概率论与数理统计A试卷
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（A）
2
1 1 1 X1 X 2 X 3 4 2 4 1 1 1 （D） X 1 X 2 X 3 3 3 3
（B）
6． 对总体 X ~ N ( , ） 的均值 作区间估计,得到置信度为 0.95 的置信区间,其意是指这 个区间（ ）. (B) 平均含样本 95% 的值 (D) 有 95% 的机会含样本的值 ） ． (D)一个增大一个减小
2 cos y （D） 0
y (0, ) 2 其他
）.
3．已知随机变量 ( X , Y ) 服从二维正态分布，则下列结论不成立的是（ （A） 3 X 2Y 一定服从正态分布 （C） X 与 Y 相互独立是 X 与 Y 不相关的充分必要条件
2
（B） X 一定服从正态分布 （D） Y 一定服从正态分布
第 3 页 共 11 页
X P
0 1/2
1 1/2 . .
则 U min{ X , Y } 的概率分布为
4．已知 D( X ) 25 ， D(Y ) 4 ， XY 0.4 ，则 D( X 2Y )
5. 设 X 1 , X 2 , X 3 是 n 个独立同分布的随机变量， E ( X i ) ， D ( X i ) 8 ，对于
( x 1) 1 8. 设随机变量 X 的概率密度 f ( x) e 8 ，则 E ( X 2 ) __ 2 2
2
____.
二、 单项选择题 （本题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分,将答案填在下面的横线上）
1. 设 A , B 两事件互不相容， 0 P(A) p 1 ，0 P(B) q 1 ， 则推不出结论 （ （A）P(A | B) 0 2. 设随机变量 X 在 (0, （B）P(A B) 0 （C）P(A B) p ） .
θ2
2θ (1 θ )
(1 θ ) 2
六．计算题（本题 10 分）经验表明，钢珠直径(单位：mm) X 服从正态分布 N ( , 2 ) ，
现从刚生产出的一大批钢珠中随机抽出 9 个，测得其样本均值 x 31.06 ，样本方差
s 2 0.982 ，试分别求出 和 2 的置信度为 0.95 的置信区间．
七． 计算题 （本题 10 分）在某个生产过程中，在一个大气压下，温度从 0 o C 变到 10 o C ,
需考察得率 Y 与温度 x 的关系，今测得数据如下表： 温度 x 得率 Y 1 3 2 5 3 7 4 10 5 11 6 14 7 15 8 17 9 20 10 21
1 ，则 Y 2 X 的概率密度为 （ (1 x 2 )
（C）
（A）
1 (1 4 y 2 )
（B）
2 (4 y 2 )
1 (1 y 2 )
（D）
1
arctan y
） 4．设 X 1 , X 2 是来自总体 N ( ,1 的容量为 2 的样本，其中 为未知参数，下面四个关于
.
6．设随机变量 X 的数学期望 E ( X ) ，方差 D( X ) ，由契比雪夫不等式知
| X | P{ 4}
.
2 2 X2 X 32 X n 服 (n 1) X12
） 7．设 X 1 , X 2 , , X n 是来自总体 N (0,1 的一个样本，则统计量 Y
X 1 μX 2 σ 2 X 3 （D）
5．设 X 1 , X 2 , X 3 是来自总体 N ( ,1 的一个样本，其中 为未知参数，下面四个关于 的 ） 无偏估计量中，采用有效性这一标准来衡量，最好的是（ ） ．
2 1 X1 X 2 3 3 1 5 （C） X 1 X 3 6 6
（D）P(A B) 1 ） ．
2
) 上服从均匀分布，则 Y cos X 的概率密度为 （
2 （B） 1 y 2 0 y (0,1) 其他
2 （A） 0
y (0, ) 2 其他
y (0,1) 其他
2 arccos y （C） 0
《 概 率 论 与 数 理 统 计 A 》试 卷 试卷一
一、 单项选择题 （本题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分,将答案填在下面的横线上）
1. 袋中有 3 个红球 2 个白球，每次取 1 只，无放回地抽取两次，则第二次取到红球的概率 为（ （A） ） ．
3 5
（B）
3 4
（C）
1 2
（D）
的实际工作时间只占全部工作时间的 75% ，各台机器是否工作是相互独立的，试用中心极 限定理，求任一时刻有 144 至 160 台机器正在工作的概率.
六．计算题（本题 10 分）已知某柴油发动机，使用柴油1L 的运转时间服从正态分布，
第 5 页 共 11 页
现测试装配好的 6 台的运转时间分别为 28, 27, 31, 29, 30, 27 (min)， 按设计要求， 平均1L 运 转应在 30 (min)以上，根据测试结果，在显著性水平 0.05 下，能否说明这种发动机符合设计 要求？
(A) 平均含总体 95% 的值 (C) 有 95% 的机会含 的值
7. 假设检验时，若增大样本容量，则犯两类错误的概率 ( (A) 都减小 (B) 都增大 (C) 都不变 ） ．
8．相关关系按相关的方向区分，有（ （A）完全相关、不完全相关、不相关 （C）正相关和负相关
（B）线性相关和非线性相关 （D）单相关和复相关
X }. 2
( x 1) 1 , x 0 四、计算题（本题 10 分）设总体 X 的概率密度为 f ( x) , 其中 , 其它 0
0 为未知参数. x1 , , xn 是取自总体 X 的样本值，试求 的极大似然估计值.
五、计算题（本题 10 分）某工厂有 200 台同类型的机器，由于工艺等原因，每台机器
试卷二
一、填空题（本题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分，将答案填在下面的横线上）
0, x0 1．设随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) sinx, 0<x ，则概率 P{| X | 6 } 2 1, x 2
.
2． 在 5 把钥匙中， 有 2 把能把门打开， 现逐把试开， 则恰好第三次把门打开的概率是______. 3．设随机变量 X 与 Y 独立同分布，且
1 3 ( X i α)2 3 i 1
6．变量间线性相关程度越低，则相关系数的数值（ （A）越小； （B）越接近于 0 ； ）.
（C）越接近于 1；
7．下列结论中，正确的是（
( A) 假设检验是以小概率原理为依据 ( B ) 由一组样本值就能检验出原假设是否真正正确 (C ) 假设检验的结果总是正确的
X
1 3 X i ，则用契比雪夫不等式估计 P{| X | 4} 3 i 1
.
6． 设 X 1 , X 2 , , X n 是来自总体 N ( , ） 的样本， 则Y
2Байду номын сангаас
(X
i 1
n
i
)2
服从的分布是 .
2
kx3 x [0, 2] 7．设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) ，则常数 k ________. 其他 0
七．计算题（本题 10 分）为考察某种毒药的剂量 (mg/单位容量)与老鼠死亡之间的关
系，取多组老鼠(每组 25 个)做试验，得到数据如下表： 剂量 x 死亡的老鼠数 y 4 1 6 3 8 6 10 8 12 14 14 16 16 20 18 21
(1)计算 L xx , L yy , L xy ； (2) 计算样本相关系数 r ，并判断其相关方向和密切程度； （3）求变量 y 倚 x 的线性回归方程. （计算结果保留到小数点后四位）
3 10
2. 罐中有 6 个红球 4 个白球， 任意摸出一球， 记住颜色后再放入罐中， 一共进行 4 次． 设X 为红球出现的次数，则 E ( X ) （ （A） ） ．
16 10
（B）
4 10
（C）
24 . 10
（D）
42 6 . 10
） ．
3．设随机变量 X 的概率密度为 f ( x )
第 2 页
共 11 页
四、计算题（本题 10 分）一盒同型号螺丝钉共有 100 个，已知该型号的螺丝钉的重量
是一个随机变量，期望值是 100 g ，标准差是10 g ，试用中心极限定理求一盒螺丝钉的重量 超过 10.2kg 的概率.
五、计算题（本题 10 分）设总体 X 的分布律为
X P 1 2 3 , 其中 0 为未知参数. 已知取得一个 样本值 ( x1 , x2 , x3 , x4 ) (1, 2,1,3) ，试求 的矩估计值和极大似然估计值.
三、计算题（本题 12 分）设二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度
cxy, 0 x 3,0 y 2 , f ( x, y) 其它 0,
(1)求常数 c ； （2）求出 ( X , Y ) 关于 X 和关于 Y
的边缘概率密度； (3) 判断 X 和 Y 是否相互独立；(4) 求概率 P{Y
1．已知事件 A 与 B 相互独立， P( A) 0.5 ， P( B) 0.6 ，则 P( A B) 2．设随机变量 X 的分布函数为 F ( x) .
1 e x 0
x0 ，则 P{ X 3} 其他
.
.
3．设随机变量 X 的概率密度为 f ( x)
cx 4 x [0,1] ，则常数 c 其他 0
.
4.已知 D( X ) 1 ， D(Y ) 4 ， XY 0.5 ，则 D(2 X 3Y ) 5．设随机变量 X 与 Y 独立同分布，且 X P 0 1/2 1 1/2
2
则 U max{ X , Y } 的概率分布为
三、计算题（本题 12 分）设二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度
x 2 cxy, 0 x 1, 0 y 2 , f ( x, y) 其它 0,
(1)求常数 c ； （2）求出 ( X , Y ) 关于 X 和关
于 Y 的边缘概率密度； (3) 判断 X 和 Y 是否相互独立．(4) 求概率 P{Y X } ．
的估计量中，只有（ （A） X 1 ）才是 的无偏估计． （B） X 1
2 3
4 X2 3
1 4
2 X2 4
（C） X 1
3 4
1 X2 4
（D） X 1
3 4
1 X2 4
5．设 X 1 , X 2 , X 3 是取自总体的一个样本， α 为一未知参数，则下列样本的函数中是统计量 的为（ （A） ）. （B）X 1 αX 2 X 3 （C）αX 1 X 2 X 3 ）. （D）越接近于1 （D）X 1 X 2
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( D ) 对同一总体，用不同的样本，对同一统计假设进行检验，其结果是完全相同的
8. 假设检验时， 样本容量不变， 若缩小犯第一类错误的概率， 则犯第二类错误的概率会 ( ） ． (A) 不变 (B) 变小 (C) 变大 (D) 不确定
二、填空题（本题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分，将答案填在下面的横线上）
从的分布是________.
8. 某食品厂生产一大批食品罐头，根据生产过程和经验认为，每听罐头中维生素 C 的含量 服从 N ( ,3.98 ) ，按规定只有当 21mg 时，产品才可以出厂，现从中随机抽查 17 听罐
2
头，测得其维生素 C 的含量（单位：mg）的均值为 20 mg ，要检验在显著性水平 0.05 下这批罐头是否可以出厂，原假设 H0 应为________.
2 4．设总体 X ~ N ( μ, σ ) ，且 μ 已知、 σ 未知，设 X 1 , X 2 , X 3 是来自该总体的一个样本，
第 4 页
共 11 页
则下列样本的函数中不是统计量的为（
）. （C ） X 3 3max{ X i }
1i 3
X 1 μX 2 （A）
（B）
1 3 ( X i μ)2 3 i 1
2
1 1 1 X1 X 2 X 3 4 2 4 1 1 1 （D） X 1 X 2 X 3 3 3 3
（B）
6． 对总体 X ~ N ( , ） 的均值 作区间估计,得到置信度为 0.95 的置信区间,其意是指这 个区间（ ）. (B) 平均含样本 95% 的值 (D) 有 95% 的机会含样本的值 ） ． (D)一个增大一个减小
2 cos y （D） 0
y (0, ) 2 其他
）.
3．已知随机变量 ( X , Y ) 服从二维正态分布，则下列结论不成立的是（ （A） 3 X 2Y 一定服从正态分布 （C） X 与 Y 相互独立是 X 与 Y 不相关的充分必要条件
2
（B） X 一定服从正态分布 （D） Y 一定服从正态分布
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X P
0 1/2
1 1/2 . .
则 U min{ X , Y } 的概率分布为
4．已知 D( X ) 25 ， D(Y ) 4 ， XY 0.4 ，则 D( X 2Y )
5. 设 X 1 , X 2 , X 3 是 n 个独立同分布的随机变量， E ( X i ) ， D ( X i ) 8 ，对于
( x 1) 1 8. 设随机变量 X 的概率密度 f ( x) e 8 ，则 E ( X 2 ) __ 2 2
2
____.
二、 单项选择题 （本题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分,将答案填在下面的横线上）
1. 设 A , B 两事件互不相容， 0 P(A) p 1 ，0 P(B) q 1 ， 则推不出结论 （ （A）P(A | B) 0 2. 设随机变量 X 在 (0, （B）P(A B) 0 （C）P(A B) p ） .
θ2
2θ (1 θ )
(1 θ ) 2
六．计算题（本题 10 分）经验表明，钢珠直径(单位：mm) X 服从正态分布 N ( , 2 ) ，
现从刚生产出的一大批钢珠中随机抽出 9 个，测得其样本均值 x 31.06 ，样本方差
s 2 0.982 ，试分别求出 和 2 的置信度为 0.95 的置信区间．
七． 计算题 （本题 10 分）在某个生产过程中，在一个大气压下，温度从 0 o C 变到 10 o C ,
需考察得率 Y 与温度 x 的关系，今测得数据如下表： 温度 x 得率 Y 1 3 2 5 3 7 4 10 5 11 6 14 7 15 8 17 9 20 10 21
1 ，则 Y 2 X 的概率密度为 （ (1 x 2 )
（C）
（A）
1 (1 4 y 2 )
（B）
2 (4 y 2 )
1 (1 y 2 )
（D）
1
arctan y
） 4．设 X 1 , X 2 是来自总体 N ( ,1 的容量为 2 的样本，其中 为未知参数，下面四个关于
.
6．设随机变量 X 的数学期望 E ( X ) ，方差 D( X ) ，由契比雪夫不等式知
| X | P{ 4}
.
2 2 X2 X 32 X n 服 (n 1) X12
） 7．设 X 1 , X 2 , , X n 是来自总体 N (0,1 的一个样本，则统计量 Y
X 1 μX 2 σ 2 X 3 （D）
5．设 X 1 , X 2 , X 3 是来自总体 N ( ,1 的一个样本，其中 为未知参数，下面四个关于 的 ） 无偏估计量中，采用有效性这一标准来衡量，最好的是（ ） ．
2 1 X1 X 2 3 3 1 5 （C） X 1 X 3 6 6
（D）P(A B) 1 ） ．
2
) 上服从均匀分布，则 Y cos X 的概率密度为 （
2 （B） 1 y 2 0 y (0,1) 其他
2 （A） 0
y (0, ) 2 其他
y (0,1) 其他
2 arccos y （C） 0
《 概 率 论 与 数 理 统 计 A 》试 卷 试卷一
一、 单项选择题 （本题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分,将答案填在下面的横线上）
1. 袋中有 3 个红球 2 个白球，每次取 1 只，无放回地抽取两次，则第二次取到红球的概率 为（ （A） ） ．
3 5
（B）
3 4
（C）
1 2
（D）
的实际工作时间只占全部工作时间的 75% ，各台机器是否工作是相互独立的，试用中心极 限定理，求任一时刻有 144 至 160 台机器正在工作的概率.
六．计算题（本题 10 分）已知某柴油发动机，使用柴油1L 的运转时间服从正态分布，
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现测试装配好的 6 台的运转时间分别为 28, 27, 31, 29, 30, 27 (min)， 按设计要求， 平均1L 运 转应在 30 (min)以上，根据测试结果，在显著性水平 0.05 下，能否说明这种发动机符合设计 要求？
(A) 平均含总体 95% 的值 (C) 有 95% 的机会含 的值
7. 假设检验时，若增大样本容量，则犯两类错误的概率 ( (A) 都减小 (B) 都增大 (C) 都不变 ） ．
8．相关关系按相关的方向区分，有（ （A）完全相关、不完全相关、不相关 （C）正相关和负相关
（B）线性相关和非线性相关 （D）单相关和复相关
X }. 2
( x 1) 1 , x 0 四、计算题（本题 10 分）设总体 X 的概率密度为 f ( x) , 其中 , 其它 0
0 为未知参数. x1 , , xn 是取自总体 X 的样本值，试求 的极大似然估计值.
五、计算题（本题 10 分）某工厂有 200 台同类型的机器，由于工艺等原因，每台机器
试卷二
一、填空题（本题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分，将答案填在下面的横线上）
0, x0 1．设随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) sinx, 0<x ，则概率 P{| X | 6 } 2 1, x 2
.
2． 在 5 把钥匙中， 有 2 把能把门打开， 现逐把试开， 则恰好第三次把门打开的概率是______. 3．设随机变量 X 与 Y 独立同分布，且
1 3 ( X i α)2 3 i 1
6．变量间线性相关程度越低，则相关系数的数值（ （A）越小； （B）越接近于 0 ； ）.
（C）越接近于 1；
7．下列结论中，正确的是（
( A) 假设检验是以小概率原理为依据 ( B ) 由一组样本值就能检验出原假设是否真正正确 (C ) 假设检验的结果总是正确的
X
1 3 X i ，则用契比雪夫不等式估计 P{| X | 4} 3 i 1
.
6． 设 X 1 , X 2 , , X n 是来自总体 N ( , ） 的样本， 则Y
2Байду номын сангаас
(X
i 1
n
i
)2
服从的分布是 .
2
kx3 x [0, 2] 7．设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) ，则常数 k ________. 其他 0
七．计算题（本题 10 分）为考察某种毒药的剂量 (mg/单位容量)与老鼠死亡之间的关
系，取多组老鼠(每组 25 个)做试验，得到数据如下表： 剂量 x 死亡的老鼠数 y 4 1 6 3 8 6 10 8 12 14 14 16 16 20 18 21
(1)计算 L xx , L yy , L xy ； (2) 计算样本相关系数 r ，并判断其相关方向和密切程度； （3）求变量 y 倚 x 的线性回归方程. （计算结果保留到小数点后四位）
3 10
2. 罐中有 6 个红球 4 个白球， 任意摸出一球， 记住颜色后再放入罐中， 一共进行 4 次． 设X 为红球出现的次数，则 E ( X ) （ （A） ） ．
16 10
（B）
4 10
（C）
24 . 10
（D）
42 6 . 10
） ．
3．设随机变量 X 的概率密度为 f ( x )
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四、计算题（本题 10 分）一盒同型号螺丝钉共有 100 个，已知该型号的螺丝钉的重量
是一个随机变量，期望值是 100 g ，标准差是10 g ，试用中心极限定理求一盒螺丝钉的重量 超过 10.2kg 的概率.
五、计算题（本题 10 分）设总体 X 的分布律为
X P 1 2 3 , 其中 0 为未知参数. 已知取得一个 样本值 ( x1 , x2 , x3 , x4 ) (1, 2,1,3) ，试求 的矩估计值和极大似然估计值.
三、计算题（本题 12 分）设二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度
cxy, 0 x 3,0 y 2 , f ( x, y) 其它 0,
(1)求常数 c ； （2）求出 ( X , Y ) 关于 X 和关于 Y
的边缘概率密度； (3) 判断 X 和 Y 是否相互独立；(4) 求概率 P{Y
1．已知事件 A 与 B 相互独立， P( A) 0.5 ， P( B) 0.6 ，则 P( A B) 2．设随机变量 X 的分布函数为 F ( x) .
1 e x 0
x0 ，则 P{ X 3} 其他
.
.
3．设随机变量 X 的概率密度为 f ( x)
cx 4 x [0,1] ，则常数 c 其他 0
.
4.已知 D( X ) 1 ， D(Y ) 4 ， XY 0.5 ，则 D(2 X 3Y ) 5．设随机变量 X 与 Y 独立同分布，且 X P 0 1/2 1 1/2
2
则 U max{ X , Y } 的概率分布为
三、计算题（本题 12 分）设二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度
x 2 cxy, 0 x 1, 0 y 2 , f ( x, y) 其它 0,
(1)求常数 c ； （2）求出 ( X , Y ) 关于 X 和关
于 Y 的边缘概率密度； (3) 判断 X 和 Y 是否相互独立．(4) 求概率 P{Y X } ．
的估计量中，只有（ （A） X 1 ）才是 的无偏估计． （B） X 1
2 3
4 X2 3
1 4
2 X2 4
（C） X 1
3 4
1 X2 4
（D） X 1
3 4
1 X2 4
5．设 X 1 , X 2 , X 3 是取自总体的一个样本， α 为一未知参数，则下列样本的函数中是统计量 的为（ （A） ）. （B）X 1 αX 2 X 3 （C）αX 1 X 2 X 3 ）. （D）越接近于1 （D）X 1 X 2
第 1 页 共 11 页
( D ) 对同一总体，用不同的样本，对同一统计假设进行检验，其结果是完全相同的
8. 假设检验时， 样本容量不变， 若缩小犯第一类错误的概率， 则犯第二类错误的概率会 ( ） ． (A) 不变 (B) 变小 (C) 变大 (D) 不确定
二、填空题（本题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分，将答案填在下面的横线上）
从的分布是________.
8. 某食品厂生产一大批食品罐头，根据生产过程和经验认为，每听罐头中维生素 C 的含量 服从 N ( ,3.98 ) ，按规定只有当 21mg 时，产品才可以出厂，现从中随机抽查 17 听罐
2
头，测得其维生素 C 的含量（单位：mg）的均值为 20 mg ，要检验在显著性水平 0.05 下这批罐头是否可以出厂，原假设 H0 应为________.
2 4．设总体 X ~ N ( μ, σ ) ，且 μ 已知、 σ 未知，设 X 1 , X 2 , X 3 是来自该总体的一个样本，
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则下列样本的函数中不是统计量的为（
）. （C ） X 3 3max{ X i }
1i 3
X 1 μX 2 （A）
（B）
1 3 ( X i μ)2 3 i 1