基本群

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基本群的计算范文

基本群的计算范文一、基本群的定义二、基本群的计算方法试探法：通过考察空间X中的具体回路，找到它们的同伦变形形式，以及能够将它们变形为单位元的证明。

试探法的核心是通过反证法来寻找错误，即假设一个回路可以通过同伦变形变为单位元，然后根据群的定义给出一个矛盾，从而推理出回路是不可同伦的。

化简法：通过将空间X分解为简单的拓扑空间，然后计算每个子空间的基本群，并通过产品空间的构造来得到整个空间X的基本群。

化简法的思想是将复杂的问题转化为简单的子问题来求解，然后再将这些子问题的解组合成原问题的解。

三、基本群的应用1.拓扑学：基本群是拓扑空间的基本不变量，可以帮助研究拓扑空间的结构和分类。

通过计算基本群，可以判断一个拓扑空间是否同伦等价，从而判定其拓扑性质。

2.脑科学：基本群的计算在脑科学中有重要意义。

通过将大脑的神经网络建模为拓扑空间，可以利用基本群的计算方法来研究神经元之间的连接性，从而揭示大脑功能的内在机制。

3.统计力学：基本群的计算在统计力学中用于研究相变和相变热力学性质。

基于相变系统的拓扑结构，可以通过计算基本群来预测相变的类型和临界指数等物理性质。

4.弦理论：基本群在弦理论中有广泛的应用。

在弦论中，拓扑空间的结构对于弦的物理性质起到重要作用。

通过计算基本群，可以研究弦在不同拓扑空间中的运动和相互作用。

综上所述，基本群的计算是代数学中重要的内容，它不仅在理论上有深厚的数学基础，而且在实际应用中也具有广泛的应用价值。

基本群的计算方法包括试探法和化简法，其中化简法更适用于复杂问题的求解。

基本群的应用涵盖了拓扑学、物理学、脑科学和弦理论等多个领域，为这些学科的研究和发展提供了重要的工具和思路。

基本群

平凡群在数学里，平凡群是指一个只包含单一元素e的群，其群运算只有e + e = e，单位元素平凡是e，且为阿贝尔群；这些结果都是平凡的，因此以此命名。

平凡群通常被写做Z1，或尽标示为0。

不可把平凡群和空集相混淆，空集中没有任何元素，因此缺少一个单位元而无法形成一个群，虽然这两者在其各自的范畴中扮演着极相近的角色。

每一个群都包含着一个平凡群。

直观诠释：二维环面的情形二维环面上由p点出发的环路首先，让我们考虑二维环面（或甜甜圈面）的例子作为热身，固定其上一点。

从此点出发，则可以建构环路（即：从出发的并回到的闭曲线）。

设想环路如橡皮筋可自由变形与拉长，只要起点与终点仍是且环路仍处在环面上即可。

这种变形叫做同伦，若一环路可以从另一环路借此变形而得到，则称两者同伦等价。

我们只探讨环路的同伦类。

二维环面的基本群由环路的同伦类组成。

a与b非同伦等价在上图中，与并非同伦等价：无法连续地从一者变换到另一者而不将环路“扯断”，它们代表基本群中的不同元素。

借着增加环绕圈数，可以获得更多的同伦类。

a、b两条环路的衔接顾名思义，基本群不只是一个集合，它带还有群结构：二元运算由环路的衔接给出，即先走完第一条环路，再走第二条环路，使得两段环路上的速率相同。

基本群中的单位元素由静止在点的环路代表，逆元由环路的逆行代表之，即：若一元素由环路代表，则其逆元由代表，其中。

形式定义设为拓扑空间，为其中定点。

一条连续道路是一个连续映射，而一个以为基点的环路是一条满足的连续道路。

以下若不另外说明，则环路皆以为基点。

对两条环路，如果存在一个连续函数（保持基点的同伦）使得•••则称两者同伦等价。

不难验证此关系确为等价关系。

因此我们可考虑环路对此关系的等价类，以表一环路隶属的等价类，亦称同伦类。

现在定两条环路的衔接为：直观地说，此环路是先走再走，每一段都将速度加倍，以在单位时间内走完全程。

可证明决定于，因此可在环路的同伦类上定义二元运算“*”。

代数拓扑讲义

代数拓扑讲义
以下是一份代数拓扑的讲义提纲，供您参考：
一、绪论
1.代数拓扑的定义和研究对象
2.代数拓扑与其他数学分支的关系
3.代数拓扑的应用和发展历程
二、拓扑空间与基本群
1.拓扑空间的定义和性质
2.连续映射和同胚
3.道路和路径
4.基本群的定义和性质
5.连通性、分离性和紧致性
三、同调论基础
1.同调群的定义和性质
2.闭链、边界和循环
3.同调群的计算和应用
4.同调维数和同调群的关系
5.同调论的基本定理
四、流形与微分形式
1.流形的定义和性质
2.微分形式和外微分
3.Stokes定理和Green定理
4.流形的体积和表面积
5.流形上的积分和流形上的积分公式
五、纤维丛与纤维化
1.纤维丛的定义和性质
2.纤维丛的构造和分类
3.纤维丛的微分形式和积分公式
4.纤维化的定义和性质
5.纤维化的构造和分类
六、代数拓扑中的一些重要问题
1.Poincare猜想和Thurston几何化猜想
2.几何化定理及其应用
3.代数曲线和曲面上的几何结构
4.代数拓扑中的一些未解决的问题。

点集拓扑拓扑不变量_概述说明以及解释

点集拓扑拓扑不变量概述说明以及解释1. 引言1.1 概述本篇文章旨在探讨点集拓扑和拓扑不变量的概念以及它们之间的关系。

点集拓扑是数学中一个重要的分支，它研究空间中点的位置和它们之间的相互关系。

与传统几何学关注形状和尺寸不同，点集拓扑着眼于空间中元素的可连接性和连续性。

同时，我们将介绍拓扑不变量作为一种衡量和描述点集拓扑特征的指标。

拓扑不变量是在进行空间变形或连续映射时保持不变的性质，因此具有在不同空间结构下进行比较和分析的能力。

1.2 文章结构本文共包含五个主要部分。

除了引言部分外，第二部分将系统地介绍点集拓扑的基本概念，包括开集、闭集、邻域等内容，并解释什么是相容映射、彼此映射等定义。

随后我们将详细讨论拓扑不变量，解释其定义以及常见的重要性质。

第三部分将重点介绍点集拓扑在数学、物理学和工程领域中的应用。

我们将阐述不同领域内对点集拓扑的不同需求，并举例说明其中的应用，包括网络连接性、材料科学等。

在第四部分中，我们将进一步解释点集拓扑和拓扑不变量之间的关系。

首先，我们将探讨拓扑不变量在点集拓扑中的作用，以及其如何帮助我们理解和研究空间结构的特征。

然后，我们将介绍如何使用拓扑不变量来解释点集拓扑特征，通过具体案例分析来说明此方法的有效性。

最后，我们将以一个实例来进行网络连通性问题的研究，展示拓扑不变量在实际问题中的应用。

最后, 本文在第五部分中进行总结，并对点集拓扑和拓扑不变量未来发展方向进行展望。

1.3 目的本文旨在为读者提供一个全面而系统的关于点集拓扑和拓扑不变量的概述与说明。

通过阐明这些基本概念和技术，希望读者能够加深对该领域的理解，并对其在实际应用中有更广泛而深入地认识。

同时，对于那些对数学、物理学和工程学领域中点集拓扑的应用有兴趣的读者，本文也能为其提供一些有关研究方向和思路的启发。

2. 点集拓扑和拓扑不变量：2.1 点集拓扑的基本概念：点集拓扑是数学中研究集合上一种特殊结构的分支，它关注的是集合内元素之间的相互关系而不考虑元素具体的度量或形状。

流形的基本群

流形的基本群
流形是最基本的几何形状，它也是数学上最常见的概念之一。

流形上的基本群可以为我们提供有关流形的具体信息，而这些基本群的性质也可以用来解释其他几何形状的特性。

在本文中，我们将讨论流形的基本群，以及它们如何用来描述各种类型的几何形状。

流形的基本群可以用数学上的结构来表示。

它们通常由一系列基本形状，如多边形、网格、三角形、空间曲面等组成，以及一组特定的变换，如旋转、缩放、伸展等组成。

这些基本形状的变换可以构成流形的基本群，这样，我们就可以将流形的构造和表示完全抽象出来。

流形的基本群可以用来描述其他几何形状的特性。

比如，对于一个空间曲面，它的基本群可以用来描述它的曲率、法线、表面积等性质。

这样，我们就可以用基本群来研究各种空间曲面的性质。

同样地，在三维空间中，可以用流形的基本群来描述各种几何形状的特性，这样，我们就可以利用这些基本的群的性质，来研究三维空间中几何形状的相关特性。

流形的基本群还可以用来解决一些特定的几何问题。

例如，在研究三维空间中几何形状的性质时，流形的基本群可以用来解决不同形状之间关系的相关问题，比如空间曲线与四面体之间的关系。

另外，流形的基本群还可以用来解决几何结构上的一些问题，比如在空间曲线上求解最优路径等问题。

流形的基本群不仅可以用来描述和研究几何形状的特性，而且还可以用来解决一些特殊的几何问题。

因此，流形的基本群在几何学中
是一种非常重要的概念，它可以为我们提供更多的信息，从而更好地理解和研究几何形状及其相关问题。

基本群

平凡群通常被写做Z1，或尽标示为0。

不可把平凡群和空集相混淆，空集中没有任何元素，因此缺少一个单位元而无法形成一个群，虽然这两者在其各自的范畴中扮演着极相近的角色。

每一个群都包含着一个平凡群。

直观诠释：二维环面的情形二维环面上由p点出发的环路首先，让我们考虑二维环面（或甜甜圈面）的例子作为热身，固定其上一点。

从此点出发，则可以建构环路（即：从出发的并回到的闭曲线）。

设想环路如橡皮筋可自由变形与拉长，只要起点与终点仍是且环路仍处在环面上即可。

这种变形叫做同伦，若一环路可以从另一环路借此变形而得到，则称两者同伦等价。

我们只探讨环路的同伦类。

二维环面的基本群由环路的同伦类组成。

a与b非同伦等价在上图中，与并非同伦等价：无法连续地从一者变换到另一者而不将环路“扯断”，它们代表基本群中的不同元素。

借着增加环绕圈数，可以获得更多的同伦类。

基本群中的单位元素由静止在点的环路代表，逆元由环路的逆行代表之，即：若一元素由环路代表，则其逆元由代表，其中。

形式定义设为拓扑空间，为其中定点。

一条连续道路是一个连续映射，而一个以为基点的环路是一条满足的连续道路。

以下若不另外说明，则环路皆以为基点。

对两条环路，如果存在一个连续函数（保持基点的同伦）使得•••则称两者同伦等价。

不难验证此关系确为等价关系。

因此我们可考虑环路对此关系的等价类，以表一环路隶属的等价类，亦称同伦类。

现在定两条环路的衔接为：直观地说，此环路是先走再走，每一段都将速度加倍，以在单位时间内走完全程。

可证明决定于，因此可在环路的同伦类上定义二元运算“*”。

拓扑学中的同伦群和基本群

拓扑学是数学的一个分支，研究空间的性质和变形。

其中，同伦群和基本群是拓扑学中重要的概念。

同伦群是指同伦理论中研究的一个群结构，而基本群是同伦群的一种特殊情况。

首先，我们来了解同伦理论。

同伦理论的主要研究对象是空间的连续变形。

在拓扑学中，同伦是指一个空间可以缩成另一个空间。

具体地说，给定一个空间A和B，如果存在一个连续的映射f：[0,1]×A→B，满足以下条件：对于任意的x∈A，有f(0,x)=x，f(1,x)=y，则称A同伦于B。

而同伦群就是研究同伦关系下的群结构。

对于一个空间A，所有与A同伦的空间所构成的集合可以定义为[A]，称为A的同伦类。

同伦类之间满足一些性质，例如传递性、反身性和对称性。

同伦群就是将同伦类作为元素，并定义一种运算，使得同伦类之间满足群的性质。

接下来，我们介绍基本群的概念。

基本群是同伦群的一种特殊情况，用来研究空间的拓扑性质。

基本群是通过定义空间中的闭道路来构建的。

闭道路是一个从起点到终点的回路，即f(0)=f(1)。

基本群是由这些闭道路的同伦类构成的群。

给定一个空间A和一个基点a，我们可以定义以a为起点的所有闭道路的同伦类所构成的集合为π_1(A,a)，称为A在基点a处的基本群。

这个群具有一些重要的性质，例如传递性、反身性和对称性。

基本群可以反映出空间的拓扑性质，例如空间的连通性、形状等。

拓扑学中的同伦群和基本群在数学研究和实际应用中具有广泛的应用。

它们可以用来刻画和分类各种拓扑空间，例如球面、环面等。

同伦群和基本群的理论也为拓扑学的发展做出了重要贡献，推动了数学领域的研究和深化。

总结起来，同伦群和基本群是拓扑学中研究的重要概念。

同伦群通过研究空间的同伦关系，定义了一种群结构。

而基本群是同伦群的一种特殊情况，通过研究空间中的闭道路来构建。

这两个群在研究和应用中具有重要作用，用来研究空间的拓扑性质并分类各类空间。

同伦群和基本群的发展也推动了数学领域的研究和深化。

二维圆盘的基本群

二维圆盘的基本群
二维圆盘的基本群是拓扑学中一个重要的概念。

基本群是研究拓扑空间的代数不变量之一，它描述了空间的连通性以及空间中的回路。

在二维圆盘中，我们可以通过回路的方式来研究空间的性质。

假设我们有一个二维圆盘，可以想象成一个平面上的圆形。

我们可以从圆盘的边界开始，沿着边界画一条闭合的曲线。

这条曲线可以是简单的圆周，也可以是复杂的螺旋线或其他形状。

无论曲线的形状如何，我们都可以通过缩小或拉伸曲线来使其闭合。

这样，我们就得到了一个回路。

基本群的定义是由回路构成的，即所有可能的回路构成了一个集合。

对于二维圆盘来说，基本群的元素就是所有可能的回路。

这些回路可以通过拓扑的变形来相互转化，不同的回路可以等价。

基本群的运算是回路的连接，即将两个回路首尾相连形成一个新的回路。

基本群的重要性在于它可以刻画空间的拓扑性质。

通过基本群，我们可以研究空间的连通性、孔的数量以及空间中的回路的性质。

例如，如果基本群中存在非平凡元素（即不等于单位元的元素），则说明空间中存在非平凡的回路，这意味着空间是不连通的。

通过研究基本群，我们可以更好地理解和描述二维圆盘这一拓扑空间。

基本群提供了一种抽象的方式来刻画空间的性质，使我们能够进行更深入的研究和分析。

通过基本群，我们可以揭示空间的奇异
性质，深入探索空间的结构和特征。

二维圆盘的基本群是研究拓扑空间的重要工具。

基本群由回路构成，描述了二维圆盘中的回路性质和连通性。

通过研究基本群，我们可以更好地理解和描述二维圆盘的拓扑性质，揭示空间的奇异性质，深入探索空间的结构和特征。

[黎曼几何]比较定理的应用（直径估计、基本群）

LECTURE40:APPLICATIONS OF THE VOLUME COMPARISONTHEOREM1.Volume Growth of Geodesic BallsLet(M,g)be a complete Riemannian manifold with Ric≥0.According to Bishop-Gromov volume comparison theorem,Vol(B r(p))≤Vol(B0r)=ωm r m,whereωm is the volume of unit ball in R m with equality holds if and only if(M,g)is isometric with(R m,g0).A natural question is:what is the lower bound of the volume growth?Of course this question is reasonable only for non-compact Riemannian manifolds.Theorem1.1(Calabi-Yau).Let(M,g)be a complete non-compact Riemannian man-ifold with Ric≥0.Then there exists a positive constant c depending only on p and m so thatVol(B r(p))≥crfor any r>2.Proof.(This proof is due to Gromov.)Since M is complete and non-compact,for any p∈M there exists a ray,i.e.a geodesicγ:[0,∞)→M withγ(0)=p such that dist(p,γ(t))=t for all t>0.(See PSet3problem4for more details.) For any t>32,using the Bishop-Gromov volume comparison theorem,we getVol(B t+1(γ(t))) Vol(B t−1(γ(t)))≤ωm(t+1)mωm(t−1)m=(t+1)m(t−1)m.On the other hand,by triangle inequality,B1(p)⊂B t+1(γ(t))\B t−1(γ(t)).It followsVol(B1(p)) Vol(B t−1(γ(t)))≤Vol(B t+1(γ(t))\B t−1(γ(t)))Vol(B t−1(γ(t)))≤(t+1)m−(t−1)m(t−1)m,i.e.Vol(B t−1(γ(t)))≥Vol(B1(p))(t−1)m(t+1)m−(t−1)m≥C(m)Vol(B1(p))t,wehre C(m)is the inﬁmum of the function1t(t−1)m(t+1)m−(t−1)mon[32,∞),which is positive.Now the theorem follows from the factB r(p)⊃B r+12−1(γ(r+12)).12LECTURE40:APPLICATIONS OF THE VOLUME COMPARISON THEOREM2.Cheng’s Maximal Diameter TheoremAs a second application of volume comparison theorem,we will proveTheorem2.1(S.Y.Cheng).Let(M,g)be a complete Riemanniian manifold withRic≥(n−1)k for some k>0,and diam(M,g)=π√k ,then M is isometric to thestandard sphere of radius1√k.Proof.(This proof is due to Shiohama)For simplicity we may assume k=1.By Bishop-Gromov volume comparison theorem,for any p∈M,Vol(Bπ/2(p)) Vol(M)=Vol(Bπ/2(p))Vol(Bπ(p))≥Vol(B1π/2)Vol(B1π)=12.Now let p,q∈M so that dist(p,q)=π.The the above inequality impliesVol(Bπ/2(p))≥12Vol(M),Vol(Bπ/2(q))≥12Vol(M).Since Bπ/2(p)∩Bπ/2(q)=∅,we must haveVol(Bπ/2(p)) Vol(Bπ(p))=Vol(B1π/2)Vol(B1π)=12,Vol(Bπ/2(q))Vol(Bπ(q))=Vol(B1π/2)Vol(B1π)=12.According to Bishop-Gromov comparison theorem,Bπ/2(p)and Bπ/2(q)are both iso-metric to half sphere.It follows that M is isometric to S m.3.Fundamental Group and Milnor’s ConjectureLet’s start with some abstract deﬁnitions in algebra.Let G be a group.G is said to beﬁnitely generated if there exists aﬁnite subsetΓ={g1,···,g N}of G so that any element in G can be represented as group multiplications of elements inΓ.Note that if the group identity element e is inΓ,we can always remove it.Now let’sﬁx a setΓof generators of G.The growth function of G with respect toΓis deﬁned to be the number of group elements that can be represented as a product of at most k generators,i.e.NΓG (k)=#{g∈G|∃l≤k and g i1,···,g il∈Γs.t.g=g i1···g il}.We say that G is of(at most)polynomial growth if NΓG (k)≤ck n for some constant cdepending only on G,Γ,and similarly G is of(at least)exponential growth if NΓG (k)≥ce k.Note that ifΓ is anotherﬁnite set of generators,then there exists integers c1,c2 so that any element ofΓcan be represented via at most c1elements ofΓ ,and any element ofΓ can be represented via at most c2elements ofΓ.It follows thatNΓG (k)≥NΓG(c1k),NΓG(k)≥NΓG(c2k).So the conception of polynomial/exponential growth is independent of the choice of the generating set.LECTURE40:APPLICATIONS OF THE VOLUME COMPARISON THEOREM3Coming back to Riemannian manifolds.If(M,g)is a compact Riemannian man-ifold,and M its universal covering endowed with pull-back metric.Then the funda-mental groupπ1(M)acts isometrically on M as the group of deck transformations.If M is compact,the following results are well-known:•π1(M)isﬁnitely generated.•(Gromov)If K≥0,then the set of generates can be choose to be no more than c(m)for some constant c depending only on m.A similar results holds for manifolds with K≥−k2and diam(M,g)≤D.(The proof uses Toporogov comparison theorem.)•(Milnor)If Ric≥0,then NΓ(k)≤ck m;if K<0,then NΓ(k)≥ce k.(The proof uses volume comparison theorem.See the following theorem for theﬁrst part.)For non-compact Riemannian manifolds,the fundamental group might be not ﬁnitely generated in general.However,we haveTheorem3.1(Milnor).Let M be a complete Riemannian manifold with Ric≥0 and let G⊂π1(M)be anyﬁnitely generated subgroup.Then there exists a constant c depending only on M and the choseﬁnite generating setΓof G so that NΓ(k)≤ck m. Proof.LetΓbe aﬁnite set of generators of G.Fix a point˜p∈ M and letl=max{dist(˜p,g i˜p)|g i∈Γ}.Then by triangle inequality,for any g=g i1···g ik∈Γk⊂G,dist(˜p,g˜p)≤kl.One theother hand side,we can pickε=13min{dist(˜p,g˜p)|e=g∈G}>0so that the balls Bε(g˜p)are all disjoint for g∈G.It followsB kl+ε(˜p)⊃∪g∈Γk Bε(g˜p)and thusVol(B kl+ε(˜p))≥NΓGVol(Bε(p)). Applying the Bishop-Gromov’s volume comparison theorem,we getNΓG ≤Vol(B kl+ε(˜p))Vol(Bε(p))≤(kl+ε)mεm≤ck m.We end this course by stating the following major conjecture in this subject: Conjecture3.2(Milnor).Let M be a complete Riemannian manifold with Ric≥0, thenπ1(M)isﬁnitely generated.。

基本群在拓扑学中的作用

基本群在拓扑学中的作用1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下几个方面进行阐述：第一，引入基本群的概念。

基本群是拓扑学中的一个重要概念，它是研究拓扑空间性质的有力工具之一。

通过基本群，我们可以刻画拓扑空间的同伦性质，进而研究其拓扑分类。

基本群的定义和性质可以为后续的内容提供基础。

第二，强调基本群在拓扑学中的广泛应用。

基本群在拓扑空间分类中扮演着重要的角色。

通过基本群，我们可以判断两个拓扑空间是否同伦等价，进而将拓扑空间分类为同伦类型。

基本群还可以用于研究拓扑空间的性质，比如拓扑空间的连通性、紧致性等。

第三，介绍本文的结构和内容安排。

本文将在引言之后分为正文和结论两个部分。

正文部分将详细介绍基本群的定义与性质，以及基本群在拓扑空间分类中的应用。

结论部分将总结基本群的重要性，并指出未来的研究方向。

通过以上概述，读者可以初步了解基本群在拓扑学中的作用，以及本文的主要内容和结构安排。

接下来的正文将详细展开基本群的定义与性质，以及其在拓扑空间分类中的应用，进一步深入探究基本群在拓扑学中的重要性。

文章结构部分的内容应包括对整篇文章的组织和章节安排的介绍。

以下是文章1.2文章结构部分的内容示例：1.2 文章结构本篇长文主要讨论基本群在拓扑学中的作用。

为了清晰地呈现相关的概念和断言，本文将按照以下章节进行阐述：第2节将介绍基本群的定义与性质。

我们将首先给出基本群的定义，并详细讨论其所具有的一些基本性质。

这一节将为后续章节的内容打下坚实基础。

第3节将探讨基本群在拓扑空间分类中的应用。

我们将重点介绍基本群在拓扑空间同胚分类中的作用，以及如何通过基本群来刻画拓扑空间的性质。

我们将以一些具体的例子和应用来说明基本群在拓扑学中的重要性。

最后，第4节将对基本群的重要性进行总结。

我们将回顾本文所介绍的基本群的定义、性质以及在拓扑学中的应用，并强调其在拓扑空间研究中的重要作用。

此外，我们还将展望未来研究的方向，探讨一些可能的发展方向以及对基本群进一步研究的期望。

拓扑群的基本群

拓扑群的基本群拓扑群是拓扑空间和群的结合，它是一种具有特定性质的数学结构。

在拓扑群中，我们可以定义一种重要的概念，即基本群。

基本群是拓扑群中的一种代数不变量，它能够描述拓扑空间中的连通性。

为了理解基本群的概念，我们首先需要了解一些基本的拓扑群的定义和性质。

拓扑群是指既是群又是拓扑空间的集合，其中群运算和拓扑结构相容。

也就是说，群运算在拓扑空间中是连续的。

这样的结构使得我们能够在拓扑空间中进行群运算，并且保持拓扑性质。

基本群的定义是建立在拓扑群的基础上的。

给定一个拓扑空间X和一个点x0∈X，我们可以定义一个以x0为基点的回路类的集合，记作π1(X,x0)。

这个集合中的元素是由起点和终点都是x0的回路所构成的等价类。

这里的等价关系是通过回路的连续变形来定义的。

换句话说，两个回路是等价的，当且仅当它们可以通过连续变形相互转化。

基本群的运算是通过回路的连接来定义的。

给定两个回路类[a]和[b]，我们可以将它们连接起来得到一个新的回路类[a][b]。

这个运算满足结合律和单位元的性质，从而构成了一个群。

这个群就是拓扑空间X的基本群，记作π1(X,x0)。

基本群是拓扑空间的一个重要性质，它可以用来刻画拓扑空间的拓扑性质。

例如，如果两个拓扑空间的基本群是同构的，那么它们在拓扑上是等价的。

基本群还可以用来研究拓扑空间的连通性。

如果一个拓扑空间的基本群是平凡群，即只包含一个元素的群，那么这个空间是连通的。

反之，如果一个拓扑空间的基本群是非平凡群，那么这个空间是不连通的。

基本群的计算可以通过一些具体的拓扑空间的性质来简化。

例如，对于n维球面Sn，其基本群是整数环Z。

这个结果是由于球面上的回路可以通过连续变形来缩成一个点，从而等价于整数上的加法运算。

类似地，对于n维环面Tn，其基本群是n维整数环Z^n。

这个结果是由于环面上的回路可以通过连续变形来缩成一个点，并且可以通过整数向量来表示回路的位置。

除了球面和环面，还有许多其他的拓扑空间，它们的基本群可以是各种各样的群结构。

拓扑学中的同伦群与基本群

拓扑学中的同伦群与基本群拓扑学是数学中研究空间的一个分支，同伦群和基本群是拓扑学中重要的概念。

它们通过研究空间的连续变形和连通性，帮助我们了解空间的性质和结构。

本文将简要介绍同伦群和基本群的概念及其在拓扑学中的应用。

一、同伦群（Homotopy Group）同伦群是研究拓扑空间中的连续变形的代数性质。

在拓扑学中，同伦是指通过连续变形将一个空间变形为另一个空间的过程。

同伦群描述了这种连续变形的所有可能。

根据同伦理论，我们可以将一个空间中的每个点看作连续的函数，而同伦则是函数之间的连续变形。

同伦群通过对这些函数进行代数运算（如乘法和逆运算），构成了一种代数结构。

它可以帮助我们判断两个空间是否同伦等价，从而研究它们的性质和分类。

二、基本群（Fundamental Group）基本群是研究拓扑空间中的连通性的代数性质。

在拓扑学中，连通性是指空间中的任意两点都可以通过连续路径相连。

基本群描述了空间中的闭合路径的所有可能。

根据基本群的定义，我们可以将闭合路径看作连续的环路，并将两个环路视为等价的，如果它们可以通过连续变形相互转化。

基本群通过对这些环路进行代数运算（如乘法和逆运算），构成了一种代数结构。

它可以帮助我们判断空间的连通性和同伦等价，从而研究空间的拓扑性质和分类。

三、同伦群与基本群的关系同伦群和基本群是拓扑学中密切相关的两个概念，它们之间存在着紧密的联系。

首先，同伦群是基本群的一种特殊情况。

对于一个空间，如果它是连通的且具有一个基点，那么它的基本群就是同伦群。

同伦群是基本群的第一同伦群，常用符号为π₁(X)，其中X表示拓扑空间。

其次，同伦群可以通过基本群来计算。

给定一个连通的拓扑空间，我们可以选取一个基点，并以此为起点构造所有的闭合路径。

这些闭合路径构成了拓扑空间的基本群。

通过对这些闭合路径进行同伦变形，我们可以确定同伦群的结构。

最后，同伦群和基本群都可以帮助我们研究拓扑空间的性质。

通过计算同伦群和基本群，我们可以判断两个空间之间的同伦等价关系，以及它们的拓扑结构是否相同。

拓扑学——基本群

现在来讨论先沿h1后沿h2而得到的道路，这个道路记作h1h2,并叫做道路h1 和h2的乘积。因为在通过一条道路后得到的函数f(x) 的值在这条道路的同伦下不改变，所以我们可以不区分同伦的道路。换句话说，需要考虑的不是道路（以点x0为起点和终点）本身，而是道路类，在同一类里包含全体彼此通伦的道路.

谢谢！
何成立? 如h是属于类a的任何道路，而q 是可以收缩成点的道路，则qh~h 且hq~h（如图）.所以，当用记号 1表示可收缩成点的所有道路的类时，我们得出 1a=a,a1=a 对任何类a∈ （X）成立，即类 1对于在（X）里所做的乘法是单位元素。

其次，如果a是某个类且h是它的代表，则我们用h¹ 表示向相反方向通过的道路 h（如图.于是道路hh¹ h都可以收缩和h¹ 成点）.所以,当用a¹ 表示道路h¹ 所属的类时，我们得出aa¹ =1,a¹ a=1,即在（X）中对每个元素a都存在逆元素。容易证明（X）中的乘法是结合的。因此，集合（X）是群。它叫做图形 X（在点x0处作出）的基本群。
同伦于道路h的全体道路类记作[h],而所有这些类的集合则记作（x).这些类可以相乘，于是包含道路hk的类叫做所取得两个类的乘积： [h]x [k]= [hk]
同伦道路类和这些类的乘积可以对任意图形X讨论。在X内只讨论这样的道路，它以固定点 x0∈X作为起点和终点。任何两个这种道路都能相乘。我们只讨论道路类，在同一类里包含着所有彼此同伦的道路。如果a是一个类，且h是属于这个类里的一条道路，则就说h是类a的代表,且写成a= [h].全体类的集合记作（X)。
类的乘法像上一节规定的那样：如果a和b是两个道路类（都以点x0 作为起点和终点),而h和k是它们的代表即 a= [h] b= [k] 则以道路hk为代表的类就叫做类a和 b的乘积，即 ab= [hk]

群在拓扑学中的应用——运用基本群解决二维环面T^2与球面S^2不同胚问题

映射ｆ．ｘ—Ｙ在每个Ａ上的限制都是连续的，则ｆ是连续映射。ｘ的道路类。ｘ的所有道路类的集合记作［ｘ］，一条道路Ⅱ 所在定义１；如果ｆ：ｘ—Ｙ是一一对应，并且ｆ及其逆ｆ：Ｙ一的道路类记作＜ａ＞，称ｄ的起点和终点分别为＜ｄ＞的起点和
设Ｘ和Ｙ都是拓扑空间，记Ｃ（Ｘ，Ｙ）是Ｘ到Ｙ的所有连续映射集合。定义６：设￡ｇ ∈（Ｘ，Ｙ）如果有连续映射Ｈ：ｘ× Ｉ — Ｙ，使得 ∈Ｘ，Ｈ（ｘ，ｏ）：ｆ（ｘ），Ｈ（ｘ，１）：ｇ（ｘ），则称ｆ与ｇ同伦，记作ｆ？ｇ：Ｘ～Ｙ称Ｈ是连接，ｆ和ｇ的一个同伦，记作Ｈ：ｉｇｆ（或者Ｄ。（１）如果ａ．ｂ，则ｆｏａ；ｆｏｂ；（２）如果ａ与ｂ也可乘，则ｆ０ａ与）ｂ并且（ｆｏａ）（ｆｏｂ）＝ｆｏ（ａｂ）；（３）Ｉｂａ＝ｔＯ￣。命题１１：道路类乘法有结合律。命题１２：设道路类ａ的起终点分别是ｘ０和Ｘ ”记ｅｘ。和ｅｘ
定为（ｔ）＝ Ⅱ （１－ｔ足（１）＝
Ｈｔ（ｉ，ｔ）＝Ｈ（１一ｉ，ｔ）＝ａ（ｉ－ｔ）－ｂ（ｉ＿ｔ）（ｉ）（ｉ），（ｉ）＝１从而－．ｂ。
２基本群有了道路及其运算（逆和乘积），我们可以开始建立基本群，但道路不能直接当作元素来建立群。有两个问题：一是道

基本群

同伦和基本群在上一次中，我们利用空间的连通性给出了一个拓扑不变量，他可以区分一些简单的空间，但是要想区分更多的空间，需要引入更精细的不变量！几个概念：1。

道路连通：拓扑空间X中的一条道路是指一个连续映射r:I->X,（X=[0,1]），点r (0),r(1)分别叫做道路的起点和终点。

若X中的任何两点均有道路连接，则称该空间X为道路连通的。

若一条道路的起点和终点重合，则称该道路为环道。

2。

同伦：设f,g:X->Y为连续映射，若存在连续映射F:X*I->Y,使得F(x,0)=f(x),F(x,1)=g(x),则称f和g是同伦的；如果还有F(a,t)=f(a)=g(a),则称f和g相对于a同伦。

例：1）若f(x),g(x)：X->Sn,且对任意的x,f(x)和g(x)不相等，则f(x)和g(x)是同伦的。

可构造：F(x,t)=(tf(x)+(1-t)g(x))/||(tf(x)+(1-t)g(x))||；2）在凸集中，任何一个连续映射和恒等映射是同伦的；可构造：F(x,t)=tf(x)+(1-t)g(x)；3）在凸集中，任何一条以a为基点的环道和一点独点映射a同伦；3。

空间的同伦两个空间X和Y称为是同伦等价的，如果存在一个映射f：X->Y，和g：Y->X，使得fg与IdY同伦，gf与IdX同伦，IdX表示X的恒等映射；如：圆环和圆周就是同伦等价的；注意：空间的同伦等价比同胚等价更弱一些，若X与Y同胚，则一定同伦等价，因为存在f：X->Y，且f存在反函数g,从而fg=IdY,gf=IdX。

但同伦推不出同胚，如上例。

在我们建立基本群时，我们将拓扑空间限制在道路连通空间上。

在道路连通空间X中，任去一个点a，把过点a的所有以a为基点的环道做成一个集合，我们对这个集合定义一个关系：r1与r2等价，当且仅当r1与r2同伦。

可以验证这个关系是一个等价关系，从而可以给出该集合的一个划分。

基本群的研究

目录1引言 .......................................................................................................... 1 2基本群的相关概念与定理 (1)2.1 定义 (1)2.2 定理与命题........................................................................................................................ 2 3同伦与基本群 .. (3)3.1 映射的同伦 (3)3.2 构造基本群........................................................................................................................ 6 4基本群的计算 . (12)4.1 1S 的基本群 (12)4.2 2 n 时，n S 单连通 (16)4.3 2T 的基本群 (17)4.4 连通图的基本群 (18)4.5 van-Kampn 定理 .......................................................................................................... 18 5结论 ......................................................................................................... 21 6结束语..................................................................................................... 21 参考文献 ................................................................................................... 22 致谢 (23)基本群的研究摘要:基本群是代数拓扑学的基本概念，由它可以决定一些拓扑空间的拓扑结构，然而基本群的计算比较困难。

曲面的基本群 (火烧法)

曲面的基本群(火烧法)
曲面的基本群是描述曲面具有的拓扑性质的一个很重要的工具。

其中火烧法是一种用来计算曲面基本群的方法，也称为群演化法。

火烧法的基本思想是，将曲面上的路径转化为一组关于火源周围点的循环群生成元，即可以看做是将路径连续移变形成与原路径等价的新路径。

通过在曲面上点燃一个火源，使火源在曲面上燃烧，再观察被烧过和没被烧过的部分，就可以得到曲面的基本群。

简要来说，进行火烧法的步骤如下：
1. 在曲面上选择一个点作为火源；
2. 选择一条起点和终点都在该点的路径，沿路径旋转曲面，使路径与火源形成的圆周平行；
3. 沿着路径将曲面分为被烧过和没被烧过两部分；
4. 用路径围成的部分构建一个生成元；
5. 重复步骤2-4 直到所有的路径都被处理完毕；
6. 将所有的生成元合并即可得到曲面的基本群。

通过火烧法计算基本群可以更直观地了解曲面的拓扑结构。

然而，对于复杂的曲面或高维拓扑空间，火烧法的使用可能会比较困难和繁琐。

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同伦和基本群
在上一次中，我们利用空间的连通性给出了一个拓扑不变量，他可以区分一些简单的空间，但是要想区分更多的空间，需要引入更精细的不变量！
几个概念：
1。

道路连通：拓扑空间X中的一条道路是指一个连续映射r:I->X,（X=[0,1]），点r (0),r(1)分别叫做道路的起点和终点。

若X中的任何两点均有道路连接，则称该空间X为道路连通的。

若一条道路的起点和终点重合，则称该道路为环道。

2。

同伦：设f,g:X->Y为连续映射，若存在连续映射F:X*I->Y,使得F(x,0)=f(x),
F(x,1)=g(x),则称f和g是同伦的；如果还有F(a,t)=f(a)=g(a),则称f和g相对于a同伦。

例：
1）若f(x),g(x)：X->Sn,且对任意的x,f(x)和g(x)不相等，则f(x)和g(x)是同伦的。

可构造：F(x,t)=(tf(x)+(1-t)g(x))/||(tf(x)+(1-t)g(x))||；
2）在凸集中，任何一个连续映射和恒等映射是同伦的；
可构造：F(x,t)=tf(x)+(1-t)g(x)；
3）在凸集中，任何一条以a为基点的环道和一点独点映射a同伦；
3。

空间的同伦
两个空间X和Y称为是同伦等价的，如果存在一个映射f：X->Y，和g：Y->X，使得fg与IdY同伦，gf与IdX同伦，IdX表示X的恒等映射；
如：圆环和圆周就是同伦等价的；
注意：空间的同伦等价比同胚等价更弱一些，若X与Y同胚，则一定同伦等价，
因为存在f：X->Y，且f存在反函数g,从而fg=IdY,gf=IdX。

但同伦推不出同胚，
如上例。

在我们建立基本群时，我们将拓扑空间限制在道路连通空间上。

在道路连通空间X中，任去一个点a，把过点a的所有以a为基点的环道做成一个集合，我们对这个集合定义一个关系：
r1与r2等价，当且仅当r1与r2同伦。

可以验证这个关系是一个等价关系，从而可以给出该集合的一个划分。

设B是由
所有的等价类构成的集合，在该集合上定义乘法为：[r1]*[r2]=[r1*r2]。

则可以证明
给集合对于这个运算具有群的结构，成为X在点a的基本群，记为Pi[X,a]。

例：
若X为圆盘，任取a属于X,则对于X中的任何以a为基点的环道r，由上面的3）知r与a同伦，从而，B中只含有一个等价类，从而Pi[X,a]={e}；
定理：若X为道路连通，则对于任何两点p,q,有Pi[X,p]=Pi[X,q]。

该定理表明道路连通空间的基本群和基点的选择无关。

对于一般的拓扑空间X，基本群的计算是个很复杂的问题，可以使用棱到群或群在拓扑空间上的作用等来计算。

下面，我列举了几种空间的基本群：
空间X 基本群
凸图形{e}
S1 Z
Sn(n>1) {e}
环面Z*Z
射影平面Z2
定理：若两个（道路连通的）空间X和Y同伦，则Pi[X,p]=Pi[Y,q]。

该定理说明，基本群是空间的同伦不变量。

由于圆环和圆周是同伦的，
从而他们具有相同的基本群Z。

又由我们前面的讨论知道，同伦不变量是更强的不变量，从而也一定是
同胚不变量。

根据这点，我们可以区分一些连通性不能区分的拓扑空间。

从上面的计算，我们知道圆盘和圆环的基本群分别是{e}和Z,从而圆盘和
圆环是不同胚的。

例：利用基本群区分空间R2和R3。

因为R2去掉一点后与圆环具有相同的基本群，而R3去掉一点后的基本群
是{e}。

从而可以肯定R2和R3不同胚。

有了基本群后，我们可以区分很多空间。

但进一步的学习发现，基本群只
和空间的二维构架有关，而与三维构架无关。

所以，利用基本群我们可以区分
S1和S2(R2与R3),但是对于S2与S3(R3与R4)则无能为力。

要想区分他们，必须
进一步的不变量：同调群。

一条曲线固定端点后形变为另外的线段，我们称这两条曲线同伦。

数学上用映射的方式定义同伦，此时的映射称为同伦或者伦移，同伦对应了一个单参数连续映射族。

我们先从直观上绕过这个映射，因为对于基本群（一阶同伦群）的讨论，并不是一定要用映射，如果不考虑绝对严格性的话。

一个空间如果与独点空间同伦，即说其是可压缩的，显然，R^n中任意凸子集都是可压缩的，直观上说，可以收缩为一点的空间，就是可压缩的。

圆周乃至n维球面S^n都是不可压缩的。

我们进一步考虑同伦，如果曲线两端是同一点，即曲线为闭曲线，此时闭曲线的连续变化，所有可以建立同伦等价的闭曲线形成一个同伦等价类，这个点我们称为“基点”。

一个单连通空间中，任意点为基点，形成的简单闭曲线总是同伦的，于是同伦等价类中只有一个元素。

绕这个基点转一圈（所有可以建立同伦的圈都视为一个等价类，“等同”一个圈）作为一个群元，逆着转一圈作为这个群元的逆元，不动，就是单位元，于是就形成一个群，这个群被称为基本群，也被称为“Poincare群”，但是现在大多数文献用前一个名称，而“Poincare群”被用来命名量子场论和相对论中的非其次Lorentz群。

基本群在拓扑学中有基础重要性。

基本群不以来与基点的选取。

单连通空间的基本群为平凡群（零元群），事实上拓扑学上用基本群平凡来定义单连通：基本群平凡的道路连通空间为单连通空间。

由于可压缩空间的基本群与独点空间一样为平凡群，于是可压缩空间为单连通空间。

利用覆盖映射的相关技巧，可以证明圆周的基本群是无限循环群Z，射影平面基本群为二阶群Z_2。

n维球面S^n的基本群是平凡群，最简单的例子是S^2上任意点为基点的任意闭曲线都是同伦（闭路同伦）的。

但是S^2本身非零伦，因为S^2无法压缩到一点。

我以前之考虑了R^n中的局部曲面，于是在这方面出现了失误。

的确，局部曲面只要单连通就自然可以收缩到一点，也就使零伦的。

这一点感谢道法自然兄指出，只是开始时我还以为他说的是基本群与单连通的关系出现问题，所以我驴唇不对马嘴地解释了半天才发现自己的疏漏。

实际上，很多书上对单连通空间的基本群的描述是不严谨的。

例如，说球面上的闭曲线可以收缩为一个点。

我们知道，闭曲线无法收缩为点，而我当时最要命的是把这种直观上的收缩为一点和零伦混淆了，于是就以为球面上的闭曲线零伦，直接导致了我在解释
问题时的不断失误。

所以道法自然兄说“球面虽然单连通但是非零伦”，我却把他的话理解成“球面上闭曲线非零伦”（当然这是事实），于是就要说明球面上曲线零伦即可收缩为点（实际上是错误的）。

这反映出我过去学习的一个致命伤：不求甚解。

很多东西，我都是学到大概了解后，就直接往前，这样常常埋下重大隐患。

非常感谢道法自然兄给我上了一课。

现在回到基本群的讨论，由于拓扑空间与其形变收缩核有相同伦型，穿孔平面（平面挖去一个点，不失一般性，挖去原点）以圆周为形变收缩核，因此基本群与圆周一样为无限循环群Z，穿孔R^n（n大于等于3）为道路连通空间，且以S^（n-1）为形变收缩核（因此基本群平凡），因此为单连通空间。

两个拓扑空间的积的基本群等于原来个空间的基本群之积。

例如，圆柱面的基本群就是圆周的基本群Z与线段的基本群{0}的直积。

二维环面为圆周与圆周的直积，因此基本群为Z*Z。

一个空间如果挖掉两个点，那么绕这两个点的先后不同，就导致不同结果，于是这个空间的基本群就不是Abel群，这样的空间以“8”字空间为形变收缩核，所以也可以得出“8”字空间基本群为非Abel群。

双环面就是以“8”字空间为形变收缩核，因此其基本群为非Abel 群。

于是，射影平面，二维球面，环面与双环面不同胚。