循环平稳信号分析

A2 2
cos(2
f0 )
=0;
A
co
s
(
2
2
fc ) cos(2
f0 )
= f0;
R
x
(
)
A2 2
cos(2
fc )
1 4
e
j 2
1
A2 2
cos(2
fc )
= 2 f0; = 2 fc;
A 4
e j 2
cos(2
f0 )
= (2 fc f0 );
A2 16
A
23
功率谱密度函数
循环谱切片图
A
24
功率谱密度函数
循环谱密度函在频率域内的信息和循环频率域内的 信息具有谱相关特性。 对于调幅信号，载波信息在频率域内的值与其自身 相等，而在循环频率域内的频率信息是其载波频率 的2倍。 而调制频率在频率域和循环频率域内的值没有变化。 利用循环频率与频率之间的相关特性，用切片图可 以将有用的信息提取出来并进而分析频率信息特征。
A
8
4.2 信号的循环统计量
4.2.1 一阶循环统计量 4.2.2 一阶循环统计量—循环均值 4.2.3 二阶循环统计量—循环自相关函数 4.2.4 功率谱密度函数
A
9
4.2.1 一阶循环统计量
循环统计方法是研究信号统计量的周期结构，它直 接对时变统计量进行非线性变换得到循环统计量， 并用循环频率——时间滞后平面分布图来描述信号， 抽取信号时变统计量中的周期信息。 循环统计量的一般表达式为
A
27
4.3.1调频信号的解调分析
x ( t) A c2 o fz t ss [2 ifn n t)] (
A
28
4.3.2 多载波调频信号的解调
x ( t ) c o s ( 2 f c 1 t s i n ( 2 f 0 t ) ) c o s ( 2 f c 2 t s i n ( 2 f 0 t ) )
T2
x(t)x*(t)ej2t t
（4.2.13）
A
16
二阶循环统计量—循环自相关函数
幅值调制信号为例对循环自相关函数的性能作仿真
分析
x ( t ) ( 1 A c o s ( 2 f 0 t ) ) c o s ( 2 f c t )
（4.2.14）
1 2
c
os(2
fc ) 1
a(t /2)a(t /2)ejt 0 t
0
A
21
功率谱密度函数
由式（4.2.17）可以求出该仿真信号的循环谱密度 为
14Sa(f f0)14Sa(f f0) Sx(f ) 14ej2Sa(f )
0
=0;
=2f0; 其它
A
22
功率谱密度函数
给式（4.2.14）所示仿真信号叠加平稳遍历白噪声 n(t),各参数取值与上述计算二阶循环自相关函数 时的取值完全相同。循环谱如图4.2.4所示
陈进、姜鸣等分析了高阶循环统计量理论在谐波恢 复、系统辨识、特征提取等中的应用，指出将高阶 循环统计量理论应用于机械设备的状态监测和故障 诊断领域具有重要意义
A
7
第四章 循环平稳信号分析
4.1 循环平稳信号的定义 4.2 信号的循环统计量 4.3 基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析 4.4 循环平稳信号处理的工程应用
A
29
多载波调频信号的解调
A
30
4.3.3 多调制源调幅信号的解调
x ( t ) 1 c o s 2 f 0 1 t c o s 2 f 0 2 t c o s 2 f c t
A
31
A
32
4.3.4 多载波调幅信号的解调
x ( t ) [ 1 c o s ( 2 f 0 t ) ] c o s ( 2 f c 1 t ) [ 1 1 . 5 c o s ( 2 f 0 t ) ] c o s ( 2 f c 2 t ) n ( t )
循环基频
N
N
p(x,ti) p(x,tinT0)
i1
i1
n/T0
循环频率从物理意义上讲，与傅里叶变换中的频率一样，
都表示信号的频率
A
11
4.2.2 一阶循环统计量—循环均值
循环平稳过程的一阶循环统计量是指信号的均值是
时间的周期函数。
x (t) x 0c o s (2f0 t) n (t)
(4.2.2)
R x(t;)R x (e j(2 /T 0 )m tR x (e j2 t
m
m
(4.2.10)
A
15
二阶循环统计量—循环自相关函数
式（4.2.10）中的傅里叶系数称为循环自相关函数
Rx ()T 10 T T 00//22Rx(t;)ej2tdt
将式（4.2.9）代入式（4.2.11）得
C x ()kT li m T 10 Tcx(t, )kej2 td t (4.2.1)
A
10
一阶循环统计量
对于一个循环平稳的时间序列来说，它的循环频率 （包括零循环频率和非零循环频率）可能有多个， 所有循环频率的总体构成循环频率集
循环频率包括零值和非零值，其中零循环频率对应 信号的平稳部分，非零循环频率则描述了信号的循 环平稳特性。
A
4
第四章 循环平稳信号分析
4.1 循环平稳信号的定义 4.2 信号的循环统计量 4.3 基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析 4.4 循环平稳信号处理的工程应用
A
5
4.1 循环平稳信号的定义
严格意义上的循环平稳信号是指时间序列具有周期
时变的联合概率密度函数
N
N
p(x,ti) p(x,tinT0)
lim 1 N(2N1)T0
N nN
TT00//22x(tnT0)ej2tdt
lim1
TT
T/2 x(t)ej2tdt
T/2
@x(t)ej2tt
(4.2.5) (4.2.6)
(4.2.7)
A
13
一阶循环统计量—循环均值
A
14
4.2.3 二阶循环统计量—循环自相关函数
对于零均值的非平稳复信号，时变自相关函数可以 写成
R x(t; ) E { x (t)x (t
假定此时变自相关函数具有周期性，并且周期为 T0 ，则可以用时间平均将相关函数写成
R x(t;) N li m (2 N 1 1 )n N N x (t n T 0 )x (t n T 0) (4.2.9)
取 m/T0 ，相关函数的傅里叶展开为
(3) 如果循环频率高频段循环谱切片图的循环频率与该图片
所反映的频率信息没有以上对应关系，则说明此循环频率
是混频信息。
A
36
第四章 循环平稳信号分析
4.1 循环平稳信号的定义 4.2 信号的循环统计量 4.3 基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析 4.4 循环平稳信号处理的工程应用
A
37
4.4.1 齿轮箱摩擦故障分析与诊断
A
25
第四章 循环平稳信号分析
4.1 循环平稳信号的定义 4.2 信号的循环统计量 4.3 基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析 4.4 循环平稳信号处理的工程应用
A
26
4.3 基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析
4.3.1 调频信号的解调分析 4.3.2 多载波调频信号的解调 4.3.3 多调制源调幅信号的解调 4.3.4 多载波调幅信号的解调 4.3.5 循环相关解调法识别信号有用信息和混频信 息的规律
Sx (f) R x ()ej2fd
（4.2.17）
A
20
功率谱密度函数
为了更加清楚的说明循环谱密度的特性，取信号模 型
x (t) a (t)c o s (2f0 t)
其中， a(t)为零均值的平稳随机信号，满足条件
a(t) 0 t
a(t /2)a(t /2) 0 t
a(t)ej2t 0 t
A
6
4.1 循环平稳信号的定义
具有周期变化的统计量称为循环统计量。 循环统计理论的研究迅速发展是在20世纪80年代 中期。
对二阶循环统计量研究最有影响的是 W.A.Gardner，他提出的谱相关理论和冗余概念。 近几年，随着高阶循环统计量这一数学工具诞生， 循环平稳信号的研究也从二阶发展到了高阶。
(2) 如果循环频率高频段的循环谱切片图的循环频率信息与 该图片相对应的频率信息具有相等的关系，则说明此循环 频率是单独的频率分量。在表示频率域信息的切片图中， 一般情况下，可以清楚地看到此单独的频率信息，没有调 制边频带出现。一般在表示循环频率域信息的切片图中， 可以看到边频带现象，这是低频信号对高频信号所产生的 混频效应。
(4.1.1)
i1
i1
N统计阶数，T0是基本循环平稳周期，n是一个给定的整数
循环平稳信号具有周期时变的矩和统计量，即
N
N
E{ x(ti)}E{ x(tinT0)}
(4.1.2)
i1
i1
阶循环平稳过程的定义：
若随机过程 从一阶到 阶的各阶时变统计量都存
在，并且它们都是时间的周期函数（其中，每阶的 循环周期可能有多个，且各阶循环周期一般不同）， 则称该随机过程为 阶循环平稳过程。
A
33
多载波调幅信号的解调
ห้องสมุดไป่ตู้
A
34
多载波调幅信号的解调
A
35
4.3.5 循环相关解调法识别信号有用信息 和混频信息的规律
(1) 如果循环频率高频段的循环谱切片图的循环频率信息与 该图片相对应的频率信息具有2倍的关系，并且切片图中相 应的循环频率信息（或频率信息）表现为中心频率，其两
边均有明显的调制边频带，则说明此循环频率（或频率） 具有载波频率特征，循环频率是载波频率的2倍，并且图中 所对应的边频带频率信息就是调制频率信息。
某空气分离压缩机组(简称空分机)结构简图
高速轴转频213.00Hz， 啮合频率为
1倍=6815.75Hz， 2倍=13631.5Hz， 3倍=20447.25Hz
A
3
引言
机械循环平稳信号具有以下特点：
(1) 正常无故障的机械信号一般是平稳随机信号，统计 量基本不随时间变化。
(2) 故障信号产生周期成分或调制现象，其统计量呈现 周期性变化，此时信号成为循环平稳信号。
(3) 统计量中的某些周期信息反映机械故障的发生。
因此研究循环平稳信号处理和特征信息的提取方法， 对机械故障诊断具有重要的意义。
e
j 2
= (2 fc 2 f0 );
A
17
二阶循环统计量—循环自相关函数
A
18
二阶循环统计量—循环自相关函数
循环自相关函数三维图及其切片图
A
19
4.2.4 功率谱密度函数
对于平稳的随机信号来说，其自相关函数与功率谱 密度函数是一对傅里叶变换对，通过功率谱密度函 数可以描述信号二阶统计量的数字特征。 同样，对于循环平稳信号，其循环自相关函数与循 环谱密度函数也是一对傅里叶变换对。 根据维纳-辛钦关系，循环谱密度（Cyclic Spectrum Density，简写CSD）如式（4.2.17） 所示。
西安交通大学机械工程学院研究生学位课程
现代信号处理技术及应用
第四章 循环平稳信号分析
A
1
第四章 循环平稳信号分析
4.1 循环平稳信号的定义 4.2 信号的循环统计量 4.3 基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析 4.4 循环平稳信号处理的工程应用
A
2
引言
在信号处理中，信号的统计量起着极其重要的作用， 最常用的统计量有均值（一阶统计量）、相关函数 与功率谱密度函数（二阶统计量），此外还有三阶、 四阶等高阶统计量。 在非平稳信号中有一个重要的子类，它们的统计量 随时间按周期或多周期规律变化，这类信号称为循 环平稳信号。 具有季节性规律变化的自然界信号都是典型的循环 平稳信号，例如水文数据、气象数据、海洋信号等。 雷达系统回波也是典型的循环平稳信号。
的统计平均
m x ( t ) E x ( t ) E x 0 c o s ( 2 f 0 t ) E n ( t ) x 0 c o s ( 2 f 0 t ) (4.2.3)
可见均值是时间的周期函数，该信号是循环平稳信 号，因此无法直接使用时间平均估计信号的均值。
对上述循环平稳信号以T0为周期进行采样，则这样 的采样值显然满足遍历性，从而，可以用样本平均 来估计其均值
M x(t)N li m 2N 11n N Nx(tnT0)
A
(4.2.4)
12
一阶循环统计量—循环均值
可以看出式(4.2.4)是T0的周期函数,
傅里叶展开
Mx(t) Mxej2t m
其中
MxT 10 TT 00//22Mx(t)ej2tdt
将式（4.2.4）代入式（4.2.6）中，
Mx
（4.2.11）
Rx (
)1 T0
TT 00//22N li m 2N 11nN Nx(tnT0)x*(tnT0)ej2tdt
1 N
lim N (2N1)T0nN
将上式改写成
TT 00//22x(tnT0)x*(tnT0（4).e 2 .1j22）tdt
Rx()T li m T1
T2 x(t)x*(t)ej2tdt