第18讲 用传统方法解立体几何问题

第十八讲 用传统方法解立体几何问题

一、 基础知识点：

模块化书写范式：

知识点一 直线与平面平行 1．判定定理

l αααα⎫

⎪

⊄⇒⎬⎪⊂⎭

2. b α

βαβ⎫

⎪

⊂⎬⎪⋂⎭

＝

1．判定定理

b ββ⎪⎭

，

//,//,b A m b n n B

ββ=⊂⊂=

2

b a ββα⎫

⎪

⋂⇒⎬⎪⋂⎭

＝＝1．直线与平面垂直的定义

条件：直线l 与平面α内的任一条直线都垂直． 结论：直线l 与平面α垂直．

2．直线与平面垂直的判定定理与性质定理

b 1．定义

○

1一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． ○

2直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

注：（1）一条直线垂直于平面，就说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，

就说它们所成的角是0的角，可见，直线和平面所成的角的范围是0

,90⎡⎤⎣⎦

． （2）直线与平面所成的角：关键是找直线在平面内的射影.

（3）试着与向量夹角，直线倾斜角，直线夹角，异面直线夹角范围作比较！ （4）线面角的实质是什么？两直线夹角！

（5）考试中一般先要证出哪个角是所求的线面角，再来求其度数！当然，若是用间接法，

可以省去第一步！

2．平面与平面垂直的判定定理

3

a βββ⎪=⎪

⇒⎬⊂⎪

⎪⊥⎭

1. 三垂线定理:

(1)斜线在平面内的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在这个平面内的射影．

注：垂线段比任何一条斜线段短．

⑵三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和

这条斜线垂直. 即 ,a PA a OP a OA OA ααα⊂,⊥,⎫

⇒⊥⎬⊥⊂⎭

三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和

这条斜线的射影垂直.即 ,,a PA A a OA a OP O OP αααα⊂,⊥,⎫

⇒⊥⎬⊥∈⊄⎭

垂足为

注：（1）三垂线定理要而言之为：垂直斜线↔垂直射影

（2）三垂线定理在高考中不能直接用，但是如果知道它，对于我们看问题将会非常简便，

无非就是再证一遍而已。切记！切记！

2. 最小角定理（三余弦定理）：

斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角．即

21cos cos cos θθθ=（1θ为最小角，如图）其中θ1为斜线O A 与平面α 所成角，即为∠O A B ，

θ2为O A 射影A B 与α 内直线AC 所成的角，θ为∠O AC .显然，θ>θ1，θ>θ2

注意：该结论在形式上和2013年湖北高考立体几何题（理科）非常

相似，请同学们试作类比！

3.二面角知识补充

○

1.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形,叫做二面角.如图二面角l αβ── 二面角的平面角：以二面角l αβ──的棱l 上任意一点O 为端点，在两个半平面αβ、内分别作棱的垂线OA 、OB ，这两条射线OA 、OB 所成的角∠AOB 叫做二面角的平面角． 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角． 注：（1）二面角定义的一个关键字是什么？半！

（2）二面角的平面角的范围是什么？0,180⎡⎤⎣⎦

（3）试着与向量夹角，线面角，直线倾斜角，直线夹角，异面直线夹角范围作比较！ （4）二面角的平面角实质是什么？向量夹角！

（5）二面角与二面角的平面角有何区别？二面角是一个立体图形，没有度数；二面角的

平面角才有度数。

（6）考试中一般先要证出什么是二面角平面角，再来求其度数！当然，若是用间接法，

可以省去第一步！

○

2.两个平面互相垂直：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．即l AOB αβ--∠二面角的平面角为90⇒αβ⊥

⑴两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂

直．即a a ααββ⊂⎫⇒⊥⎬⊥⎭

⑵两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．即

,,l a a a l αβαββα⊥=⎫

⇒⊥⎬⊂⊥⎭

注:找二面角的平面角的方法主要有：

①定义法：直接在二面角的棱上取一点(特殊点)，分别在两个半平面中作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性．

②三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角．

③垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直． ④射影法：利用面积射影公式:cos S S

θ'

=，其中θ为平面角的大小，S '是射影的面积.此方法不必在图中画出平面角来．α

cos 底侧S S =

.

二、 典型例题：

1.(2014·广东，18)如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝30°，AF ⊥PC

于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E .