分形理论
分形学理论
分形学理论分形理论是20世纪后期创立并且蓬勃发展的新学科之一。
分形理论把传统的确定论思想与随机论思想结合在一起，使人们对于诸如布朗运动、湍流等大自然中的众多复杂现象有了更加深刻的认识，并且在材料科学、计算机图形学、动力学等多个学科领域中被广泛应用, 称为非线性科学研究的一个十分重要的分支。
一．分形学的产生在19 世纪初期到20 世纪中期期间, 一些数学家、生物学家、物理学家等曾经研究了大自然中物体和现象的几何形状, 大自然中的物体和现象举不胜举,但是这些物体和现象普遍具有复杂的不规则形状, 传统的欧氏几何学在描述这样的自然现象时显得苍白无力。
究其原因, 发现过去的几何对象都有其几何长度, 例如线段有长度、圆有半径和面积等, 而一棵树、一朵花、一片云却很难用长度、面积、体积等来描述其形状。
在传统的物理学研究之中, 牛顿的确定论是运动学的基础, 牛顿在表达物体运动时所用的质量、加速度、惯性等概念至今仍在沿用, 确定论是人们相信在研究星内一颗小球运动的时候没有必要考虑屋外一棵树上落下一片树叶的影响, 但是约在1960年时, 美国气象学家洛伦兹在通过一组微分方程组预报天气时发现: 如果将一次输入所得六位数结果四舍五入并作为第二次的输入值时, 这一步很小的误差却能造成结果的巨大差异, 洛伦兹为了强调某些系数对初始值强烈的敏感性, 在1979 年12月29 日的华盛顿科学促进会中, 提出了一个形象的提问: “一只蝴蝶在巴西扇动翅膀, 会在得克萨斯引起风暴吗? ”由此留下了“蝴蝶效应”的说法。
另外, 在1827 年就发现的布朗运动其轨迹的复杂性岩石在受击破碎时裂纹的复杂性等, 也很难用牛顿的确定论来描述, 传统的物理学也面临困境。
在化学领域里, 随着二十世纪初科学技术的发展, 有机物越来越受到人们的重视, 其中高分子已成为其中的重要的分支学科。
高分子分为两类: 一类是生物高分子, 如生物体中的核糖核酸、蛋白质等; 另一类是聚合高分子, 如塑料、橡胶、纤维等。
分形理论（fractal
分形理论（fractal theory）分形理论是当今世界⼗分风靡和活跃的新理论、新学科。
分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)⾸先提出的。
1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论⽂。
海岸线作为曲线,其特征是极不规则、极不光滑的,呈现极其蜿蜒复杂的变化。
我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种⼏乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是⾃相似的,也就是局部形态和整体形态的相似。
在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公⾥长的海岸线与放⼤了的10公⾥长海岸线的两张照⽚,看上去会⼗分相似。
事实上,具有⾃相似性的形态⼴泛存在于⾃然界中,如:连绵的⼭川、飘浮的云朵、岩⽯的断裂⼝、布朗粒⼦运动的轨迹、树冠、花菜、⼤脑⽪层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种⽅式相似的形体称为分形(fractal)。
1975年,他创⽴了分形⼏何学(fractalgeometry)。
在此基础上,形成了研究分形性质及其应⽤的科学,称为分形理论(fractaltheory)。
⼤⾃然的⼏何学的分形（Fractal）理论是现代数学的⼀个新分⽀，但其本质却是⼀种新的世界观和⽅法论。
它与动⼒系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。
它承认世界的局部可能在⼀定条件下。
过程中，在某⼀⽅⾯（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因⽽拓展了视野。
⾃相似原则和迭代⽣成原则是分形理论的重要原则。
它表征分形在通常的⼏何变换下具有不变性,即标度⽆关性。
由⾃相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。
分形形体中的⾃相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。
标准的⾃相似分形是数学上的抽象,迭代⽣成⽆限精细的结构,如科契(Koch)雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。
《分形理论及其应用》课件
群算法等，这些算法在人工智能领域有重要的应用价值。
03
分形在机器学习中的应用
分形理论在机器学习中也有一定的应用价值，如分形神经网络、分形特
征提取等，这些方法有助于提高机器学习的性能和效率。
05
分形理论的未来展望
分形理论与其他学科的交叉研究
物理学
分形理论在物理学的多个领域，如混沌理论、量子力学和统计物理中有着广泛的应用。通过与其他学科的交叉研究， 可以进一步揭示分形现象的本质和规律。
分形在时间序列分析中的应用
时间序列数据中往往存在分形现象，利用分形理论可以更准确地预测和分析时间序列数据 的未来趋势。
分形在人工智能领域的应用
01
分形在计算机图形中的应用
分形理论在计算机图形学中有着广泛的应用，如分形图像的生成、分形
自然现象的模拟等。
02
分形优化算法
分形理论为优化算法的设计提供了新的思路和方法，如遗传算法、粒子
在规律。
迭代函数系统由一组压缩映射和 转移函数组成，通过迭代地应用 这些函数，可以生成复杂的分形
图形。
分数布朗运动
分数布朗运动是一种随机过程，其轨 迹具有分形结构。
分数布朗运动通过随机游走的方式， 在时间和空间上呈现出连续但非光滑 的轨迹，具有长期依赖性和自相似性 等特征。
它模拟了布朗运动的特性，但适用于 描述具有非整数维度的分形现象。
分形理论在解决实际问题中的应用前景
图像处理
增强等方面具有优异的表现。 随着数字图像处理技术的发展 ，分形理论在图像处理领域的 应用前景将更加广阔。
分形理论在处理非线性数据和 预测复杂系统行为方面具有独 特的优势。在金融、气象、交 通等领域，分形理论可以帮助 我们更好地理解和预测数据的 内在规律和趋势。
分形理论及其应用
X 1 ： ( x1，x2，，xm )
X X
2 3
：
(
x
，
2
x
3，，
x
m
1
)
：
(
x
，
3
x
4，，
x
m
2
)
X
4
：
(
x
，
4
x5，，
x
m
3
)
把相点X1，X2，…，Xi，…，依次连起来就是一 条轨线。因为点与点之间的距空间共生成
个相点X1，X2，…，XN，给定一个数r，检查有 多少点对(Xi，Xj)之间的距离|Xi-Xj|小于r，把距离 小于r的点对数占总点对数N2的比例记作C(r)，
•分形理论及其应用
Cantor集合 ，考虑多重分形，把同样的均匀质量棒
从其左端3/5处一分为二，然后把左段压缩为长度
r1=1/4，其质量P1=3/5，而右段保持原长度r2=2/5，其
质量P2=2/5；第二步按着上述的比例对两段分别进行
同样的变换就得到4段，左两段的长度分别为 r12 r1r2
质量分别为 P12 ，P1 P2 ，右两段的长度分别为 ， r2 r1 r22 ，
质量分别为
， P2 P1
P
2 2
；如此操作下去就会得到一个不
均匀的Cantor集合。在这个集合中分布着众多长宽相
同的线条集合，它们构成单分形子集合。对每一个
单分形子集合，其标度指数为α，分维为f(α)。
•分形理论及其应用
最后每段线条的质量相当于二项式 (P1 P2)n展开中的
一项， n。因此可以用P1的q阶矩 Piq 取代单分形 i
分形理论及其在机械工程中的应用
分形理论及其在机械工程中的应用
分形理论是一种新兴的数学理论，它依靠小尺度成像组成大尺度成像的规则性和自相似性，将自然界的复杂现象及其变化规律进行研究。
在机械工程领域，分形理论已经得到广泛的应用。
首先，在加工表面技术中，分形理论可以用于描述表面的粗糙度。
表面是否光滑，直接影响着机械系统的工作性能，分形理论通过对表面分形维数的计算和分析，能够帮助人们更好地了解和掌握加工表面的性质，从而指导加工工艺的优化和改进。
其次，分形理论还可以用于机械零件的设计优化。
在设计机械零件时，通常会秉持一个原则：尽量减小零件的体积和重量，其实这也是分形理论中“自相似性”原理的具体体现。
通过运用分形理论的思想，可以在不影响零件强度、稳定性等基本性能的前提下，对机械零件进行重新设计，达到减小体积和重量的目的，从而降低成本，提高工作效率。
除此之外，分形理论还可以应用于智能机器人的运动控制、噪声的控制与消除、摩擦学的研究和仿生学。
在智能机器人领域，分形理论可以通过对机器人运动轨迹的规律性分析，促进机器人自主化、智能化和协同化。
在噪声控制领域，通过运用分形噪声的特殊性质，可以更加高效地进行噪声控制和降噪处理。
在摩擦学研究方面，分形理论可以帮助人们更好地理解摩擦学问题，促进研究和开发新型润滑材料和技术，提高机械系统的工作效率和寿命。
在仿生学研究方面，分形理论可以启发人们更深刻地认识生物体的结构、形态和进化机制，从而为机器人和人工生命的研究提供借鉴和启示。
总之，随着科技的不断进步和发展，分形理论在机械工程中的应用前景不断扩大和深化。
相信在不久的将来，它将会为机械工程领域的研究和应用带来更多的创新和发展。
结构设计知识：结构设计中的分形理论分析
结构设计知识：结构设计中的分形理论分析随着现代科学技术的不断发展和进步，越来越多的科学理论被应用到各种领域中来，结构设计也不例外。
分形理论作为一种比较新颖的科学理论，已经被广泛应用于结构设计中。
本文将从分形理论的基本概念、典型特征、应用范围以及在结构设计中的应用等方面进行探讨。
1.分形理论的基本概念分形理论源于20世纪60年代胡安•马诺尔托(Juan Manno)的工作，20世纪80年代被Mandelbrot正式提出。
“分形”一般被认为是指具有自相似性、自组织、抗干扰等特征的图形或结构。
分形理论是一种以非线性动力学为基础，追求在复杂系统和现象中提取规律和较精确的量化描述的新的科学理论。
2.分形理论的典型特征分形的最基本特征就是它的自相似性。
自相似性是指在整个图形或结构中都能看到同样的形态和形状，而这些形态和形状是由若干基本单元反复组合而成的。
除此之外，分形结构还具有分形维数、复杂性、分布等特征。
分形维数是指一个分形结构的维数，其值可以是非整数的。
复杂性则是指结构的混沌、随机性和不规则性等特征，一般用分形维数、信息熵和相关函数等来描述。
分布则是指分形结构中各元素的分布情况，一般用分形分布函数、谱分布函数等来描述。
3.分形理论的应用范围分形理论的应用范围非常广泛，几乎涵盖了所有的自然科学和社会科学领域，包括生物学、化学、物理学、地理学、气象学、计算机科学、经济学、交通运输、城市规划等领域。
分形理论已经成为探索复杂系统和现象的一种重要工具，可以帮助人们理解、模拟和预测这些系统和现象的行为和变化。
4.分形理论在结构设计中的应用在结构设计中，分形理论被广泛应用于设计和优化各种结构，如公路、桥梁、建筑、城市规划、电力线路、通信网络、供水系统等。
以公路设计为例，传统的公路设计只注重道路的直线、平缓、简洁等特点，但这样的设计方式往往会使得道路视觉单调、枯燥，无法展现地域特色和文化内涵。
而采用分形理论，可以将容易记忆、具有识别性的复杂图形应用于公路设计中，使得公路形象更加丰富多彩。
分形理论及其在机械工程中的应用
分形理论及其在机械工程中的应用
分形理论是20世纪70年代由华裔科学家曼德勃罗（Benoit B.Mandelbrot）提出的，它是一种描述自然界中不规则形状的数学理论。
分形几何是研究分形的数学分支，它能够用较少的公式或规则来描述自然界中的复杂形状。
分形理论解释了许多自然界中的现象，如云朵、树枝、闪电等形态，因此被视为现代科学中最受欢迎的理论之一。
在机械工程中，分形理论被广泛应用于零件、机器、系统等的设计和分析。
1. 零件设计
分形理论可以对零件进行形态特征分析，对于不规则形状的零件，可以用分形维度来描述其几何特性。
同时，分形理论也可以应用于数控加工、激光切割等制造工艺，使零件的表面质量得到一定的提高。
2. 机器设计
分形可应用于设计复杂机器的结构和性能分析，例如铰链、传动、支撑等机构，使机器响应更加敏捷，工作效率更高。
3. 系统分析
系统中的诸多元素可以应用于分形理论，使得整个系统的复杂性得到一定程度上的简化。
其应用，能够进行系统的稳定性、信号传输等方面的分析，更加准确地预测劣化现象的发生。
总之，分形理论在机械工程中的应用不断地拓展。
通过它，我们可以透过看似无序杂乱的复杂体系，发现其中更深层次的规律及组织结构，进而对机械设备的生产、使用进行更优化的规划和操作。
同时，分形理论的发展和应用还在不断的深化，为机械工程及其它领域的科学研究提供了崭新的方向和思路。
分形理论
分形定义 通常将具有某种方式
的自相似性的图像或集合称为分形
分形的定义 分类、分形 维数 。
分形分类 分形一般分成两大类
，确定性分形和随机性分形。
分形维数 曼德尔布罗特引进了
分数维，给出了一个分形集充满空 间的复杂程度的描述。
几种典型的分形
•1883年，德国 数学家康托提 出三分康托集。 它是从单位区 间出发，再由 这个区间不断 地去掉部分子 区间的过程构 造出来的 •1904年，瑞典 数学家柯赫构 造了“Koch 曲线”几何图 形。Koch曲线 大于一维，具 有无限的长度， 但是又小于维， 并且生成的图 形的面积为零。 Koch曲线 •Julia 集是由 法国数学家 Gaston Julia 和PierrFaton 在发展了复变 函数迭代的基 础理论后获得 的。
参照分形的运动观
教育研究应更注重过程和过渡态分形理论特别重视过程, 因 此分形也可以看作是介于无序与有序、简单性与复杂性、随 机性与确定性之间的一种过渡状态, 是一种多维( 整数维、 分维)对称与对称破缺并存的状态。分形的运动观给教育研 究方法论的创新以新的启迪: 我们的教育研究不仅要对改革 进行回顾、作出前瞻, 更应直接参与改革、探索改革, 更应 注重对GO
Contents
分形的由来 分形定义、分类与分形维数 几种典型的分形 分形理论的应用 分形理论对教育研究的方 法论启示
分形的由来
1975 年，美籍法国数学家曼德尔 布罗特根据拉丁文形容“fractus”， 并对其加以改造，成为现今广为人 知的“fractal”，它的含义是不规 则的，琐碎的，支离破碎的等。我 国则把它翻译成“分形”。
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学习分形的时空观
教育研究应突破整数维的思维方式维数是一定时空数值特征 的反映。它是感性认识上升到理性认识的结果, 具有再认识 的特点。我们在宏观或中观尺度上观察到的1、2、3 维物体 充满了日常生活。从直观上看, 自然界中肉眼可见的任一形 体总占有一定的空间, 与之相应的维数就是对应形体占有空 间规模的刻划。但是, 同一形体, 它的维数并非一成不变, 而是跟我们认识形体的观点和层次有关。教育研究从静态研 究到动态研究, 从定性研究到定量研究, 走过了很长的发展 道路, 也取得了很大的成绩。尤其是理论结合实践的动态研 究、多学科参与的定性与定量相结合研究, 对教育改革的深 化起到了很有力的推动作用
分形理论及其在机械工程中的应用
分形理论及其在机械工程中的应用引言分形理论是20世纪80年代提出的一种新的数学研究领域，它提出了一种全新的描述自然界和社会现象的数学模型。
分形理论的提出对科学领域产生了深远的影响，不仅在自然科学中有广泛的应用，而且在工程领域也有着重要的意义。
本文将介绍分形理论的基本概念及其在机械工程中的应用。
一、分形理论的基本概念1. 分形的定义分形是指在任意尺度下具有相似结构的图形或物体。
换句话说，分形是一种具有自相似性质的几何图形，即无论是放大还是缩小，都具有相同或相似的形状。
这种自相似性是传统几何图形所不具备的特征，因此分形具有特殊的几何结构特征。
2. 分形的特征分形具有以下几个显著特征：（1）分形维数：分形物体的维数可以是小数或者非整数。
这与传统的欧几里德几何中的整数维度有着本质的区别。
分形维数也被称为“分形量度”，用来描述分形图形的粗糙程度或者曲折程度。
（2）分形的不规则性：分形图形通常具有不规则性和复杂性，无法用传统的几何图形来精确描述。
（3）分形的自相似性：分形图形在各种尺度上都具有相似的结构，这是其与传统几何图形最大的区别。
以上特征使得分形成为一种新型的几何结构，有着广泛的应用前景。
二、分形理论在机械工程中的应用1. 分形表面处理技术分形理论在机械工程中的应用最为广泛的领域之一就是表面处理技术。
利用分形理论，可以设计出具有特定粗糙度和摩擦特性的表面结构，从而实现对摩擦、磨损和润滑等性能的控制。
传统的表面处理方法往往要求加工具有规则的结构，而分形表面处理技术则可以通过模拟自然界中的分形结构，设计出更为复杂和多样化的表面形貌。
2. 分形几何构型在机械设计中的应用分形理论提出的自相似性概念在机械设计中也有着重要的应用。
在机械零部件的设计过程中，通过引入分形几何构型，可以实现对结构的自相似性设计，提高零部件的疲劳寿命和强度，改进结构的性能。
分形几何构型还可以用来设计具有分形特性的传感器和控制器等机电一体化系统，提高系统的精度和稳定性。
生物学中的分形理论应用
生物学中的分形理论应用分形理论是一种研究自然界中的自相似性质的理论，而在生物学中，分形理论的应用也越来越广泛。
在此，我们将介绍生物学中的分形理论应用，包括分形结构、分形动力学以及生态系统的分形特性。
分形结构生物体内有很多复杂的结构，比如肺的结构、心脏的结构、血管的结构等等，而这些结构中，很多都是分形结构。
分形结构具备自相似性质，也就是说，无论你放大或缩小这个结构，它的形态都是一样的。
以肺为例，肺的结构是由许多分支的气管组成的，而这些气管内部也可以分支成很多小气管，形成了多层分支的结构。
这样的结构设计，使得氧气可以最大限度地进入肺部，从而提供更多的氧气给身体细胞使用。
分形动力学生物学中的许多现象都与分形动力学有关。
分形动力学是研究动态系统的动力学规律的一种理论，这些动态系统可能会出现复杂的行为，甚至会出现变态行为。
比如，心脏的跳动就是一个分形动力学的例子。
在正常情况下，心脏跳动的节律非常稳定。
但是当心脏遭受外界干扰或者受到内部异常的刺激时，就会出现心跳失常的现象，这就是心脏跳动的分形动力学特征。
生态系统的分形特征生态系统是由很多生物群落组成的，而这些生物群落之间的联系复杂而微妙。
通过研究这些生物群落的分形特征，我们可以了解到这些生物群落之间的联系以及生态系统的稳定性和可持续性。
比如，研究植物的叶子分布规律，可以了解到不同物种之间的竞争关系以及其在生态系统中的地位。
另外，通过研究生态系统的分形特征，还可以预测生态系统的变化和演化趋势，这对于环保和自然资源管理具有重要意义。
总结生物学中的分形理论应用十分广泛，从生物体内的分形结构，到生物学现象的分形动力学特征，再到生态系统的分形特征，都可以通过分形理论进行研究和分析。
分形理论的发展，为我们了解生命和自然界提供了一个全新的视角，也为我们保护自然环境提供了更为精准的方法。
分形理论在数据分析中的应用
分形理论在数据分析中的应用在近年来，数据分析已成为科学研究、商业决策、社会管理等领域的重要工具。
数据分析的核心是对数据进行处理，提取数据背后的信息，发现数据背后的规律和模式。
其中，分形理论成为了数据分析中一个重要的方法和工具。
本文将从分形理论的基本概念、分形理论在数据分析中的应用和未来的研究方向三个方面论述分形理论在数据分析中的应用。
一、分形理论的基本概念分形理论是在上个世纪六十年代提出的一种新的数学理论，被称为“自相似现象的数学”。
分形理论的主要研究对象是非整数维空间中的图形和自相似现象，其主要思想是“部分与整体”的关系、自我相似性和无限递归。
其最大特点是可以对复杂的现象进行数学化的描述和表达。
分形可以看作是由许多相似的图形组成的整体，其中每一个小图形都具有自我的不规则性，整体则保持了类似的几何形态。
分形理论中经常使用的一个概念是分形维数。
对于普通的几何物体，如线段、平面等等，我们都可以通过几何学知识求出其维数，如一条线段的维数为1，平面的维数为2。
而对于一个分形，它的维数并不是一个整数，而是可以是一个非整数，称为分形维数。
二、分形理论在数据分析中的应用2.1时间序列分析时间序列是数据分析中常见的一种数据类型，例如股价、气温等数据都属于时间序列。
时间序列的分形特性意味着它在不同的时间尺度下呈现出相似的规律。
因此，我们可以利用分形理论中的分形维数等概念，将时间序列进行分析。
例如，我们可以对股价时间序列进行分形分析，通过计算时间序列的分形维数，可以发现股价的波动性在不同的尺度下呈现出相似的规律，这也就意味着我们可以在小尺度上预测股价波动的情况。
2.2 图像识别在图像识别中，我们需要对图像进行特征提取，以确定图像所属的类别。
而分形维数可以作为图像的一个特征，图像的分形维数与图像的类别有较强的相关性，因此可以利用分形维数对图像进行分类和识别。
2.3 声音信号处理在声音信号处理中，我们需要对声音进行分析和处理，以提取声音中的信息。
分形理论在无机材料中的应用
分形理论在材料中的应用1 分形理论简介Fractal 一词,源于拉丁文Fractus。
原译为“不规则的”或“破碎的”,但通常把它译为“分形”。
近年来,分形一直是国内外有关学者们的研究热点,它的应用性研究逐渐被渗透至物理、数学、化学、生物、医药、地震、冶金,甚至哲学、音乐与绘画等各个领域。
1. 1 分形理论的提出众所周知,普通的几何对象具有整数维数。
例如:点为零维,线为一维,面为二维,立方体为三维。
然而,自然界中真实的线、面并不总是光滑的,许多物体的形状也是极不规则的,例如连绵起伏的山脉轮廓线、曲折蜿蜒的江河川流、变幻无常的浮云,以及令人眼花缭乱的繁星等等。
同样,这种现象在材料科学中也很普遍,如:高分子的凝聚体结构、材料固体裂纹、电化学沉积等等,这些都是难于用欧氏几何学加以描述的。
对于诸如具有此类几何结构的体系,如何进行定量表征呢? 随着人类对客观世界认识的逐步深入,以及科学技术的不断进步,象传统数学那样把不规则的物体形状加以规则化,然后进行处理的做法已不能再令人满意了。
于是,在七十年代中期,分数维几何学应运而生[1 ] 。
整数与分数维集合的几何测度理论,早在本世纪初已由纯数学家们发展起来。
但谈到分数维几何学的创始人,则首先当推法国数学家曼德尔布罗,他在总结了自然界中的非规整几何图形后[2 ] ,于1975 年第一次提出分形这个概念。
此后,分形在不同学科领域中被广泛地应用起来; 直至1982 年德尔布罗出版了他的专著《The Fractal Geomet ry of Nature》则表明分形理论已初步形成[3 ] 。
1. 2 自相似性分形结构的本质特征是自相似性或自仿射性。
自相似性是指:把考察的对象的一部分沿各个方向以相同比例放大后,其形态与整体相同或相似。
简单地说,就是局部是整体成比例缩小的性质。
形象地说,就是当用不同倍数的照相机拍摄研究对象时,无论放大倍数如何改变,看到的照片都是相似的(统计意义) ,而从相片上也无法断定所用相机的倍数,故又称标度不变性或全息性。
分形理论及其在机械工程中的应用
分形理论及其在机械工程中的应用【摘要】分形理论是一种新兴的数学理论，通过研究自相似的结构和规律，揭示了自然界复杂而规律的现象。
在机械工程领域，分形理论为工程师提供了新的视角和方法，可以优化设计、改善材料性能和实现振动控制。
分形几何在机械设计中的应用可以帮助设计出更加紧凑和高效的结构，提高机械设备的性能。
在材料科学中，分形理论可以帮助工程师设计出更加稳定和高效的材料，提高材料的力学性能。
分形模型在振动控制中的应用则可以帮助工程师设计出更加精确和有效的控制系统，减少振动对机械设备的损害。
未来，分形理论在机械工程领域的研究将继续深入，为工程师提供更加丰富和有效的工具，推动机械工程的发展。
分形理论在机械工程领域的重要性日益凸显，将对机械设备的设计、制造和维护产生深远影响。
【关键词】分形理论、机械工程、意义、应用、分形几何、材料科学、振动控制、未来发展方向、重要性1. 引言1.1 分形理论及其在机械工程中的应用分形理论是一种描述复杂自然现象的数学理论，其应用范围涵盖了各个领域，包括机械工程。
分形在机械工程中的应用主要体现在优化设计和振动控制两个方面。
分形理论可以帮助工程师更好地理解和优化机械系统的设计。
通过分析系统的分形特征，可以发现系统中的隐藏规律和优化空间，进而提高系统的效率和性能。
特别是在微机电系统（MEMS）和纳米技术领域，分形理论可以帮助设计出更加紧凑、高效的微型机械系统。
分形理论还可以应用于振动控制领域。
分形几何的不规则性和复杂性可以帮助设计出具有多频率阻尼效应的结构，对振动进行有效控制。
这种分形模型在汽车、航空航天等领域的振动控制中存在巨大的潜力，可以大幅提高系统的稳定性和安全性。
分形理论在机械工程中的应用为工程师提供了新的思路和方法，有助于解决复杂系统设计和振动控制中的难题。
未来随着理论的进一步发展和技术的不断创新，分形在机械工程领域的应用前景将更加广阔，对于推动机械工程领域的发展具有重要意义。
数学中的分形理论
数学中的分形理论随着人类对自然界了解的不断深入，我们发现很多自然形态都呈现出一种神秘而美妙的特质：分形。
分形是一种几何对象，具有自我相似的特征，在自然界和人工模拟中均有广泛的应用。
很多分形现象都涉及到数学分析，因此，了解数学中的分形理论是很有意义的。
一、什么是分形？1982年，美国数学家麦德里·曼德博士首先提出了分形的概念，他表示：“一种比几何图形概念更具体的新理论。
”通俗来讲，分形是指一类自相似的物体或形态。
自相似的意思是说，想象你把这个物体放大，那么这个物体的某个部分，将会与其他部分相似，如此反复，直到无穷大。
在数学中，通过不断重复一部分内容，会得到一个类似整体的图案，我们称之为分形。
分形由多个重复出现的基本形状组成，这些基本形状被称为迭代函数中的自相似部分，不断迭代后便可得到分形的自相似性质。
分形具有自相似、无限细节、非整数维度和结构复杂等特征。
二、分形的应用分形理论广泛应用于各个领域，如自然界、艺术和科技等。
以下简单介绍几个分形的应用领域：1.自然景观许多自然景观都具有分形结构，例如云彩、大麻鸡爪、树的枝干、树叶排列、岩石表面等。
早期的科学家们通常认为自然景观是遵循一定规则的，但他们无法解释这些规则。
分形具有解释自然现象的能力，例如，海岸线有无限多的下垂崖、山脉覆盖着大小不一的山峰，每个山峰又有自己的小山、小河和树木等。
分形理论可以用来解释这些结构和广泛的自然现象，揭示它们的本质规律。
2.压缩图像图像可以看成是二维的平面矩阵，它们可以按任意比例或任意比例进行压缩和缩小。
分形压缩算法是一种快速且节省空间的压缩方法，它是通过深入分析图像的各个部分来实现对图像的压缩。
与其他压缩方法相比，分形压缩算法可以保留大量的图像细节和标记，从而提供更准确的图像还原。
3.金融市场分形也可以应用于金融市场，例如股票市场、外汇市场和商品市场等。
这些市场的行情是非常波动的，并且形成许多买入和卖出的机会。
分形理论及其在机械工程中的应用
分形理论及其在机械工程中的应用随着现代科技的进步，越来越多的数学理论被应用到了各个领域中，其中分形理论就是一个应用广泛的理论。
分形理论是20世纪60年代初由法国数学家曼德布罗特提出的一种几何学理论，它的核心观点是“重复”，即自相似性。
分形是指一种具有自相似性的结构，也就是说，无论在什么尺度上观察，它的结构都基本相同，而且这种相似性是一种不断重复的过程，在不同尺度上经过不断的细分，都会出现相似的结构。
分形理论在机械工程中的应用也日益广泛。
因为分形理论能够描述很多复杂的机械结构，尤其是那些结构具有多重重复规律的机械结构。
分形理论可以帮助理解和分析这些结构中的各种特性和效应，从而更好地进行设计、制造和维护。
1. 表面粗糙度表征表面粗糙度是机械制造中非常重要的质量参数之一。
分形理论在表征表面粗糙度时具有很好的应用价值。
传统的表面粗糙度表征方法只能用一些简单的参数来描述表面的形态特征，而分形理论则可以通过对表面图像的分析，得到更具有信息量的表面粗糙度参数，以更好地描述表面的几何形态和细节特征。
2. 摩擦学和摩擦学行为摩擦学是研究摩擦特性的学科，而摩擦学行为则是研究摩擦现象的基本特性。
分形理论可以很好地描述摩擦学和摩擦学行为，因为在实际应用中，摩擦力和表面形态之间的关系非常密切。
利用分形理论来分析摩擦表面的形态特征，可以更好地研究摩擦力的变化、波动和演化规律，提高机械部件摩擦性能。
3. 显微结构与组织形态在材料学、金属学和材料力学等领域，分形理论也得到了广泛的应用。
显微结构和组织形态是材料强度、韧性和耐磨性等性能的决定因素之一。
通过采用分形理论的方法来分析和表征材料的显微结构和组织形态，可以更好地理解材料的性质和变化规律，为材料设计、制造和应用提供更好的理论基础。
4. 数据处理和复杂系统建模在机械工程中，经常需要处理大量的数据，包括传感器、控制器、计算机视觉和生产监测等方面的数据。
分形理论可以很好地处理这些数据，并且能够有效地建立复杂的机械系统模型，以方便机械工程师对系统的运行状态和变化趋势进行分析和预测，从而及时发现和解决问题。
分形理论在经济金融中的应用研究
分形理论在经济金融中的应用研究随着经济金融的发展，人们对市场波动的理解和预测也变得更加迫切和重要。
分形理论作为一种新颖的数学理论，提供了一种全新的视角来解释和预测市场行为。
本文将探讨分形理论在经济金融领域的应用，并剖析其对市场的重要影响。
一、分形理论的基本概念和原理分形理论起源于20世纪70年代，在理论物理学家曼德勃罗特的努力下逐渐形成。
分形是一个具有自相似性质的几何图形，这种特性使分形能够精确地刻画自然界的复杂现象。
分形理论的主要原理是基于分形几何的自相似性和尺度不变性。
二、分形理论在经济金融中的应用1. 分形理论对市场行为的解释分形理论认为市场是一个非线性的、动态的系统，其波动具有自相似和尺度不变的特点。
通过分形理论，我们可以更好地理解市场中出现的突发事件、波动、周期性行为等现象。
分形模型可以揭示市场中隐藏的规律和潜在的风险。
2. 分形理论对价格运动的预测根据分形理论，价格运动是由多个不同时间尺度的波动叠加而成的。
通过分析市场中的分形结构，我们可以预测未来价格的变动趋势。
分形分析可用于找到市场中的重要支撑位和阻力位，帮助投资者制定合理的交易策略。
3. 分形理论对金融风险的评估金融市场的波动性和风险常常难以准确评估。
分形理论可以提供一种新的视角来衡量市场的风险，并对风险进行定量化分析。
通过对市场中的分形结构进行建模，我们可以更准确地估计金融资产的价值和风险。
4. 分形理论对金融市场的交易策略利用分形理论可以构建有效的交易策略。
通过分析市场中的分形结构，我们可以发现价格的周期性波动和趋势性运动，依此制定适合市场的交易策略。
分形理论的应用可以帮助投资者更好地把握市场的节奏，提高交易的成功率。
三、分形理论在经济金融中的案例分析1. 黄金市场中的分形理论应用黄金市场是一个典型的非线性市场，价格波动具有自相似特征。
通过分形理论，我们可以发现黄金市场中存在着明显的周期性行为和自相似结构。
投资者可以利用分形模型来预测黄金价格的长期趋势和短期波动。
分形理论背后的原理
分形理论背后的原理
分形理论的原理是指存在着一种模式或结构，使得整体的形态和部分的形态相似。
具体来说，分形是指某些几何形状（例如自相似、无限重复）和某些非几何特征（如维数）的特殊组合。
分形理论的背后原理有以下几个方面：
1. 自相似性：分形物体的特点之一是自相似性，即整体结构的部分与整体具有相似的形态。
无论是放大还是缩小，分形的部分都可以找到与整体相似的结构，这种重复形态在各个尺度上都存在。
2. 维数：分形物体的维数可以是非整数、分数，甚至是小数。
例如，一条分形曲线可能具有介于一维和二维之间的维数。
这种非整数维度的特点使得分形能够描述一些复杂的现象和现实世界中的各种模式。
3. 递归和迭代：分形的构建过程通常基于递归和迭代。
通过重复地应用某种规则或函数，可以生成越来越精细的分形结构。
例如，通过反复地分割三角形的每个边，可以生成斐波那契分形。
4. 混沌与奇点：分形物体通常具有混沌性质，即微小的变化会导致整体形态的巨大变化。
这种不确定性使得分形具有一定的随机性和不可预测性。
此外，分形的一些部分可能具有奇异性质，例如无限延伸或无限尖锐。
通过以上原理，分形理论可以应用于不同领域，如图像压缩、金融市场分析、城市规划等，帮助人们理解和描述复杂系统中的模式和变化。
分形理论在物理学中的应用
分形理论在物理学中的应用随着科学技术的不断发展，分形理论作为一种新兴数学工具，越来越受到各学科领域的重视，并被广泛应用于物理学中，为人类理解自然界的规律提供了新的思路和方法。
一、分形理论的基本概念分形是由分形维数来描述的一类图形，分形维数通常比整数大且为非整数。
分形理论主要研究的是非线性系统中的自相似性结构，这些结构是由一些基本单元通过自同构基于某些变换，进行不断细分，生成的纷繁复杂特征。
由于这种不断细分的过程，分形所表现出来的状态还是非常混沌的，从而具有了自相似性的特点和可复制性的性质，是一种十分特殊的结构。
二、分形理论在物理学中的应用2.1 热力学分形结构的复杂性可以被用来处理难以用传统方法处理的物理问题。
例如，在讨论非均质体系中的热力学过程时，研究分形特征可以提供有关体系纷繁复杂的形态和性质的信息。
分形在热力学中的应用主要体现在两个方面，第一是作为研究非均质物质状态的量化手段，可以描述不同尺度上的物理性质；第二是研究某些不可逆过程，例如相变等，运用分形理论可以解释物理过程。
2.2 图像处理分形理论作为一种有力的数学工具，可以用于图像处理。
在数字图像处理中，分形已经被广泛地用来对图像进行压缩和重建。
目前，分形压缩技术已经成为一种广泛使用的压缩技术，具有压缩率高、图像质量好及少损失等特点，成功地被应用到数码相册、数字电视及互联网相关领域。
2.3 环境科学环境科学是一门涉及到广泛领域的综合性学科，而分形理论在环境科学中的应用尤为重要。
例如，研究土地利用变化、植被变化、土壤侵蚀等问题时，运用分形的形态分析以及分形的统计特征分布分析，可以更好地描绘这些自然现象，并为环境修复和保护提供参考依据。
2.4 力学分形理论在力学研究中也有着广泛的应用。
根据分形理论的观点，宏观世界中存在着无数微观部分组成的整体。
对于机械问题，运用分形理论来研究物体的表面形貌、材质等特征，分析其微观结构分布变化情况，可以更好地解释物理过程，为实际工程问题提供理论指导。
分形理论概述
分形理论概述分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。
分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)首先提出的。
1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。
海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。
我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体形态的相似。
在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片，看上去会十分相似。
事实上，具有自相似性的形态广泛存在于自然界中，如：连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。
1975年,他创立了分形几何学(fractal geometry)。
在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论(fractal theory)。
分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科。
作为一种方法论和认识论，其启示是多方面的：一是分形整体与局部形态的相似，启发人们通过认识部分来认识整体，从有限中认识无限；二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序；三是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。
分形理论的原则自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。
它表征分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性。
由自相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。
分形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。
标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构,如科契(Koch)雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。
这种有规分形只是少数,绝大部分分形是统计意义上的无规分形。
分形理论在装饰艺术中的应用
分形理论在装饰艺术中的应用分形理论在装饰艺术中的应用分形理论作为一个广受关注的前沿科学领域，在数学、物理、化学等领域都有重要应用。
而在装饰艺术领域中，分形理论的应用也越来越受到人们的重视和关注。
分形理论可以为装饰艺术提供多样化、新颖化的设计元素，使得装饰艺术更加丰富多彩。
一、分形理论的基本概念分形理论是指自相似性的理论，也即是在一个物体的任何一部分都有其完整物体的特征。
在其发展过程中，逐渐形成了一套完整的理论体系，包括分形几何、分形噪声、分形分析等等。
其中，分形几何是分形理论中的重要分支之一，它通过对几何图形尺度不变性的研究，揭示了自然界中诸如岩石、云雾、草木、河流、海岸线等固体和不规则曲线形态的内在特征。
同时，分形几何探索了自然界中同类物体在不同级别上的结构和形态的重复性规律，提出了分形维数的概念，对于量化分形特征和研究分形过程具有重要意义。
二、分形理论在装饰艺术中的应用1. 分形图案分形图案是分形理论在装饰艺术中的最直接应用，在许多家居装饰中都可以看到分形图案的设计。
分形图案以类似分布的模式和尺寸来进行无限复制和变化，因此在装饰艺术中可以起到丰富画面、增加空间层次、提升视觉效果的作用。
比如说我们可以把类似分形的形状和颜色应用于床上用品、窗帘、沙发靠垫等小件装饰中，使得室内更加有趣和与众不同。
2. 分形颜色分形颜色是指基于分形理论的色彩理论，在色彩的创新和设计上发挥了十分重要的作用。
根据分形理论，任何一个物体都由各种程度和颜色不同的基本形状所组成。
因此，在分形色彩中，同一种基本颜色以不同的色彩级别、不同的亮度和清晰度构成，形成一个可以被理解和感知的系统，丰富着色彩的层次和多样性。
在装饰艺术中，我们可以运用分形色彩来调整室内的色彩搭配，使得室内色彩丰富多彩而不显得杂乱。
3. 分形材质分形材质是指基于分形理论的纹理设计，通常使用计算机辅助设计（CAD）和计算机辅助制造（CAM）技术。
在分形材质的制作中，常常会使用到多种材料，使得最终的制品具有独特的立体感和质感。
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分形理论及其在水处理工程中的应用凝聚和絮凝是混凝过程的两个重要阶段, 絮凝过程的完善程度直接影响后续处理(沉淀和过滤)的处理效果。
但絮凝体结构具有复杂、易碎和不规则的特性，以往对絮凝的研究中由于缺乏适用的研究方法，通常只考虑混凝剂的投入和出水的混凝效果, 而把混凝体系当作一个―黑箱‖, 不做深入研究。
即使考虑微观过程, 也只是将所有的胶粒抽象为球形, 用已有的胶体化学理论及化学动力学理论去加以解释[1]，得出的结论与实验中实际观察到的胶体和絮凝体的特性有较大的差别。
尽管有的研究者在理论推导和形成最终的数学表达式时引入了颗粒系数加以修正, 但理论与实验结果仍难以一致。
而分形理论的提出，填补了絮凝体研究方法的空白。
作为一种新兴的絮凝研究手段, ,分形理论启发了研究人员对絮凝体结构、混凝机理和动力学模型作进一步的认识。
1 分形理论的概述1.1 分形理论的产生1975年[2],美籍法国数学家曼德布罗特（B. B. Mandelbrot）提出了一种可以用于描绘和计算粗糙、破碎或不规则客体性质的新方法，并创造了分形(fractal) 一词来描述。
分形是指一类无规则、混乱而复杂, 但其局部与整体有相似性的体系, 自相似性和标度不变性是其重要特征。
体系的形成过程具有随机性,体系的维数可以不是整数而是分数[3]。
它的外表特征一般是极易破碎、无规则和复杂的,而其内部特征则是具有自相似性和自仿射性。
自相似性是分形理论的核心，指局部的形态和整体的形态相似，即把考察对象的部分沿各个方向以相同比例放大后,其形态与整体相同或相似。
自仿射性是指分形的局部与整体虽然不同, 但经过拉伸、压缩等操作后, 两者不仅相似, 而且可以重叠。
分形理论给部分与整体、无序与有序、有限与无限、简单与复杂、确定性与随机性等概念注入了新的内容，使人们能够以新的观念和手段探索这些复杂现象背后的本质联系。
1.2 絮凝体的分形特性絮凝体的成长是一个随机过程, 具有非线性的特征。
若不考虑絮凝体的破碎, 常规的絮凝过程是由初始颗粒通过线形随机运动叠加形成小的集团, 小集团又碰撞聚集成较大集团, 再进一步聚集，一步一步成长为大的絮凝体。
这一过程决定了絮凝体在一定范围内具有自相似性和标度不变性, 这正是分形的两个重要特征[4], 即絮凝体的形成具有分形的特点。
2 絮凝体的模拟模型2.1 絮凝体的分形结构模型为了更好地了解絮凝体的形成过程并尽可能地加以预测, 经过大量的研究提出了众多的絮凝体结构模型。
2.1.1 早期的絮体结构模型最早的一个模型[5]是由Vold 通过计算机模拟提出的具有3 层结构的模式: (见图1[4])初始颗粒, 絮凝体与絮凝体聚集体。
该絮凝体结构由一中心核与一群向外延展的触须(突起) 形成的粗糙表面构成。
该絮凝体的形成是由初始颗粒随机运动叠加而成, 不考虑内部重组过程。
而絮凝的进一步聚集也即形成第三层次的聚集结构, 从而导致快速沉降与肉眼可见的悬浮颗粒。
进一步分析其结构特征表明絮凝体密度随着中心向外逐渐降低, 并由此推导出絮凝体密度随粒径变化的经验公式Stokes 定律。
Sutherland对Vold絮凝体模式颗粒聚集过程中的随机特征提出了批评[6]。
他认为絮凝体成长的主要机理不在于单独颗粒的碰撞而在于包含有不同数目颗粒的簇团之间的碰撞聚集, 这看起来更符合逻辑。
因为事实上初始颗粒的碰撞只是在较小的簇形成期间显得十分重要。
与Vold 模型相比, Sutherland 模型(见图2[4])形成更为多孔疏松的结构, 具有较低的密度。
随着粒度的增加其密度降低而孔隙度也随着增加。
当絮凝体成长过程中结构内部重整也将会发生。
在悬浮液搅拌过程中发生同向絮凝时, 絮凝体的聚集条件将会发生变化。
流体剪切力将会破坏絮凝体结构从而在一定条件下导致具有特征粒度的絮凝体形成。
Sutherland 模型仅仅适用于絮凝体粒度不大于数um。
絮体的复杂结构使得对其进行定量描述十分困难。
早期提出的模型从不同角度对絮体结构进行了定量分析与描述, 一定程度上涉及了分形特征,但因没有归纳出其中分型概念而没有得到广泛运用。
2.1.2 絮体结构模型的发展早期模型所考虑的初始颗粒均为单一粒度的均匀球体, 而通常所发生的情形不尽如此。
Good-arz-Nia 建立了新的模型[7], 其初始颗粒粒度分布基于一标准正态分布, 为具有不同轴半径比的椭圆形初始颗粒, 而结构由初始颗粒形成的链组成。
计算所得絮体颗粒粒径与具有单一粒度分布的情形并没有太大的区别。
絮体体积相对而言却变得较小。
这是由于小颗粒的存在得以填充粒间间隙并导致更为密实的絮体。
Vold模型和Sutherland模型中，颗粒和簇团的运动都是按线性路线进行的，并不包括布朗运动，这与实际情况不符Witten & Sander对此作出修正[8]，他们设置了多个种子颗粒作为生长点，其它颗粒在随机位置加入并作随机行走直至达到与种子颗粒相邻的位置，相互粘附成为成长中的集团，然后不断加入颗粒至形成足够大的絮体。
Francois &Van Haute提出了具有四层的絮凝体结构模型[7]: 初始颗粒、絮粒(flocculi)、絮凝体与絮凝体聚集体。
与先前模型不同的是, 该模型认为不同次絮凝体结合键属于弹性可变的。
在弹性模型中, 流体剪切力可以穿透絮体中所有颗粒。
多层絮体结构模式与絮体的分形结构特征相一致，只是絮体分维将随着不同簇团的形成而发生相应的变化。
2.2 絮凝体分形结构动力学生长模型[9]随着对分形生长过程研究的逐步深入, 提出了各种动力学生长模型, 基本上可以归纳为三类, 即：1)扩散控制聚集模型(Diffusion-Limited Aggregation ),简称为DLA模型;2)弹射聚集模型(Ballistic Aggregation),简称为BA模型;3)反应控制聚集模型(Reaction-limited Aggregation),简称为RLA模型。
这三类模型中的每一种又可分为两部分, 单体(Monomer)的聚集和集团(Cluster)的聚集。
在DLA模型中, 单体聚集被称为Witten-Sander模型, 集团聚集称为有限扩散集团凝聚模型(Diffusion-Limited Cluster Aggregation),简称为DLCA模型。
相应的, 在BA模型中有Vold 模型与Sutherland 模型之分；RLA 模型中有EDEN 模型与Reaction-Limited Cluster Aggregation (RLCA ) 模型之分。
3 絮凝体分形维数的计算方法表征分形体系特征的参数是分形维数(Fractal Dimension) ,它是对应于分形体的不规则性和复杂性或空间填充度量的程度。
由于研究对象的不同，存在多种不同的维数定义。
常用的颗粒形态分形维数有4种: D、D1、D2和Dk。
D、D1、D2和Dk 分别是从面积与周长、长度和周长、长度和面积、面积和阶数(rank)的关系得到。
数学关系式如下:P ∝AD/2; P ∝LD1; A ∝LD2 ; Nr (a > A ) ∝A –Dk/2。
其中P 为周长, A 为面积, L 是颗粒的最大长度，Nr 是具有面积a (a > A )的絮体数量或阶数。
D、Dk 和D2 的瞬时变化与观测到的颗粒形态变化相一致, 并可量化, D1 则不具有这一特点[10]。
目前分形维数的计算方法一般有两种途径:计算机模拟絮凝体成长过程和实验直接测定。
计算机模拟计算是基于絮凝体的形成机制,在20 世纪70 —80 年代运用较多；随着科学技术的发展,通过先进仪器直接测定分形维数已成为可能,目前采用较多的有图像法、粒径分布法、光散射法、沉降法等。
3.1 计算机模拟计算[8]计算机对絮凝体成长过程的模拟要根据实际情况选择合适的动力学模型和结构模型进行。
具体的模拟方法有两种：网格模拟和非网格模拟。
网格模拟是在一个具有周边界条件的网格平面（二维）或立方体网格空间（三维）进行。
所谓周期边界是指当颗粒在运动过程中溢出网格边界时，由对称的地方重新进入。
非网格模拟是在一个连续的有限空间内进行，与网格模拟义格子长度为单位不同，非网格模拟以颗粒粒径为单位度量，各颗粒或基团的位置由其质心决定。
两种方法由于所采用框架不同，得到的絮体形态有所差别，网格模拟得到的絮体中颗粒为正方形(二维)或立方体(三维)；非网格模拟得到的絮体中颗粒为圆形(二维)或球体(三维)，絮体圆滑度较网格模拟要好。
3.2 直接测定3.2.1 图像法[11,12]通过显微摄影技术,对水中絮凝体进行放大拍摄,运用计算机图像处理软件分析拍摄的絮凝体图像,可以测得絮凝体的投影面积A 、周长P 和在某一方向的最大长度L ,根据下述关系求得一维和二维分形维数:P∝L D1 (1)A ∝PD2或A ∝L D2 (2)三维分形维数一般不能通过图像法直接得到,需要进行一定的转换。
一种方法是根据投影面积求得等面积圆的直径dp (即当量直径) ,再将其换算成球体体积V ,根据下式推算D3 : V ∝PD3或V ∝L D3 (3)但有研究认为,这种方法计算的三维分形维数偏差较大,建议以与投影面积同等大小的椭圆换算成椭球体体积再用(3)式计算。
图像法是目前普遍运用的分形维数计算方法。
3.2.2 粒径分布法[13]此法又称为双斜率法,通过测定同等条件下以特征长度L (一般为某一方向最大长度)为参数的累积颗粒浓度分布曲线N (L)和以絮凝体体积为参数的分布曲线N (v ) 的斜率求得。
长度和体积分布函数分别如下:N (L ) = AL L SL (4)N (V) = A vvSv (5)式中SL 和Sv 分别为长度与体积颗粒分布曲线指数, AL 和Av 为常数。
由于是同等条件下的累积分布曲线,因此有:N (L ) = N (v) (6)则: ALL SL = A vvS v (7)一般认为絮凝体由初始颗粒( Primary Particle) 组成。
用初始颗粒长度L ,形状系数α, 密度ρ, 堆积系数β 表示出体积v 为:v = m/ρ=ψD/ 3αL3 - DL D (8)将(8) 式代入(7) 式有:ALL SL = A v (ψD/ 3αL3 - D) SvL DSv (9)(9) 式两边的L 项指数应该相等,则有:D = SL / S v如果知道颗粒以长度和体积为参数的分布曲线,根据曲线斜率按上式可计算出分形维数。
3.2.3 其它方法[14]沉降法是通过测定或计算絮凝体沉降速度u 与特征长度L 之间的关系u∝LD ,从而推算分形维数,该方法适用于絮凝体比较密实并且不易破碎的情况。
光散射法是通过小角度X 射线散射法,根据散射光强I ( q) 与光波矢量q 之间的关系I ( q) = | q|D 求得分形维数。