椭圆与双曲线性质有关性质推论归纳共92条
高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）高三数学备课组椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y ab+=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y ab+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y ab+=.7. 椭圆22221x y ab+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F P F S b γ∆=.8. 椭圆22221xya b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||M F a ex =+,20||M F a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF .10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y ab+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y ab a b+=+.13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y ab+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y abab+=+.双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y ab-=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x yab -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x xy y ab-=.7. 双曲线22221x y ab-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F P F S b co γ∆=.8. 双曲线22221x yab-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||M F ex a =+,20||M F ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||M F ex a =-+,20||M F ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线22221x y ab-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则202y a x b KK ABOM =⋅，即0202y a x b K AB =。
高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结
高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结姓名：（一）椭圆1.椭圆的定义如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆即|PF1|+|PF2|=2a其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C当a>c时表示当a=c时表示当a<c时第二定义：动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0<e<1)时，这个点的规迹是椭圆。
定点是，定直是e是2.椭圆的标准方程参数方程（1）标准方程（2）参数方程3.椭圆的性质（1）焦点在x轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2分别为椭圆的左右两焦点，P为椭圆上的一点)椭圆的通径（过椭圆的一个焦点F且垂直于它过焦点的对称轴的弦）|P1P2|=（2）焦点在y轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2分别为椭圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.椭圆系（1）共焦点的椭圆系方程为2221x yk k c+=-(其中k>c2,c为半焦距)（2）具有相同离心率的标准椭圆系的方程2222(0) x ya bλλ+=>(二)双曲线1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是(2)若|P F1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)（3）焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.等轴双曲线22(0)x yλλ=±③离心率为-=≠特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直y x5.共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线22221x ya b+=的共轭双曲线是6.双曲线系（1）共焦点的双曲线的方程为2221x yk k c+=-(0<k<c2,c为半焦距)（2）共渐近线的双曲线的方程为2222(0) x ya bλλ-=≠。
高考数学椭圆与双曲线的经典性质技巧归纳总结
椭圆的定义、性质及标准方程高三数学备课组 刘岩老师1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围x a y b ≤≤， x b y a ≤≤， 顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率)10(<<=e a ce )10(<<=e a ce 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
双曲线和椭圆知识点汇总
椭圆知识点知识要点小结：知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆12222=+by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
椭圆与双曲线的重要性质归纳总结
1.椭圆与双曲线的对偶性质椭 圆点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB-=。
若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b +=+. 双曲线点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K ABOM =⋅，即0202y a x b K AB =。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
简记为：左“＋”右“－”。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。
有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。
双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。
②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。
椭圆与双曲线性质
椭圆与双曲线性质椭圆和双曲线是解析几何中重要的曲线类型，它们具有各自独特的几何性质和特点。
在本文中，我们将探讨椭圆和双曲线的性质及其在数学和实际应用中的重要性。
椭圆椭圆是一个平面上的几何图形，其定义基于两个焦点和一条连接两个焦点的线段的长度之和等于常数的特定条件。
以下是椭圆的一些重要性质：1. 主轴和副轴：椭圆的两个焦点之间的距离是椭圆的主轴的长度。
主轴的中点是椭圆的中心点。
与主轴垂直且通过中心的线段称为副轴。
2. 离心率：椭圆的离心率定义为焦点与中心之间的距离与主轴长度之比。
离心率介于0和1之间，其中0表示圆形，1表示无限大的线段。
3. 焦距定理：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的主轴的长度。
4. 方程：椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b是主轴和副轴的长度。
双曲线双曲线也是平面上的几何图形，其定义基于两个焦点和一条连接两个焦点的线段的长度之差等于常数的特定条件。
以下是双曲线的一些重要性质：1. 主轴和副轴：双曲线的两个焦点之间的距离是双曲线的主轴的长度。
主轴的中点是双曲线的中心点。
与主轴垂直且通过中心的线段称为副轴。
2. 离心率：双曲线的离心率定义为焦点与中心之间的距离与主轴长度之比。
离心率大于1。
3. 焦距定理：双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差等于双曲线的主轴的长度。
4. 方程：双曲线的标准方程是(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标，a和b是主轴和副轴的长度。
椭圆与双曲线的数学性质椭圆和双曲线在数学中具有广泛的应用和研究价值。
它们是椭圆函数和双曲函数的基础，这些函数在数学物理学、工程学和其他领域中起着重要作用。
椭圆和双曲线的形状和属性使它们适用于模拟、图像处理、信号处理和通信等领域。
椭圆和双曲线的性质
椭圆和双曲线的性质椭圆和双曲线是数学中常见的曲线形状，它们具有一些独特的性质和特点。
本文将介绍椭圆和双曲线的定义、方程、焦点、直径、离心率等基本概念，并探讨它们的性质和应用。
一、椭圆的性质椭圆是平面上一点到两个固定点的距离之和等于常数的轨迹。
这两个固定点称为椭圆的焦点，常数称为椭圆的离心率。
椭圆的方程一般形式为：(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。
椭圆的中心位于原点(0,0)处。
椭圆的性质有以下几点：1. 椭圆是对称图形，关于x轴和y轴都具有对称性。
2. 椭圆的长轴和短轴分别是直径，且长轴和短轴的长度之比等于椭圆的离心率。
3. 椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
4. 椭圆的离心率小于1，且越接近于1，椭圆越扁平。
椭圆的应用广泛，例如在天文学中，行星的轨道可以近似看作椭圆；在工程中，椭圆的形状常用于设计汽车、船舶等物体的外形。
二、双曲线的性质双曲线是平面上一点到两个固定点的距离之差等于常数的轨迹。
这两个固定点称为双曲线的焦点，常数称为双曲线的离心率。
双曲线的方程一般形式为：(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1其中a和b分别是双曲线的半长轴和半短轴的长度。
双曲线的中心位于原点(0,0)处。
双曲线的性质有以下几点：1. 双曲线是对称图形，关于x轴和y轴都具有对称性。
2. 双曲线的长轴和短轴分别是直径，且长轴和短轴的长度之比等于双曲线的离心率。
3. 双曲线的焦点到双曲线上任意一点的距离之差等于双曲线的长轴长度。
4. 双曲线的离心率大于1，且越接近于1，双曲线越扁平。
双曲线的应用也非常广泛，例如在物理学中，双曲线常用于描述光的折射和反射现象；在经济学中，双曲线常用于描述供需关系和市场变化。
总结：椭圆和双曲线是两种常见的曲线形状，它们具有一些共同的性质，如对称性和焦点到曲线上任意一点的距离关系。
同时，它们也有一些不同的特点，如离心率的大小和形状的扁平程度。
椭圆与双曲线知识点总结
椭圆与双曲线知识点总结椭圆和双曲线都是曲线，是数学上的重要概念。
它们在很多地方都有着广泛的应用，特别是在几何学中，它们被广泛使用。
椭圆和双曲线都有一些比较共同的性质，也有一些明显的不同之处。
本文将从一般的基本性质、定义、方程式、参数方程式以及其他应用等方面，总结椭圆与双曲线知识点。
一、椭圆和双曲线的概念椭圆是一种椭圆形状的曲线，它是由两条对称的抛物线连接而成，抛物线的焦点位于椭圆的两个端点上。
椭圆曲线的弦长度相等，它的两个焦点到椭圆上任一点的距离之和是一定值，而两个焦点之间的距离是一定的。
双曲线是一种双曲线形状的曲线，它是由两条相交的抛物线连接而成的，抛物线的焦点位于双曲线的两个端点上。
双曲线的弦长度不相等，它的两个焦点到双曲线上任一点的距离之和是一定值，而两个焦点之间的距离也是一定的。
二、椭圆和双曲线的定义根据椭圆的性质，一般定义椭圆为：椭圆是一种椭圆形状的曲线，它是由两条对称的抛物线连接而成，抛物线的焦点位于椭圆的两个端点上，它的两个焦点到椭圆上任一点的距离之和是一定值，而两个焦点之间的距离是一定的。
双曲线的定义是：双曲线是一种双曲线形状的曲线，它是由两条相交的抛物线连接而成的，抛物线的焦点位于双曲线的两个端点上，它的两个焦点到双曲线上任一点的距离之和是一定值，而两个焦点之间的距离也是一定的。
三、椭圆和双曲线的方程式椭圆的方程式一般可以表示为：$$x=a\cos t,y=b\sin t$$其中，a和b分别为椭圆的长短轴，t为参数。
双曲线的方程式一般可以表示为：$$x=a\cosht,y=b\sinh t$$其中，a和b分别为双曲线的长短轴，t为参数。
四、椭圆和双曲线的参数方程式椭圆的参数方程式可以表示为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$双曲线的参数方程式可以表示为：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$五、椭圆和双曲线的性质1.椭圆的长短轴之和是一定值，即$a+b=C$；2.椭圆的长短轴之积也是一定值，即$ab=A$；3.椭圆的弦长度是一定值，即$2\pi a=L$；4.双曲线的长短轴之和是一定值，即$a+b=D$；5.双曲线的长短轴之积也是一定值，即$ab=B$；6.双曲线的弦长度是一定值，即$2\pi a\cosh t=M$；7.椭圆和双曲线都具有对称性，可以通过旋转或对称变换来实现。
椭圆与双曲线的性质
椭圆与双曲线的性质椭圆和双曲线是二次曲线的两种重要形式，它们在数学与几何学中具有广泛的应用。
本文将介绍和探讨椭圆和双曲线的性质，包括定义、方程、焦点、直径、渐近线等内容。
一、椭圆的性质1. 定义与方程椭圆是指平面上到两个固定点距离之和等于常数的点的轨迹。
它可以通过以下方程表示：(x-a)²/a²+ (y-b)²/b²= 1，其中a、b分别是椭圆的长半轴和短半轴。
2. 焦点与直径椭圆上有两个特殊的点，称为焦点。
椭圆的焦点位于其长轴上，与圆心连线的长度等于半长轴的长度。
直径是椭圆上任意两个焦点的连线。
3. 重要性质椭圆具有以下重要性质：- 椭圆的对称轴是其长轴和短轴所在的直线。
- 椭圆上任意一点到焦点和到圆心的距离之和等于椭圆的长半轴长度。
- 椭圆上不同方向的直径长度之积相等。
- 椭圆上的切线与直径垂直。
二、双曲线的性质1. 定义与方程双曲线是指平面上到两个固定点距离之差等于常数的点的轨迹。
它可以通过以下方程表示：(x-a)²/a² - (y-b)²/b² = 1，其中a、b分别是双曲线的长半轴和短半轴。
2. 焦点与直径双曲线上有两个特殊的点，称为焦点。
双曲线的焦点位于其长轴上，与圆心连线的长度等于半长轴的长度。
直径是双曲线上任意两个焦点的连线。
3. 重要性质双曲线具有以下重要性质：- 双曲线的对称轴是其长轴所在的直线。
- 双曲线上任意一点到焦点和到圆心的距离之差等于双曲线的长半轴长度。
- 双曲线的渐近线是通过焦点并与双曲线相切的直线。
- 双曲线上不同方向的直径长度之积为负数。
三、椭圆与双曲线的比较1. 方程形式椭圆的方程中加号前面是x的平方项，而双曲线的方程中加号前面是y的平方项。
2. 轨迹形状椭圆是一个封闭的曲线，而双曲线是开口的曲线。
3. 焦点与直径椭圆上的焦点位于长轴上，而双曲线的焦点位于长轴外。
椭圆的直径是通过圆心的长轴，而双曲线的直径是通过焦点的长轴。
高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）高三数学备课组椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=. 7.椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b +=+. 双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
双曲线的92条经典性质及证明
双曲线的92条经典性质及证明1.122PF PF a-= 2.标准方程22221x y a b-= 3.111PF e d =>4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点.9．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.10．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=.11．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.12．AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=.13．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b -=-.14．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b-=-.15．若PQ 是双曲线22221x y a b -=（b ＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==.16．若双曲线22221x y a b -=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1)222211A B a b -=+;(2)2222||L a A b B =-.17．给定双曲线1C ：222222b x a y a b -=（a ＞b ＞0）,2C ：222222222()a b b x a y ab a b+-=-,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 222202222(,)a b a b x y a b a b++---.(ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1,PP 2斜率存在，记为k 1,k 2,则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a+⋅=⋅-.19．过双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC有定向且2020BC b x k a y =-（常数）.20．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122cot 2F PF S b γ∆=，2(cot )2b Pc γ±.21．若P 为双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1,F 2是焦点,12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）.22．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：1(,0)F c -,2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =--,20||MF ex a =-+.23．若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜1+时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 1与PF 2的比例中项.24．P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线左支内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 在左支时，等号成立.25．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()0a b a x k k a b k b +⎛⎫>≠≠± ⎪-⎝⎭且.26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P 是双曲线sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞0，b ＞0）上一点，则点P 对双曲线两焦点张直角的充要条件是2211tan e ϕ=-.29．设A,B 为双曲线2222x y k a b -=（a ＞0,b ＞0，0,1k k >≠）上两点，其直线AB 与双曲线22221x y a b-=相交于,P Q ,则AP BQ =.30．在双曲线22221x y a b-=中，定长为2m （0m >）的弦中点轨迹方程为()()222222222222222221cosh sinh ,coth ,001sinh cosh coth ,00x y ay a t b t t x t a b bx m x y bx a t b t t y t a b ay ⎧⎡⎤⎛⎫--+=-==⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎛⎫⎪--+=-==⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎣⎦⎩时，弦两端点在两支上，时，弦两端点在同支上31．设S 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在双曲线右支上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20min ()2a l x c e =+222(c a b =+,ce a=);当l S <Φ时，有0min ()x =32．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC -≤.33．双曲线220022()()1x x y y a b ---=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C -≤++.34．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.35．经过双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的实轴的两端点A 1和A 2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||P A P A b ⋅=.36．已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a bb a -.37．MN 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB 是经过双曲线中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP b a -=-.39．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与双曲线相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1,A 2为两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m=上.40．设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.41．过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q,A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设双曲线方程22221x y a b -=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=.43．设A 、B 、C 、D 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD相交于P,且P 不在双曲线上,则22222222||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅-=⋅-.44．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）,点P 为其上一点F 1,F 2为双曲线的焦点，12F PF ∠的内（外）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个双曲线时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤-±⎣⎦=-±).45．设△ABC 三顶点分别在双曲线Γ上，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与双曲线Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF e MN =.47．设A （x 1,y 1）是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y 的直线L ，又设d 是原点到直线L 的距离,12,r r 分别是Aab =.48．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）和2222x y a bλ-=（01λ<<），一条直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.49．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ,则220a b x a +≥或220a b x a+≤-.50．设P 点是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2)122cot 2PF F S b θ∆=.51．设过双曲线的实轴上一点B （m,o ）作直线与双曲线相交于P 、Q 两点，A 为双曲线实轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过B 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则90MBN ∠=()2222()a n m a m a mb n a --⇔=-++.52．L 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 且与实轴垂直的直线，A 、B 是双曲线的两个顶点，e 是离心率,点P L ∈，若APB α∠=，则α是锐角且1sin e α≤或1sin arc eα≤（当且仅当||PF b =时取等号）.53．L 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的实轴顶点A 且与x 轴垂直的直线，E 、F 是双曲线的准线与x 轴交点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且1sin e α≤或1sin arc eα≤（当且仅当||ab PA c =时取等号）.54．L 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 1且与x 轴垂直的直线，E 、F 是双曲线准线与x 轴交点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且21sin e α≤或21sin arc eα≤（当且仅当1||PF =时取等号）.55．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与双曲线右支交于A 、B 两点，将A 、B 与双曲线左焦点F 1连结起来，则222112(2)||||a b F A F B a+⋅≥（当且仅当AB ⊥x 轴时取等号）.56．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αα=-.(2)2tan tan 1e αβ=-.(3)22222cot PAB a b S b a γ∆=+.57．设A 、B 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域）、外部的两点，且A x 、Bx 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则180PBA QBA ∠+∠=.58．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域），外部的两点，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，（若B P 交双曲线这一支于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，且180PBA QBA ∠+∠= ,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是双曲线22221x y a b-=的实轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b+=.60．过双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD,则()2228||||||ab AB CD a b a b +≥≠-；()22||||4c AB CD a a b a +≥==61．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）两焦点的距离之比等于c ab-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()x ec y eb ±+=.62．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的实轴两端点的距离之比等于c ab-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x c y b ±+=.63．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为c ab -（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆222()()bx a y e±+=（e 为离心率）.64．已知P 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上一个动点，',A A 是它实轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q点的轨迹方程是222241x b y a a-=.65．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.66．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是双曲线上的点过P 作斜率为2121b x a y 的直线l ，过',A A分别作垂直于实轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''AMA M 面积趋近于2ab .67．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是双曲线2222()1x a y a b--=（a ＞0,b ＞0,且a b ≠）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab b a -.(2)以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()a b a b x y b a b a-+=--（除原点）。
椭圆与双曲线知识点总结
椭圆与双曲线知识点总结椭圆和双曲线是高中数学中重要的曲线类型，它们在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将对椭圆与双曲线的基本概念、性质以及相关公式进行总结。
一、椭圆1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点F1、F2距离之和恒为常数2a的点P所构成的图形轨迹。
2. 椭圆的性质：- 两个焦点F1、F2与椭圆的中心O满足关系：OF1 + OF2 = 2a。
- 椭圆的半长轴为a，半短轴为b，有关系式a > b。
- 椭圆的离心率e满足关系e = c/a，其中c为焦点到中心的距离。
- 椭圆的离心率介于0到1之间，当离心率为0时，椭圆退化成一个圆。
3. 椭圆的方程：椭圆的标准方程为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)为中心坐标。
4. 椭圆的重要公式：- 椭圆的周长C = 4a(E(e))，其中E(e)为第二类椭圆积分。
- 椭圆的面积S = πab。
二、双曲线1. 双曲线的定义：双曲线是平面上到两个定点F1、F2距离之差恒为常数2a的点P所构成的图形轨迹。
2. 双曲线的性质：- 两个焦点F1、F2与双曲线的中心O满足关系：|OF1 - OF2| = 2a。
- 双曲线的半长轴为a，半短轴为b，有关系式a > b。
- 双曲线的离心率e满足关系e = c/a，其中c为焦点到中心的距离。
- 双曲线的离心率大于1。
- 对于双曲线的每个点P，其到焦点的距离之差等于常数。
3. 双曲线的方程：双曲线的标准方程为(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)为中心坐标。
4. 双曲线的重要公式：- 双曲线的渐近线方程为y = ±b/a * x。
- 双曲线的面积S = πab。
总结：椭圆和双曲线是两种常见的曲线类型，具有各自的定义、性质和方程。
掌握椭圆和双曲线的知识，有助于我们理解和解决与这两类曲线相关的问题。
双曲线椭圆知识点总结
双曲线椭圆知识点总结双曲线和椭圆是二次曲线的两种特殊形式，它们在数学和几何学中具有重要的地位和应用。
本文将对双曲线和椭圆的相关知识点进行总结，帮助读者深入了解这两种曲线的特点和性质。
首先，我们将从定义和基本方程开始介绍双曲线和椭圆。
双曲线是平面上的一条曲线，它的定义是到两个固定点（焦点）的距离之差（离心率）的绝对值等于到直线（准线）的距离。
双曲线的标准方程可以表示为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1其中a和b分别为双曲线的两个焦点到准线的距离。
椭圆也是平面上的一条曲线，它的定义是到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数（长轴）。
椭圆的标准方程可以表示为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度。
接下来，我们将介绍双曲线和椭圆的几何性质。
首先是双曲线的对称轴和渐近线。
对称轴是双曲线关于y轴或x轴对称的直线，它的方程通常可以通过标准方程化简得到。
另外，双曲线还有两条渐近线，它们分别与双曲线的两支无限延伸的分支趋于平行。
椭圆的几何性质主要包括长轴、短轴和焦点。
长轴是椭圆的最长的直径，椭圆关于长轴有对称性；短轴是椭圆的最短的直径，椭圆关于短轴也有对称性。
椭圆的焦点是椭圆上所有点到两个焦点的距离之和等于常数的点，焦点之间的距离等于长轴长度。
双曲线和椭圆都有离心率这一重要概念。
离心率是一个描述曲线形状的参数，它可以通过焦距与准线距离的比值计算得到。
对于双曲线而言，离心率始终大于1；对于椭圆而言，离心率在0和1之间。
离心率越接近1，曲线的形状越扁平。
双曲线和椭圆还有一些重要的性质需要我们了解。
首先是双曲线的渐近线性质，渐近线的斜率是常数，它们与双曲线的两支分支无限接近。
另外，双曲线的曲率半径是一个变化的量，它取决于曲线上的点。
在椭圆中，曲率半径是一个正值，它描述了曲线在某一点上的曲率大小。
双曲线和椭圆在物理、工程和其他学科中都有广泛的应用。
例如，在电磁学中，双曲线可以描述电磁波的传播特性；在天体力学中，椭圆可以描述行星绕太阳的轨道。
椭圆和双曲线性质有关性质推论归纳共92条
椭圆与双曲线的对偶性质92条椭 圆1．12||||2PF PF a +=2．标准方程：22221x y a b+=3．11||1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.9．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.10．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.11．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=.12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.13．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.15．若PQ 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16．若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 222211A B a b+=+;(2) L =17．给定椭圆1C ：222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b -+=+,则(i)对1C 上任意给定的点000(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M(2222002222(,)a b a b x y a b a b---++. (ii)对2C 上任一点'''000(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'0P 点.18．设000(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22221x y a b+= (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦P 0P 1, P 0P 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a+⋅=-⋅-.19．过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.20．椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=，2tan )2b P c γ . 21．若P 为椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+.22．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).23．若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.24．P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.25．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()a b x a b k -≤+.26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P 是椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2211sin e ϕ=+. 29．设A,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22221x y a b+=相交于,P Q ,则AP BQ =.30．在椭圆22221x y a b+=中，定长为2m （o ＜m ≤a ）的弦中点轨迹方程为2222222221()cos sin x y a b m a bαα-+=+,其中2222tan b x a yα=-,当0y =时, 90α=.31．设S 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在椭圆上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20max ()2a l x c e =-222(c a b =-,ce a=);当l S <Φ时，有0max ()x =0min ()0x =. 32．椭圆22221x y a b+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC +≥.33．椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.34．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+. 35．经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则212||||PA PA b ⋅=.36．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.37．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）过焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP a b +=+.39．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N在直线l ：2a x m =(或2b y m=)上.40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设椭圆方程22221x y a b+=,则斜率为k(k ≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=-.43．设A 、B 、C 、D 为椭圆22221x y a b+=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P ,且P 不在椭圆上,则22222222||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅+=⋅+. 44．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(2222222{[()()]}()[()]b y a ce x c x y cx ce x c +-+⋅++=+).45．设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y -的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是Aab =.48．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）和2222x y a bλ+=（01λ<< ），一直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB │=|CD │.49．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a ---<<. 50．设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b γ∆=.51．设过椭圆的长轴上一点B （m,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过B 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则90MBN ∠=222()a m a a m b n a -⇔=++. 52．L 是经过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是椭圆两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||abPH c=时取等号）.53．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||abPH c=时取等号）.54．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且2sin e α≤或2sin arc e α≤（当且仅当||PH =.55．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆相交于A 、B 两点，将A 、B 与椭圆左焦点F 1连结起来，则2222112(2)||||a b b F A F B a -≤⋅≤（当且仅当AB ⊥x 轴时右边不等式取等号，当且仅当A 、F 1、B 三点共线时左边不等式取等号）.56．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2)2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=-.57．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则180PBA QBA ∠+∠=.58．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，（若B P 交椭圆于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，且180PBA QBA ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是椭圆22221x y a b+=的长轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b-=.60．过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD 则2222282()||||ab a b AB CD a b a+≤+≤+. 61．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）两焦点的距离之比等于a cb-（c 为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆222()x a y b ±+=.62．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点的距离之比等于a cb-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()a b x y e e±+=.63．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为a cb-（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆22222()()a b x y e e ±+=（e 为离心率）.64．已知P 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上一个动点，',A A 是它长轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a+=.65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66．设椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是椭圆上的点过P 作斜率为2121b x a y -的直线l ，过',A A 分别作垂直于长轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''MAA M 面积的最小值是2ab .67．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是椭圆2222()1x a y a b-+=（ a ＞0,b ＞0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab a b +.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y a b a b-+=++(0)x ≠.69．(,)P m n 是椭圆2222()1x a y a b-+=（a ＞b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点2222222222()()(,)ab m a b n b a a b a b+--++.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是22224222222222222[()]()()()ab a m b n a b n a b x y a b a b a b ++--+-=+++(x m ≠且y n ≠).70．如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）212d d b =，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，（3）212d d b <，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71．AB 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B的切线交于C 、D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是22241(0)x a y y +=≠. 72．设点00(,)P x y 为椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的内部一定点，AB 是椭圆22221x y a b+=过定点00(,)P x y 的任一弦，当弦AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时22222200max 2()(||||)a b a y b x PA PB b -+⋅=.当弦AB 垂直于长轴所在直线时,22222200min 2()(||||)a b a y b x PA PB b -+⋅=.73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a-c. 76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c. 77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89. 已知椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)上有一点P ,过点P 分别作直线b y x a =及by x a=-的平行线，与直线OP 分别交于,R Q ,O 为原点，则：. （1）222||||OM ON a +=；（2）222||||OQ OR b +=.90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:bl y x a=-的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y轴于,R Q .（1）若222||||OM ON a +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.(2)若222||||OQ OR b +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.91. 点P 为椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR∆的面积为12,S S ，则：122abS S +=.92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线b y x a =-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，已知122abS S +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>.双曲线1．12||||||2PF PF a -=2．标准方程：22221x y a b-=3．11||1PF e d => 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8．设A 1、A 2为双曲线的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.9．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.10．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=.11．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.12．AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=.13．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-. 14．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b-=-. 15．若PQ 是双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16．若双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 222211A B a b -=+;(2) 2222||L a A b B =-. 17．给定双曲线1C ：222222b x a y a b -=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b+-=-,则(i)对1C 上任意给定的点000(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M(222202222(,)a b a b x y a b a b++---. (ii)对2C 上任一点'''000(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'0P 点.18．设000(,)P x y 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦P 0P 1,P 0P 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a +⋅=⋅-.19．过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =-（常数）.20．双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=，2cot )2b Pc γ . 21．若P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点,12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）.22．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--.23．若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜e1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.24．P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立. 25．双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()a b x a b k +>-.26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P 是双曲线sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞0，b ＞0）上一点，则点P 对双曲线两焦点张直角的充要条件是2211tan e ϕ=-. 29．设A,B 为双曲线2222x y k a b-=（a ＞0,b ＞0，0,1k k >≠）上两点，其直线AB 与双曲线22221x y a b -=相交于,P Q ,则AP BQ =. 30．在双曲线22221x y a b-=中，定长为2m （m ）0）的弦中点轨迹方程为2222222221()cos sin x y a b m a bαα--=-,其中2222tan b x a yα=-,当0y =时, 90α=.31．设S 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在双曲线上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20min ()2a l x c e =+222(c a b =+,ce a=);当l S <Φ时，有0min ()x =32．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A a B b C -≤.33．双曲线220022()()1x x y y a b---=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C -≤++.34．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有s i n (s i n s i n )ce a αγβ==±-.35．经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的实轴的两端点A 1和A 2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P 1和P 2，则212||||PA PA b ⋅=.36．已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a-. 37．MN 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB 是经过双曲线中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过双曲线22221x y a b -=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP a b -=-. 39．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与双曲线相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m=上.40．设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.41．过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设双曲线方程22221x y a b -=,则斜率为k(k ≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=.43．设A 、B 、C 、D 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P ,且P 不在双曲线上,则22222222||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅-=⋅-.44．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为双曲线的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个双曲线时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(322224223222{()[()]}[()]()a b x c a b x b c a c x c y ab c y -+-+-=).45．设△ABC 三顶点分别在双曲线Γ上，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与双曲线Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y 的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是Aab =.48．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）和2222x y a bλ-=（01λ<< ），一条直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB │=|CD │.49．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a+≥或220a b x a +≤-.50．设P 点是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122cot 2PF F S b γ∆=.51．设过双曲线的实轴上一点B （m,o ）作直线与双曲线相交于P 、Q 两点，A 为双曲线实轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过B 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则90MBN ∠=222()a m a a mb n a -⇔=-++.52．L 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 且与实轴垂直的直线，A 、B 是双曲线实轴的两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐角且1sin e α≤或1sinarc eα≤（当且仅当||abPH c=时取等号）.53．L 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的实轴顶点A 且与x 轴垂直的直线，E 、F 是双曲线的准线与x 轴交点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且1sin e α≤或1sin arc e α≤（当且仅当||abPA c =时取等号）.54．L 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 1且与x 轴垂直的直线，E 、F 是双曲线准线与x 轴交点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且21sin e α≤或21sin arc e α≤（当且仅当1||PF =.55．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与双曲线右支交于A 、B 两点，将A 、B 与双曲线左焦点F 1连结起来，则222112(2)||||a b F A F B a +⋅≥（当且仅当AB ⊥x轴时取等号）.56．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=+.57．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域）、外部的两点，且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则180PBA QBA ∠+∠=.58．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域），外部的两点，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，（若B P 交双曲线这一支于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，且180PBA QBA ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是双曲线22221x y a b-=的实轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b+=.60．过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD,则2228||||||ab AB CD a b ≤+-. 61．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）两焦点的距离之比等于c ab-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()x ec y eb ±+=.62．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的实轴两端点的距离之比等于c ab-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x a y b ±+=.63．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为c ab-（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆222()()b x a y e±+=（e 为离心率）.64．已知P 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上一个动点，',A A 是它实轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a-=.65．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.66．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是双曲线上的点过P作斜率为2121b x a y 的直线l ，过',A A 分别作垂直于实轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''MAA M 面积的最小值是2ab .67．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是双曲线2222()1x a y a b--=（a ＞0,b ＞0,且a b ≠）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab b a-.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y b a b a -+=--(0)x ≠.69．(,)P m n 是双曲线2222()1x a y a b--=（a ＞0,b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点2222222222()()(,)ab m b a n a b b a b a+-+--.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是22224222222222222[()]()()()ab a m b n a b n a b x y b a b a b a -++-+-=---(x m ≠且y n ≠). 70．如果一个双曲线虚半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）212d d b =，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和双曲线相切,或L 是双曲线的渐近线.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和双曲线相离，（3）212d d b <，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和双曲线相交.71．AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的实轴，N 是双曲线上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是22241(0)x a y y -=≠.72．设点00(,)P x y 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的内部(（含焦点的区域）)一定点，AB 是双曲线过定点00(,)P x y 的任一弦.(1)如a b ≥,则当弦AB 垂直于双曲线实轴所在直线时22222200min 2()(||||)b x a y a b PA PB a --⋅=.(2)如a b <,则当弦AB 平行（或重合）于双曲线实轴所在直线时,22222200min 2()(||||)b x a y a b PA PB b --⋅=.73．双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切. 74．双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点. 75．双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c 与a-c. 76．双曲线焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77．双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.78．双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.80．双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81．双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足的距离为双曲线实半轴的长.84．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点.85．双曲线焦三角形中,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86．双曲线焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线. 87．双曲线焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线.88．双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上有一点P ，过P 分别引其渐近线的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q ， O 为原点，则：（1）2||||OM ON a ⋅=； （2）2||||OQ OR b ⋅=.90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:bl y x a=-的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y轴于,R Q .（1）若2||||O M O N a ⋅=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b-=>>.(2)若2||||OQ OR b ⋅=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b-=>>.91. 点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，则：12||2abS S -=.92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线b y x a =-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，已知12||2abS S -=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b -=>>或22221(0,0)y x a b b a-=>>.。
高中数学：椭圆与双曲线的经典性质50条
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭圆1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.2.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.6.若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.7.椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.8.椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：,( , ).9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.11.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。
12.若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.13.若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.双曲线1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.2.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）5.若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.6.若在双曲线（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.7.双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.8.双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：( ,当在右支上时，,.当在左支上时，,9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.11.AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。
最新椭圆与双曲线的对偶性质--(高考必考的经典结论)50条
椭圆与双曲线的对偶性质--（高考必考的经典结论）椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a xb K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+. 双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）高三数学备课组椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
椭圆与双曲线的性质
椭圆与双曲线的经典结论总结解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k b y a x（3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.【典型例题】例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42) (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =点共线时，距离和最小。
椭圆与双曲线性质有关性质 推论归纳共92条
椭圆与双曲线的对偶性质92条椭 圆1．2．标准方程：3．4．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.5．PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8．设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）.9．椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.10．若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.11．若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.12．AB是椭圆的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则. 13．若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.14．若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.15．若PQ是椭圆（a＞b＞0）上对中心张直角的弦，则.16．若椭圆（a＞b＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为,则(1) ;(2) .17．给定椭圆：（a＞b＞0）, ：,则(i)对上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过上一定点M(.(ii)对上任一点在上存在唯一的点,使得的任一直角弦都经过点. 18．设为椭圆（或圆）C: (a＞0,. b＞0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦P0P1, P0P2斜率存在，记为k1, k 2, 则直线P1P2通过定点的充要条件是. 19．过椭圆(a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.20．椭圆(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为， .21．若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F2是焦点, ,，则.22．椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：,( , ).23．若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.24．P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.25．椭圆（a＞b＞0）上存在两点关于直线：对称的充要条件是.26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P是椭圆（a＞b＞0）上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是.29．设A,B为椭圆上两点，其直线AB与椭圆相交于,则.30．在椭圆中，定长为2m（o＜m≤a）的弦中点轨迹方程为,其中,当时, .31．设S为椭圆（a＞b＞0）的通径，定长线段L的两端点A,B在椭圆上移动，记|AB|=，是AB中点，则当时，有,);当时，有,.32．椭圆与直线有公共点的充要条件是.33．椭圆与直线有公共点的充要条件是.34．设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.35．经过椭圆（a＞b＞0）的长轴的两端点A1和A2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2，则.36．已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.37．MN是经过椭圆（a＞b＞0）过焦点的任一弦，若AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦，则.38．MN是经过椭圆（a＞b＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O的半弦，则.39．设椭圆（a＞b＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与椭圆相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1 ,A2为对称轴上的两顶点)的交点N在直线：(或)上.40．设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.41．过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.42．设椭圆方程,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线：的共轭直线上,而且.43．设A、B、C、D为椭圆上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为，直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则.44．已知椭圆（a＞b＞0）,点P为其上一点F1, F2为椭圆的焦点，的外（内）角平分线为，作F1、F2分别垂直于R、S，当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是().45．设△ABC内接于椭圆，且AB为的直径，为AB的共轭直径所在的直线，分别交直线AC、BC于E和F，又D为上一点，则CD与椭圆相切的充要条件是D为EF的中点.46．过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.47．设A（x1 ,y1）是椭圆（a＞b＞0）上任一点，过A作一条斜率为的直线L，又设d是原点到直线 L的距离, 分别是A到椭圆两焦点的距离，则.48．已知椭圆（a＞b＞0）和（），一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.49．已知椭圆（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.50．设P点是椭圆（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .51．设过椭圆的长轴上一点B（m,o）作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过B点的直线MN：于M，N两点,则.52．L是经过椭圆（a＞b＞0）长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离心率,点，若，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.53．L是椭圆（a＞b＞0）的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点，e 是离心率，，H是L与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.54．L是椭圆（a＞b＞0）的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交点，点，,离心率为e，半焦距为c，则为锐角且或（当且仅当时取等号）.55．已知椭圆（a＞b＞0），直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆左焦点F1连结起来，则（当且仅当AB⊥x轴时右边不等式取等号，当且仅当A、F1、B三点共线时左边不等式取等号）.56．设A、B是椭圆（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .57．设A、B是椭圆（a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且、的横坐标，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则；（2）若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则.58．设A、B是椭圆（a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，（若B P交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称），且，则点A、B的横坐标、满足；（2）若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且,则点A、B的横坐标满足.59．设是椭圆的长轴的两个端点，是与垂直的弦，则直线与的交点P的轨迹是双曲线.60．过椭圆（ a＞b＞0）的左焦点作互相垂直的两条弦AB、CD则.61．到椭圆（ a＞b＞0）两焦点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.62．到椭圆（a＞b＞0）的长轴两端点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.63．到椭圆（a＞b＞0）的两准线和x轴的交点的距离之比为（c为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆（e为离心率）.64．已知P是椭圆（a＞b＞0）上一个动点，是它长轴的两个端点,且,，则Q点的轨迹方程是.65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66．设椭圆（a＞b＞0）长轴的端点为,是椭圆上的点过P作斜率为的直线，过分别作垂直于长轴的直线交于,则（1）.（2）四边形面积的最小值是.67．已知椭圆（ a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.68．OA、OB是椭圆（a＞0,b＞0）的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则（1）直线AB必经过一个定点.(2) 以O A、O B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是.69．是椭圆（a＞b＞0）上一个定点，P A、P B是互相垂直的弦，则（1）直线AB必经过一个定点.（2）以P A、P B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是(且).70．如果一个椭圆短半轴长为b，焦点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，那么（1），且F1、F2在同侧直线L和椭圆相切.（2），且F1、F2在L同侧直线和椭圆相离，（3），或F1、F2在L异侧直线L和椭圆相交.71．AB是椭圆（a＞b＞0）的长轴，是椭圆上的动点，过的切线与过A、B的切线交于、两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是.72．设点为椭圆（a＞b＞0）的内部一定点，AB是椭圆过定点的任一弦，当弦AB平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时.当弦AB垂直于长轴所在直线时, .73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89.已知椭圆(包括圆在内)上有一点,过点分别作直线及的平行线，与直线分别交于,为原点，则：.（1）；（2）.90. 过平面上的点作直线及的平行线，分别交轴于，交轴于.（1）若，则的轨迹方程是.(2)若，则的轨迹方程是.91.点为椭圆(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记与的面积为，则：.92.点为第一象限内一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记与的面积为，已知，则的轨迹方程是.双曲线1．2．标准方程：3．4．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.5．PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8．设A1、A2为双曲线的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）.9．双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.10．若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是. 11．若在双曲线（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.12．AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB的中点，则.13．若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是. 14．若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是. 15．若PQ是双曲线（b＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则.16．若双曲线（b＞a ＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为,则(1) ;(2) .17．给定双曲线：（a＞b＞0）, ：,则(i)对上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过上一定点M(.(ii)对上任一点在上存在唯一的点,使得的任一直角弦都经过点. 18．设为双曲线（a＞0,b＞0）上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦P0P1, P0P2斜率存在，记为k1, k 2, 则直线P1P2通过定点的充要条件是.19．过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.20．双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为， .21．若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则（或）.22．双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：( ,当在右支上时，,.当在左支上时，,.23．若双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.24．P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.25．双曲线（a＞0,b＞0）上存在两点关于直线：对称的充要条件是.26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P是双曲线（a＞0，b＞0）上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是.29．设A,B为双曲线（a＞0,b＞0，）上两点，其直线AB与双曲线相交于,则.30．在双曲线中，定长为2m（m）0）的弦中点轨迹方程为,其中,当时, .31．设S为双曲线（a＞0,b＞o）的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线上移动，记|AB|=，是AB中点，则当时，有,);当时，有.32．双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是.33．双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是.34．设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.35．经过双曲线（a＞0,b＞0）的实轴的两端点A1和A2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P1和P2，则.36．已知双曲线（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是.37．MN是经过双曲线（a＞0,b＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过双曲线中心O且平行于MN的弦，则.38．MN是经过双曲线（a＞b＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦，则.39．设双曲线（a＞0,b＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与双曲线相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1 ,A2为两顶点)的交点N在直线：上.40．设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N 两点，则MF⊥NF.41．过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.42．设双曲线方程,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线：的共轭直线上,而且.43．设A、B、C、D为双曲线（a＞0,b＞o）上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为，直线AB与CD相交于P,且P不在双曲线上,则.44．已知双曲线（a＞0,b＞0）,点P为其上一点F1, F2为双曲线的焦点，的外（内）角平分线为，作F1、F2分别垂直于R、S，当P跑遍整个双曲线时，R、S形成的轨迹方程是().45．设△ABC三顶点分别在双曲线上，且AB为的直径，为AB的共轭直径所在的直线，分别交直线AC、BC于E和F，又D为上一点，则CD与双曲线相切的充要条件是D为EF的中点.46．过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.47．设A（x1 ,y1）是双曲线（a＞0,b＞0）上任一点，过A作一条斜率为的直线L，又设d是原点到直线L的距离, 分别是A到双曲线两焦点的距离，则.48．已知双曲线（a＞0,b＞0）和（），一条直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.49．已知双曲线（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或.50．设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .51．设过双曲线的实轴上一点B（m,o）作直线与双曲线相交于P、Q两点，A为双曲线实轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过B点的直线MN：于M，N两点,则.52．L是经过双曲线（a＞0,b＞0）焦点F且与实轴垂直的直线，A、B是双曲线实轴的两个焦点，e是离心率,点，若，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.53．L是经过双曲线（a＞0,b＞0）的实轴顶点A且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线的准线与x轴交点,点，e是离心率，，H是L与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.54．L是双曲线（a＞0,b＞0）焦点F1且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线准线与x轴交点，H是L与x轴的交点，点，,离心率为e，半焦距为c，则为锐角且或（当且仅当时取等号）.55．已知双曲线（a＞0,b＞0），直线L通过其右焦点F2,且与双曲线右支交于A、B两点，将A、B与双曲线左焦点F1连结起来，则（当且仅当AB⊥x轴时取等号）.56．设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，, ,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .57．设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域）、外部的两点，且、的横坐标，（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则；（2）若过B引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则.58．设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域），外部的两点，（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，（若B P交双曲线这一支于两点，则P、Q不关于x轴对称），且，则点A、B的横坐标、满足；（2）若过B点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，且,则点A、B的横坐标满足.59．设是双曲线的实轴的两个端点，是与垂直的弦，则直线与的交点P的轨迹是双曲线.60．过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点作互相垂直的两条弦AB、CD,则.61．到双曲线（a＞0,b＞0）两焦点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.62．到双曲线（a＞0,b＞0）的实轴两端点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.63．到双曲线（a＞0,b＞0）的两准线和x轴的交点的距离之比为（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆（e为离心率）.64．已知P是双曲线（a＞0,b＞0）上一个动点，是它实轴的两个端点,且,，则Q点的轨迹方程是.65．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.66．设双曲线（a＞0,b＞0）实轴的端点为,是双曲线上的点过P作斜率为的直线，过分别作垂直于实轴的直线交于,则（1）.（2）四边形面积的最小值是.67．已知双曲线（a＞0,b＞0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.68．OA、OB是双曲线（a＞0,b＞0,且）的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则（1）直线AB必经过一个定点.(2) 以O A、O B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是.69．是双曲线（a＞0,b＞0）上一个定点，P A、P B是互相垂直的弦，则（1）直线AB必经过一个定点.（2）以P A、P B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是(且).70．如果一个双曲线虚半轴长为b，焦点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，那么（1），且F1、F 2在同侧直线L和双曲线相切,或是双曲线的渐近线.（2），且F1、F2在L同侧直线和双曲线相离，（3），或F1、F2在L异侧直线L和双曲线相交.71．AB是双曲线（a＞0,b＞0）的实轴，是双曲线上的动点，过的切线与过A、B的切线交于、两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是.72．设点为双曲线（a＞0,b＞0）的内部(（含焦点的区域）)一定点，AB是双曲线过定点的任一弦.(1)如,则当弦AB垂直于双曲线实轴所在直线时.(2)如,则当弦AB平行（或重合）于双曲线实轴所在直线时, .73．双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切.74．双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点.75．双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c与a-c.76．双曲线焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77．双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.78．双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.79．双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.80．双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81．双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足的距离为双曲线实半轴的长.84．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点.85．双曲线焦三角形中,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86．双曲线焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线.87．双曲线焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线.88．双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89. 已知双曲线上有一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于，交轴于，为原点，则：（1）；（2）.90. 过平面上的点作直线及的平行线，分别交轴于，交轴于.（1）若，则的轨迹方程是.(2)若，则的轨迹方程是.91. 点为双曲线在第一象限的弧上任意一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记与的面积为，则：.92.点为第一象限内一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记与的面积为，已知，则的轨迹方程是或.。
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椭圆与双曲线的对偶性质92条椭 圆1．12||||2PF PF a +=2．标准方程：22221x y a b+=3．11||1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.9．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.10．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.11．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=.12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.13．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b +=+.15．若PQ 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16．若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 222211A B a b+=+;(2) L =17．给定椭圆1C ：222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b-+=+,则(i)对1C 上任意给定的点000(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M(2222002222(,)a b a b x y a b a b---++. (ii)对2C 上任一点'''000(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'0P 点. 18．设000(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22221x y a b+= (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦P 0P 1, P 0P 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a+⋅=-⋅-.19．过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.20．椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=，2tan )2b P c γ . 21．若P 为椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+.22．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).23．若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.24．P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.25．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()a b x a b k-≤+. 26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P 是椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2211sin e ϕ=+. 29．设A,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22221x y a b+=相交于,P Q ,则AP BQ =.30．在椭圆22221x y a b+=中，定长为2m （o ＜m ≤a ）的弦中点轨迹方程为2222222221()cos sin x y a b m a bαα-+=+,其中2222tan b x a y α=-,当0y =时, 90α=.31．设S 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在椭圆上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20max ()2a l x c e =-222(c a b =-,ce a=);当l S <Φ时，有0max ()x =0min ()0x =. 32．椭圆22221x y a b+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC +≥.33．椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.34．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+. 35．经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则212||||PA PA b ⋅=.36．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.37．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）过焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP a b +=+.39．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N在直线l ：2a x m =(或2b y m=)上.40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设椭圆方程22221x y a b+=,则斜率为k(k ≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=-.43．设A 、B 、C 、D 为椭圆22221x y a b+=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P ,且P 不在椭圆上,则22222222||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅+=⋅+.44．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(2222222{[()()]}()[()]b y a ce x c x y cx ce x c +-+⋅++=+).45．设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y -的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是Aab =.48．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）和2222x y a bλ+=（01λ<< ），一直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB │=|CD │.49．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a ---<<. 50．设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b γ∆=.51．设过椭圆的长轴上一点B （m,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过B 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则90MBN ∠=222()a m a a m b n a -⇔=++. 52．L 是经过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是椭圆两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||abPH c=时取等号）.53．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||abPH c=时取等号）.54．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且2sin e α≤或2sin arc e α≤（当且仅当||PH =.55．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆相交于A 、B 两点，将A 、B 与椭圆左焦点F 1连结起来，则2222112(2)||||a b b F A F B a -≤⋅≤（当且仅当AB ⊥x 轴时右边不等式取等号，当且仅当A 、F 1、B 三点共线时左边不等式取等号）.56．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=-.57．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则180PBA QBA ∠+∠=.58．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，（若B P 交椭圆于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，且180PBA QBA ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是椭圆22221x y a b+=的长轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b-=.60．过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD 则2222282()||||ab a b AB CD a b a+≤+≤+. 61．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）两焦点的距离之比等于a cb-（c 为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆222()x a y b ±+=.62．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点的距离之比等于a cb-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()a b x y e e±+=.63．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为a cb-（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆22222()()a b x y e e ±+=（e 为离心率）.64．已知P 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上一个动点，',A A 是它长轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a+=.65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66．设椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是椭圆上的点过P 作斜率为2121b x a y -的直线l ，过',A A 分别作垂直于长轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''MAA M 面积的最小值是2ab .67．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是椭圆2222()1x a y a b-+=（ a ＞0,b ＞0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab a b+.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y a b a b-+=++(0)x ≠.69．(,)P m n 是椭圆2222()1x a y a b-+=（a ＞b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点2222222222()()(,)ab m a b n b a a b a b+--++.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是22224222222222222[()]()()()ab a m b n a b n a b x y a b a b a b ++--+-=+++(x m ≠且y n ≠).70．如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）212d d b =，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，（3）212d d b <，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71．AB 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B的切线交于C 、D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是22241(0)x a y y +=≠. 72．设点00(,)P x y 为椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的内部一定点，AB 是椭圆22221x y a b+=过定点00(,)P x y 的任一弦，当弦AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时22222200max 2()(||||)a b a y b x PA PB b -+⋅=.当弦AB 垂直于长轴所在直线时,22222200min 2()(||||)a b a y b x PA PB b -+⋅=.73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a-c. 76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c. 77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89. 已知椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)上有一点P ,过点P 分别作直线b y x a =及by x a=-的平行线，与直线OP 分别交于,R Q ,O 为原点，则：. （1）222||||OM ON a +=；（2）222||||OQ OR b +=.90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:bl y x a=-的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y轴于,R Q .（1）若222||||OM ON a +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.(2)若222||||OQ OR b +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.91. 点P 为椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR∆的面积为12,S S ，则：122abS S +=.92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线b y x a =-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，已知122abS S +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>.双曲线1．12||||||2PF PF a -=2．标准方程：22221x y a b-=3．11||1PF e d => 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8．设A 1、A 2为双曲线的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.9．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.10．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=.11．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.12．AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=.13．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-. 14．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b-=-. 15．若PQ 是双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16．若双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 222211A B a b -=+;(2) L =. 17．给定双曲线1C ：222222b x a y a b -=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b+-=-,则(i)对1C 上任意给定的点000(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M(2222002222(,)a b a b x y a b a b++---. (ii)对2C 上任一点'''000(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'0P 点. 18．设000(,)P x y 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦P 0P 1,P 0P 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a +⋅=⋅-.19．过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =-（常数）.20．双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=，2cot )2b Pc γ . 21．若P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点,12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）.22．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--.23．若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜e1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.24．P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立. 25．双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()a b x a b k +>-.26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P 是双曲线sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞0，b ＞0）上一点，则点P 对双曲线两焦点张直角的充要条件是2211tan e ϕ=-. 29．设A,B 为双曲线2222x y k a b-=（a ＞0,b ＞0，0,1k k >≠）上两点，其直线AB 与双曲线22221x y a b -=相交于,P Q ,则AP BQ =. 30．在双曲线22221x y a b-=中，定长为2m （m ）0）的弦中点轨迹方程为2222222221()cos sin x y a b m a bαα--=-,其中2222tan b x a yα=-,当0y =时, 90α=.31．设S 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在双曲线上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20min ()2a l x c e =+222(c a b =+,ce a=);当l S <Φ时，有0min ()x =32．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A a B b C -≤.33．双曲线220022()()1x x y y a b---=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C -≤++.34．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.35．经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的实轴的两端点A 1和A 2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P 1和P 2，则212||||PA PA b ⋅=.36．已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a-. 37．MN 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB 是经过双曲线中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过双曲线22221x y a b -=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP a b -=-. 39．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与双曲线相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m=上.40．设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.41．过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设双曲线方程22221x y a b -=,则斜率为k(k ≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=.43．设A 、B 、C 、D 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P ,且P 不在双曲线上,则22222222||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅-=⋅-.44．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为双曲线的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个双曲线时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(322224223222{()[()]}[()]()a b x c a b x b c a c x c y ab c y -+-+-=).45．设△ABC 三顶点分别在双曲线Γ上，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与双曲线Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y 的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是Aab =.48．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）和2222x y a bλ-=（01λ<< ），一条直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB │=|CD │.49．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a +≥或220a b x a+≤-.50．设P 点是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122cot 2PF F S b γ∆=.51．设过双曲线的实轴上一点B （m,o ）作直线与双曲线相交于P 、Q 两点，A 为双曲线实轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过B 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则90MBN ∠=222()a m a a mb n a -⇔=-++.52．L 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 且与实轴垂直的直线，A 、B 是双曲线实轴的两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐角且1sin e α≤或1sinarc eα≤（当且仅当||abPH c=时取等号）.53．L 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的实轴顶点A 且与x 轴垂直的直线，E 、F 是双曲线的准线与x 轴交点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且1sin e α≤或1sin arc e α≤（当且仅当||abPA c =时取等号）.54．L 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 1且与x 轴垂直的直线，E 、F 是双曲线准线与x 轴交点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且21sin e α≤或21sin arc e α≤（当且仅当1||PF =.55．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与双曲线右支交于A 、B 两点，将A 、B 与双曲线左焦点F 1连结起来，则222112(2)||||a b F A F B a +⋅≥（当且仅当AB ⊥x轴时取等号）.56．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=+.57．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域）、外部的两点，且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则180PBA QBA ∠+∠=.58．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域），外部的两点，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，（若B P 交双曲线这一支于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，且180PBA QBA ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是双曲线22221x y a b-=的实轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b+=.60．过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD,则2228||||||ab AB CD a b ≤+-.61．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）两焦点的距离之比等于c ab-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()x ec y eb ±+=.62．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的实轴两端点的距离之比等于c ab-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x a y b ±+=.63．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为c ab-（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆222()()b x a y e±+=（e 为离心率）.64．已知P 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上一个动点，',A A 是它实轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a-=.65．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.66．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是双曲线上的点过P作斜率为2121b x a y 的直线l ，过',A A 分别作垂直于实轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''MAA M 面积的最小值是2ab .67．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是双曲线2222()1x a y a b--=（a ＞0,b ＞0,且a b ≠）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab b a-.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y b a b a -+=--(0)x ≠.69．(,)P m n 是双曲线2222()1x a y a b--=（a ＞0,b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点2222222222()()(,)ab m b a n a b b a b a+-+--.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是22224222222222222[()]()()()ab a m b n a b n a b x y b a b a b a -++-+-=---(x m ≠且y n ≠). 70．如果一个双曲线虚半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）212d d b =，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和双曲线相切,或L 是双曲线的渐近线.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和双曲线相离，（3）212d d b <，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和双曲线相交.71．AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的实轴，N 是双曲线上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是22241(0)x a y y -=≠.72．设点00(,)P x y 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的内部(（含焦点的区域）)一定点，AB 是双曲线过定点00(,)P x y 的任一弦.(1)如a b ≥,则当弦AB 垂直于双曲线实轴所在直线时22222200min 2()(||||)b x a y a b PA PB a --⋅=.(2)如a b <,则当弦AB 平行（或重合）于双曲线实轴所在直线时,22222200min 2()(||||)b x a y a b PA PB b --⋅=.73．双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切. 74．双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点. 75．双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c 与a-c. 76．双曲线焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77．双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.78．双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.80．双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81．双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足的距离为双曲线实半轴的长.84．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点.85．双曲线焦三角形中,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86．双曲线焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线. 87．双曲线焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线.88．双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上有一点P ，过P 分别引其渐近线的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q ， O 为原点，则：（1）2||||OM ON a ⋅=； （2）2||||OQ OR b ⋅=.90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:bl y x a=-的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y轴于,R Q .（1）若2||||OM ON a ⋅=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b-=>>.(2)若2||||OQ OR b ⋅=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b-=>>.91. 点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，则：12||2abS S -=.92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线b y x a =-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，已知12||2abS S -=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b -=>>或22221(0,0)y x a b b a-=>>.。