简单多面体外接球问题总结

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两招搞定简单多面体外接球问题

两招搞定简单多面体外接球问题
■ 舒飞跃
此类近年来，高考题中常常出现简单多面体外接球问题，问题能有效考查学生的空间想象能力，它自然受到命题者的青睐．简单多面体外接球问题实质上是解决球的半径和确定球心的位置问题，解决这一问题从两个方面入手可以有效解决球心与球半径，下面笔者就这一问题谈一谈自已的想法，供参考．一、深入理解球的定义，转化为常见结论，准确定位球心在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．由上面的性质，可以得到下列简单多面体外接球的球心的如下结论．结论 1 ： n 棱锥有外接球的球心在过底面多边形外接圆的圆心且垂直于底面的直线上，具体的位置通过计算后准确找到．结论 2 ：n 棱台有外接球的球心是在上、下底面多边形的外接圆的圆心的连线的直线上，具体位置可通过计算准确找到．结论 3 ：n 直棱柱有外接球的球心是在上、下底面多边形的外接圆的圆心的连线的中点．（特别地，正方体与长方体的外接球的球心是其体对角线中点．）例1 一个几何体的三视图如图 1 所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为．解：由三视图作出原几何体是三棱锥 A － BCD，如图 2 所示，平面 ABD ⊥ 平面 BCD，取 BD 的中点为 O1 ，连结 AO1 ， CO1 ，因 △ABD 边长为 4 的正三角形， △BCD 是等腰直角三角 2， ∠BCD = 90 ° ，形，且 BC = CD = 2 槡有 AO1 ⊥ 平面 BCD，则球心 O 在线段 AO1 上，连结 BO．设外接球的半径为Ｒ，
x = cosθ 4 － sinθ 4 －y ，，则k = 令的最大值，整理得：kx － y + 3 － cosθ 3 －x y = sinθ 4 － 3k = 0． y）在直线 kx － y + 4 － 3 k = 0 上，因此点 M（ x，同时又在单

多面体的外接球和内切球(解析版)

多面体的外接球和内切球一、结论1、球与多面体的接、切定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。

定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。

球的内切问题(等体积法)例如：在四棱锥P -ABCD 中，内切球为球O ，求球半径r .方法如下：V P -ABCD =V O -ABCD +V O -PBC +V O -PCD +V O -PAD +V O -PAB即：V P -ABCD =13S ABCD ⋅r +13S PBC ⋅r +13S PCD ⋅r +13S PAD ⋅r +13S PAB ⋅r ，可求出r .球的外接问题1.公式法正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点2.补形法(补长方体或正方体)①墙角模型(三条线两个垂直)题设：三条棱两两垂直(重点考察三视图)②对棱相等模型(补形为长方体)题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB =CD ，AD =BC ，AC =BD )3.单面定球心法(定+算)步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P-ABC中，选中底面ΔABC，确定其外接圆圆心O1(正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2r=asin A)；②过外心O1做(找)底面ΔABC的垂线，如图中PO1⊥面ABC,则球心一定在直线(注意不一定在线段PO1上)PO1上；③计算求半径R:在直线PO1上任取一点O如图：则OP=OA=R，利用公式OA2=O1A2+OO12可计算出球半径R.4.双面定球心法(两次单面定球心)如图：在三棱锥P-ABC中：①选定底面ΔABC，定ΔABC外接圆圆心O1②选定面ΔPAB，定ΔPAB外接圆圆心O2③分别过O1做面ABC的垂线，和O2做面PAB的垂线，两垂线交点即为外接球球心O.二、典型例题1(2023春·湖南湘潭·高二统考期末)棱长为1的正方体的外接球的表面积为()A.3π4B.3πC.12πD.16π【答案】B【详解】解：易知，正方体的体对角线是其外接球的直径，设外接球的半径为R，则2R=12+12+12=3，故R=3 2．所以S=4πR2=4π×322=3π．故选：B．【反思】本例属于正方体外接球问题，其外接球半径公式可直接记忆.2(2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)在四面体PABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，∠BAC= 120°，AB=AC=AP=2，则该四面体的外接球的表面积为()A.12πB.16πC.18πD.20π【答案】D【详解】因为PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,所以PA⊥平面ABC.设底面△ABC的外心为G，外接球的球心为O，则OG⊥平面ABC，所以PA⎳OG.设D为PA的中点，因为OP=OA，所以DO⊥PA.因为PA⊥平面ABC，AG⊂平面ABC,所以PA⊥AG，所以OD⎳AG.因此四边形ODAG为平行四边形，所以OG=AD=12PA=1.因为∠BAC=120°，AB=AC=2，所以BC=AB2+AC2-2AB⋅AC cos∠BAC=4+4-2×2×2×-1 2=23,由正弦定理，得2AG=2332=4⇒AG=2.所以该外接球的半径R满足R2=OG2+AG2=5,故该外接球的表面积为S=4πR2=20π.故选:D.【反思】本例属于单面定球心问题①用正弦定理求出ΔABC外心G；②过G做平面ABC的垂线，则外接球球心O在此垂线上；③通过计算算出半径.3(2023秋·湖南娄底·高三校联考期末)《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图P-ABCD 是阳马，PA⊥平面ABCD，PA=5，AB=3，BC=4．则该阳马的外接球的表面积为()A.1252π3B.50π C.100π D.500π3【答案】B【详解】因PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，则PA⊥AB，PA⊥AD，又因四边形ABCD为矩形，则AB⊥AD.则阳马的外接球与以PA，AB，AD为长宽高的长方体的外接球相同.又PA=5，AB=3，AD=BC=4．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：R=PA 2+AB 2+AD 22=32+42+522=522，则外接球的表面积为：S =4πR 2=4π⋅504=50π.故选：B【反思】本例属于墙角型模型，通过补形，将原图形补成长方体模型，借助长方体模型求外接球半径.4(2023·全国·高三专题练习)已知菱形ABCD 的各边长为2,∠D =60°．如图所示，将ΔACD 沿AC 折起，使得点D 到达点S 的位置，连接SB ，得到三棱锥S -ABC ，此时SB =3．E 是线段SA 的中点，点F 在三棱锥S -ABC 的外接球上运动，且始终保持EF ⊥AC ，则点F 的轨迹的周长为()A.233π B.433π C.533π D.2213π【答案】C【详解】取AC 中点M ，则AC ⊥BM ,AC ⊥SM ,BM ∩SM =M ，∴AC ⊥平面SMB ，SM =MB =3，又SB =3，∴∠SBM =∠MSB =30°，作EH ⊥AC 于H ，设点F 轨迹所在平面为α，则平面α经过点H 且AC ⊥α，设三棱锥S -ABC 外接球的球心为O ,△SAC ,△BAC 的中心分别为O 1,O 2，易知OO 1⊥平面SAC ,OO 2⊥平面BAC ，且O ,O 1,O 2,M 四点共面，由题可得∠OMO 1=12∠O 1MO 2=60°，O 1M =13SM =33，解Rt △OO 1M ，得OO 1=3O 1M =1，又O 1S =23SM =233，则三棱锥S -ABC 外接球半径r =OO 21+O 1S 2=73，易知O 到平面α的距离d =MH =12，故平面α截外接球所得截面圆的半径为r 1=r 2-d 2=73-14=536，∴截面圆的周长为l =2πr 1=533π，即点F 轨迹的周长为533π．故选：C 【反思】此题典型的双面定球心。

多面体的外接球问题

3
32
3
O
2
AH
AB2 BH 2
a2
3 3
a

6a 3
又 O在AH上，且OA=OB=R
在RtBCD中，BH 2 OH 2 OB 2

3 3
a 2

6 3
a

R 2

R2
R 6 a. 4
三 .“ 补 ” 形法找球心、求半径
多面体的外接球问题
陆中华 2019.7.6
课堂导引
一.多面体的外接球的球心在哪里？二.常见“规则”多面体外接球的球心与半径三.“补”形法找球心、求半径四.求“不规则”多面体的半径
一.空间几何体外接球的球心在哪里？ 1.外接球的定义
正多面体各顶点同在一球面上，这个球叫做正多面体的外接球。
如左图，球O为四面体D-ABC的外接球，则
所以，外接球的球心O在过底面外接圆圆心G的垂线（即高PG）上。
分析：
四棱锥A-MNCB体积最大，
则面AMN 面MNCB.
三角形AMN为等边三角形，
G1
O
其外接圆的圆心G1为中线
AE的三等分点.
G2
E
G2 且易得，等腰梯形 MNCB外
接圆的圆心G2为BC的中点.
分别作垂线，得交点为四棱锥的外接球的球心O.
中心处，长方体的体对角线为其外接球的直径。
设长方体的长宽高分别为a,b,c,则
O
2R a2 b2 c2 .
2.正方体设正方体的棱长为a,则
2R a2 a2 a2 3a.
3.直棱柱
O h/2 R

简单多面体的外接球

B1
a
b
长方体外接球的直径等于长方体的体对角线。
2R a2 b2 c2
构造正方体或长方体
例1、已知三棱锥P ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB 5， BC 7，AC 2, 则此三棱锥的外接球的体积为
8 2 3
A
c
b
P
C
O

B
a
例2、已知三棱锥A BCD的顶点都在球O的球面上，且AB 面BCD，AB 2，BD CD 1，BD CD, 则球O的体积为
4 3
②一条侧棱垂直于底面，底面是直角三角形的三棱锥
例3、已知三棱锥A BCD的所有棱长都为 2，则该三棱锥外接球的体积为
A B
C
D
③各棱相等的三棱锥（正四面体）
例4、已知三棱锥A BCD中，AC BD 13，AD BC 5， AB CD 2 5，则该三棱锥外接球的表面积为
简单多面体的外接球问题
1、用一个平面去截球，截面是圆面；
用一个平面去截球面，截线是圆。
2、大圆--截面过球心,半径等于球半径;
小圆--截面不过球心
大圆
小圆
3、球心和截面圆心的连线垂直于截面
4、球心到截面的距离d与球的半径R 及截面圆的半径r的关系为： R2 r 2 d 2
O1
ห้องสมุดไป่ตู้
4 V球 = R 3 3
④对棱相等的三棱锥
B
A
c
b
C
a
D
提外心
例5、三棱锥P ABC中，AB BC 15，AC 6，且 PC 面ABC，PC 2，则该三棱锥的外接球的表面积为
83 2

简单多面体的外接球问题解析版

为 6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为( )
A.5030π cm3
B.8636π cm3
1 372π C. 3
cm3
2 048π D. 3
cm3
[解析] 如图，作出球的一个截面，则 MC＝8 －6＝2(cm)，BM＝12AB＝12×8＝4(cm)．设球的半径为 R cm，则 R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R ＝5.∴V 球＝43π×53＝5030π(cm3)．
A. 64 B. 16 C. 12 D. 4
O
O
16
3
O
O1
什么样旳三棱锥外接球球心好拟定？
上下底面中心旳连线旳中点
•
（贵州省• 2016适应性考试）已知正三棱柱的体积为3 3，所有顶点都在球 O的球面上，则球O的表面积的最小值为
在其高上
例7、求棱长为1旳正四面体外接球旳体积． 6
课堂跟踪检测
题点五：球的内接直棱柱问题
5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一
个球面上，则该球的表面积为
()
A．πa2
B.73πa2
C.131πa2
ห้องสมุดไป่ตู้D．5πa2
解析：选B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱
与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中
心，O为球心，易知AP＝23× 23a＝ 33a，OP＝12a，所以
[活学活用] 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．解析：由三视图可知，该几何体为一个半径为 1 的半球，其表面积为半个球面与截面面积的和，即12×4π×12＋π×12＝3π. 答案：3π
球的截面问题
[典例] 如图，有一个水平放置的透明无盖的

多面体外接球半径常见的5种求法(推荐文档)

多面体外接球半径常见的5种求法文/郭军平如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,84x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⨯⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离2d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，则其外接球的表面积是 . 解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =.寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -，点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π 解设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C. CD A B S O 1图3A O D B 图4。

多面体外接球半径常见的5种求法

多面体外接球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.相关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要使用多面体的知识，又要使用球的知识，并且还要特别注意多面体的相关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.例1 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π解设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C.小结本题是使用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这个性质来求解的.补形法例2，则其外接球的表面积是 . 解正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就能够将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =寻求轴截面圆半径法例3 正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上. ∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=. ∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt .∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结根据题意，我们能够选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解CDAB SO 1图3通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.公式法例4 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 .解设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,84x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⨯⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离2d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结本题是使用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A.12512πB.1259πC.1256π D.1253π 解设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C. 小结：巩固练习： 1.三棱锥中，平面，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．B ．C ．D ．2.在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ABC ⊥平面,12,2AA BC BAC π==∠=，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（）A ．323πB ．16πC ．253πD ．312π3.四面体ABCD 中，已知AB=CD=29，AC=BD=34，AD=BC=37，则四面体ABCD 的外接球的表面积（） A ．25π B ．45π C ．50πD ．100π4.已知正四面体的棱长为2，则它的外接球的表面积的值为．A O DB图45.已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C都在半径为的求面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________。

确定简单多面体外接球的球心的策略

确定简单多面体外接球的球心的策略简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径r或确定球心o的位置问题，其中球心的确定是关键.如何确定简单多面体外接球的球心，下面作一些归纳、总结．1 由球的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．结论1 正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点．结论2 正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．结论3 直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．结论4 正棱锥的外接球的球心是在其高上，具体位置可通过计算找到．结论5 若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．例1 （2012年高考辽宁卷·文16）已知点p，a，b，c，d是球o表面上的点，pa⊥平面abcd，四边形abcd是边长为23的正方形.若pa＝26，则△oab的面积为________．图1解析因为外接球球心满足到各个顶点距离相等，直角三角形斜边中点到各个顶点距离相等，故可知pc的中点即为球心o.如图1，在rt△pac中，ac＝26，pc＝43，故r＝23.球心满足oa＝ob＝r＝23，故△oab为等边三角形，所以其面积s＝33．评注（1）球心满足到各个顶点距离相等，故球心常常在某直角三角形的斜边中点处.另外，因为球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，故一个球中多个过截面圆圆心的垂线的交点必为球心.（2）此题还可以通过构造长方体找到球心，并获解．例2 （2010年高考全国ⅰ新课标卷·理10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）.a.πa2b.73πa2c.113πa2d.5πa2图2解析设o1，o2分别是正三角形a1b1c1和正三角形abc的中心，又三棱柱abc—a1b1c1是正三棱柱，所以其外接球的球心o是o1o2的中点，如图2，于是其外接球的半径为r＝oo22+ao22＝（a2）2+（23ad）2＝（a2）2+（23×32a）2＝7a212，所以球的表面积为4π·r2＝73πa2，故选b．评注（1）正三棱柱外接球的球心是上下底面正三角形中心的连线的中点.（2）直三棱柱外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．2 构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处.以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．途径1 正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．途径2 同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．途径3 若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．途径4 若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．例3 （2012年高考辽宁卷·理16）已知正三棱锥p—abc，点p，a，b，c都在半径为3的球面上.若pa，pb，pc两两互相垂直，则球心到截面abc的距离为________．图3解析因为pa，pb，pc两两互相垂直，故正三棱锥p—abc的外接球即是以pa，pb，pc为棱的正方体的外接球，球心是在其体对角线的交点处，如图3，易证op⊥平面abc，所以球心o到截面abc的距离即为球半径r减去正三棱锥p—abc的高.设pa＝a，则（2r）2＝3a2，所以a＝2.设正三棱锥p—abc的高为h，则va—pbc＝vp —abc，即13×12a2·a＝13×34（22）2h，解得h＝233，故球心到截面abc的距离为3－233＝33．评注（1）易知三棱锥o—abc是正三棱锥，求出其高即为所求.（2）构造正方体并找到球心是破解此题的关键．3 由性质确定球心利用球心o与截面圆圆心o1的连线垂直于截面圆及球心o与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．例4 三棱锥s—abc中，sa⊥平面abc，sa＝2，△abc是边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为________．图4解析设o1是△abc的外心，如图4，则o1a＝o1b＝o1c.过点o1作平面abc的垂线oo1，由此可知直线oo1上任意一点与a，b，c的距离相等，故三棱锥s—abc的外接球的球心在直线oo1上，又要使oa＝os，则o在线段sa的垂直平分线do上，从而三棱锥s—abc的外接球的球心是直线o1o与do的交点．do＝ao1＝23ae＝33，在rt△aod中，ao2＝ad2＋do2＝43，于是s球表＝4π·ao2＝163π．评注（1）一般棱锥的外接球的球心是在经过棱锥的底面多边形的外接圆的圆心且垂直于这个面的直线上.（2）此题也可以通过构造正三棱柱来解答，其球心是两底面三角形中心的连线的中点．。

多面体外接球问题方法总结

多面体外接球问题方法总结
求多面体的外接球的方法有两种：
1. 利用多面体的顶点坐标求解：
a. 首先求解多面体的质心坐标。

可以通过计算多面体的顶点坐标的平均值得到质心坐标。

b. 然后，求解多面体顶点到质心的距离，取最大距离作为外接球的半径。

c. 外接球的中心坐标为质心坐标，半径为最大距离。

2. 利用多面体的边长/面积求解：
a. 首先，根据多面体的类型，求解多面体的特定的边长、面积或者角度。

b. 利用上述的边长、面积或者角度的关系，可以求解外接球的半径。

c. 外接球的中心坐标可以通过找到多面体的对称中心或者中心对称点来获取。

需要注意的是，方法一比方法二更为常用且通用，但对于某些特殊的多面体，可能需要使用方法二来求解。

同时，在实际应用中，还可以借助计算机软件来进行多面体外接球的求解，提高计算的精度和效率。

多面体的外接球问题(word文档良心出品)

多面体的外接球问题题型一直角四面体的外接球补成长方体，长方体对角线长为球的直径1．三棱锥P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，2PA PB PC ===，PA PB ⊥，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（）A ．48πB ．12πC． D．解析:由题意得：,,PA PB PC 两两相互垂直，以,,PA PB PC 为边补成一个正方体，其外接球就为三棱锥P ABC -2412ππ=，选B ．C2.在正三棱锥A BCD -中，,E F 分别是,AB BC 的中点，EF DE ⊥，若BC =A BCD -外接球的表面积为A πB 2πC 3πD 4πC3.在正三棱锥S ABC -中，,M N 分别是,SC BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱SA =，则正三棱锥S ABC -外接球的表面积为A 12πB 32πC 36πD 48π 4.（2019全国1理12）．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A．B．C． D5.设A ，B ，C ，D 是半径为2的球面上的四个不同点，且满足AB →·AC →＝0，AD →·AC →＝0，AB →·AD →＝0，用S 1、S 2、S 3分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则S 1＋S 2＋S 3的最大值是________．答案 8解析由AB →·AC →＝0，AD →·AC →＝0，AB →·AD →＝0，∴AB →⊥AC →，AD →⊥AC →，AB →⊥AD →，由点A ，B ，C ，D 构成的三棱锥，可以补形成一个长方体，该长方体的外接球半径为2，∴AB 2＋AC 2＋AD 2＝(2＋2)2＝16，即AB 2＋AC 22＋AB 2＋AD 22＋AD 2＋AC 22＝16≥AB ·AC ＋AB ·AD ＋AC ·AD ，∴S 1＋S 2＋S 3＝12(AB ·AC ＋AB ·AD ＋AC ·AD )≤12×16，当且仅当AB ＝AC ＝AD ＝433时，S 1＋S 2＋S 3取得最大值8.题型二等腰四面体的外接球补成长方体，长方体相对面的对角线为等腰四面体的相对棱1．在四面体ABCD 中，若AB CD =，2AC BD ==，AD BC ==ABCD 的外接球的表面积为( ) A ．2π B ．4πC ．6πD．8π解：如下图所示，将四面体ABCD 放在长方体AEBF GCHD -内，设该长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ，则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为R ，由勾股定理得222222222345AB x y AC x z AD y z ⎧=+=⎪=+=⎨⎪=+=⎩，上述三个等式全加得2222()12x y z ++=，所以，该四面体的外接球直径为2R = 因此，四面体ABCD 的外接球的表面积为224(2)6R R πππ=⨯=，故选：C ．2．A B C D ，，，四点在半径为225的球面上，且5AC BD ==，AD BC ==，AB CD =，则三棱锥D ABC -的体积是____________．【答案】2秒杀法：根据题意构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D ABC -，如图所示，设长方体的长、宽、高分别为a b c ，，，则有2222222254150a b a c a b c ⎧+=⎪+=⎨⎪++=⎩，解得4a =，3b =，5c =，所以三棱锥的体积为435⨯⨯－11443532⨯⨯⨯⨯⨯＝20．点拨：3.在三棱锥S ﹣ABC 中，底面△ABC 的每个顶点处的三条棱两两所成的角之和均为180°，△ABC 的三条边长分别为AB=3，AC=5，BC=6，则三棱锥ABC S -的体积（）A ．22B ． 10C ．232D ．234解：∵底面△ABC 的每个顶点处的三条棱两两所成的角之和均为180°， ∴三棱锥的三个侧面与底面ABC 全等．∴三棱锥S ﹣ABC 可看做是面对角线分别为6,5,3的长方体沿着面对角线切去四个小棱锥得到的几何体．设长方体的棱长为z y x ,,，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+6y 53222222z z x y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===421222z y x ，∴22=xyz∴三棱锥的体积3223142131==⨯⨯-=xyz xyz xyz V 故选C ．题型三有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥，球心在公共斜边的中点处C1.在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125解：由于SA=AC=SB=BC=，SC=2，则SA 2+AC 2=SC 2，SB 2+BC 2=SC 2，即有SA ⊥AC ，SB ⊥BC ，取SC 的中点O ，连接OA ，OB ，则由直角三角形的斜边上的中线即为斜边的一半，可得OA=OB=OC=OS=1，即有球的半径r 为1，则球的体积为=．故选：B ．B2.三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，且SA AC SB BC ====，4SC =，则该球的体积为 A2563π B 323π C 16π D 64π解析：D3．在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，二面角S AC B --的余弦值是3-）A ．B ．6πC ．24π DA4.在平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体'A BCD -，使平面'A BD ⊥平面BCD ，若四面体'A BCD -顶点都在同一个球面上，则该球的体积为A 2B 3πC 3D 2π5．平行四边形ABCD 中，AB ·BD =0，沿BD 将四边形折起成直二面角A 一BD －C ，且4=，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为（）A ．2π B ．4π C ．π4 D ．2π分析：0AB BD ⋅=,所以AB BD ⊥,因为ABCD 为平行四边形,所以,CD BD AB CD ⊥=.因为A BD C --为直二面角,所以⊥面ABD 面CBD ,因为=面ABD 面CBD BD ,⊂AB 面ABD ,AB BD ⊥,所以⊥AB 面CBD .因为⊂BC 面CBD ,所以AB BC ⊥.分析可知三棱锥A BCD -的外接球的球心为AC 的中点.因为22222222()24A C A B B C A B C D B D A B C D =+=++=+=,所以2AC =.则三棱锥A BCD -的外接球的半径为1,表面积为4π.故C 正确.6已知直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，沿AC 折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为．4π题型四侧棱垂直于地面或侧面垂直于地面过底面外心做垂线，球心有垂线上1.已知四面体P ABC -,其中ABC ∆是边长为6的等边三角形,PA ⊥平面ABC ,4PA =,则四面体P ABC -外接球的表面积为________．π64解：∵△ABC 是边长为6的等边三角形，∵PA ⊥平面ABC ，PA=4，△ABC 的外接圆的半径为32，∴四面体P ﹣ABC 外接球的半径为=4∴四面体P ﹣ABC 外接球的表面积为4π•42=64π．故答案为：64π．D2.已知三棱锥BCD A -中，2====CD BD AC AB ,AD BC 2=,直线AD 底面BCD 所成的角是3π，则此时三棱锥外接球的体积是 ( ) A π8 Bπ32 C π324 D π328 3. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（）A ．外接球的半径为33B ．表面积为137++C ．体积为3D ．外接球的表面积为π4 解：由三视图可知，这是侧面ACD ⊥ABC ，高3=DE 的三棱锥，AC=2，BE=1，所以三棱锥的体积为33322131=⨯⨯⨯，设外接球的圆心为0，半径为x ，则x OE -=3 在直角三角形OEC 中，OE 2+CE 2=OC 2，即221)3(x x =+-，整理得221323x x x =++-，解得半径332=x ，所以外接球的表面积为，31642ππ=x 所以A ，C ，D 都不正确，故选B ．题型五其中一条侧棱满足某个特殊的条件1.已知三棱锥BCD A -中，2====CD BD AC AB ,AD BC 2=,直线AD 底面BCD 所成的角是3π，则此时三棱锥外接球的体积是 ( ) A π8 Bπ32 C π324 D π328 选D(太原2016届高三上学期考试）在四面体ABCD 中，已知060=∠=∠=∠CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为（）A ．2B ．2C ．3D ．3解：设四面体ABCD 的外接球球心为O ，则O 在过△ABD 的外心N 且垂直于平面ABD 的垂线上．由题设知，△ABD 是正三角形，则点N 为△ABD 的中心．设P ，M 分别为AB ，CD 的中点，则N 在DP 上，且ON ⊥DP ，OM ⊥CD ．因为∠CDA=∠CDB=∠ADB=60°，设CD 与平面ABD 所成角为θ，∴cosθ=31，sinθ=32．在△DMN 中，DM==1，DN=332=DP由余弦定理得3131231⨯⨯⨯-+=MN 2= ∴四边形DMON 的外接圆的半径3sin ==θMNOD ．故球O 的半径3=R 故选：D ．巩固提高：1．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ．E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，ABE ∆，BCF ∆，CDG ∆，ADH ∆分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起ABE ∆，BCF ∆，CDG ∆，ADH ∆，使得E ，F ，G ，H 重合得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为()A ．163πB ．253πC ．643πD ．1003π解：连接OE 交AB 与I ，E ，F ，G ，H 重合为P ，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD 的边长为x ．则2x OI =，62x IE =-．由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得24(6)222x xx ⨯⨯-=，解得4x =．设外接球的球心为Q ，半径为R ，可得OC =OP =222)R R =+．解得R =∴该四棱锥的外接球的表面积210043S ππ=⨯=．故选：D ．2．已知正方形ABCD 的边长为2，CD 边的中点为E ，现将ADE ∆，BCE ∆分别沿AE ，BE 折起，使得C ，D 两点重合为一点记为P ，则四面体P ABE -外接球的表面积是( )A ．1712πB ．1912πC ．193πD ．173π解：如图，PE PA ⊥，PE PB ⊥，1PE =，PAB ∆是边长为2的等边三角形，设H 是PAB ∆的中心，OH ⊥平面PAB ，O 是外接球的球心，则1122OH PE ==，PH =，则22221912R OP OH PH ==+=．故四面体P ABE -外接球的表面积是21943S R ππ==．故选：C ．3．在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD AB ⊥，4AB =，2AD CD ==，将梯形ABCD 沿对角线AC 折叠成三棱锥D ABC -，当二面角D AC B --是直二面角时，三棱锥D ABC -的外接球的表面积为( ) A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π解：如图：4AB =，2AD CD ==，AC ∴=BC = 取AC 的中点E ，AB 的中点O ，连结DE ，OE ，平面DCA ⊥平面ACB ，DE AC ⊥,DE ∴⊥平面ACB ，2DE =OE =，2OD ∴=，OB OA OC OD ∴===，2OB ∴=，即外接球的半径为2，此时三棱锥外接球的表面积为24216ππ=．故选：D ．4.已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在半径为3的球面上，AB AC ⊥，则该三棱锥体积的最大值是．解：设AB m =，AC n =，则12ABC S mn ∆=,ABC ∆的外接圆直径BC =取BC 的中点M ，则当PM ⊥平面ABC 时，三棱锥的体积最大此时球心O 在PM 上，113)32maxV mn =⨯⨯2213)34m n +⨯⨯…令224m n t +=，则1()3)3f t t =，1()3)3f t '=由()0f t '=，解得0t =（舍)，8t =，()f t 在(0,8)递增，在(8,9)递减故f （8）最大，为323，所以三棱锥P ABC -的最大体积为3235.已知C B A P ,,,是半径为2的球面上的点，2===PC PB PA ，2ABC π=∠，点B 在AC 上的射影为D ，则三棱锥ABD P -体积的最大值为________.【分析】P 在平面上的射影G 为△ABC 的外心，即G 为AC 中点，球的球心在PG 的延长线上，设PG ＝h ，则OG ＝2﹣h ，求出h ＝1，则AG ＝CG ＝，过B 作BD ⊥AC 于D ，设AD ＝x ，则CD ＝2﹣x ，设BD ＝y ，由△BDC ～△ADB ，得，从而y ＝，则＝，令f （x ）＝﹣x 4+2，则，利用导数性质能求出三棱锥P ﹣ABD 体积的最大值．解：如图，根据题意得P A ＝PB ＝PC ＝2，∠ABC ＝90°，∵P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上的点，P A ＝PB ＝PC ＝2，2π=∠ABC ，点B 在AC 上的射影为D ，∴P 在平面上的射影G 为△ABC 的外心，即G 为∴OB 2﹣AC 中点，则球的球心在PG 的延长线上，设PG ＝h ，则OG ＝2﹣h ，OG 2＝PB 2﹣PG 2，即4﹣（2﹣h ）2＝4﹣h 2，解得h ＝1，则AG ＝CG ＝3，过B 作BD ⊥AC 于D ，设AD ＝x ，则CD ＝23﹣x ，设BD ＝y ，由△BDC ～△ADB ，得，解得y ＝，则＝，令f （x ）＝﹣x 4+2，则，由f ′（x ）＝0，得x ＝，∴当x ＝时，f （x ）max ＝，∴△ABD 面积的最大值为＝，∴三棱锥P ﹣ABD 体积的最大值为．故答案为：833． 6．已知三棱柱111C B A ABC -的底面是正三角形，侧棱⊥1AA 底面ABC ，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则1AA 的长度为______． 13．【详解】由题意，的外接圆即为球的大圆设底面外接圆圆心，从而正三角形边长为，设圆心，由题意在球面上，为中点，则在中，，，则，，则故答案为。

高考数学多面体的外接球专题模型总结终极版(七大模型)

多面体的外接球专题模型总结终极版题型一、长方体的外接球1.长方体外接球半径R=√a2+b2+c22a2.正方体外接球半径R=√323.长方体外接球的切割体（从长方体八个顶点中任取四个顶点）（1）三条侧棱两两垂直的三棱锥简称墙角型（2）一条侧棱垂直于底面，底面是直角三角形的三棱锥（双垂直）（3）各棱相等的三棱锥（正四面体）（4）对棱相等的三棱锥专题练习例1.在三棱锥BCD A −中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，ABC ∆、ACD ∆、ADB ∆的面积分别为22、32、62，则三棱锥BCD A −的外接球的体积为（）A ．6πB ．26πC ．36πD ．46π例2. 如图所示，已知球O 的面上有四点A 、B 、C 、D ，2===⊥⊥BC AB DA BC AB ABC DA ，，面,则球O 的体积等于．例 3.已知三棱锥BCD A −的所有棱长都为2，则该三棱锥外接球的体积为_________例4.四面体BCD A −中，5==CD AB ，34==BD AC ，41==BC AD ，则四面体BCD A −外接球的表面积为（）A ．π50B ．π100C ．π150D ．π200变式练习1.在三棱锥ABC P −中，4==BC PA ，5==AC PB ，11==AB PC ，则三棱锥ABC P −的外接球的表面积为（）A ．π8B ．π12C ．π26D ．π242.已知三棱锥ABC P −的顶点都在球O 的表面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且2===PC PB PA ，则球O 的体积为（） A ．π312 B ．π28 C ．π34 D ．π43.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥ABC P −为鳖臑，⊥PA 平面ABC ，2==AB PA ，4=AC ，三棱锥ABC P −的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（） A ．π8 B ．π12 C ．π20 D ．π244．已知三棱锥ABC S −的各顶点都在一个半径为r 的球面上，且1===SC SB SA ，2===AC BC AB ，则球的表面积为（）A ．π12B ．π8C ．π4D ．π35．已知三棱锥ABC P −的各顶点都在同一球面上，且⊥PA 平面ABC ，若该棱锥的体积为332，2=AB ，1=AC ，︒=∠60BAC ，则此球的表面积等于（） A ．π5 B ．π8 C ．π16 D ．π206．三棱锥ABC P −的四个顶点都在球O 的球面上，已知PA ，PB ，PC 两两垂直，1=PA ，4=+PC PB ，当三棱锥的体积最大时，球O 的体积为（） A ．π36 B ．π9C ．29π D ．49π7．如图所示，平面四边形ABCD 中，2===CD AD AB ，22=BD ，CD BD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A ．π328B ．π24C ．π34题型二、上下对称几何体外接球（直棱柱）直棱柱外接球半径R=√r 2+h 24,其中r 是底面外接圆半径，h 是直棱柱的高 r =a 2sinA(正弦定理)例1.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A.πa 2B.73.πa 2 C. 113πa 2 D. 5πa 2例2.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为．例3.如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在ABC ∆中，3=AB ，︒=∠60ACB ，︒=∠90BCD ，CD AB ⊥，22=CD ，则该球的体积为．例4. 如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（） A ．320πB ．π8C ．π9D ．319π例5. 如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（） A ．π27 B ．π48 C ．π64D ．π81变式练习1.已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，⊥AD 平面ABC ，62==AB AD ，则该球的体积为（） A ．π332 B ．π48 C ．π24 D ．π162.四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，⊥AB 平面BCD ，三角形BCD 是边长为3的等边三角形，若4=AB ，则球O 的表面积为（） A ．π36B ．π28C ．π16D ．π43.已知一个三棱锥的三视图如下图所示，其中俯视图是顶角为32π的等腰三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（） A ．π20B ．π17C ．π16D ．π8题型三、正N 棱锥外接球正N 棱锥外接球半径R=l 22ℎ,其中l 是侧棱长度，h 是正棱锥的高例1. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（） A.81π4B. 16πC. 9πD.27π4题型四、等腰三角形底边与一直角三角形斜边构成二面角的四面体如上图中，ABC △为等腰三角形，且AC AB =，DBC △是以BC 为斜边的△Rt ，D BC A −−二面角为α，令ABC △的外接圆半径为2r ，BC 边上的高为21h AO =，12r BC =，F 为ABC △的外心，则根据剖面图可知，外接球半径R 满足以下恒等式()21222221212sin r r h R E O OO OE +⎪⎭⎫ ⎝⎛−==+=α．例1在四面体ABC S −中，BC AB ⊥，2==BC AB ，SAC △为等边三角形，二面角B AC S −−的余弦值为33−，则四面体ABC S −的外接球表面积为．CB图3图4图5作二面角剖面⇒例2.在四面体ABCD 中，AB=AD=2,∠BAD =60。

多面体的外接球问题

则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
球与正方体的“切”“接”问题
一、直棱柱与球
若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝ ⑵正方体的外接球直径＝ ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
D A
D1 A1
C
B O
中截面
C1
球的外切正方体的棱长等于球直径。 B1
D A
D1 A1
小结2
求棱锥外接球半径的方法：（1）补形法（适用特殊棱锥）（2）勾股定理法（通法）
关键是找球心，画出截面图，构造与R有关的直角三角形。
D
O
A
E
C
B
A C
B
D
谢谢
谢谢观赏！
2020/11/5
30
A
O C
P
B
变题：
2. (2010·济宁模拟)三棱锥 P-ABC 中，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，PA⊥底面 ABC ，且 PA=2，则此三棱锥外接球的表面积为___________
3.正四面体ABCD的棱长为a，求其内切球半径r与外接球半径R.
难点突破：如何求正四面体的外接球半径法1.勾股定理法P
P
O
A
C
A
M
D
B
•O MD
E
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
法2.补成正方体
A B
A B
O
O
D
C 正四面体外接球的半径
D C
正方体外接球的半径
变式
1. 正四棱锥 S—ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2，点 S、A、B、C、D 都在同一个球面上，则该球的体积为________．

简单多面体外接球问题总结

简单多面体外接球球心得确定一、知识点总结1。

由球得定义确定球心⑴长方体或正方体得外接球得球心就是其体对角线得中点、⑵正三棱柱得外接球得球心就是上下底面中心连线得中点、⑶直三棱柱得外接球得球心就是上下底面三角形外心连线得中点.⑷正棱锥得外接球球心在其高上,具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到、⑸若棱锥得顶点可构成共斜边得直角三角形,则公共斜边得中点就就是其外接球得球心.2、构造长方体或正方体确定球心⑴正四面体、三条侧棱两两垂直得正三棱锥、四个面都就是直角三角形得三棱锥。

⑵同一个顶点上得三条棱两两垂直得四面体、相对得棱相等得三棱锥。

⑶若已知棱锥含有线面垂直关系,则可将棱锥补成长方体或正方体。

⑷若三棱锥得三个侧面两两垂直,则可将三棱锥补成长方体或正方体。

3.由性质确定球心利用球心与截面圆圆心得连线垂直于截面圆及球心与弦中点得连线垂直于弦得性质,确定球心、二:常见几何体得外接球小结1、设正方体得棱长为,求(1)内切球半径;(2)外接球半径;(３)与棱相切得球半径、(1)截面图为正方形得内切圆,得;(２)与正方体各棱相切得球:球与正方体得各棱相切,切点为各棱得中点,如图4作截面图,圆为正方形得外接圆,易得。

(3)正方体得外接球:正方体得八个顶点都在球面上,如图５,以对角面作截面图得,圆为矩形得外接圆,易得、2、正四面体得外接球与内切球得半径(正四面体图1 图2图3棱长为,也就是球心)内切球半径为:外接球半径为:三:常见题型1、已知各顶点都在同一个球面上得正四棱柱得高为４,体积为16,则这个球得表面积就是解析:本题就是运用“正四棱柱得体对角线得长等于其外接球得直径”这一性质来求解得、补形法2。

若三棱锥得三个侧棱两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球得表面积就是 .解析:一般地,若一个三棱锥得三条侧棱两两垂直,且其长度分别为,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于就是长方体得体对角线得长就就是该三棱锥得外接球得直径.设其外接球得半径为,则有.３.正四棱锥得底面边长与各侧棱长都为,点都在同一球面上,则此球得体积为、解析:寻求轴截面圆半径法4.在矩形中,,沿将矩形折成一个直二面角,则四面体得外接球得体积为( )解析:确定球心位置法四:练习1、已知点、就是球表面上得点,平面,四边形就是边长为得正方形、若,则得面积为多少?2、设三棱柱得侧棱垂直于底面,所有棱长都为,顶点都在同一个球面上,则该球得表面积为多少？３、三棱锥中,平面,,就是边长为１得正三角形,则其外接球得表面积为多少?４、点在同一个球得球面上,,,若四面体体积得最大值为,则这个球得表面积为多少？5、四面体得三组对棱分别相等,棱长为,求该四面体外接球得体积。

简单多面体外接球问题总结

简单多面体外接球球心的确定一、知识点总结1.由球的定义确定球心⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心2 .构造长方体或正方体确定球心⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体3.由性质确定球心利用球心0与截面圆圆心O i的连线垂直于截面圆及球心0与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心.二：常见几何体的外接球小结1、设正方体的棱长为a，求(1)内切球半径；(2)外接球半径；(3)与棱相切的球半径。

(1 )截面图为正方形EFGH的内切圆，得R -24作截面图, (2)与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图圆0为正方形EFGH的外接圆，易得R竝a。

2(3)正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面AA1作截面图得，圆0 为矩形AA1C1C的外接圆，易得R A,0 J^a。

22、正四面体的外接球和内切球的半径（正四面体棱长为三：常见题型解析：本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的补形法2.若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为 J 3，则其外接球的表面积是解析：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径外接球的半径为R ，则有2R V a 2 b 2 c 2 .D1 t ! i Q I ■ ID "■'A f —■・ Cl G 内切球半径为:——a12 外接球半径为: 日0 L ,, a , O 也是球心）1.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4, 体积为16,则这个球的表面积是a b 、c ，则就可以 .设其。

外接球问题方法总结

外接球问题方法总结外接球问题方法总结外接球问题，是立体几何的一个重点，也是高考考察的一个热点，当然这热点不是“重点”，接下来小编搜集了外接球问题方法总结，欢迎查看。

简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键。

（一）由球的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心。

由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论。

结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点。

结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点。

结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点。

结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到。

结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。

（二）构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的'中点处。

以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法。

途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体。

途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体。

途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体。

途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体。

（三）由性质确定球心利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心。