初中数学常用二级结论知识点总结
初中数学常用二级结论知识点总结
初中数学常用二级结论知识点总结姓名：____________指导：____________日期：____________在做压轴题时，虽不能直接引用，但可预知结果，简化计算和提高思维起点,也是很有用的！一、公式及其变式1、(%+o 乂％ + 6)=不？+(a + Z>)x + c 仍2、6 + / = (a + 6)2 ——2ab = (a - 尸 + 2ab —»,(a + b)2 +(a-b尸(a + b)2 -(a2 +b2) (a-b)1 -(a1八H) ab - -------------------- = -------------23、和的立方公式：(o + 6)3="+3°26+3而？ +/差的立方公式：+4、立方和公式:^+b3=(a+b)(a2-ab + b2)变式:d +b3 =(tz + Z))[(a4-i)2 -3aH5、立方差公式:d-b3 =(a-b)(a2 +ab + b2)变式：ci -b3 =(a-b/K a-b)2 +3aR注意区别：(a+6 + c)2 = cr +A? +c~ + 2cib + 2bc + 2cic(a+6 y +(6 + c), +(a + c)2 =2/ +2b" 4-2c? +2a3 + 26c + 2ac 6、a3 +b3 +e c -3 而c = (a+b+cXo +b? +c2-ab-be-ac)=(a+6+c) • (o —"'(a-)二、数学计算中的常用结论■3+……A±12 22、2+4 + 6+...+2 " =+ 1)3、1十3十5十7十，“十(2”・1)二刃24、12S+3142.../二巡屿生 65、I3 +23+3J + 43+…+n3 = (I + 2+3 + -4-n)2 = "n 人〜6、1 乂2 + 2 乂？+3 乂4+4 乂5+ ・•・ + 〃(》+ 1)=丄◎?•(乃_嗨r kl1IX ................. 三--------我(力+々)刀fk<2 + 6 1 1 8、------------ab a b三、常见几何基本图形及结论:K 厶iDC 二乙A+4 十ZC2. AD,CD 分另ij 平分43C,乙4c3，贝iJN6DC = 90。
二次函数二级结论
二次函数二级结论二次函数是数学中重要的一类函数，也是中学数学中常常与之打交道的一类函数。
在学习二次函数的过程中，我们容易着重于函数的图像和性质，但是二次函数中还有很多有意义的结论值得我们探究。
下面我将介绍二次函数的二级结论，包括几何意义、应用问题等方面。
1.关于函数值：（1）正负性：对于二次函数f(x)=ax²+bx+c，若a>0，则对于x∈R，f(x)≥0；若a<0，则对于x∈R，f(x)≤0。
这个结论可以利用二次函数的图像性质进行推导，也是解二次不等式的基础。
（2）取值范围：对于二次函数f(x)=ax²+bx+c，若a>0，则f(x)的最小值为c-Δ/4a，其中Δ=b²-4ac；若a<0，则f(x)的最大值为c-Δ/4a。
这个结论在最值问题中非常重要，可以帮助我们确定函数的最值点。
2.关于零点：（1）二次函数f(x)=ax²+bx+c的零点个数：根据二次函数的性质，对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当Δ=b²-4ac>0时，有两个不相等的实根；当Δ=0时，有两个相等的实根；当Δ<0时，没有实根。
这个结论可以帮助我们确定二次函数的零点个数。
（2）零点与系数的关系：对于一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实根x₁和x₂，有x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。
这个结论在解一元二次方程时非常有用，可以帮助我们计算实根的和与积。
3.关于图像：（1）顶点坐标：对于二次函数f(x)=ax²+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
这个结论可以帮助我们直接确定二次函数的顶点坐标，从而确定图像的位置。
（2）对称轴：对于二次函数f(x)=ax²+bx+c，其图像关于直线x=-b/2a对称。
这个结论可以帮助我们描述二次函数的图像关于哪条直线对称。
（3）判别式与图像：对于二次函数f(x)=ax²+bx+c，当Δ=b²-4ac>0时，图像开口朝上；当Δ<0时，图像开口朝下。
初中数学二级结论汇总,每次考试都能用!
初中教学二级结论仁总，每次考试却能用！一、公式及其变式1、(%+做% +，)=犬+(a + b)x+ab2、a2, + =(a + b)2— 2ab = (a—b)2 + 2ab =(° + ")；(•__^2_b( Q+6)~ + ( a~~6)~ ( &+ 3)~ —+6~) ( c2 — Z))~ — (cz" 4- b2")3、和的立方公式：(。
+ 6)3 =a3+3/6+3而2+6，差的立方公式:(ci-bf =a3 -3a2b + 3ab2-b34、立方和公式：4+/,3 =(4 +以。
2―必+ /)变式：/ +/『=9 + 矶(°+6)2 -3ab5、立方差公式：d-b3 =(a-b)(a2 ^ab^b2)变式:tz3-b3 =(a-A)[(a-Z>)2 +3而]注意区别：(a+6 + cP =，/+ / + c2 + 2ab+26c + 2ac(a+Z))2 +(Z)+ c)2 +(a + c)2 =2a2 +2/ 4-2c2 +2ab+26c + 2ac 6、a' +1)' +c> -3而c = (。
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2 +〃+c2 -ab-be-ac)=(a+6+c) •―+伯丁 + 仁一二二、数学计算中的常用结论】、1+23……22、2+4+6+―+2〃 =川〃+1）3、1十3十5十7十，，，十（2〃-1）二4、fS+3,42+ …”=一旬（2〃+1）65、］3423+33+43+一叶/ =。
+2+3 +，，・+〃）2=之答16、1乂2 + 2乂3+3乂4 + 4乂5 + ・一+，（力+1）="（" + ；（” + 2）.k」1I X -我（力+々）n n^ka +b 1 18、----- - ----ab a b三、常见几何基本图形及结论:K /ADC = /A + 4B+乙C2. 皿,8分别平分心出C,N/IC3 ,贝iJN6DC = 90。
初中数学二级结论
初中数学二级结论⼀.公式及其变式1.2.3.和的立方公式：差的立方公式：4.=立方和公式：变式：5.立方差公式：变式：6.⼆.数学计算中的常用结论1.2.3.4.5.6.7.8.三.常见几何基本图像及结论1.∠ADC = ∠A + ∠B +∠C三角形外角=不相邻两内角之和∠ADC = ∠A + ∠ABD∠CDE = ∠C + ∠CBD∴∠ADC = ∠ADE + ∠CDE = ∠A + ∠ABD + ∠CDB+∠C = ∠A + ∠B + ∠C 2.BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，则设∠ABC = 2α，∠ACB = 2β则∠A + 2α + 2β = 180°∴又∵∠BDC + α + β = 180°∴3.BD、CD平分∠CBE和∠BCF，则设∠CBE = 2α，∠BCF = 2β2α = ∠A + ∠ACB，2β = ∠A + ∠ABC∴2α + 2β = ∠A + ∠ABC + ∠A + ∠ACB = 180° + ∠A 又∵α + β + ∠BDC = 180°∴4.BD，CD分别平分∠ABC，∠ACE，则注：2，3，4分别是内心和旁心的性质之一5.BE，CE分别平分∠ABD和∠ACD，则6.在Rt△ABC中，AB = AC，D为斜边BC的中点，∠EDF = 90°。
则①BE = AF，AE = CD②DE = DF③7.（半角模型）正方形ABCD中，∠EAF = 45°，则BE + DF = EF8.在Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90°，∠DAE = 45°，则9.在Rt△ABC中，∠A = 90°，D为斜边BC的中点，且∠EDF = 90°，则10.四边形ABCD中，AC⊥BD，则（特别的，当四边形ABCD为圆内接四边形时有）11.矩形ABCD及任意一点P，都有·12.△ABC中，∠B = 2∠C，AD平分∠BAC，则AB + BD = AC（截长、补短）13.△ABC中，∠B = 2∠C，AD⊥BC，则：AB + BD = CD14.婆罗摩笈多模型婆罗摩笈多模型△DAB，△EAC都是等腰直角三角形，①MN⊥BC，则M为DE的中点②M为DE的中点，则MN⊥BC15.手拉手模型△ABC，△CDE为正三角形，则①AD = BE；②CM平分∠BMD16.正△ABC中，PC = 3，PA = 4，PB = 5，则∠APC = 150°构造等边三角形，通过90°+60°来证明17.Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，若PC，PA，PB分别为1，2，3，则∠APC=135°18.射影定理在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AD为斜边上的高，则①②③19.三角形交平分线定理AD平分∠BAC，则有20.△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，则△ADE∽△ACBAB，AC于E，F，则：△AEF∽△ACB22.等腰直角三角形中的一种几何构造方式在Rt△ABC中，AB=AC，CE⊥BE构造：连AE，过A作AE的垂线交BE于F△EDC∽△ADB∴∠ABD = ∠ACE∠EAC = ∠FAB（都与∠FAD互余）AB = AC∴△ABF≌△ACE（ASA）∴AE = AF四.直线及坐标系知识补充1.两点间的距离公式，则2.中点公式及推论，线段AB中点，则，推论1：，推论2：平行四边形顶点坐标计算：A = B+D-C，D = A+C-B3.一次函数知识补充一次函数（斜截式方程）①k的几何意义：②斜率公式：，则③直线的点斜式方程经过且斜率为k的直线的方程式为：④直线位置与k的关系：则：⑤点到直线的距离公式点到直线（直线的一般式方程）的距离⑥倒角公式：⑦弦长公式：直线与曲线C交于A，B两点，则，（配合韦达定理使用）五.三角函数公式补充1.，2.3.4.5.辅助角公式：六、余弦定理及推论推论：七、正弦定理⼋.三角形的面积及推论推论：九.圆中的重要定理及结论1.相交弦定理2.割线定理3.切割线定理4.弦切角定理∠PAC = ∠ABC5.托勒密定理托勒密定理圆内接四边形ABCD，6.三角形内切圆的切线长公式推论：直角三角形内切圆的半径公式7.四点共圆的两种判定方式①对角互补∠A = ∠DCE或者 ∠A + ∠BCD = 180°，则A，B，C，D四点共圆。
函数必备【二级结论】和知识点
1函数知识必备1、函数的三要素：定义域、对应关系、值域． （1）定义域： ①x 的取值范围；②基本初等函数的定义域：分式中分母不等于零即AB中0B ≠；偶次根式被开方式大于或等于00a ≥； 零指数幂0x 中{}|0x x ≠；对数中真数大于0即log a b 中0b >．正切函数tan y x =中ππ,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ．③抽象函数的定义域：定义域是x 的取值范围；括号里的范围是相同的． ④定义域取交集：若()f x ，()g x 的定义域分别为f D 、g D ，则()()()F x f x g x =±的定义域F f g D D D =I ．（2）值域：①y 的取值范围，分段函数中值域取并集； ②求值域的几种方法：1）直接法（利用基本初等函数的值域）；2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）； 3）单调性法（判断函数的单调性）；4）分离常数（分式型函数，分子分母为一次函数形式）；（3）分段函数：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，分段函数是一个函数； ①注意分界点，画图时找到临界值； ②写分段函数时，定义域不重不漏； ③带解析式时，注意定义域满足的条件．2、函数的四性：单调性、奇偶性、对称性、周期性． （1）单调性：①定义：()()()1212,x x f x f x f x >>⇒单调递增； 等价变形：()()()()12120x x f x f x f x −−>⇒⎡⎤⎣⎦单调递增；()()()12120f x f x f x x x −>⇒−单调递增；（联想）()()0f x f x '>⇒单调递增．②定义：()()()1212,x x f x f x f x ><⇒单调递减； 等价变形：()()()()12120x x f x f x f x −−<⇒⎡⎤⎣⎦单调递减；()()()12120f x f x f x x x −<⇒−单调递减；（联想）()()0f x f x '<⇒单调递减．③在公共区间上：增+增为增；减+减为减；增-减为增；减-增为减． ④复合函数的增减性：“同增异减”．⑤特殊函数的增减性：()()()()f x f x ↑↓⇒−↓↑；()()())()0f x f x ↑↓⇒≥↑↓；()()()()()()()100f x f x f x f x ↑↓⇒↓↑><或．⑥“脱掉、脱掉（脱掉f ）”：（抽象函数的单调性）若()f x 为增函数，即函数值大的自变量也大，即()()12f x f x >时，脱掉f ，不等号方向不变，也就是12x x >；若()f x 为减函数，即函数值大的自变量反而小，即()()12f x f x >时，脱掉f ，不等号方向改变，也就是12x x <；31a >单调递增区间为()0,+∞幂函数y x α=0α<在()0,+∞上递减0α= 没有单调性 0α>在[)0,+∞上递增7）对勾函数：()0,0by ax a b x=+>>的单调性与极值点b a ±有关．8）绝对值函数：y a x k =−（0a ≠）1a>10<a<1y=log a xyx O 0<α<1α<0α>1α=1α=011y=x αOyx5（2）奇偶性：①前提：定义域关于原点对称（若区间(),a b 上是奇函数或者偶函数，则0a b +=；若定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数）； ②定义：奇函数：（一看定义，二看图象）1）x D ∀∈，有()()f x f x −=−，则()f x 为奇函数（()()0f x f x −+=）；2）图象关于原点对称；3）在对称区间内，单调性相同；4）若定义域内含有0，则()00f =． 偶函数：（一看定义，二看图象）1）x D ∀∈，有()()f x f x −=，则()f x 为偶函数（()()0f x f x −−=）； 2）图象关于y 轴对称；3）在对称区间内，单调性相反． 注意：利用定义判断函数奇偶性的步骤：③基本初等函数的奇偶性： 函数参数取值奇偶性 一次函数()0y kx b k =+≠0b = 奇函数 0b ≠非奇非偶函数 二次函数()20y ax bx c a =++≠0b = 偶函数 0b ≠ 非奇非偶函数 反比例函数()0ky k x=≠ − 奇函数 指数函数xy a =（0a >且1a ≠） −非奇非偶函数对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）−非奇非偶函数幂函数y x α= α为奇数 奇函数 α为偶数偶函数④结论：1）函数()0f x =即是奇函数也是偶函数； 2）偶函数有()()()()f x f x f x f x =−==−； 3）奇偶性的运算规律：（1）奇函数±奇函数=奇函数；（2）偶函数±偶函数=偶函数；（3）奇函数⨯奇函数=偶函数； （4）偶函数⨯偶函数=偶函数；（5）奇函数⨯偶函数=奇函数；（6）奇±偶=非奇非偶（即奇函数中不含偶函数的项，偶函数中不含奇函数的项）； 4）x 的奇数次幂是奇函数，x 的偶数次幂是偶函数；5）若()()f x g x c =+（()g x 为奇函数），则()()2f a f a c +−=． 6）常见奇、偶函数：奇函数：xxy a a −=−；)ln y x =；x x x xa a y a a −−−=+．偶函数：+x xy a a −=；2y x a x =+．（3）对称性：①关于点对称：（横坐标和定，纵坐标和定）()f x 关于点()0,0对称，可得()()0f x f x −+=；()f x 关于点(),a b 对称，可得()()2f x a f x a b −+++=；或者()()22,f x f x a b −++=L ；若()f x 满足()()22f x f x a b +−+=，则()f x 关于点(),a b 对称．②关于轴对称：（横坐标和定，纵坐相等）()f x 关于0x =（y 轴）对称，可得()()f x f x −=；()f x 关于x a =对称，可得()()f x a f x a −+=+；或者()()2,f x f x a −=+L ；若()f x 满足()()2f x f x a =−+，则()f x 关于x a =对称．（4）周期性：（横坐标差定，纵坐相等）①定义：存在非零常数T ，对于()f x 定义域内的任意一个x ，()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT (), 0k k ∈≠Z 也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期．②周期性的重要结论：1）()()f a x f b x +=+，T b a =−；2）()()f a x f b x +=−+，2T b a =−，特别地，()()f a x f x +=−，2T a =，则()()()()2f x a f x a a f x a f x +=++=−+=⎡⎤⎣⎦．3）()()1f a x f x +=±，2T a =；则()()()()12f x a f x a a f x f x a +=++==⎡⎤⎣⎦+． 4）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±．75）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T −=⇒． 6）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T −=⇒．7）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T −=⇒．3、基本初等函数的图象：指、对、幂函数的特点． （1）指数函数： 指数运算：①正整数指数幂：n a a a a =⋅⋅⋅L ；②负整数指数幂：1n n a a−=（0a ≠，*n ∈N ）；③零指数幂：01a =（0a ≠）；④正分数指数幂：mna =0a >，m ,*n ∈N ，(),1m n =)；⑤负分数指数幂：1m n m n a a −=(0a >，m ,*n ∈N ，(),1m n =）；⑥指数幂的运算性质：①r s r s a a a +=；②r r s sa a a−=；③()r r rab a b =；④()()s r r s a a =．指数函数图象与性质： ①定义域：R ； ②值域：()0,+∞；③过定点：()0,1，过点()1,a ；④单调性：01a <<时，指数函数为减函数；1a >时，指数函数为增函数；⑤渐近线：x 轴（图象上下平移时，渐近线也要一同平移；图象上下翻折时渐近线也要进行翻折）．指数函数知识拓展：①指数函数xy a =与1xx y a a −⎛⎫== ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称；②判断底数大小：令1x =，与图象交点的纵坐标为底数；③比较大小：同底、同指、或者和0、1比较，或者和中间值比较；④解指数不等式：化同底，根据单调性去底（底数1a >，去底不等号的方向不改变；底数01a <<，去底不等号的方向改变）．（2）对数函数： 对数运算：①对数定义：一般地，若ba N =，则log ab N =（0a >，且1a ≠），读作“以a 为底N 的对数”．②常见的对数符号：常用对数，把10log N 记为lg N ；自然对数，把e log N 记为ln N ，其中e 2.71828=L ． ③对数恒等式：1）log 10a =；2）log 1a a =；3）log a Na N =；4）log N a a N =；④对数的运算性质：1）()log log log a a a M N M N ⋅=+；2）log log log a a a M M N N =−；3）log log a a M M αα=；4）log log log a b a NN b=（换底公式）．⑤有用结论：1）1log log a b b a =；2）log log m n a a n b b m=．对数函数图象及性质： ①定义域：()0,+∞； ②值域：R ；③过定点：()1,0，过点(),1a ；④单调性：01a <<时，对数函数为减函数；1a >时，对数函数为增函数； ⑤渐近线：y 轴（图象左右平移时，渐近线也要一同平移）． 对数函数与指数函数的关系注：同底的对数函数与指数函数互为反函数，二者的图象关于y x =对称．对数函数知识拓展：①对数函数log a y x =与11log log log a aay x x x ==−=的图象关于x 轴对称； ②判断底数大小：令1y =，与图象交点的横坐标为底数；③比较大小：同底、同真、或者和0、1比较，或者和中间值比较；④解对数不等式：化同底，根据单调性去底（底数1a >，去底不等号的方向不改变；底数01a <<，去底不等号的方向改变）．⑤求复合函数的单调性时，满足两点： 1）真数部分要大于0；2）根据复合函数的“同增异减”来求函数的单调区间．9（3）幂函数：①概念：形如()y x αα=∈R 的函数称为幂函数．②常见幂函数的图象将函数y x =，2y x =，3y x =，1y x=，12y x =的图象画在同一坐标系中，如下图所示：③幂函数的性质1）所有幂函数在()0, +∞上都有定义；2）0α>时，幂函数过原点，且在[)0,+∞上单调递增；0α<时，幂函数在()0, +∞上单调递减；3）设mnα=，m ∈Z ，*n ∈Z ，(),1m n =，当n 是偶数，则幂函数既不是奇函数也不是偶函数；当n 是奇数，则当m 为奇数时幂函数是奇函数，m 为偶数时幂函数是偶函数．4）当01α<<时，函数是上凸函数，且12,x x ∀满足()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭；当1α>时，函数是下凸函数，且12,x x ∀满足()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭． 5）幂函数的图象根据奇偶性进行补全即可．4、函数零点 （1）零点定义：①对于函数()()y f x x D =∈，把使()0f x =成立的实数x 叫做函数()()y f x x D =∈的零点；②零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程()0f x =实数根，亦即函数()y f x =的图象与x 轴交点的横坐标.即：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点； ③函数的零点与方程根的关系：函数()()()F x f x g x =−的零点就是方程()()f x g x =的根，即函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象交点的横坐标．④三个等价关系(三者相互转化)（2）零点存在性定理：①函数()f x 在区间[],a b 上是连续不断的； ②()()0f a f b <；③则函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即至少存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 就是方程()=0f x 的根（即是函数()f x 的零点）． 注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点．③由函数()y f x =在闭区间[],a b 上有零点不一定能推出()f a ·()f b 0<，如图所示．所以()f a ·()f b 0<是()y f x =在闭区间[],a b 上有零点的充分不必要条件．（3）零点唯一的条件：函数()f x 在区间(),a b 上连续不断，满足()()0f a f b <，且函数()f x 在区间(),a b 上单调，则函数()f x 有唯一零点．。
二次函数二级结论初中
二次函数二级结论初中二次函数是初中数学中一个非常重要的部分，也是一个比较难以理解的概念。
在二次函数的学习中，我们需要掌握的二级结论是非常重要的。
在这篇文章中，我们将全面、生动地介绍二次函数的二级结论，帮助大家更好地理解和掌握二次函数的知识。
一、二次函数的二级结论是什么？二次函数的二级结论是指，在二次函数图像中，平移、旋转、翻转等变换操作的规律。
二、如何理解二次函数的二级结论？我们可以从以下几个角度来理解二次函数的二级结论：1.平移变换规律：当二次函数的顶点坐标从（a，b）变成（a+p，b+q）时，函数图像向左移动p个单位，向上移动q个单位。
2.旋转变换规律：当二次函数的顶点坐标从（a，b）逆时针旋转θ角度后，函数图像也逆时针旋转θ角度。
3.翻转变换规律：当二次函数的顶点坐标变成（-a，b）时，函数图像相对于y轴翻转；当二次函数的顶点坐标变成（a，-b）时，函数图像相对于x轴翻转。
以上是二次函数二级结论的几个核心规律，通过深入理解这些规律，我们可以更好地掌握二次函数的知识。
三、如何应用二次函数的二级结论？应用二次函数的二级结论主要有以下几个方面：1.通过平移、旋转、翻转等变换操作来分析和解决实际问题，如模拟抛物线运动等。
2.在二次函数的图像变换中，可以根据其二级结论对函数图像进行精确画图和变换。
3.通过二级结论来区分和掌握不同二次函数的性质，如顶点坐标、对称轴、开口方向等。
通过实际应用和理解二次函数的二级结论，我们可以更好地掌握二次函数的知识，提高数学问题解决能力和数学素养。
总之，二次函数二级结论是初中数学中一个非常重要的知识点，理解和应用二级结论可以帮助我们深入了解二次函数的各种性质和变换规律，具有非常重要的指导意义。
希望大家在学习二次函数的过程中，能够充分理解和应用二级结论，提高自己的数学水平。
初中常用二级结论
初中常用二级结论一、代数部分。
（一）一元二次方程。
1. 韦达定理。
- 内容：对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，设其两根为x_1，x_2，则x_1 + x_2=-(b)/(a)，x_1x_2=(c)/(a)。
- 原因：一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
若两根为x_1=frac{-b + √(b^2)-4ac}{2a}，x_2=frac{-b-√(b^2)-4ac}{2a}，则x_1 + x_2=frac{-b+√(b^2)-4ac}{2a}+frac{-b-√(b^2)-4ac}{2a}=-(b)/(a)；x_1x_2=frac{(-b + √(b^2)-4ac)(-b-√(b^2)-4ac)}{4a^2}=frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=(c)/(a)。
- 实用性：在解决一元二次方程根与系数的关系问题时，不需要求出方程的根就可以得到两根之和与两根之积，例如已知方程x^2-3x - 4 = 0，根据韦达定理可知两根之和为3，两根之积为-4。
可以用于求与两根相关的代数式的值，如x_1^2+x_2^2=(x_1 + x_2)^2-2x_1x_2。
2. 判别式Δ=b^2-4ac与根的关系的拓展。
- 内容：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根。
如果a、b、c是有理数，且Δ是完全平方数，则方程的根为有理数。
- 原因：由一元二次方程的求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}可知，√(b^2)-4ac的值决定了根的情况。
当b^2-4ac>0时，√(b^2)-4ac是一个实数，且±√(b^2)-4ac不同，所以有两个不相等实数根；当b^2-4ac = 0时，√(b^2)-4ac=0，两根相同；当b^2-4ac<0时，√(b^2)-4ac无实数意义，所以方程无实数根。
超级有用的二级结论汇总
数感符号感的培养581062322256210243729,,,====1. 1-20的平方 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400 1-10的立方1.8,27,64,125,216,343,512,729,1000 常见的勾股数：3,4,5 ;5,12,13;7,24,25;15,17,282.立方差立方和公式()3322333a b a a b b a b ±=±+±，()()3322a b a b a ab b ±=±+3.常用的一些数据14141732224...=== 271828e .≈15718rad '≈︒，20693109114ln .,ln .,ln .≈≈π≈第一部分：函数1.函数的对称性(奇偶性延伸)()()f a x f a x -=+⇔函数()y f x =的图像关于直线x a =对称； ()()2f a x f a x b -++=⇔函数()y f x =的图像关于点()a,b 对称．证明： 方法一：()y f x =关于点()a,b 对称，可以得到()y f x a b =+-为奇函数，所以()()()()02f x a b f x a b f x a f x a b +-+--=⇔++-=．方法二：(相关点法)，若函数()y f x =关于点()a,b 对称，即()x,y 的对称点()22a x,b y --在原函数图像上，所以()()()()()22222b y f a x f x f a x b f a x f a x b -=-⇔+-=⇔++-=． 2.函数的周期性()()f x T f x +=1）半周期：()()()()()()11f x a f x ,f x a ,f x a f x f x +=-+=+=-， 函数()f x 的周期为2a ；2）双对称问题： 函数()()f x a f a x +=±-，()()()f x b f b x a b ,+=±-≠若两式同号，则()f x 是以2b a -为周期的周期函数． 3）其他类周期问题： ①()()f a x f b x T b a ±=±⇔=-； ②()()2f a x f b x T b a±=-±⇔=-；③()()()6f x a f x a f x T a -++=⇔=；④设0T ≠,有()()f x T M f x +=⎡⎤⎣⎦其中()M x 满足()M M x x =⎡⎤⎣⎦且()M x x ≠，则函数的周期为2．3．函数求值域的常用方法： 1）判别式法：将函数()y f x =上的y 视为常数，若它关于x 是二次的，则可由其关于x 的判别式非负而求得y 的范围，注意检验等号是否成立；2）换元法：引入适当地变量，将复杂的函数式化归为已知的简单函数式，注意引入变量的范围；3）利用二次函数：化归为二次函数的最值或限定条件下的二次函数最值问题，借用配方法来求解；4）利用单调性：将所给函数化为熟知的初等函数，利用单调性求最值（值域）； 5）利用不等式：运用算数-几何不等式，柯西不等式,注意等号成立条件的讨论； 6）图像法：利用图像的直观性可求一些特殊函数的值域． 4.指数函数对数函数1）真数互换公式：x y x y log a log b log b log a ⋅=⋅； 2）底真互换公式：c c log b log a a b =； 3）当对数的底数和真数同时在()01,或()1,+∞上时，0a log b >，否则0a log b <．5.函数嵌套零点问题第二部分：函数与导数1.导数的定义()()()0000x f x m x f x n x m nlimf x p x p∆→+∆-+∆-'=∆．2.三次函数()320y axbx cx d,a =+++≠1）230b ac ->⇔三次函数有极大值极小值，有三个单调区间；230b ac -≤⇔三次函数没有极值，一个单调区间； 2）三次函数式中心对称图形，它有一个对称中心， 求法：二阶导后导数为0，方程的根为中心横坐标； 3）必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切（切过）． 3．构造函数秒杀大法： 注意：①()f x '前的系数为正或可正可负，看原本()f x '前的系数为负，变号“<”变“>”“>”变“<”;②导函数思想，导函数大于零单调递增，导函数小于零单调递减； ③若所求一方没有()f的形式，在题干中没有()f 形式，类如定义在R 上的奇函数()00f ⇔=④在题干中找到两个()f形式1）由周期或对称性得出另一个()f形式，使用新生成的()f．2）由奇偶性得出另一个()f形成．对于构造函数比较大小的题目，遇到奇偶性切记不能用．4.导数常用的放缩1x e x ≥+， 111x ln x x x x--<≤≤-， ()1x e ex x >>．5.关于证明含ln x 的不等式的一种思路举例说明：证明()1111123ln n n ++++>+，左边为看成1n 求和，右边看成n S ．解法：令1n a n=，()1n S ln n =+，则()1n b ln n lnn =+-，只需要证明n n a b >即可，根据定积分知识画出1y x=的图像，几何方法．另解：()1x lnx ≥+．6.对数不等式)0a ba b a,b a b ln a lnb-+>>>≠-且a b +可以是极值点和的形式，若我们求得对数平均数为一个定值，那么加和以及乘积形式得极值点证明的题目就可以迎刃而解！！ 7.端点效应 8.洛必达法则9.凸函数（琴生不等式） 10.导数中的ATM 找点法： 函数中存在零点，通常我们寻找这个零点，需要用到二分法来卡根，即零点存在性定理． 这是一个被神化的玩意儿，我们连隐零点都能跳过，至于找点，当然会有巧妙绕过的方案，如果你的切线和同构功底足够，根本无需害怕找点，因为研究导数，本来就是循序渐进，没必要一下子很突兀，让人觉得晦涩难懂，ATM 找点，其实就是一种逆向思维来说明，脑海里多装几个函数图像，参变分离瞬间找到最值，一切迎刃而解． 11.极值点偏移12.导数与三角函数综合题目第三部分 数列1.等差数列1）n a 为等差数列n a dn C ⇔=+2122n d d S An Bn,A ,B a ⎛⎫⇔=+==- ⎪⎝⎭；2）()2121n n S n a -=-．2.等比数列1）n a 为等比数列()10n na Aq ,q -⇔=≠()1n n S Aq A,q ⇔=-+≠；2）()111mm nn S q ,q S q -=≠±-．3.求通项方法1）由n S 得n a 或者其递推公式；2）累加累乘法；3）根据递推公式通过变形后换为等差数列或者定比数列． 待定系数法 4）不动点法定义：方程()f x x =的根称为函数()f x 的不动点，利用递推数列递归函数()f x 的不动点，可将某些递推关系()1n n a f a -=所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法为不动点法．P262 4.求和方法1）公式法；()()211216nk n n n k =++=∑，()23112nk n n k =+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑2）裂项相消 秒杀求和()()1111nn n n ⇒++()()()()121212121nn n n ⇒-+-+对任意数列，{}00n S a =⇔不分段{}00n S a =⇔分段由n S 的n a3）并项求和4）错位相减法()1n n n n c a b dn b q -=⋅=+，()n n S A n B q C =⋅++其中()n nS A n B q C =⋅++，其中11d b d A ,B ,C B q q -===--- 6.等差等比综合题目 ① 等差数列{}n a ，公差不为0；② m n p a ,a ,a 成等比数列7.选项分析法（数列通项或者求和的含n 的选择题目）第四部分 直线与圆1.直线1） 到角公式21211k k tan k k -α=+，2） 直线11110l :A x B y C ++=,21110l :A x B y C ++=1212120l l A A B B ⊥⇔+=;1221121221A B A B l l AC A C -=⎧⇔⎨≠⎩∥; 3） 与11110l :A x B y C ++=平行的直线系方程为：()1110A x B y C C C ++=≠，; 与11110l :A x B y C ++=垂直的直线系方程为：110B x A y C -+=;过两直线11110l :A x B y C ++=,21110l :A x B y C ++=交点的直线系方程：()1112220A x B y C +A x B y C =++λ++，不包括21110l :A x B y C ++=这条直线．4）点()x,y 关于直线0Ax By C ++=的对称坐标为：()()222222A Ax By C B Ax By C x ,y A B A B ++++⎛⎫-- ⎪++⎝⎭．秒杀直线斜率为1或者-1的点关于线对称的题目：例题：解析：直接讲已知点(-2,12)的横纵坐标都代入对称直线中，直接可以得对称点的横坐标为81284x y =-=-= ，同理可以8286y x =+=-+=，可得对称点坐标为（4,6）. 2.圆1）根据直径两个端点写圆方程：()()()()12120x x x x y y y y --+--=；2）阿氏圆：阿波罗尼斯圆：在平面上给定两点A,B ，设P 点在同一平面上且满足PAPB=λ,当0λ>且1λ≠时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆． (1λ=时P 点轨迹是线段AB 的中垂线)定长对定角，角的端点的轨迹也是一个圆例如：ABC ∆中，4AB ,=且120C ∠=︒，求动点C 的轨迹.3)圆22xy Dx Ey F ++++，在x 轴上的截距之和为-D ，在y 轴上截距之和为-E,在两轴上截距之积均为F. 4)圆系方程 过两圆2211110C :xy D x E y F ++++=和2222220C :x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()()222211122210x y D x E y F x y D x E y F ,+++++λ+++=λ≠-+，不包括圆C 1第五部分 圆锥曲线1.仿射变换在解析几何中的应用在解析几何中，圆有很多重要的几何性质，椭圆的标准方程()222210x y a b a b+=>>在形式上接近圆的标准方程222x y r +=，故我们可以通过仿射变换将椭圆变成圆，这样就可以很好地处理与斜率、面积有关的一类问题。
初中数学二级结论汇总
初中数学二级结论汇总1.两个相等的角互补，则它们的度数都是45度。
2. 两个垂直的直线相交，所形成的四个角中，相邻的两个角互补。
3. 一条直线和一个平面相交，所形成的角和这条直线垂直的直线所形成的角互补。
4. 在任何一个等角三角形中，三个角的度数相等，都是60度。
5. 一个角的余角等于它的补角。
6. 两个互为相反数的数相加，结果为0。
7. 两个互为相反数的数相乘，结果为负数。
8. 两个互为倒数的数相乘，结果为1。
9. 任意一个点到平面上的一条直线的距离，在垂直这条直线的平面上的垂线上。
10. 一个等腰三角形的底角和顶角相等。
11. 两个相等的角互相对称，则它们所对的边也相等。
12. 在一个正方形中，每条对角线都是另外两个顶点的中垂线。
13. 一个垂直于直角三角形斜边的直线，把这个三角形分成两个全等的直角三角形。
14. 一个直角三角形的两个锐角互补。
15. 一个角的补角等于它的余角。
16. 一个角的余角等于180度减去它的度数。
17. 一个角的补角等于90度减去它的度数。
18. 在一个等腰三角形中，高、底边、斜边都互相平分。
19. 在一个等边三角形中，三条高互相平分，并且都经过三角形的重心。
20. 在一个长方形中，对角线相等。
21. 在一个平行四边形中，对角线互相平分，并且把平行四边形分成两个全等的三角形。
22. 在一个梯形中，底部两个角互补，顶部两个角互补，且底边平行。
23. 在一个圆中，直径是最长的，半径是最短的，且任意两个半径相等。
24. 在一个扇形中，弧度数等于圆心角的度数。
25. 在一个正多边形中，每个内角的度数是(180度×(n-2))/n，其中n是多边形的边数。
26. 在一个等腰梯形中，底部两个角互补，顶部两个角互补，并且底边平行。
27. 一个点到一个平面上的一条直线的距离，在垂直这条直线且经过这个点的直线上。
28. 在一个梯形中，对角线互相平分，并且把梯形分成两个全等的三角形。
初中数学 必学的二级结论
初中数学必学的二级结论二级结论是指通过一些简单的逻辑推理和理论证明所得出的结论。
在初中数学中，二级结论的掌握是非常重要的，它能够帮助我们更加快速和精确地解决问题，提高数学的运用能力。
1. 一次函数的性质一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k和b分别代表斜率和截距。
（1）若k>0，则函数y=kx+b单调递增。
（3）若b>0，则函数图像在y轴正半轴上方。
2. 垂直平分线的性质在平面上，如果一条线段被另一条线段垂直地平分为两段，那么这条垂线上任何一点到两段线段的距离都相等。
3. 平行四边形的性质（1）对角线互相平分。
（2）对边平行。
（3）相邻两角互补。
4. 相似三角形的性质相似三角形是指具有相似形状但大小不同的三角形。
5. 圆的性质（1）半径相等的圆互相等价。
（2）圆内接直角三角形的直径为斜边。
（1）三角形内角和等于180度。
（2）大边对大角，小边对小角。
（3）三边长符合三角形不等式：任意两边之和大于第三边。
（4）等腰三角形的底角相等，等角三角形的三个角相等。
7. 等比数列的性质等比数列是指每一项都是前一项与公比的乘积。
（1）首项与公比确定一个等比数列。
（2）前n项和公式为S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)。
（3）若公比q>1，则等比数列单调递增；若0<q<1，则等比数列单调递减。
当q=1时，等比数列为常数数列。
通过对这些二级结论的学习和实践操作，我们可以使自己更加灵活地应对各种数学问题，提高我们的数学素养和计算能力。
初中数学二级结论
初中数学二级结论
数学是一门重要的学科，其数学结论不仅能让我们更好地认识世界，还能帮助我们更好地解决生活和工作中的实际问题。
在初中数学二级中，有许多重要的知识点和结论需要我们掌握。
接下来，我将为大家
详细介绍初中数学二级的一些重要结论。
一、平行线的性质
1.两条平行线夹角相等
2.两平行线与第三条直线所夹的对应角相等
3.两平行线中任意一对共线的同侧内角互补，异侧内角相等
二、三角形的性质
1.等腰三角形的底角相等
2.等边三角形的三个角均为60度
3.直角三角形斜边平方等于两直角边平方和
4.三角形两边之和大于第三边
5.三角形两角之和小于180度
三、相似三角形的性质
1.相似三角形的对应角相等，对应边成比例
2.对于两个相似三角形，对应边的比等于相似三角形对应角的正切值
3.相似三角形的高、中线、角平分线成比例，且比例因子为对应的边长比
四、勾股定理
1.在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和
2.根据勾股定理，我们可以快速计算出直角三角形的某些边长
五、圆的性质
1.用圆心角的度数来表示弧度，1弧度 = 180度/π
2.圆周角的度数等于其所对圆心角的度数的一半
3.相交圆弧所对的圆心角相等
4.圆周角相等的弧长相等
以上就是初中数学二级一些重要的结论。
通过了解和掌握这些结论，我们可以更加深入地理解数学知识，提高数学运算能力，解决生活和工作中的实际问题。
希望大家在学习数学的过程中，能够更加热爱这门学科，勇于克服困难，不断提高自己的数学能力。
初中数学常用二级结论知识点总结
初中数学常用二级结论知识点总结
1、若一条直线和一个平面垂直，则直线与平面所成的角是直角。
2、任意两条直线垂直的充要条件是它们的斜率相乘等于-1。
3、两条直线垂直的充分必要条件是这两条直线有公共点或者它们连接构成矩形。
4、神型三角形和菱形都有两条对边平行且相等。
5、平行四边形的两条对边相等，且任意一点将其分割为两个相等的三角形。
6、正方形其面积等于它的边长的平方。
7、正方形四边形正多边形所有的角都是直角。
8、圆的面积等于圆的半径的平方乘以圆周率。
10、球的表面积等于4乘以球的半径乘以球体积。
12、椭圆的双焦点距离等于椭圆的长轴和短轴之差。
13、平面内三点不共线，则这三点可以确定一个唯一的三角形。
14、三角形的一定性质：任意两边之和大于第三边，任意一边大于其余两边之差。
15、直角三角形的一定性质：它的直角边的平方和等于斜边的平方。
16、正六边形的面积为正六边形的一边长的平方乘以3乘以开方2。
17、等腰三角形的首先性质：任意两边相等，斜角都相等。
18、等腰三角形的二定性质：任意一边上有两个斜角为45°，另一个斜角为90°。
20、等边三角形的一定性质：所有的角都是相等的，三边就可以确定一个等边三角形。
22、30-60-90三角形的一定性质：斜边相等，且一边大于另外两边的二倍。
23、三棱柱的表面积等于三个棱的长度之和乘以三棱柱的底面积。
25、圆锥体的底面积乘以高除以3等于圆锥体的表面积。
初中数学二级结论汇总,节省解题时间!
初中数学二级结论汇总,节省解题时间!(打印版)一、公式及其变式1、(x+a∖x + b) = x z +(a + b)x + ab2、a2 + b2 ={a + Z))2—2ab = (Q- ⅛)2 + 2ab =+ +农___. O+ b)~+(α-Z))- (α + b)" — (/+Zr) (Q_b)"_(/ + Zr)Clb = -------------------- = ---------------------- = ------------------------4 2 23、和的立方公式:(α+⅛y =α3+3α26+3αZ>2+63差的立方公式：(a-b j=α3-3a2b + 3ab2 -b34、立方和公式：^+b3=(a+b)(a2-ab + b2)变式：α3+b3 =(tz + ⅛)[(α+⅛)2-3ab]5、立方差公式：d-b3 =(a-b)(a2+ab + b z)变式:α3-⅛3=(α-⅛)∣(α-Z>)2+3α⅛]注意区另U ： (<7+Z> + c*)2 = a1 + A2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac(α + ⅛ )2 +(⅛ + c)2+(α + c)2 =2Cr÷2⅛2 +2c2+2ab + 2bc-^2ac 6、a i +b3 +K -3abc = (a+b+c∖a^ +b2 -S t-Cλ -ab-be-ac)(c(. —b)~ ÷(b-c)~ + (<2 — c)^^=(Q+ b + θ)∙2二、数学计算中的常用结论1、l+2+3"→"巴凹22、2+4 +6 +…+2〃 =诡7 + 1)3、1 + 3+5 + 7 十，“十(2 川一I) =，,4、卄八珀毕+…仃十D⑵"1)65、1'+2?十3' + 4?+•・・・ + /? = (1 + 2十3 + ・・・+以)2二2£^]2：6、l×2 + 2×3+3x4+4x5+∙∙→∕ι(w÷=Λ(Λ÷⅛)H H^k<2 + 6 1 18 q --- - ----ab a b三、常见几何基本图形及结论:K SDC = S.+厶B 十上C2、血,S别平分SGzs贝十討A3、CQ 分别平分，则ZBDC = 90o-∣Z42$、疗EeF 分别平分Z/仍D 和"CD ,则ZE = ^{Λ4 + ZD)2D4、3D,CD 分别平分厶1BC, ZACE 9 则 ZSDC = -∠S42⅛H ⅛+⅛≡ J 写H'<送∖I ∙⅛(D ≡*2 W √H ⅛S S≡^Θb π⅛^.⅛^π⅛Θ 竄006」M Q 乌吨⅛g υ9R 離黑Q υp = vu⅜υg w w‰(Z J 3D +二7g ≡∙%寸6H υ^7σX H省⅛U ^V Q ⅛∞9.在&2〃C中，Q二90S D为斜边疗C的中点，£ZZ L YJF= 90° . 贝 IlB+CF* EF'IOX 卩q边形ABCD中，AC X IiD .则AB2^CD2 =AD2+ BC2（特别地，当四边形川?CD为SI内接四边形时有AB2 +CD2 = .ID2 +BC1 = 4R’）B12、ZVBC 中∙ΛB = 2ZC,ΛD平分ΛBAC .则/IB+BD =AC〔截冬、补短）13.WC 中，ZB=2ZC"4D 丄BC ,则：AB^BD=CDD14.M)AB. ^EAC都是等腰直角三角形，①MV丄则M为Z)E的中点•②Λ/为DE的中点，则MV T丄占C・15、 AABuaCDE为正三角形,则①AD=BE ；②Ql/平分ZδMD\116、正亠仏C 中.PC = 3,PA=4∙PB = X则Z∕lPC=150o.17、用亠仍C 中，ABAC=9(T./IB=AC .若Pe,∕⅛皿分别为 1,2,3,则ZZlPC = I35。