高中数学选修2-3随机变量及其分布综合测试题

合集下载

高中数学选修23随机变量及其分布综合测试题

高中数学选修2-3随机变量及其分布综合测试题一、选择题1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数X ；②长江上某水文站观察到一天中的水位X ；③某超市一天中的顾客量X 其中的X 是连续型随机变量的是 A ．① B ．② C ．③ D ．①②③2.袋中有2个黑球6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是 A ．取到的球的个数 B ．取到红球的个数C ．至少取到一个红球D ．至少取到一个红球的概率3．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X ，则 “X >4”表示试验的结果为 A ．第一枚为5点，第二枚为1点 B ．第一枚大于4点，第二枚也大于4点C ．第一枚为6点，第二枚为1点D ．第一枚为4点，第二枚为1点 4.随机变量X 的分布列为P （X =k ）=，k =1、2、3、4，其中为常数，则P （）的值为 A ．B ．C ．D ．5. 甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是. 现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为6．已知随机变量X 的分布列为P (X =k )=31,k =1,2,3,则D (3X +5)等于 A ．6B ．9C ．3D ．47. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以X 表示取出球的最大号码，则A ．4B ．5C ．4.5D ．4.75 8．某人射击一次击中目标的概率为，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为A ．B ．C ．D ．9.将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k +1次正面的概率，那么k 的值为A. 0B. 1C. 2D. 310．已知X ～B (n ，p )，EX =8，DX =1.6，则n 与p 的值分别是A．100、0.08 B．20、0.4 C．10、0.2 D．10、0.811．随机变量，则随着的增大，概率将会A．单调增加 B．单调减小 C．保持不变 D．增减不定12．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为：A．0.4 B．1.2 C． D．0.6二.填空题13.一个箱子中装有质量均匀的10个白球和9个黑球，一次摸出5个球，在已知它们的颜色相同的情况下，该颜色是白色的概率是．14．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽取1只，设抽得次品数为X，则E(5X+1）=________________．15．设一次试验成功的概率为P，进行100次独立重复试验，当P =________时，成功次数的标准差最大，其最大值是________________．16．已知随机变量X的分布列为X0 1 mＰn且EX =1.1，则DX=________________．三．解答题17．某年级的一次信息技术成绩近似服从于正态分布N（70,100），如果规定低于60分为不及格，不低于90分为优秀，那么成绩不及格的学生约占多少？成绩优秀的学生约占多少？（参考数据：）18.如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2，当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作. 已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90，分别求系统N1，N2正常工作的概率P1、P2．19.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求（1）他罚球1次的得分X的数学期望；（2）他罚球2次的得分Y的数学期望；（3）他罚球3次的得分的数学期望．20.某班甲、乙、丙三名同学参加省数学竞赛选拔考试，成绩合格可获得参加竞赛的资格．其中甲同学表示成绩合格就去参加，但乙、丙同学约定：两人成绩都合格才一同参加，否则都不参加．设每人成绩合格的概率为，求（1）三人至少有一人成绩合格的概率；（2）去参加竞赛的人数X的分布列和数学期望．21．某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程X是一个随机变量．设他所收租车费为η(1)求租车费η关于行车路程X的关系式；(2)若随机变量X求所收租车费η(3)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?22.袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．(1)从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．(i)求恰好摸5次停止的概率；(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布率及数学期望E X．(2) 若A、B两个袋子中的球数之比为1:2，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值．选修2-3随机变量及其分布参考答案一、选择题BBCBA ACACD CB二、填空题13. 214. 3 15.，最大值是5 16．0.493三、解答题17.解：因为由题意得：()0.6826,(22)0.9544P P μσξμσμσξμσ-<<+=-<<+=（1）＝0.1587，（2）．答：成绩不及格的学生约占15.87%，成绩优秀的学生约占2.28% ．18.解:记元件A 、B 、C 正常工作的事件分别为A 、B 、C ，由已知条件P (A )=0.80， P (B )=0.90，P (C )=0.90．(1)因为事件A 、B 、C 是相互独立的，所以，系统N 1正常工作的概率P 1=P (A ·B ·C )=P (A )P (B )P (C )=0.648,故系统N 1正常工作的概率为0.648．(2)系统N 2正常工作的概率P 2=P (A )·［1－P ()］=P (A )·［1－P ()P ()］=0.80×［1－(1－0.90)(1－0.90)］=0.792. 故系统N 2正常工作的概率为0.792.19.解：（１）因为，，所以1×＋0×．（２）Y 的概率分布为Y 0 12 P所以＋＋＝1.4．（３）η的概率分布为η０１23P所以＋＋.20.解：用A 、B 、C 表示事件甲、乙、丙成绩合格．由题意知A 、B 、C 相互独立，且P (A )=P (B )=P (C )= 23.（1）至少有1人成绩合格的概率是．（2）X的可能取值为0、1、2、3.；；；．所以X的分布列是Ｘ０１２３ＰＸ的期望为．21.解：(1)依题意得，即.(2)EX=∵22η=+X∴（元）故所收租车费η的数学期望为34.8元．(3)由38=2 X +2，得X =18，5(18-15)=15所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟．22. 解: (1)（i）．(ii)随机变量X的取值为0，1，2，3.由n次独立重复试验概率公式，得；；；．随机变量X的分布列是X0 1 2 3P 80 243X的数学期望是：．(2)设袋子A中有m个球，则袋子B中有2m个球．由，得.内容总结（1）高中数学选修2-3随机变量及其分布综合测试题一、选择题1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数X。

高中数学选修2-3随机变量及其分布(分布列)精选题目(附答案)

高中数学选修2-3随机变量及其分布（分布列）精选题目（附答案）一、条件概率1．在区间(0,1)内随机取一个数x ，若A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0<x <12，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 14<x <34，则P (B |A )等于( )A.12B.14 C.13 D.34解析：选A P (A )＝121＝12，∵A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 14<x <12， ∴P (AB )＝141＝14， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12.2.有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽取2件，求：(1)第一次抽到次品的概率；(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．解：记第一次抽到次品为事件A，第二次抽到次品为事件B.(1)第一次抽到次品的概率为P(A)＝520＝14.(2)第一次和第二次都抽到次品的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝1 19.(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P(B|A)＝119÷14＝419.3．抛掷5枚硬币，在已知至少出现了2枚正面朝上的情况下，问：正面朝上数恰好是3枚的条件概率是多少？解：法一：记至少出现2枚正面朝上为事件A，恰好出现3枚正面朝上为事件B，所求概率为P(B|A)，事件A包含的基本事件的个数为n(A)＝C25＋C35＋C45＋C55＝26，事件B包含的基本事件的个数为n(B)＝C35＝10，P(B|A)＝n(AB)n(A)＝n(B)n(A)＝1026＝5 13.法二：事件A，B同上，则P(A)＝C25＋C35＋C45＋C5525＝2632，P(AB)＝P(B)＝C3525＝1032，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(B)P(A)＝513.4．已知甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，若目标被击中，则它是被甲击中的概率是________．解析：令事件A，B分别表示甲、乙两人各射击一次击中目标，由题意可知P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，令事件C表示目标被击中，则C＝A∪B，则P(C)＝1－P(A)P(B)＝1－0.4×0.5＝0.8，所以P(A|C)＝P(AC)P(C)＝0.60.8＝0.75.答案：0.755．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②从中有放回地取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43； ③现从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；④从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627.其中所有正确结论的序号是________．解析：①恰有一个白球的概率P ＝C 12C 24C 36＝35，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，23，其方差为6×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝43，故②正确；③设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}，则P (A )＝23，P (AB )＝4×36×5＝25，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝35，故③错；④每次取到红球的概率P ＝23，所以至少有一次取到红球的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝2627，故④正确．答案：①②④二、相互独立事件的概率1.A ，B ，C 三名乒乓球选手间的胜负情况如下：A 胜B 的概率为0.4，B 胜C 的概率为0.5，C 胜A 的概率为0.6，本次竞赛按以下顺序进行：第一轮：A 与B ；第二轮：第一轮的胜者与C ；第三轮：第二轮的胜者与第一轮的败者；第四轮：第三轮的胜者与第二轮的败者．求：(1)B 连胜四轮的概率；(2)C 连胜三轮的概率．解：(1)要B 连胜四轮，以下这些相互独立事件须发生：第一轮B 胜A ，第二轮B 胜C ，第三轮B 再胜A ，第四轮B 再胜C .根据相互独立事件同时发生的概率公式，得所求概率为P ＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.故B连胜四轮的概率为0.09.(2)C连胜三轮应分两种情况：①第一轮A胜B，则第二轮C胜A，第三轮C 胜B，第四轮C胜A，得C连胜三轮的概率为P1＝0.4×0.6×(1－0.5)×0.6＝0.072;②第一轮B胜A，则第二轮C胜B，第三轮C胜A，第四轮C胜B，得C 连胜三轮的概率为P2＝(1－0.4)×(1－0.5)×0.6×(1－0.5)＝0.09.由于①②两种情况是两个互斥事件，所以所求概率为P＝P1＋P2＝0.072＋0.09＝0.162.故C连胜三轮的概率为0.162.2．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求P(ξ≤1)．解：(1)设“甲胜A”为事件D，“乙胜B”为事件E，“丙胜C”为事件F，则D，E，F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式，知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.红队至少两人获胜的事件有DE F，D E F，D EF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DE F)＋P(D E F)＋P(D EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意，知ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P(ξ＝1)＝P(D E F)＋P(D E F)＋P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，所以P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝0.45.三、离散型随机变量的分布列及均值、方差求离散型随机变量X的均值与方差的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能的全部取值；(2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k)；(3)写出X的分布列；(4)由分布列和均值的定义求出E(X);(5)由方差的定义，求D(X)．1．设离散型随机变量ξ的概率分布列如下：则p的值为()A.12 B.16C.13 D.14解析：选A因为15＋15＋110＋p＝1，所以p＝12，故选A.2．10张奖劵中只有3张有奖，若5个人购买，每人1张，则至少有1个人中奖的概率为()A.310 B.112C.12 D.1112解析：选D设事件A为“无人中奖”，则P(A)＝C57C510＝112，则至少有1个人中奖的概率P＝1－P(A)＝1－112＝1112.3．设随机变量X等可能地取值1,2,3，…，10.又设随机变量Y＝2X－1，则P(Y<6)的值为()A．0.3 B．0.5C．0.1 D．0.2解析：选A由Y＝2X－1<6，得X<3.5，∴P(Y<6)＝P(X<3.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.3.4．若离散型随机变量X的分布列为则X 的数学期望E (X )＝( ) A.32 B ．2 C.52 D ．3解析：选A 由数学期望的公式可得：E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.5．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5，且两人是否击中相互不受影响，则恰有一人击中敌机的概率为( )A ．0.9B ．0.2C ．0.7D ．0.5解析：选D 设事件A ，B 分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P (A )＝0.4，P (B )＝0.5，且A 与B 互相独立，则事件恰有一人击中敌机的概率为P (A B ＋A B )＝P (A )[1－P (B )]＋[1－P (A )]P (B )＝0.5，故选D.6.甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方是2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列及均值．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意知各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827，P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427. 所以，甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率分别是827，827，427.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4，由题意知各局比赛结果相互独立，所以P (A 4)＝C 24⎝⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427. 由题意知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性得 P (X ＝0)＝P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627， P (X ＝1)＝P (A 3)＝427， P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327. 故X 的分布列为所以E (X )＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×327＝79.7．小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列、均值及方差．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28种，当X ＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1,0,1.X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为E (X )＝(－2)×114＋(－1)×514＋0×27＋1×27＝－314.D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3142×114＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋3142×514＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3142×27＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3142×27≈0.88. 8．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获得50元，生产出一件乙等品可获得30元，生产出一件次品，要赔20元．已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次等品的概率分别为0.6,0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利________元．解析：设生产一件该产品可获利X 元，则随机变量X 的取值可以是－20,30,50.依题意，得X 的分布列为故E (X )＝－20×0.1＋30×0.3＋50×0.6＝37.9．(本小题满分10分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门，再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令X 表示走出迷宫所需的时间．(1)求X 的分布列； (2)求X 的均值．解：(1)X 的所有可能取值为1,3,4,6.P (X ＝1)＝13，P (X ＝3)＝16，P (X ＝4)＝16，P (X ＝6)＝13，所以X 的分布列为(2)E (X )＝1×13＋3×16＋4×16＋6×13＝72.10．(本小题满分12分)已知某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，他们获得冠军的概率分别为12，13，23.(1)求该高中获得冠军个数X 的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分Y 的分布列．解：(1)∵X 的可能取值为0,1,2,3，取相应值的概率分别为 P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝19， P (X ＝1)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×23＝718，P (X ＝2)＝12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×23＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×23＝718，P (X ＝3)＝12×13×23＝19， ∴随机变量X 的分布列为(2)根据题意知得分Y ＝5X ＋2(3－X )＝6＋3X ， ∵X 的可能取值为0,1,2,3.∴Y 的可能取值为6,9,12,15，取相应值的概率分别为 P (Y ＝6)＝P (X ＝0)＝19，P (Y ＝9)＝P (X ＝1)＝718， P (Y ＝12)＝P (X ＝2)＝718，P (Y ＝15)＝P (X ＝3)＝19. ∴随机变量Y 的分布列为11．(本小题满分12分)北京市政府为做好APEC 会议接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该海产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响．(1)求该海产品不能销售的概率；(2)如果该海产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损80元(即获利—80元)．已知一箱中有该海产品4件，记一箱该海产品获利ξ元，求ξ的分布列，并求出均值E (ξ)．解：(1)设“该海产品不能销售”为事件A ，则P (A )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110＝14.所以，该海产品不能销售的概率为14.(2)由已知，可知ξ的可能取值为－320，－200，－80,40,160. P (ξ＝－320)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫144＝1256，P (ξ＝－200)＝C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫143×34＝364，P (ξ＝－80)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝27128，P (ξ＝40)＝C 34×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P (ξ＝160)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫344＝81256.所以ξ的分布列为E (ξ)＝－320×1256－200×364－80×27128＋40×2764＋160×81256＝40.四、二项分布在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n .这时称X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )．当X ～B (n ，p )时，E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．1. 某单位选派甲、乙、丙三人组队参加知识竞赛，甲、乙、丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是34，甲、丙两人都答错的概率是112，乙、丙两人都答对的概率是14，规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题．(1)求该单位代表队答对此题的概率；(2)此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错得－10分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响，求该单位代表队必答题得分的均值(精确到1分)．解：(1)记甲、乙、丙分别答对此题为事件A ，B ，C ，由已知，得P (A )＝34，[1－P (A )][1－P (C )]＝112，∴P (C )＝23.又P (B )P (C )＝14，∴P (B )＝38. ∴该单位代表队答对此题的概率 P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－38×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝9196. (2)记X 为该单位代表队必答题答对的道数，Y 为必答题的得分，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，9196， ∴E (X )＝10×9196＝45548.而Y ＝20X －10×(10－X )＝30X －100， ∴E (Y )＝30E (X )－100＝1 4758≈184. 2．某运动员投篮命中率为p ＝0.6. (1)求投篮1次时命中次数X 的均值； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的均值．解：(1)投篮1次，命中次数X 的分布列如表：则E (X )＝p ＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)．则E (Y )＝np ＝5×0.6＝3.3．(本小题满分12分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？解：法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这两人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“X ＝5”．因为P (X ＝5)＝23×25＝415，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1－415＝1115，即这两人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的均值E (3X 2)．由已知可得，X 1～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，X 2～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，25，所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2×25＝45，从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝125. 因为E (2X 1)>E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大．法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这两人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 包含“X ＝0”“X ＝2”“X ＝3”三个两两互斥的事件．因为P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝15，P (X ＝2)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝25，P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－23×25＝215，所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1115，即这两人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：所以E(X1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83，E(X2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.因为E(X1)>E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大．五、正态分布1．正态分布N1(μ1，σ21)，N2(μ2，σ22)，N3(μ3，σ23)(其中σ1，σ2，σ3均大于0)所对应的密度函数图象如图所示，则下列说法正确的是()A．μ1最大，σ1最大B．μ3最大，σ3最大C．μ1最大，σ3最大D．μ3最大，σ1最大解析：选D在正态曲线N(μ，σ2)中，x＝μ为正态曲线的对称轴，结合图象可知，μ3最大；又参数σ确定了曲线的形式：σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”．故由图象知σ1最大．故选D.2. (1)已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，P (0<X <4)＝0.8，则P (X >4)的值为( )A ．0.1B ．0.2C ．0.4D ．0.6(2)2018年1月某校高三年级1 600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X ～N (100，σ2)(试卷满分为150分)．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中数学成绩不低于120分的学生人数约为( )A ．80B ．100C ．120D ．200(3)若随机变量ξ～N (2，σ2)，且P (ξ>3)＝0.158 7，则P (ξ>1)＝________. 解析：(1)∵随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，∴正态曲线的对称轴是x ＝2，∵P (0<X <4)＝0.8，∴P (X >4)＝12×(1－0.8)＝0.1，故选A.(2)∵X ～N (100，σ2)，∴其正态曲线关于直线x ＝100对称，又∵数学成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的34，∴由对称性知，数学成绩不低于120分的学生人数约为总人数的12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＝18，∴此次考试中数学成绩不低于120分的学生人数约为18×1 600＝200.故选D.(3)∵随机变量ξ～N (2，σ2)，∴正态曲线关于x ＝2对称，∵P (ξ>3)＝0.158 7，∴P (ξ>1)＝P (ξ<3)＝1－0.158 7＝0.841 3.答案：(1)A (2)D (3)0.841 33．某市去年高考考生成绩服从正态分布N (500,502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在550～600分的人数．解：因为考生成绩X ～N (500,502)，所以μ＝500，σ＝50，所以P＝(550<x≤600)＝12[P(500－2×50<x≤500＋2×50)－P(500－50<x≤500＋50)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.故考生成绩在550～600分的人数为25 000×0.135 9≈3 398人．4．(本小题满分12分)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人．(1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？解：(1)设参赛学生的成绩为X，因为X～N(70,100)，所以μ＝70，σ＝10.则P(X≥90)＝P(X≤50)＝12[1－P(50<X<90)]＝12[1－P(μ－2σ<X<μ＋2σ)]＝12×(1－0.954 4)＝0.022 8，120.022 8≈526.因此，此次参赛学生的总数约为526人．(2)由P(X≥80)＝P(X≤60)＝12[1－P(60<X<80)]＝12[1－P(μ－σ<X<μ＋σ)]＝12×(1－0.682 6)＝0.158 7，得526×0.158 7≈83.因此，此次竞赛成绩为优的学生约为83人．六、茎叶图为了搞好世界大学生夏季运动会的接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高绘成如图所示的茎叶图(单位：cm)．若身高在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm 以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列．解： (1)根据茎叶图知，“高个子”有12人，“非高个子”有18人．用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16，所以选中的“高个子”有12×16＝2(人)，“非高个子”有18×16＝3(人)．用事件A 表示“至少有1名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A －表示“没有‘高个子’被选中”，则P (A )＝1－C 23C 25＝1－310＝710.因此，至少有1人是“高个子”的概率是710.(2)由茎叶图知，“女高个子”有4人，“男高个子”有8人．依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝C 38C 312＝1455，P (ξ＝1)＝C 14C 28C 312＝2855，p (ξ＝2)＝C 24C 18C 312＝1255，P (ξ＝3)＝C 34C 312＝155.因此，ξ的分布列为。

人教A版选修2-3第二章随机变量及其分布基础测试题

人教A 版选修2-3第二章随机变量及其分布基础测试题一、单选题1．已知1()2P B A =∣，3()8P AB =，则()P A 等于（） A ．316 B ．1316 C ．34D ．142．随机变量X 的分布列如下表，其中2b a c =+，且1c ab =，则(2)P X ==（） A ．47B ．45C ．14D ．2213．已知随机变量X 服从二项分布，即(),X B n p ，且()2E X =，() 1.6D X =，则二项分布的参数n ，p 的值为（） A ．4n =，12p =B ．6n =，13p =C ．8n =，14p =D ．10n =，15p =4．设随机变量()~01X N ，，则()0P X ≤=（）A ．0B ．1C ． 12D ．1 45．某批数量很大的产品的次品率为p ，从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是（） A ．3pB ．3(1)p p -C ．334(1)C p p -D ．334C p6．某射手每次射击击中目标的概率都是45，则这名射手在3次射击中恰有2次击中目标的概率为（） A ．12125B ．16125C ．32125D ．481257．若随机变量X 的分布列为则X 的数学期望()EX 是（）A ．14B ．12C ．1D ．328．已知随机变量ξ服从正态分布()5,9N ，若(2)(2)p c p c ξξ>+=<-，则c 的值为（） A ．4B ．5C ．6D ．79．已知甲盒子有6个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个球，记随机变量X 是取出球的编号，数学期望为()E X ，乙盒子有5个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从乙盒子中取出一个球，记随机变量Y 是取出球的编号，数学期望为()E Y ，则（） A ．(3)(3)P X P Y =>=且()()E X E Y > B ．(3)(3)P X P Y =>=且()()E X E Y < C ．(3)(3)P X P Y =<=且()()E X E Y > D ．(3)(3)P X P Y =<=且()()E X E Y <10．若随机变量ξ服从正态分布()22020,σN ，则()2020ξ<=P （）A ．12B ．11010C ．14D ．1202011．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830.则在下雨条件下吹东风的概率为（）A ．25B ．89C ．811D ．91112．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（） A ．至少取到1个白球 B ．取到白球的个数 C ．至多取到1个白球 D ．取到的球的个数二、填空题13．已知,A B 独立，若()0.66P AB =∣，则()P A =_____． 14．某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30.如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则一个被保险人在一年内出事故的概率是_________. 15．已知随机变量X 的分布列如下：若23YX =-，则(5)P Y =的值为________.16．某地有A ，B ，C ，D 四人先后感染了传染性肺炎，其中只有A 到过疫区，B 确实是由A 感染的.对于C 难以判断是由A 或是由B 感染的，于是假定他是由A 和B 感染的概率都是12.同样也假定D 由A ，B 和C 感染的概率都是13.在这种假定下，B ，C ，D 中都是由A 感染的概率是______.三、解答题17．某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．（1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？ 18．某运动员射击一次所得环数X 的分布如下：现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ. （Ⅰ）求该运动员两次都命中7环的概率. （Ⅱ）求ξ的分布列及其数学期望.19．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)． (1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．20．一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球.如果不放回地依次取出2个球，回答下列问题：（1）第一次取出的是黑球的概率；（2）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率.21．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（1）现从甲公司记录的50天中随机抽取3天，求这3天送餐单数都不小于40的概率；（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由． 22．设离散型随机变量X 的分布列为求：（1）21X +的分布列；（2）求(14)P X <≤的值.参考答案1．C 【分析】根据条件概率公式计算．【详解】由()()()P AB P BA P A =∣，可得()3()()4P AB P A P B A ==∣.故选：C. 2．A 【分析】由概率的性质可得1a b c ++=，结合已知条件求出a 的值，即可求解. 【详解】由概率的性质可得1a b c ++=，由2,1,21b a c c ab a b c =+⎧⎪⎪=⎨⎪++=⎪⎩得4,71,32,21a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩则4(2)7P X ==，故选：A 3．D 【分析】利用离散型随机变量的期望与方差公式，转化求解即可. 【详解】解：随机变量X 服从二项分布，即(),XB n p ，且()2E X =，() 1.6D X =，可得2np =，()1 1.6np p -=，解得0.2p =，10n =，故选：D. 【点睛】此题考查离散型随机变量的期望与方差公式的应用，考查二项分布的性质，属于基础题4．C 【分析】根据正态分布曲线的对称性得结论．【详解】因为随机变量()~01X N ，，所以正态曲线关于X 0=对称，所以()0P X ≤=12． 5．C 【分析】根据独立重复试验的概率计算公式，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】由题意，从这批产品中任取4件，所得次品数记作X ，则X 服从二项分布，即()4,XB p ，所以从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是()3343(1)P X C p p ==-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求独立重复试验对应的概率，属于基础题型. 6．D 【分析】利用n 次独立重复实验恰好发生k 次的概率公式计算，即可求解. 【详解】这名射手在3次射击中有2次击中目标，有1次没有击中目标，所以概率为：223414855125C ⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭，故选：D 【点睛】本题主要考查了独立重复事件的概率公式，属于基础题. 7．C 【分析】由数学期望的计算公式直接求解即可【详解】解：由题意得()1110121424E X =⨯+⨯+⨯=，故选：C 【点睛】此题考查由离散型随机变量的分布列求数学期望，属于基础题 8．B 【分析】随机变量ξ服从正态分布()5,9N ，得到曲线关于5x =对称，根据(2)(2)P c P c ξξ>+=<-，结合曲线的对称性列方程，从而解出常数c 的值得到结果.【详解】随机变量ξ服从正态分布()5,9N ，∴曲线关于5x =对称，(2)(2)P c P c ξξ>+=<-，2210c c ∴++-=， 5c ∴=，故选：B . 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题. 9．C 【分析】求出(3),(3)P X P Y ==，(),()E X E Y ，即得解. 【详解】由题1(3)6P X ==，1(3)5P Y ==， 1111117()1234566666662E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，11111()12345355555E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.故选：C 【点睛】本题主要考查概率的计算和随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．A 【分析】根据正态分布的对称性可得选项. 【详解】因为随机变量ξ服从正态分布()22020,σN ，所以2020u =，根据正态分布图象的对称性可知，图象关于2020x =对称，所以1(2020)2P ξ<=，故选：A. 【点睛】本题考查正态分布的性质，属于基础题. 11．C 【分析】在下雨条件下吹东风的概率=既吹东风又下雨的概率÷ 下雨的概率【详解】在下雨条件下吹东风的概率为8830=111130，选C【点睛】本题考查条件概率的计算，属于简单题． 12．B 【分析】根据随机变量的定义，即可求解. 【详解】根据离散型随机变量的定义可得选项B 是随机变量，其可以一一列出，其中随机变量X 的取值0,1,2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了随机变量的定义及其应用，准确理解随机变量的概念是解答的关键，属于基础题. 13．0.34 【分析】根据,A B 独立，由()()1()P AB P A P A ==-∣求解. 【详解】因为,A B 独立，所以()()1()0.66P AB P A P A ==-=∣，所以()0.34P A =．故答案为：0.34 14．0.175 【分析】设1B =“他是谨慎的”，2B =“他是一般的”，3B =“他是冒失的”，事件A =“出事故”，由全概率公式求解. 【详解】设1B =“他是谨慎的”，2B =“他是一般的”，3B =“他是冒失的”，则123,,B B B 构成了Ω的一个划分，设事件A =“出事故”，由全概率公式得，()()31()(1,2,3)0.0520%0.1550%0.3030%0.175i i i P A P B P A B i ====⨯+⨯+⨯=∑∣.故答案为：0.175 15．0.2 【分析】利用23YX =-，求出X 的值，观察表格即可.【详解】当5Y =时，由235X -=得4X =，所以(5)(4)0.2P Y P X ====.故答案为：0.2. 16．16【分析】利用相互独立事件概率乘法公式，即可求得答案【详解】在这种假定下，B ，C ，D 中都是由A 感染的概率为：1211136P =⨯⨯=. 故答案为：16. 17．（1）分布列如图，34E ξ=；（2）143144D η= 【详解】试题分析：本题主要考查生活中的概率知识，离散型随机变量的分布列和数学期望以及二项分布的方差问题，考查学生的分析能力和计算能力.第一问，10个球中摸3个，所以基本事件总数为310C ，ξ的可能取值为4种，分别数出每一种情况符合题意的种数，与基本事件总数相除求出4个概率值，列出分布列，利用1122n n E x p x p x p ξ=+++求期望；第二问，利用第一问分布列的结论，用间接法先求出乙一次抽奖中奖的概率，通过分析题意，可得中奖次数η符合二项分布，利用(1)D np p η=-的公式计算方差.试题解析：（1）甲抽奖一次，基本事件的总数为310=120C ，奖金ξ的所有可能取值为0,30,60,240.一等奖的情况只有一种，所有奖金为120元的概率为1(240)120P ξ==，三球连号的情况有1,2,3；2,3,4；……8,9,10共8种，得60元的概率为81(60)12015P ξ===，仅有两球连号中，对应1,2与9,10的各有7种：对应2,3；3,4；……8,9各有6种. 得奖金30元的概率为72677(30)12015P ξ⨯+⨯===，得奖金0元的概率为11711(0)1120151524P ξ==---=， ξ的分布列为：117110306024034 241515120Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯= (2)由(1)可得乙一次抽奖中中奖的概率为四次抽奖是相互独立的，所以中奖次数故131114342424144 Dη=⨯⨯=.考点：1.离散型随机变量的分布列和数学期望；2.二项分布；3.方差.18．(I) 0.04(II)(III) 9.07【解析】本试题主要考查了独立事件概率的乘法公式好分布列的求解，以及期望公式的的综合运用．（1）中，利用两次都命中事件同时发生的概率乘法公式得到（2）中，因为由题意可知ξ可能取值为7、8、9、10，那么分别得到各个取值的概率值，得到分布列．（3）利用期望公式求解期望值．解：（I）由题意知运动员两次射击是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到，该运动员两次都命中7环的概率为P=0.2×0.2=0.04（II）ξ可能取值为7、8、9、10P（ξ=7）=0.04 P（ξ=8）=2×0.2×0.3+0.32=0.21P（ξ=9）=2×0.2×0.3+2×0.3×0.3+0.32=0.39P（ξ=10）=2×0.2×0.2+2×0.3×0.2+2×0.3×0.2+0.22=0.36∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望为Eξ=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.0719．(1)67(2)见解析【解析】（1）设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则P（A）==所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为（2）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）==P（X=4）==X的分布列为EX==20．（1）35（2）310【分析】（1）利用古典概率的求解方法进行求解；（2）利用独立事件同时发生的概率公式求解. 【详解】依题意，设事件A 表示“第一次取出的是黑球”，事件B 表示“第二次取出的是白球”. （1）黑球有3个，球的总数为5个，所以()35P A =. （2）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为()3235410P AB ⨯==⨯. 【点睛】本题主要考查古典概率模型和独立事件的概率求解，题目较为简单，侧重考查数学运算的核心素养. 21．（1）23196.（2）见解析【解析】试题分析：（1）为古典概型，利用组合数公式计算基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的总数即可.（2）为计算离散型随机变量的分布列和数学期望，利用公式计算即可．（1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M ，则()32535023196C P M C ==.（2）①设乙公司送餐员送餐单数为a ，则当38a =时，386228X =⨯=，当39a =时，396234X =⨯=，当40a =时，406240X =⨯=，当41a =时，40617247X =⨯+⨯=，当42a =时，40627254X =⨯+⨯=.所以X 的所有可能取值为228，234，240，247，254.故X 的分布列为：所以()11121228234240247254241.81055510E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为380.2390.3400.2410.2420.139.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以甲公司送餐员日平均工资为80439.7238.8+⨯=元.由①得乙公司送餐员日平均工资为241.8元.因为238.8241.8<，故推荐小王去乙公司应聘.22．（1）见解析；（2）0.7 【分析】根据概率和为1列方程，求得m 的值.（1）根据分布列的知识，求得21X +对应的分布列.（2）利用(14)(2)(3)(4)P X P X P X P X <≤==+=+=求得(14)P X <≤的值. 【详解】由分布列的性质知：0.20.10.10.31m ++++=，解得0.3m = （1）由题意可知(211)(0)0.2P X P X +====，(213)(1)0.1P X P X +====，(215)(2)0.1P X P X +====(217)(3)0.3P X P X +====，(219)(4)0.3P X P X +====所以21X +的分布列为：（2）(14)(2)(3)(4)0.10.30.30.7P X P X P X P X <≤==+=+==++= 【点睛】本小题主要考查分布列的计算，属于基础题.。

人教A版选修2-3章末综合测评(二) 随机变量及其分布.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作章末综合测评(二)随机变量及其分布(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法不正确的是()A．某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量B．正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0C．公式E(X)＝np可以用来计算离散型随机变量的均值D．从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布【解析】公式E(X)＝np并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，适用于二项分布的均值的计算．故选C.【答案】 C2．已知ξ的分布列为ξ－101 2P 14381418则ξ的均值为()A．0B．－1C.18 D.14【解析】E(ξ)＝－1×14＋0×38＋1×14＋2×18＝14.【答案】 D3．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝k 15(k ＝1,2,3,4,5)，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<52＝( )A.12 B.19 C.16D.15【解析】由12<ξ<52知ξ＝1,2，P (ξ＝1)＝115，P (ξ＝2)＝215，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<52＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝15.【答案】 D4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是( )【导学号：29472079】A ．0.16B ．0.24C ．0.96D ．0.04【解析】三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.【答案】 C5．如果随机变量X ～N (4,1)，则P (X ≤2)等于( ) (注：P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 5) A ．0.210 B ．0.022 8 C ．0.045 6D ．0.021 5【解析】 P (X ≤2)＝(1－P (2<X ≤6))×12＝[1－P (4－2<X ≤4＋2)]×12＝(1－0.954 5)×12≈0.022 8.【答案】 B6．已知ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12，η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，且E (ξ)＝15，则E (η)等于( )A ．5B ．10C ．15D ．20【解析】因为ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12，所以E (ξ)＝n 2.又E (ξ)＝15，则n ＝30，所以η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫30，13.故E (η)＝30×13＝10. 【答案】 B7．校园内移栽4棵桂花树，已知每棵树成活的概率为45，那么成活棵数X 的方差是( )A.165B.6425C.1625D.645【解析】由题意知成活棵数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，45，所以成活棵数X 的方差为4×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45＝1625.故选C. 【答案】 C8．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是( )A.35B.25C.110D.59【解析】记“第一次摸到正品”为事件A ，“第二次摸到正品”为事件B ，则P (A )＝C 16C 19C 110C 19＝35，P (AB )＝C 16C 15C 110C 19＝13.故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝59.【答案】 D9．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.512B.12C.14D.16【解析】根据相互独立事件与互斥、对立事件的概率公式得P ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34＝512. 【答案】 A10．已知某离散型随机变量X 服从的分布列如图，则随机变量X 的方差D (X )等于( )X 0 1 Pm 2mA.19B.29C.13D.23【解析】由m ＋2m ＝1得m ＝13，所以E (X )＝0×13＋1×23＝23，D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×23＝29.【答案】 B11．已知随机变量X 的概率分布列如下表： X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P23232233234235236237238239m则P (X ＝10)＝( ) A.239 B.2310 C.139D.1310【解析】由离散型随机变量分布列的性质可知 23＋232＋233＋…＋239＋m ＝1， ∴m ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋232＋233＋…＋239 ＝1－2·13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1391－13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫139＝139. 【答案】 C12．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4a 5，其中A 的各位数中a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，记ξ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，当程序运行一次时，ξ的数学期望为( )A.827 B.113 C.1681D.6581【解析】记a 2，a 3，a 4，a 5位上出现1的次数为随机变量η，则η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23，E (η)＝4×23＝83.因为ξ＝1＋η，E (ξ)＝1＋E (η)＝113. 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．如果随机变量ξ服从N (μ，σ)，且E (ξ)＝3，D (ξ)＝1，那么μ＝________，σ＝________.【解析】因为ξ～N (μ，σ)，所以E (ξ)＝μ＝3，D (ξ)＝σ2＝1，所以σ＝1. 【答案】 3 114．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎨⎧－1，第n 次摸取红球，1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 5＝3的概率为________．【解析】由题意知有放回地摸球为独立重复试验，且试验次数为5，这5次中有1次摸得红球．每次摸取红球的概率为23，所以S 5＝3时，概率为C 15×⎝ ⎛⎭⎪⎫231·⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝10243.【答案】 1024315．一盒子中装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则P(B|A)＝________.【导学号：29472080】【解析】由条件知，P(A)＝34，P(AB)＝C23C24＝12，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝23.【答案】2 316．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X服从正态分布N(60,102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．【解析】依题意，P(60－20<x≤60＋20)＝0.954 5，P(X>80)＝12(1－0.9545)≈0.022 8，故成绩高于80分的考生人数为10 000×0.022 8＝228(人)．所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．【答案】229三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？【解】记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球．P(B)＝42＋4＝23.P(B)＝1－P(B)＝1 3.(1)P(A|B)＝3＋18＋1＝49.(2)∵P(A|B)＝38＋1＝13，∴P (A )＝P (A ∩B )＋P (A ∩B ) ＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B ) ＝49×23＋13×13＝1127.18．(本小题满分12分)从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的分布列．【解】由题意ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，则所以离散型随机变量ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P271255412536125812519.(本小题满分12分)甲，乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X ，Y ，X 和Y 的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较.X 0 1 2 P610110310Y 0 1 2 P510310210【解】工人甲生产出次品数X 的数学期望和方差分别为E (X )＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，D (X )＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81. 工人乙生产出次品数Y 的数学期望和方差分别为 E (Y )＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，D (Y )＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61.由E (X )＝E (Y )知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D (X )>D (Y )，可见乙的技术比较稳定．20．(本小题满分12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望． (注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数) 【解】 (1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为P ＝C 34＋C 33C 39＝584.(2)X 的所有可能值为1,2,3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742， P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384， P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112.故X 的分布列为X 1 2 3 P17424384112从而E (X )＝1×1742＋2×4384＋3×112＝4728.21．(本小题满分12分)某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．【解】(1)由已知，有P(A)＝C13C14＋C23C210＝13.所以事件A发生的概率为1 3.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝C23＋C23＋C24C210＝415，P(X＝1)＝C13C13＋C13C14C210＝715，P(X＝2)＝C13C14C210＝415.所以随机变量X的分布列为X 01 2P 415715415随机变量X的数学期望E(X)＝0×415＋1×715＋2×415＝1.22．(本小题满分12分)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比．分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．【解】 (1)X 可能的取值为10,20,100，－200. 根据题意，有所以X 的分布列为X 10 20 100 －200 P38381818(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1,2,3)，则 P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512. (3)X 的数学期望为EX ＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54. 这表明，获得的分数X 的均值为负，因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．。

高中数学选修2-3课后限时训练11 随机变量及其分布检测卷

高中数学选修2－3课后限时训练11 随机变量及其分布检测卷(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是( ) A ．两次掷出的最大点数 B ．第一次减去第二次的点数差 C ．两次出现点数之和 D ．投掷的次数解析：投掷的次数是个数值，不是随机变量．答案：D2．设火箭发射失败的概率为0.01，若发射10次，其中失败的次数为X ，则下列结论正确的是( ) A ．E (X )＝0.01B ．P (X ＝k )＝0.01k ×0.9910－k C ．D (X )＝0.1D ．P (X ＝k )＝C k 10×0.01k ×0.9910－k 解析：∵X ～B (10,0.01)，∴E (X )＝10×0.01＝0.1，D (X )＝10×0.01×0.99＝0.099.∴P (X ＝k )＝C k 10×0.01k ×0.9910－k . 答案：D3．已知随机变量2ξ＋η＝14，若ξ～B (10,0.6)，则E (η)，D (η)分别是( ) A ．6和9.6 B ．2和9.6 C ．2和5.6D ．6和5.6解析：∵ξ～B (10,0.6)，∴E (ξ)＝10×0.6＝6，D (ξ)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4. ∵2ξ＋η＝14，∴η＝14－2ξ，∴E (η)＝E (14－2ξ)＝14－2E (ξ)＝2，D (η)＝D (14－2ξ)＝(－2)2D (ξ)＝4D (ξ)＝9.6，故选B ．答案：B4．在一次智力竞赛中，每位参赛者要从5道题中不放回地依次抽取2道题作答，已知5道题中包含自然科学题3道，人文科学题2道．则参赛者甲连续两次都抽到自然科学题的概率是( )A ．310B ．12C ．35D ．25解析：因为这道题中包含自然科学题3道，人文科学题2道，甲第一次抽到自然科学题概率为35，所以第一次抽到自然科学题的前提下，第2次抽到自然科学题的概率为P ＝24＝12，故参赛者甲连续两次都抽到自然科学题的概率为35×12＝310，故选A ．答案：A5．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的两个数之和为偶数”，事件B 为“取到的两数均为偶数”，P (B |A )＝( )A ．18B ．14C ．25D ．12解析：∵P (A )＝C 22＋C 23C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14.答案：B6．已知ξ～N (1，σ2)，a ∈R ，则“P (ξ>a )＝0.5”是“关于x 的二项式⎝⎛⎭⎫ax ＋1x 23的展开式的常数项为3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分又不必要条件D ．充要条件解析：⎝⎛⎭⎫ax ＋1x 23的展开式的通项为T r ＋1＝C r 3(ax )3－r ·⎝⎛⎭⎫1x 2r ＝C r 3a 3－r x 3－3r ，当r ＝1时，T r ＋1为常数项，即常数项为C 13a 2＝3，∴a ＝±1，由ξ～N (1，σ2)，P (ξ>a )＝0.5知a ＝1，∴“P (ξ>a )＝0.5”是“关于x 的二项式⎝⎛⎭⎫ax ＋1x 23的展开式的常数项为3”的充分不必要条件．答案：A7．以下三个命题中：①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k 为40；②线性回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^恒过样本中心(x ，y )；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (2，σ2)(σ＞0)．若ξ在(－∞，1)内取值的概率为0.1，则ξ在(2,3)内取值的概率为0.4.其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：②③正确．答案：C8．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ≥4)＝0.32，则P (0≤ξ≤2)＝( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.18D ．0.34解析：随机变量ξ服从正态分布ξ～N (2，σ2)， ∴μ＝2.∵P (ξ≥4)＝0.32，∴P (0≤ξ≤2)＝P (2≤ξ≤4)＝0.5－0.32＝0.18，故选C ．答案：C9．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A ．516B ．1132C ．2132D ．1116解析：由题意知，所有重卦有26＝64(种)，恰有3个阳爻的重卦有C 36＝20(种)，∴恰有三个阳爻的概率为2064＝516，故选A ．答案：A10．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝1,2,3，则D (3X ＋5)等于( )A ．6B ．9C ．3D ．4解析：由题意知，E (X )＝1×13＋2×13＋3×13＝2.∴D (X )＝(1－2)2×13＋(2－2)2×13＋(3－2)2×13＝23.∴D (3X ＋5)＝9D (X )＝9×23＝6.答案：A11．已知0＜a ＜14，随机变量ξ的分布列如下：ξ －1 0 1 P3414－a a当a 增大时( ) A ．E (ξ)增大，D (ξ)增大 B ．E (ξ)减小，D (ξ)增大C ．E (ξ)增大，D (ξ)减小 D ．E (ξ)减小，D (ξ)减小解析：依题意E (ξ)＝－1×34＋0×⎝⎛⎭⎫14－a ＋1×a ＝a －34， ∴当a 增大时，E (ξ)增大；D (ξ)＝⎣⎡⎦⎤－1－⎝⎛⎭⎫a －342×34＋⎣⎡⎦⎤0－⎝⎛⎭⎫a －342×⎝⎛⎭⎫14－a ＋⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫a －342·a ＝－a 2＋52a ＋316＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋74， ∵0＜a ＜14，∴当a 增大时，D (ξ)增大，故选A ．答案：A12．下列判断错误的是( )A ．若随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，P (ξ≤4)＝0.79，则P (ξ≤－2)＝0.21B ．若n 组数据(x 1，y 1)…(x n ，y n )的散点都在y ＝－2x ＋1上，则相关系数r ＝－1C ．若随机变量ξ服从二项分布ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，15，则E (ξ)＝1 D ．“am 2<bm 2”是“a <b ”的必要不充分条件解析：根据正态分布的性质，P (ξ≤－2)＝P (ξ>4)＝1－P (ξ≤4)＝0.21，所以A 正确；根据散点图中对应的点都在直线上，可知其为确定的函数关系，从而有相关系数r ＝－1，故B 正确；根据二项分布的期望公式E (ξ)＝np ＝5×15＝1，可知C 正确；由am 2<bm 2可以推出a <b ，而a <b 不一定有am 2<bm 2，故“am 2<bm 2”是“a <b ”的充分不必要条件，所以D 不正确，故选D ．答案：D二、填空题(每小题5分，共20分)13．在A ，B 两个袋子中都有6张分别写有数字0,1,2,3,4,5的卡片，现从每个袋中任取一张卡片，两张卡片上的数字之和记为X ，则P (X ＝7)＝________.解析：从两个袋子各任取一张，共有36个不同的结果，其中数字之和X ＝7的包括(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)四种，∴P (X ＝7)＝436＝19.答案：1914．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．解析：甲队以4∶1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：P 1＝0.4×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.036，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：P 2＝0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝0.036，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：P 3＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：P 4＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，则甲队以4∶1获胜的概率为：P ＝P 1＋P 2＋P 3＋P 4＝0.036＋0.036＋0.054＋0.054＝0.18.答案：0.1815．多选题是标准化考试的一种题型，一般是从A 、B 、C 、D 四个选项中选出所有正确的答案．在一次考试中有5道多选题，某同学一道都不会，他随机地猜测，则他答对题数的期望值为________．解析：答对每道题的概率为P ＝1C 14＋C 24＋C 34＋C 44＝115，设答对题数为ξ，则ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，115，所以E (ξ)＝5×115＝13. 答案：1316．给出下列四个命题：①不等式|x ＋1|＋|x －2|≥3对任意x ∈R 恒成立； ② 7－6>5－4；③设随机变量X ～N (0,1)．若P (X >1)＝p ，则P (－1<X ≤0)＝12－p ；④设随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫3，13，则P (X ＝1)＝13. 其中，所有正确命题的序号有________．解析：①中，|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴正确；②中，若7－6>5－4，则7＋4>6＋5，即11＋228>11＋230. ∵28<30，∴7－6>5－4不成立， ∴不正确；③中，∵随机变量X ～N (0,1)中，μ＝0， ∴P (x ≥0)＝12，∵P (X >1)＝p ，∴P (0≤x <1)＝12－p ，∴P (－1<x ≤0)＝12－p ，∴正确；④中，随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫3，13，∴P (X ＝1)＝C 13·13×⎝⎛⎭⎫1－132＝49，∴不正确．综上，所有正确命题的序号有①③. 答案：①③三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束．(1)求P (X ＝2)；(2)求事件“X ＝4且甲获胜”的概率．解：(1)X ＝2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P (X ＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.(2)X ＝4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.18．(12分)某校为了了解学生对学校开展的课外体育活动的认可程度，从A ，B 两个班分别随机调查了20个学生，得到了学生对课外体育活动的认可度评分如下．(1)值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据学生认可度评分，将学生的认可度从低到高分为三个等级：率；②已知两个班级的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求B 班级的认可度等级低于A 班级的认可度等级的概率．解：(1)由茎叶图可看出，A 班认可度评分平均值大于B 班认可度评分平均值，且A 班评分更集中． (2)①记事件A 2为：A 班基本认可，记事件B 2为：B 班基本认可，记事件C 为：两人来自同一班级， ∵P (A 2)＝1220＝35，P (B 2)＝820＝25，∴P (C )＝35×35＋25×25＝1325.②记事件A 1为：A 班不认可，记事件B 1为：B 班不认可，记事件A 3为：A 班高度认可，记事件B 3为：B 班高度认可，记事件D 为：B 班认可度等级低于A 班认可度等级，则P (A 1)＝420＝15，P (B 1)＝1020＝12，P (A 3)＝420＝15，P (B 3)＝220＝110，∴P (D )＝P (B 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 3)＋P (B 2)P (A 3)＝12×35＋12×15＋25×15＝1225.19．(12分)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球和4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率； (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列．解：(1)设A i 表示摸到i 个红球，B j 表示摸到j 个蓝球，则A i (i ＝0,1,2,3)与B j (j ＝0,1)独立．则一次摸奖恰好摸到1个红球的概率为P (A 1)＝C 13C 24C 37＝1835.(2)X 的所有可能值为：0,10,50,200，P (X ＝200)＝P (A 3B 1)＝P (A 3)P (B 1)＝C 33C 37×13＝1105，P (X ＝50)＝P (A 3B 0)＝P (A 3)P (B 0)＝C 33C 37×23＝2105，P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝C 23C 14C 37×13＝12105＝435，P (X ＝0)＝1－1105－2105－435＝67.综上知X 的分布列为：20.(12分)每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)，甲、乙两人独立来该租车点租自行车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两个小时的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三个小时的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四个小时． (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E (ξ)．解：(1)依题意得，甲、乙在三个小时以上且不超过四个小时还车的概率均为14，记甲、乙两人所付租车费用相同为事件A ，则P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516，所以，甲、乙两人所付租车费用相同的概率为516.(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，ξ可能取值为0,2,4,6,8，P (ξ＝0)＝18，P (ξ＝2)＝14×14＋12×12＝516，P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋12×14＝516，P (ξ＝6)＝14×14＋12×14＝316，P (ξ＝8)＝14×14＝116. 故分布列为：所以E (ξ)＝0×18＋2×516＋4×516＋6×316＋8×116＝72.21．(12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．解：记A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0,1,2， B 表示事件：甲需使用设备， C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备． (1)D ＝A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B －·C ＝P (A 1·B ·C )＋P (A 2·B )＋P (A 2·B －·C )＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B －)P (C )＝0.31. (2)X 的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为 P (X ＝0)＝P (B －·A 0·C －)＝P (B －)P (A 0)P (C －) ＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06， P (X ＝1)＝P (B ·A 0·C －＋B －·A 0·C ＋B －·A 1·C －)＝P (B )P (A 0)P (C － )＋P (B － )P (A 0)P (C )＋P (B － )P (A 1)P (C －)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P (X ＝4)＝P (A 2·B ·C )＝P (A 2)P (B )P (C )＝0.52×0.6×0.4＝0.06， P (X ＝3)＝P (D )－P (X ＝4)＝0.25，P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，E (X )＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.22．(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求E(X)．附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4.解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X～B(100,0.6 826)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.。

新课标A版高中数学选修2-3练习第二章随机变量及其分布 2-3-3 Word版含答案

课后巩固．下面说法中正确的是( )．离散型随机变量ξ的期望(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值．离散型随机变量ξ的方差(ξ)反映了ξ取值的平均水平．离散型随机变量ξ的期望(ξ)反映了ξ取值的波动水平．离散型随机变量ξ的方差(ξ)反映了ξ取值的波动水平答案解析由于离散型随机变量ξ的期望(ξ)反映的是随机变量的平均取值水平，而不是概率的平均值，故错．而(ξ)则反映随机变量的集中(或稳定)的程度，即波动水平．．若～(，)，且()＝，()＝，则( )．＝，＝．＝，＝．＝，＝．＝，＝答案解析由()＝＝，()＝(－)＝，可知－＝，所以＝，＝.．已知随机变量，()＝，则的标准差为．答案解析∵()＝()＝，∴()＝，∴σ()＝＝.．已知离散型随机变量的可能取值为＝－，＝，＝，且()＝，()＝，则对应，，的概率，，分别为，，.答案解析由题意知，－＋＝，．＋＋＝.又＋＋＝，解得＝，＝，＝.．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上，现从中任意抽取一张，将其上数字记作，然后放回，再抽取一张，其上数字记作，令ξ＝·.求：()ξ所取各值的分布列；()随机变量ξ的数学期望与方差．解析()随机变量ξ的可能取值有，“ξ＝”是指两次取的卡片上至少有一次为，其概率为(ξ＝)＝－×＝；“ξ＝”是指两次取的卡片上都标着，其概率为(ξ＝)＝×＝；“ξ＝”是指两次取的卡片上一个标着，另一个标着，其概率为(ξ＝)＝××＝；“ξ＝”是指两次取的卡片上都标着，其概率为(ξ＝)＝×＝.则ξ的分布列为()((ξ)＝(－)×＋(－)×＋(－)×＋(－)×＝.。

数学：第二章《随机变量及其分布》测试(1)(新人教A版选修2-3)

高中新课标选修（2-3）第二章随机变量及其分布测试题一、选择题1．将一枚均匀骰子掷两次，下列选项可作为此次试验的随机变量的是（）Ａ．第一次出现的点数Ｂ．第二次出现的点数Ｃ．两次出现点数之和Ｄ．两次出现相同点的种数答案：C2．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么310为（）Ａ．恰有1只坏的概率Ｂ．恰有2只好的概率Ｃ．4只全是好的概率Ｄ．至多2只坏的概率答案：BX表示击中目标的次数，则(2)P X≥等于（）Ａ．81125Ｂ．54125Ｃ．36125Ｄ．27125答案：A4．采用简单随机抽样从个体为6的总体中抽取一个容量为3的样本，则对于总体中指定的个体a，前两次没被抽到，第三次恰好被抽到的概率为（）Ａ．12Ｂ．13Ｃ．15Ｄ．16答案：D5．设~(100.8)X B，，则(21)D X+等于（）答案：Ｃ6．在一次反恐）答案：Ｄ7．设1~24X N⎛⎫-⎪⎝⎭，，则X落在(][)3.50.5---+，，∞∞内的概率是（）Ａ．95.4%Ｂ．99.7%Ｃ．4.6%Ｄ．0.3%答案：Ｄ8．设随机变量X0 1 2 30．1 0．10.2-0.4-答案：Ｃ9．任意确定四个日期，设X表示取到四个日期中星期天的个数，则DX等于（）Ａ．67Ｂ．2449Ｃ．3649Ｄ．4849答案：Ｂ10．有5支竹签，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3支，以X表示取出竹签的最大号码，则EX 的值为（）Ａ．4 Ｄ．5 答案：Ｂ11．袋子里装有大小相同的黑白两色的手套，黑色手套15支，白色手套10只，现从中随机地取出2只手套，如果2只是同色手套则甲获胜，2只手套颜色不同则乙获胜．试问：甲、乙获胜的机会是（）Ａ．甲多Ｂ．乙多Ｃ．一样多Ｄ．不确定答案：Ｃ，节日期间这种鲜花的需求量X 服从如下表所示的分布：200 300 400 5000．200．350．30 0．15若进这种鲜花500束，则利润的均值为（）Ａ．706元Ｂ．690元Ｃ．754元Ｄ．720元答案：Ａ二、填空题13．事件A B C ，，相互独立，若111()()()688P A B P B C P A B C ===，，····，则()P B = ．答案：1214．设随机变量X 等可能地取1，2，3，…，n ，若(4)0.3P X <=，则EX 等于． 15．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是．答案：215⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 16．某公司有5万元资金用于投资开发项目．如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%．下表是过去200例类似项目开发的实施结果．则该公司一年后估计可获收益的均值是元．答案：4760 三、解答题17．掷3枚均匀硬币一次，求正面个数与反面个数之差X 的分布列，并求其均值和方差．解：3X =-，1-，1，3，且1111(3)2228P X =-=⨯⨯=；213113(1)228P X C ⎛⎫=-=⨯⨯= ⎪⎝⎭，213113(1)228P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；1111(3)222P X ==⨯⨯=，1303EX DX ==，∴18．甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求（1）恰有1人译出密码的概率；（2）若达到译出密码的概率为99100，至少需要多少乙这样的人．解：设“甲译出密码”为事件A ；“乙译出密码”为事件B ，则11()()34P A P B ==，．（1）13215()()343412P P A B P A B =+=⨯+⨯=··．（2）n 个乙这样的人都译不出密码的概率为114n⎛⎫- ⎪⎝⎭．199114100n⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴≥．解得17n ≥．达到译出密码的概率为99100，至少需要17人. 19．生产工艺工程中产品的尺寸偏差2(mm)~(02)X N ，，如果产品的尺寸与现实的尺寸偏差的绝对值不超过4mm 的为合格品，求生产5件产品的合格率不小于80%的概率．解：由题意2~(02)X N ，，求得(4)(44)0.9544P X P X =-=≤≤≤．设Y 表示5件产品中合格品个数，则~(50.9544)Y B ，．0.18920.79190.981≈+≈．20．甲、乙、丙三名射击选手，各射击一次，击中目标的概率如下表所示(01)p <<：选手甲乙丙概率若三人各射击一次，恰有k 名选手击中目标的概率记为()0123k P P X k k ===，，，，． (1) 求X 的分布列；（2）若击中目标人数的均值是2，求P 的值．解：（1）201(1)2P p =-；2211111(1)2(1)2222P P p p p =-+-=-+·， 2221112(1)222P p p p p p =-+=-+··，2312P p =， X ∴的分布列为 0123（2）22221111110(1)1232222222EX p p p p p p ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯-++⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1222p +=∴，34p =∴．21．张华同学上学途中必须经过A B C D ，，，四个交通岗，其中在A B ，岗遇到红灯的概率均为12，在C D ，岗遇到红灯的概率均为13．假设他在4个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，X 表示他遇到红灯的次数．（1）若3x ≥，就会迟到，求张华不迟到的概率；（2）求EX ．解：（1）2221122111121(3)232336P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭·····； 22111(4)2336P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭·．故张华不迟到的概率为29(2)1(3)(4)36P X P X P X =-=-==≤．（2）X 的分布列为123411131150123493366363EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴.22．某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m 处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150m 处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200m 处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分．已知射手甲在100m 处击中目标的概率为12，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．（1）求这位射手在三次射击中命中目标的概率；（2）求这位射手在这次射击比赛中得分的均值．解：记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A B C ，，，三次都未击中目标为事件D ，依题意1()2P A =，设在x m 处击中目标的概率为()P x ，则2()k P x x =，且212100k=， 5000k =∴，即25000()P x x =， 250002()1509P B ==∴，250001()2008P C ==，17749()298144P D =⨯⨯=．（1）由于各次射击都是相互独立的，∴该射手在三次射击中击中目标的概率()()()P P A P AB P A B C =++ (11212195)111229298144⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭···．（2）依题意，设射手甲得分为X ，则1(3)2P X ==， 121(2)299P X ==⨯=，1717(1)298144P X ==⨯⨯=，49(0)144P X ==， 117492558532102914414414448EX =⨯+⨯+⨯+⨯==∴．。

高中数学选修2-3 第二章随机变量及其分布列单元综合测评

单元综合测评二(时间：90分钟满分：120分)温馨提示：1.第Ⅰ卷答案写在答题卡上，第Ⅱ卷书写在试卷上；交卷前请核对班级、姓名、考号.2.本场考试时间为90分钟，注意把握好答题时间.3.认真审题，仔细作答，永远不要以粗心为借口原谅自己．第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则p 1等于( )A.0B.215 C.115D ．1解析：由分布列性质∑ni ＝1p i ＝1.n ＝1,2,3，…，n ，得15＋23＋p 1＝1.∴p 1＝215. 答案：B2．某射手射击所得的环数X 的分布列如下：如果命中8～A ．0.3 B ．0.4 C ．0.5D ．0.6解析：从分布列中不难看出该射手命中环数不小于8环的概率是0.3＋0.25＋0.05＝0.6. 答案：D3．已知离散型随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，若P (1≤X ≤3)＝15，则n 的值为( )A ．3B ．5C ．10D ．15解析：由已知X 的分布列为P (X ＝k )＝1n ，k ＝1,2,3，…，n ，∴P (1≤X ≤3)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n ＝15，∴n ＝15.答案：D4．有三箱粉笔，每箱中有100盒，其中有一盒是次品，从这三箱粉笔中各抽出一盒，则这三盒中至少有一盒是次品的概率是( )A ．0.01×0.992B ．0.012×0.99C ．C 130.01×0.992D ．1－0.993解析：设A ＝“三盒中至少有一盒是次品”，则A ＝“三盒中没有次品”．又∵在一箱中取出的一盒是次品的概率为1100＝0.01，不是次品的概率为0.99，∴P (A )＝0.993，∴P (A )＝1－0.993. 答案：D5．已知X ～N (－1，σ2)，若P (－3≤X ≤－1)＝0.4，则P (－3≤X ≤1)等于( ) A ．0.8 B ．0.6 C ．0.4D ．无法计算解析：由于X ～N (－1，σ2)，且区间[－3，－1]与[－1,1]关于x ＝－1对称， ∴P (－3≤X ≤1)＝2P (－3≤X ≤－1)＝0.8. 答案：A6．两名数学教师参加市级教学能手评选，负责人对他们说：“这次评选，要从参加评选的教师中选出3人参加省教学能手评选，你们两个同时被选中的概率是170”，根据这位负责人的话，可推断出参加本次评选的人数是( )A ．70B ．42C ．35D ．21解析：设参评的人数为n ，则C 1n －2C 3n ＝170，解得n ＝21.故选D.答案：D7．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )A.C 35·C 14C 45B.⎝⎛⎭⎫593×49C.35×14D ．C 14×⎝⎛⎭⎫593×49解析：前3次取到的都是黑球，第4次取到的是白球，且4次取球相互独立，故选B. 答案：B8．(2011·辽宁高考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18B.14C.25D.12解析：P (B |A )＝P (AB )P (A )＝C 22C 23＋C 22＝14，故选B. 答案：B9．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为( )A.148B.124C.112D.16解析：由已知，得3a ＋2b ＋0×c ＝2，∴3a ＋2b ＝2. ∴ab ＝16×3a ×2b ≤16⎝⎛⎭⎫3a ＋2b 22＝16.答案：D10．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若ξ表示取到次品的个数，则E (ξ)等于( )A.35B.815C.1415D ．1解析：ξ＝1时，P ＝C 17C 13C 210＝715；ξ＝2时，P ＝C 23C 210＝115；ξ＝0时，P ＝1－715－115＝715，∴E (ξ)＝0×715＋1×715＋2×115＝915＝35.答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p .若此人未能通过的科目数ξ的均值是2，则p ＝________.解析：因为通过各科考试的概率为p ，所以不能通过考试的概率为1－p ，易知ξ～B (6,1－p )，所以E (ξ)＝6(1－p )＝2，解得p ＝23.答案：2312．(2011·湖南高考)如图，EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地撒到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝________；(2)P (B |A )＝________.解析：∵P (A )＝S 正方形S 圆＝(2)2π＝2π.P (B |A )＝P (AB )P (A )＝S △EOH S 正方形＝14.答案：(1)2π (2)1413．在一次试验中，随机事件A 发生的概率为p (p ≠0，p ≠1)．设在k 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为P k ，那么P 1＋P 2＋…＋P n ＝________.解析：∵P k ＝p k (p ≠0，p ≠1)，∴P 1＋P 2＋…＋P n ＝p 1＋p 2＋…＋p n，由等比数列求和公式知原式＝p (1－p n )1－p.答案：p (1－p n )1－p14．(2011·浙江高考)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________. 解析：∵P (X ＝0)＝13×(1－p )2＝112，∴p ＝12.则P (X ＝1)＝23×12×12＋13×12×12×2＝412＝13，P (X ＝2)＝23×12×12×2＋13×12×12＝512，P (X ＝3)＝23×12×12＝16.则E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.答案：53三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(12分)(2010·福建高考)设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S . (1)记“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )” 为事件A ，试列举A 包含的基本事件； (2)设ξ＝m 2，求ξ的分布列及其数学期望E (ξ)．解：(1)由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3，即S ＝{x |－2≤x ≤3}．由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0，所以A 包含的基本事件为：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以ξ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有p (ξ＝0)＝16，P (ξ＝1)＝26＝13，P (ξ＝4)＝26＝13，P (ξ＝9)＝16.故ξ的分布列为：所以E (ξ)＝0×16＋1×13＋4×13＋9×16＝196.16．(12分)(2010·全国Ⅱ高考)如下图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(1)求p ；(2)求电流能在M 与N 之间通过的概率；(3)ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．解：记A i 表示事件：电流能通过T i ，i ＝1,2,3,4. A 表示事件：T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流． B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过． (1)A ＝A 1·A 2·A 3，A 1，A 2，A 3相互独立，P (A )＝P (A 1·A 2·A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝(1－P )3，又P (A )＝1－P (A )＝1－0.999＝0.001. 故(1－p )3＝0.001，p ＝0.9.(2)B ＝A 4＋A 4·A 1·A 3＋A 4·A 1·A 2·A 3， P (B )＝P (A 4＋A 4·A 1·A 3＋A 4·A 1·A 2·A 3) ＝P (A 4)＋P (A 4·A 1·A 3)＋P (A 4·A 1·A 2·A 3)＝P (A 4)＋P (A 4)P (A 1)P (A 3)＋P (A 4)P (A 1)P (A 2)·P (A 3) ＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9 ＝0.989 1.(3)由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能否通过各元件相互独立，故ξ～B (4,0.9)，E (ξ)＝4×0.9＝3.6.17．(12分)在1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数． (1)求这3个数中恰有1个是偶数的概率；(2)记ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时ξ的值是2)．求随机变量ξ的分布列及数学期望E (ξ)．解：(1)记“这3个数中恰有一个是偶数”为事件A ，则P (A )＝C 14C 25C 39＝1021.(2)随机变量ξ的取值为0,1,2.当ξ＝2时，对应(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，(4,5,6)，(5,6,7)，(6,7,8)，(7,8,9)共7种情况． P (ξ＝2)＝7C 39＝112.当ξ＝1时，对应(1,2,4)，(1,2,5)，(1,2,6)，(1,2,7)，(1,2,8)，(1,2,9)，(2,3,5)，…共有42种．P (ξ＝1)＝42C 39＝12.P (ξ＝0)＝1－112－12＝512.ξ的分布列是所以ξ的数学期望E (ξ)＝0×512＋1×12＋2×112＝23.18．(14分)(2011·重庆高考)某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区．设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．求该市的任4位申请人中：(1)恰有2人申请A 片区房源的概率；(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望．解：这是等可能性事件的概率计算问题．(1)解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A 片区房源的申请方式有C 24·22种，从而恰有2人申请A 片区房源的概率为C 24·2234＝827.解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验．记“申请A 片区房源”为事件A ，则P (A )＝13.从而，由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的概率计算公式知，恰有2人申请A 片区房源的概率为P 4(2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827. (2)ξ的所有可能值为1,2,3.又P (ξ＝1)＝334＝127，P (ξ＝2)＝C 23(C 12C 34＋C 24C 22)34＝1427(或P (ξ＝2)＝C 23(24－2)34＝1427)P (ξ＝3)＝C 13C 24C 1234＝49(或P (ξ＝3)＝C 24A 3334＝49)．综上知，ξ的分布列是：从而有E (ξ)＝1×127＋2×1427＋3×49＝6527.。

高中数学选修2-3 随机变量及其分布检测题附答案解析

第二章随机变量及其分布一、选择题1．从集合{1，2，3，4，5}中任取2个元素，取到偶数的个数为随机变量，则此随机变量的取值为()．A ．2，4B ．0，2C ．1，2D ．0，1，22．已知随机变量X 的分布列如下，则X 取负数的概率为()．A ．0.1B ．0.4C ．0.5D ．0.043．设随机变量X 等可能的取值1，2，3，…，n ，如果P (X ＜4)＝0.3，那么()．A ．n ＝3B ．n ＝4C ．n ＝9D ．n ＝104．已知随机变量X 服从两点分布，EX ＝0.7，则其成功概率为()．A ．0B ．1C ．0.3D ．0.75．在15件产品中，有7件为次品，现从中任意选10件，用X 表示这10件产品中的次品数，下列概率等于10156847C C C 的是()．A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)6．某地区干旱的概率为0.1，干旱且同时发生蝗灾的概率为0.01．若此地区现处于干旱中，则发生蝗灾的概率为()．A ．0.11B ．0.1C ．0.001D ．0.097．若X ～N (μ，σ2)，P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.7，则P (X ≤μ－σ)＝()．A ．0.15B ．0.3C ．0.35D ．0.658．A ，B ，C 三人射击一次击中目标概率分别为0.2、0.6、0.7，现让三人同时射击，恰有1人击中目标的概率为()．A ．0.392B ．0.608C ．0.084D ．0.0969．设随机变量X 服从分布B (n ，p )，且EX ＝1．6，DX ＝1.28，则()．A ．n ＝8，p ＝0.2B ．n ＝4，p ＝0.4C ．n ＝5，p ＝0.32D ．n ＝7，p ＝0.4510．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是()．A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.9728X －2－101P0.10.40.30.2二、填空题11．100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件．已知第1次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率是．12．设随机变量X 的概率分布是P (X ＝k )＝k5a ，a 为常数，k ＝1，2，3，则a ＝_________．13．若随机变量X 服从正态分布，正态曲线上最高点的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛π212 ，，则X 的平均值是_____，标准差是________．14．在10个球中有6个红球，4个白球，不放回的依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是__________．15．甲，乙两个工人在同样的条件下生产同一产品，日产量相等，每天出废品的情况如下表所列：工人甲乙废品数01230123概率0.40.30.20.10.30.50.2则______生产的产品质量好一些．16．某机床加工1个零件得到正品的概率是0.9．现连续加工4个，且各次加工的结果相互之间没有影响．有下列结论：①第3次加工得正品的概率是0.9；②恰好加工出3个正品的概率是0.93×0.1；③至少加工出1个正品的概率是1－0.14．其中正确结论的序号是(写出所有正确结论的序号)．三、解答题17．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛．设随机变量X 表示所选3人中女生的人数．(1)求X 的分布列；(2)求X 的数学期望；(3)求“所选3人中女生人数X ≤1”的概率．18．甲、乙两同学参加100m 跑步测试．已知他们跑步成绩相互间不受影响，能得到优秀的概率分别为0.8和0.9，求：(1)2人都得到优秀成绩的概率；(2)有且仅有1人优秀的概率；(3)至多有1人优秀的概率．19．抛掷一颗骰子两次，(1)设随机变量X ＝⎪⎩⎪⎨⎧求X 的分布列、均值和方差；(2)在第一次掷得的点数是偶数的条件下，求第二次掷得的点数也是偶数的概率．20．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为21，乙每次击中目标的概率为32，(1)记甲击中目标的次数为X ，求X 的概率分布及EX ；(2)求乙恰好击中目标2次的概率；(3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．0，两次得到的点数不同，1，两次得到的点数相同，参考答案一、选择题1．D解析：可以不取偶数，在1，3，5中任取两个；也可以在偶数2，4中任取一个，再在1，3，5中任取一个；还可以取偶数2，4．所以取到偶数的个数是0个、1个或2个．故选D ．2．C解析：0.1＋0.4＝0.5．故选C ．3．D解析：由“等可能”知X 取每一个值的概率都为0.1．故选D ．4．D解析：EX ＝0×(1－p )＋1×p ＝0.7，所以p ＝0.7．故选D ．5．C解析：概率算式表示的事件为：选中4件次品，6件正品．故选C ．6．B解析：记干旱、蝗灾的事件为A ，B ，P (B |A )＝)()(A P AB P ＝10010..＝0.1．故选B ．7．A解析：P (X ≤μ－σ或X ＞μ＋σ)＝1－0.7，由正态曲线对称性，P (X ≤μ－σ)＝0.15．故选A ．8．A解析：P ＝P (C B A )＋P (C B A )＋P (C B A )＝0.2·0.4·0.3＋0.8·0.6·0.3＋0.8·0.4·0.7＝0.392．故选A ．9．A解析：⎪⎩⎪⎨⎧ 1.28＝－11.6)(p np np ＝⇒⎪⎩⎪⎨⎧0.2＝8p n ＝．故选A ．10．D解析：P ＝04C 0.200.84＋14C 0.210.83＋24C 0.220.82＝0.9728．故选D ．二、填空题11．9995．解析：剩下99中有95件正品，故第2次抽出正品的概率是9995．12．12531．解析：由a 51＋a 52＋a 53＝1得a ＝12531．13．2；1．解析：正态曲线上最高点的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛π21σμ ，，故μ＝2，σ＝1．14．59．解析：设第1次摸出红球为事件A ，第2次摸出红球为事件B ，P (B |A )＝)()(A n AB n ＝3054＝59．15．乙．解析：E (甲)＝1＞E (乙)＝0.9，故乙生产的产品质量好一些．16．①③．解析：由于各次加工的结果相互之间没有影响，所以①正确；恰好加工出3个正品的概率＝34C 0.93×0.1，所以②错误；至少加工出1个正品的对立事件是加工出4个零件全是次品，所以③正确．故正确结论的序号是①③．三、解答题17．(1)P (X ＝0)＝3634C C ＝0.2，P (X ＝1)＝361224C C C ＝0.6，P (X ＝2)＝362214C C C ＝0.2，∴X 分布列为:(2)EX ＝0×0.2＋1×0.6＋2×0.2＝1．(3)“所选3人中女生人数X ≤1”的概率为P (X ≤1)＝0.2＋0.6＝0.8．18．(1)解：记“甲测试优秀”为事件A ，“乙测试优秀”为事件B ，2人都优秀的概率为：P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.9＝0.72．X012P0.20.60.2(2)有且仅有1人优秀的概率为：P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26．(3)解法一：“至多有1人优秀”包括“有1人优秀”和“2人都不优秀”，故所求概率为P ＝P (A ·B )＋P (A ·B )＋P (A ·B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28．解法二：“至多有1人优秀”的对立事件是“2人都优秀”，所求概率为P ＝1－P (A ·B )＝1－P (A )·P (B )＝1－0.72＝0.28．19．解：(1)两次得到的点数相同时，有6种情况，故P (X ＝1)＝61＝366，由互斥事件概率公式得，P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝65，所以所求分布列是EX ＝1×61＋0×65＝61，DX ＝61261－1⎪⎭⎫ ⎝⎛＋65261－0⎪⎭⎫ ⎝⎛＝365．(2)设第一次掷得点数是偶数的事件为A ，第二次掷得点数是偶数的事件为B ，所求概率为P (B |A )＝)()(A P AB P ＝)()(A n AB n ＝189＝21或P (B |A )＝)()(A P AB P ＝3618369＝21．20．解：(1)X ～B ⎪⎭⎫ ⎝⎛213 ，，X 的分布列为X 0123P18383818E (X )＝0×81＋1×83＋2×83＋3×81＝1.5或E (X )＝3×21＝1.5．(2)乙恰好击中目标2次的概率为94＝3132C 223⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛．X 10P1656(3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A ，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B ，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件C ，则：P (A )＝P (B )＋P (C )＝92 81＋271 83··＝241．。

新课标A版高中数学选修2-3练习：第二章随机变量及其分布 2-2-3 Word版含答案

课后巩固1．若ξ～B (10，12)，则P (ξ≥2)＝( )A.111 024B.501512 C.1 0131 024D.507512答案 C解析由ξ～B (10，12)可知，P (ξ≥2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)＝1－C 010(12)10－C 110(12)10＝1 0131 024. 2．有5粒种子，每粒种子发芽的概率均为98%，在这5粒种子中恰有4粒发芽的概率是( )A ．0.984×0.02 B．0.98×0.24C ．C 45×0.984×0.02 D．C 45×0.98×0.024答案 C解析由于5粒种子，其发芽是相互独立的，每粒种子相当于一次试验，共做了5次试验，故所求概率为P ＝C 45(0.98)4×0.02.3．将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的概率，那么k 的值等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析事件A ＝“正面向上”发生的次数ξ～B (5，12)，由题设C k 5(12)5＝C k ＋15·(12)5，∴k＋k ＋1＝5，∴k ＝2.4．一名同学通过某种外语听力测试的概率为13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是________．答案 49解析 P ＝C 13(13)1(1－13)2＝49.5．一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)设ξ为这名学生在途中遇到的红灯次数，求ξ的分布列； (2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．思路正确求得变量取各值的概率是解题的关键，找出(1)、(3)问中概率的区别与联系．解析 (1)将遇到每个交通岗看做一次试验，遇到红灯的概率都是13，且每次试验结果相互独立，故ξ～B (6，13)．所以ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k6·(13)k ·(23)6－k (k ＝0,1,2，…，6)．(2)η＝k (k ＝0,1,2，…，5)表示前k 个路口没有遇上红灯，但在第k ＋1个路口遇上红灯，其概率为P (η＝k )＝(23)k ·13，η＝6表示一路没有遇上红灯，故其概率为P (η＝6)＝(23)6.所以η的分布列为(3)所求概率即P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0)＝1－(3)6＝729.。

选修2-3：第二章随机变量及其分布单元测试题

选修2-3 第二章随机变量及其分布列一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．已知随机变量ξ的概率分布列如下：则P (ξ＝A.239 B.2310 C.139 D.1310 2．某产品40件，其中有次品数3件，现从中任取2件，则其中至少有一件次品的概率是( )A ．0.146 2B ．0.153 8C ．0.996 2D ．0.853 8 3．已知离散型随机变量ξ的概率分布如下：则其数学期望E (ξ)等于( )A ．1B ．0.6C ．2＋3mD ．2.4 4．已知随机变量X 服从二项分布X ～B (6，13)，则P (X ＝2)等于( )A.1316B.4243C.13243D.80243 5．投掷3枚硬币，至少有一枚出现正面的概率是( )A.38B.12C.58D.786．在比赛中，如果运动员A 胜运动员B 的概率是23，那么在五次比赛中运动员A 恰有三次获胜的概率是( )A.40243B.80243C.110243D.202437．如果随机变量ξ表示抛掷一个各面分别有1,2,3,4,5,6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量ξ的均值为( )A ．2.5B ．3C ．3.5D ．4 8.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口3出来，那么你取胜的概率为( )A.516B.532C.16 D ．以上都不对 9．已知离散型随机变量ξ的分布列为ξ 10 20 30 P0.6a14－a 2则D (3ξ－3)等于( )A ．42B ．135C ．402D ．405 10．设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，P (ξ>1)＝p ，则P (－1<ξ<0)等于( )A.12p B ．1－p C ．1－2p D.12－p 11．一个电路如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 为6个开关，其闭合的概率为12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.164B.5564C.18D.116 12．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是( )A.A1B．A2 C．A3D．A4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设随机变量ξ只能取5,6,7，…，14这10个值，且取每一个值的概率均相等，则P(ξ≥10)＝______；P(6<ξ≤14)＝________.14．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________．15．如果随机变量ξ服从N(μ，σ)，且E(ξ)＝3，D(ξ)＝1，那么μ＝________，σ＝________.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)一个口袋中有5个同样大小的球，编号为3,4,5,6,7，从中同时取出3个小球，以ξ表示取出的球的最小号码，求ξ的分布列．18.(12分)某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的“我看中国改革开放三十年”演讲比赛活动．(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．19．(12分)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.(1)记甲击中目标的次数为X ，求X 的概率分布列及数学期望E (X )； (2)求乙至多击中目标2次的概率； (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．20．(12分)老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．21．(12分)甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员射击的环数X 稳定在7,8,9,10环．他们的这次成绩画成频率分布直方图如下图所示：(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P (X 乙＝8)，并求甲、乙同时击中9环以上(包括9环)的概率；(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高．22．(2012·陕西)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X 的分布列及数学期望．第二章随机变量及其分布列1.答案 C解析 P (ξ＝10)＝1－P (ξ＝1)－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)－…－P (ξ＝9)＝1－23－232－…－239＝139.2.答案 A解析所求的概率为1－C 237C 240＝1－37×3640×39＝0.146 2.3.答案 D解析 ∵0.5＋m ＋0.2＝1，∴m ＝0.3. ∴E (ξ)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4. 4.答案 D解析 P (X ＝2)＝C 26·(23)4·(13)2＝80243. 5.答案 D解析 P (至少有一枚正面)＝1－P (三枚均为反面)＝1－(12)3＝78.6.答案 B解析所求概率为C 35(23)3×(1－23)2＝80243. 7.答案 C解析 P (ξ＝k )＝16(k ＝1,2,3，…，6)，∴E (ξ)＝1×16＋2×16＋…＋6×16＝16(1＋2＋ (6)＝16×[6×(1＋6)2]＝3.5. 8.答案 A解析由于珠子在每个叉口处有“向左”和“向右”两种走法，因而基本事件个数为25.而从出口出来的每条线路中有2个“向右”和3个“向左”，即共C 25条路线，故所求的概率为C 2525＝516. 9.答案 D 10.答案 D解析由于随机变量服从正态分布N (0,1)，由标准正态分布图像可得P (－1<ξ<1)＝1－2P (ξ>1)＝1－2p . 故P (－1<ξ<0)＝12P (－1<ξ<1)＝12－p .11.答案 B解析设A 与B 中至少有一个不闭合的事件为T ，E 与F 至少有一个不闭合的事件为R ，则P (T )＝P (R )＝1－12×12＝34，所以灯亮的概率为P ＝1－P (T )·P (R )·P (C )·P (D )＝5564.12.答案 C 13.答案 25，45解析由题意P (ξ＝k )＝110(k ＝5,6，…，14)，P (ξ≥10)＝4×110＝55.P (6<ξ≤14)＝8×110＝45.14.答案 0.8解析 P (敌机被击中)＝1－P (甲未击中敌机)P (乙未击中敌机)＝1－(1－0.6)(1－0.5)＝1－0.2＝0.8. 15.答案 3,1解析 ∵ξ～N (μ，σ)，∴E (ξ)＝μ＝3，D (ξ)＝σ2＝1，∴σ＝1. 16.答案 0.128解析此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.17.解析 ξ的取值分别为3,4,5，P (ξ＝5)＝C 22C 35＝110，P (ξ＝4)＝C 23C 35＝310，P (ξ＝3)＝C 24C 35＝35，所以ξ的分布列为18.解析 (1)ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意得P (ξ＝0)＝C 4C 36＝15，P (ξ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝2)＝C 14C 22C 36＝15. ∴ξ的分布列为(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C ，则P (C )＝C 34C 36＝420＝15.∴所求概率为P (C )＝1－P (C)＝1－15＝45.(3)P (B )＝C 25C 36＝1020＝12；P (B |A )＝C 14C 25＝410＝25.19.解析 (1)X 的概率分布列为E (X )＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝1.5或E (X )＝3×12＝1.5.(2)乙至多击中目标2次的概率为1－C 33(23)3＝1927. (3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A ，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B 1，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2，B 1、B 2为互斥事件，P (A )＝P (B 1)＋P (B 2)＝38×127＋18×29＝124.20.解析 (1)设抽到他能背诵的课文的数量为X ，则X 为离散型随机变量，且X 服从超几何分布，它的可能取值为0,1,2,3，当X ＝0时，P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，当X ＝1时，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，当X ＝2时，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，当X ＝3时，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16，则可得X 的分布列为(2)他能及格的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝12＋16＝23.21.解析 (1)由图可知：P (X 乙＝7)＝0.2，P (X 乙＝9)＝0.2， P (X 乙＝10)＝0.35.所以P (X 乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25. 同理P (X 甲＝7)＝0.2，P (X 甲＝8)＝0.15， P (X 甲＝9)＝0.3.所以P (X 甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35. 因为P (X 甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65， P (X 乙≥9)＝0.2＋0.35＝0.55.所以甲、乙同时击中9环以上(包含9环)的概率为 P ＝P (X 甲≥9)·P (X 乙≥9)＝0.65×0.55＝0.357 5.(2)因为E (X 甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8， E (X 乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7， E (X 甲)>E (X 乙)，所以估计甲的水平更高．22.解析设Y 表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y 的分布列如下：(1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A 对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)方法一X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y>1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01.所以X的分布列为：E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.方法二X的所有可能取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝0.49.所以X的分布列为：E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.。

高中数学选修2-3 第二章随机变量及其分布章末检测题

高中数学选修2-3第二章随机变量及其分布章末检测题（满分150分，时间120分钟）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列表格可以作为ξ的分布列的是( )【解析】根据分布列的性质各概率之和等于1，易知D 正确．【答案】D2．某同学通过计算机测试的概率为13，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为( )A.49B.29C.427D.227【解析】213124339P C ⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】A3．某射手射击所得的环数X 的分布列如下：如果命中8～10环为优秀，则该射手射击一次为优秀的概率是( ) A ．0.3 B ．0.4 C ．0.5D ．0.6【解析】从分布列中不难看出该射手命中环数不小于8环的概率是0.3＋0.25＋0.05＝0.6.【答案】D4．某镇互不认识的甲、乙两个体老板准备在同一天在同一车站乘车进城进货，甲乘座第一班车的概率为0.7，乙乘座第一班车的概率为0.8，则其中至少有一人乘座第一班车的概率为( )A ．0.06B ．0.15C ．0.56D ．0.94【解析】P ＝1－0.3×0.2＝0.94. 【答案】D5．已知随机变量ξ的分布列为：又变量η＝4ξ＋3，则η的期望是( ) A.72 B.52 C ．－1D ．1【解析】E (ξ)＝－1×12＋0×18＋1×38＝－18E (η)＝4E (ξ)＋3＝4×18⎛⎫- ⎪⎝⎭＋3＝52.【答案】B6．设X 是随机变量，且D (10X )＝90，则D (X )等于( ) A ．0.9 B ．9 C ．90D ．900 【解析】D (10X )＝100D (X )，∴90＝100D (X )，则D (X )＝0.9. 【答案】A7．若随机变量ξ的分布列为，其中m ∈(0,1)，则下列结果中正确的是( ) A ．E (ξ)＝m ，D (ξ)＝n 3 B ．E (ξ)＝n ，D (ξ)＝n 2 C ．E (ξ)＝1－m ，D (ξ)＝m －m 2 D ．E (ξ)＝1－m ，D (ξ)＝m 2 【解析】∵m ＋n ＝1，∴E (ξ)＝n ＝1－m ，D (ξ)＝m (0－n )2＋n (1－n )2＝m －m 2. 【答案】C8．已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X ～N (110,52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为( )A ．(90,100]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115]【解析】∵X ～N (110,52)， ∴μ＝110，σ＝5，∴5760＝0.95≈P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝P (100＜X ≤120)．【答案】C9．已知离散型随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，若P (1≤X ≤3)＝15，则n 的值为( )A ．3B ．5C ．10D ．15 【解析】由已知X 的分布列为P (X ＝k )＝1n ，k ＝1,2,3，…，n ，∴P (1≤X ≤3)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n ＝15，∴n ＝15.【答案】D10．已知某产品的次品率为0.04，现要抽取这种产品进行检验，则要使检查到次品的概率达到95%以上，至少要选的产品个数为( )A ．24B ．25C ．74D ．75【解析】由题意得1－(1－0.04)n ≥0.95，解得n ≥74. 【答案】C11．把10个骰子全部投出，设出现6点的骰子的个数为X ，则P (X ≤2)＝( )A ．C 210216⎛⎫⎪⎝⎭×856⎛⎫⎪⎝⎭B ．C 11016⎛⎫⎪⎝⎭×956⎛⎫ ⎪⎝⎭＋1056⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．C 11016⎛⎫⎪⎝⎭×956⎛⎫ ⎪⎝⎭＋C 210216⎛⎫⎪⎝⎭×856⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．以上都不对【解析】P (X ≤2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 010016⎛⎫ ⎪⎝⎭×1056⎛⎫ ⎪⎝⎭＋C 11016⎛⎫ ⎪⎝⎭×956⎛⎫ ⎪⎝⎭＋C 210216⎛⎫ ⎪⎝⎭×856⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【答案】D12．有10件产品，其中2件次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是( )A.145B.110C.19D.25【解析】记“第一次抽到次品”为事件A ，第二次抽到次品为事件B .P (A )＝C 12C 19C 110C 19＝15，P (AB )＝C 12C 11C 110C 19＝145 ，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝19.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确的答案填在题中的横线上)13．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p ，若此人未能通过的科目数ξ的均值是2，则p ＝________.【解析】因为通过各科考试的概率为p ，所以不能通过考试的概率为1－p ，易知ξ～B (6,1－p )，所以E (ξ)＝6(1－p )＝2.解得p ＝23.【答案】2314．设A ，B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12，则事件A 发生的概率为________．【解析】P (B |A )＝P (AB )P (A ) ，∴P (A )＝P (AB )P (B |A )＝31012＝35.【答案】3515．中国乒乓球队可谓高手如云，在某届世乒乓赛中，有3名世界排名前10位的运动员，据专家分析每位运动员进入前四名的概率为45，那么这三名运动员恰有2名进入前4名的概率是________．【解析】P ＝C 23245⎛⎫⋅⎪⎝⎭15＝48125. 【答案】4812516．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.【解析】由题意得：p ＝12，P (X ＝0)＝13×(1－p )2＝112，P (X ＝1)＝13×12×12×2＋23×12×12＝13，P (X ＝2)＝13×12×12＋23×12×12×2＝512，P (X ＝3)＝23×12×12＝16，∴ E (X )＝13×1＋512×2＋16×3＝53.【答案】53三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； (2)求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．【解析】记A i 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； B i 表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；C 表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先． (1)B ＝A 0·A ＋A 1·A ，P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16，P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48， P (B )＝P (A 0·A ＋A 1·A )＝P (A 0·A )＋P (A 1·A )＝P (A 0)P (A )＋P (A 1)P (A )＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4) ＝0.352.(2)P (B 0)＝0.62＝0.36，P (B 1)＝2×0.4×0.6＝0.48， P (B 2)＝0.42＝0.16，P (A 2)＝0.62＝0.36. C ＝A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2 P (C )＝P (A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2) ＝P (A 1·B 2)＋P (A 2·B 1)＋P (A 2·B 2) ＝P (A 1)P (B 2)＋P (A 2)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2)＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16＝0.307 2.18．(本小题满分12分)设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求随机变量X 的期望E (X )与方差D (X ).【解析】由0.5＋2a ＋3a ＝1，得a ＝0.1，故X 的分布列为：∴E (X )＝－1×0.5＋0×0.2＋1×0.3＝－0.2.D (X )＝(－1＋0.2)2×0.5＋(0＋0.2)2×0.2＋(1＋0.2)2×0.3＝0.76.19．(本小题满分12分)袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．(1)若直到取到新球为止，求抽取次数X 的概率分布列及其均值；(2)若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X 的均值．【解析】(1)X 的可能取值为1、2、3，P (X ＝1)＝35，P (X ＝2)＝2×35×4＝310，P (X ＝3)＝2×1×35×4×3＝110，故抽取次数X 的分布列为：E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.(2)每次检验取到新球的概率均为35，故X ～B 35,5⎛⎫⎪⎝⎭，∴E (X )＝5×35＝3.20．(本小题满分12分)已知随机变量X 的正态曲线如下图所示，(1)求E (2X －1)，D 14X ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)试求随机变量X 在(110,130]范围内取值的概率．【解析】由正态曲线知，随机变量X 的均值为120，标准差为5，即μ＝120，σ＝5. 因此E (2X －1)＝2E (X )－1＝239， D 14X ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝116D (X )＝2516.(2)由于μ＝120，σ＝5，μ－2σ＝110，μ＋2σ＝130，且随机变量在(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，所以随机变量X 在(110,130]范围内取值的概率是0.954 4.21．(本小题满分13分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x ，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．(注：将频率视为概率)【解析】(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P (X ＝1)＝15100＝320，P (X ＝1.5)＝30100＝310，P (X ＝2)＝25100＝14，P (X ＝2.5)＝20100＝15，P (X ＝3)＝10100＝110.X 的分布列为：X 的数学期望为：E (X )＝1×320＋1.5×310＋2×14＋2.5×15＋3×110＝1.9.(2)记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”， X i (i ＝1,2)为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则P (A )＝P (X 1＝1且X 2＝1)＋P (X 1＝1且X 2＝1.5)＋P (X 1＝1.5且X 2＝1)．由于各顾客的结算相互独立，且X 1，X 2的分布列都与X 的分布列相同，所以 P (A )＝P (X 1＝1)×P (X 2＝1)＋P (X 1＝1)×P (X 2＝1.5)＋P (X 1＝1.5)×P (X 2＝1) ＝320×320＋320×310＋310×320＝980. 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980. 22．(本小题满分13分)某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的义务劳动．(1)设所选3人中女生人数为X ，求X 的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求P (B )和P (B |A )．【解析】(1)X 的所有可能取值为0,1,2，依题意得P (X ＝0)＝C 34C 36＝15，P (X ＝1)＝C 24C 12C 36＝35 ，P (X ＝2)＝C 14C 22C 36＝15.∴X 的分布列为：(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C ，则P (C )＝C 34C 36＝15；∴所求概率为P (C )＝1－P (C )＝1－15＝45.(3)P (B )＝C 25C 36＝1020＝12；P (B |A )＝P (AB )P (A )＝C 14C 36C 25C 36＝25.。

人教版高中数学选修2-3第二章随机变量及其分布单元测试(一)- Word版含答案

2018-2019学年选修2-3第二章训练卷随机变量及其分布（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则()3P ξ==（） A ．22313C 44⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭B ．22331C 44⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ C ．21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭D ．23144⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭2．某产品40件，其中有次品数3件，现从中任取2件，则其中至少有一件次品的概率是（） A ．0.1462B ．0.1538C ．0.9962D ．0.85383．已知某离散型随机变量X 服从的分布列如图，则随机变量X 的方差D(X)等于（）A ．19B ．29C ．13D ．234．设随机变量ξ等可能取值1、2、3、…、n ，如果P(ξ<4)＝0.3，那么n 的值为（） A ．3 B ．4C ．9D ．105．有编号分别为1、2、3、4、5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为（） A ．521B ．27C ．13D ．8216．在比赛中，如果运动员A 胜运动员B 的概率是23，那么在五次比赛中运动员A恰有三次获胜的概率是（） A ．40243B ．80243C ．110243D ．202437．如果随机变量ξ表示抛掷一个各面分别有1，2，3，4，5，6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量ξ的均值为（） A ．2.5B ．3C ．3.5D ．48．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是（） A ．512B ．12C ．712D ．349．设随机变量ξ的概率分布列为()()()110,1kk P k p p k ξ--===，则E(ξ)和D(ξ)的值分别是（） A ．0和1B ．p 和p 2C ．p 和1－pD ．p 和(1－p)p10．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5，则恰有一人击中敌机的概率为（） A ．0.9B ．0.2C ．0.7D ．0.511．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为（）A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多2只是坏的12．一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R 的函数：()1f x x =，()22f x x =，()33f x x =，()4sin f x x =，()5cos f x x =，()62f x =．现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数ξ的数学期望为（） A ．74B ．7720C ．34D ．73此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上）13．随机变量ξ的取值为0，1，2，若P(ξ＝0)＝15，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________．14．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)． ①P(B)＝25；②P(B|A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．15．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数字0，两个面上标以数字1，一个面上标以数字2．将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是_______．16．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E(ξ)＝________(结果用最简分数表示)．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（12分）某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为34，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X 的分布列．18．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35，现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立．（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．19．（12分）端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．（1）求三种粽子各取到1个的概率；（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．20．（12分）甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A、B、C三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．（1）求甲、乙两人都被分到A社区的概率；（2）求甲、乙两人不在同一个社区的概率；（3）设随机变量ξ为四名同学中到A社区的人数，求ξ的分布列和E(ξ)的值．21．（12分）有红、黄、蓝、白4种颜色的小球，每种小球数量不限且它们除颜色不同外，其余完全相同，将小球放入编号为1，2，3，4，5的盒子中，每个盒子只放一只小球．（1）放置小球满足：“对任意的正整数j(1≤j≤5)，至少存在另一个正整数k(1≤k≤5，且j≠k)使得j号盒子与k号盒子中所放小球的颜色相同”的概率；（2）记X为5个盒子中颜色相同小球个数的最大值，求X的概率分布和数学期望E(X)．22．（14分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．2018-2019学年选修2-3第二章训练卷随机变量及其分布（一）答案一、选择题． 1．【答案】C【解析】ξ＝3表示前2次测到的为次品，第3次测到的为正品，故()234431P ξ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭=．故选C ．2．【答案】A【解析】237240C 10.1462C P =-=．故选A ．3．【答案】B【解析】由m ＋2m ＝1得，m ＝13，∴E(X)＝0×13＋1×23＝23，()22122202133393D X ⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，故选B ．4．【答案】D【解析】∵P(ξ<4)＝3n ＝0.3，∴n ＝10．故选D ．5．【答案】D【解析】从10个球中任取4个，有410C 210=种取法，取出的编号互不相同的取法有445C 280⋅=种，∴所求概率P ＝80210＝821．故选D ． 6．【答案】B 【解析】32352280C 133243P ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故选B ． 7．【答案】C【解析】∵p( ξ＝k)＝16(k ＝1，2，…，6)．∴()()12616 3.5E ξ++=⋯+=．故选C ．8．【答案】C【解析】由题意P(A)＝12，P(B)＝16，事件A 、B 中至少有一个发生的概率P ＝1－12×56＝712．9．【答案】D【解析】这是一个两点分布，分布列为∴E(ξ)＝p ，D(ξ)＝p(1－p)10．【答案】D【解析】设事件A 、B 分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，事件恰有一人击中敌机的概率为()()()()()()()110.5P AB AB P A P B P A P B +=⋅-+-⋅=．故选D ．11．【答案】C【解析】ξ＝k 表示取出的螺丝钉恰有k 只为好的，则()473410C C C 4)2(13k kP k k ξ-===、、、， ∴P(ξ＝1)＝130，P(ξ＝2)＝310，P(ξ＝3)＝12，P(ξ＝4)＝16．故选C ．12．【答案】A【解析】由于()2f x ，()5f x ，()6f x 为偶函数，()1f x ，()3f x ，()4f x 为奇函数， ∴随机变量ξ可取1，2，3，4．()131621C 1C P ξ===，()11331165C C 3C 2C 10P ξ===，()111323111654C C C 3C C C 203P ξ===，()1111321311116543C C C C 1C C C 24C 0P ξ===．∴ξ的分布列为E(ξ)＝1×12＋2×310＋3×320＋4×120＝74．二、填空题． 13．【答案】25【解析】本题考查期望，方差的求法．设ξ＝1概率为P ．则E(ξ)＝0×15＋1×P ＋2(1－P －15)＝1，∴P ＝35．故D(ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)×35＋(2－1)2×15＝25．14．【答案】②④【解析】由条件概率知②正确．④显然正确．而且P(B)＝P(B∩(A 1∪A 2∪A 3))＝P(B∩A 1)＋P(B∩A 2)＋P(B∩A 3) ＝P(A 1)·P(B|A 1)＋P(A 2)P(B|A 2)＋P(A 3)P(B|A 3) ＝510·511＋210·411＋310·411＝922．故①③⑤不正确． 15．【答案】49【解析】设ξ表示向上的数之积，则P(ξ＝1)＝13×13＝19，P(ξ＝2)＝12C ×13×16＝19， P(ξ＝4)＝16×16＝136，P(ξ＝0)＝34．∴Eξ＝1×19＋2×19＋4×136＝49．16．【答案】47【解析】由题意，ξ的可能取值为0，1，2，则()2527C 10C 210P ξ===，()115227C C 10C 121P ξ===，()2227C 1C 221P ξ===． ∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望E(ξ)＝0×1021＋1×1021＋2×121＝1221＝47．三、解答题． 17．【答案】见解析．【解析】由题意知，用X 表示成功的人数，则X 服从n ＝3，p ＝34的二项分布，于是有()3333C 144kkk P X k -⎛⎫⎛⎫=⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=，0,1,2,3k =．∴X 的分布列为18．【答案】（1）1315；（2）分布列见解析，140．【解析】（1）设至少有一组研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件，则事件B 为一种新产品都没有成功，因为甲，乙成功的概率分别为23，35．则P(B)＝(1－23)×(1－35)＝13×25＝215，再根据对立事件概率之间的公式可得P(A)＝1－P(B)＝1315， ∴至少一种产品研发成功的概率为1315．（2）由题可设该企业可获得利润为ξ，则ξ的取值有0，120＋0，100＋0，120＋100，即ξ＝0，120，100，220，由独立试验的概率计算公式可得： P(ξ＝0)＝(1－23)×(1－35)＝215；P(ξ＝120)＝23×(1－35)＝415；P (ξ＝100)＝(1－23)×35＝15；P(ξ＝220)＝23×35＝25；∴ξ的分布列如下：则数学期望E(ξ)＝0×215＋120×415＋100×15＋220×25＝32＋20＋88＝140．19．【答案】（1）14；（2）分布列见解析，35．【解析】（1）令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式有()111235310C C C 1C 4P A ==．（2）X 的可能取值为0，1，2，且()38310C 70C 15P X ===，()1228310C C 71C 15P X ===，()2128310C C 12C 15P X ===；综上知，X 的分布列为：故E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个)20．【答案】（1）118；（2）56；（3）分布列见解析，43．【解析】（1）记甲、乙两人同时到A 社区为事件M ，那么()232343A 1C A 18P M ==，即甲、乙两人同时分到A 社区的概率是118．（2）记甲、乙两人在同一社区为事件E ，那么()332343A 1C A 6P E ==，∴甲、乙两人不在同一社区的概率是()()516P E P E =-=．（3）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“ξ＝i(i ＝1，2)”是指有i 个同学到A 社区，则()22422343C A 1C 32A p ξ===．∴()()21312p pξξ-====， ξ的分布列是：∴E(ξ)＝1×23＋2×13＝43．21．【答案】（1）31256；（2）分布列见解析，635256．【解析】（1）4种颜色的球放置在5个不同的盒子中，共有45种放法，满足条件的发放分为两类：①每个盒子中颜色都相同，共有4种，②有2种颜色组成，共有22452C C 120⨯⨯=，所求的概率为54120314256P +==．（2）X 的可能的值为2，3，4，5．则()1321124542545C C C C C C 7541282P X +===，()132455C C 34541283P X ⋅===， ()1414535C C C 1544256P X ===，()54145526P X ===； ∴X 的概率分布列为：E(X)＝2×75128＋3×45128＋4×15256＋5×1256＝635256．22．【答案】（1）710；（2）分布列见解析，35．【解析】（1）记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}， B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意，A 1与A 2相互独立，A 1A 2与A 1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，21212B A A A A =+，C ＝B 1＋B 2．因P(A 1)＝410＝25，P(A 2)＝510＝12，∴P(B 1)＝P(A 1A 2)＝P(A 1)P(A 2)＝25×12＝15，()()()()()()()()()()212121212121211P B P A A A A P A A P A A P A P A P A P A =+=-++-=212111152522⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故所求概率为P(C)＝ P(B 1＋B 2)＝P(B 1)＋P(B 2)＝15＋12＝710．（2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，∴13,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭～．于是()03031464C 551025P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，()12131448C 551125P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=， ()21231412C 551225P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，()3033141C 551235P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=．故X 的分布列为X 的数学期望为E(X)＝3×15＝35．。

高中数学选修2-3综合测试题

高中数学选修2-3综合检测题（满分150分）一．单选题（共8小题）1．n ∈N *，则（20-n ）(21-n)……(100-n)等于（）A ．80100n A -B ．nn A --20100C ．81100n A - D ．8120n A -2．、随机变量ξ服从二项分布ξ～()p n B ,，且,200,300==ξξD E 则p 等于（）A.32B. 31C. 1D. 03．已知（1+x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，在a 0，a 1，a 2，…，a 6这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为（） A ．B ．C ．D ．4．现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，这样的排法有（） A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种5．某工厂周一到周六轮流由甲、乙、丙3人值班，每人值两天，3人通过抽签决定每个人在哪两天值班，若乙恰好本周六需要出差，则乙需要与他人换班的概率为（） A ．B ．C ．D ．6．奥运会乒乓球单打的淘汰赛采用七局四胜制，猜先后由一方先发球，双方轮流先发球，当一方赢得四局胜利时，该方获胜，比赛结束，现有甲、乙两人比赛，根据前期比赛成绩，单局甲先发球并取胜的概率为0.8，乙先发球并取胜的概率为0.4，且各局比赛的结果相互独立；如果第一局由乙先发球，则甲以4：0获胜的概率是（） A ．0.1024B ．0.2304C ．0.2048D ．0.46087．已知随机变量X 的分布列为，k ＝1，2，…10，则P （3≤X ≤4）＝（）A ．B ．C ．D ．8．PM 2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM 2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM 2.5日均值在35μg /m 3以下空气质量为一级，在35μg /m 3～75μg /m 3之间空气质量为二级，在75μg /m 3以上空气质量为超标．如图是某市2019年12月1日到10日PM 2.5日均值（单位：μg /m 3）的统计数据．若从这10天中随机抽取3天进行进一步的空气质量数据分析，则空气质量为一级的恰好抽取了2天的概率为（）A ．B ．C ．D ．二．多选题（共4小题）9．设命题1p ：42()x x +的展开式共有4项；命题2p ：42()x x+展开式中的常数项为24 命题3p ：42()x x +的展开式中各项的二项式系数之和为16 ; 命题p4：42()x x+的展开式各项的系数之和为81 .那么，下列命题中为真命题的是（） A. 1p B 2p C 3p D p410．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（） A ．B ．C ．事件B 与事件A 1相互独立D ．A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件11．关于（a ﹣b ）11的说法，正确的是（） A ．展开式中的二项式系数之和为2048B ．展开式中只有第6项的二项式系数最大C ．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D ．展开式中第6项的系数最小12．已知由样本数据点集合{（x i ，y i ）|i ＝1，2，…，n }，求得的回归直线方程为＝1.5x +0.5，且＝3，现发现两个数据点（1.2，2.2）和（4.8，7.8）误差较大，去除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，则（） A ．变量x 与y 具有正相关关系 B ．去除后的回归方程为＝1.2x +1.4 C ．去除后y 的估计值增加速度变快D ．去除后相应于样本点（2，3.75）的残差为0.05三．填空题（共4小题）13．若⎝⎛⎭⎫ax 2＋bx 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________ 14．若（ax ﹣1）（+x ）6的展开式中含x 3的系数为30，则a 的值为．15．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，“赵爽弦图”如图所示，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成，现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有种（用数字作答）．16．根据公共卫生传染病分析中心的研究，传染病爆发疫情期间，如果不采取任何措施，则会出现感染者基数猛增，重症挤兑，医疗资源负荷不堪承受的后果．如果采取公共卫生强制措施，则会导致峰值下降，峰期后移．如图，设不采取措施、采取措施情况下分别服从正态分布N （35，2），N （70，8），则峰期后移了天，峰值下降了 %（注：正态分布的峰值计算公式为）四．解答题（共6小题）17．(10分) 设⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＋133n 的展开式的第7项与倒数第7项的比是1∶6，求展开式中的第7项．18．（12分）已知二项式（ax+）n的第三项和第八项的二项式系数相等．（1）求n的值．（2）若展开式的常数项为84，求a．19．（12分）近年来，国家相关政策大力鼓励创新创业种植业户小李便是受益者之一，自从2017年毕业以来，其通过自主创业而种植的某种农产品广受市场青睐，他的种植基地也相应地新增加了一个平时小李便带着部分员工往返于新旧基地之间进行科学管理和经验交流，新旧基地之间开车单程所需时间为i，由于不同时间段车流量的影响，现对50名员工往返新旧基地之间的用时情况进行统计，结果如表：t（分钟）3035404550频数（人）10201055（1）若有50名员工参与调查，现从单程时间在35分钟，40分钟，45分钟的人员中按分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取3人进行座谈，用X表示抽取的3人中时间在40分钟的人数，求X的分布列和数学期望；（2）某天，小李需要从旧基地驾车赶往新基地召开一个20分钟的紧急会议，结束后立即返回旧基地．（以50名员工往返新旧基地之间的用时的频率作为用时发生的概率）①求小李从离开旧基地到返回旧基地共用时间不超过110分钟的概率；②若用随机抽样的方法从旧基地抽取8名骨干员工陪同小李前往新基地参加此次会议，其中有Y名员工从离开旧基地到返回旧基地共用时间不超过110分钟，求随机变量Y的方差．20．（12分）为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典，用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目．工作人员在前期的数据采集中，在某高中学校随机抽取了120名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例为3：2，而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是7：5，女生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是5：3．（1）填写下面列联表，并根据联表判断是否有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系？男生女生总计喜欢阅读中国古典文学不喜欢阅读中国古典文学总计（2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的的学生进行中国古典文学阅读交流．实验人员已经从所调查的120人中筛选出4名男生和3名女生共7人作为代表，这7个代表中有2名男生代表和2名女生代表喜欢中国古典文学．现从这7名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加座谈会，记ξ为参加会议的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．附表及公式：．P（K2＞k0）0.050.0250.0100.0050.001 k0 3.841 5.024 6.6357.87910.82821．（12分）某果园种植“糖心苹果”已有十余年，根据其种植规模与以往的种植经验，产自该果园的单个“糖心苹果”的果径（最大横切面直径，单位：mm）在正常环境下服从正态分布N（68，36）．（1）一顾客购买了20个该果园的“糖心苹果”，求会买到果径小于56mm的概率；（2）为了提高利润，该果园每年投入﹣定的资金，对种植、采摘、包装、宜传等环节进行改进．如图是2009年至2018年，该果园每年的投资金额x（单位：万元）与年利润增量y（单位：万元）的散点图：该果园为了预测2019年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了y关于x的两个回归模型；模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：＝2.50x﹣2.50；模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：y＝blnx+a的附近，对投资金额x做交换，令t＝lnx，则y＝b•t+a，且有，（I）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程；（II）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）．回归模型模型①模型②回归方程＝2.50x﹣2.50＝blnx+a102.2836.19附：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）＝0.9974；样本（t i，y i）（i＝1，2，…，n）的最小乘估计公式为＝，＝﹣；相关指数R2＝1﹣．参考数据：0.977220≈0.6305，0.998720≈0.9743，ln2≈0.6931，ln5≈1.6094．22．（12分）某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率．（1）估计这100人体重数据的平均值μ和样本方差σ2（结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55，65）的人数，求X的分布列和数学期望；（3）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重Y近似服从正态分布N（μ，σ2）．若P（μ﹣2σ≤Y＜μ+2σ）＞0.9544，则认为该校学生的体重是正常的．试判断该校学生的体重是否正常？并说明理由．。

数学选修2-3离散型随机变量及其分布列练习题含答案

数学选修2-3离散型随机变量及其分布列练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 1. 已知离散型随机变量X的分布列如右表，则常数q的值为（）A.−1B.1C.13D.122. (1)某机场候机室中一天的游客数量为ξ；(2)某寻呼台一天内收到的寻呼次数为ξ；(3)某水文站观察到一天中长江水位为ξ；(4)某立交桥一天经过的车辆数为ξ，则（）不是离散型随机变量．A.(1)中的ξB.(2)中的ξC.(3)中的ξD.(4)中的ξ3.设随机变量X的概率分布列如下：则P(X<4)=( )A.0.15B.0.3C.0.65D.0.54. 已知随机变量X的分布列如图，则p的值为（）A.1 4B.12C.34D.15. 随机变量X的分布列如下，则m等于（）A.1 3B.12C.16D.146. 设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=m(23)k，k=1，2，3，则m的值是（）A.17 36B.2738C.1719D.27197. 随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=ck(1+k)，k=1，2，3，其中c为常数，则P(ξ≥2)等于（）A.89B.23C.13D.298. 一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球，从中任意摸出两个球，用0表示两个球都是白球，用1表示两个球不全是白球，则满足条件X的分布列为．A.B.C.9. 已知随机变量X的概率分布列如表所示：且X的数学期望EX=6，则（）A.a=0.3，b=0.2B.a=0.2，b=0.3C.a=0.4，b=0.1D.a=0.1，b=0.410. 已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(x)=()A.3 2B.2C.52D.311. 设随机变量X的概率分布列为则P(|X−3|=1)=()A.7 12B.512C.14D.1612. 备注：试题题型错误。

A.PB.13C.aD.b若E(X)=1，则E(aX+b)=13. 已知离散型随机变量X的分布列为14. 已知随机变量ξ的分布列为：则m=________．15.设离散型随机变量X的概率分布如下：则a的值为________．16. 已知随机变量X的分布列为：．17. 某市对该市小微企业资金短缺情况统计如下表：（1）试估计该市小微企业资金缺额的平均值；（2）某银行为更好的支持小微企业健康发展，从其第一批注资的A行业4家小微企业和B行业的3家小微企业中随机选取4家小微企业，进行跟踪调研．设选取的4家小微企业中是B行业的小微企业的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列．18. 某射手每次射击击中目标的概率是2，且各次射击的结果互不影响．3假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总分数，求ξ的分布列．19. 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）(1)求在1次游戏中：①摸出3个白球的概率;②获奖的概率;(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列．20. 某市9月份空气质量为：9天良、12天轻度污染、6天中度污染、3天重度污染．若9月份的重度污染都发生在一个星期内，且这个星期只有一天是轻度污染，其余三天空气质量好坏是随机的，求评级为良的天数X的分布列．21. 将4封不同的信随机地投入到3个信箱里，记有信的信箱个数为ξ，试求ξ的分布列．22. 某校对数学、物理两科进行学业水平考前辅导，辅导后进行测试，按照成绩（满分均为100分）划分为合格（成绩大于或等于70分）和不合格（成绩小于70分）．现随机抽取两科各100名学生的成绩统计如下：（1）试分别估计该校学生数学、物理合格的概率；（2）设数学合格一人可以赢得4小时机器人操作时间，不合格一人则减少1小时机器人操作时间；物理合格一人可以赢得5小时机器人操作时间，不合格一人则减少2小时机器人操作时间．在（1）的前提下，(I)记X为数学一人和物理一人共同赢得的机器人操作时间（单位：小时）总和，求随机变量X的分布列和数学期望；(II)随机抽取4名学生，求这四名学生物理考前辅导后进行测试所赢得的机器人操作时间不少于13小时的概率．参考答案与试题解析数学选修2-3离散型随机变量及其分布列练习题含答案一、选择题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分）1.【答案】D【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】利用概率的基本性质即可得出．【解答】解：由概率的规范性可得：12+q2+q2=1，化为2q2+q−1=0，又q≥0，解得q=12．故选D．2.【答案】C【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】根据离散型随机变量的定义：其可能取到的不相同的值是有限个或可列为有限个，分析题干的四个变量可得，(1)(2)(4)中的ξ，都可以一一列举，是离散型随机变量；(3)中的ξ，水文站观察到一天中长江水位即ξ的值是连续的，无法按一定次序一一列出，不符合定义，不是离散型随机变量；即可得答案．【解答】解：根据离散型随机变量的定义：其可能取到的不相同的值是有限个或可列为有限个，即可以按一定次序一一列出；分析题干的四个变量可得(1)中的ξ，符合定义，是离散型随机变量；(2)中的ξ，符合定义，是离散型随机变量；(3)中的ξ，水文站观察到一天中长江水位即ξ的值是连续的，无法按一定次序一一列出，不符合定义，不是离散型随机变量；(4)中的ξ，符合定义，是离散型随机变量；故选C．3.【答案】D【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知：P(X<4)=0.3+0.2=0.5.4.【答案】B【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】利用概率的性质，建立方程，即可求得p的值．【解答】解：由题意，14+p+14=1∴p=12故选B．5.【答案】D【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】由概率和为1，求解得m=14．6.【答案】B【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】先根据所给的随机变量ξ的分布列，写出各个变量对应的概率，然后根据分布列中各个概率之和是1，把所有的概率表示出来相加等于1，得到关于m的方程，解方程求得m 的值．【解答】解：∵随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=m(23)k，k=1，2，3∴P(ξ=1)=2m3，P(ξ=2)=4m9，P(ξ=3)=8m27，∵2m3+4m9+8m27=1，∴m=2738，故选B．7.【答案】C离散型随机变量及其分布列【解析】先根据分布列中所有的概率和为1求出参数c ，再判断出满足条件的ξ≥2的值，代入分布列求出值．【解答】解：根据分布列中所有的概率和为1，得c1×2+c2×3+c3×4=1，解得c =43∴ P(ξ=k)=431k(1+k)∴ P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=43(12×3+13×4)=13故选C ． 8.【答案】 A【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】先计算P(x =0)，即从7个球中任意摸出两个球，取到两个白球的概率，利用古典概型概率的计算方法，先求总的基本事件数，再求所研究事件包含的基本事件数，即可得其概率，最后利用排除法即可得正确选项【解答】解：从7个球中任意摸出两个球，共有c 72=21种取法摸出的俩个球都是白球，共有c 32=3种取法故P(x =0)=321=17故选A 9. 【答案】 A【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】利用概率的和为1，以及期望求出a 、b ，即可．【解答】解：由表格可知：0.4+a +b +0.1=1，又EX =6，可得：2+6a +7b +0.8=6，解得b =0.2，a =0.3，故选：A ． 10.【答案】 A【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】在离散型随机变量X的分布列中，随机变量各个取值的概率和等于1，本题可利用该性质求a，再利用期望计算公式求期望．【解答】解：因为a=1−35−110=310，所以E(x)=1×35+2×310+3×110=32，故选：A．11.【答案】B【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】利用概率分布的定义得出：13+m+14+16=1，求出m，得出分布列，判断P(|X−3|=1)=P(4)+P(2)，求解即可．【解答】解：根据概率分布的定义得出：13+m+14+16=1．得m=14，随机变量X的概率分布列为∴P(|X−3|=1)=P(4)+P(2)=512故选：B．12.【答案】A【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】本题考查期望的算法和超几何分布等．【解答】解：由题可得：E(x)=a+2b=1a+b=2 3∴ a=13b=13E(ax+b)=aE(x)+b=13×1+13=23故答案为23．故选A．二、填空题（本题共计 4 小题，每题 3 分，共计12分）13.【答案】1−√2 2【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】由分布列的性质可得0.5+1−2q+q2=1，解得q的值．【解答】解：由分布列的性质可得0.5+1−2q+q2=1，解得q=1+√22（舍去），或q=1−√22.故答案为：1−√22．14.【答案】13【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】欲求出m值，只要利用分布列的性质：概率之和为1，列式14+13+m+112=1，即可求得．【解答】解：由分布列性质得：1 4+13+m+112=1，∴m=13．故答案为：13．15.【答案】13【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】利用离散型随机变量的分布列的性质求解．【解答】解：由离散型随机变量ξ的分布列，知：1 6+13+16+a=1，解得a=13．故答案为：13．16.【答案】512【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】根据随机变量取各个值的概率之和等于1，求得m的值，再根据本题即求X=3和X=4的概率之和，利用X的分布列求得X=3和X=4的概率之和．【解答】解：根据概率分布列的性质可得13+m+14+16=1，解得m=14．故有P(|X−3|=1)=P(X=2，或X=4)=14+16=512，故答案为512．三、解答题（本题共计 6 小题，每题 10 分，共计60分）17.【答案】（1）解：由统计表得：该市小微企业资金缺额的平均值x¯=10×0.05+30×0.1+50×0.35+70×0.3+90×0.2=60（万元）．−−−−−4分（2）由题设ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P(ξ=0)=C44C74=135，P(ξ=1)=C43C31C74=1235，P(ξ=2)=C42C32C74=1835，P(ξ=3)=C41C33C74=435，所以ξ的分布列为−−−−−−13分．【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】（1）利用统计表中的数据，结合平均数计算公式能求了该市小微企业资金缺额的平均值．（2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出P(ξ=0)，P(ξ=1)，P(ξ=2)，P(ξ=3)，由此能求出ξ的分布列．【解答】（1）解：由统计表得：该市小微企业资金缺额的平均值x ¯=10×0.05+30×0.1+50×0.35+70×0.3+90×0.2=60（万元）．−−−−−4分（2）由题设ξ的所有可能取值为0，1，2，3， P(ξ=0)=C 44C 74=135，P(ξ=1)=C 43C 31C 74=1235，P(ξ=2)=C 42C 32C 74=1835， P(ξ=3)=C 41C 33C 74=435，所以ξ的分布列为−−−−−−13分．18. 【答案】解设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X ∼B (5,23)．在5次射击中，恰有2次击中目标的概率为P (X =2)=C 52×(23)2×(1−23)3=40243．设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i =1,2,3)．由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，6. P (ξ=0)=P (A 1¯A 2¯A 3¯)=(13)3=127；P(ξ=1)=P(A 1A 2¯A 3¯)+P(A 1¯A 2A 3¯)+P(A 1¯A 2¯A 3)=23×(13)2+13×23×13+(13)2×23=29；P (ξ=2)=P (A 1A 2¯A 3)=23×13×23=427；P(ξ=3)=P(A 1A 2A 3¯)+P(A 1¯A 2A 3)=(23)2×13+13×(23)2=827； P (ξ=6)=P (A 1A 2A 3)=(23)3=827．所以ξ的分布列是注意：解本题第（2）问易因不明独立事件与独立重复试验的区别，误认为是n 次独立重复试验，可导致求得P =C 53(23)3×(13)2=80243这一错误结果．【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】略略 19.【答案】解：(1)①设“在1次游戏中摸到i 个白球”为事件A i (i =0, 1, 2, 3)，则P(A 3)=C 32⋅C 21C 52⋅C 32=15；②设“在一次游戏中获奖”为事件B ，则B =A 2∪A 3，又P(A 2)=C 32C 52⋅C 22C 32+C 31⋅C 21C 52⋅C 21C 32=12，且A 2、A 3互斥，所以P(B)=P(A 2)+P(A 3)=12+15=710. (2)由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2． P(X =0)=(1−710)2=9100，P(X =1)=C 21710(1−710)=2150， P(X =2)=(710)2=49100，所以X 的分布列是:离散型随机变量及其分布列【解析】（2）确定在3次游戏中获奖次数X 的取值是0、1、2、3，求出相应的概率，即可写出分布列．【解答】解：(1)①设“在1次游戏中摸到i 个白球”为事件A i (i =0, 1, 2, 3)，则P(A 3)=C 32⋅C 21C 52⋅C 32=15；②设“在一次游戏中获奖”为事件B ，则B =A 2∪A 3，又P(A 2)=C 32C 52⋅C 22C 32+C 31⋅C 21C 52⋅C 21C 32=12，且A 2、A 3互斥，所以P(B)=P(A 2)+P(A 3)=12+15=710.(2)由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2．P(X =0)=(1−710)2=9100，P(X =1)=C 21710(1−710)=2150，P(X =2)=(710)2=49100，所以X 的分布列是:【答案】解：把30天的天气看成是30个可能事件，由题意已经去掉了15个可能事件（3天重度可能，12天轻度污染可能）所以要解决原题，即从剩下的15种天气可能中（包含9个“良”的可能以及其余6个“非良”的可能）随机取出3个，求为“良”的个数X 的分布列问题．易知X 的所有可能取值为：0，1，2，3，则P(X =0)=C 63C 153=491；P(X =1)=C 62C 91C 153=2791； P(X =2)=C 61C 92C 153=216455；P(x =3)=C 93C 153=84455．故X 的分布列为：．【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】虽然是一共有30个各种天气可能结果，但由题意已经先把3种重度污染结果去掉，再去掉12种轻度污染结果，然后从剩下的15种天气结果随机选出三种，求选到的为“良”的可能数X 的分布列的问题，此时就剩15种天气结果，由研究的问题可以看成两种情况：9个“良”的可能，6个“非良”的可能，则借助于组合数公式，容易算出当良的个数分别为0，1，2，3时的概率，则分布列迎刃而解．【解答】解：把30天的天气看成是30个可能事件，由题意已经去掉了15个可能事件（3天重度可能，12天轻度污染可能）所以要解决原题，即从剩下的15种天气可能中（包含9个“良”的可能以及其余6个“非良”的可能）随机取出3个，求为“良”的个数X 的分布列问题．易知X 的所有可能取值为：0，1，2，3，则P(X =0)=C 63C 153=491；P(X =1)=C 62C 91C 153=2791； P(X =2)=C 61C 92C 153=216455；P(x =3)=C 93C 153=84455．故X 的分布列为：．21.【答案】解：由题意知变量ξ的可能取值是1，2，3， P(ξ=1)=C 3134=127， P(ξ=2)=C 32(2C 41+C 42)34=1427，P(ξ=3)=C 42A 3334=1227，∴ ξ的分布列是【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】根据题意得到变量的可能取值是1，2，3，结合变量对应的事件根据等可能事件的概率公式写出变量对应的概率，写出分布列．【解答】解：由题意知变量ξ的可能取值是1，2，3，P(ξ=1)=C 3134=127， P(ξ=2)=C 32(2C 41+C 42)34=1427，P(ξ=3)=C 42A 3334=1227，∴ ξ的分布列是22. 【答案】解：（1）数学合格率p 1=40+32+8100=45， (1)物理合格率p 2=40+29+6100=34． (2)(2)(I)随机事件X 的取值为9，4，2，−3， P(X =9)=45×34=35，….3 P(X =4)=(1−45)×34=320，…4 P(X =2)=45×(1−34)=15，…5 P(X =−3)=(1−45)×(1−34)=120， (6)X 的分布列：EX =9×35+4×320+2×15+(−3)×120=254． (8)(II)设这4名学生物理辅导后测试合格人数为n(n =0, 1, 2, 3, 4)，则由题意得：5n −2(4−n)≥13，解得n ≥3，故n =3或n =4， (10)∴ 这四名学生物理考前辅导后进行测试所赢得的机器人操作时间不少于13小时的概率：p =C 43(34)3(1−34)+C 44(34)4=189256． (12)【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】（1）由等可能事件概率计算公式能求出数学合格率和物理合格率．(2)(I)随机事件X 的取值为9，4，2，−3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和EX ．(II)设这4名学生物理辅导后测试合格人数为n(n =0, 1, 2, 3, 4)，则由题意得：5n −2(4−n)≥13，由此能求出这四名学生物理考前辅导后进行测试所赢得的机器人操作时间不少于13小时的概率．【解答】解：（1）数学合格率p 1=40+32+8100=45， (1)物理合格率p 2=40+29+6100=34． (2)(2)(I)随机事件X 的取值为9，4，2，−3， P(X =9)=45×34=35， (3)P(X =4)=(1−45)×34=320，…4 P(X =2)=45×(1−34)=15， (5)P(X =−3)=(1−45)×(1−34)=120，…6 X 的分布列：EX =9×35+4×320+2×15+(−3)×120=254． (8)(II)设这4名学生物理辅导后测试合格人数为n(n =0, 1, 2, 3, 4)，则由题意得：5n −2(4−n)≥13，解得n ≥3，故n =3或n =4， (10)∴ 这四名学生物理考前辅导后进行测试所赢得的机器人操作时间不少于13小时的概率：p =C 43(34)3(1−34)+C 44(34)4=189256． (12)。

选修2-3随机变量及其分布

高中数学讲座随机变量及其分布2.1 离散型随机变量一、选择题1．一个袋中有5个白球和3个红球，从中任取3个，则下列叙述中是离散型随机变量的是（）A ．所取球的个数B ．其中所含白球的个数C ．所取白球和红球的总数D ．袋中球的总数 2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是 ( )A ．取到产品的件数B ．取到正品的概率C ．取到次品的件数D ．取到次品的概率 3．随机变量ξ的所有等可能值为1，2，…，n ，若4ξ<的概率为0.3，则n 的值为（）A ．3B ．4C ．10D ．不能确定4．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完则停止射击，记射击次数为X ，则{X=5}表示的试验结果为（）A ．第5次击中目标B ．第5次未击中目标C ．第4次击中目标D ．前4次均未击中目标 5．若离散型随机变量ξ的分布列如右表，则c 的值为（） A ． 0 B ．12 C ．13D ．1 6．设随机变量X 的分布列如右表，则下列各式中正确的是（）A ．( 1.5)0P X ==B ．(1)1P X >-=C ．(3)1P X <=D ．(0)0P X <=7．一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽取2件，则出现次品的概率为（）A ．949B ．2245C ．47245 D ．2498．已知随机变量X 的分布列为1()2k P X k ==，k =1，2，…，则(24)P X <≤=（） A ．316B ．14C ．116D ．516二、选择题9．已知2Y X =为离散型随机变量，Y 的值为1，2，3，…，10，则X 的值为 . 10.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则ξ的值可以是。

11．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的分布列为。

新课标A版高中数学选修2-3练习：第二章随机变量及其分布 2-1-2 Word版含答案

课后巩固1．如果X 是一个离散型随机变量，那么下列命题是假命题的是( )A ．X 取每个可能值的概率是非负数；B ．X 取所有可能值的概率之和为1；C ．X 取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D ．X 取某2个可能值的概率大于分别取其中每个值的概率之和．答案 D解析在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值表示的事件是彼此互斥的，由概率加法公式知D 是错误的．2．设离散型随机变量X 的分布列为A ．P (X ＝1.5)＝0B ．P (X >－1)＝1C ．P (X <3)＝1D ．P (X <0)＝0答案 A解析 ∵{X ＝1.5}事件不存在，故P (X ＝1.5)＝0.3．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为：，则q 的值为( )A ．1B ．1±22C ．1＋22D ．1－22答案 D解析 q 满足：12＋1－2q ＋q 2＝1，即2q 2－4q ＋1＝0，解得q ＝1±22，∵0≤q ≤1，∴q ＝1－22. 4．随机变量ξ的分布列如下：，其中a 、b 、c 成等差数列，则P (|ξ|＝1)等于( )A.13B.14C.12D.23答案 D5．生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？解析以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X 表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X 服从超几何分布．这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的或只有1箱不合格，所以被接收的概率为P (X ≤1)，即P (X ≤1)＝C 02C 548C 550＋C 12C 448C 550＝243245. 答：该批产品被接收的概率是243245(约为0.991 84)．。

高中数学选修2-3随机变量及其分布综合测试题