第11章 机械波

第11章机械波振动在空间的传播过程称为波动（wave motion），简称波。

它是自然界中一种重要而常见的运动形式。

波动通常按照传播的物理量来分类。

机械振动在弹性介质中的传播过程，称为机械波(mechanical wave)。

如绳子上的波和声波等。

变化的电场和变化的磁场在空间的传播过程，称为电磁波。

如无线电波和光波等。

近代物理还指出，微观粒子也具有波动性，这种波称为实物波或德布罗意波。

各类波虽然其本质不同，但都具有波动的共同特征。

并遵从相似的规律。

本章我们以最简单，最典型的一种机械波——简谐波(simple harmonic wave)为例，来介绍波的一般表达式及其特征。

并在此基础上描述波的能量、波的传播规律--惠更斯原理、以及波的叠加原理和驻波等现象。

通过本章的学习，理解机械波形成和传播的条件；掌握平面简谐波的波函数及其物理意义；理解波的能量传播特征；理解波的叠加原理及干涉现象；理解行波和驻波的区别及半波损失的概念。

11. 1 波动的基本概念11.1.1 机械波的产生和传播室内的闹钟，以发条的振动产生声波，我们能听到嘀嗒嘀嗒的声音。

但将闹钟置于玻璃罩内，并将罩内空气缓缓抽出，直至真空，嘀嗒之声也渐渐减弱，乃至消失。

这说明机械波的产生要有两个条件：一是做机械振动的物体即波源(wave source)，二是能够传播机械振动的弹性介质(elastic medium)。

图11.1表示的是一根沿x轴放置的绳子中传播的机械波。

我们可以认为绳子是由许多质点组成的，各质点间以弹性力相联系。

绳子的左端O点即是波源，它在作简谐振动。

当它离开平衡位置时，必与邻近质点间产生弹性力的作用，此弹性力既迫使它回到平衡位置，同时也使邻近质点离开平衡位置参与振动。

这样在波源的带动下，就有波不断地从O点生成，并沿x轴向前传播，形成波动。

设t=0时，O点的相位是-π/2，O点在平衡位置，且向正方向运动；t=T/4时，O点的相位变为0，O点在正的最大位移处。

此时O点的下一个考察点a，处在平衡位置，且向正方向运动，即相位为-π/2，这正是t=0时O点的相位。

t=T/2时，O点的相位为π/2，O点在平衡位置，且向负方向运动。

此时a点的相位为0，a点下一个考察点b的相位为-π/2……，以此类推，t=T时，从O点开始，沿传播的方向看过去，O、a、b、c、d各点的相位依次为3π/2、π、π/2、0、-π/2，是由近及远依次落后的。

由此可见，介质中各质点振动的周期与波源相同，波的传播实质是相位的传播，即振动状态的传播。

在波的传播过程中，媒质中的各质点并不随波前进，而是在各自的平衡位置附近振动。

所以波动是介质整体所表现出的运动状态。

对于介质中的单个质点，只有振动而言。

质点的振动方向与波的传播方向垂直的波叫横波(transversal wave)，如绳子上的波就是横波；质点的振动方向与波的传播方向平行的波叫纵波(longitudinal wave)，如空气中的声波就是纵波。

横波和纵波是两种最基本的波，除了质点振动方向与波传播方向之间的差异外，其他性质无根本区别，故对横波的讨论也适用于纵波，对纵波的讨论也适用于横波。

各种复杂的波也常可分解为横波和纵波来研究。

11.1.2 波的几何描述为了形象地描述波在空间的传播，引入波线和波面的概念。

从波源沿波的各传播方向所画的带箭头的线，称为波线(wave line)，也叫波射线.它表示了波的传播路径和方向。

波在传播过程中，任一时刻媒质中所有振动相位相同(即振动状态相同)的点连成的面，称为波面(wave surface)，也叫波阵面或同相面。

显然波在传播过程中有许多个波面；而某一时刻，最前面的波面，就称为该时刻的波前（wave front ）。

在各向同性的均匀介质中，波线与波面相垂直。

波面有不同的形状。

一个点波源在各向同性的均匀介质中激发的波，其波面是一系列同心球面，这样的波称为球面波(spherical wave)。

而波面为平面的波，称之为平面波(plane wave)。

当球面波传播到足够远时，如果观察范围不大，波面近似为平面，可以认为是平面波。

图11.2(a)和(b)分别表示出球面波的波面和平面波的波面。

图中带箭头的直线表示波线。

在二维空间中，波面退化为线。

平面波的波面退化为一系列的直线，球面波的波面退化为一系列的同心圆，如图11.3（a ）和(b)所示。

11.1.3 描述波的物理量图11.3 二维空间中的平面波与球面波（1）波长波在传播过程中，沿同一波线上位相差为π2的两个相邻质点之间的距离为一个波长(wavelenght)，用λ表示。

因此波长就是一个完整波的长度。

对横波来说，它等于相邻两个波峰之间或相邻两个波谷之间的距离；对纵波来说，它等于相邻两个密部中心或相邻两个疏部中心之间的距离。

（2）周期与频率一个完整的波通过波线上某点所需的时间，称为振动的周期，用T 表示。

由振动产生的波动效应可知，波源完成一次全振动，其振动状态就传出一个波长的距离。

因此波动的周期等于振动的周期，与介质无关。

波的频率表示在单位时间内通过波线上某点的完整波的数目。

显然等于周期的倒数，用ν表示。

（3）波速振动状态在单位时间内传播的距离称为波速(wave velocity)，用u 表示。

由这些物理量的定义可知uT =λ （11.1）νλλ==T u / （11.2）上两式是波长、周期、与波速之间的基本关系，具有普遍意义，适用各类波。

理论与实验都证明，波速的大小取决于介质的性质，在不同的介质中，波速是不同的。

而波的频率只决定于波源，与介质无关，因此同一频率的波在不同介质中传播时，其波长是不同的。

例11.1 频率为3000Hz 的机械波，以1560m/s 的速度在介质中传播，由A 点传到B 点。

两点之间的距离为0.13m ，质点振动的振幅为1cm 。

求： （1）B 点的振动落后于A 点的时间； （2）A 、B 两点之间相当于多少个波长； （3）振动速度的最大值是多少； 解 已知：3000/1/1==νTs ，u=1560 m·s -1。

利用波长关系式得52.0/==νλu m(1)B 点的振动落后于A 点的时间为Ts s ux ux x t AB 411200011056.113.03==⨯=∆=-=∆即B 点比A 点落后4/1周期。

(2)4152.013.0==∆λxA 、B 之距相当于四分之一波长（3）18830002102=⨯⨯==-πωυA m （m ·s -1）11. 2 平面简谐波 波动方程在一般情况下，波动是很复杂的。

但存在一种最简单、最基本的波，这就是波源在做简谐振动时，引起介质中的质点也做简谐振动而形成的波，这种波称为简谐波。

若其波阵面为平面，则称为平面简谐波(plance simple harmonic wave)。

为了定量描述介质中大量质点参与的这种集体运动，需引入一个函数表示。

如一列沿x 方向传播的波，要描述它，就应该能说明介质中任意位置x 处的质点在任意时刻t 的位移y 如何。

显然y 应是t x 、的函数，即)(t x y y 、=，这个函数称为波函数(wave function)。

我们以平面简谐波为例，讨论建立波函数的方法，并推出波动满足的一般方程式。

11.2.1 平面简谐波的波函数如图11.4所示，在均匀各向同性介质中有一列平面简谐波沿x 轴的正向传播，波速为u 。

取任意一条波线为x 轴，O 为x 轴的原点，设O 处(即x =0处)质点的振动方程为式中，A 是振幅，ω是角频率。

若在波传播过程中，不考虑能量损失，则振幅在传播过程中保持不变。

考察波线上任意一点B 的振动。

在某一时刻，B 点将重复O 点的振动。

设B 点的坐标为x ，故B 点振动的相位比O 点落后，落后的时间为u x t /=∆，也就是说B 点在t 时刻的振动状态将是O 点在t t ∆-时刻的振动状态，故B 点的振动振动方程为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛-=ϕωu x t A y cos (11.3)上式表示的是波线上任意点（坐标为x ）的振动方程，因此也就是沿x 轴方向传播的平面简谐波的波函数。

因为uT T ===λπνπω,2/2，（11.3）式又可写成 ])(2c o s [])(2c o s [])(2c o s [ϕλπϕλνπϕλπ+-=+-=+-=ut x A xt A xT t A y (11.4)如果波沿x 轴负向传播，B 点将超前于O 点振动，超前的时间是u x t /=∆。

因此，t 时刻B 点的振动状态就是t t ∆+时刻O 点的振动状态，此时波函数为])(c o s [ϕω++=ux t A y （11.5）显然波函数中含有x 和t 两个变量，如果x 确定（即只考察介质中x 处振动的质点），那么位移y 只是t 的周期函数，即)(t y y =，该方程是x 处质点的振动方程，由该方程绘出的曲线就是该质点的振动曲线。

图11.5(a )中绘出的即是一列简谐波在x=0处质点的振动曲线；如果波动方程中的t 确定，那么位移y 只是x 的周期函数，即)(x y y =，该方程可给出t 时刻波线上各个质点的位移。

由该方程绘出的曲线即是t （已知）时刻的波形（wave shape ）曲线。

如图11.5(b )绘出的是t=0时，一列沿x 方向传播的简谐波的波形曲线。

故此方程也叫波形方程（wave shape equation ）。

在一般情况下，波函数中的x 和t 都是变量。

这时波函数具有最完整的含义，它包含了无数个时刻的波形方程。

例如，在t 时刻，x 处质点的位移为y ，经过∆t 时间后，位移y 出现在x x ∆+处，由式(11.3)可得))(cos())(cos(ϕωϕω+∆+-∆+=+-ux x t t A ux t A由此得出t u x ∆=∆ 这说明波形以波速沿波线平移，振动状态也以波速沿波的传播方向传播。

图11.6画出了t 时刻和t t ∆+时刻的两条波形曲线。

可见，不同时刻的波形曲线记录的是不同时刻各质点的位移，就象该时刻波的照片。

而波动是动态的，犹如这些照片的连续放映，表现为波形沿着波线以波速u 向前推进，每一个周期T 推进一个波长λ。

因此我们又称这样的波为行波(travelling wave)。

11.2.2 波动方程令式(11.3)中的0=ϕ，波函数为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=u x t A y ωcos将上式分别对时间t 和位置x 求二阶导数，得)(cos )(cos 2222222ux t uAxy u x t A ty --=∂∂--=∂∂ωωωω比较两式，得222221ty uxy ∂∂=∂∂ (11.6)上式是一维平面简谐波满足的波的动力学方程，也称波动方程（wave motion equation ）。