数系的扩充与复数的引入知识点总结

数系的扩充与复数的引入知识点总结

一。数系的扩充和复数的概念

1.复数的概念

(1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部.

(2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =，就是实数; 0b ≠，叫做虚数;当0,0a b =≠时，叫做纯虚数.

(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等．

即:如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ⎧⇔⎨⎩，特别地:

。

(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数。 即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是

２。复数的几何意义

（1)数（)可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平

面叫做复平面,也叫高斯平面，

轴叫做实轴,轴叫做虚轴.

实轴上的点都表示实数．除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.

复数集Ｃ和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数

复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来,复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应,这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.

(２)复数的几何意义 坐标表示：在复平面内以点表示复数（)； 向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作．即

. ３．复数的运算

(1）复数的加，减,乘，除按以下法则进行

设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则

12()()z z a c b d i ±=±+±

12()()z z ac bd ad bc i •=-++

12222()()(0)z ac bd ad bc i z z c d

-++=≠+ (２）几个重要的结论

2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+

22||||z z z z •==

若z 为虚数,则22||z z ≠

(3）运算律

m n m n z z z +•=

()m n mn z z =

1212()(,)n n n z z z z m n R •=•∈

（4）关于虚数单位ｉ的一些固定结论:

21i =-

3i i =-

41i =

2340n n n n i i i i ++++++=

注:（１）两个复数不能比较大小，但是两个复数的模可以比较大小 （２）在实数范围内的求根公式在复数范围内照样能运用

二。同步检测

1．复数ａ＋b i 与c+d i 的积是实数的充要条件是

A 。ad ＋b ｃ=0 Ｂ.ac ＋bd ＝０

Ｃ.a ｃ＝ｂｄ D.a ｄ=ｂｃ

2．复数

5-2

i 的共轭复数是 A ．i ＋２ Ｂ．i －２ C.－2－i D ．２－i

3.当2<<13m 时,复数m(3+i ）—（２＋i )在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B ．第二象限 Ｃ.第三象限 D.第四象限

４。复数3

1+22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

＝

5.已知复数z 与()2+2-8z i 都是纯虚数，求ｚ

6．已知(1+2=4+3i z i ）

，求z 及z z

7．已知1z ＝5+10i ，2z ＝3—4i ，

12

111=+z z z ,求z

8.已知2i －３是关于x 的方程22

x +ｐx ＋ｑ=０的一个根,求实数p,ｑ的值