
一、什么是分布函数分布函数也称为累积分布函数，它是定义在实数轴上的，通常用F(x)表示的一种函数。
对于任意一个实数x，分布函数F(x)表示x所对应的概率。
具体地，分布函数F(x)的定义如下：F(x)=P(X≤x)其中，X为随机变量，P(X≤x)表示X小于或等于x的概率。
由此可见，分布函数中的一个典型的运算是求解概率，即P(X≤x)。
因此，分布函数在概率论和统计学中有着重要的地位，常常被用来描述随机变量的概率分布情况。
在实际问题中，我们通常需要根据题目所给出的条件来求解某一点的概率，这即是我们接下来要讨论的主要内容。
二、求解分布函数某一点的概率1. 离散型随机变量的分布函数对于离散型随机变量，其概率质量函数（PMF）是随机变量取值的概率，函数形式为p(x)。
因此，离散型随机变量的分布函数可以表示为：F(x)=P(X≤x)=∑p(i)其中，i代表随机变量取遍的所有可能取值。
因此，我们只需要找出随机变量X小于或等于x的所有可能取值，并将它们对应的概率相加，即可求得X≤x的概率。
例如，若随机变量X的PMF为：p(x)=0.2, x=0;p(x)=0.3, x=1;p(x)=0.5, x=2;则其分布函数为：F(x)=0, x<0;F(x)=0.2, 0≤x<1;F(x)=0.5, 1≤x<2;F(x)=1, x≥22. 连续型随机变量的分布函数对于连续型随机变量，其概率密度函数（PDF）是随机变量取值的概率密度，函数形式为f(x)。
因此，连续型随机变量的分布函数可以表示为：F(x)=P(X≤x)=∫f(t)dt, t∈(-∞, x]即将概率密度函数在(-∞, x]之间的积分。
常用概率分布函数
– 则f(x)为X的概率密度函数（PDF）
– f(x)满足：
(1) f (x) 0
(2) f (x)dx 1
常用概率分布函数
• 连续型随机变量
– F(x)为连续型随机变量的累积分布函数（CDF）
F(x) P(X x) x f (x)dx
– 连续型随机变量X均值和方差分别为：
E(X ) xf (x)dx
常用概率分布函数
二项分布 泊松分布 均匀分布 正态分布 指数分布 伽马分布
常用概率分布函数
• 离散型随机变量
– 若随机变量的取值为有限个或可以逐一列举的无穷多个 数值，则称此类随机变量为离散型随机变量。
– 设离散随机变量X有：P( X xi ) p( xi )
– 将P={p1,p2,…pn…}称为X的概率密度函数 （Probability Density Function，PDF）
– 泊松分布是二项分布的特殊情况（n趋近无穷大，令 np->λ），当一个固定时间间隔内有大量事件以恒定的 速率发生，且事件之间相互独立时，可以用泊松分布描 述，并称这样的随机事件为泊松流。
– 泊松分布的概率密度函数： P(x k) k e k {0,1, 2..., n}
k!
– 累积分布函数：
– x=0:0.001:5;
0.4
– n=10;
0.35
– p=0.1;
0.3
– y=binopdf(x,n,p); 0.25
– plot(x,y);
0.2
0.15
0.1
0.05
0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
常用概率分布函数
• 泊松分布（ Poisson Distribution ）
高中数学学习中的概率分布与分布函数推导
高中数学学习中的概率分布与分布函数推导在高中数学学习中，概率分布与分布函数是重要的概念，它们被广泛应用于统计学和概率论中。
本文将介绍概率分布与分布函数的概念，并推导一些常见的概率分布和分布函数。
概率分布，也被称为分布律或分布函数，是用来描述随机变量各个取值的概率的函数。
假设随机变量X的取值集合为{x1, x2, ..., xn}，则概率分布可以表示为P(X=xi) = pi，其中pi为Xi取值的概率。
对于离散随机变量，概率分布可以表示为概率质量函数pmf，对于连续随机变量，概率分布可以表示为概率密度函数pdf。
常见的离散概率分布有伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
伯努利分布是指只有两个可能结果的试验，例如抛硬币的结果可以是正面或反面。
对于伯努利分布，概率分布函数可以表示为P(X=x) = p^x * (1-p)^(1-x)，其中p为正面的概率。
二项分布适用于多次独立的伯努利试验，例如抛硬币多次或投掷骰子多次的结果。
对于二项分布，概率分布函数可以表示为P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中n为试验次数，p为正面或成功的概率，k为成功的次数。
泊松分布适用于描述单位时间内某事件发生次数的概率分布。
对于泊松分布，概率分布函数可以表示为P(X=k) = (e^-λ * λ^k) / k!，其中λ为单位时间内事件的平均发生率，k为具体的发生次数。
对于连续概率分布，常见的有均匀分布、正态分布、指数分布等。
均匀分布是指随机变量在一段区间内各个取值的概率相等，概率密度函数为f(x) = 1/(b-a)，其中a和b分别为区间的上下界。
正态分布，也被称为高斯分布，是自然界中常见的分布形态，概率密度函数可以表示为f(x) = (1/sqrt(2πσ^2)) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。
指数分布适用于描述随机事件之间的时间间隔，概率密度函数可以表示为f(x) = λ * exp(-λx)，其中λ为事件发生率。
分布函数性质知识点总结
分布函数性质知识点总结1. 定义在概率论中，对于一个实数集上的随机变量X，其分布函数定义为：F(x) = P(X<=x)其中，F(x)表示X小于等于x的概率。
通俗地说，分布函数描述了随机变量X的取值不超过x的概率。
分布函数在数学上通常用F(x)表示。
2. 性质接下来我们将介绍分布函数的几个重要性质：2.1 单调不减性分布函数F(x)是单调不减的，即对于任意的x1<x2，有F(x1) <= F(x2)。
这是由于分布函数表示了随机变量小于等于x的概率，随着x的增大，概率也不会减小，因此F(x)是单调不减的。
2.2 有界性分布函数F(x)是有界的，即对于任意的x，有0<=F(x)<=1。
当x趋向负无穷时，F(x)趋向0；当x趋向正无穷时，F(x)趋向1。
这是由于概率的取值范围是[0,1]，因此分布函数的取值也必须在这个范围内。
2.3 右连续性分布函数F(x)是右连续的，即对于任意的x0，有lim(x->x0+)F(x) = F(x0)。
这意味着在x0处的分布函数的值等于x0右侧的极限值。
右连续性保证了分布函数在每个点都有明确的取值。
2.4 极值性质分布函数F(x)的极值包括：F(-∞)=0，F(+∞)=1，以及F(x)的极小值和极大值。
这些极值性质可以帮助我们更好地理解分布函数的性质和特点。
2.5 具有概率测度性质分布函数F(x)具有概率测度性质，即对于一个区间[a,b)，有P(a<=X<b) = F(b)-F(a)。
这个性质可以用于计算在某个区间内随机变量X的概率。
2.6 逆函数性质分布函数F(x)具有逆函数性质，即对于任意的0<p<1，存在唯一的实数x，使得F(x)=p。
这个性质可以用于计算分布函数的逆函数，即F-1(p)。
3. 总结分布函数是概率论中一个非常重要的概念，它描述了随机变量取值的概率分布情况。
分布函数具有单调不减性、有界性、右连续性、极值性质、具有概率测度性质和逆函数性质等性质。
概率分布函数
概率分布函数概率分布函数（Probability Distribution Function）是在概率论与数理统计中用来描述随机变量的分布规律的函数。
它可以提供随机变量取某个值的概率。
一、定义与性质概率分布函数通常表示为 F(x)，其中 x 是随机变量的取值，F(x) 表示该变量小于等于 x 的概率。
概率分布函数具有以下性质：1. 非减性：随着 x 增大，F(x) 逐渐增大或保持不变。
2. 有界性：0 ≤ F(x) ≤ 1，对于任意的 x。
3. 右连续性：在所有的实数 x0，F(x) 在 x ≥ x0 时连续。
二、常见1. 均匀分布函数（Uniform Distribution Function）：均匀分布函数是一种简单且常见的概率分布函数。
在一个区间 [a, b] 内，每个数值的概率密度相等，即 f(x) = 1 / (b - a)，其中a ≤ x ≤ b。
其概率分布函数为：F(x) = (x - a) / (b - a)，其中a ≤ x ≤ b。
2. 正态分布函数（Normal Distribution Function）：正态分布函数也被称为高斯分布函数。
它是一种常见的连续概率分布函数，通常用于描述自然界中的现象。
其概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * exp(-(x - μ)² / (2 * σ²))，其中μ 是均值，σ 是标准差。
其概率分布函数无法用简单的公式表示，常用统计软件进行计算。
3. 二项分布函数（Binomial Distribution Function）：二项分布函数用于描述在 n 个独立的 Bernoulli 试验中成功的次数的概率分布。
其中成功的概率为 p，失败的概率为 q = 1 - p。
其概率质量函数为：f(x) = C(n, x) * p^x * q^(n-x)，其中 C(n, x) 表示组合数。
其概率分布函数通常写为累积形式，无法用简单的公式表示。
分布函数-
分布函数概述分布函数是概率论和数理统计中的一个重要概念。
它描述了随机变量取某个值时，其概率是多少。
在实际应用中，我们经常需要求出随机变量的概率分布函数，以便通过它来计算一些重要指标，比如均值、方差等。
在概率论中，分布函数是指随机变量取某个值的概率累积值，即随机变量小于等于某个值的概率，它通常被表示为F(x)。
分布函数的定义随机变量X的累积分布函数F(x)定义为：F(x) = P(X <= x)其中，X是一个随机变量，x是实数。
F(x)表示的是随机变量小于等于x的概率。
根据定义，可以得到以下性质：1. F(x)是单调不降的。
2. F(x)的值域是[0,1]。
3. F(x)具有右连续性，即：lim F(x) = F(x+)x--> x+其中，F(x+)表示x的右极限。
分布函数的性质除了上述基本性质外，分布函数还具有以下重要性质：1. F(x)在x处的导数就是随机变量X在x时的概率密度函数f(x)。
即：F'(x) = f(x)2. 当x趋近于负无穷时，分布函数逼近于0；当x趋近于正无穷时，分布函数逼近于1。
3. 如果子集A包含在子集B中，则F(A)<=F(B)。
分布函数的分类分布函数按照性质和应用范围可以分为以下几类：1. 连续型分布函数如果随机变量X的取值属于某个区间上，那么X的分布函数为：$F(x)=\\int\\limits_{-\\infty}^{x} f(u)du$其中，f(x)是X的概率密度函数。
连续性分布函数通常表示为一个可导的曲线，而概率密度函数通常表示为函数图形下的面积。
常见的连续型分布函数有：(1) 均匀分布函数此型分布函数指随机变量在[a,b]之间取值相等的概率分布。
(2) 正态分布函数这是应用最广泛的分布函数之一。
正态分布函数由数学家德国心理学家阿多夫·奥古斯特·斯蒂度特在公元1805年提出。
它的图形呈现出一个钟形曲线。
2. 离散型分布函数如果随机变量只能取离散值，那么它的分布函数如下：$F(x)=P(X\\leq x)=\\sum\\limits_{x_i\\leq x}^{} p(x_i)$其中，p(x_i)表示随机变量X取到x_i时的概率。
概率分布的特征函数
概率分布的特征函数概率分布的特征函数（characteristic function）是一个重要的数学工具，它在概率论和统计学中被广泛应用。
概率分布的特征函数是指一个复数变量的函数，其定义为概率分布的随机变量的期望值的指数函数的复合函数。
在这篇文章中，我们将深入探讨概率分布的特征函数的各种特性和应用。
一、定义和性质概率分布的特征函数是指一个复数变量的函数，其定义为：$$\varphi_X(t) = E(e^{itX}),\quad t\in \mathbb{R},$$其中$X$是一个随机变量，$i$是虚数单位，$t$也是一个实数。
注意到上式中的$e^{itX}$是一个复数，其模长为1，因此特征函数是一个复合函数，其在实数轴（$t\in \mathbb{R}$）上的定义域是唯一的。
接下来，我们将探讨概率分布的特征函数的若干重要性质：1.特征函数的连续性。
如果随机变量$X$有一个概率密度函数$f_X(x)$，那么$\varphi_X(t)$对于所有的$t\in \mathbb{R}$都是连续的函数。
2.特征函数的对称性。
对于任意的$t\in \mathbb{R}$，都有$\varphi_X(-t) =\overline{\varphi_X(t)}$，其中$\overline{z}$表示$z$的共轭复数。
3.特征函数的独特性。
一个概率分布的特征函数唯一地决定了这个概率分布，换句话说，没有两个不同的概率分布可以具有相同的特征函数。
4.特征函数的归一性。
对于任意的$t = 0$，都有$\varphi_X(0) = E(e^{i0X}) = E(1) = 1$。
5.特征函数的反演公式。
如果特征函数$\varphi_X(t)$存在一个连续导函数$\varphi_X'(t)$，并且对于所有的$t\in \mathbb{R}$，都有$$ \lim_{u\to\infty}\int_{-u}^u {\varphi_X(t+iy) - \varphi_X(t-iy) \over 2iy} e^{-ity} dy = f_X(t), $$那么随机变量$X$的概率密度函数$f_X(x)$可以表示为：其中$-\infty < x < \infty$。
常见分布的概率密度函数
常见分布的概率密度函数概率密度函数是描述随机变量概率分布的数学函数，表示了随机变量取某个值的概率密度。
常见的概率密度函数包括正态分布、均匀分布、指数分布、伽马分布等。
正态分布是最为常见的分布，其概率密度函数为：$$f(x) =frac{1}{sqrt{2pi}sigma}e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$$ 其中，$mu$ 和 $sigma$ 分别表示均值和标准差。
正态分布的图像呈钟形曲线，具有以下特点：对称性、均值、中位数和众数相等、标准差越小峰越尖等。
均匀分布是另一种常见的分布，其概率密度函数为：$$f(x) = begin{cases} frac{1}{b-a}, & aleq xleq b 0, & text{otherwise} end{cases}$$其中，$a$ 和 $b$ 分别表示区间的起始值和终止值。
均匀分布的图像呈矩形，特点是各点概率密度相等。
指数分布是描述等待时间的分布，其概率密度函数为：$$f(x) = begin{cases} lambda e^{-lambda x}, & xgeq 0 0, & text{otherwise} end{cases}$$其中，$lambda$ 表示事件发生的速率。
指数分布的图像呈指数下降曲线，特点是随着时间的增加，事件发生的概率逐渐减小。
伽马分布是描述正随机变量的分布，其概率密度函数为：$$f(x) = begin{cases}frac{1}{Gamma(k)theta^k}x^{k-1}e^{-frac{x}{theta}}, & xgeq 0 0, & text{otherwise} end{cases}$$其中，$k$ 和 $theta$ 分别表示形状参数和尺度参数。
伽马分布的图像呈现出右偏斜的形态，具有长尾性质。
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用1. 常数分布（Constant distribution）：概率密度函数（Probability Density Function，PDF）为常数，表示特定区间内的概率相等。
这种分布常用于模拟实验或作为基线分布进行比较。
2. 均匀分布（Uniform distribution）：概率密度函数为一个常数，表示在特定区间内的各个取值的概率相等。
均匀分布经常用于随机抽样，以确保样本的代表性。
3. 二项分布（Binomial distribution）：概率密度函数描述了进行n次独立二类试验中成功次数的概率分布。
二项分布在实验设计、质量控制和市场研究中广泛应用。
4. 泊松分布（Poisson distribution）：5. 正态分布（Normal distribution）：概率密度函数为指数函数形式，常用来描述自然界中众多连续变量的分布，例如身高、体重等。
正态分布在统计学和金融学中广泛应用。
6. χ2分布（Chi-square distribution）：概率密度函数描述了n个独立标准正态分布随机变量的平方和的分布，是假设检验和方差分析中常用的分布。
7. t分布（t-distribution）：概率密度函数描述了标准正态分布随机变量与一个自由度为n的卡方分布随机变量的比值的分布。
t分布在小样本推断和回归分析中常用。
8. F分布（F-distribution）：概率密度函数描述了两个自由度为m和n的卡方分布随机变量的比值的分布。
F分布在方差分析、回归分析和信号处理中常应用。
9. 负二项分布（Negative binomial distribution）：概率密度函数描述了进行一系列独立二类试验中直到第r次取得第k 次成功的概率。
负二项分布在可靠性工程和传染病模型中常用。
10. 伽马分布（Gamma distribution）：概率密度函数描述了多个指数分布随机变量的和的分布，常被用于描述连续事件的时间间隔。
数学中的概率分布函数
数学中的概率分布函数概率分布函数（Probability Distribution Function，简称PDF）是概率论中的重要概念，描述了随机变量的可能取值及其对应的概率。
在数学中，概率分布函数是研究概率分布规律的基本工具之一。
本文将介绍概率分布函数的定义、性质和应用。
一、概率分布函数的定义在概率论中，随机变量是一种随机取值的变量，其可能取值称为样本空间，表示为S。
概率分布函数是随机变量的取值在样本空间中的累积分布函数。
设随机变量X的取值范围为[a，b]，其概率分布函数F(x)定义如下：F(x) = P(X≤x) a≤x≤b其中，P(X≤x)表示随机变量X的取值小于或等于x的概率。
概率分布函数具有如下性质：1. F(x)是一个非递减函数；2. F(−∞)=0，F(+∞)=1；3. 概率分布函数在[a，b]内是一个右连续函数。
二、常见的概率分布函数1. 均匀分布均匀分布是概率分布函数中最简单的一种形式，它假设随机变量在[a，b]之间的取值是等可能的，其概率分布函数为：F(x) = (x-a)/(b-a) a≤x≤b2. 正态分布正态分布是概率论中最重要的分布之一，也称为高斯分布。
它是以均值μ和标准差σ为参数的连续型分布。
其概率密度函数为：f(x) = (1/(σ√(2π))) * e^(-(x-μ)²/(2σ²))正态分布在实际中广泛应用，如自然科学、社会科学、工程技术等领域。
3. 泊松分布泊松分布是一种描述单位时间或单位空间发生事件次数的概率分布。
泊松分布的概率分布函数为：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!其中，λ是单位时间（或单位空间）内事件平均发生次数。
三、概率分布函数的应用概率分布函数在概率论、统计学等领域有广泛的应用。
下面介绍一些常见的应用场景。
1. 随机变量的分布特性分析概率分布函数可用于分析随机变量的分布特性，包括均值、方差、分位数等。
通过对特定分布函数的研究，可以估计随机变量的取值范围，并了解其在该范围内的概率分布情况。
概率论分布函数
概率论分布函数概率论分布函数是概率论中的重要概念，它描述了一个随机变量取不同值的概率。
通过分布函数，我们可以了解随机变量的分布情况，从而进行概率计算和数据分析。
本文将介绍概率论分布函数的定义、性质以及常见的分布函数类型。
一、定义概率论分布函数，也称累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF），是描述一个随机变量取不同值的概率的函数，通常用F(x)表示。
对于任意实数x，F(x)定义为：F(x) = P(X≤x)其中，X表示随机变量。
概率论分布函数的定义可以从两个角度理解：1.几何角度：概率论分布函数描述了随机变量取值小于等于某个x 的概率，即在数轴上，小于等于x的区间的长度与整个概率空间的比例。
2.概率角度：概率论分布函数定义了对于任意取值小于等于x的情况下，随机变量取该值的概率。
二、性质概率论分布函数具有以下性质：1.非减性：对于任意的x1<x2，有F(x1)≤F(x2)。
这是因为随机变量在小于等于x1的区间上取值的概率一定小于等于小于等于x2的区间上取值的概率。
2.有界性：对于任意的x，有0≤F(x)≤1。
概率的范围是从0到1，因此概率论分布函数的取值也在这个范围内。
3.右连续性：对于任意的x0，有lim(x→x0+)F(x)=F(x0)。
这表示当x无限接近x0时，概率论分布函数的值会无限接近于F(x0)。
4.左极限性：对于任意的x0，有lim(x→x0-)F(x)=F(x0-1)。
这表示当x无限接近x0时，概率论分布函数的值会无限接近于F(x0-1)。
以上性质是概率论分布函数的基本特征，它们保证了分布函数的合理性和准确性。
三、常见的分布函数类型在概率论中，常见的分布函数类型有很多，下面介绍其中几个常见的分布函数：1.均匀分布函数（Uniform Distribution Function）：均匀分布函数是最简单的分布函数之一，它表示随机变量的取值在一个区间上均匀分布。
概率论-2-4分布函数
1 2
1
arcsin
x a
,
a xa
1,
xa
（3）随机变量X的密度函数为
f
(x)
F ( x)
1
0,
a2 x2 , a x a 其它.
答案：D
答案：B
答案：A
答案：A
本节练习
习题二：12
F (4) F (2) 1 0 1 5 1 1.
3
63 2
答案：B
四、连续型随机变量的分布函数
已知连续型RV.X的概率密度为f(x)，则其分布
函数为 F(x) P{X x} P{ X x}
f (x)
即有
F
(
x)
x
f
(
x)dx
ox
x
F(x)在点x的函数值，等于曲线f(x)之下，Ox轴的区间
x)
1
x
x
,
x0
0,
x0
（1）求X的概率密度函数 f ( x).
（2）用分布函数求概率
PX 3, P 2 X 5, PX 1.
解 在 x 0 处 F (x) 具有连续导数，故按题设得
f
(
x)
F
(
x)
(1
1 x)2
,
0,
x0 x 0
而在 x 0
时，由
F
(
x)
1
x
x
,
0, F (x) 不可导， 因为
F(x)的图形为 F( x)
1
a
bx
例5 （1）设r.v X服从指数分布，其概率密度为
f ( x) 1 ex ,
0,
求X的分布函数F(x).
概率论5分布函数连续型
2. 指数分布 Exp( )
f (x)
若r.v.X的p.d.f.为
f ( x)＝e x , x 0
0
x
0, x 0
则称X服从参数为>0的指数分布. 其分布函数:
易F验(证x):f (Px{)X 0,
x}=f( x0)0xd,x
e
exdx 01
0
xdx, x 0
F ( x)=
0, x 1 e x , x
(2) p{X 3.5 | X 1.5} p{X 3.5, X 1.5}
{ X 1.5}
13.－5 3Fe(33 x.5d)x 11.－5 3Fe(13 x.5d)x
e e－3(63.51.5)
非负的连续型r.v.X服 从指数分布的充分必 要条件是:无记忆性
例6.某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，设
注3.当 Δx 很小时,
P{x X x x}＝F(x x) F(x) f (x)x
★密度函数值f(a)并不反映X取a值的概率.但这个值 越大,X取a附近值的概率就越大.也可以说,在某点密 度曲线的高度,反映了概率集中在该点附近的程度.
1 证明f ( x) 1/ 2e x 为概率分布密度函数.
c
c ba ba
说明r.v.X落在(a,b)区间上任一点的可能性都相同.
注2 均匀分布的特征性质：
X服从均匀分布U(a, b)的充分必要条件是
(1) X 落在(a, b)概率为1, 落在区间外的概率为0;
(2) X 落在(a, b)子区间上概率与子区间长度成正比.
注3 均匀分布的分布函数：
当x≤a时,F(x)=
[0，t]时段内过桥的汽车数Xt服从参数为t的泊
松分布，求T的概率密度。
经典概率分布特征函数计算
经典概率分布特征函数计算概率分布是用来描述随机变量可能取值的分布情况的数学函数。
特征函数是一种描述概率分布的方法，它是概率密度函数的傅里叶变换。
通过计算特征函数，可以得到概率分布的各种统计特征，如均值、方差、偏度等。
概率分布的特征函数计算起来较为复杂，需要使用傅里叶变换进行求解。
下面将分别介绍几种常见的概率分布的特征函数计算方法。
正态分布是最常见的分布之一，它的特征函数可以通过对概率密度函数进行傅里叶变换得到。
正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1/√(2πσ^2)) * exp(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中μ为均值，σ为标准差。
将概率密度函数进行傅里叶变换，得到特征函数φ(t)：φ(t) = exp(μit-σ^2t^2/2)通过特征函数，可以计算正态分布的各种统计特征。
如，均值μ为特征函数在t=1处的值，即μ=φ(1)；方差σ^2为特征函数在t=0处的二阶导数的负值，即σ^2=-φ''(0)。
伽马分布是一种连续概率分布，它的特征函数也可以通过对概率密度函数进行傅里叶变换得到。
伽马分布的概率密度函数为：f(x) = (1/((β^α) * Γ(α))) * x^(α-1) * exp(-x/β)其中α为形状参数，β为尺度参数，Γ(α)为伽马函数。
将概率密度函数进行傅里叶变换，得到特征函数φ(t)：φ(t) = (1 - itβ)^(-α)其中i为虚数单位。
通过特征函数，可以计算伽马分布的各种统计特征。
如，均值μ为特征函数在t=0处的一阶导数，即μ=φ'(0)；方差σ^2为特征函数在t=0处的二阶导数，即σ^2=φ''(0)。
泊松分布是一种离散概率分布，它的特征函数可以通过对概率质量函数进行傅里叶变换得到。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * exp(-λ)) / k!其中λ为平均每个时间区间内事件发生的次数。
将概率质量函数进行傅里叶变换，得到特征函数φ(t)：φ(t) = exp(λ*(e^(it) - 1))通过特征函数，可以计算泊松分布的各种统计特征。
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由概率加法公式得：
n
m b(m; n, p ) = C n p m q n − m , 其中m = 0,1,2, L , n; q = 1 − p
m 且 ∑ b( m; n, p ) = ∑ Cn p m q n − m = ( p + q ) n = 1 n
概率 b( m; n, p ) 实际上是二项式 ( p + q ) n 的展开式中的通项公式。
第三章 几种重要的概率分布
三、二项分布的数学期望与方差
定理 3.1.2 如果离散型随机变量 X 服从参数为 n, p 的 二项分布，即 X ～ B(n, p ) ,则其数学期望与方差分别为
E ( X ) = np D ( X ) = npq
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第三章 几种重要的概率分布 例1 据调查,市场上假冒的某名牌香烟有0.15,某人每 年买20条这个品牌的香烟,求他至少买到1条假烟的概率.
≈
λ
时， X 近似地服从
i
定理指出n 当充分大时，泊松分布是二项分布的近似分布， 但要注意仅当P的值很小(一般来说当p<0.1) 时 ，用泊松分 布取代二项分布所产生的误差才比较小． 常见的泊松分布的例子： （1）飞机被击中的子弹数； （2）一个集团公司中生日在元旦的人数； （3）三胞胎出生的次数； （4）一年中死亡的百岁老人数；
解: 设随机变量 X 表示 10 次投篮中命中的次数, 由题意: X 服从二项分布 B ( 10 , 0 . 6 )
4 (1) P{X = 4} = C10 (0.6) 4 (1 − 0.6)10− 4 ≈ 0.115
( 2 ) 最多命中8次的概率
= 1 − P { X > 8}
P {0 ≤ X ≤ 8}
解: 设随机变量 X 表示某人每年买 20 条某名牌烟中假烟 的条数,由题意: X 服从二项分布 B (20,0.15) 所以
P { X ≥ 1} = 1 − P { X = 0} = 1 − C 0.15 (1 − 0.15)
0 20 0 20
≈ 1 − 0.039 = 0.961
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第三章 几种重要的概率分布 例2 某人定点投篮的命中率是0.6,在10次投篮中,求 (1) 恰有4次命中的概率;(2) 最多命中8次的概率.
令 λ =np=400×0.02=8
于是: P{一天内没有出租车出现故障} =P{X=0} =b(0;400,0.02)
8 0 −8 e =0.0003355 ≈ 0!
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第三章 几种重要的概率分布
三、泊松分布的数学期望与方差
定理 3.2.2 如果离散型随机变量 X 服从参数为 λ
（ λ > 0) 的泊松分布，即 X ～ P (λ ) ,则其数学期望与
= 1 − P { X = 9} − P { X = 10}
9 10 = 1 − C10 (0.6)9 (1 − 0.6) − C10 (0.6)10 (1 − 0.6) 0
≈ 0.9536
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第三章 几种重要的概率分布 例3 已知一批产品共10件,其中正品7件,次品3件,今从中抽取 若干次,每次抽出1件,求在放回抽样下的4次抽取中,抽得次品 数的分布列. 解: 在放回抽样下,每次抽取只有两个相互对立的基本事件
7
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第三章 几种重要的概率分布
例 5 某种花布一匹布上疵点的个数 X 是一个离散型随机变量，它服 从参数为 λ （ λ > 0) 的泊松分布，已知一匹布上有 8 个疵点与有 7 个疵点的可能性相同，问一匹布上平均有多少个疵点？
解：由于已知一匹布上有8个疵点与有7个疵点的可能性相同， 即概率
m b( m; n, p ) = C n p m q n − m , 其中m = 0,1,2, L , n; q = 1 − p
m=0
m=0
称为概率计算的二项公式。 二项公式。 二项公式
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第三章 几种重要的概率分布
二、二项分布
定义 如果随机变量 X 的概率分布为
i P{X = i} = C n p i q n −i
第三章 几种重要的概率分布 §3.1 二项分布 §3.2 泊松分布 §3.3 均匀分布 §3.4 指数分布 §3.5 正态分布
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§3.1 二项分布
一 贝努里概型和二项公式 二 二项分布 三 二项分布数学期望与方差
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第三章 几种重要的概率分布
一、贝努里概型和二项公式
在相同条件下进行的 n次重复试验，如果每次试验只有 两个相互对立的基本事件，而且它们在各次试验中发生的概 率不变，那末称这样的试验为n重贝努里试验或贝努里概型。 例如，掷n 次硬币， 投n 次篮， 检查n 个产品， 做 n 道单项选择题等
−λ
其中 λ >0 是常数,则称 X 服从参数为
λ 的泊松分布,记作 X ～ P (λ )
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第三章 几种重要的概率分布 二、二项分布与泊松分布 定理3.2.1（泊松定理） 设随机变 X 服从二项分布 B(n, p ) ，当
i 泊松分布 P (λ ) 即， n
C p (1 − p)
i
n −i
A = {抽到正品}, A = {抽到次品},且 A, A 在各次抽取中
__ __
__ 7 3 发生的概率不变,即 P ( A) = , P ( A) = , 10 10 所以, 在放回抽样下的4次抽取是4重贝努里试验.
设随机变量 X 表示 4 次抽取中取到的次品件数,由题意, X 服从二项分布 B(4,0.3) ,即 X 的概率分布为
1 (3) 均值即数学期望 E ( X ) = np = 6 × = 3 2 1 1 3 (4) 方差 D ( X ) = npq = 6 × × = 2 2 2
例 6 若离散型随机变量 X ～ B ( 100 , 0 . 1 ) ，求随机变量函数
Y = − 3 X 的数学期望、方差。
解：从已知条件得到数学期望 E ( X ) = np = 100 × 0.1 = 10
设两个相互对立的基本事件为 A, A ,且 P ( A) = p, P ( A) = q, p + q = 1,
__
__
p > 0, q > 0, 求事件 A 在 n 重贝努里试验中恰好发生 m 次（m=0,1,2…,n）
的概率。记这一概率为 b(m;n,p)
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第三章 几种重要的概率分布
定理 3.1.1：设事件 A 在每次试验中发生的概率为 p, (0 < p < 1), 则它在贝努里概型下恰好发生 m 次的概率为
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第三章 几种重要的概率分布 小结与提问： 小结与提问： 本次课，我们介绍了贝努里概型与二项公式、二项分布。 二项分布是离散型随机变量的概率分布中的重要分布，我们 应掌握二项分布及其概率计算，能够将实际问题归结为贝努 里概型，然后用二项分布计算有关事件的概率、数学期望与 方差。。 课外作业： 课外作业：P150 习题三 3.01,3.02,3.03,3.04,3.05
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i!
e
− λ 其中 λ
= np
第三章 几种重要的概率分布
例 1 某一无线寻呼台,每分钟收到寻呼的次数 X 服从参数 λ =3 的泊松分布. 求:(1)一分钟内恰好收到 3 次寻呼的概率. (2)一分钟内收到 2 至 5 次寻呼的概率.
解: :
(1)P{X=3}=p(3)=(3 /3!)e
300 100 7 错误，即离散型随机变量 X 的数学期望 E ( X ) = ， 100 又由于离散型随机变量 X 服从参数为 λ 的泊松分布，因此数学期望
7 E ( X ) = λ ，于是参数 λ = 100 事件 X = 0 表示任取 1 页书上没有印刷错误，有概率
7 0 −100 ( ) e 7 − P{X = 0} = 100 = e 100 ≈ 0.9324 0!
=1-[(0.8 +(0.8
2 0
/0!)+(0.8
− 0 .8
1
/1!)
/2!)]e
≈0.0474
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第三章 几种重要的概率分布 例3 某出租汽车公司共有出租车400辆,设每天每辆出租车出 现故障的概率为0.02, 求:一天内没有出租车出现故障的概率. 解：将观察一辆车一天内是否出现故障看成一次试验E.因为 每辆车是否出现故障与其它车无关,于是观察400辆出租车是 否出现故障就是做400次伯努利试验,设X表示一天内出现故 障的出租车数,则: X ～ B(400, 0.02).
i P{X = i} = C4 (0.3)i (0.7)4−i ,i = 0,1,2,3,4
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第三章 几种重要的概率分布 例4 投掷一枚均匀硬币6次，求： （1）恰好出现2次正面的概率；（2）至少出现5次正面的概率； （3）出现正面次数的均值； （4）出现正面次数的方差。 解：设随机变量 X 表示 6 次投掷一枚均匀硬币出现正面的次数，
m b(m; n, p ) = C n p m q n − m , 其中m = 0,1,2, L , n; q = 1 − p 证明 由多个事件相互独立的概念知, 事件 A 在 n 次试验中指定 的 m 次发生而其余的 n − m 次不发生的概率为 p m q n − m ，
又由于事件 A 可以在 n 次试验中的任何 m 次发生，从 n 次试 m m 验中选取 m 次共有 C n 种方式，且这 C n 个事件两两互不相容，
(0 < p < 1, p + q = 1)
(i = 0,1,2,L, n)
则称离散型随机变量 X 服从参数为 n, p常见的二项分布实际问题： ①有放回或总量大的无放回抽样； ②打枪、投篮问题（试验 n 次发生 k 次）； ③设备使用、设备故障问题。