[例3] 已知p 是r 的充分条件,而r 是q 的必要条件,同时又是S 的充分条件,q 是S 的必要条件。
(1)S 是p 的什么条件? (2)p 是q 的什么条件?
(3)其中有哪几对条件互为充要条件? 解:
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧⇒⇒⇒⇒q
S S r r q r p ∴
∴(1)S 是p 的必要条件 (2)p 是q 的充分条件
(3)r 与S ,r 与q ,S 与q 三对分别互为充要条件 [例4] 当且仅当m 取何整数值时,关于x 的方程。
0442=+-x mx ① 0544422=--+-m m mx x ②的根都是整数
解:
方程①有实根的充要条件是:01616≥-=∆m 解得1≤m
方程②有实根的充要条件是:0)544(41622≥---=∆m m m 解得4
5-≥m ∴ 14
5
≤≤-
m 由m 为整数知:1-=m ,0,1
当1-=m 时,方程①为0442
=-+x x 它没有整数根
当0=m 时,方程②为052
=-x 它也没有整数根 当1=m 时,方程①、②的根都是整数
[例5] 设a 、b 、c 为ABC ∆的三边,求证:方程022
2
=++b ax x 与022
2
=-+b cx x 有公共根的充要条件是︒=∠90A
证明:
(1)充分性 ∵ ︒=∠90A ∴ 2
22c b a +=
∴ 0222=++b ax x 可化为:022
22=-++c a ax x
0)]()][([=-+++c a x c a x ∴ c a x --=1,c a x +-=2 同理:022
2
=-+b cx x 可化为:022
2
2
=-++a c cx x
0)]()][([=++-+a c x a c x ∴ c a x --=3,a c x +-=4 ∴ 两方程有公共根c a -- (2)必要性
设两方程有公共根α 则⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++0
2022
222b c b a αααα ∴ 0)(22
=++ααc a 又 ∵ 0≠α 若0=α代入任一方程得02
=b 即0=b 这与已知b 是三角形的边长0≠b 相矛盾
∴ c a --=α
把c a --=α代入上面方程组与任何一个式子,均可得2
22c b a += ∴ ︒=∠90A
[例6] 设1a 、1b 、1c 、2a 、2b 、2c 均为非零实数,不等式01121>++c x b x a 和+2
2x a
022>+c x b 的解集分别为M 和N ,那么“2
12121c c
b b a a ==”是“M=N ”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分与不必要条件
解:对于022>--x x 和022
>++-x x 有
2
21111-=-=-,但其解集分别为}21|{<<-x x 和1|{-x 不相等,∴ 充分条件不成立
又对于012
>---x x 的解集为φ,0422
>---x x 的解集为φ,4
1
2111--≠--≠-- ∴ 必要条件不成立 ∴ 2
1
2121c c b b a a ==是M=N 的既不充分也不必要条件。 [例7] 已知:
11
<-x ax
的解集为1|{x ,求a 解:
原不等式化为:
01
1
)1(<-+-x x a ∴ 同解于0)1](1)1[(<-+-x x a
由已知解集为:1|{x 得01<-a
∴ 0)1](1)1[(>---x x a 即0)1)(11
(>---
x a
x ① 又解集为1|{x 的不等式为0)1)(2(>--x x ②
比较①、②得
211=-a 解得121<=a ∴ 2
1
=a [例8] 已知集合}6553|),{(2
-+-==p px x y y x A p 其中]100,1[|{∈=∈x x B p ,
}N x ∈,求所有集合p A 的交集A 。
解:
由65532-+-=p px x y ∴ 0)653()5(2=--+-y x p x
∴ ⎩⎨⎧=--=-0
653052y x x 解得⎩⎨⎧==105
y x
可知所有p A (]100,1[∈p ,N p ∈)中的抛物线都过定点(5,10)
∴ 所有p A 的交集)}10,5{(=A
【模拟试题】(答题时间:40分钟)
一. 选择题:
1. 设全集为U ,下面三个命题中,真命题的个数是( ) (1)若B A ⋂φ=,则U B C A C U U =⋃)()(
(2)若U B A =⋃,则φ=⋂)()(B C A C U U (3)若φ=⋃B A ,则φ==B A
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
2. 设}1|{<=x x A ,}0)2)((|{≤--=x a x x B 且}2|{≤=⋃x x B A ,则a 的取值范围是( )
A. 1≤a
B. 1C. 1>a
D. 1≥a
3. 032
>+++a ax ax 对一切实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.(4-,0) B. ),0()4,(∞+⋃--∞ C. ),0[∞+ D. )0,(-∞ 4. “B A x ⋂∉”的充要条件是( ) A. A x ∈有B x ∈ B. A x ∈或B x ∈ C. A x ∉且B x ∉ D. A x ∉或B x ∉