第2部分第3章 空间群(2) 群论讲义PPT_293
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群论第2章
√
• 循环群：由一个元素X及其全部h个幂组成的集合， 其中Xh＝E， h阶循环群。 循环群的特点：都是阿贝尔群 G3是3阶循环群
问题：四阶群有几种？其乘法表如何？
①四阶循环群G4
(1)：
(1) G4
E
A
B
C
X=A,X2=B,X3=C,X4=E
其中：B-1=B， A-1=C ②存在G4(2)，
(2) G4
ABC=A(BC)=(AB)C
若 AB=BA，
AB≠BA
则群为阿贝尔群（对易群）
③单位元素E: 群中必有单位元素(恒等元素) 存在。 单位元素与其它元素相乘可以交换顺序，且等于 元素本身。 若A∈G ， ④逆元素： 群中每个元素必有自己的逆元素。 若A∈G，必有A-1∈G， 则 EA=AE=A
并有 AA-1=A-1A=E • 群G的单位元素是唯一的； • 若 A∈G，则G中A的逆元A-1是唯一； • E的逆元是其本身.
二阶群：
E A E A A E
E E A B A A B B
三阶群：
• 若AA＝E，
则不满足重排原理，E、A 和B不构成群。
G3 E A B
G3 E A B
E A B E A B A ? B
E E A B A A B E B B E A
x
• 当AA＝B，
满足重排原理，元素符合 群条件，其中 AA＝B, AB=AAA=E
C3v ③ 求σ的共轭元素， E …. C3 通过相似变换可得σ σ’和 σ’’彼此 C32 E E C3 C32 C3 C3 C32 E C32 C32 E C3
结论：
① 恒等元素在任何群中自成一类。 ② 在群的各类中不会有相同的元素出现。
第2部分第3章 空间群(2) 群论讲义PPT
[ 答案: 是 ]
[ 思考题: T 群的不可约表示是几维的? 为什么? ]
[ 答案: 都是一维的, 因为阿贝尔群各元素自成一类, 故不
可约表示数 r 和类数 c 都等于群元数 h ( r = c = h ),
又因为 j nj 2 = h ( j = 1 ---- r ), 则nj 皆为1. ] *
因此有 PT = C ( T )
10
B2 = A-1 B1 A = C4-1 C2 C4 = C2 ( 习题 )
B1 = B2 = C2 D3 ( B1 ) = D4 ( B2 ) = -1 D3 ( B2 ) = D4 ( B1 ) = -1
以上两计算结果表明群C2v 的3 和4 是相对于群C4v 的共轭表示
习题: 用新的点群操作表示法证明下列关系式
则称 1 和 2 为群 H 相对于群 G 的共轭表示 (2) 例1: 群C2v 的 3 和 4 是相对于群C4v 的共轭表示
H: C2v E C2 v’ v” D1 1 1 1 1 1
G: C4v E C2 2v 2d 2C4
D2 2 1 1 -1 -1
D3 3 1 -1 1 -1
D4 4 1 -1 -1 1
Ck = Ck1 Ck2 Ck3 = exp [- 2 i ( P1/N1 + P2/N2 + P3/N3 ) ] = exp [-2 i i (Pi /Ni)] (i = 1, 2, 3) [提问:多少个不可约表示?]
三维平移群 { | R n } 有 N1 N2 N3 个 (群元数) 不可约表示 *
二, 平移群不可约表示的性质
6
(1) 平移群 T = { | R n } 的不可约表示 Ck 为 exp ( i k • R n ),
2.2.3点群和空间群
该图形显然具有一个对称中心
因此 3 次倒转轴相当于 1 条 3 次旋转轴加上一个对称中心
3 3i
4 次倒转轴
相当于旋转90后再对中 心反演而图形不变。
这是一个独立的对称操 作。它既没有 4 次旋转 轴也没有对称中心，不 能分解成其他基本对称 要素的组合。
注意这里的 2、6、4、 8 这四个点是不存在的， 也是过渡点。
对称面
对称面是一个假想的平面，相应 的对称操作为对此平面的反映。对 称面就像一面镜子，把物体的两个 相同的部分以互成镜像反映的关系 联系起来。 垂直于对称面作任意直线，位于 直线两侧等距离的两点是性质完全 相同的对应点 晶体中如果存在有对称面，则必 定通过晶体的几何中心并将晶体分 为互成镜像反映的两个相同部分 在结晶学中，对称面一般用符号 “m” 表示。
倒转轴
倒转轴是一种复合对称 要素，由一根假想的直线 和在此直线上的一个定点 组成。相应的对称操作是 绕此直线旋转一定角度以 及对此定点的倒反。 根据晶体对称轴定律，倒 转轴也只有 1 次、2 次、 3 次、4 次和 6 次 5 种
倒反类倒转轴 中，只有 4 次倒转轴是一个独立的基本对称操
点群：在宏观晶体中存在的所有对称要素都必定 通过晶体的中心，因此不论如何进行对称操作，晶
体中至少有一个点是不变的，因此对称型也称为点
群。32点群
特征对称元素与7 大晶系
在32晶体学点群中，某些点群均含有一种相同的对称元素， 这样的对称元素叫做特征对称元素。
根据相应的对称性特征，晶体结构可以分为 7 类， 称为 7 大晶系。这 7 大晶系按对称程度增加的次序
在旋转操作中，使物体复原所需的最小旋转角 称为基转角。轴次 n 可以写成
群论课件
24
可约性的判定
2 2 2 2
16
第四节 群表示的特征标
1.定义：设群G={E,A,B,C,…},它的一个表示 D={D(E),D(A),D(B),D(C),…},则群元R的特征标 为D(R)的对角元之和（迹） X(R)=TrD(R)= Daa ( R)
a 1 n
式中，R表示G的任一元 Daa是对角元，n是表示空间的维数。 特征标系：群G中所有的g个群元在D中的特征标 注：对可约表示和不可约表示同样适用， 第a个不可约表示Da(R)的特征标写成Xa(R)
8
第二节 舒尔（Schur）引理
1.舒尔引理一 D是群G的一个表示，若存在一个矩阵A，与D中所 有矩阵都对易，即 D(R)A=AD(R) R∈G 则有： (1)若D是不可约的，A必为常数矩阵 A=λ E 式中,λ为标量，E为单位矩阵 (2)若A不是常数矩阵，则D必为可约表示。若A为厄 米矩阵，则约化矩阵就是使A对角化的矩阵。 注：厄米矩阵—矩阵与其共轭矩阵相等 R+=R
21
3.不等价不可约表示的符号
(1)Mulliken符号
符号 A、A1、A2 B（B1，B2，…）
E，T
表示含义 适用情况 +1（对称）、恒等表示、 一维 其他表示 -1（反对称）、其他表 示
二维、三维
脚标加 g，u
有中心反演
(2)Bethe符号
1，2，3， ...
22
4.可约表示的约化（特征标的应用）
19
证明：
(i ( X (i )* ( R) X ( j ) ( R) Duu)* ( R) Daaj ) ( R) R R u a (i ( Duu)* ( R)Daaj ) ( R) ua R
可约性的判定
2 2 2 2
16
第四节 群表示的特征标
1.定义：设群G={E,A,B,C,…},它的一个表示 D={D(E),D(A),D(B),D(C),…},则群元R的特征标 为D(R)的对角元之和（迹） X(R)=TrD(R)= Daa ( R)
a 1 n
式中，R表示G的任一元 Daa是对角元，n是表示空间的维数。 特征标系：群G中所有的g个群元在D中的特征标 注：对可约表示和不可约表示同样适用， 第a个不可约表示Da(R)的特征标写成Xa(R)
8
第二节 舒尔（Schur）引理
1.舒尔引理一 D是群G的一个表示，若存在一个矩阵A，与D中所 有矩阵都对易，即 D(R)A=AD(R) R∈G 则有： (1)若D是不可约的，A必为常数矩阵 A=λ E 式中,λ为标量，E为单位矩阵 (2)若A不是常数矩阵，则D必为可约表示。若A为厄 米矩阵，则约化矩阵就是使A对角化的矩阵。 注：厄米矩阵—矩阵与其共轭矩阵相等 R+=R
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3.不等价不可约表示的符号
(1)Mulliken符号
符号 A、A1、A2 B（B1，B2，…）
E，T
表示含义 适用情况 +1（对称）、恒等表示、 一维 其他表示 -1（反对称）、其他表 示
二维、三维
脚标加 g，u
有中心反演
(2)Bethe符号
1，2，3， ...
22
4.可约表示的约化（特征标的应用）
19
证明：
(i ( X (i )* ( R) X ( j ) ( R) Duu)* ( R) Daaj ) ( R) R R u a (i ( Duu)* ( R)Daaj ) ( R) ua R
群论第二章ppt
5
§2.1 群的概念
显然只有群元素比较少时这乘法表才排得出来，在乘法表 中每列与每行，每个元素出现一次，也仅一次，这为乘法表 的重排定理。 若群是Abel群（交换群），则乘法表中对主对角线是对称 的。下面给出几个例子 例1 G 1, 1 乘法为普通数乘法，单位元素为1 e ,a=-1逆元素为 自 己，其乘法定律 ee=e, aa=e, ea=ae=a, 这群在量子力学中很重要，这群与空间反演相对应，三维 空间矢量 r 作用 er r ar r e保持 r 不变的恒等变换 a 使 r 反演的反演变换，则 e, a 构成反演群。 我们称群G与反演群同构。
11
§2.1 群的概念
给出乘法表如下表：从表中看出，群中元素任一个u乘 积 ug a ， 给出并且仅一次给出G所有元素，满足重排定理。 e a b c d f —— |—————————————— e | e a b c d f a | a e d f b c b | b f e d c a c | c d f e a b d | d c a b f e f | f b c a e d 后面看到重排定理大大限制了互相不同构有限群数目。还 可以证明，阶数为相同素数的有限群都同构。三客体置换群 S 3 与平面正三角形对称群D3 同构。
a G
ae ea a
4
§2.1 群的概念
2. 乘法表与群示例
如果我们知道群中每两个元素的乘积，则群 结构就确定了。这乘积可以排列成一个乘法 表，例如G中有元素e,a,b,c,d，乘法表为 e a b c d e ee=e ea=a b c d
a b c d ae=a aa b c d ba ca da ab bb cb db ac bc cc dc ad ba cd dd
群论课件ppt
有限集合
元素数量是有限的集合。
03
02
置换
将一个有限集合的元素重新排列。
乘法
置换之间的运算。
04
循环群
01
02
03
循环群
由一个元素生成的群，即 置换群中所有元素都是该 元素的循环。
循环
将一个元素替换为另一个 元素，其它元素保持不变 。
元素生成
由一个元素开始，通过重 复应用某种变换得到的所 有元素。
群论课件
目录
• 群论基础 • 置换群 • 群论的应用 • 群表示论 • 群论中的问题与挑战 • 群论与其他数学领域的联系
01
CATALOGUE
群论基础
群的定义
群是由一个集合和定义在这个集合上 的一个二元运算所组成的一个代数结 构。这个二元运算被称为群中的“乘 法”。
群中的元素可以是有理数、整数、矩 阵、变换等，具体取决于实际应用和 研究领域。
群论与几何学的联系
对称性
群论在几何学中广泛应用于描述对称性。例 如，晶体学中的晶格结构可以用群论来描述 其对称性。此外，在几何图形中，我们也可 以用群论来描述图形的对称变换。
几何形状的分类
通过群论的方法，我们可以对几何形状进行 分类。例如，根据其对称性，我们可以将几 何形状分为不同的类型。这种分类方法有助 于我们更好地理解和研究几何形状的性质和
群表示是群论中一个重要的概念，它有助于将群的结构和性质转化为线性 代数的语言，从而更好地理解和研究群。
特征标与维数
01
特征标是群表示的一个重要概念 ，它描述了群在某个向量空间上 的作用方式。
02
特征标是一个函数，将群中的每 元素映射到复数域上，它反映
了群元素的性质和作用方式。
元素数量是有限的集合。
03
02
置换
将一个有限集合的元素重新排列。
乘法
置换之间的运算。
04
循环群
01
02
03
循环群
由一个元素生成的群，即 置换群中所有元素都是该 元素的循环。
循环
将一个元素替换为另一个 元素，其它元素保持不变 。
元素生成
由一个元素开始，通过重 复应用某种变换得到的所 有元素。
群论课件
目录
• 群论基础 • 置换群 • 群论的应用 • 群表示论 • 群论中的问题与挑战 • 群论与其他数学领域的联系
01
CATALOGUE
群论基础
群的定义
群是由一个集合和定义在这个集合上 的一个二元运算所组成的一个代数结 构。这个二元运算被称为群中的“乘 法”。
群中的元素可以是有理数、整数、矩 阵、变换等，具体取决于实际应用和 研究领域。
群论与几何学的联系
对称性
群论在几何学中广泛应用于描述对称性。例 如，晶体学中的晶格结构可以用群论来描述 其对称性。此外，在几何图形中，我们也可 以用群论来描述图形的对称变换。
几何形状的分类
通过群论的方法，我们可以对几何形状进行 分类。例如，根据其对称性，我们可以将几 何形状分为不同的类型。这种分类方法有助 于我们更好地理解和研究几何形状的性质和
群表示是群论中一个重要的概念，它有助于将群的结构和性质转化为线性 代数的语言，从而更好地理解和研究群。
特征标与维数
01
特征标是群表示的一个重要概念 ，它描述了群在某个向量空间上 的作用方式。
02
特征标是一个函数，将群中的每 元素映射到复数域上，它反映
了群元素的性质和作用方式。
点群和空间群ppt课件
❖ 宏观对称要素和微观对称要素在三维空间的组合，称为空 间群。
❖ 经过严格证明可以得出，晶体中可能存在230种空间群，任 何一种晶体的微观结构属于且只属于230种空间群之一。
50
点群与空间群的关系
晶体外形的对称性仅有32个点群，而晶体结构的对称性却有320
种空间群。晶体外形的对称性是晶体结构对称性的反映。 属于同一点群的晶体不一定属于同一空间群。换言之，空间群
59
60
61
62
63
64
重要对称元素的书写与图形记号
65
5
3
3
5
1
1
4
6
2
4
6 2
19
20
(3) 6 象转轴——实际上就是3度转轴＋对称面(m)
5 5
3
3
1
1
2
6
2
4
6
4
21
22
(3) 4 象转轴
3
1 2
2
3
1 4
4
23
24
结论： 晶体的宏观对称性中有以下八种基本的对称
操作：1，2，3，4，6，1, m, 4 。 这些基本的操
作组合起来，就可以得到32种不包括平移的宏观 操作类型。
12
二、中心反演(中心反映)
1.中心反演
如图所示，有对称心i，晶体中
iA
任一点A过中心 i 连线Ai并延长到A'，
使Ai = A' i, A与A'是等同点， i点称
A
为对称心。
2.表示方式
x, y, z
(1)熊夫利符号表示——i;
x, y,z
(2)国际符号表示—— 1
❖ 经过严格证明可以得出，晶体中可能存在230种空间群，任 何一种晶体的微观结构属于且只属于230种空间群之一。
50
点群与空间群的关系
晶体外形的对称性仅有32个点群，而晶体结构的对称性却有320
种空间群。晶体外形的对称性是晶体结构对称性的反映。 属于同一点群的晶体不一定属于同一空间群。换言之，空间群
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重要对称元素的书写与图形记号
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(3) 6 象转轴——实际上就是3度转轴＋对称面(m)
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(3) 4 象转轴
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结论： 晶体的宏观对称性中有以下八种基本的对称
操作：1，2，3，4，6，1, m, 4 。 这些基本的操
作组合起来，就可以得到32种不包括平移的宏观 操作类型。
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二、中心反演(中心反映)
1.中心反演
如图所示，有对称心i，晶体中
iA
任一点A过中心 i 连线Ai并延长到A'，
使Ai = A' i, A与A'是等同点， i点称
A
为对称心。
2.表示方式
x, y, z
(1)熊夫利符号表示——i;
x, y,z
(2)国际符号表示—— 1
群论讲义
第一章 抽象群基础§1.1 群【定义1.1】 G 是一个非空集合，G =｛…，g ，…｝，“· ” 为定义在任意两个元素之间的二元代数运算(乘法运算)，若G 及其运算满足以下四个条件： （1）封闭性：∀f, g ∈G , f ·g=h , 则h ∈G ; （2）结合律：∀f, g, h ∈G ，（f ·g ）·h ＝f ·(g ·h ); （3）有单位元：∃e ∈ G , ∀f ∈ G , f ·e ＝e ·f ＝f;（4）有逆元素：∀f ∈G ，∃f -1 ∈G , 使f ·f -1= f -1·f = e; 则称G 为一个群，e 为群G 的单位元，f --1为f 的逆元。
·系1. e 是唯一的。
若e 、e ´ 皆为G 的单位元，则e ·e ´= e ´，e ·e ´= e ，故e ´= e 。
·系2. 逆元是唯一的。
若存在f 的两个逆元f ´=f"，则f''f''e f''f)(f'f'')(f f'e f'f'=⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=, 即''f f'= ·系3 e –1 = ee –1 = e -1·e = e , 即：e –1 = e 。
·系4 若群G 的运算还满足交换律，∀f ，g ∈G , 有f ·g=g ·f , 则称G 为交换群，或阿贝尔群。
群是我们定义的一种抽象结构，具有一般性，它象一个空筐子，可以装入各种具有相同抽象结构的实际对象。
通过研究抽象结构的一般性质，就可以掌握各种实际对象的性质。
例1.1 整数集{z }及其上的加法+单位元为0, 逆元z -1 = -z ,构成整数加法群。
第2部分第3章 空间群(1) 群论讲义PPT
第二部分 群论应用
第三章 空间群 (1)
(一) 广义空间群
2
一, 转动平移算符 { | t } ( 由此构成广义空间群 )
坐标变换: x’ = R11 x + R12 y + R13 z + t1
y’ = R21 x + R22 y + R23 z + t2 z’ = R31 x + R32 y + R33 z + t3
r’ = r + t
令 { | t } r = r + t = r ’ -------------------- (1)
二, { | t } r 的性质
(1) 不变操作 { | 0 }
{ | 0 } ( 纯转动操作 ) , { | t } ( 纯平移操作 )
(2) 乘积关系 ( 和封闭性 )
一, 狭义空间群的定义 ( 此为群论的定义, 它符合晶体对称性)
如{ | t } 群的不变子群{ | t }为{ | R n },
则该 { | t } 群为狭义空间群, 简称空间群. 其中, R n 为晶体的格矢, R n = n1 a 1 + n2 a 2 + n3 a 3
a 1, a 2 , a 3 为晶格的元胞基矢, 是彼此线性独立的. n1, n2 , n3 为正整数 二, ( 狭义) 空间群的性质 ( 符合晶体对称性的要求 ) (1) 如 R n 是晶体格矢, 则 R n 也是晶体格矢.
根据定义, 群{ | R n } 是群{ | t }的不变子群 ,
则 { | t}{ | R n} {| t }-1 = { | R n + t }{-1| - -1 t }
= { | - t + R n + t } = { | R n }, 为 { | R m },
第三章 空间群 (1)
(一) 广义空间群
2
一, 转动平移算符 { | t } ( 由此构成广义空间群 )
坐标变换: x’ = R11 x + R12 y + R13 z + t1
y’ = R21 x + R22 y + R23 z + t2 z’ = R31 x + R32 y + R33 z + t3
r’ = r + t
令 { | t } r = r + t = r ’ -------------------- (1)
二, { | t } r 的性质
(1) 不变操作 { | 0 }
{ | 0 } ( 纯转动操作 ) , { | t } ( 纯平移操作 )
(2) 乘积关系 ( 和封闭性 )
一, 狭义空间群的定义 ( 此为群论的定义, 它符合晶体对称性)
如{ | t } 群的不变子群{ | t }为{ | R n },
则该 { | t } 群为狭义空间群, 简称空间群. 其中, R n 为晶体的格矢, R n = n1 a 1 + n2 a 2 + n3 a 3
a 1, a 2 , a 3 为晶格的元胞基矢, 是彼此线性独立的. n1, n2 , n3 为正整数 二, ( 狭义) 空间群的性质 ( 符合晶体对称性的要求 ) (1) 如 R n 是晶体格矢, 则 R n 也是晶体格矢.
根据定义, 群{ | R n } 是群{ | t }的不变子群 ,
则 { | t}{ | R n} {| t }-1 = { | R n + t }{-1| - -1 t }
= { | - t + R n + t } = { | R n }, 为 { | R m },
群论课件第二章
12
两个相继操作：先操作右（第二）因子，后操作左（第一）因子 例如：AB=D
B D A
BC=D
C D
B
作业：D2=？ D3=？DA=？AD=？
13
D3群的乘法表
14
3. 置换群
以变换位置的操作为群元，以相继操作为 群乘， 构成置换群
（1）置换操作
┌1 2 3┐
f=∣ ∣ └3 1 2┘ 位置1上的粒子换到位置3上了……
9
重排定理： Ak G = G Ak = G
求证: GAk = G 证明: 第一步：证明每个元素必出现在 GAk 中 （即证明若元素 X G，则必 X GAk） 令 Ar = X Ak-1 ∵ X，Ak-1 G, ∴ Ar G ( 封闭性 ) 则 X = ArAk G Ak 第二步：证明每个元素只出现一次 （即证明若又有一元素As G 使 AsAk = X, 则必有As =Ar ） ∵ AsAk = X, 又由前面可知 X = ArAk， ∴ ArAk = AsAk 则 Ar = Ar（AkAk-1）=（ArAk）Ak-1 =（AsAk）Ak-1 = As（AkAk-1）= As
不一定成立
----交换群或者阿贝尔群：满足交换律 （循环群都是阿贝尔群）
----非交换群：不满足交换律
按运算方法分：交换群和非交换群
4
1.3 群元的基本性质
1. 单位元
E-1 = E , E 的逆元仍为E
2. 逆元
(A-1)-1 = A, 逆元之逆元为元素本身
3. 乘积的逆元
(AB)-1 = B-1 A-1
28
3.2 共轭类
(1)定义：群G中所有互相共轭的元素形成的完全集 合----群中的共轭类，常用C表示 即 XCX-1=C X∈G 式中：C={C1,C2,…,Cn}, XCiX-1=Cj (i,j=1,2,…,n) (2)性质 ①单位元自成一类 ②不同的类中没有共同元 ③除单位元这一类外，其余各类都不是子群，因为 这些类中不包含单位元 ④Abel群的每个元自成一类（请证明）
群论第2章-PPT
2
③单位元素E:
群中必有单位元素(恒等元素) 存在。
单位元素与其它元素相乘可以交换顺序，且等于 元素本身。
若A∈G ， 则 EA=AE=A ④逆元素：
群中每个元素必有自己的逆元素。
若A∈G，必有A-1∈G， 并有 AA-1=A-1A=E
• 群G的单位元素是唯一的； • 若 A∈G，则G中A的逆元A-1是唯一； • E的逆元是其本身.
循环群的特点：都是阿贝尔群
G3是3阶循环群
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问题：四阶群有几种？其乘法表如何？
①四阶循环群G4(1)： X=A,X2=B,X3=C,X4=E 则：
其中：B-1=B， A-1=C
Байду номын сангаас
G (1) 4
E
A
B
C
E E ABC
A ABC E
B BCE A
C C E AB
②存设在：GA4-(12=)，A, B-1=B, 则 C-1=C
1 1 ｉ ｉ 1 1 1 ｉ ｉ 1 1 1 ｉ ｉ ｉ ｉ ｉ 1 1 ｉ ｉ ｉ 1 1
7
2. 群表的说明
①每个有限群都可以给出一 个乘法表，
②乘法表体现了群的四个性 质，可以从中了解群结构
1 1 ｉ ｉ 1 1 1 ｉ ｉ 1 1 1 ｉ ｉ ｉ ｉ ｉ 1 1 ｉ ｉ ｉ 1 1
三阶群：
G3 E A B E E AB
AA
BB
9
• 若AA＝E， 则不满足重排原理，E、A 和B不构成群。
• 当AA＝B， 满足重排原理，元素符合 群条件，其中
AA＝B, AB=AAA=E
G3 E A B
x E E A B
A A ? BB
G3 E A B
群论讲义
第一章 抽象群基础§1.1 群【定义1.1】 G 是一个非空集合，G =｛…，g ，…｝，“· ” 为定义在任意两个元素之间的二元代数运算(乘法运算)，若G 及其运算满足以下四个条件： （1）封闭性：∀f, g ∈G , f ·g=h , 则h ∈G ; （2）结合律：∀f, g, h ∈G ，（f ·g ）·h ＝f ·(g ·h ); （3）有单位元：∃e ∈ G , ∀f ∈ G , f ·e ＝e ·f ＝f;（4）有逆元素：∀f ∈G ，∃f -1 ∈G , 使f ·f -1= f -1·f = e; 则称G 为一个群，e 为群G 的单位元，f --1为f 的逆元。
·系1. e 是唯一的。
若e 、e ´ 皆为G 的单位元，则e ·e ´= e ´，e ·e ´= e ，故e ´= e 。
·系2. 逆元是唯一的。
若存在f 的两个逆元f ´=f"，则f''f''e f''f)(f'f'')(f f'e f'f'=⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=, 即''f f'= ·系3 e –1 = ee –1 = e -1·e = e , 即：e –1 = e 。
·系4 若群G 的运算还满足交换律，∀f ，g ∈G , 有f ·g=g ·f , 则称G 为交换群，或阿贝尔群。
群是我们定义的一种抽象结构，具有一般性，它象一个空筐子，可以装入各种具有相同抽象结构的实际对象。
通过研究抽象结构的一般性质，就可以掌握各种实际对象的性质。
例1.1 整数集{z }及其上的加法+单位元为0, 逆元z -1 = -z ,构成整数加法群。
空间群PPT课件
63
Pmm2
点对称和平移对称操作产生新的非基本操作
2020/1/15
64
P222
2020/1/15
65
PMMM
2020/1/15
66
Cmm2
出现滑移面
2020/1/15
67
2020/1/15
68
2020/1/15
69
2020/1/15
70
2020/1/15
71
各晶系空间群特征概要
• 空间群： 国际符号： 空间群符号的意义： 空间群的熊夫利推导方法：
俯视图
方向
原点
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112
2020/1/15
113
2020/1/15
114
原点位置
• 点式空间群：对称性等于空间群点群的点 上，非点式:取在最高对称性的点上，有反 演中心则取在
不对称单位（ Asymmetric Unit ）
商群与点群一一对应商群不一定是点群商群中不含整数平移操作空间群中的任何操作都可以用h个基本操作与平移群的操作组合而得202011753一般等效位置商群中h个基本操作作用后产生h个一般等效点点阵类型加一般等效点系描述空间群等效位置确定商群的对称性及所属的晶系由点阵类型便知道平移群的对称性确定单胞内的原子数及位置202011754国际表中对称操作的表示202011755对称操作的分类及几何符号202011756由对称操作的矩阵求对应的几何符号1查表确定对应点对称操作2确定对称元素的取向和位置a反映b纯旋转c旋转倒反202011757反映面滑移面滑移分量平行滑移面滑移面的位置分量垂直滑移面滑移面位置
独立原子位置
加心产生新的对称操作：滑移线
33
2020/1/15
群论第二章ppt
3
§2.1 群的概念
（3),存在单位元素 集合中存在一个单位元素或称恒等元素 (Identity Element)而且只存在一个单位元素e
e∈G
(4), 集合总任何元素的逆元素在集合中，a 的逆元 1 为 a −， 有 aa −1 = a −1a = e a −1 ∈ G a −1 是唯一的。 在一定乘法规则下满足以上四条的具有代数结构的集合称 为群。在四条中没有要求满足交换律，如果一个群其元素乘 法满足交换律称为交换群或Abel群 群元的数目称为群的阶，记为g。g为有限称为有限群。元 素无限称为无限阶群。群元可数的无限群为离散无限群，而 群元素不可数的称为连续群。
5
§2.1 群的概念
显然只有群元素比较少时这乘法表才排得出来，在乘法表 中每列与每行，每个元素出现一次，也仅一次，这为乘法表 的重排定理。 若群是Abel群（交换群），则乘法表中对主对角线是对称 的。下面给出几个例子 例1 G = {1, −1} 乘法为普通数乘法，单位元素为1 = e ,a=-1逆元素为 自 己，其乘法定律 ee=e, aa=e, ea=ae=a, 这群在量子力学中很重要，这群与空间反演相对应，三维 v v v v v 空间矢量 r 作用 er = r ar = − r v v e保持 r 不变的恒等变换 a 使 r 反演的反演变换，则 {e, a}构成反演群。 我们称群G与反演群同构。
16ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
子群, §2.2 子群 同态和同构
2. 同态与同构 定义2.3。若从群G到群F上存在一一对应的映射， 定义 且在映射中群代数结构不变，即乘法规则不变，即 G中两元素乘积的映射等于两元素映射到F的乘积， G F 称群G与群F同构。 φ g• •f 记 G ≅ F 映射称同构映射。 g • •f g •f 即 Φ ：G → F •
§2.1 群的概念
（3),存在单位元素 集合中存在一个单位元素或称恒等元素 (Identity Element)而且只存在一个单位元素e
e∈G
(4), 集合总任何元素的逆元素在集合中，a 的逆元 1 为 a −， 有 aa −1 = a −1a = e a −1 ∈ G a −1 是唯一的。 在一定乘法规则下满足以上四条的具有代数结构的集合称 为群。在四条中没有要求满足交换律，如果一个群其元素乘 法满足交换律称为交换群或Abel群 群元的数目称为群的阶，记为g。g为有限称为有限群。元 素无限称为无限阶群。群元可数的无限群为离散无限群，而 群元素不可数的称为连续群。
5
§2.1 群的概念
显然只有群元素比较少时这乘法表才排得出来，在乘法表 中每列与每行，每个元素出现一次，也仅一次，这为乘法表 的重排定理。 若群是Abel群（交换群），则乘法表中对主对角线是对称 的。下面给出几个例子 例1 G = {1, −1} 乘法为普通数乘法，单位元素为1 = e ,a=-1逆元素为 自 己，其乘法定律 ee=e, aa=e, ea=ae=a, 这群在量子力学中很重要，这群与空间反演相对应，三维 v v v v v 空间矢量 r 作用 er = r ar = − r v v e保持 r 不变的恒等变换 a 使 r 反演的反演变换，则 {e, a}构成反演群。 我们称群G与反演群同构。
16ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
子群, §2.2 子群 同态和同构
2. 同态与同构 定义2.3。若从群G到群F上存在一一对应的映射， 定义 且在映射中群代数结构不变，即乘法规则不变，即 G中两元素乘积的映射等于两元素映射到F的乘积， G F 称群G与群F同构。 φ g• •f 记 G ≅ F 映射称同构映射。 g • •f g •f 即 Φ ：G → F •
群论 第三章
e2′
e3′ )
=
gCk
(α
)g −1(e1′
e2′
e3′ )
=
gCk
(α )(e1
e2
e3 )
( )[ ] [ ] ( ) = g e1 e2 e3 Cij = e1′ e′2 e3′ Cij 。 (2)
比较上述(1)(2)两式可见，Ck
(α
)
在
o
−
xyz
下的矩阵与
C k1
(α1
)
在
o
−
x′y′z′
1. o − xyz 为右手系，坐标向量为 e1 ， e2 ， e3 。
2. 点操作保持原点不动，镜面与转轴通过原点，原点即反演中心。
3. Ck (α )，σ k ， Sk (α )中的 k 为单位矢。
§ 2 旋转群 SO(3)
设 T 是一个保持原点不动的点操作，即 T e j = e ′j = t1 j e1 + t2 j e2 + t3 j e3 ( j = 1 ,2 ,3)，写成
所以 det M (T ) = ±1 。
定理 1 每一个点操作对应于一个行列式为 + 1 或 − 1的正交矩阵。
例如单位操作 E 、反演操作 I 分别对应于行列式为 + 1 和 − 1的正交矩阵：
M
(E
)
=
1 0
0 1
0 0 ，
0 0 1
M
(I
)
=
−1 0
0 −1
0 0 ，
0
0 1
更一般结论：
引理 2 每一个旋转对应于一个行列式为 + 1 的正交矩阵。
群论及应用ppt课件
证明：
xAB cii
aij b ji
i
i
j
xBA d jj
b ji aij
b ji aij
aij b ji xAB
j
ji
i
j
i
j
3、共轭矩阵特征标相同
B X 1 AX
xB bii
X
a 1
ij
jk
X
ki
i
i jk
X
ki
X
a 1
ij
jk
jk i
kj a jk a jj xA
（5）所有群都有一个全对称表示
（6） xi2 (R) 4 xi2 (R) 1 R
（7）正交性： xi (R)x j (R) 0
R
x(R) 1
（8）特征标表
C 2V
E
A1
1
A2
1
B1
1
B2
1
C2
1 V
2 V
1
1
1
1
-1
-1
-1
1
-1
-1
-1
1
熊夫利符号 对称操作 A，B 一维 E 二维 T 三维 g, u 中心对称与反对称
还是(x,y,z)，设P’点在OXYZ坐标系的坐标为(x’,y’,z’)，则： OP' e' r er '
因为
e ' eD(R)
OP' eD(R)r er'
r ' D(R)r
（3）
比较（3）和（2）式， 将物体固定变换基矢与将基矢固定使物体 作相反方向变动时，物体上各点的坐标变换情况是一样的。
R
h lil j
xAB cii
aij b ji
i
i
j
xBA d jj
b ji aij
b ji aij
aij b ji xAB
j
ji
i
j
i
j
3、共轭矩阵特征标相同
B X 1 AX
xB bii
X
a 1
ij
jk
X
ki
i
i jk
X
ki
X
a 1
ij
jk
jk i
kj a jk a jj xA
（5）所有群都有一个全对称表示
（6） xi2 (R) 4 xi2 (R) 1 R
（7）正交性： xi (R)x j (R) 0
R
x(R) 1
（8）特征标表
C 2V
E
A1
1
A2
1
B1
1
B2
1
C2
1 V
2 V
1
1
1
1
-1
-1
-1
1
-1
-1
-1
1
熊夫利符号 对称操作 A，B 一维 E 二维 T 三维 g, u 中心对称与反对称
还是(x,y,z)，设P’点在OXYZ坐标系的坐标为(x’,y’,z’)，则： OP' e' r er '
因为
e ' eD(R)
OP' eD(R)r er'
r ' D(R)r
（3）
比较（3）和（2）式， 将物体固定变换基矢与将基矢固定使物体 作相反方向变动时，物体上各点的坐标变换情况是一样的。
R
h lil j
群论第3章
群的表示理论.
3.1 群的矩阵表示 1 定义 设 G ( E, A, B, C , , ) 为 g 阶群，而
T (T ( E),T ( A),T ( B),T (C ), , )
为一组阶数相同的非奇异方阵，且满足： 若 AB C 则 T ( A)T ( B) T (C ) 且方矩阵组与群同态，即对 G 的每一个元 A ，对应着 方矩阵群的一个矩阵 T ( A), 则称矩阵组 T 是群 G 的一个 矩阵表示。
(3) 镜面反映 ( 镜面通过 e3 轴, 且与 e1, e3 平面成 角 ) 基矢的变换: e1’ = e1 = cos2 e1 + sin2 e2 + 0 e3 e2’ = e2 = sin2 e1 - cos2 e2 + 0 e3 e3 ’ = e1 = 0 e1 + 0 e 2 + 1 e3 则 ┌ e1 ’ ┐ ┌ e1 ┐ ┌ cos2 sin2 0 ┐ ┌ e1 ┐ ∣ e2’ ∣=D’( )∣e2 ∣=∣ sin2 -cos2 0 ∣∣ e2 ∣ └ e3 ’ ┘ └ e3 ┘ └ 0 0 1┘ └ e3 ┘ 因此有 ┌ cos2 sin2 0 ┐ D ( ) = D’ ( ) = ∣ sin2 -cos2 0∣ └ 0 0 1┘
例：H2O分子对称操作群的表示矩阵.
(1) 基矢的选取 (基矢不同, 表矢矩阵也不同)
v’ C2 v
(2) 群元: E , C2 , v , v
(3) 表示矩阵
1 0 0 D( E ) D( E ) 0 1 0 0 0 1
1 0 0 D( C 2 ) D ( C 2 ) 0 1 0 0 0 1
3.1 群的矩阵表示 1 定义 设 G ( E, A, B, C , , ) 为 g 阶群，而
T (T ( E),T ( A),T ( B),T (C ), , )
为一组阶数相同的非奇异方阵，且满足： 若 AB C 则 T ( A)T ( B) T (C ) 且方矩阵组与群同态，即对 G 的每一个元 A ，对应着 方矩阵群的一个矩阵 T ( A), 则称矩阵组 T 是群 G 的一个 矩阵表示。
(3) 镜面反映 ( 镜面通过 e3 轴, 且与 e1, e3 平面成 角 ) 基矢的变换: e1’ = e1 = cos2 e1 + sin2 e2 + 0 e3 e2’ = e2 = sin2 e1 - cos2 e2 + 0 e3 e3 ’ = e1 = 0 e1 + 0 e 2 + 1 e3 则 ┌ e1 ’ ┐ ┌ e1 ┐ ┌ cos2 sin2 0 ┐ ┌ e1 ┐ ∣ e2’ ∣=D’( )∣e2 ∣=∣ sin2 -cos2 0 ∣∣ e2 ∣ └ e3 ’ ┘ └ e3 ┘ └ 0 0 1┘ └ e3 ┘ 因此有 ┌ cos2 sin2 0 ┐ D ( ) = D’ ( ) = ∣ sin2 -cos2 0∣ └ 0 0 1┘
例：H2O分子对称操作群的表示矩阵.
(1) 基矢的选取 (基矢不同, 表矢矩阵也不同)
v’ C2 v
(2) 群元: E , C2 , v , v
(3) 表示矩阵
1 0 0 D( E ) D( E ) 0 1 0 0 0 1
1 0 0 D( C 2 ) D ( C 2 ) 0 1 0 0 0 1
第十讲—空间群课件
1 (i)
2 (σ), m 3 (S65)
(σh , σv , σd)
S6 , S62(C3), S63(i), S64(C32), S65 , S66(E)
4 (3S54, 33)4 ,
33 , 32 ,
31 , 36
S4(43), S42(42), S43(4),
S44(E)
6 (S35)
S3P,PST课32件(C32), S33(σh ), S34(C3), S35 , 6 S36(E)
3
2
基 Basis
初基晶胞， primitive unit cell
4
b
a
1
Oblique, a ≠ b ≠ 90o
晶胞， lattice unit cell
PPT课件
20
晶体结构 = 点阵(布拉菲格子) + 基元(点群)
何种格子、何种基元？
PPT课件
21
点对称条件 晶系
点群
1(E)或1(i)
三 斜 1(C1), 1(Ci)
符
4 (S4)
6 (C3h)
号
42m
62 (D3h)
(D2d)
PPT课件
3(C3) 3m
(C3v)
32(D3)
3(S6)
3m(D3d)
23(T) m3 (Th) 43m (Td) 432 (O) m3m (Oh)
15
六方晶系
62m (Li63L23P)
30o
42m (Li42L22P) 45o
6m2 (Li63P3LP2PT)课件
2或2沿c 2或2沿a±b
三方 3或3沿c 2或2沿a 、b和a+b 2或2」a 、b和a+b
2 (σ), m 3 (S65)
(σh , σv , σd)
S6 , S62(C3), S63(i), S64(C32), S65 , S66(E)
4 (3S54, 33)4 ,
33 , 32 ,
31 , 36
S4(43), S42(42), S43(4),
S44(E)
6 (S35)
S3P,PST课32件(C32), S33(σh ), S34(C3), S35 , 6 S36(E)
3
2
基 Basis
初基晶胞， primitive unit cell
4
b
a
1
Oblique, a ≠ b ≠ 90o
晶胞， lattice unit cell
PPT课件
20
晶体结构 = 点阵(布拉菲格子) + 基元(点群)
何种格子、何种基元？
PPT课件
21
点对称条件 晶系
点群
1(E)或1(i)
三 斜 1(C1), 1(Ci)
符
4 (S4)
6 (C3h)
号
42m
62 (D3h)
(D2d)
PPT课件
3(C3) 3m
(C3v)
32(D3)
3(S6)
3m(D3d)
23(T) m3 (Th) 43m (Td) 432 (O) m3m (Oh)
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六方晶系
62m (Li63L23P)
30o
42m (Li42L22P) 45o
6m2 (Li63P3LP2PT)课件
2或2沿c 2或2沿a±b
三方 3或3沿c 2或2沿a 、b和a+b 2或2」a 、b和a+b
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5
1, 群元: { | R n } = { | n1 t 1 + n2 t 2 + n3 t 3 }
= { | n1 t 1 } { | n2 t 2 } { | n3 t 3 }
= i { | ni t i } 其中, i = 1, 2, 3 ( 三维 )
ni = 1, 2, 3 --------- Ni 2, 不可约表示: PT = Ck (T) [ 提问:不可约表示 Ck 是几维的? ]
v = ( x, y, z ) = xz
3, 一维平移群的不可约表示特征标, 即不可约表示本身.
4, 例1: N1 = 3 的平移群的不可
E A1 A12
约表示特征标表与C3 群 1 1 1 1
相同 ( 同构 ), <见右>
2 1 2
5, 例2: N1 = 6, 与 C6 群相同
3 1 2
*
(4) 三维平移群 ( 三维晶体 ): T = T1 T2 T3
7
其电子波函数 是平移群(一维)不可约表示的基,
既然平移群的不可约表示可以用k 来表征,
则波函数 也可以用k 来表征, 即k
(3) 晶体平移群不可约表示的 k 与晶体倒格子的波矢 k 相对应
( 由前面的公式可看出 )
(4) 倒格子和正格子属相同的点群 ( 证明略 )
这里讨论的是晶体的平移群, 平移的方向和移距将受晶体所
属点群的限制
正格矢 R n = n1 t 1 + n2 t 2 + n3 t 3 = i ni t i ( i = 1, 2, 3; 下同)
倒格矢 K h = h1 b 1 + h2 b 2 + h3 b 3 = i hi b i
பைடு நூலகம்
波矢 k m = (m1/N1) b1+(m2/N2) b2+(m3/N3) b3 = I (mi/Ni) bi
附注: 点群操作的新表示方法, 并证明 C4-1 v C4 = v’
C4 = ( x, z, y ) = C4x-1
C4 ( x, y, z ) = ( x, z, y ) ( x, y, z ) = ( x, z, y ) = C4x-1
C4’ = C4 -1 = ( x, z, y ) = C4x
第二部分 群论应用
第三章 空间群 (2)
因为
t1N1 = E
4
所以 [ Ck1 ( t1 ) ] N1 = 1 ---------------------------------- (2)
则
Ck1 ( t1 ) = exp ( - 2 i P1 / N1 ) = P1 ------- (3)
= i (mi /Ni ) b i ( i = 1, 2, 3; mi = 1, 2 ---- Ni )
R n = n1 t 1 + n2 t 2 + n3 t 3 = i ni t i ( ni = 1, 2 ---- Ni )
t i 为晶格基矢, b i 为倒格基矢
注意有 k • R n = i ( mini / Ni ) b i • t i = 2 i ( - Pi / Ni )
*
1, 取
A = C4 , B1 = v
9
B2 = A-1 B1 A = C4-1 v C4 = v’ ( 其验证见附注 )
D 3 ( v ) = D 4 ( v’ ) = 1 [ 提问: 为什么是 1 ? ]
[ 或 D 3 ( v’ ) = D 4 ( v ) = - 1 ] [ 答案: 一维 D = ]
则称 1 和 2 为群 H 相对于群 G 的共轭表示 (2) 例1: 群C2v 的 3 和 4 是相对于群C4v 的共轭表示
H: C2v E C2 v’ v” D1 1 1 1 1 1
G: C4v E C2 2v 2d 2C4
D2 2 1 1 -1 -1
D3 3 1 -1 1 -1
D4 4 1 -1 -1 1
三维平移群 { | R n } 有 N1 N2 N3 个 (群元数) 不可约表示 *
二, 平移群不可约表示的性质
6
(1) 平移群 T = { | R n } 的不可约表示 Ck 为 exp ( i k • R n ),
且可用 k 来表征
即 D k ( { | R n } ) = exp ( i k • R n ) ----------------- (4) 其中, k = (m1 /N1) b 1 + (m2 /N2) b 2 + (m3 /N3) b 3
其中 b i • t i = 2 , Pi = mi ni 亦为整数
则
exp ( i k • R n ) = exp [ - 2 i i ( Pi / Ni ) ] = C k
不可约表示数即 k 的数目N = N1 N2 N3, 此为元胞数和群元数 *
(2) 平移群是晶体共有化电子哈密顿所属的群,
晶格基矢 t 1, t 2 , t 3 ;
倒格基矢 b 1, b 2 , b 3 ;
bi•ti = 2
*
(四) 轨道和波矢星
8
一, 共轭表示
(1) H 是G 的不变子群, B 为 H 的群元; A 为G 的群元.
1 和 2 是 H 的不可约表示, 相应的矩阵为 D1(B), D2(B) 有 B1 = A B2 A-1, ( B1 和 B2 在大群 G 中同类 ) 若 D2 ( B1 ) = D2 ( AB2 A-1 ) = D1 ( B2 )
其中, = exp (-2i / N1 ) 为1的 N1 次方根, P1 = 1, 2, 3 ---- N1
有了Ck1 ( t1 ) , 其它的 Ck1 ( t1n1 ) = [ Ck1 ( t1 ) ]n1 都可求得.
[ 提问: 这里的 n1 和 k1 各是什么? ] [ 答案: n1 是群元 t1n1 的标号, k1 是不可约表示 Ck1 的标号 ]
PT = PT1 PT2 PT3 [ 答案: 一维, 阿贝尔群, r = c = h ] PT1 PT2 PT3 = Ck1 Ck2 Ck3 = Ck
Ck = Ck1 Ck2 Ck3 = exp [- 2 i ( P1/N1 + P2/N2 + P3/N3 ) ] = exp [-2 i i (Pi /Ni)] (i = 1, 2, 3) [提问:多少个不可约表示?]