国内外关于合情推理的研究现状

国内外关于合情推理的研究现状

1.美国学生的合情推理能力培养

（1）美国报告的合情推理能力培养

1989年美国国家研究委员会（NRC）发布了《关于数学教育的未来致国民的一份报告》，考虑了从幼儿园到研究生院整个阶段的问题。《报告》在讨论数学教育中的合情推理问题时，提出“学生学习数学需要有不断摸索的过程，我们应当为他们提供这样的学习环境。从长远来说，真正重要的不是记住一些数学技巧而是树立一种自信心，即当他需要某一数学工具时，知道如何去发现并掌握这一工具。树立这种自信心的唯一方法就是在学习过程中贯穿创造、构造、发现数学的那种学习精神”。

《报告》还要求各大学为尚未合格的中小学教师请来开明的有建设性的教育家开设新的课程，他们学习数学时也需要接受各种训练——探索、猜测、试验、估计、辩论、证明。这样在今后的教学中，对学生按自己想法求解问题时冒出来的意外的猜想，教师就能够给以建设性的回答。《报告》中对学生的学和教师的教都注意合情推理、猜想的培养。

（2）《美国学校教学教育的原则和标准》中的合情推理

全美数学教师理事会（National Council of Teachers of Mathematics,简称NCTM）在2000年4月出版了《美国学校教育的原则和标准》（以下简称美国2000年《标准》）。2000年《标准对各州仅起参考作用而非强制性法令，但它在一定程度上起到了统一要求的作用，引起了较大的反响，对各州标准的制定及教材的编写也产生重大的影响。美国2000年《标准》设计10个内容，其中活动标准中的推理与证明对合情推理内容的教学作了明确的要求。其中，数学教学纲要应当集中精力学会将推理与证明作为理解数学的一部分，以便所有学生：承认推理与证明是数学的本质和有力的部分；提出和考察数学猜想；发展和评价数学争论与证明；选择和使用各种适当的推理形式和证明方法。提出和考察数学猜想：一些数学猜想由于他们简明的形式和将来对数学家提出的挑战而变得著名，一个众所周知的问题是歌德巴赫猜想。歌德巴赫猜想定义任何大于4的正数都可以写成两个素数之和（这两个数没有必要不同）。例如，6=3+3，8=3+5，10=3+7=5+5。对于这个猜想，已经试验并发现对于1012这样大的数，其结论是正确的，但对于一般的数，它是否成立还没有被证明。

2.匈牙利关于合情推理能力的认识

在二十世纪末，匈牙利已经着手进行数学教育改革，例如，在1997年颁发了新的教育法以及国家课程。不仅大幅度削减中小学数学教学周课时，还增加选修课、修改部分教学内容。由于近年来匈牙利的学生数学成绩呈现下降的趋势，加上新的教育方案带来的一些冲击，匈牙利国内学者重新强调证明的意义，呼吁要加强对学生的数学推理能力的培养。但是，由于课堂证明过程被认为太浪费时间，加上人们日益觉察到数学应用的重要性，因此，世界各国一直存在要求降低、削弱数学证明的要求。匈牙利课程改革者对此却提出了忠告，他们认为真正的危险潜伏在这种觉察之中，他们引用著名的数学教育家波利亚的观点：“如果把证明全部从微积分中排除掉，那么微积分的教科书就变成了一部菜谱，这个菜谱开除了详尽的配料和工序，至于对为什么要这样配方，却什么也没有说”。事实上，人们希望儿童从幼儿园到高中的每个阶段，都学着去进行观察、发现事物之间的联系，构造一些数学模型，在此基础上归纳，演绎推理，构造反例或间接推理。而这些正是匈牙利数学课程的特点。在课程中，体现了合情推理能力的培养。

3.英国对学生合情推理能力的教学目标

二十世纪60年代，英国对“新数学”运动表现出极大的热情；70年代，部分地区开展“回到基础”运动；80年代初，“柯克洛夫特报告”的出现，引起了英国数学教育界的重视，其中不少观点被后来的国家课程中的数学和A水平数学采纳。1992年开始实施的英国国家课

程数学，规定了义务教育阶段（5--16岁）的数学课程，A水平数学规定了第6学级（16--19岁）的数学课程（不属于义务教育）。义务教育后学生分流，进入第6学级的学生学习A水平科目后，参加GCE考试，准备升入大学。《国家课程中的数学》目标分为4个阶段10个水平，每个学段的数学学习都规定了应达到的目标、水平和范围。内容安排上将成绩目标分为5类：运用和应用数学；数；代数；图形和空间；数据处理。简要介绍一下上述5类成绩目标中的应用数学的10个水平：

水平1：运用适合于实际任务的资料；谈论工作并提出问题；在经验的基础上做出预测。

水平2：选择资料和数学用于实际任务；叙述工作并检验结果；提出问题和回答问题，例如：“如果……将会怎么样？”“为什么？”等等。

水平3：选择资料和数学用于实际任务，运用选择的方法去克服困难；系统地说明工作并记录发现；研究和检验预测、一般的命题；检验结果，考虑它们是否合理。

水平4：当信息存在选择的机会时，选择对于任务有用的资料和数学，有条理地计划工作；记录结果并用口头、书面或形象化的方式做出描述；应用例子检验解答、命题或定义；做出概括或简单的假设。

水平5：选择资料和数学应用于任务，检查是否掌握足够的信息，有条理地工作并回顾进展；将任务分解成更小的、容易处理的任务；解释用口头、书面或形象化方式表述的数学信息；将几个特殊例子一般化并进行简单的检验。

水平6：设计任务并选择数学与对策，检查信息并获取缺少的信息，运用“尝试改进”法；运用口头、书面或形象化的方式检验并描述结果；做出一般化和简单的假设并对此进行检验；用简单的文字较明确地叙述定义和推理。

水平7：采用新的研究线索，运用适当的方法去克服困难。设计数学任务，在合适的结构内有条理地工作，在运用已知信息时能做出判断，运用“尝试改进”法并回顾进展；根据数学推理链，找出自相矛盾的推理。

水平8：设计和推广数学任务，作详细的工作计划，有条理地工作，检查信息，考察结果是否正确；运用“如果……那么……”做出猜想的命题，定义、推理、证明与运用反倒反驳；合理地运用“如果……那么……”建立一个扩充的推理链或论据。

水平9：设计、计划和完成数学任务并得出成功的结论；确定一个猜想是不是真的、假的或不能证实的，定义和推理，证明和反驳，运用符号，认识和运用必要且充分条件。

水平10：设计、计划和完成数学任务，取得成功的结论，提出合适的解答并判断选择的思路；积极地探究、发展以及运用对学生来说是新的数学领域；给出足够的、最小的定义；树立使用各种数学符号的信心，做出证明（包括使用反证法）。数、代数、图形和空间与数据处理部分的十个水平这里不再一一列举。A水平数学课程的总目标大致包括：（1）对数学的理解（培养对数学学习和应用的正确观念，提高对数学与数学过程本质的认识，理解数学思想如何用于解释周围的世界）；（2）知识与技能（扩充数学知识与技能并应用较先进的技术，打下进一步学习数学、其他学科以及就业所需的知识、技能的坚实基础，培养建模、一般化及解释与数学的应用和发展有关的结果等方面的技能，培养更普遍应用的学习与思维技能）；（3）数学能力（提高应用的能力，提高逻辑论证与理解严格性的能力，提高计算器与微机的合理的数学应用的能力，获得解决推广数学问题的策略）；（4）提高交流数学思想的能力

和应用数学的自信心。