简单多面体外接球问题总结

简单多面体外接球球心的确定

一、知识点总结

1.由球的定义确定球心

⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点. ⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点. ⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.

⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到. ⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心.

2．构造长方体或正方体确定球心

⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥. ⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥. ⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体. ⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.

3.由性质确定球心

利用球心O 与截面圆圆心1O 的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心.

二：常见几何体的外接球小结

1、设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。 （1）截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2

a R =

； （2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2

2

=

。 （3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 2

3

1=

=。

2、正四面体的外接球和内切球的半径（正四面体棱长为a ，O 也是球心） 内切球半径为： 6r a =

外接球半径为：a R 4

6= 三：常见题型

1.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是

解析：本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法

2. 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 解析： 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222R a b c =

++.

图1

图2

图3

3.正四棱锥S ABCD -

S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .

解析：寻求轴截面圆半径法

4. 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ） 解析：确定球心位置法 四：练习

1、已知点P 、A B C D 、、、是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD

是边长为

.

若PA =OAB ∆的面积为多少？

2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为多少？

3、三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，2SA =，ABC ∆是边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为多少？

A O D

B

图4

C

D

A

B

S

O 1图3

4、点A B C D 、、、在同一个球的球面上，AB BC ==2AC =，若四面体ABCD 体积

的最大值为2

3

，则这个球的表面积为多少？

5、四面体的三组对棱分别相等，棱长为.

6、正四面体ABCD 外接球的体积为，求该四面体的体积.

7、若底面边长为2的正四棱锥P ABCD -.

8、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为

9

8

，底面周长为３，则这个球的体积为 .

9、已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，，则球O 的体积等于 .