固体中的声波方程

1.固体的基本弹性性质

要建立固体中声波方程，首先必须了解固体的基本弹性性质，当固体受到外力作用时，体内就产生形变，一般用物理量应变来描述，由于固体的弹性性质体内各部分之间就产生互相作用力，而这种力是通过它们的界面起作用的具有面力的性质，一般用物理量-应力来描述。固体中应变与应力的关系远比流体复杂得多，因此需要详细分析。

1.1 固体中的应变分析

我们考察固体中某一点 A ，其坐标为( x，y，z），由于某种原因它产生了位移，它在x，y，z方向的位移分量分别为ξ,η,ζ,设与它相邻的 C 点坐标为（ x+dx， y+dy ，z+dz ) ，它的位移相应为ξ+dξ,η+dη,ζ+dζ。利用泰勒级数展开可得 A 与 C 点的位移差为：

式1 从式1可见，固体中的形变可用如下九个应变分量来描述

式2

为了简化分析采用如下符号：

式3 我们用图 1所示的二维模型来考察固体的形变。取原来的一小方体元 ABCD 经形变后成为菱形A’B’C’D ' 。从图可以清楚看到，εxx 就是代表长度为 dx 的线段沿 x 轴的简单的相对“伸长” , 称为 x 方向的伸长应变。εyy同样为长度为dy的线段沿 y 轴相对“伸长” , εzz为沿 z 轴的相对“伸长”。从图还可看到，形变的另一特征是小体元形变成菱形，其两棱边的夹角发生了变化。

图1

这一夹角的变化就代表了小体元的切形变大小。考虑到形变量是微量．所以 x 方向棱边绕 Oz 轴的旋转角为：x ¶¶=

»h q q 11tan y 方向棱边绕 Oz 轴的旋转角为：y ¶¶-=»x

q q 22tan

于是，yx xy e e q q ==-21就是小体元在 xOy 平面的切形变，称为xOy 平面的切应变．同样从图可知y

x ¶¶+¶¶=-x h q q 21。 这就是对角线 AC 转动角度的 2 倍，因而Ωz 就相当于小体元绕 z 轴的旋转。类似地可以指出Ωy 为绕y 轴的旋转，Ωx 为绕 x 轴的旋转。显然这些旋转量对体元的形变没有贡献，类似地还可以得到yOz 平面的切应变zy yz e e =以及xOz 平面的切应变zx xz e e =。根据以上分析

可知，描述固体中的形变可以不必用式1中的 9 个应变分量，而只要用如下的 6 个： 3 个伸长应变εxx ,εyy ，εzz ， 3 个切应变

zx yz xy e e e ,,。

1.2 固体中的应力分析

我们还是从固体中割出一个小体元 dV 来进行分析，当固体形变时该小体元将受到周围相邻部分力的作用，我们称作用在小体元单位表面上的力为应力，由于固体能产生切形变，所以作用在小体元上的应力，除了像流体一样有法向应力外（流体中用压强表示）还存在方向与作用表面相切的切应力，从图 2 可以看到，在所取的小体元的表面上一般存在 9 个应力分量，

图2

其中 Txx 表示作用在x 面（与x 轴垂直的表面）上方向指向 x 轴的应力,Txy 表示作用在x 面方向指向 y 轴的应力，以此类推。我们用符号T ij ( i ,j =x，y ,z ）来表示应力，那么当 i=j 时它表示法

向应力，当 i ≠j 时表示切应力。稍加证明还可指出，一般这 9 个应力分量并不完全独立，它们具有对称性，即 T ij = T ji 。因此实际上

只要用 6 个应力分量就可完全确定固体的应力特性。为此我们再来观察一下图2的小体元，由于各表面受有切应力，所以它们对中心轴将产生力矩，例如绕 x 轴的力矩等于

dz dxdy T dy dxdz T dM zy yz x )()(-=

根据动量矩守恒定律，该力矩应等于小体元绕 x 轴的转动惯量乘以角加速度。而转动惯量等于])2

()2[(22dz dy dxdydz +r ，因为 dx 为微量，显然转动惯量为5级微量，它与3级微量力矩相比可以忽略，于是可近似得：x dM =0，所以，0)()(=-dz dxdy T dy dxdz T zy yz ，即zy yz T T =。同理可得yx xy zx xz T T T T ==,。

1.3 广义虎克定律

从上面分析已知，对于固体媒质可以用六个应变分量来描述形变，用六个应力分量来描述应力，而应变与应力之间是有关系的．假设我们研究的是产生小形变情形，一般讲应变与应力应该具有线性关系，而且所有的应变分量对每一应力分量都应有贡献，所以每一应力应该是 6 个应变分量的线性函数，它们的一般关系可表示成如下形式： 式4

式中 C ij （i,j = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ）称为弹性系数，它决定

于固体媒质的弹性性质。式4就是弹性力虎克定律在固体中的推广，称为广义虎克定律。从式中可以看到，固体的弹性性质比流体要复杂得多，一般具有 36 个弹性系数．但是实际上这 36 个系数不是完全独立的，因为弹性能是应变的单值函数，所以可以证明弹性系数具有

对称性 C ij = C ji ，这样独立的弹性系数就减少到 21 个，对于具有

对称性的晶体，独立的弹性系数还可减少，例如对于三角系晶体如石英，铝酸锂等，弹性系数减少到 6 个，六角系晶体如氧化锌，硫化锡等，弹性系数减少到 5 个，而立方形晶体像砷化稼等减少到 3 个，对于各向同性固体像金属、玻璃等弹性系数更可减少为 2 个。 对于各向同性固体，广义虎克定律可简化为：

xy xy zx

zx yz yz zz zz yy xx zz yy zz yy xx yy xx zz yy xx xx T T T T T T me me

me

me

e e e l me

e e e l me

e e e l ===+++=+++=+++=2)(2)(2)( 式5

这里，λ，μ称为拉密常数，它们与各弹性系数C ij 之间的关系为

λ=C 12 =C 13 =C 21= C 23=C 31= C 32

μ= C 44= C 55 =C 66 =1/2(C 11 -C 12)

λ+2μ= C 11 =C 22 =C 33。

其他弹性系数全部为0。μ也称为切变弹性系数。它的物理意义是比较明显的，表示单位切应变对应的切应力数值。

1.4 拉密常数与杨氏模量、泊松比的关系

对于各向同性固体虽然拉密常数中的切变弹性系数μ的物理意义是明确的，然而λ的含义就不十分清楚，为此人们常常喜欢采用另外两个物理意义比较明确的弹性常数 ― 杨氏模量E 和泊松比σ，来表示其弹性性质。下面我们就来建立这些量之间的联系。我们还是研究一下图 2 的小体元．假如此小体元只在 x 方向受到法向应力