指数运算和指数函数

指数运算与指数函数

一、知识点

1、根式得性质

(1）当ｎ为奇数时,有(2)当n为偶数时,有

(３）负数没有偶次方根 (４)零得任何正次方根都就就是零2、幂得有关概念

（1）正整数指数幂:

(2)零指数幂 (3)负整数指数幂

(4)正分数指数幂

(5)负分数指数幂

（6)0得正分数指数幂等于0,0得负分数指数幂无意义

3、有理指数幂得运算性质

(1) (2)

（３)

4、指数函数定义:函数叫做指数函数。

0 ＜a < 1 a > 1

图象

性质定义域Ｒ

值域（0 , +∞）

定点

过定点（０，1）,即x= 0时，y = 1

（1)ａ> 1,当x>0时,y>１；当x< 0时,0 <ｙ＜１。

（2）0 ＜a< 1,当ｘ> 0时,０

1。

单调性在R上就就是减函数在R上就就是增函数

对称性与关于y轴对称

(1）

①②③④

则:0<ｂ

又即:x∈(０，+∞)时， (底大幂大)

x∈(－∞,0)时,

（2）特殊函数

得图像:

三、指数式大小比较方法

(1)单调性法:化为同底数指数式,利用指数函数得单调性进行比较、

(2)中间量法

(3)分类讨论法

(4)比较法

比较法有作差比较与作商比较两种,其原理分别为:

①若;;;

②当两个式子均为正值得情况下,可用作商法,判断，或即可、

四、典型例题

类型一、指数函数得概念

例1、函数就就是指数函数,求得值、

【答案】2

【解析】由就就是指数函数,

可得解得，所以、

举一反三:

【变式1】指出下列函数哪些就就是指数函数?

(1);（2)；(3）；(4);

(5);(6)、

【答案】(1)（５)(6）

【解析】（１）(5)(6)为指数函数、其中(6)=,符合指数函数得定义,而(2)中底数不就就是常数,而4不就就是变数;(３)就就是-1与指数函数得乘积;(4)中底数,所以不就就是指数函数、

类型二、函数得定义域、值域

例2、求下列函数得定义域、值域、

（1);（2)y=4x－2x+1；(3);(４）(a为大于１得常数)

【答案】(１)R,(0,1);（2)R [);

（3) ;(4)［１，a）∪（a,+∞)

【解析】（1)函数得定义域为R （∵对一切xR,3x≠-1)、

∵,又∵3x>0, 1+3ｘ＞1,

∴ , ∴ ,

∴ , ∴值域为(0，1)、

(2)定义域为R,,∵2x＞0，∴即x=-１时，ｙ取最小值,同时y可以取一切大于得实数,∴值域为［)、

(3)要使函数有意义可得到不等式,即，又函数就就是增函数,所以,即，即，值域就就是、

（4)∵∴定义域为(-∞,－1)∪[1,＋∞),

又∵ ,∴，∴值域为［1,ａ)∪(a,+∞)、

【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性;第(3)小题中值域切记不要漏掉y＞0得条件，第(4)小题中不能遗漏、

举一反三：

【变式1】求下列函数得定义域:

(１) (2)

(3) (4)

【答案】(1)R;（2);(3);(４）a>1时,；0

【解析】（1)R

（2)要使原式有意义,需满足３-ｘ≥０,即，即、

(3）为使得原函数有意义，需满足2ｘ-1≥０,即２x≥1,故x≥0,即

(4) 为使得原函数有意义,需满足,即,所以a>1时,;０

【总结升华】本题中解不等式得依据主要就就是指数函数得单调性,根据所给得同底指数幂得大小关系,结合单调性来判断指数得大小关系、

类型三、指数函数得单调性及其应用

例3、讨论函数得单调性，并求其值域、

【思路点拨】对于x∈R,恒成立，因此可以通过作商讨论函数得单调区间、此函数就就

是由指数函数及二次函数复合而成得函数,因此可以逐层讨论它得单调性,综合得到结果、

【答案】函数在区间(－∞,1)上就就是增函数,在区间［１，＋∞)上就就是减函数 （０,3]

【解析】

解法一:∵函数得定义域为(-∞,＋∞),设ｘ1、x ２∈(－∞,+∞)且有x １<ｘ2， ∴,, 、

（１)当x 1＜ｘ２＜1时,x １+x 2＜2,即有x 1＋x ２－2＜0、 又∵x 2-x 1＞0，∴(x ２―x １）(x ２+x 1―2)＜0,则知、 又对于ｘ∈R,恒成立，∴、 ∴函数在(-∞,1)上单调递增、

(2)当1≤x 1<ｘ２时,x 1+ｘ2＞２,即有x １+x 2-２>0、 又∵x ２-x 1＞0,∴(x 2―x 1）(x 2+ｘ1―2)＞０,则知 、∴、

∴函数在[1,＋∞)上单调递减、

综上,函数在区间(－∞,1)上就就是增函数,在区间[１,+∞)上就就是减函数、 ∵x 2―2ｘ＝(x ―1)2―１≥-１,,、 ∴函数得值域为(0，３］、

解法二:∵函数得下义域为R,令ｕ＝ｘ2-２x,则、

∵u=x ２

―２x ＝(x ―1)2―1,在(―∞,1]上就就是减函数，在其定义域内就就是减函数,∴函数在(-∞,１］内为增函数、

又在其定义域内为减函数,而u=x 2―2x=(x ―1)2―1在[1，＋∞)上就就是增函数，∴函数在[1,+∞)上就就是减函数、

值域得求法同解法一、

【总结升华】由本例可知，研究型得复合函数得单调性用复合法,比用定义法要简便些,一般地有：即当a ＞1时，得单调性与得单调性相同;当0＜a ＜1时，得单调与得单调性相反、

举一反三：

【变式1】求函数得单调区间及值域、

【答案】上单增,在上单减、

【解析】[1]复合函数——分解为:ｕ＝-x 2＋３x －2, y=3ｕ

；

[２］利用复合函数单调性判断方法求单调区间; [３]求值域、

设u=－x 2＋3x-２, y=３u

，

其中y ＝3u 为R 上得单调增函数,u=-x 2

+３x-2在上单增,

u=-x ２

+3x-2在上单减， 则在上单增,在上单减、

又u=-x 2

+3x －2， 得值域为、 【变式2】求函数得单调区间、

【解析】当a>1时，外层函数y=a u 在上为增函数,内函数u=ｘ2

-2x 在区间上为减函数,在区间上为增函数,故函数上为减函数,在区间上为增函数；

当０<ａ<1时,外层函数ｙ＝ａu 在上为减函数,内函数u ＝x 2

-2ｘ在区间上为减函数,在区间上为增函数,故函数在区间上为增函数,在区间上为减函数、

例4、证明函数在定义域上为增函数、

【思路点拨】利用函数得单调性定义去证明。 【解析】定义域为xR,任取ｘ1

1212121212

1211(1)(1)(1)(1)

()()11(1)(1)

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