二次根式的非负性及应用

二次根式知识点总结及其应用

二次根式知识点及其应用一、二次根式的概念：（1）形如的式子叫做二次根式.（2）二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零。

二、二次根式化简:1、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。

3、分母有理化：（1）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式。

（2）分母有理化：在分母含有根号的式子中，把分母中的根号化去。

方法：①分子与分母同乘以分母的有理化因式例如：②分子或分母分解因式，约去分母中含有二次根式的因式例如：三、二次根式的性质：（1）非负性0()a ≥0 2(2)(0)a = ≥ 0()a ≥0(00)0,0,)a b a b a b ==≥>==≥≥≠ ,0,0)0,0)x y x y ==>>==>>四、二次根式的运算：二次根式乘法法则二次根式除法法则二次根式的加减：（1）将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式；（3）合并同类二次根式。

五、二次根式的应用1.对二次根式的认识1．一个自然数的算术平方根为()0a a >，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为（）（A ）1,1a a -+（BCD ）221,1a a -+2.若21x +的平方根是5±_____=．3.a 的被开方数相同，则_____ab +=．4．若xy____x =，_____y =．5=，且0x y <<，则满足上式的整数对(),x y 有_____．2、根据二次根式有意义的条件确定未知数的值：1有意义的x 的取值范围=(0,0)a b = ≥ ≥(00)a b = ≥>(0,0)a b = ≥≥(0,0)a b = ≥>2.若2)(11y x x x +=-+-，则y x -=_____________。

二次根式知识点总结

二次根式知识点总结二次根式是高中数学中重要的知识点之一，它在解决一元二次方程、求解勾股定理以及图形的面积计算等问题中起到了重要的作用。

本文将对二次根式的定义、性质以及相关的数学运算进行总结，并探讨其在实际问题中的应用。

一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的代数式，其中a为非负实数。

它可以表示为一个单独的根号表达式，也可以是两个或多个二次根式之间的运算。

二、二次根式的性质1. 二次根式与有理数的关系：二次根式可以是有理数或无理数。

当根号内的数可以化简为有理数时，二次根式即为有理数；否则，二次根式为无理数。

2. 二次根式的相等性：两个二次根式相等的条件是它们的被开方数相等。

3. 二次根式的大小比较：对于非负实数a和b，若a > b，则有√a >√b。

4. 二次根式的运算性质：对于非负实数a和b，有以下运算性质：- 加法：√a + √b = √(a + b)- 减法：√a - √b = √(a - b)，其中a ≥ b- 乘法：√a * √b = √(a * b)- 除法：√a / √b = √(a / b)，其中b ≠ 0三、二次根式的化简当二次根式存在可以化简的情况时，可以通过以下方法进行化简：1. 提取因子法：将根号内的数分解为两个数的乘积，其中一个数是完全平方数，并提取出完全平方数的根号作为整体。

2. 有理化分母法：对于含有二次根式的分数，可以通过有理化分母的方法化简，即将分母有理化为一个有理数或二次根式。

四、二次根式的应用1. 解一元二次方程：一元二次方程的形如ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。

通过二次根式的求解方法，可以求得方程的解，并通过图像分析得到方程的根的性质。

2. 求解勾股定理：在平面几何中，勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边的平方之和。

通过二次根式的运算，可以准确计算出直角三角形的边长。

3. 计算图形的面积：在几何问题中，经常需要计算图形的面积，而某些图形的面积计算涉及到二次根式。

二次根式的方法

二次根式的方法摘要：1.二次根式的定义和意义2.二次根式的基本性质3.二次根式的运算方法4.二次根式的应用5.总结与展望正文：一、二次根式的定义和意义二次根式，又称平方根，是一个数学概念。

它表示一个数的平方等于另一个数，这个数就是该式的二次根。

例如，√4=2，因为2=4。

二次根式在数学中有着广泛的应用，它不仅与平方、乘方等基本运算密切相关，而且还在解方程、求极值等问题中发挥着重要作用。

二、二次根式的基本性质1.二次根式的非负性：任何一个非负数的二次根式都有意义，即其结果是非负的。

2.二次根式的乘法性质：二次根式的乘法遵循平方根的乘法法则，即（√a）=a。

3.二次根式的除法性质：二次根式的除法也遵循平方根的除法法则，即√a/√b=√(a/b)。

三、二次根式的运算方法1.二次根式的加减法：根据二次根式的乘法性质，可以将二次根式的加减法转化为乘法，再利用乘法的运算规律进行计算。

2.二次根式的乘除法：利用平方根的乘法性质和除法性质进行计算。

3.二次根式的化简：将二次根式化为最简形式，例如，√4=2，√9=3，√16=4等。

四、二次根式的应用1.解一元二次方程：利用二次根式的性质和运算方法，可以将一元二次方程转化为二次根式方程，进而求解。

2.求极值问题：在函数求极值问题中，可以利用二次根式的性质和运算方法，将函数转化为二次根式形式，进而求解极值。

3.实际生活中的应用：例如，测量土地的面积、计算物体的体积等问题，都可以利用二次根式进行求解。

五、总结与展望二次根式作为数学中的重要概念，掌握其定义、性质和运算方法至关重要。

通过学习二次根式，我们可以更好地解决实际问题，提高数学素养。

二次根式两个非负性的运用

二次根式两个非负性的运用四川倪先德)0a≥的式子叫做二次根式．正确理解并灵活运用二次根式的这一定义，是解一些与二次根式相关的问题的关键．)0a≥是一个非负数．这个非负数可用数表示，也可用代数式表示，如5)3a≥等．这里实质包含两个非负性：a非负和a 非负．)0a≥表示非负数到本单元为止，已学习三个非负数：绝对值、平方数、算术平方根，它们有独特性质：若几个非负数的和为零，则它们分别为零，它还有一些性质，以后还要继续研究，非负数及它的性质，是重要的解题方法之一，务必要熟练掌握，才能灵活应用．例1．若1+-ba与42++ba互为相反数，则=+2004)(ba_____．解：∵1+-ba与42++ba互为相反数，∴10a b-+=．又∵10a b-+≥0，∴⎩⎨⎧=++=+-421baba，解之得：⎩⎨⎧-=-=12ba．∴200420042004()(21)3a b+=--=．二、若有a存在，则0a≥由于只有非负数才有平方根和算术平方根，负数没有平方根和算术平方根．所以0a≥是a 存在的必要前提．例2．要使代数式32-x有意义，则x的取值范围是（）A．2≠x B．2x≥C．2>x D．2x≤解：要使代数式32-x有意义，就要求：20x-≥，所以，2x≥；选B．三、若有2a-存在，则0a=0=由于2a-存在，则20a-≥．即20a≤，而2a是非负数，所以0a=．例3．2004x-值．解：∵2)2005(--x存在，∴20050x-=即2005x=0=，2004200520041x-=-=．四、若a与a-同时存在，则0a=0==例4．若200420052005+-+-=xxy，求x y-的值．解：因为2005-x和x-2005同时存在，所以20052004x y==，．所以200520041x y -=-=．。

〖2021年整理〗《二次根式非负性的应用》优秀教案

二次根式非负性的应用我们知道：一般地，形如a )0(≥a 的式子的式子叫做二次根式，而a )0(≥a 也表示a 的算术平方根，所以可得,0≥a )0(≥a 这里要注意的是两个非负数：a 是非负数，被开方数是非负数，那么它们在实际问题中有什么作用呢？1 条件)0(≥a 的作用：列不等式，可求被开方数中，字母的取值范围例1 当a -11++a 有意义时，a 的取值范围是析解：此式中含有二次根式，被开方数为非负数，得,0≥-a含有分式，分母不为零，得01≠+a , a 的取值应使以上二式都成立，∴据题意得⎩⎨⎧≠+≥-010a a 解得：,0≤a 且1-≠a 例2 1212+x 有意义，则x 的取值范围是解：法一据题意得：012>+x ,12->x ,当x 取任意实数时，上式都成立，∴x 的取值范围是全体实数法二：∵,02≥x ∴112≥+x ,即x 取任意实数，被开方数都是正数，原式都有意义，∴x 的取值范围是全体实数点评：此题看似简单，学生却极易出错，错误原因往往是对法一中的12->x 不会处理，不知道解到此步，应得结论，却接着往下解，从而得出荒谬的结论【小结】数学表达式中的条件，往往是列方程或列不等式的依据，从而求出所含字母的取值范围20≥a 的作用：表示非负数，往往与也表示非负数的绝对值、偶次幂同时出现于同一题目中例3 若32-+y x 与1-xy 互为相反数，则22y x +=解：据题意得， 32-+y x 1-xy =0, ∴⎩⎨⎧=-=-+01032xy y x , ∴⎩⎨⎧==+132xy y x ,∵xy y x y x 2)(222++=+, ∴12)32(222⨯++=y x ,1022=+y x例4 若a a 21)12(2-=-，求a 的取值范围？解：∵2)12(-a 0≥，∴021≥-a , 解得：21≤a。

二次根式的概念

二次根式的概念二次根式是数学中重要的概念之一，它涉及到平方根的运算和性质。

在本文中，我们将详细介绍二次根式的定义、性质以及在实际问题中的应用。

1. 定义二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。

√a表示a的平方根，即一个数的平方等于a。

例如，√9等于3，因为3的平方等于9。

2. 性质（1）对于任意非负实数a和b，有以下性质：a) √a * √b = √(a * b)b) √(a / b) = √a / √bc) (√a)^2 = a（2）二次根式与有理数的关系：a) 如果a是一个完全平方数，即a = b^2，其中b为有理数，则√a是一个有理数。

b) 如果a不是一个完全平方数，则√a是一个无理数。

（3）二次根式的化简：a) 如果a可以因式分解为完全平方数的乘积，则可以将二次根式化简为一个有理数。

b) 如果a不可因式分解为完全平方数的乘积，则二次根式无法化简。

3. 应用二次根式在实际问题中具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用示例：（1）几何问题：二次根式可以用于计算直角三角形的斜边长度。

例如，在一个边长为a的正方形中，对角线的长度可以表示为√(2a^2)。

（2）物理问题：二次根式可以用于计算物体的速度、加速度等。

例如，在自由落体运动中，物体下落的距离可以表示为h = 1/2 * g * t^2，其中h为下落距离，g为重力加速度，t为时间。

（3）金融问题：二次根式可以用于计算利息、久期等金融指标。

例如，复利计算公式中涉及到年利率的开平方运算。

总结：二次根式作为数学的一个重要概念，涉及到平方根的运算和性质。

通过了解二次根式的定义和性质，我们可以更好地理解和应用它们。

在几何、物理、金融等实际问题中，二次根式都有广泛的应用，帮助我们解决复杂的计算和分析。

因此，对于二次根式的学习和掌握是数学学习的关键之一。

以上是对二次根式概念的详细介绍，希望对您有所帮助。

通过深入学习和练习，相信您会更加熟练地运用二次根式，并在解决实际问题中发挥其重要作用。

阶段专项提分练三利用二次根式的非负性进行化简求值及运算

a=3.
二次根式被开方数的非负性
【典例 2】若 x,y 为实数,且 y=
+
+ .求
-
的值.
【解析】见全解全析【变式 1】(2024·贵州质检)设 x,y 为实数,且 y=4+ + ,则|y-x|的值是(A) A.1 B.9 C.4 D.5
【变式 2】若实数 x,y 满足 x2=
+
+4,则 x+y 的值是(B)
【解析】(1)由题意,得 a- =0,b-5=0,c- =0,解得 a=2 ,b=5,c=3 .
(2)因为 2 +3 =5 >5,所以以 a,b,c 为边长能构成三角形.
三角形的周长为 2 +3 +5=5 +5.
【变式 1】(2024·贵阳观山湖区期中)若 +(n+1)2=0,则 m-n 的值为 4 .
A.3 或-3 B.3 或-1
C.-3 或-1 D.3 或 1
【变式 3】若实数 a,b 满足 b= + +5,求 2a+b 的平方根.
【解析】由题意知:
,则 a=2,
∴b=5,∴2a+b=2×2+5=9,
∴± =±3,即 2a+b 的平方根是±3.
【变式 4】(1)已知 a,b 为实数,且
+2 =5+b,求 a,b 的值.
(2)已知实数 m 满足|2 023-m|+
=m,求 m-2 0232 的值.
【解析】(1)因为
和均有意义,
所以 6-2a≥0 且 a-3≥0,即 a≤3 且 a≥3,
所以 a=3,
当 a=3 时,

数学中的二次根式与分式

数学中的二次根式与分式在数学中，二次根式和分式是我们经常会遇到的两个概念。

它们在解决方程、计算和简化表达式等方面都具有重要的作用。

本文将详细介绍二次根式和分式的定义、性质以及它们在数学中的应用。

一、二次根式的定义与性质二次根式是指根号下包含二次项的表达式。

具体地说，对于一个非负实数a和正整数n，我们定义二次根式√a为满足以下条件的实数x：x的n次方等于a，即x^n = a。

其中，n称为根式的指数，而a则是根式的被开方数。

二次根式的性质如下：1. 非负性质：二次根式的值不会小于0，即根号下的被开方数必须为非负实数。

2. 分解性质：对于一个二次根式√ab，可以将其分解为√a * √b。

3. 合并性质：对于两个同类项的二次根式√a和√b，可以合并为√(a+b)。

4. 化简性质：如果被开方数能够整除完全平方数，那么二次根式就可以化简为一个有理数。

二、分式的定义与性质分式是数学中的一种表达形式，通常由分子和分母组成，中间用分数线分隔。

分式可以表示两个数之间的关系，其中分子表示被除数，分母表示除数。

分式的定义如下：对于两个整数a和b（其中b≠0），我们定义分式a/b为两个整数a和b的比值。

在分式中，a被称为分子，b被称为分母。

分式的性质如下：1. 除法性质：分式表示的是除法运算，即a/b = a÷b。

2. 分子和分母的性质：在一个分式中，如果分子和分母乘（或除）以同一个非零实数k，则分式的值不变。

3. 分式的简化：如果分子和分母有一个公因数，那么可以进行约分，将分式化简为最简形式。

4. 分式的加减乘除：两个分式的加减可以通过通分和化简的方法进行，两个分式的乘除可以通过分子乘分子、分母乘分母的方法进行。

三、二次根式与分式的联系与应用二次根式和分式在数学中经常会有联系，并在解决问题中应用到一起。

1. 化简分式时可以利用二次根式的性质进行转化。

比如，在分式中出现二次根式时，可以将其转化为最简形式，使得分母中不存在二次根式。

二次根式的“双非负性”在解题中的应用

’
２＞３＞１所以２ｘ￣，一１０＞．
（／ｖｊ
）３一．＝ｘ２
．
．
原式：￣（ｘ一１一（ｘ一）／２）２３
２一１—２＋３＝２．
＝
（） √ ≥０得一ｏ０３由“Ⅱ ” √ ≤ ，
所以一（４＝ ≤０得到 ≥４一）４一，．
因（２ ≥ＯＹ＋），
要的性质，就是（ａ≥０．）这里是一个非负数，而被开方数ａ也是一个非负数．二次根式的这条性质可称为
二次根式的 “ 非负性 ” 下面例析这一性质在解题中的双．
应用．
由数质：｛一非性｛；＝得＝．负１：０１ — ，＋ｌ．２Ｖｙ解
， ‘
答案：． ≤３２ ≤５３Ｂ４２５１０．１．．．．．．００
５已知Ｙ：Ｃ－９＋９８＋．ＴＺｘ９．
，求型试
的
・
６２７２雁．．
（上接７Ｏ页）
譬于， ’ Ｐ＝２Ｊ ’Ｂ．ｘ一２，＝Ａ
故ｘｙ＝一６应选Ａ．
例４若最简二次根式ｒｉ二与
一有意义的的取值范围５次根式，ａ＝则一
同类二
例１（）使１能
— —
；
解：由题意得：一３＝５口ａ＋３０ａ＞１，一５６：０分ａ一
（）２化简：／一）（ｖ３２＝—厂 Nhomakorabea— 一

二次根式双重非负性的运用

二次根式双重非负性的运用
在实数范围内，我们知道式子表示非负数ａ的算术平方根，它具有双重
非负性：（１）；（２）ａ≥０．运用这两个简单的非负性，再结合非
负数的性质“若几个非负数的和等于０，则这几个非负数都等于０”可以解决一些似乎无从下手的算术平方根问题．
例１已知＋＝０，求ｘ，ｙ的值．
分析：因为≥０，≥０，根据几个非负数之和等于０，
则每个非负数都等于０，可知，从而，解之，得ｘ＝－１，ｙ＝４．
例２若实数ａ、ｂ满足＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿．
分析：因为≥０，≥０，故由非负数的性质，得
，两式相加，即得２ｂ－ａ＋１＝０．
例３已知实ａ满足，求ａ-2010的值．
解：由ａ-20110，得ａ2011。

故已知式可化为ａ-2010+=ａ，∴=2010，两边平方并整理，得：ａ-2010＝2011．
例４在实数范围内，求代数式的值．
解：考虑被开方数，得从而，又，故
＝０，ｘ＝４．∴原式＝１．
例５设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值．
解：由ａ（ｘ－ａ）≥０及ｘ－ａ≥０得ａ≥０；由ａ（ｙ－ａ）≥０及ａ
－ｙ≥０得ａ≤０，故ａ＝０，从而已知式化为，ｘ＝－ｙ≠０，故原式＝＝.。

第七讲非负数的性质及应用

第七讲非负数的性质及应用【知识要点】1、二次根式的基本性质（式子()0≥a a 叫做二次根式）（1）()⎪⎩⎪⎨⎧===a a ，a a a ，22则对于任意实数有对于非负数（2）若a>b>0，则b a >。

2、最简二次根式要满足下列条件的根式是最简二次根式：（1）被开方数的每一个因式的指数是1。

（2）被开方数不含有分母。

3、二次根式运算法则（1）()00*≥≥=，b a b a ab ；（2）()00≥≥=，b a ba b a ；（3）()()0≥=a a a n n ；（4）()04≥=a a a ；4、复合二次根式2b a ±的化简：设法找到两个正数x ，y （x>y ），使x ＋y=a ，x ·y=b ，则 ()y x y x b a ±=±=±22 5、非负数的三种形式：绝对值a 、平方项2a 、算术平方根()0≥a a 。

【典型例题】例1-1 已知c y x y x =-++-+425，求xy 的值。

()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>0000a a a a a例2 化简32-+-a a 。

例3-1 设△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且0448222=--++bc ab b c a 。

试判断△ABC 的形状。

例4-1 已知321--+---+=--+-y x z x z y z y x ，求 z y x ++的值。

例4-2 已知1511--+---+=--+-y x z x z y z y x ，求z y x ++的值。

例7 若u ，v 满足23342342++-++-=v u u v v u v u v ，求22v uv u +-的值。

例8-2 化简222323-++。

【课堂练习】一、选择题。

1已知x ，y 是实数，09432=++++y y x ，若y x a x y =-3，则实数a 的值是（）。

二次根式双非负性的应用

（＋）＝０，由＞０，＞０，得
＞０。
＞０，
分析：由于６ √ 一日≥０，知ａ ≤０，所以３ √ 口４在复合二次根式中的应用不是算术根，故３ √ 日化为６次根式时，不能例４：化简：（１） √ １１＋ √ ；
＝一
（２）６ √ １０＋４ √ ３一
√ ６（一ａ）・一ａ＝一（一ａ）一一。
分析：对复合二次根式√ ± ２（若
４ｙ的系数不是２时，可配成２），设法找出两
故：左边
：
解：（１）原式
：
解： ‘ ・ ‘ 一ｘ２＋６Ｘ一５ ≥０，・ ’ ・１ ≤ ≤５
分析：ｉａ —ｌＩ＝ａ —１只有当ａ ≥１时才成立；
ａ．ａ＝ａ只有ａ ≥０时才成立；
√ ｉ了： √ 而
√ ＋ √ ：３十
（２）原式
＝
：
一
：３在定区间１ ≤ｘ ≤５内，
＝
６￣１０＋４４（＇ｆ２ — １）＝６ √ １０＋４（ √ ２－１）６ √ 丽＝６ √ 丽＝１２＋６．Ｖ￣－
￣ＩＥＩ３ — １＝５ — ３，因此＇当＝３时， ‘ ｙ最，Ｊ、值＝３ — ２＝。
例３：在实数范围内解方程√ ｘ一２＋ √
＋ √ ｚ一１＝（＋＋ｚ）
５在条件代数式求值中的应用
例５：设４１９ — ８５的４整数部分为小数

二次根式非负性的应用

二次根式非负性的应用
泰东实验学校刘荣淦
我们知道对于二次根式（a ≥0）, a 均具有非负性，即≥0，≥0。

本文就二次根式非负性的应用举例一二。

一、确定被开方数中字母的取值
例1 如果a -+-=0，那么
+= （苏科教材九上76页习题）分析：由于a ≥0，
≥0且+=0 可知：
-=0，=0，所以a-3=0,2-b=0,
解得a=3,b=2进而代入可求代数式的值。

二次根式的非负性还通常与绝对值以及平方数的非负性结合使用，当几个非负数的和为0，那么这几个非负数的取值均为0，从而可确定相关字母的值为解题创造条件。

例2 若
x ++ x =0，求x+y 的值。

分析：由于
x -≥0，x ≥0，且x + =0
所以
x +=0，=0，故
x +，x-y-2=0从而解得x=3,y=2, 所以x+y=4.
二、确定被开方数中字母的取值范围
例3
2=1—a,求a 的取值范围
解法一：因为2=1a -，所以1a -=1—a ，得a-1≤0,
所以a ≤1
2≥0，
2
=1—a ，
所以1—a ≥0，
即a ≤1. 由上述两个解法不难比较发现，解法二更加简便，此法是利用二次根式的非负性确定字母的取值范围，下面再举几例加以说明。

例4
若求a 的取值范围
，
所以a-3≥0，
即a≥3
例5 若，求a的取值范围
，
因为2-a+3+a=5,
（2-a）+(3+a),
，
从而2-a≥0且3+a≥0，
故-3≤a≤2。