3.11 三角形中的边角关系
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3．11 三角形中的边角关系
1．灵活应用正、余弦定理及三角公式进行边角转换； 2．三角形中三角函数求值，恒等式证明. 【典型例题】
例1．在ΔABC 中，（1）已知sin A = cos B cos C ，求证：tan C + tan B = 1；
（2）求证：
.112cos 2cos 2
2
2
2
b
a
b
B a
A -
=
-
（3）求证：a 2－2ac cos(60°+B ) = b 2－2bc cos(60°+ A ). 例2．在ΔABC 中，已知
,tan tan tan tan c
b
a B A B A -=+-求证：B 、A 、C 成A ·P .
例3．在ΔABC 中，A :B :C = 4:2:1，证明.111
c
b
a
=+
例4．在ΔABC 中，三边a 、b 、c 成A ·P ，且.7
42tan
=B 试作一个以2
tan
,2tan C A 为根的一元二次方程.
【基础训练】
1．在ΔABC 中，c 4－2(a 2 + b 2)c 2 + a 4 + a 2b 2 + b 4=0，则∠C =_____________. 2．在ΔABC 中，sin 2A + sin 2B = 5sin 2C ，则角C 的范围是____________.
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3．在ΔABC 中，(a －b )cot =-+-+2
cot )(2cot
)(2
B
a c A c
b
c _____________. 4．在ΔABC 中，C = 60°，求证：.2
cos
2B
A c b a -=+ 5．在ΔABC 中，a 、b 、c 三边成A ·P ，求证：
B ≤60°. 【拓展练习】 1．在ΔAB
C 中
b
a b
a -+等于
（ ）
A ．
)
sin()
sin(B A B A -+
B ．
)
tan()
tan(B A B A -+
C ．
2
sin
2sin
B A B A -+
D ．
2
tan
2tan
B A B A -+ 2．在ΔAB
C 中，AB = c ，AC = b ，∠A =θ，则角平分线AT 的长度等于
（ ）
A ．
2
c
b + B ．
θcos 2c
b bc
+ C ．bc D ．
2
cos 2θ
c b bc + 3．锐角ΔABC 中，sin A 和cos B 的大小关系是
（ ）
A ．sin A = cos B
B ．sin A < cos B
C ．sin A > cos B
D ．不能
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确定
4．直角三角形三边成A ·P ，则它的最小内角是______________.
5．Rt ΔABC 中，a 、b 、c 三边成G ·P ，∠c = 90°，则sin A = _____________. 6．ΔABC 中三边成A ·P ，且最大角为120°，若a > b > c ，则a : b : c =_____________. 7．ΔABC 中，若(sin A + sin B + sin C )(sin A + sin B －sin C ) = 3sin A sin B ，则C =_____________.
8．已知在ΔABC 中，C = 2B ，A ≠B ，求证：C 2 = b (a + b ).
9．在ΔABC 中，已知三边a 、b 、c 三边成G ·P ，求证：cos(A －C )+cos B +cos2B =1.
10．在ΔABC 中，A =60°，求证：
.1=+++b
a c c a b
11．在ΔABC 中，已知cot A ，cot B ，cot C 成A ·P ，求证：a 2，b 2，c 2成AP .
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12．在ΔABC 中，.2sin 2sin 2sin
C A B （1）求2
tan
A ·2
tan C 的值.
（2）求证：a + c = 3b .
13．在ΔABC 中，tan A ，tan B ，tan C 成A ·P ，且f (tan C )=cos2A ，求f (x )的表达式.