泉州五中2020级一元一次方程行程问题与调配问题
一元一次方程 行程问题
西安(慢车)
（快车）武汉
慢车路程
快车路程
练习：西安站和武汉站相距1500km，一列慢车从西安开出，速度为65km/h，
一列快车从武汉开出，速度为85km/h，两车同时相向而行，几小时相遇？
画出示意图：
西安
65km/h
慢车
武汉
1500
65
85
85km/h
快车
两车相遇时，两车所走的路程与西安站和武汉站的距离有什么关系？
乙出发1小时后刚好追上甲
追上甲
乙
甲
• 路程
• 速度 +30
• 时间 +3
===• 路程来自• 速度• 时间
=
1
练习：已知、两地相距60千米，甲骑自行车，乙骑摩托车都沿一条笔直的
公路由 地匀速行驶到 地，乙每小时比甲多行30千米，甲比乙早出发3小时，
乙出发1小时后刚好追上甲，求甲的速度？
甲
乙
用了2.5小时。 已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的速度？两码头之间的距离？
用时2h
甲
乙
行船方向
水流方向
甲
用时2.5h
乙
行船方向
水流方向
例题：一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时，从乙码头返回甲码头逆流行驶，
用了2.5小时。 已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的速度？两码头之间的距离？
速度、路程、时间之间的关系?
900km/h
4.5km/s
一元一次方程的应用——行程问题
速度、路程、时间之间的关系?
路程＝
速度×时间
速度＝
路程÷时间
时间＝
路程÷速度
应用场景
1
一元一次方程应用-调配问题和方案分配、储蓄、等积、行程、集合(2)含答案
一元一次方程的应用--方案分配问题和调配问题调配问题典型例题：例1：某工厂第一车间比第二车间人数的4 /5少30人，如果从第二车间调出10人到第一车间，则第一车间人数是第二车间人数的3 /4,这两车间原来各有多少人？变式1：某企业原来的管理人员与营销人数的人数之比为3:2，总人数为180人，为了扩大市场，应从管理人员中抽调------ 人参加营销工作，才能使营销人数是管理人员人数的2倍。
注意：在解决人员调配问题时，要弄清楚调配前、调配后人数及调配的人数，还有弄清楚从哪个量调出，调入到哪个量，更重要的是分析调配前后的两个量之间的关系，从而找出相等的关系，建立方程课中练习：第一个油槽中的汽油有120升，第二个油槽中有45升，把第一个油槽中的汽油倒多少升到第二个油槽中，才能使第一个油槽中的汽油使第二个油槽中汽油的2倍？易错题：某车间每个工人能生产螺栓12个和螺母18个,每个螺栓要有两个螺母配套,现有工人28人,怎样分配生产螺栓和螺母的工人数,才能使每天产量刚好配套？41人参加运土劳动，有30根扁担，安排多少人抬土，多少挑，可使扁担和人数相配不多不少？（列方程）包装厂有工人35人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片或长方形铁片80片，将两张圆形铁片与和一张长方形铁片可配套成一个密封圆桶，问如何安排工人生产圆形或长方形铁片能合理地将铁片配套方案分配问题：例题：某商场计划拨款9万元,从乙厂家购进50台电视机,已知该厂家生产三种不同型号的电视机,出厂价分别是：甲种电视机每台1500元,乙种电视机每台2100元,丙种电视机每台2500元. （1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台,用去9万元,请你研究一下商场的进货方案；（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元,销售一台乙种电视机可获利200元,销售一台丙种电视机可获利250元.在同时购进两种不同型号电视机的方案中,在（1）的方案中，为使销售获利最多,你会选择哪种进货方案?为鼓励居民节约用电，某地试行阶梯电价收费制，具体执行方案如表：档次每户每月用电数（度）执行电价（元/度）第一档小于等于200 0.55第二档大于200小于400 0.6第三档大于等于400 0.85一户居民五、六月份共用电500度，缴电费290.5元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于400度．问该户居民五、六月份各月用电多少度？某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利1440元，求这一天有几个工人加工甲种零件一元一次方程的应用—储蓄问题利息问题中的等量关系：本金利率期数利息；⨯⨯=利息税率利息税；⨯=利息-利息税实得利息.=本金+利息-利息税实得本利和=例1：小明把压岁钱按定期一年存入银行.到期支取时，扣除利息税后小明实得本利和为507.92元.问小明存入银行的压岁钱有多少元？分析：本金多少？利息多少？利息税多少？设哪个未知数为？根据哪个等量关系列出方程？如何解方程？解设小明存入银行的压岁钱有元，则到期支取时，利息为1.98% 元，应缴利息税为1.98% 20%=0.00396 元.根据题意，得+0.0198 -0.00396 =507.92.解这个方程，得 1.01584 =507.92 .∴=500（元）.答：小明存入银行的压岁钱有500元.例2：小丽的妈妈在银行存入一些现金，年利率2.25%，存期1年，到期银行扣除20%的利息税，实际可得利息90元，问这项储蓄的本金是多少？例3：某人将一笔钱按活期储蓄存入银行，存了10个月，扣除利息税（税率为20%）后，实得本利和为2528元，已知这10个月期间活期存款的月利率为0.14%（不计复利），问此人存入银行的本金是_____元．一元一次方程的应用—集合问题两个集合相交：总量C=A+B-AB例题1：某班有45人都订阅《少年文艺》或《科学画报》杂志，已知订《科学画报》的人数比订《少年文艺》的人数多5人，两种杂志都订的有20人，问订《少年文艺》的有多少人？例题2：在100名学生中，会打羽毛球的有83人，会打乒乓球的有75人，这两项都不会的有10人，则两项都会的有多少人？例3.某班有学生45人，会下象棋的人数是会下围棋人数的3.5倍，两种棋都会或都不会的人数都是5人，求只会下围棋的人数一元一次知识梳理：等积变形问题包含面积变形对于等积变形问题，找等量关也变，但是质量不变）“等积变形”是以形状改变而体②原料体积=成品体积★表示同一个量的两个式子相书本例子：请指出下列过程，哪些量发生① 用一根长15㎝的铁丝围成即铁丝长度不变）② 用一块橡皮泥先做成一个立典型例题：例2 一纪念碑建筑的底面边框（如图中阴影部分），已知铺缝忽略不计）,问纪念碑建筑底变式1：如图，小红将一个正方上剪去一个宽为5cm 的长条米？每一长条的面积为多少变式2在一个底面半径为20㎝的圆柱水中，当钢材从桶里取出后元一次方程的应用—等积变形问题变形、体积变形等量关系的关键在于抓住“形”变“积”不变（或“变而体积不变为前提，常用到的等量关系：①面积变式子相等是列方程的重要思路量发生变化，哪些量保持不变丝围成一个三角形，然后把它改为长方形（面积变了一个立方体，再把它改成球的底面呈正方形，其四周铺上花岗石，形成一个宽为已知铺这个边框恰好用了192块边长为0.75米的正方建筑底面的边长是多少米?（变式1）个正方形纸片剪去一个宽为4cm 的长条后，再从剩下长条，且剪下的两个长条的面积相等．问原正方形的边多少？的圆柱体水桶中，有一个底面半径为10㎝的圆柱体钢出后，桶里的水面下降了3㎝，求这段钢材的长是多少“形”变，“积”面积变了，周长没变积变了，周长不变，个宽为3米的正方形的正方形花岗石（接 （例2）从剩下的长方形纸片形的边长应为多少厘柱体钢材完全浸没在是多少㎝？。
一元一次方程的应用——调配与配套问题_
一元一次方程的应用——调配与配套问题一、选择题（本题共计 4 小题，每题 3 分，共计12分，）1. 某个工厂有技术工12人，平均每天每人可加工甲种零件24个或乙种零件15个，2个甲种零件和3个乙种零件可以配成一套，设安排x个技术工生产甲种零件，为使每天生产的甲乙零件刚好配套，则下面列出方程中正确的有( )个①24x2=15(1−x)3；②32×24x=15(12−x）；③3×24x=2×15(12−x)；④2×24x+3×15(12−x)=1．A.3B.2C.1D.02. 如图，学校实验室需要向某工厂定制一批三条腿的桌子，已知该工厂有24名工人，每人每天可以生产20块桌面或300条桌腿，1块桌面需要配3条桌腿，为使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，设安排x名工人生产桌面，则下面所列方程正确的是()A.20x=3×300(24−x)B.300x=3×20(24−x)C.3×20x=300(24−x)D.20x=300(24−x)3. 某车间有33名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或1800个螺母．1个螺钉配两个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？设有名工人生产螺钉，则可列方程为()．A.B.C.D.4. 鸡兔同笼，上数有20个头，下数有50条腿，可知鸡兔和数量分别为（）A.5和15B.15和5C.12和8D.8和12二、填空题（本题共计 5 小题，每题 3 分，共计15分，）5. 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分4本，则剩余19本；如果每人分5本，则还缺28本，则这个班有________名学生．6. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作．书中记载这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车无人乘坐，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则有________辆车，________人.7. 我国明代数学家程大位所著的《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的译文为：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出一间房．则该店有客房________间．8. 清人徐子云《算法大成》中有一首名为“寺内僧多少”的诗：巍巍古寺在山林，不知寺中几多僧.三百六十四只碗，众僧刚好都用尽.三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹.请问先生明算者，算来寺内几多僧.诗的大意是：在巍巍的大山和茂密的森林之中，有一座千年古寺，寺中有364只碗，要是3个和尚共吃一碗饭，4个和尚共喝一碗粥，这些碗刚好用完，问寺内有多少和尚？设有和尚x人，由题意可列方程为：________.9. 列方程（组）解应用题：某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．则该店有客房________间.三、解答题（本题共计 10 小题，每题 10 分，共计100分，）10. 一个车间加工轴杆和轴承，每人每天平均可以加工轴杆12根或者轴承16个，1根轴杆与2个轴承为一套，该车间共有90人，应该怎样调配人力，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套？11. 如图所示的是一个由1个茶壶和6只茶杯组成的茶具，生产这套茶具的主要材料是紫砂泥，用1千克紫砂泥可做4个茶壶或12只茶杯.现要用6千克紫砂泥制作这些茶具，应用多少千克紫砂泥做茶壶，多少千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具多少套？12. 某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元．若购买这两类球的总金额为4600元，篮球，足球各买了多少个？13. 我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式表达，其中，《孙子算经》中记载了这样一个数学问题：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少二梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？14. 把一些图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则还缺25本．这个班有多少学生？15. 古籍《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的译文为：如果每间客房住满7人，那么有7人无房可住；如果每间客房都住满9人，那么正好空出一间房．则该店有客房几间，房客几人？16. 某机械厂加工车间有110名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或者小齿轮12个，已知1个大齿轮与2个小齿轮刚好配成一套，问分别安排多少名工人加工大，小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？17. 以绳测井．若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意：用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5米；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．问绳长、井深各是多少尺？18. 我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．求该店有客房多少间？房客多少人？19. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作．书中记载这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？请用方程解答上述问题．参考答案与试题解析一元一次方程的应用——调配与配套问题一、选择题（本题共计 4 小题，每题 3 分，共计12分）1.【答案】A【考点】由实际问题抽象出一元一次方程【解析】利用生成的甲种零件个数：乙种零件个数=2:3，列出方程，变形即可得到答案. 【解答】解：设安排x个技术工生产甲种零件，则安排(12−x)个技术工生产乙种零件，由于2个甲种零件和3个乙种零件可以配成一套，故生成的甲种零件个数：乙种零件个数=2:3，故24x15(12−x)=23，化简可得24x2=15(12−x)3或32×24x=15(12−x)或3×24x=2×15(12−x)，故①②③正确.故选A.2.【答案】C【考点】一元一次方程的应用——调配与配套问题【解析】此题暂无解析【解答】解：设安排x名工人生产桌子面，则安排(24−x)名工人生产桌子腿，依题意，得：3×20x=300(24−x)．故选C.3.【答案】B【考点】由实际问题抽象为分式方程由实际问题抽象出一元一次方程一元一次方程的应用——调配与配套问题【解析】由已知可得生产螺钉的工人为×人，则生产螺母的工人为(33−x)人，根据一个螺钉需两个螺母的数量关系找出螺钉与螺母的等量关系：螺母的总数为螺钉总数的两倍，即可求解．【解答】：生产螺钉的工人为∼人，工人总数为：33人，生产螺母的工人为(33−x)人，：一个螺钉需两个螺母配套，每人每天可生产螺钉1200个或螺母1800个，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，则生产螺母的总数为螺钉总数的两倍，可列等量关系式为：2×1200x=1800×(33−x)故选：B．4.【答案】B【考点】一元一次方程的应用——调配与配套问题【解析】设鸡的数量为x只，兔的数量则为：(20−x)只，结合下数有50条腿，进而得出等式求出即可．【解答】解：设鸡的数量为x只，兔的数量则为：(20−x)只，根据题意可得：2x+4(20−x)=50，解得：x=15，则20−15=5，即鸡的数量为15只，兔的数量则为：5只.故选B．二、填空题（本题共计 5 小题，每题 3 分，共计15分）5.【答案】47【考点】一元一次方程的应用——工程进度问题一元一次方程的应用——调配与配套问题由实际问题抽象出一元一次方程【解析】可设有∼名学生，根据总本数相等和每人分4本，剩余19本，每人分5本，缺28本可列出方程，求解即可．【解答】解：设这个班有》名学生，根据题意得：4x+19=5x−28解得：x=47故答案为：47．6.【答案】15,39【考点】一元一次方程的应用——调配与配套问题【解析】此题暂无解析【解答】解：设有x辆车，则有(2x+9)人，依题意得：3(x−2)=2x+9．解得，x=15，2x+9=2×15+9=39（人）.故有39人，15辆车.故答案为：15；39.7.【答案】8【考点】一元一次方程的应用——调配与配套问题【解析】根据题意设出房间数，进而表示出总人数得出等式方程求出即可．【解答】解：设该店有x间客房，则7x+7=9x−9，解得x=8．故答案为：8.8.【答案】x 3+x4=364【考点】一元一次方程的应用——调配与配套问题【解析】读懂题中的诗句，找出条件，共有364只碗，三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹．可以列出方程．【解答】解：设有和尚x人，则需要x3只碗装饭，x4只碗装粥，根据题意得x3+x4=364.故答案为：x3+x4=364.9.【答案】8【考点】一元一次方程的应用——调配与配套问题【解析】根据题意设出房间数，进而表示出总人数得出等式方程求出即可．【解答】解：设该店有x间客房，则7x+7=9x−9，解得x=8．故答案为：8.三、解答题（本题共计 10 小题，每题 10 分，共计100分）10.【答案】解：设x个人加工轴杆，(90−x)个人加工轴承，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套，根据题意得：12x×2=16(90−x)，去括号得：24x=1440−16x，移项合并得：40x=1440，解得：x=36．则调配36个人加工轴杆，54个人加工轴承，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套．【考点】一元一次方程的应用——调配与配套问题【解析】设x个人加工轴杆，(90−x)个人加工轴承，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套，根据1根轴杆与2个轴承为一套列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设x个人加工轴杆，(90−x)个人加工轴承，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套，根据题意得：12x×2=16(90−x)，去括号得：24x=1440−16x，移项合并得：40x=1440，解得：x=36．则调配36个人加工轴杆，54个人加工轴承，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套．11.【答案】解：设应用x千克紫砂泥做茶壶，(6−x)千克紫砂泥做茶杯，则4x×6=12(6−x)，化简得：x=2.∴2×4=8（套）．答：应用2千克紫砂泥做茶壶，4克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具8套．【考点】一元一次方程的应用——调配与配套问题【解析】设应用x千克紫砂泥做茶壶，y千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具，根据题意列出方程组，即可解答．【解答】解：设应用x千克紫砂泥做茶壶，(6−x)千克紫砂泥做茶杯，则4x×6=12(6−x)，化简得：x=2.∴2×4=8（套）．答：应用2千克紫砂泥做茶壶，4克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具8套．12.【答案】解：设购买篮球x个，购买足球(60−x)个，依题意得：70x+80(60−x)=4600，即4800−10x=4600，解得x=20，60−x=60−20=40.答：购买篮球20个，购买足球40个.【考点】一元一次方程的应用——调配与配套问题【解析】（1）设购买篮球x个，购买足球y个，根据总价＝单价×购买数量结合购买篮球、足球共60个\购买这两类球的总金额为4600元，列出方程组，求解即可；（2）设购买了a个篮球，则购买(60−a)个足球，根据购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，列不等式求出x的最大整数解即可．【解答】解：设购买篮球x个，购买足球(60−x)个，依题意得：70x+80(60−x)=4600，即4800−10x=4600，解得x=20，60−x=60−20=40.答：购买篮球20个，购买足球40个.13.【答案】解：设有x个老头，则有(x+1)个梨，由题意，得2x=x+1+2，解得x=3，x+1=4.答：有3个老头，4个梨.【考点】一元一次方程的应用——调配与配套问题【解析】设有x个老头，y个梨，根据“一人一个多一梨，一人两个少二梨”，即可得出关于x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设有x个老头，则有(x+1)个梨，由题意，得2x=x+1+2，解得x=3，x+1=4.答：有3个老头，4个梨.14.【答案】解：设这个班有x名学生，根据书的总量相等可得：3x+20=4x−25，解得：x=45．答：这个班有45名学生.【考点】一元一次方程的应用——调配与配套问题【解析】可设有x名学生，根据总本数相等和每人分3本，剩余20本，每人分4本，缺25本可列出方程，求解即可．【解答】解：设这个班有x名学生，根据书的总量相等可得：3x+20=4x−25，解得：x=45．答：这个班有45名学生.15.【答案】解：设该店有x间客房，由题意可得7x+7=9x−9，解得x=8，所以房客人数为7x+7=7×8+7=63．答：共有客房8间，房客63人.【考点】一元一次方程的应用——调配与配套问题【解析】根据题意设出房间数，进而表示出总人数得出等式方程求出即可．【解答】解：设该店有x间客房，由题意可得7x+7=9x−9，解得x=8，所以房客人数为7x+7=7×8+7=63．答：共有客房8间，房客63人.16.【答案】解：设每天加工的大齿轮的有x人，则每天加工的小齿轮的有(110−x)人，根据题意可得；2×16x=12(110−x)，解得：x=30，则110−30=80（人）．答：每天加工的大齿轮的有30人，每天加工的小齿轮的有80人．【考点】一元一次方程的应用——调配与配套问题【解析】此题暂无解析【解答】解：设每天加工的大齿轮的有x人，则每天加工的小齿轮的有(110−x)人，根据题意可得；2×16x=12(110−x)，解得：x=30，则110−30=80（人）．答：每天加工的大齿轮的有30人，每天加工的小齿轮的有80人．17.【答案】解：设井深为x尺，则绳长为：3(x+5)，依题意得：3(x+5)=4(x+1)．解得x=11，则4(x+1)=48尺．故井深为11尺，绳长为48尺．【考点】一元一次方程的应用——调配与配套问题【解析】用代数式表示井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺．【解答】解：设井深为x尺，则绳长为：3(x+5)，依题意得：3(x+5)=4(x+1)．解得x=11，则4(x+1)=48尺．故井深为11尺，绳长为48尺．18.【答案】解：设该店有x间客房，则7x+7=9x−9，解得x=8．7x+7=7×8+7=63．答：共有客房8间，房客63人.【考点】一元一次方程的应用——调配与配套问题【解析】根据题意设出房间数，进而表示出总人数得出等式方程求出即可．【解答】解：设该店有x间客房，则7x+7=9x−9，解得x=8．7x+7=7×8+7=63．答：共有客房8间，房客63人.19.【答案】解：设有x辆车，则有(2x+9)人，依题意得：3(x−2)=2x+9．解得，x=15．2x+9=2×15+9=39（人）.答：有39人，15辆车.【考点】一元一次方程的应用——调配与配套问题【解析】此题暂无解析【解答】解：设有x辆车，则有(2x+9)人，依题意得：3(x−2)=2x+9．解得，x=15．2x+9=2×15+9=39（人）.答：有39人，15辆车.。
一元一次方程——行程问题
学习目标：1．解决生活中常用的相遇、追击、环行相遇、追击、顺逆等与行程有关的实际问题。
2．进一步提高学生的分析问题和解决问题的能力；3．在教学过程中，培养学生养成正确思考、善于思考的良好习惯．学习重点：列方程解相遇问题、追及问题、顺逆问题学习难点：寻找实际问题中的等量关系，建立数学模型。
基本量之间的关系路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（1）相遇问题快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题快行距－慢行距＝原距（3）航行问题顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．1、有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长．1、甲、乙两站的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米．(1)两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？(2)快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇？(3)若两车同时开出，同向而行，快车在慢车的后面，几小时后快车追上慢车？(4)若两车同时开出，同向而行，慢车在快车的后面，几小时后快车与慢车相距720千米？2、一船由A地开往B地，行完全程顺水航行需要4h，逆水航行比顺水航行多需要30min，已知船在静水中的速度为16km/h，求水流的速度。
1、A、B两地相距1890千米，甲、乙两列火车分别从A、B两地同时出发相向而行，甲每小时行120千米，乙每小时行150千米，经过多长时间两车间的距离是135千米？2、甲、乙骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇．甲比乙每小时多骑2.5千米，求乙的时速是多少？3、一列客车长200米，一列货车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从相遇到车尾离开经过18秒，客车与货车的速度比是5∶3，问两车每秒各行驶多少米？4、一船航行在A、B两个码头之间，已知水流速度是3km/h,船行完全程，顺水需要5h，逆水需要7h，求A、B两地间的距离。
一元一次方程行程问题(相遇追及顺风逆风火车过隧道 环形跑道)PPT教学课件
车的速度是 1.5x千米/小时，根据题意得：
2x 2 1.5x 200
13
练甲习 甲、乙两站相距510千米，一列慢车 从甲站开往乙站，速度为每小时45千米， 慢车行驶两小时后，另有一列快车从乙站 开往甲站，速度为每小时60千米，求快车 开出后几小时与慢车相遇？
线段图分析：
A
B
甲
乙
相等关系：A车路程＋A车同走的路程 + B车同走的路程=相距路程
11
归纳相遇问题（相向而行）的等量关系：
甲走的路程+乙走的路程 =甲乙两出发地的路程
12
练习 甲、乙两辆汽车同时从相距200千 米的两地相向而行，两小时后相遇， 如果甲车的速度是乙车的1.5倍，求乙 车的速度。
等量关系：甲车走的路程+乙车走的路程=总路程
相等关系：A车路程 ＋ B车路程 =相距路程
5
例1
相遇问题
西安站和武汉站相距1500km，一列慢车从西安开出，速度 为65km/h，一列快车从武汉开出，速度为85km/h，两车同 时相向而行，几小时相遇？
西安(慢车) 慢车路程
快车路程
（快车）武汉
慢车路程＋快车路程＝总路程
6
相遇问题
延伸拓展
西安站和武汉站相距1500km，一列慢车从西安开出，速度为 68km/h，一列快车从武汉开出，速度为85km/h，若两车相 向而行，慢车先开30分钟，快车行使几小时后两车相遇？
时登上山顶。乙用多少时间登山？这山有
多高？
解：设乙用 x分登山，则
256 25x 40x 15x 240 x 16
16 25 400(米)
答：乙用16分钟，山有400米高。
一元一次方程与实际问题(2)调配问题
一元一次方程与实际问题
——调配问题
前置问题1：
快速列式：
（1）男生人数是女生人数的两倍； 男生人数 = 2×女生人数 （2）男生人数比女生人数的一半少3； 1 男生人数 = ×女生人数－3 2
前置问题2：
（快速填空）有 A、B 两个兴趣小组，A组有 60人，B组有56人。 （1）应该从 A 组调走____ 4 人，才能使两组人 数相等； （2）应该从 A 组调____ 2 人到 B 组，才能使两
组人数相等.
问题1：
（用方程解答）有 A、B 两个兴趣小组，A组 有68人，B组有44人。求从A组调多少人到B组， 才能使两组的人数相等。
问题2：
（用方程解答）有A、B 两个兴趣小组，A组有 68人，B组有44人。求从 A 组调多少人到 B 组，才能使 B 组人数是 A 组人数的3倍。
问题3：
一元一次方程——调配和分配问题
一元一次方程应用题——调配和分配问题一、学习重点：调配和分配问题：1、找准调配前后的数量关系；2、找数量关系时可借助列表等形式。
需要注意人或者物品的流向，流动之后形成了一种什么样的关系，例如：从甲队调一些人去乙队，其中甲队要减去这些人，而乙队要加上这些人。
再根据题意中给的关系设未知数表示出来。
二、基础练习：1、有甲乙两个运输队，甲队32人，乙队28人，从甲调走5人到乙队，则甲队_____人，乙队____人。
2、有甲乙两个运输队，甲队32人，乙队28人，从甲调走x人到乙队，〔1〕使甲乙两队人数恰好相等，则x=______;〔2〕假设乙队人数恰好是甲队人数的2倍，则x=_____；〔3〕假设乙队人数比甲队人数的4倍还多5人，则x=_____。
例1、某厂一车间有64人，二车间有56人。
现因工作需要，需求第一车间人数是笫二车间人数的一半。
问需从第一车间调多少人到第二车间？练习：甲队人数是乙队人数的2倍，从甲队调12人到乙队后，甲队剩下來的人数是原乙队人数的一半还多15人。
求甲、乙两队原有人数各多少人？做题：3、4例2、甲车队有15辆汽车，乙车队有28辆汽年，现调来10辆汽分给两个车队，使甲车队车数比乙车队车数的一半多2辆，应分配到甲乙两车队各多少辆车？练习：甲仓库储粮35吨，乙仓库储粮19吨，现调粮食15吨，应分配给两仓库各多少吨，才能使得甲仓库的粮食数量是乙仓库的两倍？做题：5、6例3、某班同学利用假期参加夏令营活动，分成几个小组，假设每组7人还余1人，假设每组8人还缺6人，问该班分成几个小组，共有多少名同学？练习：学校新进假设干箱教学设备，某班同学去运，假设每人运8箱，还余16箱；假设每人运9箱，还缺少32箱，这批设备共有多少箱？这个班有多少名同学?做题：7、8三、应用题： A卷3、甲车队有50辆汽车，乙车队有41辆汽车，如果要使乙车队数比甲车队车数的2倍还多1辆，应从甲车队调多少辆车到乙车队？4、一车间与二车间总人数为150人，将一车间的15名工人调动到二车间，两车间人数相等，求二车间人数。
5.3实际问题与一元一次方程(2)—— 调配问题 课件
解得 y ＝5或 y ＝55.
综上所述，倒入的果汁的体积是5或55毫升．
课后作业
1． 已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤是
乙煤场的2倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场．设从甲煤场运煤x吨到乙煤
场，则列方程为(
C
)
A． 518＝2(106＋x)
B． 518－x＝2×106
C. 518－x＝2(106＋x)
1． 甲、乙两个组共有60人，甲组加入14人，乙组退出10人后，两个
组人数相等，设甲组原来有 x 人，则所列方程是(
A． 14＋ x ＝60－ x －10
B． 14＋ x ＝60－ x
C． 14－ x ＝60＋ x
D． 14＋ x ＝60－ x ＋10
A
)
2． (2024·西安模拟)某校开展“垃圾分类”为主题的实践活动，将参与
答：应从甲调给乙18本图书．
1. 甲车队有汽车100辆，乙车队有汽车68辆，根据情况需要甲车队的
汽车和乙车队的汽车相等，问需要从甲车队调多少辆汽车到乙车队？
解：设需要从甲车队调 x 辆汽车到乙车队．
由题意，得100－ x ＝68＋ x .解得 x ＝16.
答：需要从甲车队调16辆汽车到乙车队．
例2 某厂甲车间有工人34人，乙车间有工人Leabharlann 2人.应从甲车间调多少
由题意，得(120－ x )＝ (180＋ x )或 (120－ x )＝(180＋ x )．
解得 x ＝－5(舍去)或 x ＝－55(舍去)．
②设乙瓶中的果汁倒入甲瓶中的果汁的体积是 y 毫升.
由题意，得(120＋ y )＝ (180－ y )或 (120＋ y )＝(180－ y )．
一元一次方程应用题-行程问题
03 相遇与追及问题
相遇问题建模与求解
• 相遇问题的基本等量关系：甲走的路程+乙走的路程＝甲 乙相距的总路程。
相遇问题建模与求解
相遇问题的建模步骤
根据题意，列出一元 一次方程。
设未知数，一般为时 间或速度。
相遇问题建模与求解
解方程，求出未知数。 检验解的合理性，并作答。
相遇问题的常见类型
相遇问题建模与求解
实例分析
01
例1
02
运动员在400米的环形跑道上练 习跑步，他每分钟跑160米，问 他5分钟后跑了多少圈？
解
设运动员5分钟后跑了$x$圈，则 他跑的总路程为$400x$米。根 据速度和时间的关系，他5分钟 跑的路程是$160 times 5 = 800$米。因此，可以建立方程 $400x = 800$，解得$x = 2$。 所以，运动员5分钟后跑了2圈。
追及问题的建模步骤 设未知数，一般为时间或速度。
根据题意，列出一元一次方程。
追及问题建模与求解
解方程，求出未知数。 检验解的合理性，并作答。 追及问题的常见类型
追及问题建模与求解
同时同地出发的追及问题
两人或两车同时同地出发，一人或一车速度快，经过一段时间追上另一人或车。
同时异地出发的追及问题
两人或两车同时从两地出发，一人或一车速度快，经过一段时间在途中追上另 一人或车。
相遇与追及综合应用
• 相遇与追及的综合应用问题通常涉及到多个对象、多个时间段 和多种运动方式。解决这类问题的关键在于正确识别各个对象 之间的相对运动关系，并根据这些关系建立数学模型。
相遇与追及综合应用
建模步骤
1
2
分析题意，确定各个对象的初始状态和运动方式。
一元一次方程的实际问题-调运、配套、行程、工程、图表(答案)
2
4
x 400
答：A 县与 B 市之间的路程为 400 千米
（3）设 AB 的路程为 x 千米时，两种运输方式的费用相同
85 x 2400 = 53 x 1700
4
2
x 400 3
当 x＜ 400 时，汽车运输划算 3
当 x 400 两种运输方式费用相同 3
x＞ 400 时，火车运输划算 3
公司每日需付费用 1400 元，在规定的时间内：A、请甲工程队单独完成此项工程；
B、请乙工程队单独完成此项工程；C、请甲、乙两个工程队合作完成此项工程，
试问：以哪一种方案花钱最少？
解：(1) 设甲的工作效率为 x
8x＋18( 1 －x)＝1，解得 x＝ 1
12
20
∴1－1 ＝1
12 20 30
答：甲工程队单独完成需 20 天，乙工程队单独完成需 30 天
B． 4x 18 5x 30
C． 4x 18 5x 30
D． 4x 18 5x 30
例 3.武汉市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上银杏树，
要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的问隔相等．如果每隔 5 米栽 1 棵，则树
苗缺 21 棵；如果每隔 6 米栽 1 棵，则树苗正好用完．设原有树苗 x 棵，则根据
题意列出方程正确的是（ A ）
A．5(x＋21－1)＝6(x－1)
B．5(x＋21)＝6(x－1)
C．5(x＋21－1)＝6x
D．5(x＋21)＝6x
例 4.油桶制造厂的某车间生产圆形铁片和长方形铁片，两个圆形铁片和一个长
方形铁片可以制造成一个油桶（如图）.已知该车间有工人 42 人，每
个工人平均每小时可以生产圆形铁片 120 片或者长方形铁片 80 片.
完整版)一元一次方程应用行程问题
完整版)一元一次方程应用行程问题行程问题是数学中常见的应用问题之一，其中最基本的关系是路程等于速度乘以时间，速度等于路程除以时间，时间等于路程除以速度。
在相遇问题中，甲、乙相向而行时，它们的路程之和等于总路程。
在追及问题中，当甲、乙同向不同地时，追者的路程等于前者的路程加上两地间的距离。
当甲、乙同向同地不同时，追者的路程等于前者的路程。
在环形跑道问题中，当甲、乙在环形跑道上同时同地同向出发时，快的必须多跑一圈才能追上慢的；当它们同时同地反向出发时，它们相遇时的总路程为环形跑道一圈的长度。
在飞行（航行）问题中，顺风（顺水）速度等于无风（静水）速度加上风速（水速），逆风（逆水）速度等于无风（静水）速度减去风速（水速），因此顺风（水）速度减去逆风（水）速度等于2倍的风（水）速。
在车辆（车身长度不可忽略）过桥问题中，车辆通过桥梁（或隧道等）时，它的行驶路程等于桥梁（隧道）长度加上车身长度。
在超车（会车）问题中，超车过程中，车辆行驶路程等于车身长度和，相对速度为两车速度差；会车过程中，车辆行驶路程等于车身长度和，相对速度为两车速度和。
在解决行程问题时，可以画出行程图来更直观、更容易理解问题的分析过程。
此外，列表分析也是解决行程问题的一种重要方法。
典型例题中的相遇问题包括甲、乙相向而行的情况。
例如，甲、乙两站相距600km，慢车每小时行40km，快车每小时行60km。
经过x小时后，慢车行了40x km，快车行了60x km，两车共行了100x km。
如果两车同时开出，x小时后相遇，可得方程40x+60x=600，解得x=6.如果两车相向而行，快车先行50km，在慢车开出y小时后两车相遇，可得方程40(y+50)+60y=600，解得y=2.如果两车相向而行，慢车先开50分钟，在快车开出t小时后两车相遇，可得方程40(t-50/60)+60t=600，解得t=2.5.另一个例题是甲、乙两站地路程为450千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶65千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶85千米。
2020年初一数学一元一次方程的13种应用题型全解析
一、工程问题列方程解应用题是初中数学的重要内容之一，其核心思想就是将等量关系从情景中剥离出来，把实际问题转化成方程或方程组，从而解决问题。
列方程解应用题的一般步骤（解题思路）（1）审——审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）．（2）设——设出未知数：根据提问，巧设未知数．（3）列——列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）答——检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．（注意带上单位）【典例探究】例1 将一批数据输入电脑，甲独做需要50分钟完成，乙独做需要30分钟完成，现在甲独做30分钟，剩下的部分由甲、乙合做，问甲、乙两人合做的时间是多少？解析：首先设甲乙合作的时间是x分钟，根据题意可得等量关系：甲工作（30+x）分钟的工作量+乙工作x分钟的工作量=1，根据等量关系，列出方程，再解方程即可．设甲乙合作的时间是x分钟，由题意得：【方法突破】工程问题是典型的a=bc型数量关系，可以知二求一，三个基本量及其关系为：工作总量＝工作效率×工作时间需要注意的是：工作总量往往在题目条件中并不会直接给出，我们可以设工作总量为单位1。
二、比赛计分问题【典例探究】例1某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分。
已知某人有5道题未作，得了103分，则这个人选错了道题。
解：设这个人选对了x道题目，则选错了(45-x)道题，于是3x-（45-x）=1034x=148解得 x=37则 45-x=8答：这个人选错了8道题.例2某校高一年级有12个班．在学校组织的高一年级篮球比赛中，规定每两个班之间只进行一场比赛，每场比赛都要分出胜负，每班胜一场得2分，负一场得1分．某班要想在全部比赛中得18分，那么这个班的胜负场数应分别是多少？因为共有12个班，且规定每两个班之间只进行一场比赛，所以这个班应该比赛11场，设胜了x场，那么负了（11-x）场，根据得分为18分可列方程求解．【解析】设胜了x场，那么负了（11-x）场．2x+1•（11-x）=18x=711-7=4那么这个班的胜负场数应分别是7和4．【方法突破】比赛积分问题的关键是要了解比赛的积分规则，规则不同，积分方式不同，常见的数量关系有：每队的胜场数＋负场数+平场数＝这个队比赛场次;得分总数+失分总数＝总积分;失分常用负数表示，有些时候平场不计分，另外如果设场数或者题数为x，那么x最后的取值必须为正整数。
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泉州五中2020级初一数学课时作业(58)
§6.3实践与探索(2)行程问题与调配问题
1.小张早晨去学校共用时15分,他跑了一段,走了一段,他跑步的平均速度是250米分,步行
的平均速度是80米/分,他家离学校的距离是2900米,设他跑步的时间为x分,根据题意,
可列出的方程是( )
A.250x+80(15-x)=2900
B.80x+250(15-x)=2900
C.80x+250x=2900
D.250x+80(15+x)=2900
2.七年级某班学生参加绿化劳动,在甲处有32人,在乙处有22人,现根据需要,要从乙处抽
调部分同学到甲处,使甲处人数是乙处人数的2倍,问应从乙处抽调多少人往甲处?设从乙处抽
调x人往甲处,可得方程是( )
A.32-x=2(22-x)
B.32+x=2(22+x)
C.32-x=2(22+x)
D.32+x=2(22-x)
3.在高速公路上,一辆长4m,速度为110km/h轿车准备超越一辆长12m,速度为100km/h
的卡车,则轿车从追上卡车到完全超越卡车,需要的时间为( )
A.1.6s
B.4.32s
C.5.76s
D.5.6s
*4.甲、乙两只装满溶液的容器中,甲容器装有浓度为8%的盐酸溶液150千克,乙容器中装有
浓度为40%的盐酸溶液100千克,各取出多少千克溶液放入对方容器内,才能使这两个容器中的
盐酸溶液浓度一样?( )
A.60
B.40
C.20
D.12
B
*5.正方形ABCD的轨道上有两个点甲与乙开始时甲在A处,乙在C处,它们沿着
正方形轨道顺时针同时出发,甲的速度为每秒1cm,乙的速度为每秒5cm,已知正
方形轨道ABCD的边长为2cm,则乙在第2018次追上甲时的位置( )
A.AB上
B.BC上
C.CD上
D.AD上
6.已知某铁路桥长500米,现在一列火车匀速通过该桥,火车从开始上桥到过完
桥共用了30秒,
整列火车完全在桥上的时间为20秒,则火车的长度为米.
7.如图1,天平呈平衡状态,其中左侧秤盘中有一袋玻璃球,右侧秤盘中也有一袋玻璃球,还有2
个各20克的
砝码.现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘,并拿走右侧秤盘的1个砝码后,天平仍呈平衡状
态,如图2,则被
移动的玻璃球的质量为克.
图1 图2
8.现有糖6%的糖水40千克,要配置成含糖20%的糖水应加糖千克。
*9.一客轮逆水行驶,船上一乘客掉了一件物品浮在水面上,乘客发现后,轮船立即掉头去追(轮
船掉头时间不计),已知轮船从掉头到追上共用9分钟,则乘客丢失了物品后分钟
后发现的。
10.甲、乙两城相距100千米,摩托车和自行车同时从两城出发,相向而行,2.5小时两车相遇, 自行车的速度是摩托车的3
1,求摩托车和自行车的速度。
11. 运动场地跑道一圈长400米,甲练习自行车,平均每分钟骑490米,乙练习跑步,平均每分钟跑250米,两人从同一处同时同向出发经过多少分钟两人首次相遇?
12. 黑色火药由硫磺、木炭和火硝三种原料配置而成,它们的质量比是2:3:15,要配置黑色火药150千克,这三种原料各多少千克?
13. 甲、乙两车间各有工人若干,如果从乙车间调100人到甲车间,那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍;如果从甲车间调100人到乙车间,这时两车间的人数相等,求原来甲乙车间的人数。
14. 一艘轮船在两个码头间航行,顺水航行需要4小时,逆水航行需5小时,水流速度是每小时2公里,求轮船在静水中的速度。
15.有4种原料,①50%的酒精溶液150g:②90%的酒精溶液45g;③纯酒精45g;④水45g.请 你设计一种方案,只选取三种原料(各取若干或全量)配制成60%的酒精溶液200g
(1)选取哪三种原料,各多少克?
(2)设未知数,列方程组并解答,说明你配制方法的正确性。
*16.如图,是某风景区的部分旅游路线示意图其中B 、C 、D 为风景点,A 、E 为路的交叉点,图中数据为相应两点间的路程(单位:千米)小明从A 出发,沿着路线A →B →E →D →A,以2千米/时的速度游览,每个风景点的逗留时间均为0.4小时,游览回到A 处时,共用了3.4小时,
(1)求E 、D 间的路程;
(2)若小明出发0.8小时后,小红从A 出发以3千米/时的速度把照相机送给小明(小红在景点不逗留),那么小红最快用多长时间能遇见小明?。