2015高考数学一轮复习单元检测：集合、函数(北师大版必修一)

2015高考数学一轮复习单元检测：集合、函数
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合M＝{x|－2<x<3}，则下列结论正确的是( )
A．2.5∈M B．0⊆M
C．∅∈M D．集合M是有限集
[答案] A
[解析] 因为－2<2.5<3，所以2.5是集合M中的元素，即2.5∈M.
2．(2014·山东文，2)设集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|1≤x≤4}，则A∩B＝( ) A．(0,2] B．(1,2)
C．[1,2) D．(1,4)
[答案] C
[解析] A＝{x|x2－2x<0}＝{x|0<x<2}，B＝{x|1≤x≤4}，
∴A∩B＝{x|1≤x≤2}，故选C.
3．下面四个结论：①偶函数的图像一定与y轴相交；②奇函数的图像一定经过原点；
③偶函数的图像关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A
[解析] 偶函数的图像关于y轴对称，但不一定与y轴相交．反例：y＝x0，故①错误，③正确．
奇函数的图像关于原点对称，但不一定经过原点．
反例：y＝x－1，故②错误．
若y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，
由定义可得f(x)＝0，但未必x∈R.
反例：f(x)＝1－x2＋x2－1，其定义域为{－1,1}，故④错误．∴选A.
4．已知函数f (x )＝1＋x
2
1－x 2，则( )
A ．f (x )是奇函数且f (1
x )＝－f (x )
B ．f (x )是奇函数且f (1
x )＝f (x ) C ．f (x )是偶函数且f (1
x )＝－f (x ) D ．f (x )是偶函数且f (1
x
)＝f (x ) [答案] C
[解析] f (－x )＝
1＋－x
2
1－－x 2＝1＋x 2
1－x
2＝f (x )， 又f (1
x )＝
1＋
1x 2
1－
1
x
2
＝－(1＋x 2
1－x 2)＝－f (x )．故选C.
5．f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
－1，|x |≥1，1－x 2
，|x |<1，
f (
3
3
)的值为( ) A ．－23
B ．13 C.23 D ．43
[答案] C [解析] ∵|33
|<1，则应代入f (x )＝1－x 2
， 即f (
33)＝1－13＝23
. 6．若f [g (x )]＝6x ＋3，且g (x )＝2x ＋1，则f (x )＝( ) A ．3 B ．3x C ．6x ＋3 D ．6x ＋1
[答案] B
[解析] 由f [g (x )]＝f (2x ＋1)＝6x ＋3＝3(2x ＋1)，知f (x )＝3x .
7．(2013·浙江高考)设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2
＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( )
A ．(－2,1]
B ．(－∞，－4]
C ．(－∞，1]
D ．[1，＋∞)
[答案] C
[解析] 本题考查集合的运算，由条件易知∁R S ＝{x |x ≤－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，所以∁R S ∪T ＝{x |x ≤1}．
8．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f x x －1
的定义域是( )
A ．[0,1)
B ．[0,1]
C ．[0,1)∪(1,4]
D ．(0,1)
[答案] A
[解析] 由题意知：⎩
⎪⎨
⎪⎧
0≤2x ≤2
x ≠1∴0≤x <1，
故函数定义域为[0,1)．
9．已知定义在R 上的奇函数f (x )，在[0，＋∞)上单调递减，且f (2－a )＋f (1－a )<0，则实数a 的取值范围是( )
A ．(3
2，2]
B ．(3
2，＋∞)
C ．[1，3
2)
D ．(－∞，3
2
)
[答案] D
[解析] ∵f (x )在[0，＋∞)单调递减且f (x )为奇函数，
∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，从而f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，∴f (2－a )<f (a －1)，
∴2－a >a －1，∴a <3
2
，故选D.
10．如果奇函数y ＝f (x )(x ≠0)在x ∈(0，＋∞)上，满足f (x )＝x －1，那么使f (x －1)<0成立的x 的取值范围是( )
A ．x <0
B ．1<x <2
C ．x <2且x ≠0
D ．x <0或1<x <2
[答案] D
[解析] x <0时，－x >0.由题设f (－x )＝－x －1. 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝x ＋1.∴函数y ＝f (x )的解析式为
f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋1 x x －1
x
，
∴不等式f (x －1)<0化为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －1<0
x <0，
或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －1>0x －2<0.
∴x <0或1<x <2.
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)
11．若⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫
x ，y
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝1x －y －3＝0⊆{(x ，y )|y ＝ax 2＋1}，则a ＝________. [答案] －1
2
[解析] 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝1
x －y －3＝0得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2
y ＝－1，
由题意知，－1＝4a ＋1， ∴a ＝－1
2
.
12．已知f (x )为偶函数，则f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＋1 －1≤x ≤0， 0≤x ≤1.
[答案] 1－x
[解析] 当x ∈[0,1]时，－x ∈[－1,0]，
f (－x )＝－x ＋1，又f (x )为偶函数，
∴f (x )＝f (－x )＝1－x .
13．若已知A ∩{－1,0,1}＝{0,1}，且A ∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}，则满足上述条件的集合A 共有________个．
[答案] 4
[解析] ∵A ∩{－1,0,1}＝{0,1}， ∴0,1∈A 且－1∉A .
又∵A ∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}， ∴1∈A 且至多－2,0,2∈A . 故0,1∈A 且至多－2,2∈A .
∴满足条件的A 只能为：{0,1}，{0,1,2}，{0,1，－2}，{0,1，－2,2}，共有4个． 14．函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A ，且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数，下列命题：
①函数f (x )＝x 2
(x ∈R )是单函数；
②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原像；
④函数f (x )在某区间上具有单调性，则f (x )一定是单函数． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号) [答案] ②③
[解析] 当f (x )＝x 2
时，不妨设f (x 1)＝f (x 2)＝4，有x 1＝2，x 2＝－2，此时x 1≠x 2，故①不正确；由f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2可知，当x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)，故②正确；若b ∈B ，b 有两个原像时，不妨设为a 1，a 2，可知a 1≠a 2，但f (a 1)＝f (a 2)，与题中条件矛盾，故③正确；函数f (x )在某区间上具有单调性时在整定义域上不一定单调，因而f (x )不一定是单函数，故④不正确．故答案为②③.
15．函数f (x )对任意正整数a ，b 满足条件f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，且f (1)＝2，则f
f
＋
f f
＋
f f
＋…＋
f f
的值是________．
[答案] 2016
[解析] ∵函数f (x )对任意正整数a ，b 都满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )， ∴令a ＝n ，b ＝1(n ∈N ＋)，得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)， 即
f n ＋f n
＝f (1)．由n 的任意性得 f f
＝
f f
＝
f f
＝…＝
f f ＝f (1)． 故
f f ＋
f f ＋
f f
＋…＋
f f
＝1008f (1)＝1008×2＝2016.
三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)设全集为R ，集合A ＝{x |3≤x <6}，B ＝{x |2<x <9}． (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；
(2)已知C ＝{x |a <x <a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 取值构成的集合． [解析] (1)A ∩B ＝{x |3≤x <6}． ∵∁R B ＝{x |x ≤2，或x ≥9}，
∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或3≤x <6，或x ≥9}． (2)∵C ⊆B ，如图所示：
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ≥2a ＋1≤9，解得2≤a ≤8，
∴所求集合为{a |2≤a ≤8}．
17．(本小题满分12分)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；
(2)当x ∈[－1,1]时，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． [解析] (1)设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c ， 则f (x ＋1)＝a (x ＋1)2
＋b (x ＋1)＋c .
从而，f (x ＋1)－f (x )＝[a (x ＋1)2
＋b (x ＋1)＋c ]－(ax 2
＋bx ＋c )＝2ax ＋a ＋b ， 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
2a ＝2，a ＋b ＝0⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝－1
又f (0)＝c ＝1，∴f (x )＝x 2
－x ＋1. (2)由(1)及f (x )>2x ＋m ⇒m <x 2
－3x ＋1，
令g (x )＝x 2
－3x ＋1，x ∈[－1,1]，则当x ∈[－1,1]时，g (x )＝x 2
－3x ＋1为减函数， ∴当x ＝1时，g (x )min ＝g (1)＝－1，从而要使不等式m <x 2
－3x ＋1恒成立，则m <－1. 18．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x ∈R |x 2
＋(p ＋2)x ＋1＝0}，若A ∩R ＋＝∅，求实数p 的取值范围．(其中R ＋＝{x ∈R |x >0})．
[解析] ∵A ∩R ＋＝∅，R ＋＝{x ∈R |x >0}，A ＝{x ∈R |x 2
＋(p ＋2)x ＋1＝0}， ∴方程x 2
＋(p ＋2)x ＋1＝0没有正实数根，
∴Δ＝(p ＋2)2
－4<0或⎩⎪⎨
⎪⎧
Δ＝p ＋
2
－4≥0
－p ＋
，
即p (p ＋4)<0或⎩⎪⎨
⎪⎧
p p ＋
，
p >－2.
解得－4<p <0或p ≥0， ∴实数p 的取值范围是p >－4.
19．(本小题满分12分)设函数f (x )为奇函数，对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2.求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．
[解析] 设－3≤x 1<x 2≤3，则x 2－x 1>0， ∵f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )<0， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0， ∴f (x 2)<f (x 1)．
∴f (x )在[－3,3]上是减函数．
故f (x )max ＝f (－3)＝－f (3)＝－[f (1)＋f (2)]＝－[f (1)＋f (1)＋f (1)]＝6，
f (x )min ＝f (3)＝－f (－3)＝－6.
20．(本小题满分13分)已知定义在R 上的函数f (x )满足： ①对任意的x ，y ∈R ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )； ②当x >1时，f (x )>0.求证： (1)f (1)＝0；
(2)对任意的x ∈R ，都有f (1
x
)＝－f (x )；
(3)判断f (x )在(－∞，0)上的单调性． [解析] (1)证明：令x ＝y ＝1，则有
f (1)＝f (1)＋f (1)⇒f (1)＝0.
(2)对任意x >0，用1
x
代替y ，有
f (x )＋f (1x )＝f (x ·1
x
)＝f (1)＝0，
∴f (1
x
)＝－f (x )．
(3)f (x )在(－∞，0)上是减函数． 取x 1<x 2<0，则x 1x 2>1，∴f (x 1x 2
)>0， ∵f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (1x 2)＝f (x 1
x 2
)>0，
∴f (x 1)>f (x 2)，
∴f (x )在(－∞，0)上为减函数．
21．(本小题满分14分)已知二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)(a ，b ，c ∈R )，且同时满足下列条件：①f (－1)＝0；②对任意实数x ，都有f (x )－x ≥0；③当x ∈(0,2)时，有
f (x )≤(x ＋12)2
.
(1)求f (1)； (2)求a ，b ，c 的值；
(3)当x ∈[－1,1]时，函数g (x )＝f (x )－mx (m ∈R )是单调函数，求m 的取值范围． [解析] (1)由f (－1)＝0，得a －b ＋c ＝0， ①
令x ＝1，有f (1)－1≥0和f (1)≤(1＋12)2
＝1，
∴f (1)＝1.
(2)由f (1)＝1得a ＋b ＋c ＝1 ②
联立①②可得b ＝a ＋c ＝1
2
，
由题意知，对任意实数x ，都有f (x )－x ≥0，即ax 2
＋(a ＋c )x ＋c －x ≥0， 即ax 2
－12
x ＋c ≥0对任意实数x 恒成立，于是
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a >0Δ≤0即⎩⎪⎨⎪
⎧
a >0，1
4
－4ac ≤0.
∵c ＝1
2
－a ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a >014
－2a ＋4a 2
≤0⇒⎩
⎪⎨⎪
⎧
a >0a －1
22
≤0
⇒a ＝1
4
，
∴a ＝c ＝14，b ＝1
2
.
(3)由(2)得：g (x )＝f (x )－mx ＝14x 2＋12x ＋14－mx ＝14[x 2
＋(2－4m )x ＋1]
∵x ∈[－1,1]时，g (x )是单调的， ∴|－2－4m
2|≥1，解得m ≤0或m ≥1.
∴m 的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞)．。