1991年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案
2005-2019历年研究生入学考试试题-数学(二)真题解析汇编
2005-2019历年研究生入学考试试题-数学（二）真题解析汇编目录考研数学历年真题——数学（二）2005年全国硕士研究生入学统一考试 (1)一、填空题. (3)二、选择题. (3)三、解答题. (5)2006年全国硕士研究生入学统一考试 (8)一、填空题. (8)二、选择题 (8)三、解答题 (10)2007年全国硕士研究生入学统一考试 (13)一、选择题. (13)二、填空题. (15)三、解答题. (15)2008年全国硕士研究生入学统一考试 (18)一、选择题 (18)二、填空题 (20)三、解答题 (20)2009年全国硕士研究生入学统一考试 (23)1一、选择题 (23)二、填空题. (25)三、解答题. (25)2010年全国硕士研究生入学统一考试 (28)一、选择题 (28)二、填空题. (29)三、解答题 (30)2011年全国硕士研究生入学统一考试 (32)一、选择题 (32)二、填空题 (33)三、解答题 (34)2012年全国硕士研究生入学统一考试 (36)一、选择题. (36)二、填空题. (37)三、解答题. (38)2013年全国硕士研究生入学统一考试 (40)一、选择题 (40)二、填空题. (41)三、解答题 (42)22014年全国硕士研究生入学统一考试 (44)一、选择题. (44)二、填空题. (45)三、解答题. (46)2015年全国硕士研究生入学统一考试 (48)一、选择题. (48)二、填空题. (50)三、解答题. (50)2016年全国硕士研究生入学统一考试 (52)一、选择题 (52)二、填空题 (53)三、解答题. (54)2017年全国硕士研究生入学统一考试 (56)一、选择题 (56)二、填空题. (58)三、解答题. (58)2018年全国硕士研究生入学统一考试 (60)一、选择题. (60)二、填空题. (61)3三、解答题. (62)2019年全国硕士研究生入学统一考试 (64)一、选择题 (64)二、填空题 (65)三、解答题 (65)考研数学历年真题解析——数学（二）2005年全国硕士研究生入学统一考试 (71)一、填空题. (71)二、选择题 (73)三、解答题. (77)2006年全国硕士研究生入学统一考试 (84)一、填空题. (84)二、选择题. (86)三、解答题 (90)2007年全国硕士研究生入学统一考试 (98)一、选择题. (98)二、填空题. (103)三、解答题. (106)2008年全国硕士研究生入学统一考试 (113)4一、选择题 (113)二、填空题 (115)三、解答题． (118)2009年全国硕士研究生入学统一考试 (126)一、选择题. (126)二、填空题. (130)三、解答题. (132)2010年全国硕士研究生入学统一考试 (140)一、选择题. (140)二、填空题 (144)三、解答题 (147)2011年全国硕士研究生入学统一考试 (154)一、选择题 (154)二、填空题. (157)三、解答题 (159)2012年全国硕士研究生入学统一考试 (167)一、选择题 (167)二、填空题. (170)三、解答题 (173)52013年全国硕士研究生入学统一考试 (181)一、选择题 (181)二、填空题. (184)三、解答题 (186)2014年全国硕士研究生入学统一考试 (191)一、选择题. (191)二、填空题. (194)三、解答题. (195)2015年全国硕士研究生入学统一考试 (202)一、选择题. (202)二、填空题. (204)三、解答题 (205)2016年全国硕士研究生入学统一考试 (214)一、选择题. (214)二、填空题 (216)三、解答题 (218)2017全国硕士研究生入学统一考试 (227)一、选择题 (227)二、填空题. (228)6三、解答题. (231)2018全国硕士研究生入学统一考试 (237)一、选择题. (237)二、填空题 (239)三、解答题 (242)2019全国硕士研究生入学统一考试 (251)一、选择题 (251)二、填空题 (253)三、解答题 (255)7考研数学历年真题——数学（二）欢迎使用高教考试在线电子教材32005年全国硕士研究生入学统一考试一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分，请把答案填在题中横线上.1.设(1sin )xy x =+，则x dy π== .2.曲线32)y =的斜渐近线方程为 .3.10=⎰.4.微分方程2ln xy y x x '+=满足1(1)9y =−的解为. 5.当0x →时，2()x kx α=与()x β=则k = .6.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵123(,,)A ααα=，123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++，如果||1A =，那么||B =.二、选择题：7~14小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内.7.设函数()n f x =()f x 在(,)−∞+∞内( )（A ）处处可导. （B ）恰有一个不可导点.（C ）恰有两个不可导点.（D ）至少有三个不可导点.4 8.设函数()F x 是连续函数()f x 的一个原函数，“M N ⇔”表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有( )（A ）()()F x f x ⇔是偶函数是奇函数.（B ）()()F x f x ⇔是奇函数是偶函数．（C ）()()F x f x ⇔是周期函数是周期函数.（D ）()()F x f x ⇔是单调函数是单调函数. 9.设函数()y y x =由参数方程22ln(1)x t t y t ⎧=+⎨=+⎩确定，则曲线()y y x =在3x =处的法线与x 轴交点的横坐标是( ) （A ）1ln 238+.（B ）1ln 238−+.（C ）8ln 23−+.（D ）8ln 23+. 10.设区域22{(,)|4,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥，()f x 为D 上的正值连续函数，,a b为常数，则D σ=( ) （A ）ab π.（B ）2ab π. （C ）()a b π+. （D ）()2a b π+.11.设函数(,)()()()x y x y u x y x y x y t dt ϕϕψ+−=++−+⎰，其中函数具ϕ有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有 ( )（A ）2222u u x y∂∂=−∂∂. （B ）2222u u x y ∂∂=∂∂. （C ）222u u x y y∂∂=∂∂∂. （D ）222u u x y x ∂∂=∂∂∂.12.设函数11()1x x f x e−=−，则 ( )（A ）0,1x x ==都是()f x 的第一类间断点. （B ）0,1x x ==都是()f x 的第二类间断点.（C ）0x =都是()f x 的第一类间断点，1x =都是()f x 的第二类间断点. （D ）0x =都是()f x 的第二类间断点，1x =都是()f x 的第一类间断点. 13.设12,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12,αα，则112,()A ααα+线性无关的充分必要条件是 ( )（A ）10λ≠. （B ）20λ≠. （C ）10λ=.（D ）20λ=.14.设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，,A B **分别为,A B 的伴随矩阵，则( )（A ）交换A *的第1列与第2列得到B *. （B ）交换A *的第1行与第2行得到B *. （C ）交换A *的第1列与第2列得到B *−. （D ）交换A *的第1行与第2行得到B *−.三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分11分)设函数()f x 连续，且(0)0f ≠，求极限0()()lim()xx x x t f t dtx f x t dt→−−⎰⎰.16.(本题满分12分) 如图，1C 和2C 分别是1(1)2x y e =+和x y e =的图像，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图像，过2C 上任一点(,)M x y 分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l .记12,C C 与x l 所围成的面积为1()S x ；23,C C 与y l 所围成的图形的面积为2()S y .如果12()()S x S y =，求曲线3C 的方程()x y ϕ=. 17.(本题满分11分)如图，曲线C 的方程为()y f x =，点(3,2)是它的一个 拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数， 计算定积分320()()x x f x dx '''+⎰.18.(本题满分12分)用变量代换cos (0)x t t π=<<化简微分方程2(1)0x y xy y '''−−+=，并求其满足01x y ==，02x y ='=的特解.19.(本题满分12分)已知函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，(1)1f =.证明：(Ⅰ)存在(0,1)ξ∈，使得(=1f ξξ−）；(Ⅱ)存在两个不同的点,(0,1)ηζ∈，使得()()1f f ηζ''=. 20.(本题满分10分)已知函数(,)z f x y =的全微分22dz xdx ydy =−，并且(1,1)2f =，求(,)f x y 在椭圆域22{(,)|1}4y D x y x =+≤上的最大值和最小值.21.(本题满分9分) 计算二重积分22|1|Dxy d σ+−⎰⎰，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤．22.(本题满分9分)确定常数a ，使向量组1(1,1,)T a α=，2(1,,1)T a α=，3(,1,1)T a α=可由向量组1(1,1,)T a β=，2(2,,4)T a β=−，3(2,,)T a a β=−线性表出，但向量组123,,βββ不能由向量组123,,ααα线性表出.23.(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是(,,)a b c ，,,a b c 不全为零，矩阵12324636B k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且AB O =，求线性方程组0Ax =的通解．2006年全国硕士研究生入学统一考试一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分，请把答案填在题中横线上. 1.曲线4sin 52cos x xy x x+=−的水平渐近线方程为.2.设函数231sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续，则a =.3.广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰.4.微分方程(1)y x y x−'=的通解是 .5.设函数()y y x =由方程1yy xe =−确定，则x dy dx==.6.设矩阵2112A ⎛⎫=⎪−⎝⎭，E 为2阶单位阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则||B =.二、选择题：7~14小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内. 7.设函数()y f x =具有二阶导数，且()0f x '>，()0f x ''>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处的增量与微分，若0x ∆>，则( )（A ）0dy y <<∆. （B ）0y dy <∆<. （C ）.（D ）0dy y <∆<.0y dy ∆<<8.设函数()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是第一类间断点，则()xf t dt ⎰是( )（A ）连续的奇函数. （B ）连续的偶函数．（C ）在0x =间断的奇函数. （D ）在0x =间断的偶函数.9.设函数()g x 可微，1()(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===，则(1)g 等于( )（A ）ln31−. （B ）ln31−−. （C ）ln 21−−.（D ）ln 21−.10.函数212x x x y C e C e xe −=++满足的一个微分方程是( )（A ）23xy y y xe '''−−=. （B ）23xy y y e '''−−=. （C ）23x y y y xe'''+−= （D ）23xy y y e '''+−=.11.设(,)f x y 为连续函数，则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ=⎰⎰( )（A ）(,)xdx f x y d y（B ）(,)f x y d y .（C ）(,)ydy f x y dx . （D ）0(,)f x y dx .12.设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠.已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是( )（A ）若(,)0x f x y '=，则(,)0y f x y '=（B ）若(,)0x f x y '=，则(,)0y f x y '≠ （C ）若(,)0x f x y '≠，则(,)0y f x y '= （D ）若(,)0x f x y '≠，则(,)0y f x y '≠. 13.设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是( )（A ）若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. （B ）若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. （C ）若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关. （D ）若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关.14.设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得到B ，再将B 的第1列的1−倍加到第2列得C ，记110010001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则( )（A ）1C P AP −=（B ）1C PAP−=（C ）T C P AP =.（D ）TC PAP =.三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分10分)试确定常数A B C 、、的值，使得.其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.16.(本题满分10分)求arcsin xxe dx e⎰.17.(本题满分10分)设区域22{(,)|1,0}D x y x y x =+≤≥，计算二重积分2211DxyI dxdy x y+=++⎰⎰. 23(1)1()xeBx Cx Ax o x ++=++18.(本题满分12分)设数列{}n x 满足10x π<<，1sin (1,2,)n n x x n +==．（I ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 19.(本题满分10分)证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++． 20.(本题满分12分)设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶连续导数，z f =且满足等式22220z z x y∂∂+=∂∂. （I ）验证()()0f u f u u '''+=； （Ⅱ）若(1)0f =，(1)1f '=，求函数()f u 的表达式. 21.(本题满分12分)已知曲线L 的方程为221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=−⎩． （I ）讨论L 的凹凸性；（Ⅱ）过点(1,0)−引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （Ⅲ）求此切线与L (对应于0x x ≤的部分)及x 轴所围成的平面图形的面积.22.(本题满分9分)已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=−⎧⎪++−=−⎨⎪+++=⎩，有3个线性无关解．（I ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =（Ⅱ）求,a b的值，及方程组的通解.23.(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量1(1,2,1)Tα=−−，2(0,1,1)Tα=−是线性方程组0Ax=的两个解．（I）求A的特征值与特征向量；（Ⅱ）求正交变换Q和对角阵Λ，使得TQ AQ=Λ.2007年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题：1~10小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.当0x +→时，与x 等价的无穷小量是( )（A ）1xe− （B ）ln1x−.（C ）11x +−（D ）1cos x −.2.函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=−在[,]ππ−上的第一类间断点是x =( )（A ）0（B ）1． （C ）2π−. （D ）2π. 3.如图，连续函数()y f x =在区间[3,2]−−，[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[2,0]−，[0,2]上的图形分别是直径为2的上、下半圆周.设0()()xF x f t dt =⎰，则下列结论正确的是( )（A ）3(3)(2)4F F =−−.（B ）5(3)(2)4F F =. （C ）3(3)(2)4F F −= （D ）5(3)(2)4F F −=−−.4.设函数()f x 在0x =处连续，则下列命题错误．．的是( )（A ）若0()limx f x x→存在，则(0)0f =.（B ）若0()()lim x f x f x x→+−存在，则(0)0f =.（C ）若0()lim x f x x→存在，则(0)f '存在.（D ）若0()()lim x f x f x x →−−存在，则(0)f '存在.5.曲线1ln(1)xy e x=++的渐近线的条数为( )（A ）0.（B ）1．（C ）2.（D ）3.6.设()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，设()(1,2,,)n u f n n ==，则下列结论正确的是( )（A ）若12u u >，则{}n u 必收敛. （B ）若12u u >，则{}n u 必发散. （C ）若12u u <，则{}n u 必收敛（D ）若12u u <，则{}n u 必发散.7.二元函数(,)f x y 在(0,0)点可微的一个充分条件是( )（A ）(,)(0,0)lim [(,)(0,0)]0x y f x y f →−=.（B ）0[(,0)(0,0)]lim0x f x f x →−=，0[(0,)(0,0)]lim 0y f y f y →−=.（C ）(,)lim0x y →=.（D ）0lim[(,0)(0,0)]0x x x f x f →''−=，0lim[(0,)(0,0)]0y y y f y f →''−=.8.设函数(,)f x y 连续，则二重积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于( )（A ）10arcsin (,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰.（B ）10arcsin (,)ydy f x y dx ππ−⎰⎰.（C ）1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰.（D ）1arcsin 02(,)ydy f x y dxππ−⎰⎰9.设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关．．．．的是( )（A ）122331,,αααααα−−−. （B ）122331,,αααααα+++.（C ）1223312,2,2αααααα−−−. （D ）1223312,2,2αααααα+++. 10.设矩阵211121112A −−⎛⎫ ⎪=−− ⎪ ⎪−−⎝⎭，100010000B ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则A 与B ( )（A ）合同且相似. （B ）合同但不相似.（C ）不合同但相似.（D ）既不合同也不相似.二、填空题：11~16小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 11.30arctan sin limx x xx→−= .12.曲线2cos cos 1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对于4t π=的点处的法线斜率为.13.设函数123y x =+，则()(0)n y = .14.二阶常系数非齐次线性微分方程2432xy y y e '''−+=的通解为y = . 15.设(,)f u v 为二元可微函数，(,)y x z f x y =，则z z xy x y∂∂−=∂∂ .16.设矩阵0100001000010000A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则3A 的秩为 .三、解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题满分11分)设()f x 是区间[0,]4π上的单调、可导函数，且满足()100cos sin ()sin cos f x x t tf t dt t dt t t−−=+⎰⎰，其中1f −是f 的反函数，求()f x .18.(本题满分10分) 设D是位于曲线2x ay −=(1,0)a x >≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域.(Ⅰ)求区域D 绕x 轴旋转一所成旋转体的体积为()V a ； (Ⅱ)求a 为何值时，()V a 最小？并求此最小值. 19.(本题满分11分)求满足微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解.20.(本题满分10分)已知函数()f u 具有二阶导数，且(0)1f '=，函数()y y x =由方程11y y xe−−=确定.设(ln sin )z f y x =−，求x dzdx=，22x d z dx =21.(本题满分11分)设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶连续导数且存在相等的最大值，()()f a g a =，()()f b g b =证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.22.(本题满分11分).设二元函数2 ,||||1(,)||||2x x y f x y x y ⎧+≤⎪=<+≤，计算二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰，其中{(,)|||||2}D x y x y =+≤.23.(本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=−有公共解，求a 的值及所有公共解．24.(本题满分11分)设3阶实对称矩阵A 的特征值11λ=，22λ=，32λ=−，且1(1,1,1)T α=−是A 的属于1λ 的一个特征向量.记534B A A E =−+，其中E 为3阶单位阵.(Ⅰ)验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值和特征向量； (Ⅱ)求矩阵B .2008年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．1.设2()(1)(2)f x x x x =−−，则()f x '的零点个数为 ( )（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3．2.如图，曲线段方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数，则定积分()axf x dx '⎰等于( )（A ）曲边梯形ABOD 面积． （B ）梯形ABOD 面积． （C ）曲边三角形ACD 面积． （D ）三角形ACD 面积．3.在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++(123,,C C C 为任意的常数)为通解的是( )（A ）440y y y y ''''''+−−=（B ）440y y y y ''''''+++=． （C ）440y y y y ''''''−−+=（D ）440y y y y ''''''−+−=．4.判定函数ln ||()sin |1|x f x x x =−，则()f x 间断点的情况 ( )（A ）有一个可去间断点，一个跳跃间断点． （B ）有一跳跃间断点，一个无穷间断点．（C ）有两个无穷间断点． （D ）有两个跳跃间断点．5.设函数()f x 在(,)−∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的( ) （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛． （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛． （C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛．6.设函数f 连续，若2222(,)uvD F u v dxdy x y=+⎰⎰，其中uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂()（A ）2()vf u （B ）()vf u ． （C ） 2()vf u u ． （D ）()vf u u． 7.设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵若3A O =，则( )（A ）E A −不可逆，E A +不可逆． （B ）E A −不可逆，E A +可逆．（C ）E A −可逆，E A +可逆． （D ）E A −可逆，E A +不可逆．8.设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭则在实数域上与A 合同矩阵为 ( )（A ）2112−⎛⎫⎪−⎝⎭（B ）2112−⎛⎫⎪−⎝⎭．（C ）2112⎛⎫⎪⎝⎭ （D ）1221−⎛⎫⎪−⎝⎭．二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．9.已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →−=−，则(0)f = ．10.微分方程2()0xy x e dx xdy −+−=的通解是y = ．11.曲线sin()ln()xy y x x +−=在点(0,1)处的切线方程是．12.曲线23(5)y x x =−的拐点坐标为． 13.设xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)z x ∂=∂．14.设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ，若行列式|2|48A =−，则λ= ． 三、解答题：15~23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本题满分9分)求极限40[sin sin(sin )]sin limx x x xx→−． 16.(本题满分10分)设函数()y y x =由参数方程确定，其中()x x t =是初值问题020xt dx te dt x −=⎧−=⎪⎨⎪=⎩的解，求22d y dx ．17.(本题满分9分)20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰计算21⎰．18.(本题满分11分) 计算，其中．19.(本题满分11分)设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且．对任意的，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式． 20.(本题满分11分)（I ）证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=−⎰；（II ）若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足(2)(1)ϕϕ>，32(2)()x dx ϕϕ>⎰，则至少存在一点(1,3)ξ∈，使得()0ϕξ''<． 21.(本题满分11分)求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值和最小值． 22.(本题满分12分)设n 元线性方程组Ax b =，其中2222212121212a a a a a A a a a a ⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12n x xx x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，max{,1}Dxy dxdy ⎰⎰{}(,),02,02D x y x y =≤≤≤≤()f x [0,)+∞(0)1f =[0,)t ∈+∞0,x x t ==()y f x =x x ()f xb 100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x ． (III)当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解． 23.(本题满分10分)设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1−的特征向量，向量3α满足A ααα323=+，（I ）证明123,,ααα线性无关； （II ）令123(,,)P ααα=，求1P AP −．2009年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.函数3()sin x x f x xπ−=的可去间断点的个数为( )（A ）1.（B ）2.（C ）3.（D ）无穷多个.2.当0x →时，()sin f x x ax =−与2()ln(1)g x x bx =−是等价无穷小则( ) （A ）1,1/6a b ==−. （B ）1,1/6a b ==. （C ）1,1/6a b =−=−.（D ）1,1/6a b =−=.3.设函数(,)z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点(0,0) ( )（A ）不是(,)f x y 的连续点. （B ）不是(,)f x y 的极值点.（C ）是(,)f x y 的极大值点. （D ）是(,)f x y 的极小值点.4.设函数(,)f x y 连续，则222411(,)(,)y xydx f x y dy dy f x y dx −+=⎰⎰⎰⎰( )（A ）2411(,)xdx f x y dy −⎰⎰.（B ）241(,)xxdx f x y dy −⎰⎰.（C ）2411(,)ydy f x y dx−⎰⎰（D ）221(,)ydy f x y dx ⎰⎰.5.若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点(1,1)处的曲率圆为222x y +=，则函数()f x 在区间(1,2)内( )（A ）有极值点，无零点. （B ）无极值点，有零点.（C ）有极值点，有零点.（D ）无极值点，无零点.6.设函数()y f x =在区间[1,3]−上的图形为则函数0()()xF x f t dt =⎰的图形为( )（A ） （B ）（C ） （D ）7.设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为( )（A ）**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭.（B ）**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭. （C ）**32O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭.（D ）**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭. 8.设,A P 均为3阶矩阵,T P 为P 的转置矩阵,且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若123(,,)P ααα=,1223(,,)Q αααα=+,则T Q AQ 为 ( )（A ）210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.（B ）110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.25（C ）200010002⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ （D ）100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9.曲线21022ln(2)t u x e duy t t −−⎧=⎪⎨⎪=−⎩⎰在点(0,0)处的切线方程为.10.已知||1k x e dx +∞−∞=⎰，则k =. 11.1limsin x n e nxdx −→∞=⎰.12.设()y y x =是由方程1yxy e x +=+确定的隐函数，则202x d y dx==.13.函数2xy x =在区间(0,1]上的最小值为.14.设,αβ为3维列向量,T β为β的转置.若矩阵Tβα相似于200000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则Tβα=.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分9分)求极限40(1cos )[ln(1tan )]limsin x x x x x→−−+.16.(本题满分10分)计算不定积分ln(1(0)dx x +>⎰.2617.(本题满分10分)设(,,)z f x y x y xy =+−,其中f 具有二阶连续偏导数.求dz 与2zx y∂∂∂.18.(本题满分10分)设非负函数()(0)y y x x =≥满足微分方程20xy y '''−+=.当曲线()y y x =过原点时,其与直线1x =及0y =围成的平面区域D 的面积为2,求D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 19.(本题满分10) 计算二重积分()Dx y dxdy −⎰⎰,其中22{(,)|(1)(1)2,}D x y x y y x =−+−≤≥. 20.(本题满分12分)设()y y x =是区间(,)ππ−内过点(的光滑曲线.当0x π−<<时,曲线上任一点处的法线都过原点；当0x π≤<时,函数()y x 满足0y y x ''++=.求函数()y x 的表达式.21.(本题满分11分)(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,则存在(,)a b ξ∈,使得()()()()f b f a f b a ξ'−=−.(Ⅱ)证明:若函数()f x 在0x =处连续,在(0,)(0)δδ>内可导,且0lim ()x f x A +→'=,则(0)f +'存在,且(0)f A +'=.22.(本题满分11分)设2711111111,10422A ξ−−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−⎝⎭⎝⎭.(Ⅰ)求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ； (Ⅱ)对（I ）中的任意向量23,ξξ,证明123,,ξξξ线性无关. 23.(本题满分11分) 设二次型2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++−+−.(Ⅰ)求二次型f 的所有特征值；(Ⅱ)若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值.282010年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.若( )（A ）0（B ）1（C ）2（D ）32.设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，若常数μλ,使12y y λμ+是该方程的解,12y y λμ−是该方程对应的齐次方程的解，则( )（A ）21,21==μλ． （B ）21,21−=−=μλ． （C ）31,32==μλ．（D ）32,32==μλ． 3.设曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切，则a = ( )（A ）4e ．（B ）3e .（C ）2e .（D ）e .4.设m ，n 均是正整数，则反常积分0⎰的收敛性 ( )（A ）仅与m 的取值有关． （B ）仅与n 的取值有关.（C ）与,m n 的取值有关. （D ）与,m n 的取值无关.5.设函数(,)z z x y =是由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定，其中F 为可微函数，且 20F '≠，则z z xy x y∂∂+=∂∂ ( )（A ）x（B ）z（C ）x− （D ）z −()f x =296.2211lim()()n nn i j nn i n j →∞===++∑∑ ( )（A ）1201(1)(1)xdx dy x y ++⎰⎰． （B ）1001(1)(1)x dx dy x y ++⎰⎰． （C ）1101(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰．（D ）112001(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰．7.设向量组Ⅰ：12,,,r ααα可由向量组Ⅱ：12,,,s βββ线性表示.则下列命题正确的是( )（A ）若向量组I 线性无关，则s r ≤ （B ）若向量组I 线性相关，则r s > （C ）若向量组II 线性无关，则s r ≤ （D ）若向量组II 线性相关，则r s > 8.设A 为4阶实对称矩阵，且02=+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于( )（A ）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0111（B ）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−0111（C ）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−0111（D ）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−0111二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9.3阶常系数线性齐次微分方程220y y y y ''''''−+−=的通解为y =.10.曲线3221x y x =+的渐近线方程为.11.函数ln(12)y x =−在0x =处的n 阶导数()(0)n y =.3012.当0θπ≤≤时，对数螺线r e θ=的弧长为.13.已知一个长方形的长l 以2/cm s 的速率增加，宽ω以3/cm s 的速率增加．则当12l cm =，5cm ω=时，他的对角线的增加速率为.14.设,A B 为3阶矩阵，且||3A =，||2B =，1||2A B −+=，则1||A B −+=.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分10分) 求函数2221()()x t f x x t e dt −=−⎰的单调区间与极值．16.(本题满分10分) (Ⅰ)比较[]⎰⎰⋯=+11),2,1(ln )1ln(ln n dt t t dt t t n n与的大小，说明理由；(Ⅱ)记[]⎰⋯=+=1),2,1()1ln(ln n dt t t u nn ,求极限lim n n u →∞.17.(本题满分11分)设函数由参数方程22()x t t y t ψ⎧=+⎨=⎩(1)t >−所确定，其中()t ψ具有2阶导数，且5(1)2ψ=，(1)6ψ'=，已知2234(1)d y dx t =+，求函数()t ψ. 18.(本题满分10分)一个高为l 的柱体形贮油罐，底面 是长轴为2a ，短轴为2b 的椭圆． 32b 时现将贮油罐平放，当油罐中油的高度为(如图)，计算油的质量．(长度单位为m ，质量单位为kg ，油的密度为常数3/kg m ρ)3119.(本题满分11分)设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数，且满足等式2222241250u u ux x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂.确定,a b 的值，使等式在变换x ay ξ=+，x by η=+下简化为20uξη∂=∂∂． 20.(本题满分10分)计算2sin DI r θ=⎰⎰，其中(,)|0sec ,04D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭． 21.(本题满分10分)设函数()f x 闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且(0)0f =，1(1)3f =．证明：存在1(0,)2ξ∈，1(,1)2η∈，使得22()()f f ξηξη''+=+． 22.(本题满分11分)设矩阵1101011A λλλ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭，11a b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，已知线性方程组Ax b =存在2个不同的解，(Ⅰ)求λ，a ；(Ⅱ)求方程组Ax b =的通解． 23.(本题满分11分)设0141340A a a −⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦，正交矩阵Q 使得TQ AQ 为对角矩阵．若Q 的第2,1)T ，求,a Q ．322011年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.已知当0x →时，函数()3sin sin3f x x x =−与kcx 是等价无穷小( ) （A ）1,4k c == （B ）1,4k c ==− （C ）3,4k c == （D ）3,4k c ==−．2.()0(0)0,f x x f ==已知在处可导，且则，2330()2()lim x x f x f x x→−=( ) （A ）)0(2f '− （B ）)0(f '− （C ）)0(f '（D ）03.函数)3)(2)(1(ln )(−−−=x x x x f 的驻点个数为 ( )（A ）0（B ）1（C ）2（D ）34.微分方程2(0)xx y y e e λλλλ−''−=+>的特解形式为( )（A ） （B ）（C ） （D ）5.设函数)(x f ，()g x 均具有二阶连续导数，且满足(0)0f >，(0)0g <，且(0)(0)0f g ''==.则函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是 ( )（A ）(0)0(0)0f ''''<>,g （B ）(0)0(0)0f ''''<<,g ． （C ）(0)0(0)0f ''''>>,g （D ）(0)0(0)0f ''''><,g ．)(x xe ea λλ−+()xx ax e e λλ−+()xx x aebe λλ−+2()x x xae be λλ−+336.设4440ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx πππ===⎰⎰⎰，则,,I J K 的大小关系是 ( )（A ）I J K<<（B ）I K J<<（C ）J I K<<（D ）K J I<<7.设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵.记1100110001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2100001010P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则A =( ) （A ）12PP （B ）112P P − （C ）21P P （D ）121P P −．8.设()4321,,,ααααA =是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若()T0,1,0,1是方程组0=x A 的一个基础解系，则0=*x A 基础解系可为 ( )（A ）13,αα （B ）12αα,（C ）123ααα,, （D ）234ααα,,．二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9.=+→x x x 10)221(lim ___________. 10.微分方程cos xy y e x −'+=满足条件(0)0y =的解y =___________.11.曲线)40(tan 0⎰≤≤=xx tdt y π的弧长s =____________.12.设函数,0(),00,0x e x f x x λλλ−⎧>=>⎨≤⎩，则=⎰+∞∞−dx x xf )(____________.13.设平面区域D 由y x =，圆y y x 222=+及y 轴所组成，则二重积分__Dxyd σ=⎰⎰．3414.二次型3231212322213212223),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=，则f 的正惯性指数为___.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分10分）已知函数αx dt t x F x⎰+=2)1ln()(，设0)(lim )(lim 0==+→+∞→x F x F x x ，试求α的取值范围.16.（本题满分11分）设函数()y y x =有参数方程3311331133x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=−+⎪⎩确定，求()y y x =的极值和曲线()y y x =的凹凸区间及拐点.17.（本题满分9分）设))(,(x yg xy f z =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导，且在1x =处取得极值(1)1g =,求211x y zx y==∂∂∂．18.（本题满分10分）设函数()y y x =具有二阶导数，且曲线:()l y y x =与直线y x =相切于原点，记α是曲线l 在点(,)x y 处切线的倾角，若dxdydx d =α，求()y x 的表达式. 19.（本题满分10分）（Ⅰ）证明：对任意正整数n ，都有nn n 1)11ln(11<+<+； （Ⅱ）设111ln (1,2,)2n a n n n=++⋯+−=⋯,证明数列}{n a 收敛. 20.（本题满分11分）一容器的内侧是由图中曲线绕y 旋转一周而成的曲面，该曲线由2212()2x y y y +=≥与2211()2x y y +=≤连接而成.（Ⅰ）求容器的容积.（Ⅱ）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？（长度单位：m ；重力加速度为2/s gm ；水的密度为33/10m kg ）．21.（本题满分11分）已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，⎰⎰=Da dxdy y x f ),(，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D ，计算二重积分(,)xyDI xy f x y dxdy ''=⎰⎰.22.（本题满分11分）设向量组()11,0,1Tα=，()20,1,1Tα=，()31,3,5Tα=不能由向量组()11,1,1T β=，()21,2,3T β=，()33,4,Ta β=线性表示．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）将123,,βββ用123,,ααα线性表示. 23.（本题满分11分）设矩阵A 为三阶实对称矩阵，且()2R A =，111100001111A −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭．(Ⅰ)求A 的所有特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵A .2012年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.曲线221x x y x +=−渐近线的条数为( )（A ）0（B ）1（C ）2（D ）32.设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =−−−，其中n 为正整数，则(0)f '=( )（A ）1(1)(1)!n n −−− （B ）(1)(1)!n n −− （C ）1(1)!n n −− （D ）(1)!n n −3.设0n a >(1)n =，2，，12n n S a a a =+++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件. （C ）必要非充分条件 （D ）即非充分又非必要条件.4.设2sin (1,2,3)k xk I e xdx k π==⎰，则有( )（A ）123I I I <<（B ）321I I I <<（C ）231I I I <<（D ）213I I I <<5.设函数(,)f x y 可微，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂><∂∂，则使不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的一个充分条件是( )（A ）1212,x x y y ><（B ）1212,x x y y >>.（C ）1212,x x y y << （D ）1212,x x y y <>6.设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)Dxy dxdy −=⎰⎰( ) （A ）π（B ）2（C ）2− （D ）π−7.设1234123400110,1,1,1c c c c αααα−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪===−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量线性相关的为( )（A ）123,,ααα （B ）124,,ααα（C ）134,,ααα（D ）234,,ααα.8.设A 为三阶矩阵，P 为三阶可逆矩阵，且1100010002P AP −⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若123(,,)P ααα=，1223(,,)Q αααα=+，则1Q AQ −=( )（A ）100020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（B ）100010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（C ）200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（D ）200020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9.设()y y x =是由方程21yx y e −+=所确定的隐函数，则22x d ydx==.10.22222111lim ()12n n n nn n→∞+++=+++ .11.设1(ln )z f x y =+，其中函数()f u 可微，则2z z x y x y∂∂+=∂∂ .12.微分方程2(3)0ydx x y dy +−=满足条件1|1x y ==的解为y = .13.曲线2(0)y x x x =+<上的曲率为2的点的坐标是 .14.设A 为3阶矩阵，||3A =，A *为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ，则||BA *=.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分10分） 已知函数11()sin x f x x x+=−，记0lim ()x a f x →=（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若当0x →时，()f x a −与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.16.（本题满分10分） 求函数222(,)x y f x y xe+−=的极值．17.（本题满分12分）过点(0,1)作曲线:ln L y x =的切线，切点为A ，又L 与x 轴交于B 点，区域D 由L 与直线AB 及x 轴围成，求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 18.（本题满分10分） 计算二重积分Dxyd σ⎰⎰，其中区域D 由曲线1cos (0)r θθπ=+≤≤与极轴围成.19.（本题满分10分）若函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+−=及()()2xf x f x e ''+=，（Ⅰ）求()f x 的表达式；（Ⅱ）求曲线220()()xy f x f t dt =−⎰的拐点．20.（本题满分10分）证明：21ln cos 1(11)12x x x x x x ++≥+−<<−．21.（本题满分10分） （Ⅰ）证明方程11n n x x x −+++=（n 为大于1的整数）在区间1(,1)2内有且仅有一个实根；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限．22.（本题满分11分）设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，1100β⎛⎫ ⎪− ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，（Ⅰ）计算||A ；（Ⅱ）当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.23.（本题满分11分）已知1010111001A a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪− ⎪−⎝⎭，二次型123(,,)()T T f x x x x A A x =的秩为2．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求正交变换x Qy =将二次型f 化成标准形.2013年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.设cos 1sin ()x x x α−=,其中()2x πα<,则当0x →时,()x α是 ( )（A ）比x 高阶的无穷小（B ）比x 低阶的无穷小. （C ）与x 同阶但不等价的无穷小（D ）与x 等阶的无穷小.2.设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +−=确定,则2lim 1n n f n →∞⎡⎤⎛⎫−= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）（A ）2（B ）1（C ）1− （D ）2−.3.设函数sin ,0()2,2x x f x x πππ≤≤⎧=⎨<≤⎩,0()()x F x f t dt =⎰,则( )（A ）x π=是函数()F x 的跳跃间断点.（B ）x π=是函数()F x 的可去间断点. （C ）()F x 在x π=处连续但不可导. （D ）()F x 在x π=处可导.4.设函数111,1(1)()1,ln x e x f x x e x xαα−+⎧<<⎪−⎪=⎨⎪≥⎪⎩,若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛,则( )（A ）2α<−（B ） （C ） （D ）2α>20α−<<02α<<。
1991年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案
(5) 如图, x 轴上有一线密度为常数 ,长度为 l 的细杆,有一质量为 m 的质点到杆右端的距
离为 a ,已知引力系数为 k ,则质点和细杆之间引力的大小为
()
(A)
0 l
km (a x)2
dx
(C)
2
0 km
l 2
(a
x)2
dx
(B)
l 0
km (a x)2
1 ex2
lim
x0
y
lim
x0
1
e x2
ex2
lim
x0
ex2
1 ,所以 x 0 为铅直渐近线, 1
1 ex2
lim
x
y
lim
x
1
e x2
ex2
lim
x
ex2
1 1,所以 y 1为水平渐近线. 1
所以选(D).
【相关知识点】铅直渐近线：如函数
2 y
y3
3xy2 y ,即
y
y3 2 3xy2
,则曲线在点 (1, 1)
处的导数为
y x 1
(1)3 2 31 (1)2
1,
两导数相等,有 2 a 1,即 a 1.
又因为曲线 y x2 ax b 过点 (1, 1) ,所以有 1 1 a b 11 b b,b 1 .
域内有 f (x0 ) f (x0 x) ；
函数 y f (x) 与函数 y f (x) 关于原点对称,所以必有 f (x0 ) f (x0 x) ,即
在 x0 的某个领域内 f (x0 ) 为极小值,故(B)是正确的.
考研数学二真题29套：1989年至2018年
六、(本题满分 7 分) 证明方程ln x
x 1 cos 2xdx 在区间(0, ) 内有且仅有两个不同实根. e 0
含 29 套考研数学二历年真题：1985 年至 2018 年 全国考研数学二真题 真题目录（29 套）
1、1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 2、1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 3、1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 4、1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 5、1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 6、1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 7、1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 8、1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 9、1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 10、1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 11、1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 12、2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 13、2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 14、2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 15、2003 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 16、2004 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 17、2005 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 18、2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 19、2007 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 20、2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 21、2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 22、2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 23、2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 24、2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 25、2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 26、2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 27、2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 28、2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 29、2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
1991年考研数学一试题及完全解析
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1) 设21,cos ,x t y t ⎧=+⎨=⎩ 则22d y dx =__________.(2)由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =__________.(3) 已知两条直线的方程是1123:101x y z L ---==-；221:211x y zL +-==,则过1L 且平行于2L 的平面方程是__________.(4) 已知当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =__________.(5) 设4阶方阵 5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭,则A 的逆阵1A -=__________.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 曲线2211x x e y e--+=- ( )(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数()f x 满足关系式20()ln 22xt f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰,则()f x 等于 ( ) (A) ln 2xe (B) 2ln 2xe(C) ln 2xe + (D) 2ln 2xe +(3) 已知级数11(1)2n n n a ∞-=-=∑,2115n n a ∞-==∑,则级数1n n a ∞=∑等于 ( )(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9(4) 设D 是xOy 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于 ( )(A) 12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ (B) 12D xydxdy ⎰⎰(C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ (D) 0(5) 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有 ( ) (A) ACB E = (B) CBA E =(C) BAC E = (D) BCA E =三、(本题满分15分,每小题5分.)(1) 求0)x x π+→. (2) 设n 是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =P 处沿方向n 的方向导数. (3) 22()x y z dV Ω++⎰⎰⎰,其中Ω是由曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的立体.四、(本题满分6分)在过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线L ,使沿该曲线从O 到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分.)将函数()2||(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数211n n ∞=∑的和.六、(本题满分7分.)设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0)f x dx f =⎰,证明在(0,1)内存在一点c ,使()0f c '=.七、(本题满分8分.)已知1(1,0,2,3)α=,2(1,1,3,5)α=,3(1,1,2,1)a α=-+,4(1,2,4,8)a α=+,及(1,1,3,5)b β=+.(1) a 、b 为何值时,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合？(2) a 、b 为何值时,β有1234αααα、、、的唯一的线性表示式？并写出该表示式.八、(本题满分6分)设A 为n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明A E +的行列式大于1.九、(本题满分8分)在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1) 若随机变量X 服从均值为2,方差为2σ的正态分布,且{}240.3P X <<=,则{}0P X <=_______.(2) 随机地向半圆0y <<(a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为_______.十一、(本题满分6分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(2)2, 0,0(,)0, x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他,求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】3sin cos 4t t tt- 【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即 如果 ()()x t y t φϕ=⎧⎨=⎩, 则 ()()dy t dx t ϕφ'='. 所以 sin 2dydy tdt dx dx t dt-==, 再对x 求导,由复合函数求导法则得22sin 1()()22d y d dy dt d t dx dt dx dx dt t t-=⋅=⋅ 232cos 2sin 1sin cos 424t t t t t tt t t-+-=⋅=. (2)【答案】dx -【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点(1,0,1)-的含义是(1,0)1z z ==-. 将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得222()0d xyz +=,再由全微分四则运算法则得()()xy dz ydx xdy z ++=,令1,0,1x y z ===-,得dy =,即dz dx =. (3)【答案】320x y z -++=【解析】所求平面∏过直线1L ,因而过1L 上的点(1,2,3)；因为∏过1L 平行于2L ,于是∏平行于1L 和2L 的方向向量,即∏平行于向量1(1,0,1)l =-r和向量2(2,1,1)l =r,且两向量不共线,于是平面∏的方程1231010211x y z ----=, 即320x y z -++=. (4)【答案】32-【解析】因为当0x →时,11sin ,(1)1nx x x x n+-::, 当0x →时20ax →,所以有122223111(1)1,cos 1sin ,322ax ax x x x +--=--:: 所以 12230021(1)123lim lim 1cos 132x x axax a x x →→+-==---. 因为当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,所以213a -=,故32a =-. (5)【答案】12002500120033110033-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭. 【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.注意： 1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,111000A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭,则求A 的伴随矩阵*a b d b A c d c a *-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.如果0A ≠,这样111a b d b d b c d c a c a A ad bc ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 再利用分块矩阵求逆的法则：1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,易见 112002500120033110033A --⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】由于函数的定义域为0x ≠,所以函数的间断点为0x =,222211lim limlim11x x x x x x x e e y ee --→→→++===∞--,所以0x =为铅直渐近线,222211lim limlim111x x x x x x x e e y ee --→∞→∞→∞++====--,所以1y =为水平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线.(2)【答案】(B) 【解析】令2tu =,则2,2t u dt du ==,所以 20()ln 22()ln 22x x t f x f dt f u du ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰,两边对x 求导,得()2()f x f x '=,这是一个变量可分离的微分方程,即[()]2()d f x dx f x =.解之得2()xf x Ce =,其中C 是常数.又因为0(0)2()ln 2ln 2f f u du =+=⎰,代入2()x f x Ce =,得0(0)ln 2f Ce ==,得ln 2C =,即2()ln 2x f x e =⋅.(3)【答案】(C) 【解析】因为112342121(1)n n n n n a a a a a a a ∞--=-=-+-++-+∑L L1234212()()()n n a a a a a a -=-+-++-+L L 212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====-=-∑∑∑(收敛级数的结合律与线性性质),所以1221111(1)523n nn n n n n aa a ∞∞∞--====--=-=∑∑∑.而12342121()()()nn n n aa a a a a a ∞-==+++++++∑L L212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====+=+∑∑∑538=+=,故应选(C).(4)【答案】(A)【解析】如图,将区域D 分为1234,,,D D D D 四个子区域. 显然,12,D D 关于y 轴对称,34,D D 关于x 轴对称.令 12cos sin DDI xydxdy I x ydxdy ⎧=⎪⎨=⎪⎩⎰⎰⎰⎰,由于xy 对x 及对y 都是奇函数,所以12340,0D D D D xydxdy xydxdy ++==⎰⎰⎰⎰.而cos sin x y 对x 是偶函数,对y 是奇函数,故有34121cos sin 0,cos sin 2cos sin D D D D D x ydxdy x ydxdy x ydxdy ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,所以 112(cos sin )2cos sin DD xy x y dxdy II x ydxdy +=+=⎰⎰⎰⎰,故选(A).(5)【答案】(D)【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换.由于A 、B 、C 均为n 阶矩阵,且ABC E =,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式||||||1A B C =,得到0A ≠、0B ≠、0C ≠,知A 、B 、C 均可逆,那么,对于ABC E =,先左乘1A -再右乘A 有 1ABC E BC A BCA E -=→=→=,故应选(D).其实,对于ABC E =先右乘1C -再左乘C ,有1ABC E AB C CAB E -=→=→=.三、(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1∞型未定式求极限.lim )lim (1x x x π++→→=+令1t =,则0x +→时0t -→,所以100lim(1lim(1)tx t t e +-→→+=+=, 所以0limlim (1lim x x x e →++→→+==.因为当0x →时,sin x x :,所以220002sin 2limlim lim 2x x x x x πππ+++→→→--⎝⎭⎝⎭===-,故0lim2lim x xx e eππ→+-→==.(2)【解析】先求方向n r 的方向余弦,再求,,u u ux y z ∂∂∂∂∂∂,最后按方向导数的计算公式 cos cos cos u u u u n x y zαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂求出方向导数. 曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的法向量为{}{}{}(1,1,1)4,6,24,6,222,3,1Px y z x y z ±==±,在点(1,1,1)P 处指向外侧,取正号,并单位化得}}{}2,3,12,3,1cos ,cos ,cos .n αβγ===r 又P P P u x u y u z ⎧∂⎪===⎪∂⎪⎪∂⎪===⎨∂⎪⎪⎪∂===⎪∂⎪⎩, 所以方向导数cos cos cos u u u u n x y z αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂117==. (3)【解析】由曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而围成的旋转面方程是222x y z +=.于是,Ω是由旋转抛物面221()2z x y =+与平面4z =所围成.曲面与平面的交线是 228,4x y z +==.选用柱坐标变换,令cos ,sin ,x r y r z z θθ===,于是:02,04,0z r θπΩ≤≤≤≤≤≤因此 22()I x y z dV Ω=++⎰⎰⎰4220)dz d r z rdr πθ=+⎰⎰4240242r r r r z dz π=⎡⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰42025643z dz ππ==⎰.四、(本题满分6分)【解析】曲线sin ,([0,])y a x x π= ∈,则cos dy a xdx =,所以 3(1)(2)LI y dx x y dy =+++⎰30[1(sin )(2sin )cos ]a x x a x a x dx π=+++⋅⎰2331sin 2cos sin 22a a x ax x x dx π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰233sin 2cos sin 22a axdx a x xdx xdx ππππ=+++⎰⎰⎰232(cos 1)cos 2sin sin 224a ax d x a xd x xd x ππππ=+-++⎰⎰⎰[][]2330001cos cos 2sin cos cos 234a a x x a x x x x ππππ⎡⎤=+-+++-⎢⎥⎣⎦3443a a π=+-. 对关于a 的函数3443I a a π=+-两边对a 求导数,其中0a >,并令0,I '=得2440I a '=-=.所以1a =, 且 0,010,1I a I a '<<<⎧⎨'><<+∞⎩.故1a =为函数344,(0)3I a a a π=+->的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为 sin ,([0,])y x x π= ∈.五、(本题满分8分.)【解析】按傅式级数公式,先求()f x 的傅式系数n a 与n b .因()f x 为偶函数,所以1()sin 0(1,2,3,)l n l n b f x xdx n l l π-== =⎰L , 012()cos ()cos l l n l n n a f x xdx f x xdx l l l l ππ-==⎰⎰11100022(2)cos 4cos sin x n xdx n xdx xd n x n ππππ=+=+⎰⎰⎰122022(cos 1)sin (1,2,3,)n n xdx n n n ππππ-=-= =⎰L ,1002(2)5a x dx =+=⎰.因为()2||f x x =+在区间(11)x -≤≤上满足狄利克雷收敛定理的条件,所以01()2||cos sin 2n n n a n n f x x a x b x l l ππ∞=⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭∑ 22152(cos 1)cos 2n n n x n πππ∞=-=+∑ 221541cos(21)(11)2(21)n n x x n ππ∞==-- -≤≤-∑. 令0x =,有221541(0)20cos 02(21)n f n π∞==+=--∑,所以,2211(21)8n n π∞==-∑. 又 222221111111111(21)(2)(21)4n n n n n n n n n ∞∞∞∞====⎡⎤=+=+⎢⎥--⎣⎦∑∑∑∑, 所以, 2213148n n π∞==∑,即 22116n n π∞==∑.六、(本题满分7分.)【解析】由定积分中值定理可知,对于123()f x dx ⎰,在区间2(,1)3上存在一点ξ使得12321()()(1)()33f x dx f f ξξ=-=⎰,即1233()()(0)f x dx f f ξ==⎰.由罗尔定理可知,在区间(0,1)内存在一点(01)c c ξ<<<,使得()0f c '=.七、(本题满分8分)【解析】设11223344x x x x ααααβ+++=,按分量写出,则有123423341234123412123(2)4335(8)5x x x x x x x x x a x x b x x x a x α+++=⎧⎪-+=⎪⎨++++=+⎪⎪++++=⎩.对方程组的增广矩阵作初等行变换:第一行分别乘以有()2-、()3-加到第三行和第四行上,再第二行乘以()1-、()2-加到第三行和第四行上,有111111111101121011212324301213518502252A a b a b a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪+++ ⎪⎪+-+⎝⎭⎝⎭M M M M M M M M1111101121001000010a b a ⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪+ ⎪+⎝⎭M M M M ,所以,当1,0a b =-≠时,()1()r A r A +=,方程组无解.即是不存在1234x ,x ,x ,x 使得11223344x x x x ααααβ+++=成立,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合；当1a ≠-时,()() 4.r A r A ==方程组有唯一解21,,,0111Tb a b b a a a ++⎛⎫- ⎪+++⎝⎭,故β有唯一表达式,且1234210111b a b b a a a βαααα++=-+++⋅+++. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =M 的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n αααL 线表出,亦等同于12,,,n αααL 与12,,,,n b αααL 是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 (1) 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == (2) 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =< (3) 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔ b 不能由A 的列向量12,,,n αααL 线表出.八、(本题满分6分)【解析】方法1：因为A 为n 阶正定阵,故存在正交矩阵Q ,使121T N Q AQ Q AQ λλλ-⎛⎫⎪⎪==Λ= ⎪ ⎪⎝⎭O , 其中0(1,2,)i i n λ>=L ,i λ是A 的特征值. 因此 ()TTTQ A E Q Q AQ Q Q E +=+=Λ+两端取行列式得 |||||||||()|||(1)T T iA E Q A E Q Q A E Q E λ+=+=+=Λ+=+∏,从而 ||1A E +>.方法2：设A 的n 个特征值是12n ,,,.λλλL 由于A 为n 阶正定阵,故特征值全大于0.由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端同时加上α,得()()1A E αλα+=+.按特征值定义知1λ+是A E +的特征值.因为A E +的特征值是12111n ,,,.λλλ+++L 它们全大于1,根据i A λ=∏,知||(1)1i A E λ+=+>∏.【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分8分)【解析】曲线()y y x =在点(,)P x y 处的法线方程为1()Y y X x y-=--' (当0y '≠时), 它与x 轴的交点是(,0)Q x yy '+,从而122||(1)PQ y y '==+.当0y '=时,有(,0),||Q x PQ y =,上式仍然成立. 因此,根据题意得微分方程3122221(1)(1)y y y y ''=''++,即21yy y '''=+.这是可降阶的高阶微分方程,且当1x =时,1,0y y '==.令()y P y '=,则dP y Pdy ''=,二阶方程降为一阶方程21dP yP P dy =+,即21PdP dyP y=+.即y =C 为常数.因为当1x =时,1,0y P y '===,所以1C =,即y ==所以y '=分离变量得dx =±.令sec y t =,并积分,则上式左端变为sec tan ln sec tan tan t tdtt t C t==++⎰ln sec ln t C y C =+=+.因曲线在上半平面,所以0y +>,即(ln y C x =±.故 x y Ce ±=.当1x =时,1,y =当x 前取+时,1C e -=,1x y e -=,111x x y e e--====；当x 前取-时,C e =,1x y e -+=,111x xy e e---====；所以 (1)(1)1()2x x y e e ---=+.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1)【解析】一般说来,若计算正态分布随机变量在某一范围内取值的概率,应该已知分布的两个参数μ和2σ,否则应先根据题设条件求出μ,2σ,再计算有关事件的概率,本题可从2()0.8σΦ=,通过查()x Φ表求出σ,但是注意到所求概率(0)P x <即是2()σ-Φ与2()σΦ之间的关系,可以直接由2()σΦ的值计算出2()σ-Φ.因为2(2,)X N σ:,所以可标准化得 2(0,1)X N σ-:,由标准正态分布函数概率的计算公式,有4222(24)()()P x σσ--<<=Φ-Φ,2()(24)(0)0.8P x σΦ=<<+Φ=.由正态分布函数的对称性可得到 0222(0)()()1()0.2P x σσσ-<=Φ=Φ-=-Φ=.(2)【解析】设事件A =“掷的点和原点的连线与x 轴的夹角小于4π”, 这是一个几何型概率的计算问题.由几何概率公式()D S P A S =半圆,而 212S a π=半圆, 22141124D OAC S S S a a π=+=+V 圆, 故 222111124()122a aP A a πππ+==+.十一、(本题满分6分)【解析】二维连续型随机变量的概率等于对应区域的二重积分,所以有{}{}2()2(,)x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰.当0z ≤时,()0F z =.因为2x y z +=在直线20x y +=的下方 与0,0x y >>(即第一象限)没有公共区域,所以()0F z =.当0z >时,2x y z +=在直线20x y +=的上方与第一象限相交成一个三角形区域D ,此即为积分区间.(2)200()2()1z x zzx y x z z z F z dx edy e e dx e ze --+----==-=--⎰⎰⎰.所以2Z X Y =+的分布函数 0, 0,()1, 0.zzz F z e ze z --<⎧=⎨--≥⎩0=。
1990-2012考研数学二历年真题word版
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = .（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为____..（3）1+∞=⎰_____..（4）设函数(,)z z x y =由方程232x zz ey -=+确定, 则3z zx y∂∂+=∂∂______. （5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为_______.（6）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A*为A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵, 则B =______-.二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把0x +→时的无穷小量20cos xtdt α=⎰, 20x β=⎰,30t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是[]（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα （8）设()(1)f x x x =-, 则[]（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.（9）22lim (1)n nn→∞+等于[]（A ）221ln xdx ⎰. （B ） 212ln xdx ⎰.（C ） 212ln(1)x dx +⎰. （D ） 221ln(1)x dx +⎰（10）设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得 []（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加. （B ）()f x 在(,0)δ-内单调减小. （C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >. （D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >.（11）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为 []（A ）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. （B ）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. （C ）2sin y ax bx c A x *=+++.（D ）2cos y ax bx c A x *=+++（12）设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于[]（A）11()dx f xy dy -⎰⎰.（B）2002()dy f xy dx ⎰⎰.（C ）2sin 200(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰. （D ）2sin 200(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰（13）设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为[]（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （B ）010101001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.（14）设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有[]（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（16）（本题满分10分）设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上,2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.（17）（本题满分11分） 设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数;(Ⅱ)求()f x 的值域.（18）（本题满分12分）曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim ()t S t F t →+∞（19）（本题满分12分）设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e->-. （20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 kg 表示千克,/km h 表示千米/小时.（21）（本题满分10分）设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂. （22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩ 试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A是否可相似对角化.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一． 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= .（2） 设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .（3） xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是__________.（4） 设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.（5） 设α为3维列向量，T α是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，则ααT = .（6） 设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则B =________. 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有[ ](A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.（2）设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于 (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e .(C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e .[ ]（3）已知xxy ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(y x ϕ的表达式为 [ ]（A ） .22xy - (B) .22x y(C) .22yx - (D) .22y x（4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有[ ](A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点.（5）01xdx x 02tan , 则 [ ](A) .121>>I I (B) .121I I >>(C) .112>>I I (D) .112I I >>（6）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则[ ](A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.三 、（本题满分10分）设函数 ,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e x x ax x f ax问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？ 四 、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d 五 、（本题满分9分）计算不定积分 .)1(232arctan dx x xex⎰+六 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 七 、（本题满分12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数. 八 、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.(1) 求曲线 y=f(x)的方程；(2) 已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s. 九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以min/33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (2) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1) 在(a,b)内f(x)>0; (2)在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'badx x f a a b f .)(2))((22ξξη十 一、（本题满分10分）若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P十二 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1．设函数0)(2arcsin 12tan ≤<⎪⎩⎪⎨⎧=-x x aex f xe xx在0=x 处连续，则=a （ ）． 2．位于曲线xxe y -=（+∞<≤x 0）下方，x 轴上方的无界图形的面积为（ ）．3．02='+''y y y 满足初始条件21)0(,1)0(='=y y 的特解是（ ）． 4．1lim 1cos n n →∞++=（ ）．5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----222222220的非零特征值是（ ）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)１．函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为０．１，则)1(f '＝ （Ａ）－１； （Ｂ）０．１；（Ｃ）１； （Ｄ）０．５．２．函数)(x f 连续，则下列函数中，必为偶函数的是 (A)⎰x dt t f 02)(； (B)⎰x dt t f 02)(；(C)⎰--x dt t f t f t 0)]()([； (D)⎰-+xdt t f t f t 0)]()([．３．设)(x f y =是二阶常系数微分方程xe qy y p y 3=+'+''满足初始条件0)0()0(='=y y 的特解，则极限)()1ln(lim 20x y x x +→(A)不存在； （Ｂ）等于１； (C)等于２； (D) 等于３． ４．设函数)(x f 在+R 上有界且可导，则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；（Ｂ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时，必有0)(lim 0='+→x f x ；(D) 当)(lim 0x f x '+→存在时，必有0)(lim 0='+→x f x ．5．设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k 必有（Ａ）21321,,,ββααα+k 线性无关；(B) 21321,,,ββααα+k 线性相关； （Ｃ）21321,,,ββαααk +线性无关； (D) 21321,,,ββαααk +线性相关．三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程为θcos 1-=r ，求该曲线对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程．四、（本题满分７分）设函数10012)(2)1(223≤≤<≤-⎪⎩⎪⎨⎧+==+x x xx x f y x x e xe ，求函数⎰-=x dt t f x F 1)()(的表达式．五、（本题满分７分）已知函数)(x f 在+R 上可导，0)(>x f ，1)(lim =+∞→x f x ，且满足x he xf hx x f h 11))()((lim 0=+→，求)(x f ． 六、（本题满分７分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体的体积最小． 七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段 ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与 承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分 的高h 应为多少？ 八、（本题满分８分）设30<<n x ，)3(1n n n x x x -=+（n ＝１，２，３，…）． 证明：数列｛n x ｝的极限存在，并求此极限．九、（本题满分８分）设0>>a b ，证明不等式aba b a b b a a 1ln ln 222<--<+．十、（本题满分8分）设函数)(x f 在x ＝０的某邻域具有二阶连续导数，且0)0()0()0(≠'''f f f ．证明：存在惟一的一组实数c b a ,,，使得当0→h 时，)()0()3()2()(2h o f h cf h bf h af =-++．十一、（本题满分６分）已知Ａ，Ｂ为三阶方阵，且满足E B B A 421-=-．⑴证明：矩阵E A 2-可逆；⑵若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200021021B ，求矩阵Ａ． 十二、（本题满分６分）已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ， 4321,,,αααα均为四维列向量，其中432,,ααα线性无关，3212ααα-=．若4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1、213lim21-++--→x x xx x =（ ）．2、曲线1)cos(2-=-+e xy eyx 在点（0，1）处 的切线方程为 ：（ ）． 3、xdx x x 223cos )sin (22⎰-+ππ=（ ）． 4、微分方程11arcsin 2=-+'x y x y 满足)(21y =0的特解为：（ ）．5、方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211111111321x x x a a a 有无穷多解，则a =（ ）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．) 1、1101)(>≤⎩⎨⎧=x x x f 则)]}([{x f f f =（ A ） 0；（B ）1；（C ）1101>≤⎩⎨⎧x x ； （D ）111>≤⎩⎨⎧x x ．2、0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比n x x sin 高阶的无穷小，而nx x sin 是比12-x e 高阶的无穷小，则正整数n 等于（ A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4． 3、曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为 （ A ）０；（B ）１；（C ）２；（D ）３．4、函数)(x f 在区间（1-δ，1+δ）内二阶可导，)(x f ' 严格单调减小，且)1(f =)1(f '=1，则（A ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x <； （B ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x >；（C ）在（1-δ，1）内有)(x f x <，在（1，1+δ）内有)(x f x >； （D ）在（1-δ，1）内有)(x f x >，在（1，1+δ）内有)(x f x <． 5、设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示： 则)(x f y '=的图形为 ( )三、（本题满分6分）求⎰++221)12(xxdx．四、（本题满分7分）求函数)(x f =sin sin sin lim()sin xt x t x t x-→的表达式，并指出函数)(x f 的间断点及其类型．五、（本题满分7分）设)(x ρρ=是抛物线x y =上任意一点M （y x ,）（1≥x ）处的曲率半径，)(x s s =是该抛物线上介于点A （1，1）与M 之间的弧长，计算222)(3ds d ds d ρρρ-的值（曲率K ＝23)1(2y y '+''）． 六、（本题满分7分）)(x f 在[0，+∞）可导，)0(f =0，且其反函数为)(x g ． 若x x f e x dt t g 2)(0)(=⎰，求)(x f ．七、（本题满分7分）设函数)(x f ，)(x g 满足)(x f '=)(x g ， )(x g '=2xe －)(x f且)0(f =0，(0)g =2，求dx x x f x x g ⎰+-+π2])1()(1)([八、（本题满分9分）设L 为一平面曲线，其上任意点P （y x ,）（0>x ）到原点的距离，恒等于该点处 的切线在y 轴上的截距，且L 过点（0.5，0）．1、 求L 的方程2、 求L 的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围成的图形的面积最小．九、（本题满分7分）一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S 成正比比例系数K>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为 r 0 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少时间？十、（本题满分8分）)(x f 在[-a ，a]上具有二阶连续导数，且)0(f =01、 写出)(x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；2、 证明在[-a ，a]上至少存在一点η，使⎰-=''a adx x f f a )(3)(3η十一、（本题满分6分）已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110,111011001B A 且满足AXA+BXB=AXB+BXA+E ，求X ．十二、（本题满分6分）设4321,,,αααα为线性方程组AX=O 的一个基础解系， 144433322211,,,ααβααβααβααβt t t t +=+=+=+=，其中t 为实常数试问t 满足什么条件时4321,,,ββββ也为AX=O 的一个基础解系．2000 年全国硕士研究生入学统一考试一、 填空题1．2．3.4.5.二、选择题6. 7.8.9.10.三、解答题11.12.13.14.15.16. 17.18.19.20.21.1999 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1998 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1997 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1996 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1995 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1994 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1993 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1992 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1991 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1990 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)。
历年考研数学二真题与答案(09~13年)
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 函数()3sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为()A 1()B 2 ()C 3()D 无穷多个【答案】C【解析】由于()3sin x x f x xπ-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义.故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±.320032113211131lim lim ,sin cos 132lim lim ,sin cos 132lim lim .sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个,即0,1±.(2) 当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则()A 11,6a b ==- ()B 11,6a b == ()C 11,6a b =-=- ()D 11,6a b =-=【答案】A 【解析】 22000()sin sin limlim lim ()ln(1)()x x x f x x ax x axg x x bx x bx →→→--==-⋅- 22002301cos sin lim lim 36sin lim 1,66x x x a ax a ax bx bxa ax ab b axa→→→---==-=-⋅洛洛36a b ∴=-,故排除,B C .另外,201cos lim 3x a axbx→--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故 1.a =排除D . 所以本题选A .(3) 设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+,则点()0,0()A 不是(),f x y 的连续点 ()B 不是(),f x y 的极值点()C 是(),f x y 的极大值点 ()D 是(),f x y 的极小值点【答案】D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂. 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂,又在()0,0处,0,0z zx y∂∂==∂∂,210AC B -=>, 故()0,0为函数(,)z f x y =的一个极小值点.(4) 设函数(),f x y 连续,则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰ ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰()D ()221,ydy f x y dx ⎰⎰【答案】C 【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤,{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-,将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤-, 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰,故答案为C .(5) 若()f x ''不变号,且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=,则函数()f x 在区间()1,2内()A 有极值点,无零点 ()B 无极值点,有零点()C 有极值点,有零点()D 无极值点,无零点【答案】B【解析】由题意可知,()f x 是一个凸函数,即()0f x ''<,且在点(1,1)处的曲率322||(1())y y ρ''=='+,而(1)1f '=-,由此可得,(1)2f ''=-. 在[1,2] 上,()(1)10f x f ''≤=-<,即()f x 单调减少,没有极值点. 对于(2)(1)()1(1,2)f f f ξξ'-=<- , ∈ ,(拉格朗日中值定理)(2)0f ∴ <而(1)10f =>,由零点定理知,在[1,2] 上,()f x 有零点.故应选B .（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为()A ()B()C ()D【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。
1990-2017考研数学二历年真题word可编辑版
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.（1）若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在x=0连续，则 (A)12ab =(B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设二阶可到函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且 ()0f x ''>，则. (A) 11()0f x dx ->⎰ (B) 12()0f x dx -<⎰(C) 0110()()f x dx f x dx ->⎰⎰(D)111()()f x dx f x dx -<⎰⎰（3）设数列{}n x 收敛，则(A)当limsin 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞=(B)当lim (0n n n x x →∞+= 时，则lim 0n n x →∞=(C)当2lim()0n n n x x →∞+=,lim 0n →∞=(D)当lim(sin )0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=（4）微分方程248(1cos 2)xy y y e x '''-+=+ 的特解可设为ky =(A)22(cos 2sin 2)xx Aee B x C x ++ (B)22(cos 2sin 2)xx Axe e B x C x ++(C)22(cos 2sin 2)xx Aexe B x C x ++ (D)22(cos 2sin 2)xx Axexe B x C x ++（5）设()f x 具有一阶偏导数，且在任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,f x y f x y x y∂∂>∂∂则 (A)(0,0)(1,1)f f > (B)(0,0)(1,1)f f <(C)(0,1)(1,0)f f > (D)(0,1)(1,0)f f <（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则(A)010t = (B)01520t << (C)025t = (D)025t >()s（7）设A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得 1000010002P AP -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则123(,,)A ααα=(A)12αα+ (B)232αα+ (C)23αα+ (D)122αα+（8）已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100020000C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则 (A) A 与C 相似，B 与C 相似(B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.（9）曲线()21arcsin y x x =+的斜渐近线方程为（10）设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t⎧=+⎨=⎩确定，则202t d ydx =（11）()2ln(1)1x dx x +∞++⎰=（12）设函数(),f x y 具有一阶连续偏导数，且()()(),1,0,00y y df x yye dx x y e dy f =++=，则(),f x y = （13）11tan yxdy dx x=⎰⎰（14）设矩阵41212311A a ⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的一个特征向量为112⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则a =三、解答题：15~23小题，共94分。
1991考研数二真题及解析
1991考研数二真题及解析-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设ln(13)x y -=+,则dy =＿＿＿＿＿＿. (2) 曲线2x y e -=的上凸区间是＿＿＿＿＿＿. (3) 21ln xdx x+∞=⎰＿＿＿＿＿＿. (4) 质点以速度2sin()t t 米每秒作直线运动,则从时刻1t =秒到2t =点所经过的路程等于＿＿＿＿＿＿米. (5) 1101lim x x xex e+→-=+＿＿＿＿＿＿.二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 若曲线2y x ax b =++和321y xy =-+在点(1,1)-处相切,其中,a b 是常数,则 ( )(A) 0,2a b ==- (B) 1,3a b ==- (C) 3,1a b =-= (D) 1,1a b =-=-(2) 设函数2 , 01,()2,12,x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩记0()(),02x F x f t dt x =≤≤⎰,则 ( )(A) 32, 013()12,1233x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩ (B) 32, 013()72,1262x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩ (C) 322 , 013()2,1232x x F x x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩ (D) 32, 013()2,122x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩(3) 设函数()f x 在(,)-∞+∞内有定义,00x ≠是函数()f x 的极大点,则 ( )(A) 0x 必是()f x 的驻点 (B) 0x -必是()f x --的极小点 (C) 0x -必是()f x -的极小点 (D) 对一切x 都有0()()f x f x ≤ (4) 曲线2211x x e y e--+=-( )(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线(5) 如图,x 轴上有一线密度为常数μ,长度为l 的细杆,有一质量为m 的质点到杆右端的距离为a ,已知引力系数为k ,则质点和细杆之间引力的大小为 ( )(A) 02()l km dx a x μ--⎰(B) 20()l km dx a x μ-⎰ (C) 0222()l km dx a x μ-+⎰ (D) 2202()lkm dx a x μ+⎰三、(每小题5分,满分25分.)(1) 设cos sin x t t y t t =⎧⎨=⎩,求22d ydx .(2) 计算41⎰(3) 求 20sin lim(1)xx x xx e →--. (4) 求 2sin x xdx ⎰.(5) 求微分方程x xy y xe '+=满足(1)1y =的特解.四、(本题满分9分)利用导数证明：当1x >时,有不等式ln(1)ln 1x xx x+>+成立.五、(本题满分9分)求微分方程cos y y x x ''+=+的通解.六、(本题满分9分)曲线(1)(2)y x x =--和x 轴围成一平面图形,求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.七、(本题满分9分)如图,A 和D 分别是曲线x y e =和2x y e -=上的点,AB 和DC 均垂直x 轴,且:2:1AB DC =,1AB <,求点B 和C 的横坐标,使梯形ABCD 的面积最大.八、(本题满分9分)设函数()f x 在(,)-∞+∞内满足()()sin f x f x x π=-+,且(),[0,)f x x x π=∈, 计算3()f x dx ππ⎰.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)【答案】ln 331xdx -+ 【解析】由复合函数求导法则,即(())y f x ϕ=的微分为(())()dy f x f x dx ϕ''=,有1ln 33ln 3(1)1331xx xdy dx dx --=⋅⋅-=-++. (2)【答案】(【解析】求函数()y f x =的凹凸区间,只需求出y '',若0y ''>,则函数图形为上凹,若0y ''<,则函数图形为上凸,由题可知22(2)2,x x y e x xe --'=⋅-=-222212(2)(2)4()2x x x y e x e x e x ---''=-+-⋅-=-.因为240x e ->,所以当2102x -<时0y ''<,函数图像上凸,即21,222x x <-<<时, 函数图像上凸.故曲线上凸区间为(. (3)【答案】1【解析】用极限法求广义积分.22111ln ln 1lim lim ln ()b b b b x x dx dx xd x x x+∞→+∞→+∞==-⎰⎰⎰ 11ln 11lim ()bb b x dx x x x →+∞⎧⎫⎪⎪⎡⎤=---⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭⎰分部1ln ln11ln 1lim lim ()111bb b b b b x b b →+∞→+∞⎧⎫⎪⎪⎡⎤=-++-=-++=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭.(4)【答案】12【解析】这是定积分的应用.设在t t dt →+时刻的速度为2sin()t t ,则在dt 时间内的路程为2sin()ds t t dt =,所以从时刻1t =2t =212sin()t t s t t dt =⎰2221sin())2t dt t dt ==21111cos((cos cos )(10)22222t ππ=-=--=---=.(5)【答案】1-【解析】这是一个∞∞型未定式,分子分母同乘以1x e -,得1111011lim lim 1x x x x xxeex e xe++-→→---=++.为简化计算,令1t x =-,则1x t=-,原式可化为1101101limlim 10111t x t t x xee e xet+-→-∞→----===-+-++.二、选择题(每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】两函数在某点处相切,则在该点处的切线的斜率相等,即在该点处的导数相等,对两函数分别对x 求导,得2y x a '=+,则该曲线在点(1,1)-处的导数为12x y a ='=+,3223y y xy y ''=+,即3223y y xy '=-,则曲线在点(1,1)-处的导数为321(1)1231(1)x y =-'==-⋅⋅-, 两导数相等,有21a +=,即1a =-.又因为曲线2y x ax b =++过点(1,1)-,所以有1111,1a b b b b -=++=-+==-. 所以选项(D)正确. (2)【答案】(B)【解析】这是分段函数求定积分. 当01x ≤≤时,2()f x x =,所以2330011()()33xxxF x f t dt t dt t x ⎡⎤====⎢⎥⎣⎦⎰⎰.当12x <≤时,()2f x x =-, 所以121()()(2)xxF x f t dt t dt t dt ==+-⎰⎰⎰132201111112(2)(2)32322xt t t x x ⎡⎤⎡⎤=+-=+---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦271262x x =-+-.所以32,013()72,1262x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩,应选(B). (3)【答案】(B)【解析】方法一：用排除法.由于不可导点也可取极值,如()1f x x =--,在01x =处取极大值,但是01x =不是()1f x x =--的驻点,所以(A)不正确；注意到极值的局部性,即极值不是最值,所以(D)也不正确；对于()|1|f x x =--,在01x =处取极大值,但01x -=-并非是()|1|f x x -=-的极小值点,所以(C)也不成立；故选(B).方法二：证明(B)是正确的,因为00x ≠,不妨设00x >,则0()f x 为极大值,则在0x 的某个领域内有00()()f x f x x >±∆；函数()y f x =--与函数()y f x =关于原点对称,所以必有00()()f x f x x --<--±∆,即在0x -的某个领域内0()f x --为极小值,故(B)是正确的. (4)【答案】(D)【解析】函数的定义域为0x ≠,所以函数的间断点为0x =,222211lim limlim11x x x x x x x e e y ee --→→→++===∞--,所以0x =为铅直渐近线,222211lim limlim111x x x x x x x e e y ee --→∞→∞→∞++====--,所以1y =为水平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线. (5)【答案】(A)【解析】如图建立坐标系,则x x dx →+中,dx 长度的细杆的质量为dx μ,与质点的距离为a x -,故两点间的引力为2()km dx dF a x μ=-,积分得02()l km F dx a x μ-=-⎰,故选(A).同理应用微元法可知,若以l 的中点为原点,则质点的坐标为(,0)2la +,故222()2l l km F dx l a x μ-=+-⎰； 若以l 的左端点为原点,则质点的坐标为(,0)a l +,故20()lkm F dx a l x μ=+-⎰.故(B)、(C)、(D)均不正确,应选(A).三、(每小题5分,满分25分.)(1)【解析】这是个函数的参数方程,/sin cos /cos sin dy dy dt t t tdx dx dt t t t+==-, 221sin cos 1()()cos sin cos sin d y d dy d t t t dx dx dt dx dt t t t t t t dt+=⋅=⋅-- 2(2cos sin )(cos sin )(2sin cos )(sin cos )1(cos sin )cos sin t t t t t t t t t t t t t t t t t t--+++=⋅--2222232(cos sin )(sin cos )3sin cos 3sin cos (cos sin )t t t t t t t t t t tt t t +++-+=-232(cos sin )t t t t +=-. 【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果 ()()x t y t φϕ=⎧⎨=⎩,则 ()()dy t dx t ϕφ'='. (2)【解析】用换元法求定积分.令t =,则2,2x t dx tdt ==,则422211111122()(1)1tdt dt t t t t ⋅=-++⎰⎰⎰ 212142ln 2(ln ln )2ln 1323t t ⎡⎤==-=⎢⎥+⎣⎦. (3)【解析】利用等价无穷小和洛必达法则.当0x →时,有sin ,1xxx e x +,所以22232220000022sin sin sin 1cos 122lim lim lim lim lim (1)3336x x x x x x x x x x x x x x e x x x x →→→→→⎛⎫ ⎪---⎝⎭====-洛. (4)【解析】用分部积分法求不定积分.21cos 21sin (cos 2)22x x xdx x dx x x x dx -=⋅=-⎰⎰⎰ 21111cos 2(sin 2)2244xdx x xdx x xd x =-=-⎰⎰⎰ 2111sin 2sin 2444x x x xdx =-+⎰ 2111sin 2cos 2448x x x x C =--+. (5)【解析】所给方程是一阶线性方程,其标准形式为1x y y e x'+=.通解为111()()dx dx xx x x y e e e dx C xe dx C x-⎰⎰=+=+⎰⎰111()()()x x x x x xde C xe e dx C xe e C x x x=+=-+=-+⎰⎰.代入初始条件(1)1y =得1C =,所以特解为11x x y e x x-=+. 【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的通解为()()(())p x dx p x dx y e q x e dx C -⎰⎰=+⎰,其中C 为常数.四、(本题满分9分)【解析】首先应简化不等式,从中发现规律.当1x >时,原不等式即(1)ln(1)ln x x x x ++>,即(1)ln(1)ln 0x x x x ++->. 证法一：令()(1)ln(1)ln f x x x x x =++-,则只需证明在1x >时()0f x >即可, 可利用函数的单调性证明,对于()f x 有1()ln(1)1ln 1ln()x f x x x x +'=++--=. 因1x >,故11x x+>,即()0f x '>,所以在(1,)+∞上()f x 是严格递增函数,所以 ()(1)2ln 20f x f >=>,故(1)ln(1)ln 0x x x x ++->,所以当1x >时,有不等式ln(1)ln 1x x x x +>+成立. 证法二：当1x >时,原不等式即(1)ln(1)ln x x x x ++>,不等式左右两端形式一致,故令()ln f x x x =,则()ln 10(1)f x x x '=+>>,所以()ln f x x x =在1x >时严格单调递增,故(1)()f x f x +>，即(1)ln(1)ln x x x x ++>.所以当1x >时,有不等式ln(1)ln 1x x x x+>+成立.五、(本题满分9分)【解析】微分方程cos y y x x ''+=+对应的齐次方程0y y ''+=的特征方程为210r +=, 特征根为1,2r i =±,故对应齐次通解为12cos sin C x C x +.方程y y x ''+=必有特解为1Y ax b =+,代入方程可得1,0a b ==. 方程cos y y x ''+=的右端cos cos x e x x αβ=,i i αβ+=为特征根,必有特解2cos sin Y x A x x B x =⋅+⋅,代入方程可得10,2A B ==. 由叠加原理,原方程必有特解12sin 2x Y Y Y x x =+=+. 所以原方程的通解为121cos sin sin 2y C x C x x x x =+++. 【相关知识点】关于微分方程特解的求法:如果()()x m f x P x e λ=,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=具有形如*()k x m y x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 与()m P x 同次(m 次)的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.如果()[()cos ()sin ]x l n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()mR x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.六、(本题满分9分)【解析】利用定积分求旋转体的体积,用微元法,曲线为一抛物线,与x 轴的交点是11,x =22x =,顶点坐标为31(,)24-. 方法一：考虑对x 积分,如图中阴影部分绕y 轴旋转一周, 环柱体的体积为222()2dV x dx y x y x y dx y dx ππππ=+-=+其中2dx 为0dx →的高阶无穷小,故可省略,且y 为负的, 故y y =-,即22(1)(2)dV xydx x x x dx ππ=-=---. 把x 从12→积分得2223112(1)(2)2(32)V x x x dx x x x dx ππ=--=--⎰⎰ 234211122(0)442x x x πππ⎡⎤=--=+=⎢⎥⎣⎦. 方法二：考虑对y 的积分,如图中阴影部分绕y 轴旋转一周的体积为抛物线两半曲线分别绕y 轴旋转一周后的体积差,即2221dV x dy x dy ππ=-其中,12,x x 为Y y =与抛物线的交点,且21x x >,把Y y =代入抛物线方程(1)(2)y x x =--,解得12314314,y y x x -+++==, 故旋转体体积为0221214()V x x dy π-=-⎰.把12,x x 的值代入化简,得30211443232314(14)43432V ydy y ππππ--⎡⎤=+=⋅+=⋅=⎢⎥⎣⎦⎰.七、(本题满分9分)【解析】可以利用函数的极值求解.设B 、C 的横坐标分别为1,x x ,因为||1AB <,所以10,x <0x >.依题设 :2:1AB DC =,所以有122x x e e -=,两边同时取自然对数,得1ln 22,x x =- 而 1(ln 22)3ln 2,(0)BC x x x x x x =-=--=->, 所以梯形ABCD 的面积为122211()(3ln 2)(2)(3ln 2)22x x x x S e e x e e x ---=+-=+-23(3ln 2)2x x e -=-.求函数23(3ln 2)2x S x e -=-,(0x >)的最值,满足一般函数求最值的规律,两边对x 求导,并令0S '=有23(362ln 2)02x S x e -'=-+=, 得驻点11ln 223x =+,在此点S '由正变负,所以11ln 223x =+是极大值点. 又驻点唯一,故11ln 2023x =+>是23(3ln 2)2x S x e -=-最大值点. 此时11ln 223x =+,11ln 213x =-时,梯形ABCD 面积最大, 故B 点的坐标为1(ln 21,0)3-,C 点的坐标为11(ln 2,0)23+.八、(本题满分9分)【解析】这是个抽象函数求定积分,由题知()()sin()sin ,[0,)f x f x x x x x πππ+=++=-∈, (2)()sin(2)sin sin ,[0,)f x f x x x x x x x ππππ+=+++=-+=∈, 而 3232()()()f x dx f x dx f x dx ππππππ=+⎰⎰⎰,对于2()f x dx ππ⎰,令t x π=-,则,x t dx dt π=+=,所以200()()(sin )f x dx f t dt t t dt πππππ=+=-⎰⎰⎰; 对于32()f x dx ππ⎰,令2t x π=-,则2,x t dx dt π=+=,所以3200()(2)f x dx f t dt tdt πππππ=+=⎰⎰⎰; 所以 3232()()()f x dx f x dx f x dx ππππππ=+⎰⎰⎰ 00(sin )t t dt tdt ππ=-+⎰⎰ 002sin tdt tdt ππ=-⎰⎰ []2200cos 2t t πππ⎡⎤=+=-⎣⎦.。
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四、五试题完整版附答案及评分标准
1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四、五试题 完整版附答案及评分标准数 学（试卷一）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分)(1)设⎩⎨⎧=+=ty t x cos 12，则=22dx y d 34cos sin t t t t -. (2)由方程2222=+++z y x xyz 所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz dx =.(3)已知直线L 1和L 2的方程 1123:101x y z L ---==-和221:211x y zL --==，则过L 1且平行于L 2的平面方程是 x -3 y ＋z + 2 = 0 .(4)已知当0x →时，21/2(1)1x a +-与cos 1x -是等阶无穷小，则常数a =3/2-.(5)设4阶方阵A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1100210000120025, 则A 的逆矩阵1A -=12002500001/32/3001/31/3-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 二、选择题：(本题满分15分，每小题3分) (1)曲线2211x x ee y ---+=（D ）(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数f (x) 满足关系式2ln )2()(20+=⎰xdt tf x f ，则f (x) 等于(B) （A ）2ln xe （B ）2ln 2xe（C ）2ln +x e （D ）2ln 2+xe .(3)已知级数5,2)1(11211==-∑∑∞=-∞=-n n n n n a a ， 则级数∑∞=1n na等于 (C)（A ）3（B ）7（C ）8（D ）9(4)设D 是XOY 平面上以 (1,1), (-1,1) 和 (-1,-1)为顶点的三角区域，D 1是D 在第一象限的部分，则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于（A ）(A)12cos sin D x ydxdy ⎰⎰(B)12D xydxdy ⎰⎰(C)14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰(D) 0.(5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC = E ， 其中E 是n 阶单位阵，则必有(D)(A)ACB = E(B)CBA = E (C)BAC = E (D)BCA = E 三、(本题满分15分，每小题3分)(1)求0lim )xx π→+解原式ln 0lim c xx e π+⋅→=0limln x c xeπ+→⋅=……2分0x e π→⋅=……4分 2eπ-=.……5分(2)设n是曲面632222=++z y x 在点P(1,1,1)处的指向外测的法向量，求函数zy x u 2286+=在点P 处沿方向n 的方向导数解：462n i j k =++ .……1分Px u ∂==∂Pyu ∂==∂Pu z∂==∂……3分从而[cos(,)cos(,)cos(,)]P Pu uu u n i n j n k x y z n∂∂∂∂=++∂∂∂∂117=+=.……5分 (3)求dv z y x )(22++⎰⎰⎰Ω，其中Ω是由曲线⎩⎨⎧==022x z y 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的立体．解22422202()()r xy z dv d r z dzπθΩ++=+⎰⎰⎰⎰⎰……2分350528)8r r r drπ=+-……4分 2563π=.……5分四、(本题满分6分)在过点O (0,0)和A (0,π)的曲线族)0(sin >=a x a y 中，求一条曲线L ，使沿该曲线从O 到A 的积分⎰+++Ldy y x dx y )2()1(3的值最小.解：33()[1sin (2sin )cos ]I a a x x a x a x dx π=+++⎰,……2分3443a a π=-+. ……4分 令2()4(1)0I a a '=-=,得1,(1)a a ==-舍去，且1a =是()I a 在+)∞(0，内的唯一驻点 ……5分 由于(1)80I ''=>,()I a 在1a =处取到最小值.故所求曲线是sin (0)y x x π=≤≤ ……6分五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数∑∞=121n n的和. 解：由于()2(11)f x x x =+-≤≤是偶函数，所以1002(2)5a x dx =+=⎰， ……1分11222(cos 1)2(2)cos()2cos(),1,2,n n a x n x dx x n x dx n n ππππ-=+===⎰⎰ ……3分 0,1,2,n b n ==……4分因所给函数在[1,1]-满足收敛定理的条件，故22221052(cos 1)54cos(21)2cos()22(21)n k n k xx n x n k πππππ∞∞==-++=+=-+∑∑，[1,1]x ∈-……5分 令0x =，有 22054122(21)k k π∞==-+∑，即2201(21)8k k π∞==+∑于是22222000111111(21)(2)84k k k n n k k n π∞∞∞∞=====+=++∑∑∑∑，因此222114386n nππ∞==⋅=∑.……8分 六、(本题满分6分)设函数f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且1233()(0)f x dx f =⎰，证明在(0,1)内存在一点c ，使()0f c '=.解：由积分中值定理知,在2[,1]3上存在一点1c ，使23111()()3f x dx f c =⎰， ……3分从而有1()(0)f c f =, ……4分 故()f x 在区间1[0,]c 上满足罗尔定理的条件，因此在1(0,)c 内存在一点c ，使得(c)0.f '=1(0,)(0,1)c c ∈⊂. ……7分七、(本题满分6分)已知)3,2,0,1(1=α，)5,3,1,1(2=α，)1,2,1,1(3+-=a α，)8,4,2,1(4+=a α，)5,3,1,1(+=b β， 问：(1),a b 为何值时，β不能表示成4321,,,αααα的线性组合？(2),a b 为何值时，β有1234,,,αααα的唯一线性表示式？并写出表示式.解：设11223344,x x x x βαααα=+++则12342341234123412123(2)4335(3)5x x x x x x x x x a x x b x x x a x +++=⎧⎪-+=⎪⎨++++=+⎪⎪++++=⎩……2分因 11111011212324335135a b a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪++ ⎪+⎝⎭1111101121011000010a b a ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪+⎪+⎝⎭……4分故当1,0a b =-≠时，β不能表示成4321,,,a a a a 的线性组合.……5分 当1a ≠-时，表示式唯一，且1234210111b a b ba a a a a a a β++=-++++++. ……8分八、(本题满分6分)设A 是n 阶正定阵，E 是n 阶单位阵，证明A+E 的行列式大于1.解一：因A 是正定阵，故存在正交阵Q ，使121n Q AQ λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ . ……1分其中0(1,2,)i i n λ>= 是A 的特征值.故111()Q A E Q Q AQ Q Q ---+=+1122111n n E λλλλλλ+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭. ……4分在上式两端取行列式得11(1)|||()|||||nii QA E Q A E λ-=+=⋅+⋅=+∏，从而||1A E +>.……6分解二：因A 是正定阵，故A 的特征值0(1,2,)i i n λ>= ……1分 于是A E +的特征值11(1,2,)i i n λ+>= ……4分 因此A+E 的行列式12||1111n A E λλλ+=+⋅++> ……6分九、(本题满分6分)在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点 P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线 段PQ 长度的倒数（Q 是法线与x 轴的交点），且曲线在点(1,1)处的切线与X 轴平行.解：曲线()y y x =在点(,)x y 处的法线方程是1(),('0)Y y X x y y-=--≠', ……1分 它与x 轴的交点是(',0)x yy +，从而该点到x 轴之间的法线段PQ的长度是122(1)y y '=+（0y '=也满足上式）……2分 故由题意得微分方程312222''1(1')(1')y y y y =++，即2''1'yy y =+……3分 且当1x =时，1,'0y y ==.……4分令'y p =，则''dp y p dy =，代入方程得21dp yp p dy=+，或21p dydp p y =+积分并注意到1y =时，0p =，使得y =……6分代入dyp dx =，得'y dx ==±积分上式，并注意到1x =时1y =，得ln((1)y x =±-.因此所求曲线方程为(1)1(1)1()2x x x y ey e e ±----==+ 即.……8分十、填空题 (本题满分6分,每小题3分)(1)若随机变量X 服从均值为2，方差为2σ的正态分布，且{24}0.3P X <<=，则{0}P X <= 0.2 .(2)随机地向半圆0(0)y a <<>内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与 区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为112π+十一、(本题满分6分)设二维随机变量( X ，Y )的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-它其00,02),()2(y x e y x f y x ， 求Z =X +2Y 的分布函数.解：2(){}{2}(,)Z x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy+≤=≤=+≤=⎰⎰……2分当0z ≤时，{0}0P Z ≤=.当0z >时，(2)200{}2z x zx y P Z z dx e dy--+≤=⎰⎰……4分2202()1z x zz xy x z z z e dx e dy e e dx e ze -------==-=--⎰⎰⎰. ……5分所以2Z X Y =+的分布函数0,0()1,0Z z zz F z e ze z --≤⎧=⎨-->⎩. ……6分数 学（试卷二）一、【 同数学一 第一题 】 二、【 同数学一 第二题 】 三、【 同数学一 第三题 】 四、(本题满分18分,每小题6分)(1)求3+∞⎛⎜⎠解：33+∞+∞=⎛⎛⎜⎜⎠⎠令1sec x θ-=，则sec tan dx d θθθ=.……2分 故原式243sec tan sec tan d ππθθθθθ=⎛⎜⎠……3分2232(1sin )cos 3d ππθθθ=-=⎰. ……6分(2)计算(1)sydzdx z dxdy -++⎰⎰，其中S 是圆柱面422=+y x被平面2x z +=和0z =所截出部分的外侧．解一：设1,2,1,,D S S S Ω如图所示，记1212(1),(1)S S I ydzdx z dxdy I ydzdx z dxdy =-++=-++⎰⎰⎰⎰,123(1)S S S I ydzdx z dxdy ++=-++⎰⎰,则312I I I I =--. ……1分而111(1)S S I ydzdx z dxdy=-++⎰⎰⎰⎰11(1)(21)12S D z dxdy x dxdy π=+=-+=⎰⎰⎰⎰，……3分2212(1)4S S D I ydzdx z dxdy dxdy π=-++=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰.……4分 又由奥高公式有3(11)0I dv Ω=-+=⎰⎰⎰.……5分 故3128I I I I π=--=-.……6分解二：设2,D S 如上图所示，则2(1)0SS I ydzdx z dxdy ydzdx =-++=-+⎰⎰⎰⎰……1分2D =-⎰⎰……3分22202dx --=-⎰⎰……4分222(2x -=--⎰……5分248π-=-=-⎰.……6分(3)【 同数学一 第四题 】五、(本题满分8分)【 同数学一 第五题 】 六、(本题满分7分)【 同数学一 第六题 】 七、(本题满分8分)【 同数学一 第七题 】 八、(本题满分6分)【 同数学一 第八题 】 九、(本题满分8分)【 同数学一 第九题】数 学（试卷三）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分)(1)设)31ln(xy -+=，则=dy 3ln 313x xdx ---+. (2)曲线2x e y -=的向上凸区间是(22-.(3)21ln xdx x +∞=⎰1 (4)质点以速度)sin(2t t 米 / 秒作直线运动，则从时刻1t=π=2t 秒内质点所经过的路程等于 1 / 2 米. (5) 1101lim x x xex e+→-+= -1二、选择题：(本题满分15分，每小题3分)(1)若b ax x y ++=2和312xy y +-=在(1,1)-点相切，其中,a b 是常数，则(D)(A)0,2a b ==-(B)1,3a b ==-(C)3,1a b =-=(D)1,1a b =-=-(2)设函数⎩⎨⎧≤-≤≤=21210)(2x x x x x f ，记0()(),02xF x f t d t x =≤≤⎰，则（B ）(A)()F x =32013121232x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪+-<≤⎪⎩(B)()F x =32013721262x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+-<≤⎪⎩(C)()F x =33201321232x x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪+-<≤⎪⎩（D ）()F x =320132122x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-<≤⎪⎩(3)设函数()f x 在(+∞∞-,)内有定义，00≠x 是函数()f x 的极大点，则(B)(A) 0x 必是()f x 的驻点(B) 0x -必是()f x --的极小点(C) 0x -必是()f x -的极小点(D)对一切x ，都有)()(0x f x f ≤.(4)【 同数学一 第二、(4) 题 】(5)如图，x 轴上有一线密度为常数μ，长度为l 的细杆，若质量为m 的质点到杆右端的距离为a ，引力系数为k ，则质点和细杆之间引力的大小为 (A)(A) 021()km dxa x μ--⎰(B) 120()km dxa x μ-⎰(C) 01222()km dxa x μ-+⎰(D)1222()km dx a x μ+⎰三、(本题满分25分，每小题5分)(1)设⎩⎨⎧==t t y t t x sin cos ， 求22dx y d 解：sin cos cos sin dy t t t dx t t t+=-， ……2分22sin cos cos sin t d y t t t dtdx t t t dx'+⎛⎫= ⎪-⎝⎭……4分 232(cos sin )t t t t +=-. ……5分(2)计算⎰+41)1(x x dx 解：令t =2,2x t dx tdt ==，于是有原式212(1)dt t t =+⎛⎜⎠……2分211121dtt t ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭⎛⎜⎠……3分 212[ln ln(1)]t t =-+……4分 42ln 3=.……5分(3)求20sin lim (1)xx x xx e →--解：原式30sin limx x xx →-=……2分 201cos lim 3x x x →-=……4分 212201lim 36x x x →==. ……5分(4)求⎰xdxx 2sin解：原式1cos22xxdx -=⎰……2分 11sin 224xdx xd x =-⎰⎰……3分 211sin sin 2444x x x xdx =-+⎰……4分 211sin 2cos 2448x x x x C =--+. ……5分(5)求微分方程xxe y xy =+2满足(1)1y =的特解解：()()[()]P x dx P x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰……1分 11[]dxdxxx x ee edx C -⎰⎰=+⎰……2分 1[(1)]x x e C x=-+……4分当1,1x y ==代入，得1C =，所以特解11x x y e x x-=+. ……5分四、(本题满分9分)利用导数证明：当1x >时，有不等式x xx x +>+1ln )1ln(.证一：令()(1)ln(1)ln f x x x x x =++-，……2分 则1()ln(1)0f x x'=+>.……5分 所以在[1,)+∞中()f x 为增函数.……6分又(1)2ln 20f =>，所以在[1,)+∞中，有()0f x >.即(1)ln(1)ln 0x x x x ++->， 故当1x >时，有ln(1)ln 1x xx x+>+. ……9分五、(本题满分9分)求微分方程x x y y cos +=+'' 的通解.解： 原方程所对应齐次方程的通解为12cos sin C x C x +. ……2分设非齐次方程y y x ''+=的特解为1y Ax B =+.代入方程得0,1B A ==，所以1y x =.又设非齐次方程cos y y x ''+=的特解为2cos sin y Ex x Dx x =+, 则代入方程得10,2E D ==，所以21sin 2y x x =.因此原方程的通解为12cos sin sin 2xy C x C x x x =+++. ……9分六、(本题满分6分)曲线y=(x －1)(x －2)和x 轴围成一平面图形，求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转 体的体积解：在[1,2]上取积分元，得2||dV x y dx π=， ……4分 于是有212||V x y dxπ=⎰……6分 212(1)(2)x x x dxπ=---⎰……7分 2π=.……9分七、(本题满分6分)如图，A 和D 分别是曲线x e y =和x e y 2-=上的点，AB 和DC 均垂直x 轴，且1,1:2:<=AB DC AB ， 求点B 和C 的坐标，使梯形ABCD 的面积最大.解： 设B ，C 的横坐标为1,x x , 则有122xxe e -=，由此可得1ln 22x x =-.……2分又13ln2(0)BC x x x x =-=->. 故梯形ABCD 的面积23(3ln 2)2x S x e -=-， ……5分 令23(362ln 2)02x S x e -'=-+=，得驻点11ln 223x =+， ……7分由于当11ln 223x <+时，0S '>；当11ln 223x >+时，0S '<.所以11ln 223x =+是极大值点，又驻点唯一. 故11ln 223x =+是最大值点.……8分 即当11ln 223x =+，11ln 213x =-时，梯形ABCD 的面积最大.……9分八、 (本题满分6分)设函数()f x 在),(+∞-∞内满足()()sin f x f x x π=-+，且()f x x =，),0[π∈x ，计算⎰ππ3)(dx x f .解一：333()[()sin]()f x dx f x x dx f x dxππππππππ=-+=-⎰⎰⎰……1分2()t x f t dtππ=-⎰令……3分2()()f t dt f t dtπππ=+⎰⎰2[()si)n(]ff t dt t dttππππ-+=+⎰⎰……6分22(2)2f t dtππππ=--+⎰202()2x t f x dxπππ=--+⎰令……8分22π=-. ……9分数 学（试卷四）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分)(1)设sin xyz e =，则)(cos sin xdy ydx xy e dz xy +=.(2)设曲线3()f x x ax =+与c bx x g +=2)(都通过点(1,0)-，且在点(1,0)-有公共切线，则a = -1 ，b =-1 ，c = 1 . (3)设x xe x f =)(，则)()(x fn 在点x =(1)n -+处取极小值)1(+--n e .(4)设A 和B 为可逆矩阵，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00B A X 为分块矩阵，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---00111AB X . (5)设随机变量X 的分布函数为=≤=)x X (P )x (F 33111118.04.00≥<≤<≤--<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧x x x x 若若若若. 则X 的概率分布为 1130.40.40.2-⎛⎫⎪⎝⎭二、选择题：(本题满分15分，每小题3分) (1)下列各式中正确的是（A ）(A)1)11(lim 0=++→x x x (B) e xxx =++→)11(lim 0(C) e x x x =-∞→)11(lim (D) exx x =+-∞→)11(lim (2)设n a n 10<≤(n=1,2,… )，则下列级数中肯定收敛的是（D ）(A)∑∞=1n na(B)∑∞=-1)1(n nna (C)∑∞=1n na (D)∑∞=-12)1(n nna (3)设A 为n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征根，则A 的伴随矩阵A*的特征根之一是 (B)(A)nA1-λ(B)A1-λ(C)Aλ(D)nAλ(4)A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论正确的是(D)(A)A 与B 不相容(B)A 与B 相容 (C)P (AB )=P (A )P (B )(D)P (A -B )=P (A)(5)对于任意两个随机变量X 和Y ，若E (X Y )= E X E Y ，则(B )(A)D (X Y )=D X D Y (B )D (X +Y )=D X +D Y (C)X 和Y 独立(D )X 和Y 不独立三、(本题满分5分)求极限120lim()x x nx x x e e e n→+++ 其中n 是给定的自然数.解：原式201limexp{ln()}x x nx x e e e x n →+++= 20ln(ln )exp{lim }x x nx x e e e n x→+++-= .……1分其中大括号内的极限是0型未定式，因此由罗比塔法则，有22200ln()ln 2lim lim x x nx x x nxx xnx x x e e e n e e ne x e e e→→+++-+++=+++ ……2分 12n n +++= 12n +=. ……4分 于是12n e+=原式. ……5分四、(本题满分5分) 计算二重积分D I ydxdy =⎰⎰，其中D 是由x 轴，y 轴与曲1=+by a x 所围成的区域；0,0a b >>.解：积分区域D 如图中阴影部分所示.1=，得21y b ⎛= ⎝.因此(10ab I dx ydy=⎰⎰……2分240(12ab dx =⎰.……3分令1t =()21x a t =-，2(1)dx a t dt =--.则12450()I ab t t dt =-⎰1562205630t t ab ab ⎛⎫=-=⎪⎝⎭. ……5分五、(本题满分5分) 求微分方程22y x dxdyxy+=满足条件2x ey e ==的特解.解：原方程可以化为2221y dy x y x y dx xyx⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==，可见是齐次微分方程.……1分设,dy duy ux u x dx dx==+有，将其代入上式，得21du u u xdx u ++=，……2分 即1du x dx u =，du dx u dx x =,21ln ||2u x C =+.……3分 将yu x=代入上式，得通解222(ln ||)y x x C =+，……4分 由条件|2,x e y e ==求得1C =，于是，所求特解为222(ln ||1)y x x =+.……5分六、(本题满分6分)假设曲线)10(1:21≤≤-=x x y L 、x 轴和y 轴所围区域被曲线22:ax y L =分为面积相等的两部分，其a 是大于零的常数，试确定的a 值.解：由21(01)y x x =-≤≤与2y ax =联立，可解得故曲线12L L 与的交点P的坐标为. ……1分于是223101)][(1)3S x ax dy x a x =--=-+=……3分 12112022(1)3S S S x dx =+=-=⎰，……4分 从而113S =.13=，……5分 因此于是3a =.……6分七、(本题满分8分)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为1P 和2P ，销量分别为1q 和2q ，需求函数分别为112.024P q -=和2205.010P q -=，总成本函数为)(403521q q c ++=， 试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大总利润为多少?解：总收入函数为2211221122240.2100.05R p q p q p p p p =+=-+-……2分 总利润函数为112212()[3540()]L R C p q p q q q =-=+-++221122320.2120.051395p p p p =-+--……4分由极值的必要条件，得方程组1122320.40120.10Lp p L p p ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩， 其解为1280,120p p ==.……6分 由问题的实际意义可知，当1280,120p p ==时，厂家所获得的总利润最大， 其最大利润为1280,120605p pL ===.……8分八、(本题满分6分)试证明函数1()(1)x f x x=+在区间),0(+∞内单调增加.证：由1()exp{ln(1)}f x x x =+，有111()(1)[ln(1)]1x f x x xx '=++-+. ……2分记11()ln(1)1g x x x=+-+，对于任意(0,)x ∈+∞，有21()0(1)g x x x '=-<+，故函数()g x 在(0,)+∞上单调减少.……3分 由于11lim[ln(1)]01x x x→+∞+-=+，……4分 可见对任意(0,)x ∈+∞，有11()ln(1)01g x x x=+->+，……5分 从而，()0f x '>，(0,)x ∈+∞.于是，函数()f x 在(0,)+∞上单调增加.……6分九、(本题满分7分)设1111λα+⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2111αλ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3111αλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20λλβ， 问λ取何值时，（1）β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一？ （2）β可由123,,ααα线性表示，但表达式不唯一？（3）β不能由123,,ααα线性表示？解：设112233x x x αααβ++=，得线性方程组12231110111111x x x λλλλλ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其系数行列式2111||111(3)111λλλλλ+=+=++A .……3分（1）若03λλ≠≠-且，则方程组有唯一解，β可由3,21,a a a 唯一地线性表示.……4分（2）若0λ=，则方程组有无穷多个解，β可由3,21,a a a 线性表示，但表达式不唯一.……5分（3）若3λ=-，则方程组的增广矩阵211003318000612130331203312112911291129⎛-⎫⎛-⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，可见方程组的系数矩阵A 与增广矩阵A 不等秩，故方程组无解，从而β不能由3,21,a a a 线性表示. ……7分十、(本题满分6分)考虑二次型32312123222142244x x x x x x x x x f +-+++=λ，问λ取何值时，为正定二次型？解：二次型f 的矩阵为1142124λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，……2分由于二次型f 正定的充分必要条件是：A 的顺序主子式全为正. 而A 的顺序主子式为：110D =>，22144D λλλ==-，2311424484(1)(2)124D λλλλλλ-==--+=--+-， ……4分于是，二次型f 正定的充分必要条件是：230,0D D >>，由2240D λ=->，可见22λ-<<；由34(1)(2)0D λλ=--+>，可见21λ-<<. 于是，二次型f 正定，当且仅当21λ-<<.……6分十一、(本题满分6分)试证明n 维列向量组12,,,n ααα 线性无关的充分必要条件是D =1112121222120T T T nT T T n T T T n n n nαααααααααααααααααα≠其中T i α表示列向量i α的转置，1,2,,i n = .解：记n 阶矩阵12(,,,)n A ααα= ，则12,,,n ααα 线性无关的充分必要条件是||0≠A ，……2分由于1212(,,,)T T Tn T n A A αααααα⎛⎫ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111212122212T T T n T T Tn T T Tn n n n αααααααααααααααααα⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭……4分故有2||||||||T T A A A A A D =⋅==，因此，||0A ≠与0D ≠等价.于是0D ≠是12,,,n ααα 线性无关的充分必要条件.……6分十二、(本题满分6分)【 同数学五 第十三、(1) 题 】 十三、(本题满分6分)假设随机变量X 和Y 在圆域 222r y x ≤+上服从联合均匀分布， (1)求X 和Y 的相关系数ρ；(2)问X 和Y 是否独立？解：(1) 因X 和Y 的联合密度为22222221,(,)0,x y r x y r p x y r π+≤⎧+>⎪=⎨⎪⎩若若， ……1分故X的密度为121()(||)p x x r r π==≤，同理，Y的密度为2()(||)p y y r ≤……2分于是220rrEX r π-==⎰，220rrEY r π-==⎰，……3分 2222cov(,)0x y r xyX Y EXY dxdy r π+≤==-=⎰⎰，……4分 因此X 和Y 的相关系数0ρ=.……5分 (2)由于12(,)()()p x y p x p y ≠，故X 和Y 不独立. ……6分十四、(本题满分5分)设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--000),(1x x e x a x p x a 若若αλλλ，其中0>λ中是未知参数,0>a 是已知常数.试根据来自总体X 的简单随机样本12,,,n X X X ，求λ的最大似然估计量λˆ. 解：似然函数为11211(,,,)()nn n aa n i ii i L x x x a ex xλλλ--===∑∏ ；， ……2分由对数似然方程，有1ln 0n ai i L n x λλ=∂=-=∂∑，……4分 由此可解得λ的最大似然估计量1=nai i nx λ=∑ . ……5分数 学（试卷五）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分) (1)【 同数学四 第一、(1) 题 】(2)【 同数学四 第一、(2) 题 】(3)【 同数学四 第一、(3) 题 】(4)n 阶行列式00000000000000nab a b a a b ba1(1)nn n a b +=+-.(5)[91-5] 设A ，B 为随机事件，P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则6.0)(=B A P 二、选择题：(本题满分15分，每小题3分)(1)【 同数学四 第二、(1) 题 】(2)设数列的通项为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=为偶数若为奇数若n nn n n n x n 12，则当∞→n ,n x 是（D ）（A ）无穷大量（B ）无穷小量 (C)有界变量（D ）无界变量(3)设A 与B 为n 阶方阵，且AB ，则必有(C)(A)0A =或0B = (B) AB BA=(C) 0=A 或0=B (D) 0=+B A (4)设A 是m ⨯n 矩阵，A x ＝0是非齐次线性方程组A x ＝b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是(D)(A)若Ax ＝0仅有零解，则A x ＝ b 有唯一解(B)若Ax ＝0有非零解，则Ax ＝b 有无穷多个解(C)若Ax ＝b 有无穷多个解，则Ax ＝0仅有零解(D)若Ax ＝b 有无穷多个解则Ax ＝0有非零解(5)【 同数学四 第二、(4) 题 】三、(本题满分5分) 求极限()xx xx 121lim +++∞→.解：原式11lim (lim exp{ln(exp{lim xx x x x x x →+∞→+∞→+∞===，其中大括号内的极限是∞∞型未定式. ……2分因此由罗比塔法则，有lim lim lim 0x x x →+∞===， ……4分 于是10lim ()1x x x e →+∞==.……5分四、(本题满分5分) 求定积分dx x x I 211)12(++=⎰-.解：01221(1)(31)I x dx x dx-=+++⎰⎰……2分 0133101122(1)(31)393x x -=+++=.……5分五、(本题满分5分)求不定积分arctgxdxx x I ⎰+=221解：21(1)arctan arctan arctan arctan 1I xdx xdx xd x x=-=-+⎰⎰⎰……2分 221arctan (arctan )12xx x dx x x =--+⎛⎜⎠……4分 2211arctan ln(1)(arctan )22x x x x C =-+-+.……5分六、(本题满分5分)已知0)()(),()(≠'+'+=z g y z f x z yg z xf xy ，其中(,)z z x y =是x 和y 的函数. 求证：[]yz z f y x z z g x ∂∂-=∂∂-)()]([. 证：将()()xy xf z yg z =+两侧同时对x 求偏导数，得()()()z zy f z xf z yg z x x∂∂''=++∂∂， ……2分 于是，有()()()z y f z x xf z yg z ∂-=''∂+， ……3分 同样可得()()()z x g z y xf z yg z ∂-=''∂+. ……4分因此[()][()][()][()]()()z x g z y f z z x g z y f z x xf z yg z y ∂--∂-==-''∂+∂. ……5分七、(本题满分6分)【 同数学四 第六题 】 八、(本题满分8分)【 同数学四 第七题 】 九、(本题满分6分)证明不等式 11ln(1)(0)1x xx><<+∞+＋.证：记11()ln(1),01f x x x x=+-<<+∞+，有21()0(1)f x x x '=-<+， ……2分 故函数()f x 在(0,)+∞上单独减少.……3分 由于11lim ()lim[ln(1)]01x x f x x x→+∞→+∞=+-=+，……5分 故对于任意0x <<+∞，()0f x >，即11ln(1)1x x+>+.……6分十、(本题满分5分)设n 矩阵A 和B 满足条件A ＋B ＝AB ，(1)证明A -E 为可逆矩阵,其中E 是n 阶单位矩阵；(2)已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200012031B ,求矩阵A .解：由A ＋B ＝AB ，有AB -A -B +E =(A -E)(B -E)=E ， ……1分 由此可见A -E 为可逆矩阵.……2分 又由上式，知B -E 也为可逆矩阵，且1(-=+A E B -E)……3分 由于030200001B E -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，11/20()1/300001B E -⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎪⎝⎭， ……4分故1(-=+A E B -E)11/201/310002⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.……5分十一、(本题满分7分)【 同数学四第九题】十二、(本题满分4分) 已知向量Tk a )1,,1(=是矩阵A =211121112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵1-A 的特征向量，求常数k 的值.解：设λ是α所属的特征值，则1a a λ-=A ，a a λ=A .……2分即1211112111121k k λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由此得方程组(3)1(22)k k k λλ+=⎧⎨+=⎩，其解为112211,2,,14k k λλ==-==.于是当21k =-或时，α是1-A 的特征向量.……4分十三、(本题满分7分)一汽车沿一街道行驶，需要经过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与 其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等.以X 表示汽车首次遇到红 灯前已通过的路口的个数.（1）求X 的概率分布； （2）求XE +11. 解：（1）由条件知, X 的可能值为0,1,2,3.以(1,2,3)i A i =表示事件“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”；则123,,A A A 相互独立，且1()(),1,2,32i i P A P A i ===. ……2分于是11(0}()2P X P A ===，1221(1}()2P X P A A ===，12331(2}()2P X P A A A ===，12331(3}()2P X P A A A ===.……4分 （2）11111111671224384896EX =+⋅+⋅+⋅=+. ……7分十四、(本题满分6分)在电源电压不超过200伏、在200－240伏和超过240伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2，假设电源电压X 服从正态分布N (220，252 )，试求 ：(1)该电子元件损坏的概率α；(2)该电子元件损坏时，电源电压在200－240伏的概率β.[附表] （表中)(x Φ是标准正态分布函数）解：引进下列事件：1A ＝｛电压不超过200伏｝，2A ＝｛电压在200－240伏｝，3A ＝｛电压超过240伏｝；B ＝｛电子元件损坏｝.因2~(220,25)X N ，故1220200220(){200}{}(0.8)0.2122525X P A P X P --=≤=≤=Φ-=，2(){200240}(0.8)(0.8)0.576P A P X =≤≤=Φ-Φ-=；3(){240}10.2120.5760.212P A P X =>=--=.……3分 （1）由题设条件知123(|)0.1,(|)0.001,(|)0.2P B A P B A P B A ===. 于是，由全概率公式，有31()()(|)0.0642iii a P B P A P B A ====∑，……5分 （2）由贝叶斯公式，得222()(|)(|)0.009()P A P B A P A B P B β==≈.……7分。
历年考研数学二真题与答案09~13年
历年考研数学二真题与答案09~13年2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 函数()3sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为()A 1 ()B 2 ()C 3()D 无穷多个 【答案】C【解析】由于()3sin x x f x xπ-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义.故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是3x x-=的解1,2,30,1x =±.320032113211131lim lim ,sin cos 132lim lim ,sin cos 132lim lim .sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--==故可去间断点为3个,即0,1±.(2) 当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则()A 11,6a b ==- ()B 11,6a b ==()C 11,6a b =-=-()D 11,6a b =-=【答案】A【解析】 22()sin sin lim lim lim ()ln(1)()x x x f x x ax x axg x x bx x bx →→→--==-⋅- 22002301cos sin lim lim 36sin lim 1,66x x x a ax a axbx bxa ax ab b axa→→→---==-=-⋅洛洛36a b∴=-,故排除,B C .另外,21cos lim 3x a axbx→--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故 1.a =排除D . 所以本题选A .(3) 设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+,则点()0,0()A 不是(),f x y 的连续点 ()B 不是(),f x y 的极值点()C 是(),f x y 的极大值点 ()D 是(),f x y 的极小值点 【答案】D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂.2222221,0,1z z z z A B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂,又在()0,0处,0,0z zx y∂∂==∂∂,210AC B -=>,故()0,0为函数(,)z f x y =的一个极小值点.(4) 设函数(),f x y 连续,则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰ ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰()C ()2411,ydy f x y dx-⎰⎰()D ()221,ydy f x y dx⎰⎰【答案】C 【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx+⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤,{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-,将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤-, 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx-⎰⎰,故答案为C .(5) 若()f x ''不变号,且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222xy +=,则函数()f x 在区间()1,2内()A 有极值点,无零点 ()B 无极值点,有零点()C 有极值点,有零点 ()D 无极值点,无零点 【答案】B【解析】由题意可知,()f x 是一个凸函数,即()0f x ''<,且在点(1,1)处的曲率322||2(1())y y ρ''=='+,而(1)1f '=-,由此可得,(1)2f ''=-.在[1,2] 上,()(1)10f x f ''≤=-<,即()f x 单调减少,没有极值点.对于(2)(1)()1(1,2)f f f ξξ'-=<- , ∈ ,(拉格朗日中值定理)(2)0f ∴ <而(1)10f =>,由零点定理知,在[1,2] 上,()f x 有零点.故应选B .（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt=⎰的图形为()A ()B()C ()D【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征： ①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。
考研数学二历年真题及答案详解(2003—2014)
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．设2)(),(sin 1cos παα<=-x x x x ，当0→x 时，()x α （ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价无穷小 （D ）与x 等价无穷小2．已知()x f y =是由方程()1ln cos =+-x y xy 确定，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛∞→12lim n f n n （ ）（A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2 ３．设⎩⎨⎧∈∈=]2,[,2),0[,sin )(πππx x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(则（ ）（Ａ）π=x 为)(x F 的跳跃间断点． （Ｂ）π=x 为)(x F 的可去间断点．（Ｃ）)(x F 在π=x 连续但不可导． （Ｄ）)(x F 在π=x 可导．４．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-=+-e x xx e x x x f ,ln 11,)1(1)(11αα，且反常积分()dx x f ⎰∞+收敛，则（ ）（A ）2-<α （B ）2>a （C ）02<<-a （D ）20<<α ５．设函数()xy f xyz =，其中f 可微，则=∂∂+∂∂y z x z y x （ ） （A ）)('2xy yf （B ）)('2xy yf -（C ）)(2xy f x （D ）)(2xy f x- 6．设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(，则（ ） （A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 7．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价． （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价． （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价． （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价．8．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是（A ）2,0==b a （B ）0=a ，b 为任意常数 （C ）0,2==b a （D ）2=a ，b 为任意常数二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9． =⎪⎭⎫⎝⎛+-→xx x x 1)1ln(2lim ． 10．设函数dt e x f x t ⎰--=11)(，则)(x f y =的反函数)(1y f x -=在0=y 处的导数==0|y dydx． 11．设封闭曲线L 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-=663cos πθπθr t 为参数，则L 所围成的平面图形的面积为 ．12．曲线上⎪⎩⎪⎨⎧+==21ln arctan ty tx 对应于1=t 处的法线方程为 ．13．已知xx x x x xe y xe e y xe e y 2322231,,-=-=-=是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足1)0(',0)0(==y y 方程的解为 ．14．设()ij a A =是三阶非零矩阵，A 为其行列式，ij A 为元素ij a 的代数余子式，且满足)3,2,1,(0==+j i a A ij ij ，则A = ．三、解答题15．（本题满分10分）当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，求常数n a ,． 16．（本题满分10分） 设D 是由曲线3x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x 轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值． 17．（本题满分10分）设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成，求⎰⎰Ddxdy x 2． 18．（本题满分10分）设奇函数)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，且1)1(=f ，证明： （1）存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ；（2）存在)1,1(-∈η，使得1)()(='+''ηηf f ． 19．（本题满分10分）求曲线)0,0(133≥≥=+-y x y xy x 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离． 20．（本题满分11） 设函数xx x f 1ln )(+= ⑴求)(x f 的最小值； ⑵设数列{}n x 满足11ln 1<++n n x x ，证明极限n n x ∞→lim 存在，并求此极限．21．（本题满分11） 设曲线L 的方程为)1(ln 21412e x x x y ≤≤-=． （1）求L 的弧长．（2）设D 是由曲线L ，直线e x x ==,1及x 轴所围成的平面图形，求D 的形心的横坐标． 22．本题满分11分） 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b B a A 110,011，问当b a ,为何值时，存在矩阵C ，使得B CA AC =-，并求出所有矩阵C ．23（本题满分11分）设二次型23322112332211321)()(2),,(x b x b x b x a x a x a x x x f +++++=．记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,b b b a a a βα．（1）证明二次型f 对应的矩阵为 TTββαα+2；（2）若βα,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为 22212y y +．2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1)曲线221x xy x +=-的渐近线条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设2sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π==⎰则有( )(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0,x y x y x y∂∂><∂∂则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是( )(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dx y x y -=⎰⎰( )(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π(7) 设1100c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,2201c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,3311c ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α ,4411c -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若()123,,P =ααα，()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d y dx== .(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭ .(11) 设1ln ,z f x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件11x y ==的解为y = .(13) 曲线()20y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是 . (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*BA = .三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，(I)求a 的值;(II)若0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.(16)(本题满分 10 分)求函数()222,x y f x y xe+-=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式;(II) 求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点.(20)(本题满分10分)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<.(21)(本题满分10 分)(I)证明方程1x x x ++=n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限. (22)(本题满分11 分)设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，1100β⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 计算行列式A ；(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11 分)已知1010111001A a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2，(I) 求实数a 的值；(II) 求正交变换x Qy =将f 化为标准形.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、 选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
1991考研数学试题全及答案
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数 学（试卷一）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分)(1) 设 ⎩⎨⎧=+=ty t x cos 12，则=22dx y d 34cos sin t t t t -. (2) 由方程 2222=+++z y x xyz 所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分2dz dx dy =.(3) 已知直线L 1和L 2的方程 1123:101x y z L ---==-和221:211x y zL --== ，则过L 1且平行于L 2的平面方程是 x -3 y ＋z + 2 = 0 .(4) 已知当0x →时，21/2(1)1x a +-与cos 1x -是等阶无穷小，则常数a =3/2-.(5) 设4阶方阵A = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1100210000120025, 则A 的逆矩阵1A -=12002500001/32/3001/31/3-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 二、选择题：(本题满分15分，每小题3分) (1) 曲线 2211x x ee y ---+=（D ）(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数f (x) 满足关系式2ln )2()(20+=⎰xdt tf x f ，则f (x) 等于 (B)（A ）2ln x e （B ）2ln 2x e （C ）2ln +x e （D ）2ln 2+xe .(3) 已知级数5,2)1(11211==-∑∑∞=-∞=-n n n n n a a ， 则级数∑∞=1n na等于 (C)（A ） 3 （B ） 7 （C ） 8 （D ） 9(4) 设D 是XOY 平面上以 (1,1), (-1,1) 和 (-1,-1)为顶点的三角区域，D 1是D 在第一象限的部分，则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于 （A ）(A)12cos sin D x ydxdy ⎰⎰(B)12D xydxdy ⎰⎰ (C)14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ (D) 0.(5) 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC = E ， 其中E 是n 阶单位阵，则必有 (D)(A) ACB = E (B) CBA = E (C) BAC = E (D) BCA = E三、(本题满分15分，每小题3分)(1) 求0lim )x x x π→+解 原式ln 0lim c xxx e π+⋅→=0limln x c xxeπ+→⋅=……2分 0sin 1cos 2x x x xe π→-⋅⋅-=……4分 2eπ-=.……5分(2) 设n是曲面632222=++z y x 在点P(1,1,1)处的指向外测的法向量，求函数zy x u 2286+=在点P 处沿方向n 的方向导数解：462n i j k =++ .……1分2261468Px z x x y u +∂==∂2281468Py z x yy u +∂==∂2226814Pu zx y z +∂=-=∂……3分从而[cos(,)cos(,)cos(,)]P P u uu u n i n j n k x y z n∂∂∂∂=++∂∂∂∂111471414141414=+=.……5分 (3) 求 dv z y x )(22++⎰⎰⎰Ω，其中Ω是由曲线⎩⎨⎧==022x z y 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的立体．解228422202()()r xy z dv d r z dz πθΩ++=+⎰⎰⎰⎰⎰……2分 8350528)8r r r dr π=+-……4分 2563π=.……5分四、(本题满分6分)在过点O (0,0)和A (0,π)的曲线族)0(sin >=a x a y 中，求一条曲线L ，使沿该曲线从O 到A 的积分⎰+++Ldy y x dx y )2()1(3的值最小.解：33()[1sin (2sin )cos ]I a a x x a x a x dx π=+++⎰,……2分3443a a π=-+. ……4分 令2()4(1)0I a a '=-=,得1,(1)a a ==-舍去，且1a =是()I a 在+)∞(0，内的唯一驻点 ……5分 由于(1)80I ''=>,()I a 在1a =处取到最小值.故所求曲线是sin (0)y x x π=≤≤ ……6分五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数∑∞=121n n的和. 解：由于()2(11)f x x x =+-≤≤是偶函数，所以1002(2)5a x dx =+=⎰， ……1分11222(cos 1)2(2)cos()2cos(),1,2,n n a x n x dx x n x dx n n ππππ-=+===⎰⎰ ……3分 0,1,2,n b n ==……4分因所给函数在[1,1]-满足收敛定理的条件，故22221052(cos 1)54cos(21)2cos()22(21)n k n k xx n x n k πππππ∞∞==-++=+=-+∑∑，[1,1]x ∈- ……5分 令0x =，有 22054122(21)k k π∞==-+∑，即2201(21)8k k π∞==+∑ 于是22222000111111(21)(2)84k k k n n k k n π∞∞∞∞=====+=++∑∑∑∑，因此222114386n nππ∞==⋅=∑.……8分 六、(本题满分6分)设函数f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且1233()(0)f x dx f =⎰，证明在(0,1)内存在一点c ，使()0f c '=.解：由积分中值定理知,在2[,1]3上存在一点1c ，使23111()()3f x dx f c =⎰， ……3分从而有1()(0)f c f =, ……4分 故()f x 在区间1[0,]c 上满足罗尔定理的条件，因此在1(0,)c 内存在一点c ，使得(c)0.f '=1(0,)(0,1)c c ∈⊂. ……7分七、(本题满分6分)已知)3,2,0,1(1=α，)5,3,1,1(2=α，)1,2,1,1(3+-=a α，)8,4,2,1(4+=a α，)5,3,1,1(+=b β， 问：(1) ,a b 为何值时，β不能表示成4321,,,αααα的线性组合？(2) ,a b 为何值时，β有1234,,,αααα的唯一线性表示式？并写出表示式.解：设11223344,x x x x βαααα=+++则12342341234123412123(2)4335(3)5x x x x x x x x x a x x b x x x a x +++=⎧⎪-+=⎪⎨++++=+⎪⎪++++=⎩ ……2分 因 11111011212324335135a b a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪++ ⎪+⎝⎭1111101121011000010a b a ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪+⎪+⎝⎭……4分故当1,0a b =-≠时，β不能表示成4321,,,a a a a 的线性组合.……5分 当1a ≠-时，表示式唯一，且1234210111b a b ba a a a a a a β++=-++++++. ……8分八、(本题满分6分)设A 是n 阶正定阵，E 是n 阶单位阵，证明A+E 的行列式大于1.解一：因A 是正定阵，故存在正交阵Q ，使121n Q AQ λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ . ……1分 其中0(1,2,)i i n λ>= 是A 的特征值.故111()Q A E Q Q AQ Q Q ---+=+1122111n n E λλλλλλ+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭. ……4分在上式两端取行列式得11(1)|||()|||||nii QA E Q A E λ-=+=⋅+⋅=+∏，从而||1A E +>.……6分解二：因A 是正定阵，故A 的特征值0(1,2,)i i n λ>= ……1分 于是A E +的特征值11(1,2,)i i n λ+>= ……4分 因此A+E 的行列式12||1111n A E λλλ+=+⋅++> ……6分九、(本题满分6分)在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点 P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线 段PQ 长度的倒数（Q 是法线与x 轴的交点），且曲线在点(1,1)处的切线与X 轴平行.解：曲线()y y x =在点(,)x y 处的法线方程是1(),('0)Y y X x y y-=--≠', ……1分 它与x 轴的交点是(',0)x yy +，从而该点到x 轴之间的法线段PQ的长度是122(1)y y '=+ （0y '=也满足上式）……2分 故由题意得微分方程312222''1(1')(1')y y y y =++，即2''1'yy y =+ ……3分 且当1x =时，1,'0y y ==. ……4分令'y p =，则''dp y p dy =，代入方程得21dp yp p dy=+，或21p dydp p y =+ 积分并注意到1y =时，0p =，使得21y p =+……6分代入dyp dx =，得22'1,1y y dx y =±-=±- 积分上式，并注意到1x =时1y =，得2ln(1)(1)y y x -=±-.因此所求曲线方程为2(1)1(1)11()2x x x y y ey e e ±-----==+ 即. ……8分十、填空题 (本题满分6分,每小题3分)(1) 若随机变量X 服从均值为2，方差为2σ的正态分布，且{24}0.3P X <<=，则{0}P X <= 0.2 .(2) 随机地向半圆202(0)y ax x a <<->内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与 区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为112π+十一、(本题满分6分)设二维随机变量( X ，Y )的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-它其00,02),()2(y x e y x f y x ， 求Z =X +2Y 的分布函数.解：2(){}{2}(,)Z x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰……2分当0z ≤时，{0}0P Z ≤=.当0z >时，(2)200{}2z x zx y P Z z dx e dy --+≤=⎰⎰……4分2202()1z x zz xy x z z z e dx e dy e e dx e ze -------==-=--⎰⎰⎰. ……5分所以2Z X Y =+的分布函数0,0()1,0Z z zz F z e ze z --≤⎧=⎨-->⎩. ……6分数 学（试卷二）一、【 同数学一 第一题 】 二、【 同数学一 第二题 】 三、【 同数学一 第三题 】 四、(本题满分18分,每小题6分)(1) 求423(1)2x x x+∞--⎛⎜⎠解：424233(1)2(1)(1)1x x x x x +∞+∞=-----⎛⎛⎜⎜⎠⎠令1sec x θ-=，则sec tan dx d θθθ=.……2分 故原式243sec tan sec tan d ππθθθθθ=⎛⎜⎠ ……3分223233(1sin )cos 3d ππθθθ=-=⎰. ……6分(2) 计算(1)sydzdx z dxdy -++⎰⎰，其中S 是圆柱面422=+y x被平面2x z +=和0z =所截出部分的外侧．解一：设1,2,1,,D S S S Ω如图所示， 记1212(1),(1)S S I ydzdx z dxdy I ydzdx z dxdy =-++=-++⎰⎰⎰⎰,123(1)S S S I ydzdx z dxdy ++=-++⎰⎰,则312I I I I =--. ……1分而111(1)S S I ydzdx z dxdy =-++⎰⎰⎰⎰11(1)(21)12S D z dxdy x dxdy π=+=-+=⎰⎰⎰⎰， ……3分 2212(1)4S S D I ydzdx z dxdy dxdy π=-++=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰.……4分 又由奥高公式有3(11)0I dv Ω=-+=⎰⎰⎰.……5分 故3128I I I I π=--=-.……6分解二：设2,D S 如上图所示，则2(1)0SS I ydzdx z dxdy ydzdx =-++=-+⎰⎰⎰⎰……1分 2224D x dzdx =--⎰⎰……3分 2222024dx x dx --=--⎰⎰……4分 2222(2)4x x dx -=---⎰……5分 22448x dx π-=--=-⎰.……6分(3) 【 同数学一 第四题 】五、(本题满分8分)【 同数学一 第五题 】 六、(本题满分7分)【 同数学一 第六题 】 七、(本题满分8分)【 同数学一 第七题 】 八、(本题满分6分)【 同数学一 第八题 】 九、(本题满分8分)【 同数学一 第九题 】数 学（试卷三）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分)(1) 设)31ln(xy -+=，则=dy 3ln 313x xdx ---+. (2) 曲线2x e y -=的向上凸区间是22(22-. (3)21ln xdx x +∞=⎰1 (4) 质点以速度)sin(2t t 米 / 秒作直线运动，则从时刻1t =2ππ=2t 秒内质点所经过的路程等于 1 / 2 米. (5) 1101lim x x xex e+→-+= -1二、选择题：(本题满分15分，每小题3分)(1) 若b ax x y ++=2和312xy y +-=在(1,1)-点相切，其中,a b 是常数，则 (D)(A) 0,2a b ==- (B) 1,3a b ==- (C) 3,1a b =-= (D) 1,1a b =-=-(2) 设函数⎩⎨⎧≤-≤≤=21210)(2x x x x x f ，记0()(),02xF x f t d t x =≤≤⎰，则 （B ）(A) ()F x =32013121232x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪+-<≤⎪⎩ (B) ()F x =32013721262x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+-<≤⎪⎩(C) ()F x =33201321232x x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪+-<≤⎪⎩ （D ）()F x =320132122x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-<≤⎪⎩(3) 设函数()f x 在(+∞∞-,)内有定义，00≠x 是函数()f x 的极大点，则 (B)(A) 0x 必是()f x 的驻点 (B) 0x -必是()f x --的极小点 (C) 0x -必是()f x -的极小点 (D) 对一切x ，都有)()(0x f x f ≤. (4) 【 同数学一 第二、(4) 题 】(5) 如图，x 轴上有一线密度为常数μ，长度为l 的细杆，若质量为m 的质点到杆右端的距离为a ，引力系数为k ，则质点和细杆之间引力的大小为 (A)(A) 021()km dxa x μ--⎰(B) 120()km dx a x μ-⎰(C) 01222()km dxa x μ-+⎰(D) 1222()km dxa x μ+⎰三、(本题满分25分，每小题5分)(1) 设 ⎩⎨⎧==t t y t t x sin cos ， 求 22dx y d 解：sin cos cos sin dy t t t dx t t t+=-， ……2分22sin cos cos sin t d y t t t dtdx t t t dx'+⎛⎫= ⎪-⎝⎭ ……4分 232(cos sin )t t t t +=-. ……5分(2) 计算⎰+41)1(x x dx解：令t x =2,2x t dx tdt ==，于是有原式212(1)dt t t =+⎛⎜⎠……2分 211121dt t t ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭⎛⎜⎠……3分 212[ln ln(1)]t t =-+ ……4分 42ln 3=.……5分(3) 求 20sin lim (1)x x x xx e →--解：原式30sin lim x x xx →-=……2分 201cos lim 3x xx →-= ……4分 212201lim 36x x x →==. ……5分(4) 求⎰xdx x 2sin解：原式1cos22xxdx -=⎰ ……2分 11sin 224xdx xd x =-⎰⎰ ……3分 211sin sin 2444x x x xdx =-+⎰ ……4分 211sin 2cos 2448x x x x C =--+. ……5分(5) 求微分方程xxe y xy =+2 满足(1)1y =的特解解：()()[()]P x dx P x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰……1分 11[]dxdxxx x ee edx C -⎰⎰=+⎰……2分 1[(1)]x x e C x=-+ ……4分当1,1x y ==代入，得1C =，所以特解11x x y e x x-=+. ……5分四、(本题满分9分)利用导数证明：当1x >时，有不等式x xx x +>+1ln )1ln(.证一：令()(1)ln(1)ln f x x x x x =++-，……2分 则1()ln(1)0f x x'=+>.……5分 所以在[1,)+∞中()f x 为增函数.……6分又(1)2ln 20f =>，所以在[1,)+∞中，有()0f x >.即(1)ln(1)ln 0x x x x ++->， 故当1x >时，有ln(1)ln 1x xx x+>+. ……9分五、(本题满分9分)求微分方程x x y y cos +=+'' 的通解.解： 原方程所对应齐次方程的通解为12cos sin C x C x +. ……2分设非齐次方程y y x ''+=的特解为1y Ax B =+.代入方程得0,1B A ==，所以1y x =.又设非齐次方程cos y y x ''+=的特解为2cos sin y Ex x Dx x =+, 则代入方程得10,2E D ==，所以21sin 2y x x =.因此原方程的通解为12cos sin sin 2xy C x C x x x =+++. ……9分六、(本题满分6分)曲线y=(x －1)(x －2)和x 轴围成一平面图形，求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转 体的体积解：在[1,2]上取积分元，得2||dV x y dx π=， ……4分 于是有212||V x y dx π=⎰……6分 212(1)(2)x x x dx π=---⎰……7分 2π=.……9分七、(本题满分6分)如图，A 和D 分别是曲线x e y =和x e y 2-=上的点，AB 和DC 均垂直x 轴，且1,1:2:<=AB DC AB ， 求点B 和C 的坐标，使梯形ABCD 的面积最大.解： 设B ，C 的横坐标为1,x x , 则有122xxe e -=，由此可得1ln 22x x =-. ……2分 又13ln2(0)BC x x x x =-=->. 故梯形ABCD 的面积23(3ln 2)2x S x e -=-， ……5分 令23(362ln 2)02x S x e -'=-+=，得驻点11ln 223x =+， ……7分由于当11ln 223x <+时，0S '>；当11ln 223x >+时，0S '<.所以11ln 223x =+是极大值点，又驻点唯一. 故11ln 223x =+是最大值点.……8分 即当11ln 223x =+，11ln 213x =-时，梯形ABCD 的面积最大.……9分八、 (本题满分6分)设函数()f x 在),(+∞-∞内满足()()sin f x f x x π=-+，且()f x x =，),0[π∈x ，计算⎰ππ3)(dx x f .解一：333()[()sin]()f x dx f x x dx f x dxππππππππ=-+=-⎰⎰⎰……1分2()t x f t dtππ=-⎰令……3分2()()f t dt f t dtπππ=+⎰⎰2[()si)n(]ff t dt t dttππππ-+=+⎰⎰……6分22(2)2f t dtππππ=--+⎰202()2x t f x dxπππ=--+⎰令……8分22π=-. ……9分数 学（试卷四）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分)(1) 设sin xyz e =，则)(cos sin xdy ydx xy e dz xy +=.(2) 设曲线3()f x x ax =+与c bx x g +=2)(都通过点(1,0)-，且在点(1,0)-有公共切线，则a = -1 ，b = -1 ，c = 1 . (3) 设x xe x f =)(，则)()(x fn 在点x =(1)n -+处取极小值)1(+--n e .(4) 设A 和B 为可逆矩阵，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00B A X 为分块矩阵，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---00111AB X . (5) 设随机变量X 的分布函数为=≤=)x X (P )x (F 33111118.04.00≥<≤<≤--<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧x x x x 若若若若. 则X 的概率分布为 1130.40.40.2-⎛⎫⎪⎝⎭二、选择题：(本题满分15分，每小题3分)(1) 下列各式中正确的是 （A ）(A) 1)11(lim 0=++→x x x (B) e xxx =++→)11(lim 0(C) e x x x =-∞→)11(lim (D) e xxx =+-∞→)11(lim(2) 设n a n 10<≤ (n=1,2,… )，则下列级数中肯定收敛的是 （D ）(A)∑∞=1n na(B)∑∞=-1)1(n n na (C)∑∞=1n n a (D)∑∞=-12)1(n n na(3) 设A 为n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征根，则A 的伴随矩阵A*的特征根之一是 (B)(A)n A 1-λ (B) A 1-λ (C) A λ (D) nA λ(4) A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论正确的是 (D)(A) A 与B 不相容 (B) A 与B 相容(C) P (AB )=P (A )P (B ) (D) P (A -B )=P (A)(5) 对于任意两个随机变量X 和Y ，若E (X Y )= E X E Y ，则 (B )(A) D (X Y )=D X D Y (B ) D (X +Y )=D X +D Y (C) X 和Y 独立 (D ) X 和Y 不独立 三、(本题满分5分)求极限120lim()x x nx x x e e e n→+++ 其中n 是给定的自然数.解：原式201limexp{ln()}x x nx x e e e x n →+++= 20ln(ln )exp{lim }x x nx x e e e n x→+++-= .……1分其中大括号内的极限是0型未定式，因此由罗比塔法则，有22200ln()ln 2lim lim x x nx x x nxx xnx x x e e e n e e ne x e e e→→+++-+++=+++ ……2分 12n n +++= 12n +=. ……4分 于是12n e+=原式. ……5分四、(本题满分5分) 计算二重积分D I ydxdy =⎰⎰，其中D 是由x 轴，y 轴与曲1=+by a x 所围成的区域；0,0a b >>.解：积分区域D 如图中阴影部分所示.1yb =，得21x y b a ⎛= ⎝. 因此()10xab a I dx ydy -=⎰⎰……2分240(1)2ab x dx a =⎰. ……3分令1t x a =()21x a t =-，2(1)dx a t dt =--.则12450()I ab t t dt =-⎰1562205630t t ab ab ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.……5分五、(本题满分5分) 求微分方程22y x dxdyxy+=满足条件2x ey e ==的特解.解：原方程可以化为2221y dy x y x y dx xyx⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==，可见是齐次微分方程. ……1分设,dy duy ux u x dx dx==+有，将其代入上式，得21du u u xdx u ++=， ……2分 即1du x dx u =，du dx u dx x =,21ln ||2u x C =+.……3分 将yu x=代入上式，得通解222(ln ||)y x x C =+，……4分 由条件|2,x e y e ==求得1C =，于是，所求特解为222(ln ||1)y x x =+.……5分六、(本题满分6分)假设曲线)10(1:21≤≤-=x x y L 、x 轴和y 轴所围区域被曲线22:ax y L =分为面积相等的两部分，其a 是大于零的常数，试确定的a 值.解：由21(01)y x x =-≤≤与2y ax =联立，可解得故曲线12L L 与的交点P 的坐标为()11a a++. ……1分 于是11122311001)][(1)]331aa S x ax dy x a x a++=--=-+=+……3分 12112022(1)3S S S x dx =+=-=⎰，……4分 从而113S =.1331a =+，……5分 因此于是3a =.……6分七、(本题满分8分)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为1P 和2P ，销量分别为1q 和2q ，需求函数分别为112.024P q -=和2205.010P q -=，总成本函数为)(403521q q c ++=， 试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大总利润为多少?解：总收入函数为2211221122240.2100.05R p q p q p p p p =+=-+- ……2分 总利润函数为112212()[3540()]L R C p q p q q q =-=+-++221122320.2120.051395p p p p =-+--……4分由极值的必要条件，得方程组1122320.40120.10Lp p L p p ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩， 其解为1280,120p p ==.……6分 由问题的实际意义可知，当1280,120p p ==时，厂家所获得的总利润最大， 其最大利润为1280,120605p pL ===.……8分八、(本题满分6分)试证明函数1()(1)x f x x=+ 在区间),0(+∞内单调增加.证：由1()exp{ln(1)}f x x x =+，有111()(1)[ln(1)]1x f x x xx '=++-+.……2分 记11()ln(1)1g x x x=+-+，对于任意(0,)x ∈+∞，有21()0(1)g x x x '=-<+，故函数()g x 在(0,)+∞上单调减少. ……3分由于11lim[ln(1)]01x x x→+∞+-=+，……4分 可见对任意(0,)x ∈+∞，有11()ln(1)01g x x x=+->+，……5分 从而，()0f x '>，(0,)x ∈+∞.于是，函数()f x 在(0,)+∞上单调增加. ……6分九、(本题满分7分)设1111λα+⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2111αλ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3111αλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20λλβ， 问λ取何值时，（1）β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一？ （2）β可由123,,ααα线性表示，但表达式不唯一？ （3）β不能由123,,ααα线性表示？解：设112233x x x αααβ++=，得线性方程组12231110111111x x x λλλλλ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其系数行列式2111||111(3)111λλλλλ+=+=++A .……3分（1）若03λλ≠≠-且，则方程组有唯一解，β可由3,21,a a a 唯一地线性表示. ……4分（2）若0λ=，则方程组有无穷多个解，β可由3,21,a a a 线性表示，但表达式不唯一.……5分（3）若3λ=-，则方程组的增广矩阵211003318000612130331203312112911291129⎛-⎫⎛-⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，可见方程组的系数矩阵A 与增广矩阵A 不等秩，故方程组无解，从而β不能由3,21,a a a 线性表示. ……7分十、(本题满分6分)考虑二次型32312123222142244x x x x x x x x x f +-+++=λ，问λ取何值时，为正定二次型？解：二次型f 的矩阵为1142124λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，……2分由于二次型f 正定的充分必要条件是：A 的顺序主子式全为正. 而A 的顺序主子式为：110D =>，22144D λλλ==-，2311424484(1)(2)124D λλλλλλ-==--+=--+-， ……4分于是，二次型f 正定的充分必要条件是：230,0D D >>，由2240D λ=->，可见22λ-<<；由34(1)(2)0D λλ=--+>，可见21λ-<<. 于是，二次型f 正定，当且仅当21λ-<<.……6分十一、(本题满分6分)试证明n 维列向量组12,,,n ααα 线性无关的充分必要条件是D =1112121222120T T T nT T T n T T T n n n nαααααααααααααααααα≠其中T i α表示列向量i α的转置，1,2,,i n = .解：记n 阶矩阵12(,,,)n A ααα= ，则12,,,n ααα 线性无关的充分必要条件是||0≠A ，……2分由于1212(,,,)T T Tn T n A A αααααα⎛⎫ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111212122212T T T n T T Tn T T Tn n n n αααααααααααααααααα⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭……4分故有2||||||||T T A A A A A D =⋅==，因此，||0A ≠与0D ≠等价. 于是0D ≠是12,,,n ααα 线性无关的充分必要条件.……6分十二、(本题满分6分)【 同数学五 第十三、(1) 题 】 十三、(本题满分6分)假设随机变量X 和Y 在圆域 222r y x ≤+上服从联合均匀分布， (1) 求X 和Y 的相关系数ρ； (2) 问X 和Y 是否独立？解：(1) 因X 和Y 的联合密度为22222221,(,)0,x y r x y r p x y r π+≤⎧+>⎪=⎨⎪⎩若若， ……1分故X 的密度为22222212212()(||)r x r xp x r x x r r rππ---==-≤，同理，Y 的密度为22222()(||)p y r y y r r π-≤ ……2分于是 22220rrr EX r x x dx π--==⎰，22220rrr EY r x y dy π--==⎰，……3分 2222cov(,)0x y r xyX Y EXY dxdy r π+≤==-=⎰⎰， ……4分 因此X 和Y 的相关系数0ρ=.……5分 (2) 由于12(,)()()p x y p x p y ≠，故X 和Y 不独立. ……6分十四、(本题满分5分)设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--000),(1x x e x a x p x a 若若αλλλ，其中0>λ中是未知参数,0>a 是已知常数.试根据来自总体X 的简单随机样本12,,,n X X X ，求λ的最大似然估计 量λˆ. 解：似然函数为11211(,,,)()nn n aa n i ii i L x x x a ex xλλλ--===∑∏ ；， ……2分由对数似然方程，有1ln 0n ai i L n x λλ=∂=-=∂∑，……4分 由此可解得λ的最大似然估计量1=nai i nx λ=∑ . ……5分数 学（试卷五）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分) (1) 【 同数学四 第一、(1) 题 】 (2) 【 同数学四 第一、(2) 题 】 (3) 【 同数学四 第一、(3) 题 】(4) n 阶行列式00000000000000nab a b a a b ba1(1)nn n a b +=+-.(5) [91-5] 设A ，B 为随机事件，P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则6.0)(=B A P二、选择题：(本题满分15分，每小题3分) (1) 【 同数学四 第二、(1) 题 】(2) 设数列的通项为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=为偶数若为奇数若n nn n n n x n 12，则当∞→n ,n x 是 （D ）（A ）无穷大量 （B ）无穷小量 (C) 有界变量 （D ）无界变量(3) 设A 与B 为n 阶方阵，且AB ，则必有 (C)(A) 0A =或0B = (B) AB BA = (C) 0=A 或0=B (D) 0=+B A (4) 设A 是m ⨯n 矩阵，A x ＝0是非齐次线性方程组A x ＝b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是 (D) (A) 若Ax ＝0仅有零解，则A x ＝ b 有唯一解 (B) 若Ax ＝0有非零解，则Ax ＝b 有无穷多个解 (C) 若Ax ＝b 有无穷多个解，则Ax ＝0仅有零解 (D) 若Ax ＝b 有无穷多个解则Ax ＝0有非零解 (5) 【 同数学四 第二、(4) 题 】三、(本题满分5分) 求极限()xx xx 121lim +++∞→.解：原式1221lim (1)lim exp{ln(1)}exp{lim xx x x x x x x x →+∞→+∞→+∞=+=+=，其中大括号内的极限是∞∞型未定式. ……2分因此由罗比塔法则，有22221ln(1)1lim lim lim 011x x x x x x x x x→+∞++++===+++， ……4分 于是120lim (1)1x x x x e →+∞+==.……5分四、(本题满分5分) 求定积分dx x x I 211)12(++=⎰-.解：01221(1)(31)I x dx x dx -=+++⎰⎰……2分 0133101122(1)(31)393x x -=+++=. ……5分五、(本题满分5分)求不定积分arctgxdx x x I ⎰+=221 解：21(1)arctan arctan arctan arctan 1I xdx xdx xd x x=-=-+⎰⎰⎰ ……2分 221arctan (arctan )12x x x dx x x =--+⎛⎜⎠ ……4分 2211arctan ln(1)(arctan )22x x x x C =-+-+.……5分六、(本题满分5分)已知0)()(),()(≠'+'+=z g y z f x z yg z xf xy ，其中(,)z z x y =是x 和y 的函数. 求证：[]yz z f y x z z g x ∂∂-=∂∂-)()]([. 证：将()()xy xf z yg z =+两侧同时对x 求偏导数，得()()()z zy f z xf z yg z x x∂∂''=++∂∂， ……2分 于是，有()()()z y f z x xf z yg z ∂-=''∂+， ……3分 同样可得()()()z x g z y xf z yg z ∂-=''∂+. ……4分因此[()][()][()][()]()()z x g z y f z z x g z y f z x xf z yg z y∂--∂-==-''∂+∂. ……5分七、(本题满分6分)【 同数学四 第六题 】 八、(本题满分8分)【 同数学四 第七题 】 九、(本题满分6分)证明不等式 11ln(1)(0)1x xx><<+∞+＋.证：记11()ln(1),01f x x x x=+-<<+∞+，有21()0(1)f x x x '=-<+， ……2分 故函数()f x 在(0,)+∞上单独减少.……3分 由于11lim ()lim[ln(1)]01x x f x x x→+∞→+∞=+-=+，……5分 故对于任意0x <<+∞，()0f x >，即11ln(1)1x x+>+.……6分十、(本题满分5分)设n 矩阵A 和B 满足条件A ＋B ＝AB ，(1) 证明A -E 为可逆矩阵,其中E 是n 阶单位矩阵；(2) 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200012031B ,求矩阵A .解：由A ＋B ＝AB ，有AB -A -B +E =(A -E)(B -E)=E ， ……1分 由此可见A -E 为可逆矩阵.……2分 又由上式，知B -E 也为可逆矩阵，且1(-=+A E B -E)……3分 由于030200001B E -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，101/20()1/300001B E -⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎪⎝⎭， ……4分故1(-=+A E B -E)11/201/310002⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.……5分十一、(本题满分7分)【 同数学四 第九题 】十二、(本题满分4分) 已知向量Tk a )1,,1(=是矩阵A =211121112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵1-A 的特征向量，求常数k 的值.解：设λ是α所属的特征值，则1a a λ-=A ，a a λ=A .……2分即1211112111121k k λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由此得方程组(3)1(22)k k k λλ+=⎧⎨+=⎩，其解为112211,2,,14k k λλ==-==.于是当21k =-或时，α是1-A 的特征向量.……4分十三、(本题满分7分)一汽车沿一街道行驶，需要经过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与 其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等.以X 表示汽车首次遇到红 灯前已通过的路口的个数.（1）求X 的概率分布； （2）求XE +11. 解：（1）由条件知, X 的可能值为0,1,2,3.以(1,2,3)i A i =表示事件“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”；则123,,A A A 相互独立，且1()(),1,2,32i i P A P A i ===. ……2分于是11(0}()2P X P A ===，1221(1}()2P X P A A ===，12331(2}()2P X P A A A ===，12331(3}()2P X P A A A ===.……4分 （2）11111111671224384896EX =+⋅+⋅+⋅=+. ……7分十四、(本题满分6分)在电源电压不超过200伏、在200－240伏和超过240伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2，假设电源电压X 服从正态分布N (220，252 )，试求 ：(1) 该电子元件损坏的概率α；(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200－240伏的概率β.[附表] （表中)(x Φ是标准正态分布函数）x0.10 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 )(x Φ0.530 0.579 0.655 0.726 0.788 0.341 0.335 0.919解：引进下列事件：1A ＝｛电压不超过200伏｝，2A ＝｛电压在200－240伏｝，3A ＝｛电压超过240伏｝；B ＝｛电子元件损坏｝.因2~(220,25)X N ，故1220200220(){200}{}(0.8)0.2122525X P A P X P --=≤=≤=Φ-=，2(){200240}(0.8)(0.8)0.576P A P X =≤≤=Φ-Φ-=；3(){240}10.2120.5760.212P A P X =>=--=.……3分 （1）由题设条件知123(|)0.1,(|)0.001,(|)0.2P B A P B A P B A ===. 于是，由全概率公式，有31()()(|)0.0642iii a P B P A P B A ====∑，……5分 （2）由贝叶斯公式，得222()(|)(|)0.009()P A P B A P A B P B β==≈.……7分。
1990-2016考研数学二历年真题
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.（1）设，，.当时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是（A）.（B）.（C）.（D）.（2）已知函数则的一个原函数是（A）（B）（C）（D）（3）反常积分，的敛散性为（A）收敛，收敛.（B）收敛，发散.（C）收敛，收敛.（D）收敛，发散.（4）设函数在内连续，求导函数的图形如图所示，则（A）函数有2个极值点，曲线有2个拐点.（B）函数有2个极值点，曲线有3个拐点.（C）函数有3个极值点，曲线有1个拐点.（D）函数有3个极值点，曲线有2个拐点.（5）设函数具有二阶连续导数，且，若两条曲线在点处具有公切线，且在该点处曲线的曲率大于曲线的曲率，则在的某个领域内，有（A）（B）（C）（D）（6）已知函数，则（A）（B）（C）（D）（7）设，是可逆矩阵，且与相似，则下列结论错误的是（A）与相似（B）与相似（C）与相似（D）与相似（8）设二次型的正、负惯性指数分别为1,2，则（A）（B）（C）（D）与二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。
（9）曲线的斜渐近线方程为____________.（10）极限____________.（11）以和为特解的一阶非齐次线性微分方程为____________.（12）已知函数在上连续，且，则当时，____________.（13）已知动点在曲线上运动，记坐标原点与点间的距离为.若点的横坐标时间的变化率为常数，则当点运动到点时，对时间的变化率是（14）设矩阵与等价，则解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）（16）（本题满分10分）设函数，求并求的最小值.（17）（本题满分10分）已知函数由方程确定，求的极值.（18）（本题满分10分）设是由直线，，围成的有界区域，计算二重积分（19）（本题满分10分）已知，是二阶微分方程的解，若，，求，并写出该微分方程的通解。
1991年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案
F
l
2 l
2
(a
km l
x)2
dx
；
2
若以 l 的左端点为原点,则质点的坐标为 (a l, 0) ,故 F
l 0
(a
km l x)2
dx
.
故(B)、(C)、(D)均不正确,应选(A).
三、(每小题 5 分,满分 25 分.) (1)【解析】这是个函数的参数方程,
域内有 f (x0 ) f (x0 x) ；
函数 y f (x) 与函数 y f (x) 关于原点对称,所以必有 f (x0 ) f (x0 x) ,即
在 x0 的某个领域内 f (x0 ) 为极小值,故(B)是正确的.
(4)【答案】(D)
【解析】函数的定义域为 x 0 ,所以函数的间断点为 x 0 ,
(5)【答案】(A)
【解析】如图建立坐标系,则 x x dx 中, dx 长度的细杆的质量为 dx ,与质点的距离
为 a
x
,故两点间的引力为 dF
km dx (a x)2
,积分得 F
0 l
km (a x)2
dx
,故选(A).
同理应用微元法可知,若以 l 的中点为原点,则质点的坐标为 (a l , 0) ,故 2
(1) 若曲线 y x2 ax b 和 2 y 1 xy3 在点 (1, 1) 处相切,其中 a,b 是常数,则 ( )
(A) a 0,b 2
(B) a 1,b 3
(C) a 3,b 1
(D) a 1,b 1
(2)
设函数
f (x)
1991年全国考研数学一真题汇编
八、(本题满分 6 分)
设 A 为 n 阶正定阵, E 是 n 阶单位阵,证明 A E 的行列式大于 1.
九、(本题满分 8 分)
在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点 P(x, y) 处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 长度的倒数( Q 是法线与 x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与 x 轴平行.
乘 A1 再右乘 A 有 ABC E BC A1 BCA E ,故应选(D).
其实,对于 ABC E 先右乘 C 1 再左乘 C ,有 ABC E AB C 1 CAB E .
三、(本题满分 15 分,每小题 5 分.)
(1)【解析】这是1 型未定式求极限.
1 (cos x 1)
,得
f
(0)
Ce0
ln
2
,得
0
C ln 2 ,即 f (x) e2x ln 2 .
(3)【答案】(C)
【解析】因为
(1)n1an a1 a2 a3 a4 a2n 1 a2n
n1
(a1 a2 ) (a3 a4 ) (a2 n1 a2 n)
(a2n1 a2n ) a2n1 a2n (收敛级数的结合律与线性性质),
1d
A
c
b a
1 ad bc
d
c
b
a
.
再利用分块矩阵求逆的法则：
A 0
0 B
1
A1 0
0 B 1
,易见
1 2 0 0
2
5
0
0
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2x)
1 4
x2
1 4
x
sin
2x
1 4
sin
2xdx
1 x2 1 x sin 2x 1 cos 2x C .
44
8
(5)【解析】所给方程是一阶线性方程,其标准形式为 y 1 y ex .通解为 x
y
e
1 dx x
(
exe
1 dx
x dx
C)
1
(
xexdx C)
x
1 ( xdex C) 1 (xex exdx C) 1 (xex ex C) .
2
/2
2
22
2
(5)【答案】 1
【解析】这是一个
型未定式,分子分母同乘以
1
ex
,得
1
1
1 ex
lim
x0
1
lim x0
e x 1
1
.
x ex
xe x 1
为简化计算,令 t 1 ,则 x 1 ,原式可化为
x
t
lim
x0
1
e x 1
1
xe x 1
lim
t
et 1 et 1
0 1 0 1
2
秒到 t2
秒内质点所经
过的路程等于＿＿＿＿＿＿米.
1
(5)
1 ex
lim
x0
1
＿＿＿＿＿＿.
x ex
二、选择题(每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把 所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 若曲线 y x2 ax b 和 2 y 1 xy3 在点 (1, 1) 处相切,其中 a,b 是常数,则 ( )
1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)
(1) 设 y ln(1 3x ) ,则 dy ＿＿＿＿＿＿.
(2) 曲线 y ex2 的上凸区间是＿＿＿＿＿＿.
(3)
1
ln x x2
dx
＿＿＿＿＿＿.
(4) 质点以速度 t sin(t2 ) 米每秒作直线运动,则从时刻 t1
当 0 x 1时, f (x) x2 ,所以 F (x)
x
f (t)dt
0
x t 2dt
0
1 3
x
t
3
0
1 3
x3
.
当1 x 2 时, f (x) 2 x , 所以
F(x)
x
f (t)dt
1
t
2dt
x
(2 t)dt
0
0
1
1 3
t
3
1
0
2t
1 2
t
2
x
1
1 3
(A) a 0,b 2
(B) a 1,b 3
(C) a 3,b 1
(D) a 1,b 1
(2)
设函数
f (x)
x2, 0 x 1, 记 F (x)
x
f (t)dt, 0 x 2 ,则
2 x,1 x 2,
0
()
(A)
F
(x)
1 3
x3 3
2x
,
x2 3
0 ,1
1.
t
二、选择题(每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】(D)
【解析】两函数在某点处相切,则在该点处的切线的斜率相等,即在该点处的导数相等,
对两函数分别对 x 求导,得
y 2x a ,则该曲线在点 (1, 1) 处的导数为 y 2 a , x1
2 y
y3
3xy2 y ,即
y
y3 2 3xy2
1 dx
d dt
(sin t t cost ) cos t t sin t cos t
1 t sin t
dt
(2 cos t
t
sin
t)(cos t
t sin t) (2sin t (cos t t sin t)2
t
cos t)(sin
t
t
cos t)
cos t
1 t
sin
t
2(cos2 t sin2 t) t2 (sin2 t cos2 t) 3t sin t cos t 3t sin t cos t
域内有 f (x0 ) f (x0 x) ；
函数 y f (x) 与函数 y f (x) 关于原点对称,所以必有 f (x0 ) f (x0 x) ,即
在 x0 的某个领域内 f (x0 ) 为极小值,故(B)是正确的.
(4)【答案】(D)
【解析】函数的定义域为 x 0 ,所以函数的间断点为 x 0 ,
f
(x)
,则
x x0 是函数的一条铅直渐近线；
水平渐近线：当 lim f (x) a, (a为常数）,则 y a 为函数的水平渐近线. x
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(5)【答案】(A)
【解析】如图建立坐标系,则 x x dx 中, dx 长度的细杆的质量为 dx ,与质点的距离
x)
2 1
t2
1 (1
t)
2tdt
2
2 (1 1 )dt 1 t 1t
2 ln
t
t 2 11
2(ln
2 3
ln
1) 2
2 ln
4 3
.
(3)【解析】利用等价无穷小和洛必达法则.
当 x 0 时,有 sin x x, ex 1 x ,所以
lim
x0
x sin x x2 (ex 1)
lim x0
四、(本题满分 9 分)
利用导数证明：当 x 1 时,有不等式 ln(1 x) x 成立. ln x 1 x
五、(本题满分 9 分)
求微分方程 y y x cos x 的通解.
六、(本题满分 9 分)
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曲线 y (x 1)(x 2) 和 x 轴围成一平面图形,求此平面图形绕 y 轴旋转一周所成的旋
x x
1 2
(B)
F ( x)
7 6
x3 , 3 2x
x2 2
0 ,1
x x
1 2
(C)
F ( x)
x
2
3
x3 , 3 2x
x2 2
0 ,1
x x
1 2
(D)
F
(x)
x3 3
2x
,
x2 2
0 x 1 ,1 x 2
(3) 设函数 f (x) 在 (, ) 内有定义, x0 0 是函数 f (x) 的极大点,则
转体的体积. 七、(本题满分 9 分)
如图, A 和 D 分别是曲线 y ex 和 y e2x 上的点, AB 和 DC 均垂直 x 轴,且 AB : DC 2 :1 , AB 1,求点 B 和 C 的横坐标,使梯形 ABCD 的面积最大.
八、(本题满分 9 分)
设函数 f (x) 在 (, ) 内满足 f (x) f (x ) sin x ,且 f (x) x, x [0, ) ,
l 0
(a
km l x)2
dx
.
故(B)、(C)、(D)均不正确,应选(A).
三、(每小题 5 分,满分 25 分.) (1)【解析】这是个函数的参数方程,
dy dy / dt sin t t cos t , dx dx / dt cos t t sin t
d2y dx2
d dt
(dy ) dx
(cos t t sin t)3
2 t2 (cos t t sin
t)3
.
【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：
如果
x y
(t ) (t )
,则
dy (t) . dx (t)
(2)【解析】用换元法求定积分.
令 t x ,则 x t2, dx 2tdt ,则
4 dx
1 x(1
f (x) x 1 的驻点,所以(A)不正确；
注意到极值的局部性,即极值不是最值,所以(D)也不正确；
对于 f (x) | x 1|,在 x0 1处取极大值,但 x0 1 并非是 f (x) | x 1| 的极小
值点,所以(C)也不成立；故选(B).
方法二：证明(B)是正确的,因为 x0 0 ,不妨设 x0 0 ,则 f (x0 ) 为极大值,则在 x0 的某个领
()
(A) x0 必是 f (x) 的驻点
(B) x0 必是 f (x) 的极小点
(C) x0 必是 f (x) 的极小点
(D) 对一切 x 都有 f (x) f (x0 )
(4)
曲线
y
1 1
e x2 e x2
(A) 没有渐近线 (C) 仅有) 既有水平渐近线又有铅直渐近线
(2x
1 2
x2)
(2
1) 2
7 2x 1 x2.
6
2
x3
所以
F ( x)
3 , 0
7 6
x 1 2x x2
2
,1
x
2
,应选(B).
(3)【答案】(B) 【解析】方法一：用排除法.
由于不可导点也可取极值,如 f (x) x 1 ,在 x0 1 处取极大值,但是 x0 1 不是
dy
1 1 3x
3x
ln
3 (1)dx
ln 3 3x 1
dx
.
(2)【答案】 ( 1 , 1 ) 22