第2课时与方位角、坡角有关的运用举例

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利用三角函数解实际中的方位角、坡角问题课件(共18张PPT)

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You made my day!
我们，还在路上……
AE 3 ∴AE=3BE=3CF=66.84(m),
AD=AE+EF+DF=AE+BC+DF
=66.84+6+55.71 = 128.55≈128.6 (m).
知2－讲
(2)横截面的面积 S1BCADCF
2
16128.5522.28
2 1498.9(m2)，
需用土石方V=Sl=1498.9×150=224835（m3）.
（来自《点拨》）
知1－练
1 (中考·河北)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东 70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的 N处，则N处与灯塔P的距离为( ) A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里
（来自《典中点》）
知1－练
2 如图，一船向正北方向匀速行驶，在C处看见正西方两座相距10海里的灯塔A和B恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，在D处看见灯塔B在南偏西60°方向上，灯塔A在南偏西75°方向上，则该船的速度应该是( )海里/小时． A．10 B．5
∵cos ∠BCD＝ C D , BC
∴BC＝ cos CD BCDco4 s0 55。 70.2(米 ).
∴t甲≈
57.21038.6(秒), 2
t乙≈
70.2 2
35.1(秒).
∴t甲＞t乙．∴乙先到达B处．
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
解答本题运用了转化思想，即将求时间问题转化为求线段长度的问题．
知2－讲
答：斜坡CD的坡角约为21°48′，坡底宽约为128.6m，建造这个大坝需用土石方约为224835m³.

第2课时与坡度、方位角有关的应用问题

,
）
方位角
概念：指南或指北的方向线于目标方向线构成小于90°的角叫做方位角
例如： 1、点A在点O的北偏东30°方向 2、点B在点O的男偏西45°方向（或西南方向）。
例2：如图，一搜船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60° 方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔 C处的四周30km内有暗礁，问这搜船继续向东航行是否安全？
4.4 解直角三角形的应用方位角、坡度与坡角有关的应用问题
观察
图中的(1)和(2)，哪个山坡比较陡？
(2)中的山坡比较陡.
（1）
（2）
动脑筋
如何用数量来反映哪个山坡陡呢？
（1）
（2）
如图，从山坡脚下点P上坡走到点N 时，升高的高度h(即线段MN的长)与水平前进的距离l(即线段PM的长度)的比叫作坡度，用字母i 表示，即
i hl
坡度通常写成 1 : m 的形式．
如图中的∠MPN叫作坡角(即山坡与地平面的夹角).
显然，坡பைடு நூலகம்等于坡角的正切. 坡度越大，山坡越陡.
例1 如图，一山坡的坡度 i = 1:2，小刚从
山坡脚下点P上坡走了240m到达点N，他上升
了多少米(精确到0.1m)？这座山坡的坡角是多
少度(精确到0.01°)？（
北
C
30°
60°
东
A
BD

28.2 应用举例方位角、坡度、坡角

解:设 BC=x 米,在 Rt△ABC 中,∠CAB=180°-∠EAC=50°,所以 AB= BC ≈ BC = 5 x(米), tan 50 1.20 6
因为在 Rt△EBD 中,i=DB∶EB=1∶1, 所以 BD=EB,所以 CD+BC=AE+AB, 即 2+x=4+ 5 x,解得 x=12,所以 BC=12 米.
上,则船C到海岸线l的距离是
km. 3
4.(2017海南)为做好防汛工作,防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固,专家提供的方案是水坝加高2米(即CD=2米),背水坡DE的坡度i=1∶1(即DB∶EB=1∶1),如图所示,已知AE=4米,∠EAC=130°,求水坝原来的高度BC.(参考数据:sin 50°≈0.77, cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.20)
探究点二:坡度与坡角问题【例2】如图,水坝的横断面为梯形ABCD,已知上底长CB=5米,迎水面坡度为1∶ 面坡度为1∶1,坝高为4米,求:坝底AD和迎水面CD的长及坡角α 和β .
,背3 水
【导学探究】 1.作CE⊥AD,BF⊥AD,由坡度可得,CE∶ DE =1∶ 2.由坡度是坡角的正切值可得坡角.
第2课时方位角、坡度、坡角
一、方位角 1.平面测量时,经常以正北、正南方向为基准描述物体运动的方向,这种表示方向的角叫做方位角. 2.如图,射线OA,OB,OC,OD分别表示北偏东30°,南偏东70°,南偏西50°,北偏西35°.
二、坡度、坡角 1.坡度:坡面的铅直高度(h)与水平宽度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作 i,即 i= h .
在 Rt△BCD 中,∠CBD=30°,tan 30°= CD = 3 ,所以 CD= 3 BD≈115(km),

人教版九年级下册数学28.2.2应用举例——方位角、坡角(共13张PPT)

7 10
)
二、创设情景知识预备
1 、方位角:指北或指南方向线与目标方向线所
成的小于90°的角叫做方位角。
画出方向图（表示东南西北四个方向的）并依次画
出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东
34度方向的射线. 西
北
北
西
东
东
南
南
2、坡度
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示。
坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母 i 表示，如图，坡度通常写成
（4）得到实际问题的答案．
2如图，已知∠C=90°，∠B=30°，∠ADC=45°，AC=1.
P C 72.8 72.8 1 、方位角:指北或指南方向线与目标方向线所 P B 130.23 (参考数据：sin35°≈ ，cos35°≈ ，tan35°≈ ) sin B sin 34 0.559 四、巩固应用，当堂检测
谈谈你本节课有一些什么收获？
在Rt△BPC中，＝∠B8＝03×4°cos25°
5m，求路基的下底宽是多少？
65° A
≈80×0.91 解：如图，在Rt△APC中，
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.
P
在Rt△BPC中，∠B＝34° 3如图，小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°.
第2课时应用举例（2）
P
2如图，已知∠C=90°，∠B=30°，∠ADC=45°，AC=1.
C
间后，到达位于灯塔P的南偏东34 1 计算: 4sin30°- cos45°+ tan60°．
中考演练 3．“为了安全，请勿超速”.

与方位角,坡角有关的解直角三角形应用题ppt 人教版

l h α
l
h
α
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡 “化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这
A 60 C
0
AB×tanA=500×tan60°= 5 0 0 3 .
4.海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪
鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
坡度(坡比)、坡角：
(1)坡度也叫坡比，用i表示. 即i=h/l，h是坡面的铅直高度，
l为对应水平宽度，如图所示
(2)坡角：坡面与水平面的夹角. (3)坡度与坡角(若用α表示)的关系：i=tanα. 方向角：指南或北方向线与目标方向线所成的小于90° 的角，叫方向角.
【例】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的
P
C 34° 65° A
B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔
P有多远？（精确到0.01海里）
B
【解析】如图，在Rt△APC中， PC＝PA· cos（90°－65°）＝80×cos25° ≈80×0.91 =72.8海里在Rt△BPC中，∠B＝34°
PC sinB PB
34° 65°
A
C
18.4
谢谢
•

新人教版九年级数学第二课时方向角和坡角在解直角三角形中的应用教学课件

课堂小结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为_几__何___图__形__）; （2）根据条件特点，适当选用_三___角__函__数___等去解直角三角形; （3）得到数学问题的答案; （4）得到__实__际__问__题___的答案.
巩固拓展
巩固拓展
解：过点B作BD⊥AD于点D，EA⊥CA于点A，
FC⊥CA于点C，由题意得∠BAE=60°，∠BCFቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ30° ∴ ∠CAB=30°， ∴ ∠DCB=60°，∴ ∠DBC=30°， ∴ ∠CBA=∠CBD-∠CAB=30°， ∴ ∠CAB=∠CBA，∴ AC=CB=200m，
即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
巩固拓展
4.如图，在一次暖气管道的铺设工作中，工程是由A点出发沿正西方向进行的，在A点的南偏西60°的方向上有一所学校，学校占地是以B点为中心方圆 100米的圆形，当工程进行了200米时请到根达据C题处中，所提供的信息计算、分析一下，此工时程B继在续C进的行南下偏去西，30是°的否方会向穿上过，学校？
巩固拓展
解：∵ ∠CAC=30°，
∴∠D∠ABBA=C6=06°0，°-30°=30°，∠ABC=90°∴60∠°=A3B0C°=，∠BAC，∴ BC=AC=12（海里∵ ）∠C，AC=30°，∠A =∴9C0D°，=21 AC=6（海里），
由勾股定理得 AC 122 62 6 3 10.392＞8
1.如下图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点O 的距离为4米，钢缆与地面的夹角∠BOA为 6则0这º，条钢缆在电线杆上的固定点A 到地面的距离AB 是多少米．（结果保留根号）．

28.2.2应用举例：与方向角,坡角有关的实际应用(教案)

4.结合实际情境，培养学生运用方向角和坡角解决实际问题的能力。
本节课将通过以下案例进行讲解：
1.在地图上确定目标位置，求方向角；
2.计算建筑物的高度，求坡角；
3.解决户外徒步时，如何根据方向角和坡角选择最佳路线的问题。
二、核心素养目标
1.理解方向角和坡角的概念，培养学生的空间想象能力；
2.掌握方向角和坡角的计算方法，提高学生的数学运算能力；
-在坡角计算中，教师应详细解释如何从实际情境中提取必要数据，并将其转化为数学计算模型；
-针对实际问题的综合应用，教师应设计具有挑战性的案例，指导学生如何将方向角和坡角知识综合运用，解决如多路径选择、最短距离计算等问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《应用举例：与方向角，坡角有关的实际应用》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要确定方向或计算坡度的情况？”（例如：在地图上找方向，评估建筑物的高度等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索方向角和坡角的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调方向角的计算方法和坡角的实际应用这两个重点。对于难点部分，如方向角的转换和坡角的计算，我会通过实际例子和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与方向角或坡角相关的实际问题，如设计一条通往山顶的最佳路线。
1.教学重点
-理解方向角的概念及其在实际问题中的应用，如地图上的方向定位；
-掌握坡角的定义及其在生活中的应用，如建筑物的倾斜度；
-学会计算方向角和坡角，并能Biblioteka 用于解决实际问题，如户外徒步导航。

28.2.2 应用举例第2课时方向角、坡度、坡角课件2023-2024学年人教版+数学+九年级下册

D.24 m
2.为加强防汛工作,某市对一拦水坝进行加固.如图所示,加固前拦水
坝的横断面是梯形 ABCD.已知迎水坡面 AB=12 m,背水坡面 CD=12 m,

∠B=60°,加固后拦水坝的横断面为梯形 ABED,tan E=
为 8
m.

,则 CE 的长
1.“绿水青山就是金山银山”.如图所示,某村准备在坡角为α的山坡
的北偏东45°方向,若渔船继续向正东方向航行,则渔船与灯塔C的最
短距离是 (6 +6) n mile.
坡度与坡角问题
[例2] 如图所示,扶梯AB的坡度为4∶3,滑梯CD的坡度为1∶2.已知
AE=30 dm,BC=50 dm,BC∥AD,一女孩从扶梯走到滑梯的顶部,然后从
滑梯滑下,她经过的总路程是多少(结果保留根号)?
于灯塔 P 的北偏东 67°方向上的 B 处,此时与灯塔 P 的距离约为
50 n mile(参考数据:sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈). Nhomakorabea

3.如图所示,某河堤的横断面是梯形 ABCD,BC∥AD,迎水坡 AB 长 13 m,

且 tan∠BAE= ,则河堤的高 BE 为 12 m.
∴AF=AB·sin 50°≈40×0.77=30.8(n mile),
∴AE=AF+EF≈64(n mile).
在 Rt△ADE 中,AD=

°
≈

=80(n mile),
.
∴货船与 A 港口之间的距离约为 80 n mile.
上植树造林,要求相邻两树之间的水平距离为 5 m,那么这两树在坡面
上的距离 AB 为( B )

《用解直角三角形解方位角、坡角的应用》PPT课件

第四章解直角三角形
4.4 解直角三角形的应用
第2课时用解直角三角形解方位角、坡角的应用
1 课堂讲解用解直角三角形解方位角问题
用解直角三角形解坡角问题
2 课时流程
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
观察下图中图形的方位，试着描述它们的位置.
知识点 1 用解直角三角形解方位角问题
知1－讲
1. 方向角的定义：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫作方向角. 特别警示：方向角和方位角不同，方位角是指从某点的指北方向线起，按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，变化范围为0 ~ 360°，而方向角的变化范围是0 ~ 90° .
如图1，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BD，问哪条
路比较陡?
B
A
D
图1
知2－讲
如何用数量来刻画哪条路陡呢? 如图2，从山坡脚下点 A 上坡走到点 B 时，升高的
高度 h ( 即线段 BC 的长度 ) 与水平前进的距离 l ( 即线段 AC 的长度 ) 的比叫作坡度，用字母 i 表示，即
i h (坡度通常写成 1：m 的形式) . l
则在Rt △ ACE 中，CE= 3x ，AC=2x，
在Rt △BCE 中，BE=CE= 3x,
∴ BC= 6x.
∵ AB=AE+BE，∴ x + 3x＝60( 6 + 2) ,
解得x = 60 2 海里.
∴ AC =120 2海里，BC = 120 3 海里.
知1－讲
解：(2) 如图，过点 D 作 DF ⊥ AC 于点 F，
俯角为 60°. 已知该山坡的坡度i 为1 ∶ 3 ，点P，H，
B，C，A 在同一个平面上，点H，B，C 在同一条直线上，且PH ⊥ HC. (1) 山坡坡角的度数等于

人教版9下数学教案与方向角、坡度有关的解直角三角形的应用

第2课时与方向角、坡度有关的解直角三角形的应用1．了解什么是方位角、坡度及方位角的命名特点，准确熟练解决有关方位角问题．2．巩固用解直角三角形有关知识解决实际问题的方法．▲重点运用解直角三角形解决航行、斜坡问题．▲难点灵活运用解直角三角形的方法解决生活中的实际问题．◆活动1新课导入如图，在电线杆的C处拉引线CE，CF固定电线杆．拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6 m的B处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C处的仰角为30°.已知测角仪AB的高为1.5 m，拉线CE的长是3)__m．(结果保留根号)◆活动2探究新知1．教材P76例5.学生完成并交流展示．2．如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6 m，坝高20 m，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°.求坝底AD的长度．(精确到0.1 m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：AD＝20×2.5＋6＋203＝90.64(m)．答：坝底AD的长度为90.64 m.学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．坡度、坡角概念．如图，BC表示水平面，AB表示坡面，把水平面BC与坡面AB形成的角∠ABC称为坡角α，坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ＝h l ＝tan α.2．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：(1)将实际问题抽象为__数学__问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；(2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案．◆活动4 例题与练习例1 如图，海中一小岛A ，该岛四周10 n mile 内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A 岛南偏西55°的B 处，往东行驶20 n mile 后到达该岛的南偏西25°的C 处之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？解：过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D.由题意，得∠BAD ＝55°，∠CAD ＝25°，BC ＝20 n mile.在Rt △ABD 中，∵tan ∠BAD ＝BD AD ，∴BD ＝AD·tan 55°.在Rt △ACD 中，∵tan ∠CAD＝CD AD ，∴CD ＝AD·tan 25°.∵BD ＝BC ＋CD ，∴AD·tan 55°＝20＋AD·tan 25°，∴AD ＝20tan 55°－tan 25°≈20.79(n mile)>10(nmile)．答：轮船继续向东行驶，不会有触礁危险．例2 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m ，坝高23 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶3，斜坡CD 的坡度i ＝1∶2.5，求斜坡AB 的坡角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长．(精确到0.1 m)解：过点B 作BE ⊥AD 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 于点F.在Rt △ABE 和Rt △CDF 中，∵BE AE ＝13，CF FD ＝12.5，∴AE ＝3BE＝3×23＝69(m)，FD ＝2.5CF ＝2.5×23＝57.5(m)，∴AD ＝AE ＋EF ＋FD ＝69＋6＋57.5＝132.5(m)．∵斜坡AB 的坡度i ＝tan α＝13≈0.33，∴α≈18.43°.在Rt △ABE 中，由勾股定理，得AB ＝AE 2＋BE 2≈72.7(m)．答：斜坡AB的坡角α约为18.43°，坝底宽AD为132.5 m，斜坡AB的长约为72.7 m.练习1．教材P77练习第1，2题．2．如图，某办公大楼正前方有一根高度是15 m的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20 m，梯坎坡长BC是12 m，梯坎坡度i＝1∶3，则大楼AB的高度约为(精确到0.1 m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)(D)A．30.6 m B．32.1 m C．37.9 m D．39.4 m3．如图，海上有座灯塔P，在它周围3 n mile有暗礁，一艘客轮以每小时9 n mile的速度由西向东航行，行至A处测得灯塔P在它的北偏东60°，继续航行10 min后到达B处，又测得灯塔P在它的东北方向．若客轮不改变方向，有无触礁危险？解：过点P作PD⊥AB于点D.在Rt△PAD中，∠PAD＝30°.又∵∠PBD＝45°，故设PD＝x，则BD＝PD＝x，AD＝3x.又∵AB＝9×1060＝1.5(n mile)，∴AD＝1.5＋x，∴x＋1.5＝3x，解得x＝34(3＋1)<3，∴有触礁危险．◆活动5完成《名师测控》随堂反馈手册◆活动6课堂小结1．方向角、坡度的概念．2．掌握与方向角、坡度有关的问题．1．作业布置(1)教材P78习题28.2第5，9题；(2)《名师测控》对应课时练习．2．教学反思________________________________________________________________________。

【初中教育】2019湘教版初中数学九年级(初三)上册第2课时与坡度、方位角有关的应用问题

——教学资料参考参考范本——【初中教育】2019湘教版初中数学九年级（初三）上册第2课时与坡度、方位角有关的应用问题______年______月______日____________________部门要点感知1 山坡的坡面与地平面的夹角叫作坡角，如图1所示，角α为斜面的坡角.如图1所示，通常把坡面的和的比叫作坡度，通过用字母i表示，即i=(坡度通常写成1∶m的形式).坡度i与坡角α的关系是i== .坡度越大，山坡越陡.图1 图2预习练习1-1 如图2，修建抽水站时，沿着坡度为i=1∶6的斜坡铺设管道，下列等式成立的是( )A.sinα=B.cosα=C.tanα=D.以上都不对161 616要点感知2 从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫做方位角.图中点A的方向角为北偏东60°.预习练习2-1 如图4，C、D是两个村庄，分别位于一个湖的南、北两端A和B的正东方向上，且D位于C的北偏东30°方向上，且CD=6 km，则AB= km.知识点1 与坡角、坡比有关的问题1.某堤的横断面如图.堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长时13米，那么斜坡AB的坡度是( )A.1∶3B.1∶2.6C.1∶2.4D.1∶22.(20xx·天门)某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图).如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长.知识点2 与方位角有关的问题3.如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行15分钟可使渔船到达离灯塔距离最近位置.4.(20xx·昭通)小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如图所示).小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行200米到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处.在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米(精确到1米)？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2≈1.41，3≈1.73)5.(20xx·湘西)钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图，一艘海监船以30海里/时的速度向正北方向航行，海监船在A处时，测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°方向上，航行半小时后，该船到达点B处，发现此时钓鱼岛C与该船距离最短.(1)请在图中作出该船在点B处的位置；(2)求钓鱼岛C到B处的距离.(结果保留根号)6.(20xx·遂宁)钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理.如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少.(结果保留根号)7.某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图所示，测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8.8 m.在阳光下某一时刻测得1米的标杆影长为0.8 m，树影落在斜坡上的部分CD=3.2 m.已知斜坡CD的坡比i=1∶，求树高AB.(结果保留整数，参考数据：≈1.7) 33挑战自我8.(20xx·内江)如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为3米.台阶AC坡度为1∶(即AB∶BC=1∶)，且B，C，E三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计). 33参考答案课前预习要点感知1 铅直高度h 水平宽度l tanαh l预习练习1-1 C预习练习2-1 33当堂训练1.C2.在Rt△ADC中，∵AD∶DC=1∶2.4，AC=13，由AD2+DC2=AC2，得AD2+(2.4AD)2=132.∴AD=±5(负值不合题意，舍去).∴DC=12.在Rt△ABD中，∵AD∶BD=1∶1.8，∴BD=5×1.8=9.∴BC=DC-BD=12-9=3.答：改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3米.3.154.过P作PC⊥AB于C.在Rt△APC中，AP=200 m，∠ACP=90°，∠PAC=60°.∴PC=200×sin60°=200×=100.323∵在Rt△PBC中，sin37°=，PC PB∴PB==≈288(m).37AC sin ︒100 1.730.6⨯答：小亮与妈妈相距约288米. 课后作业 5.(1)图略；(2)AB=30×0.5=15(海里)，由题意知CB ⊥AB ，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，tan ∠BAC=，BCAB 所以BC=ABtan ∠BAC=ABtan30°=15×=5(海里).3336.作BD⊥AC 于D.由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=105°，∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=30°.在Rt △ABD 中，BD=AB ·sin ∠BAD=20×=10(海里).222在Rt △BCD 中，BC==(海里).sin BDBCD ∠10220212=答：此时船C 与船B 的距离是20海里.27.延长BD 与AC 的延长线交于点E ，过点D 作DH⊥AE 于点H.∵i=tan ∠DCH===，∴∠DCH=30°.DH CH 1333∴DH=CD=1.6 m ，CH=DH= m.123853由题意可知=，∴HE=0.8DH=1.28 m.DH HE 10.8∴AE=AC+CH+HE=8.8++1.28=(10.08+)m.853853∵=，∴AB=≈16(m).AB AE 10.80.8AE8.过点A 作AF⊥DE 于F. ∴AF=BE ，EF=AB=3，设DE=x.在Rt △CDE 中，CE===x.tan DE DCE ∠60DEtan ︒33在Rt △ABC 中，∵，AB=3，∴BC=3.13AB BC=3在Rt △AFD 中，DF=DE-EF=x-3，∴AF===(x-3).tan DF DAF ∠303tan x -︒3∵AF=BE=BC+CE ，∴(x-3)=3+x ，解得x=9.3333答：树DE 的高度为9米.。

九年级数学下册 28.2.2 应用举例第2课时与方向角、坡度有关的解直角三角形应用题练习 (新版)新人教版

第2课时与方向角、坡度有关的解直角三角形应用题01 基础题知识点1 利用方向角解直角三角形1．(石家庄校级模拟)如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且AM＝100海里，那么该船继续航行多少海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置( )A．50 3 B．40 C．30 D．202．(新疆内高班)轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是( ) A．253海里B．252海里C．50海里D．25海里3．(珠海中考)如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．(1)求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离(结果用根号表示)；(2)若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间．(结果精确到0.1小时)(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)知识点2 利用坡度解直角三角形4．(聊城中考)河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1∶3，则AB的长为( )A．12米B．43米C．53米D．63米5．四个规模不同的滑梯A，B，C，D，它们的滑板长(平直的)分别为300 m，250 m，200 m，200 m；滑板与地面所成的角度分别为30°，45°，45°，60°，则关于四个滑梯的高度正确说法()A．A的最高B．B的最高C．C的最高D．D的最高6．(巴中中考)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．(精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)02 中档题7．(南京中考)如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO＝45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45 km/h和36 km/h.经过0.1 h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO＝58°.此时B处距离码头O有多远？(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)8．(遵义中考)如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1∶3，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)03综合题9．(营口中考)如图，我国南海某海域A 处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B 处，该渔政船收到渔政求救中心指令前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C 处，同时捕鱼船低速航行到A 点的正北1.5海里D 处，渔政船航行到点C 处时测得点D 在南偏东53°方向上．(1)求C 、D 两点的距离；(2)渔政船决定再次调整航向前去救援，若两次航速不变，并且在点E 处相会合，求∠ECD 的正弦值．(参考数据：sin 53°≈45，cos 53°≈35，tan 53°≈43)参考答案1．A 2.D3．(1)过点M作MD⊥AB于点D，∵∠AME＝45°，∴∠AMD＝∠MAD＝45°.∵AM＝180海里，∴MD＝AM cos45°＝902(海里)．答：渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离是902海里．(2)在Rt△DMB中，∵∠BMF＝60°，∴∠DMB＝30°.∵MD＝902海里，∴MB＝MDcos30°＝606(海里)．∴606÷20＝36≈3×2.45＝7.35≈7.4(小时)．答：渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.4小时．4．A 5.B6．作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、F，则四边形BCFE是矩形．由题意得，BC＝EF＝6米，BE＝CF＝20米，斜坡AB的坡度i为1∶2.5，在Rt△ABE中，BE＝20米，BEAE＝12.5，∴AE＝50米．在Rt△CFD中，∠D＝30°，∴DF＝CFtan D＝203米．∴AD＝AE＋EF＋FD＝50＋6＋203≈90.6(米)．答：坝底AD的长度约为90.6米．7．设B处距离码头O为x km.在Rt △CAO 中，∠CAO ＝45°，∵tan ∠CAO ＝CO AO， ∴CO ＝AO·tan ∠CAO ＝(45×0.1＋x)·tan 45°＝4.5＋x.在Rt △DBO 中，∠DBO ＝58°，∵tan ∠DBO ＝DO BO， ∴DO ＝BO·tan ∠DBO ＝x·tan 58°.∵DC ＝DO －CO ，∴36×0.1＝x·tan 58°－(4.5＋x)．∴x ＝36×0.1＋4.5tan 58°－1≈36×0.1＋4.51.60－1＝13.5. 因此，B 处距离码头O 大约13.5 km .8．过点E 作EF⊥BC 的延长线于F ，EH ⊥AB 于点H ，在Rt △CEF 中，∵i ＝EF CF ＝13＝tan ∠ECF ，∴∠ECF ＝30°. ∴EF ＝12CE ＝10米，CF ＝103米． ∴BH ＝EF ＝10米，HE ＝BF ＝BC ＋CF ＝(25＋103)米．在Rt △AHE 中，∵∠HAE ＝45°，∴AH ＝HE ＝(25＋103)米．∴AB ＝AH ＋HB ＝(35＋103)米．答：楼房AB 的高为(35＋103)米． 9．(1)过点C 作CG⊥AB 交AB 于点G ，过点D 作DF 垂直CG 于点F ，BC ＝30×12＝15(海里)， CG ＝BC sin 30°＝7.5海里，FG ＝AD ＝1.5海里，CF ＝7.5－1.5＝6(海里)，CD ＝6cos 53°＝10海里． (2)设t 小时后，两船在E 处会合，则ED ＝3t ，CE ＝30t. 过点E 作EH⊥CD 交CD 于点H.∵CG ∥AE ，∴∠GCD ＝∠CDE，HE ＝ED sin 53°＝12t 5，CE ＝30t.在Rt △CEH 中，sin ∠ECD ＝125t 30t ＝225.。

用解直角三角形解方位角、坡角的应用PPT课件

感悟新知
知2－练
解题秘方：将分散的条件集中到 △ABP 中求解.
解： (1) 30°. (2) 由题意，得∠ PBH = 60°， ∠ APB=60°➖ 15°= 45° . ∵∠ ABC = 30°，∴∠ ABP = 90° . ∴∠ BAP=45°，∴ PB = AB.
感悟新知
知2－练
在Rt △PHB 中，
在Rt △ ∴ DF=
AFD 中，∵ 3 120( 6 2
DF=AD·sin60° = 2)=60(3 2 6)
3 AD 2
106.8
,
(海里)
＞100海里.
∴途中无触礁的危险.
感悟新知
归纳
知1－讲
求解是否触礁或是否受台风或噪声影响等问题的方法：一般都是求出暗礁中心到航线的距离，或城市中心
习题链接
温馨提示：点击进入讲评
1A 2 凝固 3 熔化；凝固
4C
5B
答案呈现
6 非晶体 7D 8C 9 10
夯实基础·逐点练
9 【中考•连云港】质量相同的0 ℃的冰比0 ℃的水冷却效果好，这是因为冰___熔__化___(填物态变化名称)时吸收热量，此过程中冰的温度保__持__不__变__(填“升高”“降低”或“保持不变”)．
8 【淮安淮安区期中】自然界水循环的过程中，需要放出热量的是( C ) A．雨水汇入江河流向大海 B．积雪熔化成水汇入江河 C．云中小水滴变成小冰晶 D．海洋中水蒸发升上天空
夯实基础·逐点练
3 和平是每一个人的梦想．“铸剑为犁”的过程中，先后发生的物态变化是___熔__化___和___凝__固___．
夯实基础·逐点练
10 冬天穿棉衣可以有效阻止人体热量向外散发，使人感到暖和，而棉衣自身并不发热．据说法国准备生产一种夹克，其衣料纤维中添加一种微胶囊，这种胶囊所含物质在常温下呈液态，温度降低时会结晶．人们穿上它，气温较高时，胶囊中物质_熔__化__吸__热_，使人感到凉爽；气温降低时，胶囊中物质_凝__固__放__热_，使人感到温暖．

第2课时坡度、方位角与解直角三角形

活动
四：Байду номын сангаас
课堂
总结
反思
【达标测评】
1.拦水坝横断面如图28－2－85所示，迎水坡AB的坡比为1∶，坝高BC＝10 m，则坡面AB的长度是(D)
A.15 mB．20mC．10mD．20 m
2.小强沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降了(A)
A.1米B.米C．2米D.米
图28－2－85图28－2－86图28－2－87
图28－2－81图28－2－82
教师讲解：如图28－2－82，我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度或坡比，坡面与水平面的夹角叫做坡角，通常用α表示，即tanα＝.显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.
3.总结利用解直角三角形的知识解决实际问题的过程：
师生活动：师生共同总结过程，学生进行口述，教师引导.
情感态度
进一步提高学生数形结合、分析问题以及解决问题的能力和应用数学知识的意识，树立理论来源于实践又应用于实践的辩证唯物主义观点．
教学
重点
利用方位角的相关知识，借助锐角三角函数解决航海等实际问题．
教学
难点
把实际问题转化为数学问题；直角三角形解法的灵活应用．
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学
步骤
通过分析图形，教师引导学生板书解题过程.
PC＝PA·cos25°＝80×cos25°≈72.505.
在Rt△BPC中，PB＝≈≈130(n mile)．
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130 n mile.
2.关于坡度问题的探究：
问题：如图28－2－81所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度较大？你是根据什么来进行判断说明的呢？

第2课时与方位角、坡角有关的运用举例

利用三角函数解实际中的方位角、坡角问题课件(共18张PPT)

第2课时 与坡度、方位角有关的应用问题

28.2 应用举例 方位角、坡度、坡角

人教版九年级下册数学28.2.2应用举例——方位角、坡角(共13张PPT)

与方位角,坡角有关的解直角三角形应用题ppt 人教版

新人教版九年级数学 第二课时 方向角和坡角在解直角三角形中的应用 教学课件

28.2.2应用举例：与方向角,坡角有关的实际应用(教案)

28.2.2 应用举例第2课时 方向角、坡度、坡角课件2023-2024学年人教版+数学+九年级下册