2.1.2 椭圆的简单几何性质
《2.1.2 椭圆的简单几何性质》教案
《椭圆的简单几何性质》教案
教学目标
1.知识与技能：（1）、能根据椭圆方程，利用图像得出椭圆的简单几何性质，并能熟练运用。
（2）、会利用椭圆的几何性质求椭圆方程。
2.过程与方法：通过复习回顾椭圆的两种标准方程与图形总结出椭圆简单几何性质，培养学生的观察能力和归纳能力；通过椭圆简单几何性质应用的两种类型培养学生学以致用，举一反三的能力。
3.情感态度与价值观：通过探究椭圆的简单几何性质激发学生的积极性，获取学习数学的成就感。
教学重点：
椭圆的简单几何性质
教学难点：
椭圆几何性质的灵活应用
教学过程：
一、复习回顾
认真复习课本，完成知识梳理：
二、学以致用
（一）、由椭圆方程求椭圆的几何性质
例1、求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。
变式训练：求椭圆252522=+y x 的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。
（二）、利用椭圆的几何性质求标准方程
例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1） 经过点P （-3,0），Q （0，-2） （2）焦点在x 轴上，长轴长是12，离心率是3
2；
变式训练：已知椭圆的长轴长是20，离心率是35
，求椭圆的标准方程。
三、拓展提升
已知椭圆短轴的一个端点与椭圆的两焦点的连线互相垂直，则此椭圆的离心率e=_______.
变式训练：若椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成正三角形, 则此椭圆的离心率e=_______.
课堂小结
（1）、知识收获：
（2）、数学思想：
课后作业。
北师大高中数学选择性必修第一册2.1.2第1课时 椭圆的简单几何性质【课件】
又因为2a＝3×2b，所以a＝3，b＝1，方程为 ＋y2＝1.
②若焦点在y轴上，设方程为 ＋ ＝1(a＞b＞0).
因为椭圆过P(3，0)，所以 ＋ ＝1.
又因为2a＝3×2b，所以a＝9，b＝3，
所以方程为 ＋ ＝1，
2
所以所求椭圆的方程为 ＋y ＝1或 ＋ ＝1.
率为
A.
C.
(A)
1
2
3－1
2
B.
3
2
D.
3
3
解析：设椭圆的半焦距为c，可得|＋ |＝| − |＝| |＝2| | ＝2c，
又∠F1PF2＝60°，|F1F2|＝2c，
可得△PF1F2为等边三角形，
即有|PF2|＝2c，则P为椭圆与y轴的交点，可得|PF2|＝ ＋ ＝a，所以2c
C. 5
D. 2 5
解析：(1)椭圆 ＋ ＝1中有a2＝25，b2＝16.
所以c2＝a2－b2＝9，得c＝3.
由方程知椭圆的焦点在y轴上，所以焦点坐标为(0， ±3). 故选A.
(2)由题意可得a＝2，b＝1，
所以a2＝4，b2＝1，所以c＝ －＝ ，从而2c＝2 . 故选B.
－b≤x≤b且－a≤y≤a
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
短轴长＝ 2b，长轴长＝2a
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
|F1F2|＝2c
对称轴 x轴和y轴 ，对称中心 (0，0)
2.1.2《椭圆的简单几何性质》教学设计
2.1.2《椭圆的简单几何性质》第一课时科目：高二数学****************完成时间：2022年4月25日课型：新授课教学工具：多媒体设备◆知识与技能目标通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质，用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念.◆过程与方法目标能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图.引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中要通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解,而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点P的思考问题，探究椭的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过39圆的扁平程度量椭圆的离心率．◆情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备.必须让学生认同和掌握：椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．◆能力目标（1）分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．（2）思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．（3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．（4）创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．教学过程设计教学步骤教师活动学生活动设计意图（一）导入一、情景导入：1.国家大剧院的半椭圆正视图；1. 2.椭圆的标准方程.在解析几何里，是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的，我们现在利用焦点在x轴上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养能力.（二）椭圆的大小思考1：如何将一个长、宽分别为10cm，８cm的矩形纸板制作成一个最大的椭圆呢？1.范围由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式22ax≤1,22by≤1即x2≤a2,y2≤b2所以|x|≤a，|y|≤b即－a≤x≤a, －b≤y≤b这说明椭圆位于直线x＝±a, y＝±b所围成的矩形里。
教学设计3：2.1.2椭圆的简单几何性质
2.1.2椭圆的简单几何性质教学目标1.知识与技能掌握椭圆的几何性质，理解椭圆方程与椭圆曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题．2．过程与方法通过椭圆的方程研究其几何性质及其应用过程，培养学生观察、分析问题的能力，利用数形结合思想解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过数与形的辨证统一，对学生进行辨证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求．重点难点重点：由标准方程分析出椭圆的几何性质．难点：椭圆离心率几何意义的导入和理解及求法．对重难点的处理：为了突出重点，突破难点，应做好：①让学生自主探索新知；②重难点之处进行反复分析；③及时巩固．椭圆的简单几何性质问题导思1．观察椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的形状，图2－2－2你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？【答案】椭圆上的点都在如题图中的矩形框内部，椭圆关于坐标轴对称．椭圆与坐标轴的四个交点比较特殊．2．如何由椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)求出椭圆与x、y轴的交点坐标？【答案】只要令x＝0或y＝0求解即可．椭圆的离心率问题导思1．观察不同的椭圆，我们会发现，椭圆的扁平程度不一．对于椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，若令a不变，b怎样变化时椭圆形状越圆(扁)？此时c的情况如何？【答案】当a值不变，b越大，即c越小时，椭圆形状越圆；b越小即c越大时，椭圆形状越扁．2．若用ca来描述椭圆的扁平情况会是怎样的？【答案】ca越小椭圆形状越圆；ca越大椭圆形状越扁．(注意：0＜ca＜1)1．定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝ca，叫做椭圆的离心率．2．性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．例题解析例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．解：把已知方程化成标准方程2222154x y +=，于是5,4, 3.a b c ====椭圆的长轴长和短轴长分别是210,28,a b == 离心率35c e a ==， 两个焦点坐标分别为12(3,0)(3,0)F F -，，四个顶点坐标分别为1212(5,0),(5,0),(0,4),(0,4).A A B B --1212121122().,,.,.,|| 2.8 ,|| 4.5 .,.0.1 BAC F F F F BC F F F B cm F F cm BAC cm ⊥==例如图，一种电影放映灯泡的反射镜是旋转椭圆面椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面的一部分过对称轴的截口是椭圆的一部分灯丝位于椭圆的一个焦点上片门位于另一个焦点上由椭圆一个焦点发出的光线经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点已知试建立适当的坐标系求截口所在的椭圆方程（精确到）解：题图标设椭圆为2222建立如干所示的直角坐系,所求方程x y +=1.a b122在Rt ΔBF F 中,|F B|= 椭圆质12由的性知, |F B|+|F B|=2a,所以(1211a =(|F B |+|F B |)= 2.8 4.1;22≈3.4.b ==≈2222x y 所以,所求的椭圆方程为+=1.4.1 3.425 (,)(4,0):44.5M x y F l x M =例3点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹25:44 ,5l x MF P M d =⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭解：设d 是点M 到直线的距离，根据题意，点M 的轨迹就是集合4.5=22925225,x y +=将上式两边平方，并化简，得221.259x y +=即所以，点M 的轨迹是长轴, 短轴长分别为10, 6的椭圆.例4 已知椭圆221259x y +=,直线l :45400x y -+=,椭圆上是否存在一点,到直线l 的距离最小?最小距离是多少?【解析】作出直线l 及椭圆（如图）.观察图形,可以发现,利用平行于 直线l 且与椭圆只有一个交点的直线，可以求得相应的最小距离.解:由直线l 的方程与椭圆的方程可以知道，直线l 与椭圆不相交（为什么?）.设直线m 平行于直线l ,则直线m 的方程可以写成224501259,,x y k x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩由方程 222582250-y x kx k ++=消去，得，令方程②的根的判别式△=0，得22644252250().k k -⨯-=解方程③，得122525,.k k ==-或由图可知，当k =25时，直线m 与椭圆的交点到直线l 的距离最近，此时直线m 的方程为4x -5y +25=0直线m 与直线l 间的距离d ==max d ==根据椭圆的方程研究其几何性质 当堂训练1．椭圆x 281＋y 245＝1的长轴长为( )A ．81B ．9C ．18D ．45 【解析】 由标准方程知a ＝9，故长轴长2a ＝18. 【答案】 C2．椭圆6x 2＋y 2＝6的离心率为( )A.56B.306C.16D.66【解析】 椭圆方程可化为x 2＋y 26＝1，∴a 2＝6，b 2＝1，∴c 2＝5，∴e ＝c a ＝56＝306.【答案】 B3．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( )A.12 B ．2 C.14 D ．4 【解析】 方程化为x 2＋y 21m＝1，长轴长为2m ，短轴长为2，由题意，2m ＝2×2，∴m ＝14. 【答案】 C4．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)，焦点在x 轴上；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 解 (1)椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵椭圆过点A (3,0)， ∴9a 2＝1，a ＝3， ∵2a ＝3·2b ， ∴b ＝1，∴方程为x 29＋y 2＝1.(2)由已知{ a ＝2c ，a －c ＝3，∴{ a ＝23，c ＝3，从而b 2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.。
人教A版高中数学选修2-2课件(文)第二章2.1.2第一课时椭圆的简单几何性质
b2＝81－9＝72. 答案：A
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2．已知椭圆10x－2 m＋my－2 2＝1，长轴在 y 轴上．若焦距为 4，
则 m 等于
()
A．4
B．5
C．7
D．8
解析：由题意得 m－2>10－m 且 10－m>0，于是 6<m<10，再
由(m－2)－(10－m)＝22，得 m＝8.
答案：D
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3．椭圆 x2＋4y2＝16 的短轴长为________． 解析：由1x62＋y42＝1 可知 b＝2， ∴短轴长 2b＝4. 答案：4
2a＝5×2b， a02＋2b52 ＝1，
解得ab＝＝255. ，
故所求椭圆的标准方程为6y225＋2x52 ＝1 综上所述，所求椭圆的标准方程为2x52＋y2＝1 或6y225＋2x52＝1.
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(2)由 e＝ac＝35，2c＝12，得 a＝10，c＝6， 则 b2＝a2－c2＝64. 当焦点在 x 轴上时，所求椭圆的标准方程为 1x020＋6y42 ＝1； 当焦点在 y 轴上时，所求椭圆的标准方程为 1y020＋6x42 ＝1. 综上所述，所求椭圆的标准方程为 1x020＋6y42 ＝1 或1y020＋6x42＝1.
∠OF2B＝60°，∴acos 60°＝c，
∴ac＝12，即椭圆的离心率 e＝12，故选 A.
D.
6 4
答案：A
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4.忽视椭圆焦点位置致误 [典例] 已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心 率 e＝ 23，且过 P(2,3)，求此椭圆的标准方程．
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[解] (1)当焦点在 x 轴上时， 设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)．
ac＝ 23， 由题意知a42＋b92＝1，
高中数学 2.1.2 椭圆的简单几何性质‘教案 北师大版选修2-1
2．1．2 椭圆的简单几何性质◆知识与技能目标了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义．◆过程与方法目标（1）复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．1．2椭圆的简单几何性质．（2）新课讲授过程（i）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．（ii ）椭圆的简单几何性质①范围：由椭圆的标准方程可得，222210y x b a=-≥，进一步得：a x a -≤≤，同理可得：b y b -≤≤，即椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框图里；②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比a c e =叫做椭圆的离心率（10<<e ），⎩⎨⎧→→→椭圆图形越扁时当01a ，，b ，c e ；⎩⎨⎧→→→椭圆越接近于圆时当a，b ，c e 00 ．（iii ）例题讲解与引申、扩展例4 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量．扩展：已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为105e =m 的值． 解法剖析：依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有5,,5a b m c m ===-5255m-=，得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有,5,5a m b c m ===-510253m m m -=⇒=． 例 5 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ．已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =．建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程．解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为22221x y a b +=，算出,,a b c 的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于,,a b c 的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．引申：如图所示， “神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面200km ，远地点B 距地面350km ，已知地球的半径6371R km =．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程．例6如图，设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹方程．分析：若设点(),M x y ，则()224MF x y =-+l ：254x =的距离254d x =-，则容易得点M 的轨迹方程．引申：（用《几何画板》探究）若点(),M x y 与定点(),0F c 的距离和它到定直线l ：2a x c =的距离比是常数c e a=()0a c >>，则点M 的轨迹方程是椭圆．其中定点(),0F c 是焦点，定直线l ：2a x c=相应于F 的准线；由椭圆的对称性，另一焦点(),0F c '-，相应于F '的准线l '：2a x c =-．◆ 情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．必须让学生认同和掌握：椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．◆能力目标（1）分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．（2）思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．（3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．（4）创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．。
原创2：2.1.2 椭圆的简单几何性质（一）
离心率 e c 7 .
a4
答案：8 6
7
4
1.对椭圆的简单的几何性质的认识 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置; (2)椭圆的范围决定椭圆的大小; (3)椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度; (4)对称性是圆锥曲线的重要性质,椭圆的顶点是椭圆与对称轴 的交点,是椭圆上的重要的特殊点,在画图时应先确定这些点.
9 25
所以椭圆的标准方程为 x2 y或2 1 x2 y2 1.
25 9
9 25
【总结】根据椭圆的简单几何性质求椭圆方程的关键. 提示：根据椭圆的几何性质求椭圆的方程关键有两点： 一是“定量”，根据与几何性质有关的条件确定a2,b2的值；二 是“定位”，即确定焦点的位置，若焦点位置不确定则需要分 类讨论.
11，……nm……1419，…, ………………………3分
∴椭圆方程为 x2 y…2 …1.………………………………5分
94
（2）假设存在点P（x,y）满足题设条件，
∴|AP|2=(x-a)2+y2.
又 x2 y2 1, y2 4(1 x2 ),
94
9
AP 2 x a 2 4(1 x2 )
【变式训练】设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆 长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求 椭圆的离心率 【解题指南】利用椭圆的定义得到a，c之间的方程，进而求出 椭圆的离心率. 【解析】由已知得|PF2|＝2c，
PF1 ＝2 2c，2 2c＋2c＝2a，
即 (2 2＋2)c＝2a，
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线 x 3a 上一点，△F2PF1是底
2
角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
2.1.2-椭圆的简单几何性质-第2课时-椭圆方程及性质的应用
(c,0)、(c,0)
(0,c)、(0,c)
(a,0)、(0,b)
(b,0)、(0,a)
e=
c a
(
0
<
e
<
1
)
1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单 性质.（重点）
2.能用椭圆的简单性质求椭圆方程.（重点） 3.能用椭圆的简单性质分析解决有关问题.（难点）
探究点1 利用椭圆的简单几何性质求椭圆的方程
【解析】建立上图 所示的直角坐标系, 设所求椭圆方程为
在 Rt BF1F2 中,
x2 a2
y2 b2
1.
待定 系数
| F2 B | | F1B |2 | F1F2 |2 2.82 4.52 .
法
由 椭 圆 的 性 质 知 ,| F1B | | F 2 B | 2a , 所 以
1
1
a 2 ( | F1B | | F2 B | ) 2 2.8
中 ,F
是椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1
(a>b>0) 的 右焦 点 ,直 线
y=
b 2
与椭圆交于
B,C
两点,且∠BFC=90°,则该
6
椭圆的离心率是 3 .
4. 已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上， 离心率为 3 ，且G上一点到G的两个焦点的距离之 和为12，则2椭圆G的方程为___3x_62 __y9_2 __1__.
|
PF1
|
4 3
,|
PF2
|
14 ， 3
求椭
圆C的方程.
【解析】因为点P在椭圆C上，所以2a | PF1 | | PF2 | 6,a 3
椭圆性质
椭圆的离心率．∵a＞c＞0，∴0＜ea＜1．
(1)当e越接近1时，c越接近a，从而b a2 c2
越小，因此椭圆越扁；
y
O
x
4．离心率 椭圆的焦距与长轴长的比
e
c
，叫做
椭圆的离心率．∵a＞c＞0，∴0＜ea＜1．
(1)当e越接近1时，c越接近a，从而b a2 c2 越小，因此椭圆越扁；
A1 b a A2 F1 O c F2 x
B1
3．顶点 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和 短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.
a叫做椭圆的长半轴长．
y
b叫做椭圆的短半轴长．
B2
|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1| ＝|B2F2|＝a．
A1 b a A2 F1 O c F2 x
2.1.2椭圆的简单 几何性质
§2.1 椭 圆
1.在平面内到两定点F1、椭圆
.这两定点叫做椭圆
的 焦点 ，两焦点间的距离叫 焦距 .
集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c，其中a>0,c>0， 且a，c为常数；（1）若 a>c ，则集合P
，
10 2 A.
3
5 1 B.
3
C. 5 1 2
D. 10 2 2
3. 综合练习：
1. 以 正 方 形ABCD的 相 对 顶 点A、C为
焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中
点，则该椭圆的离心率为（ D ）
，
10 2 A.
3
5 1 B.
3
C. 5 1 2
D. 10 2 2
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
2.1.2椭圆的简单几何性质_课件-湘教版数学选修1-1
于是a＝5，b＝4，c＝ 25－16＝3.
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，
离心率e＝
c a
＝
3 5
，两个焦点坐标分别是F1(－3，0)和F2(3，
0)，四个顶点坐标分别是A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)和 B2(0，4)．
点评 解决这类问题关键是将所给方程正确地化为标准情势，然后根据方程 判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系求椭圆的几何 性质．
①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆有两个公共 点；
当m＝－ 5 或m＝ 5 时，Δ＝0，方程③有两个相等的实数
根，代入①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆有一个公共 点；
当m<－ 5或m> 5时，Δ<0，方程③没有实数根，直线与椭
圆没有公共点．
点评 (1)直线与椭圆公共点个数的判断方法为：联立直线与 椭圆方程，消去方程组中的y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方
2b2 r1r2
－1≥
（r12＋2b2r2）2－1＝2ab22－1(当且仅当r1＝r2时取“＝”号)．
由此可知当P点为短轴的端点时θ角最大，设∠F1PF2的最大
角为θ0，当θ0<90°时，椭圆上不存在点P使得∠F1PF2＝90°；当
θ0＝90°，椭圆上存在两个点使得∠F1PF2＝90°；当θ0>90°
2c
对称轴 x轴y轴 ，对称中心原点 e＝ac(0＜e＜1)
自主探究 1．能否用a和b表示椭圆的离心率e?
提示
可以，由于e＝ac，又c＝ a2－b2，
故e＝ac＝ a2a－b2＝
1－ba22.
2.
如图所示，椭圆中的△OF2B2，能否找出a，b，c，e对应的线 段或量？ 提示 a＝|F2B2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|，e＝ac＝||FO2FB22||＝cos∠OF2B2.
2.1.2 椭圆的简单几何性质
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2.离心率对椭圆扁圆程度的影响 椭圆的离心率 e 越接近于 1,则 c 就越接近于 a,从而 b= a2-c2 越小,因此椭圆越扁;反之,e 越接近于 0,c 就越接近于 0,从而 b 越 接近于 a,因此椭圆越圆.
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二、利用椭圆的几何性质求标准方程
活动与探究 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)过点(3,0),(0,5); (2)长轴长为 20,离心率等于45; (3)焦距为 6,在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相 垂直.
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思路分析:由已知条件求 a,b,c 的值,再写出椭圆方程,但要注 意确定焦点位置.
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(2)椭圆xa22 + by22=1(a>b>0)的右顶点是 A(a,0),其上存在一点 P, 使∠APO=90°,求椭圆的离心率的取值范围.
思路分析:由∠APO=90°可知:P(x,y)点在以 OA 为直径的圆上, 且 P 点又在椭圆上.
然后由圆的方程和椭圆的方程组成方程组,求出 P 点的横坐 标.利用 0<x<a 建立关于 a,b,c 的不等关系.
(1)确定焦点的位置; (2)构造含参数的关系式; (3)解出参数的值; (4)写出标准方程.
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三、与椭圆离心率有关的问题
活动与探究 3
(1)如图,已知椭圆xa22 + by22=1(a>b>0)的左顶点为 A,左焦点为
F,上顶点为 B.若∠BAO+∠BFO=90°,则椭圆的离心率
是
.
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2.1.2椭圆的几何性质
a+c=|FB|=6371+41981=48352， 解得a=27467.5，c=20884.5.
b a2 c2 (a c)(a c)
48352 6583 17841.0
因此，所求的卫星运行轨道的近似方程为
x2 27467.52
y2 17841.02
1
例3．求适合下列条件的椭圆方程：
如果a=b，则c=0，两个焦点重合，这 时椭圆的标准方程就变成圆的方程 x2+y2=1.
离心率e是椭圆的重要的参数，利用离 心率可以确定椭圆的形状。
离心率e与a，b，c相结合，可以解决 椭圆的大部分问题。
例1．求椭圆4x2+9y2=36的长轴长和短轴长、 焦点坐标、顶点坐标和离心率，并用描点 法画出它的图形。 解：把椭圆的方程化为标准方程 x2 y2 1
y3 2
1 x
-3 -2 -1 O 1 2 3 -1
-2 -3
例2．我国自行研制的“中星20号”通讯卫 星，于2003年11月15日升空精确的进入预 定的轨道，这颗卫星的运行轨道，是以地 球的中心为一个焦点的椭圆，近地点与地 球表面的距离为212km，远地点与地球表 面的距离是41981km，已知地球半径约为 6371km，求这颗卫星运行轨道的近似方程 (长、短半轴长精确到0.1km).
可知长度分别为a，b，c的三条线段构
成一个直角三角形，长度为a的线段是斜
边。
B1 y
ba
A1 x
c O
F1
4．离心率：
椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的 离心率。 e c
a
因为a>c>0，所以0<e<1，e越趋近于1， 则c越趋近于a，
【数学】2.1.2 椭圆的简单几何性质 课件1(人教A版选修1-1)
x y 2 1， 2 5 4
2
2
讲授新课
练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴
长的2倍的椭圆的标准方程.
: 解： 若焦点在x轴上，设椭圆方程为 x2 y2 2 1(a b 0)， 2 a b
a 2b 依题意有： 16 1 a 2 b2 1
例2 如图，设M(x，y)与定点F(4，0)的距离和它到直
4 25 x 线l： 的距离的比是常数 ， 5 4
求点M 的轨迹方程．
解：设d是点M到直线的距离，根据题意，点M的轨迹就 是集合 P=﹛M︱ MF = 4 ﹜ d 5 由此得
2 （x-4）+y 2 4 = 25 5 -x 4
将上式两边平方，并化简，得，9x2+25y2=225，即
B2
2 2
x y 2 1 (a＞b＞0). 2 a b
A1
F1 O B1 F2
A2
x
讲授新课
3．顶点
只须令x＝0，得y＝±b，点B1(0,－b)、 B2(0, b)是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0， 得x＝±a，点A1(－a,0)、A2(a,0)是椭圆和 x轴的两个交点．
y
椭圆有四个顶点： A1(－a, 0)、 A2(a, 0)、 B1(0, －b)、B2(0, b)．
x2 y 2 1. 25 9
所以，点M的轨迹就是长轴、短轴分别为10、6的椭圆.
小结：
本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对 称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。了解了 研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、焦点、对称 中心及其相互之间的关系，这对我们解决椭圆中的相关 问题有很大的帮助，给我们以后学习圆锥曲线其他的两 种曲线扎实了基础。在解析几何的学习中，我们更多的 是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件，需 要我们认识并熟练掌握数与形的联系。在本节课中，我 们运用了几何性质，待定系数法来求解椭圆方程，在解 题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学 思想。
2.1.2 椭圆的简单几何性质
(1)已知椭圆的方程讨论其性质时,应先把椭圆的方程化成标 准形式,找准 a 与 b,才能正确地写出其相关性质.在求顶点坐标和 焦点坐标时,应注意焦点所在的坐标轴.
(2)椭圆的几何性质与椭圆的形状和位置的关系如下: ①椭圆的焦点决定椭圆的位置; ②椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度; ③对称性是圆锥曲线的重要性质,椭圆的顶点是椭圆与对称 轴的交点,是椭圆上的重要的特殊点,在画图时应先确定这些点.
,离心率为
,焦点坐标
为
,顶点坐标为
.
提示:10
6
8
4 5
(-4,0)和(4,0)
(-5,0)和(5,0);(0,-3)和(0,3)
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3.椭圆中常见的两个最值问题
(1)椭圆上到中心距离最远和最近的点
短轴端点 B1 和 B2 到中心 O 的距离最近;长轴端点 A1 和 A2
到中心 O 的距离最远.
(2)椭圆上一点与焦点距离的最值(以焦点在 x 轴上的椭圆
x2 a2
+
by22=1(a>b>0)为例说明)
点(a,0),(-a,0)与焦点 F1(-c,0)的距离,分别是椭圆上的点与焦
点 F1 的最大距离和最小距离.
预习交流 2
椭圆2x25 + y92=1 上一点 P 到右焦点的最大距离为
,
最小距离为
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迁移与应用
1.椭圆1x26 + y82=1 的离心率为(
)
A.13
B.12
C.
3 3
D.
2 2
答案:D
解析:由题意 e=ac =
16-8
4=
22.
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