3.11 三角形中的边角关系
三角形的边角关系
三角形的边角关系在数学中，三角形是一个非常重要的几何形状。
它由三条边和三个顶点组成，有着丰富多样的性质和关系。
其中，边角关系是我们研究三角形时必须了解和掌握的内容之一。
本文将详细介绍三角形的边角关系，包括角的分类和三角形边长之间的关联。
一、角的分类在三角形中，角是指由两条边所围成的空间部分。
根据角的大小和性质，我们可以将角分为三种类型：锐角、直角和钝角。
1. 锐角：锐角是指小于90度的角。
在三角形中，如果三个角均为锐角，则这个三角形被称为锐角三角形。
2. 直角：直角是指恰好等于90度的角。
在三角形中，如果有一个角为直角，则这个三角形被称为直角三角形。
3. 钝角：钝角是指大于90度但小于180度的角。
在三角形中，如果有一个角为钝角，则这个三角形被称为钝角三角形。
二、三角形边长关系在三角形中，三条边的长度也存在一些特定的关联。
下面将分别介绍三种情况下的边长关系。
1. 等边三角形：等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
在等边三角形中，三个角的大小均为60度。
2. 等腰三角形：等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两个角的大小也相等。
3. 直角三角形：直角三角形是指其中一个角为直角的三角形。
根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个关系被称为毕达哥拉斯定理，是三角学中的重要定理之一。
例如，若直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边的长度为c，则有a² + b² = c²。
除了上述情况外，三角形的边长关系还可以通过正弦定理、余弦定理和正切定理来描述。
这些定理可以用来计算三角形中任意一边或角的大小，进一步探索三角形的性质和关系。
综上所述，三角形的边角关系是数学中重要的研究内容。
通过了解三角形的角的分类和边长关系，我们可以更好地理解和应用三角形的性质，为解决数学问题提供有效的工具和方法。
无论是在几何学中还是实际生活中，对于三角形边角关系的掌握都具有重要意义。
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共边（ ASA ）或两角与其中一角的对边（ AAS ），这也是判断两个三角形全等的主要
方法，全等三角形的对应元素都相等．只知三角形的三角大小，不能确定三角形，
具有相同大小的三个角的两个三角形是相似关系．
4．三角形的“线”与“心” ： （ 1）高线、 垂心 ．
（ 2）中线、 重心 及其的性质、坐标公式、向量公式及其物理意义、
6．等腰三角形的判定与性质、四线合一
7．等边三角形的判定与性质、四心合一（中心）
8．三角形元素之间的关系：
（ 1）角与角的关系：
①内角和定理、
②外角定理
③角的性质：范围、关系．
④最大角、最小角．
⑤锐角三角形中任两角的和
（ 2）边与边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
（“三胞胎”）
（ 3）边与角的关系： （“三胞胎”）
中线长定理 ．
（ 3）中垂线、外接圆、 外心 ．
（ 4）内角平分线、内切圆、 内心、内角平分线定理 ．
（ 5）外角平分线、旁切圆、 旁心、外角平分线定理 ．
（ 6）中位线、中位线定理、中点三角形及其性质．
5．三角形的分类： （ 1）按边的相等情况分：三边不等的三角形、等腰三角形、等边三角形。 （ 2）按最大角的情况分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
（ 4）直角三角形的性质：
①勾股定理 ②两个锐角的关系
③锐角的三角函数（边与角的联系） ．
④含 30o角的直角三角形的性质 ⑤斜边上的中线长等于斜边长的一半．
9．解三角形：根据三角形中已知的元素求其它未知的元素，叫解三角形．
10．三角形面积公式：
（ 1） S ABC
1 aha
2
1 bhb
三角形中边角关系,命题与证明专项复习(附带知识点练习)
第十三章:三角形中的边角关系,命题与证明第一节:三角形三边关系知识点:1、三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角形；组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共断点叫做顶点；相邻两边组成的角叫做三角形的内角。
如图三角形可记做，读作“三角形ABC”2、角形的分类:,有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,的三角形叫做等边三角形又叫做正三角形.边,两腰的夹角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做低角.3、三角形角的关系:三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形,有一个角是直角的三角形叫做直角三角形,有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形考点:(一)、会用符号表示三角形,了解什么是三角形的边、角、顶点,并且能用符号来表示;(二)、了解等腰三角形的腰,顶角,低角的概;(三)、运用两边之和大于第三边,两边之差小于第三边求范围和判断是否能围成三角形;(四)、运用三角形的内角和和直角三角形求角的度数例题:3、已知一个等腰三角形的一边长是5，一边长是12，求这个三角形的周长4、已知三角形的三边长分别是a、b、c，化简│a+b-c│-│b-a-c│的结果为————5、已知等腰∆ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围————6、三角形中最大角α的范围是——————，最小角β的范围是——————7、在下列空白出，分别填上“锐角”、“直角”、“钝角”（一）∆ABC中，∠A=∠B+∠C，则∆ABC是——————三角形（二）∆ABC中，∠A+∠B=20°，则∆ABC是——————三角形（三）∆ABC中，∠A=40°，∠B=∠C，则∆ABC是——————三角形8、在∆ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A与∠B的和还要大30°，求∆ABC各角的度数。
9、四条线段的长度分别为4、6、8、10，可以组成三角形的组数为（）A.4B.3C.2D.1第二课时：三角形的角平分线、中线、高知识点：（一）、三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线（二）、三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线三角形的任意一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形（三）、从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线，也叫三角形的高。
★三角形中的边角关系
三角形中的边角关系知识点梳理一、 边1、基本概念（三角形、边、 顶点的定义；三角形的符号表示）2、按边对三角形的分类：≠⎧⎪⎨⎧⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形腰底等腰三角形等边三角形☆3、三边关系：（1）任意两边之和大于第三边 （2）任意两边之差小于第三边 验证：两条较短边之和与第三边的关系 二、角1、基本概念（内角、外角）2、按角对三角形的分类：⎧⎧⎪⎨⎩⎨⎪⎩锐角三角形斜三角形三角形钝角三角形直角三角形3、三角形的内角和（1）三角形三个内角和等于180°； （2)直角三角形的两个锐角互余； （3）一个三角形最多3个锐角，最多1个钝角，最多1个直角，最少2个锐角。
三、线1、中线(1) 定义 （2） 重心 （3）中线是线段 （4） 表示方法 2、高线（1）定义 （2）垂心 (3）高是线段，垂线是直线 （4）表示方法 （5）钝角三角形高的画法 3、角平分线（1）定义 (2)外心 （3）画法 （4）表示方法 四、方法技能归纳法在规律探索中的应用。
基础练习第1题-（1） 第1题-（2） 第1题-（2）1、（1）以AB 为边的三角形有______________；含∠ACB 的三角形有 ；在△BOC 中，OC 的对角是___________；∠OCB 的对边是___________.（2）图（1）中三角形的个数是____________;★图（2）中三角形的个数是____________。
2、三角形按角分类可以分为（ ）A ．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；B ．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形；C ．直角三角形、等边直角三角形；D ．以上答案都不正确4、若三角形的三边长分别为3,4，x -1，则x 的取值范围是_________________________5、有3cm,6cm,8cm,9cm 长的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成_____个三角形6、已知,,a b c 是ABC 的三条边，且()()0a b c a b ++-=，则ABC 是__________三角形7、下列说法正确的是_____________________（1）等边三角形是等腰三角形； （2）三角形的两边之差大于第三边；（3）有两边相等的三角形一定是等腰三角形； （4）一个钝角三角形一定不是等腰三角形。
知识点1三角形的边角关系
初中三角形知识点复习知识点1三角形的边角关系①三角形任何两边之和大于第三边②三角形任何两边之差小于第三边③三角形三个内角的和等于180°④三角形三个外角的和等于360°⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角知识点2三角形的主要线段和外心、内心①三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等②三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等③连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半知识点3等腰三角形的识别①有两边相等的三角形是等腰三角形②有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）③三边相等的三角形是等边三角形④三个角都相等的三角形是等边三角形⑤有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
知识点4等腰三角形的性质①等边对等角②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴④等边三角形的三个内角都等于60°知识点5直角三角形的识别①有一个角等于90°的三角形是直角三角形②有两个角互余的三角形是直角三角形③勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
知识点6直角三角形的性质①直角三角形的两个锐角互余②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半③勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
知识点7全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形判定方法①三对应边相等（SSS）②两边对应相等，且两边夹角相等（SAS）③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA）④只适用于直角三角形：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL)知识点8相似三角形定义：把形状相同的两个三角形说成是相似的三角形判定方法①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似知识点9相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点10特殊三角函数值。
三角形中的边角关系ppt课件
三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形 的边；
三角形的顶点：三角形两边的交点叫做三角 形的顶点； 三角形的角：三角形两边组成的角叫做三角 形的内角，简称三角形的角。
.
7
探究
如图所示，你能找到三角形吗？有几 个？请表示出来
A
BDC
.
8
探究
• 活动二：①现在我们从边的角度出发， 来研究三角形，同学们分别从准备的木 棒中任意取三根来摆三角形，你们有什 么发现呢？
.
12
巩固新知
例1：判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？ （1）3cm、8cm、4cm （2）5cm、6cm、11cm （3）5cm、0.6dm、10cm
小结：判断三条线段是否可以组成三角形，只 需说明两条较短线段之和大于第三条线段即可。
.
13
合作交流
长度分为1cm、2cm、3cm、4cm和5cm的五根木棒任选三根 首尾顺次相接，能拼成多少个三角形呢？它们的周长是多少？
13.1三角形角角的关系(1)
风车图案中，有我们熟悉的几何图形吗？
.
1
生活中的三角形
.
2
生活中的三角形
.
3
生活中的三角形
.
4
生活中的三角形
.
5
探究
活动一 下面一组图形，哪些是三角形 Nhomakorabea？（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
.
6
探究
三角形定义： 由不在同一条直线的 三条线 段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
.
9
探究
②任意画一个三角形，测量三边长，比较其中 两边的长度和与第三边长度的关系，你得出什 么结论？
三角形中的边角关系
不等边三角形
等边三 角形
三角形
三角形的分类
三角形
不等边三角形（三边互不相等）
等腰三角形（有两边相等）
腰底不等的等腰三角形 （只有两边相等）
等边三角形（正三角形） （三边都相等）
商店 C
小明家A 三角形的三边有这样的关系： 三角形中任何两边的和大于第三边 邮局 三角形中任何两边的差小于第三边
B学校
ABC
1
A
2
P
B
C
课外思考
平面内三个点A、B、C，两两组成三条线段AB、AC、BC.
（1）请用“>”、“<”、“ ≥ ”、“≤”、“=”填空：
AB+BC
AC；AC－BC
AB；
AB+ACBiblioteka BC；BC－ABAC；
BC+AC
AB；AB－AC
BC．
（2）由此，你能得出什么结论？
谢谢！
②当腰长为4cm时，设底边长为bcm,则
4+4+b=18
解得 b=10
因为4+4<10,所以不能围成三角形
综上所述：能围成底边长为4cm,腰长为7cm的等腰三角形
总结 本节课，我们学习了哪些内容？
作业
※必做题：
已知三角形两边长分别为4和5，第三边长为整数，求第三边长.
※选做题：
如图，P是
内一点，说明PA+PB＋PC＞（AB＋BC＋AC）.
练 一 练
例.已知一个等腰三角形的底边长为4cm，求这个三角形的腰长的取值范围？
解：设腰长为xcm,由题意得，
x x 4 所以
答：这个三角形的腰长大于2cm.
x 4 x
三角形的边角之间的关系
三角形的边角之间关系（1）三角形三内角和等于180°（在球面上，三角形内角之和大于180°）；（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.（6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.（7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.（8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等.（9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
（10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
（11）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。
（12）三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。
注意: ①三角形的内心、重心都在三角形的内部. ②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。
③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。
（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。
）④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。
三角形相关定理重心定理三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．上述交点叫做三角形的重心.外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点．这点叫做三角形的外心.垂心定理三角形的三条高交于一点．这点叫做三角形的垂心.内心定理三角形的三内角平分线交于一点．这点叫做三角形的内心.旁心定理三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．中位线定理三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．三边关系定理三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．勾股定理在Rt三角形ABC中，A≤90度，则AB·AB+AC·AC=BC·BC梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
三角形中的边角关系
全等三角形的判定
边角边(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两三角 形全等 角边角(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两三角 形全等 边边边(SSS)：三边对应相等的两三角形全等 角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边对应相等的 两个三角形全等 斜边、直角边(HL)斜边和一条直角边对应相等的两 个直角三角形全等
定理：
三角形的三个内角和等于180 ° 推论1：直角三角形的两个锐角互余 推论2：三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和 推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的 任何边：全等三角形的对应边相等 对应角：全等三角形的对应角相等 对应顶点： 表示方法：△ABC≌ △DEF 要把对应顶点写在相同的位置
角平分线：三角形中，一个角的平分与这个 角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三 角形的角平分线 中线：三角形中，连接一个顶点与它对边中 点的线段叫做三角形的中线 高：从三角形的一个顶点到它对边所在直线 的垂线段叫做三角形的高 (线段)
14.2 命题与证明
命题（真命题、假命题） 命题的组成：条件(题设)、结论(题断) 原命题、逆命题 证明假命题的方法（反例） 公理 定理 证明
第14章:三角形中的边角关系
按边分
不等边三角形 等腰三角形(等边三角形是特殊的等腰三角形) 性质： 三角形中任何两边的和大于第三边 三角形中任何两边的差小于第三边
按角分
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 锐角三角形和钝角三角形又称为斜三角形 性质： 三角形的三个内角和等于180°
三角形中的一些重要线段
三角形中的边角关系
三角形基础知识
说明：△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，p 为三角形周长的一半，r为内切圆半径，R为外接圆半径，）h a，h b，
h c分别为a，b，c边上的高S
△ABC 表示面积。
1．三角形的定义：三条线段首尾顺次连结所组成的图形，其中各
（2）按最大角的情况分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
6．等腰三角形的判定与性质、四线合一
7．等边三角形的判定与性质、四心合一（中心）
8．三角形元素之间的关系：
（1）角与角的关系：
①内角和定理、
②外角定理 ③角的性质：范围、关系． ④最大角、最小角． ⑤锐角三角形中任两角的和 （2）边与边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．（“三胞胎”） （3）边与角的关系：（“三胞胎”） ①对边与对角的大小关系：在三角形中，大边所对的角也
1122ABC ∆1212（3）若
,AB AC ==c b ，则
ABC S ∆=
． 1．正弦定理：(2sin sin sin R C
c B b A a ===R 为△ABC 外接圆半径）。
2．余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=；B ac c a b cos 2222-+=；
3．射影定理：B c C b a cos cos +=；A c C a b cos cos +=； A b B a c cos cos +=。
3．三角形中三角函数的关系：由π=++C B A ，可得。
习作-三角形的边角关系
三角形的边角关系
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50°40°
A
B
解 因为在△ABD 中，∠B ＞∠DAB，
利用「大角對大邊」的性質，
所以 ������������ ＞ ������������ 因为在△ACD 中，∠DAC＞∠C，
利用「大角對大邊」的性質，
所以 ������������ ＞ ������������ 因此 ������������ ＞ ������������ ＞ ������������。 ：������������ ＞ ������������ ＞ ������������。
∴ ������������ ＞ ������������ (大角對大邊)。
(3)由(1)、(2)可得 ������������＞ ������������。
47
如圖， A、B 兩點在直線 L的同側，C 點是 A 點以直線 L 為對稱軸所得的對稱點，若������������與 直線 L 相交於 P 點，且 Q 為 L 上異於 P 點之 一點，回答下列問題： (1) 比較 ������������＋������������和������������
的大小關係。 解 ������������＋������������＝������������＋������������
＝������������ ───── ①
由(1) 得������������＋������������＞������������ ， 又 ������������＝������������
直角三角形边角关系知识点
直角三角形边角关系知识点
1.两个锐角的和为90度：
在直角三角形中，除了一个直角为90度外，另外两个锐角的和也是90度。
这是因为三角形的内角和为180度，所以剩余的两个角相加等于180度减去直角的度数，即90度。
2.勾股定理：
勾股定理是直角三角形边角关系中的一个重要定理，它表示直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
具体表达式为：a²+b²=c²
其中，a和b是直角三角形的两条直角边的长度，c是直角三角形的斜边长度。
勾股定理可以用来求解直角三角形中的边长，或者验证一个三边长组成的三角形是否为直角三角形。
3.边角关系的应用：
-求解未知边长：通过已知两边的长度，可以利用勾股定理求解第三条边的长度。
例如，已知直角三角形的一个锐角为30度，斜边的长度为10，求解另外两条边的长度。
-应用于测量：直角三角形的边角关系在测量中广泛应用，尤其是在实际工程测量中。
通过利用已知边长和角度，可以计算出其他未知边长和角度，以帮助进行准确的测量。
-平面几何证明定理：直角三角形的边角关系也可以用于证明平面几
何中的一些定理。
例如，利用勾股定理可以证明勾股数列的性质，或者证
明两条线段垂直等。
总结：
直角三角形的边角关系是直角三角形中两个锐角的和为90度，以及
勾股定理成立。
这些边角关系在数学中有广泛的应用，包括求解未知边长、测量、定理证明等。
熟练掌握直角三角形的边角关系，对于解决相关几何
问题非常重要。
三角形的边角之间的关系之令狐文艳创作
三角形的边角之间关系令狐文艳（1）三角形三内角和等于180°（在球面上，三角形内角之和大于180°）；（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.（6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.（7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.（8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等.（9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
（10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
（11）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。
（12）三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。
注意: ①三角形的内心、重心都在三角形的内部. ②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。
③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。
（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。
）④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。
三角形相关定理重心定理三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．上述交点叫做三角形的重心.外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点．这点叫做三角形的外心.垂心定理三角形的三条高交于一点．这点叫做三角形的垂心.内心定理三角形的三内角平分线交于一点．这点叫做三角形的内心.旁心定理三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．中位线定理三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．三边关系定理三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．勾股定理在Rt三角形ABC中，A≤90度，则AB·AB+AC·AC=BC·BC梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
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3．11 三角形中的边角关系
1．灵活应用正、余弦定理及三角公式进行边角转换； 2．三角形中三角函数求值，恒等式证明. 【典型例题】
例1．在ΔABC 中，（1）已知sin A = cos B cos C ，求证：tan C + tan B = 1；
（2）求证：
.112cos 2cos 2
2
2
2
b
a
b
B a
A -
=
-
（3）求证：a 2－2ac cos(60°+B ) = b 2－2bc cos(60°+ A ). 例2．在ΔABC 中，已知
,tan tan tan tan c
b
a B A B A -=+-求证：B 、A 、C 成A ·P .
例3．在ΔABC 中，A :B :C = 4:2:1，证明.111
c
b
a
=+
例4．在ΔABC 中，三边a 、b 、c 成A ·P ，且.7
42tan
=B 试作一个以2
tan
,2tan C A 为根的一元二次方程.
【基础训练】
1．在ΔABC 中，c 4－2(a 2 + b 2)c 2 + a 4 + a 2b 2 + b 4=0，则∠C =_____________. 2．在ΔABC 中，sin 2A + sin 2B = 5sin 2C ，则角C 的范围是____________.
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3．在ΔABC 中，(a －b )cot =-+-+2
cot )(2cot
)(2
B
a c A c
b
c _____________. 4．在ΔABC 中，C = 60°，求证：.2
cos
2B
A c b a -=+ 5．在ΔABC 中，a 、b 、c 三边成A ·P ，求证：
B ≤60°. 【拓展练习】 1．在ΔAB
C 中
b
a b
a -+等于
（ ）
A ．
)
sin()
sin(B A B A -+
B ．
)
tan()
tan(B A B A -+
C ．
2
sin
2sin
B A B A -+
D ．
2
tan
2tan
B A B A -+ 2．在ΔAB
C 中，AB = c ，AC = b ，∠A =θ，则角平分线AT 的长度等于
（ ）
A ．
2
c
b + B ．
θcos 2c
b bc
+ C ．bc D ．
2
cos 2θ
c b bc + 3．锐角ΔABC 中，sin A 和cos B 的大小关系是
（ ）
A ．sin A = cos B
B ．sin A < cos B
C ．sin A > cos B
D ．不能
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确定
4．直角三角形三边成A ·P ，则它的最小内角是______________.
5．Rt ΔABC 中，a 、b 、c 三边成G ·P ，∠c = 90°，则sin A = _____________. 6．ΔABC 中三边成A ·P ，且最大角为120°，若a > b > c ，则a : b : c =_____________. 7．ΔABC 中，若(sin A + sin B + sin C )(sin A + sin B －sin C ) = 3sin A sin B ，则C =_____________.
8．已知在ΔABC 中，C = 2B ，A ≠B ，求证：C 2 = b (a + b ).
9．在ΔABC 中，已知三边a 、b 、c 三边成G ·P ，求证：cos(A －C )+cos B +cos2B =1.
10．在ΔABC 中，A =60°，求证：
.1=+++b
a c c a b
11．在ΔABC 中，已知cot A ，cot B ，cot C 成A ·P ，求证：a 2，b 2，c 2成AP .
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12．在ΔABC 中，.2sin 2sin 2sin
C A B （1）求2
tan
A ·2
tan C 的值.
（2）求证：a + c = 3b .
13．在ΔABC 中，tan A ，tan B ，tan C 成A ·P ，且f (tan C )=cos2A ，求f (x )的表达式.。