大学物理力学部分习题

mR2(1cos2)sind
2
J
mR2(1cos2)sind
0
2
JmR2(1cos2)d(cos)
0
mR2cosmR2cos33)0
2 mR2 3
例2 从一个半径为 R 的均匀薄圆板上挖去一个半径为 R/2 的圆板，
所形成的圆洞的中心在距圆薄板中心 R/2 处，所剩薄板的质量为
m 。求此时薄板对通过原中心与板面垂直的轴的转动惯量。
7
8
例1 求质量为m，半径为R的薄球壳的转动惯量。 解：在球壳上取圆环:
其中环dr=Rd, 质量为dm=2Rsindr,其中 dr =m/4 R2
d R
由薄圆环的转动惯量mr2,可得圆环的转动惯量为：
dJ=dm,(Rsin )2
= (m/4 R2）2Rsin dr (Rsin )2
所以：
= (m/4 R2）2Rsin Rd (Rsin )2
A c R 0,
vc R, ac R
15
解得
ac
2 3
g
sin
圆柱体质心的速度为
vc
2ac x
4 3
g (h0
h)
(2) 根据质心运动定理 mg sin f mac
解得
f 1 mg sin
3
要保证无滑滚动，所需摩擦力 f 不能大于最大静摩擦力，即
f N mg cos ,
大学物理习题课
——力学部分2
1
运动的守恒定律
1、力的时间积累效应
(1) 冲量 Fdt
动量 p mv
t
(2) 动量定理:
I
Fdt
0
p2 p1
(3) 动量守恒定律: F外 0时 pi pj pi pj
(4) 角动量、角动量定理以及角动量守恒定律
2
2、力的空间积累效应
(1) 功
dA F dS
(2) 动能
质点的动能
质点系的动能
(3) 势能
1)保守力
2)保守力的判断
3)势能
Ek
1 2
mv2
Ek
1 2
N i 1
mvi2
重力势能 弹性势能 引力势能
Ep mgh
Ep
Ep
1 kx2 2 Mm
G r
(4) 动能定理
质点的动能定理
A
Ek 2
Ek1
Ek
1 2
mv22
1 2
mv12
质点系的动能定理
A外 A内 Ek
(5) 机械能守恒定律及能量守恒
机械能守恒定律: 只有保守内力做功时,质点系的机械能保持不变.
能量守恒定律: 一个封闭系统经历任何变化时,该系统的所有能量的总和不改变.
4
刚体的定轴转动
一、描述刚体定轴转动的物理量
角位移
2 1
角速度
d
角加速度
ddt
dt
d 2
dt 2
角量和线量的关系
对 m2 ： T2 m2g m2a(2)
m2 T2
对滑轮：
(T1
T2 )r
J
1 2
mr 2
a r
(3)
a (m1 m2 )g
m1
m2
1 2
m
T1
m1g
m1
(m1 m2 )g
(m1
m2
1 2
m)
,
T2
m2 g
m2
(m1 m2 )g
(m1
m2
1 2
m)
.
T2 m r T1 T1 a m1
12
c
f vA 0, 即摩擦力不做功。
mg
x
由机械能守恒：
mgh0
mgh
1 2
mvc2
1 2
J z 2 ,
(1)
式中
Jz
1 2
mR2
由相对速度 vA vc R 0,vc R (2)
由（1），（2） 解得 vc
4 3
g (h0
h)
vc
4 3
g (h0
h)
vc 1
RR
4 3
g (h0
解：
圆盘质量面密度
R2
m
(R
2)2
4m
3 R2
小圆盘面积的质量
m2
( R)2
2
( R)2
2
4m
3 R2
1m 3
大圆盘面积的质量M m 1 m
由平行轴定理，半径为 R/2 的小3 圆盘对 O 点的转动惯量为
I2
1 2
m2
(
R 2
)
2
m2
(
R 2
)
2
1 8
mR2
半径为 R 的大圆盘对 O 点的转动惯量为
J 22
1 2
J 12
(4) 角动量守恒定律
系统所受的对某一固定轴的合外力矩为零时， 系统对此轴的总角动量保持不变
(5) 机械能守恒定律
只有保守力做功时， Ek Ep 常量
6
三、题型以及例题
求特殊形状刚体的转动惯量 刚体转动定律以及牛顿第二运动定律的应用 刚体定轴转动的动能定律、机械能守恒以及角动量 守恒的应用
例4 质量为 m，半径为 R 的均匀圆柱体沿倾角为θ的粗糙斜 面，在离地面为 h0 处从静止开始无滑下滚（纯滚动）。试求 1 ) 圆柱体下降到高度为 h 时它的质心速度 vc 和转动角速度； 2y）最大静摩擦系数应满足的条件。
R
m
f r
h0
A
h
N
解: （1） 因是纯滚动，A点瞬时速度为
v
vA 0,
3
3
试求 1 ) 圆柱Байду номын сангаас下降到高度为 h 时它的质心速度 vc 和转动角速度； 2）最大静摩擦系数应满足的条件。
y
R
m
f r
h0
A
h
解: 对圆柱体进行受力分析
N
选A为瞬时转动中心，转动惯量为：
v c
J 3 mR2 2
转动定理：
mg
x mgR sin 3 mR2
2
由 A 点瞬时速度为零，对于质心有：
转动惯量
J
v r, at r, an
miri2 J r2dm
v
v2 r
i
力矩
角动量
力矩的功 A 2 M d 1
转动动能
Ek
1 2
J2
5
二、基本定律
(1) 转动惯量平行轴定理
Jz Jc Mh2 (2)刚体定轴转动定理
M J
(3) 定轴转动刚体的动能定理
A内 0
A外
Ek
1 2
或 1 mg sin mg cos , 1 tg .
3
3
16
结果讨论：静摩擦力在能量转换中的作用
把刚体边缘与斜面接触点的位移分解为： 随质心的平动＋绕质心的转动
等值，反向
摩擦力对此作负功
摩擦力对此作正功
二者之和为零，摩擦力使减少的势能不是 全部转换为平动动能，而是部分地转换为 转动动能。
h)
（2） 根据质心运动定理
mg sin f mac
以质心为参考点，根据转动定律
Rf
Jc
1 mR2
2
由 A 点瞬时速度为零，有
vc R, ac R
解得
f
1 mg sin ,
3
ac
2 g sin
3
要保证无滑滚动，所需摩擦力 f 不能大于最大静摩擦力，即
f N mg cos ,
或 1 mg sin mg cos , 1 tg .
I1
1 2
MR2
1 2
(m
m)R2 3
2 3
mR2
总转动惯量
I
I1
I2
13 24
mR2
R
R/2
O O`
11
例3 如图所示，两物体的质量分别为 m1 和 m2 ，滑轮质量为 m ，半径为r, 已知 m2 与桌面之间的滑动摩擦系数为 μ，不计 轴承摩擦，求 m1 下落的加速度和两段绳中的张力。
解： 对 m1 ： m1g T1 m1a(1)