概率分布函数

第三章 几种重要的概率分布 §3.1 二项分布 §3.2 泊松分布 §3.3 均匀分布 §3.4 指数分布 §3.5 正态分布
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§3.1 二项分布
一 贝努里概型和二项公式 二 二项分布 三 二项分布数学期望与方差
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第三章 几种重要的概率分布
一、贝努里概型和二项公式
在相同条件下进行的 n次重复试验，如果每次试验只有 两个相互对立的基本事件，而且它们在各次试验中发生的概 率不变，那末称这样的试验为n重贝努里试验或贝努里概型。 例如，掷n 次硬币， 投n 次篮， 检查n 个产品， 做 n 道单项选择题等
3
−3
≈0.2240
(2)P{2≤X≤5}=P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}
=[(3 /2!)+(3 /3!)+(3 /4!)+(3 /5!)]e
2 3 4 5 −3
≈0.7169
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第三章 几种重要的概率分布 例2 某一城市每天发生火灾的次数X服从参数为0.8 的泊松分布. 求:该城市一天内发生3次以上火灾的概率. P{X≥3}=1- P{X<3} =1-[P{X=0}+ P{X=1}+P{X=2}] 解：
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§3.2 泊松分布
一 泊松分布的定义 二 二项分布与泊松分布 三 泊松分布的数学期望与方差
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第三章 几种重要的概率分布 一、泊松分布的定义
设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为：
P{X = i} =
λ
i
i!
e , (i = 0,1,2, L; λ > 0)
7
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第三章 几种重要的概率分布
例 5 某种花布一匹布上疵点的个数 X 是一个离散型随机变量，它服 从参数为 λ （ λ > 0) 的泊松分布，已知一匹布上有 8 个疵点与有 7 个疵点的可能性相同，问一匹布上平均有多少个疵点？
解：由于已知一匹布上有8个疵点与有7个疵点的可能性相同， 即概率
A = {抽到正品}, A = {抽到次品},且 A, A 在各次抽取中
__ __
__ 7 3 发生的概率不变,即 P ( A) = , P ( A) = , 10 10 所以, 在放回抽样下的4次抽取是4重贝努里试验.
设随机变量 X 表示 4 次抽取中取到的次品件数,由题意, X 服从二项分布 B(4,0.3) ,即 X 的概率分布为
=1-[(0.8 +(0.8
2 0
/0!)+(0.8
− 0 .8
1
/1!)
/2!)]e
≈0.0474
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第三章 几种重要的概率分布 例3 某出租汽车公司共有出租车400辆,设每天每辆出租车出 现故障的概率为0.02, 求:一天内没有出租车出现故障的概率. 解：将观察一辆车一天内是否出现故障看成一次试验E.因为 每辆车是否出现故障与其它车无关,于是观察400辆出租车是 否出现故障就是做400次伯努利试验,设X表示一天内出现故 障的出租车数,则: X ～ B(400, 0.02).
(0 < p < 1, p + q = 1)
(i = 0,1,2,L, n)
则称离散型随机变量 X 服从参Leabharlann Baidu为 n, p 的二项分布，记作 X ～ B (n, p )
常见的二项分布实际问题： ①有放回或总量大的无放回抽样； ②打枪、投篮问题（试验 n 次发生 k 次）； ③设备使用、设备故障问题。
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由概率加法公式得：
n
m b(m; n, p ) = C n p m q n − m , 其中m = 0,1,2, L , n; q = 1 − p
m 且 ∑ b( m; n, p ) = ∑ Cn p m q n − m = ( p + q ) n = 1 n
概率 b( m; n, p ) 实际上是二项式 ( p + q ) n 的展开式中的通项公式。
解: 设随机变量 X 表示 10 次投篮中命中的次数, 由题意: X 服从二项分布 B ( 10 , 0 . 6 )
4 (1) P{X = 4} = C10 (0.6) 4 (1 − 0.6)10− 4 ≈ 0.115
( 2 ) 最多命中8次的概率
= 1 − P { X > 8}
P {0 ≤ X ≤ 8}
设两个相互对立的基本事件为 A, A ,且 P ( A) = p, P ( A) = q, p + q = 1,
__
__
p > 0, q > 0, 求事件 A 在 n 重贝努里试验中恰好发生 m 次（m=0,1,2…,n）
的概率。记这一概率为 b(m;n,p)
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第三章 几种重要的概率分布
定理 3.1.1：设事件 A 在每次试验中发生的概率为 p, (0 < p < 1), 则它在贝努里概型下恰好发生 m 次的概率为
方差 D ( X ) = npq = 100 × 0.1 × 0.9 = 9
根据随机变量数学期望、方差的性质，随机变量函数 Y = −3 X 的数学期望、方差分别为
E (Y ) = E ( −3 X ) = −3E ( X ) = −3 × 10 = −30
D(Y ) = D(−3 X ) = (−3) 2 D( X ) = (−3) 2 × 9 = 81
300 100 7 错误，即离散型随机变量 X 的数学期望 E ( X ) = ， 100 又由于离散型随机变量 X 服从参数为 λ 的泊松分布，因此数学期望
7 E ( X ) = λ ，于是参数 λ = 100 事件 X = 0 表示任取 1 页书上没有印刷错误，有概率
7 0 −100 ( ) e 7 − P{X = 0} = 100 = e 100 ≈ 0.9324 0!
P{X = 8} = P{X = 7} 又由于离散型随机变量 X 服从参数为 λ （ λ > 0)
变量 X 的可能取值只有两个，即 X = 5, X = 6 ，有概率
P { X ≥ 5} = P { X = 5} + P { X = 6} 1 5 1 6 −5 1 6−6 7 6 1 6 = C ( ) (1 − ) + C6 ( ) (1 − ) = 2 2 2 2 64
5 6
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第三章 几种重要的概率分布
−λ
其中 λ >0 是常数,则称 X 服从参数为
λ 的泊松分布,记作 X ～ P (λ )
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第三章 几种重要的概率分布 二、二项分布与泊松分布 定理3.2.1（泊松定理） 设随机变 X 服从二项分布 B(n, p ) ，当
i 泊松分布 P (λ ) 即， n
C p (1 − p)
i
n −i
由题意, X 服从二项分布 B (6, )
(1) 事件 X = 2 表示恰好出现 2 次正面，其发生的概率为
1 2
1 1 15 P{X = 2} = C 62 ( ) 2 ( 1 − ) 6− 2 = 2 2 64 (2) 事件 X ≥ 5 表示至少出现 5 次正面，在 X ≥ 5 范围内，离散型随机
m b( m; n, p ) = C n p m q n − m , 其中m = 0,1,2, L , n; q = 1 − p
m=0
m=0
称为概率计算的二项公式。 二项公式。 二项公式
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第三章 几种重要的概率分布
二、二项分布
定义 如果随机变量 X 的概率分布为
i P{X = i} = C n p i q n −i
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i!
e
− λ 其中 λ
= np
第三章 几种重要的概率分布
例 1 某一无线寻呼台,每分钟收到寻呼的次数 X 服从参数 λ =3 的泊松分布. 求:(1)一分钟内恰好收到 3 次寻呼的概率. (2)一分钟内收到 2 至 5 次寻呼的概率.
解: :
(1)P{X=3}=p(3)=(3 /3!)e
= 1 − P { X = 9} − P { X = 10}
9 10 = 1 − C10 (0.6)9 (1 − 0.6) − C10 (0.6)10 (1 − 0.6) 0
≈ 0.9536
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第三章 几种重要的概率分布 例3 已知一批产品共10件,其中正品7件,次品3件,今从中抽取 若干次,每次抽出1件,求在放回抽样下的4次抽取中,抽得次品 数的分布列. 解: 在放回抽样下,每次抽取只有两个相互对立的基本事件
≈
λ
时， X 近似地服从
i
定理指出n 当充分大时，泊松分布是二项分布的近似分布， 但要注意仅当P的值很小(一般来说当p<0.1) 时 ，用泊松分 布取代二项分布所产生的误差才比较小． 常见的泊松分布的例子： （1）飞机被击中的子弹数； （2）一个集团公司中生日在元旦的人数； （3）三胞胎出生的次数； （4）一年中死亡的百岁老人数；
i P{X = i} = C4 (0.3)i (0.7)4−i ,i = 0,1,2,3,4
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第三章 几种重要的概率分布 例4 投掷一枚均匀硬币6次，求： （1）恰好出现2次正面的概率；（2）至少出现5次正面的概率； （3）出现正面次数的均值； （4）出现正面次数的方差。 解：设随机变量 X 表示 6 次投掷一枚均匀硬币出现正面的次数，
第三章 几种重要的概率分布
三、二项分布的数学期望与方差
定理 3.1.2 如果离散型随机变量 X 服从参数为 n, p 的 二项分布，即 X ～ B(n, p ) ,则其数学期望与方差分别为
E ( X ) = np D ( X ) = npq
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第三章 几种重要的概率分布 例1 据调查,市场上假冒的某名牌香烟有0.15,某人每 年买20条这个品牌的香烟,求他至少买到1条假烟的概率.
解: 设随机变量 X 表示某人每年买 20 条某名牌烟中假烟 的条数,由题意: X 服从二项分布 B (20,0.15) 所以
P { X ≥ 1} = 1 − P { X = 0} = 1 − C 0.15 (1 − 0.15)
0 20 0 20
≈ 1 − 0.039 = 0.961
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第三章 几种重要的概率分布 例2 某人定点投篮的命中率是0.6,在10次投篮中,求 (1) 恰有4次命中的概率;(2) 最多命中8次的概率.
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第三章 几种重要的概率分布 小结与提问： 小结与提问： 本次课，我们介绍了贝努里概型与二项公式、二项分布。 二项分布是离散型随机变量的概率分布中的重要分布，我们 应掌握二项分布及其概率计算，能够将实际问题归结为贝努 里概型，然后用二项分布计算有关事件的概率、数学期望与 方差。。 课外作业： 课外作业：P150 习题三 3.01,3.02,3.03,3.04,3.05
令 λ =np=400×0.02=8
于是: P{一天内没有出租车出现故障} =P{X=0} =b(0;400,0.02)
8 0 −8 e =0.0003355 ≈ 0!
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第三章 几种重要的概率分布
三、泊松分布的数学期望与方差
定理 3.2.2 如果离散型随机变量 X 服从参数为 λ
（ λ > 0) 的泊松分布，即 X ～ P (λ ) ,则其数学期望与
m b(m; n, p ) = C n p m q n − m , 其中m = 0,1,2, L , n; q = 1 − p 证明 由多个事件相互独立的概念知, 事件 A 在 n 次试验中指定 的 m 次发生而其余的 n − m 次不发生的概率为 p m q n − m ，
又由于事件 A 可以在 n 次试验中的任何 m 次发生，从 n 次试 m m 验中选取 m 次共有 C n 种方式，且这 C n 个事件两两互不相容，
1 (3) 均值即数学期望 E ( X ) = np = 6 × = 3 2 1 1 3 (4) 方差 D ( X ) = npq = 6 × × = 2 2 2
例 6 若离散型随机变量 X ～ B ( 100 , 0 . 1 ) ，求随机变量函数
Y = − 3 X 的数学期望、方差。
解：从已知条件得到数学期望 E ( X ) = np = 100 × 0.1 = 10
方差分别为
E( X ) = λ D( X ) = λ
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第三章 几种重要的概率分布
例 4 一页书上印刷错误的个数 X 是一个离散型随机变量，它服从参数 为 λ 的泊松分布，一本书共有 300 页，有 21 个印刷错误，求任取 1 页 书上没有印刷错误的概率。 21 7 解：由于 300 页中有 21 个印刷错误，从而平均每页有 = 个印刷