M02初等模型量纲分析和无量纲化

m=6, n=3
第二章 初等模型
f (q1 , q2 , L, qm ) = 0
rank A = r Ay=0 有m-r个基本解
ys = (ys1, ys2, …,ysm s = 1,2,…, m-r )T
ϕ ( g , l , ρ , v, s, f ) = 0
rank A = 3 Ay=0 有m-r=3个基本解
l 模型 t = λ g
t′ l′ = t l
l′ 4 t′ 2 = , = . l 1 t 1
原型
t ′ = λ′
l′ g′
结论： 利用模型估计原型的某些量。
第二章
初等模型
14
2.5.2 量纲分析在物理模拟中的应用
问题： 航船的船体尺寸l, 浸没面积 s以速度v航行, 海 水密度ρ, 重力加速度g，下面用量纲分析航船 阻力 f和这些物理量之间的关系。 目的： 1. 怎么构造模型？ 2. 怎么估计原型中的量？
− 1 2 − 1 2
17
F(π1, π2 ,π3 ) = 0与 ϕ(g,l,ρ,v,s,f) = 0 等价 F(π 1, π2,…, πm-r ) = 0 与 f (q1, q2, …, qm) =0 等价
π s = ∏qj
j =1
m
ysj
为得到阻力 f 的显式表达式
⎧π = g l v ⎪ 1 ⎪ −2 ⎨π 2 = l s ⎪π = g −1l − 3 ρ −1 f ⎪ 3 ⎩ π 3 = ψ (π1,π 2 ) F=0
− 1 2 − 1 2
π 3 = ψ (π1,π 2 )
f = l gρψ(π1,π2 ),
3
3
v s π1 = , π2 = 2 l gl
ψ 未定
s f = l g ρψ (Fr, 2 ) l
第二章 初等模型
19
通过航船模型确定原型船所受阻力 已知模 型船所 π = v , π = s 1 2 l2 受阻力 gl
第二章 初等模型
不需要特定的专业知识 函数F和无量纲量未定
23
2.5.3 无量纲化
例：火箭发射
星球表面竖直发射。初速v, 星球半 径r, 表面重力加速度g. 研究火箭高度 x 随时间 t 的变化规律。 m1
x v g 0 m2 r
1. 建立模型
t=0 时 x=0, 火箭质量m1, 星球质量m2 牛顿第二定律，万有引力定律
第二章 初等模型
7
2.5
量纲分析与无量纲化
量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中建立数 学模型的一种方法，它在经验和实验的基础上利用物 理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。
量纲齐次原则
等式两端的量纲一致
例，用实验方法研究飞机的外部流动时，很难设想为此而建立 能容纳全尺寸飞机的大风洞，因为仅驱动风洞气流所需的能量就大的惊 人。所以合理的解决办法就是缩小试件尺寸，做模型实验。因此引起的 问题是应怎样设计和安排实验才能保证模型实验能真实地反映全尺寸飞 机的飞行情况呢？
⎡1 A= ⎢ 0 ⎢ ⎢− 2 ⎣ (g) 1 −3 1 2 1 (L) ⎤ 0 1 0 0 1 (M)⎥ ⎥ 0 0 −1 0 − 2 (T) ⎥ ⎦ (l) (ρ) (v) (s) ( f )
16
[q j ] = ∏ X i ,
aij i =1
n
j = 1,2,L, m
A = { a ij } n × m
动力学中 基本量纲 L, M, T 导出量纲
对无量纲量α，[α]=1(=L0M0T0)
第二章 初等模型
m1m2 f =k 2 r
9
量纲齐次原则
例：单摆运动
等式两端的量纲一致
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系 求摆动周期 t 的表达式
设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
t = λm l g
− 1 2 − 1 2
f = l gρψ(π1,π2 ),
3
v s π1 = , π2 = 2 l gl
ψ 未定
18
第二章
初等模型
F(π1, π2 ,π3 ) = 0与 ϕ(g,l,ρ,v,s,f) = 0 等价
为得到阻力 f 的显式表达式 F=0 Fr
⎧π = g l v ⎪ 1 ⎪ −2 ⎨π 2 = l s ⎪π = g −1l − 3 ρ −1 f ⎪ 3 ⎩
第二章
初等模型
15
2.5.2 量纲分析在物理模拟中的应用
航船阻力 f 航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s, 海水密度ρ, 重力加速度g。
f (q1 , q2 , L, qm ) = 0
ϕ ( g , l , ρ , v, s, f ) = 0
[g] = LT-2, [l] = L, [ρ] = L-3M, [v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = LMT-2
α1 α 2
α1 α2
1
α3
(1)
l m
α1, α2, α3 为待定系数，λ为无量纲量
(1)的量纲表达式
[t ] = [ m ] [l ] [ g ] −2α α α +α T =M L T
α3
3 2
3
mg 对比
⎧α1 = 0 ⎪ ⎨α 2 + α3 = 0 ⎪− 2α = 1 ⎩ 3
第二章 初等模型
xc = r, tc = r / v
x, t
利用新变量 x , t , x = x ( t ; r , v , g ) 将被简化
[q j ] = ∏ X i ,
aij i =1
n
j = 1,2,L, m
量纲矩阵记作 线性齐次方程组
A = { a ij } n × m ,
若 rank A = r
Ay = 0 有 m-r 个基本解，记作
ysj
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r 则
π s = ∏q j
y1~y4 为待定常数, π为无量纲量
⎡0 A= ⎢ 0 ⎢ ⎢1 ⎣ (t) 0 1 1 1 0 0 0 0 −2 (m) (l) (g) (L) ⎤ (M)⎥ ⎥ (T) ⎥ ⎦
⎧[t ] = L M T ⎪ [ m ] = L0 M 1T 0 ⎪ ⎨ 1 0 0 ⎪[l ] = L M T ⎪[ g ] = L1 M 0T −2 ⎩
⎧α1 = 0 ⎪ ⎨α 2 = 1/ 2 ⎪α = −1/ 2 ⎩ 3
l t =λ g
l t = 2π g
10
单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式
f (t , m , l , g ) = 0
t m l g =π
y1 y2 y3 y4
y1~y4 为待定常数, π为无量纲量
⎧[t ] = L M T ⎪ [ m ] = L0 M 1T 0 ⎪ ⎨ 1 0 0 ⎪[l ] = L M T ⎪[ g ] = L1 M 0T −2 ⎩
2. 用无量纲化方法减少独立参数个数
变量 x,t 和独立参数 r,v,g 的量纲 [x]=L, [t]=T, [r]=L, [v]=LT-1, [g]=LT-2 用参数r,v,g的组合,分别 构造与x,t具有相同量纲 的xc, tc （特征尺度） 如 令
x t x = ,t = xc tc
—无量纲变量
第二章
基本解
= ( y1, y2 , y3 , y4 ) = (2, 0, −1, 1)T
T
t l g = π F (π ) = 0
2 −1
(t = λ l / g )
11
初等模型
Pi定理 (Buckingham)
设 f(q1, q2, …, qm) = 0
是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, … , Xn 是基本量 纲, n≤m, q1, q2, … , qm 的量纲可表为
0 0 1
(L M T ) (L M T ) (L M T ) (L M T ) = L M T
1 0 −2 y4 0 0 0
0
0
1
y1
0
1
0
y2
1
0
0
y3
L
y
y3 + y4
M T
y2
y1 −2 y4
=LM T
0 0
0
⎧ y3 + y 4 = 0 ⎪ ⎨ y2 = 0 ⎪y − 2y = 0 4 ⎩ 1
第二章 初等模型
2.1 公平的席位分配 2.2 双层玻璃窗的功效 2.3 雨中行走问题 2.4 Durer 魔方 2.5 植物基因的分布 2.6 量纲分析与无量纲化
应用： 1：减少物理量； 2：舍弃次要因素，减少独立参数的个数； 3：物理模拟中的比例模型
第二章
初等模型
2
第二章
初等模型
3
第二章
初等模型
m1 m 2 m1 && = − k x 2 ( x + r ) km = r 2 g 2 && = − g ( x = 0) x
第二章 初等模型
r g && = − x 2 (x + r) & x (0) = 0, x (0) = v
24
2
x = x ( t ; r , v , g ) ——3个独立参数
~原型船的参数 (f1未知，其他已知)
第二章
初等模型
20
f = l gρψ (π1,π 2 )
3
′ ′ f1 = l13 g1ρ1ψ (π1,π 2 ) v1 s1 ′ π1′ = , π2 = 2 l1 g1l1
v s π1 = , π2 = 2 l gl
g = g1
3 1 3
π 1 = π 1′,
μ 分析：ϕ ( f , d , ρ , v , μ ) = 0 π1 = 2 2 , π 2 = d ρv d ρv f 1 d ρv = CD = π1 = 2 2 , Re = , π2 μ d ρv
f
CD = f ( Re).
第二章
初等模型
22
量纲分析法的评注
• 物理量的选取 ϕ (…) = 0中包括哪些物理量是至关重要的 • 基本量纲的选取 基本量纲个数n; 选哪些基本量纲 • 基本解的构造 有目的地构造 Ay=0 的基本解 • 方法的普适性 • 结果的局限性
m-r 个无量纲量
⎧ y1 = ( −1/ 2,−1/ 2,0, 1, 0, 0) ⎪ T ⎨ y2 = ( 0, − 2, 0, 0, 1, 0) ⎪ y = ( −1, − 3, −1, 0, 0, 1)T ⎩ 3
T
πs = ∏qj
j=1
m
ysj
第二章
初等模型
⎧π = g l v ⎪ 1 ⎪ π 2 = l −2 s ⎨ ⎪π = g −1l −3 ρ −1 f ⎪ 3 ⎩
j =1
m
为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
F(π 1, π2,…, πm-r ) = 0 与 f (q1, q2, …, qm) =0 等价, F未 定。
第二章 初等模型
12
单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式
f (t , m , l , g ) = 0
t m l g =π
y1 y2 y3 y4
v1 2 l1 ( ) = v l
′ π2 =π2
s1 l1 2 = ( ) s l
f1 l ρ1 = f l ρ
( ρ = ρ1 )
按一定尺寸比例造模型船， 量测 f，可算出 f1 ~ 物理模拟
第二章 初等模型
f1 l1 3 = ( ) f l
21
问题： 球体的阻力f 与直径d，自由流速度v, 密度ρ, 粘性系数 μ有关，下面用量纲分析球体的阻力 和这些物理量之 间的关系。
0 0 1
⎧ y3 + y 4 = 0 ⎪ ⎨ y2 = 0 ⎪y − 2y = 0 4 ⎩ 1
第二章
基本解
y
T
= ( y1, y2 , y3 , y4 ) = (2, 0, −1, 1)T
t l g = π F (π ) = 0
2 −1
(t = λ l / g )
13
初等模型
2.5.2 量纲分析在物理模拟中的应用
4
第二章
初等模型
5
第二章
初等模型
6
应用： 1：减少物理量； 2：舍弃次要因素，减少独立参数的个数； 3：物理模拟中的比例模型
例，用实验方法研究飞机的外部流动时，很难设想 为此而建立能容纳全尺寸飞机的大风洞，因为仅驱动风洞 气流所需的能量就大的惊人。所以合理的解决办法就是缩 小试件尺寸，做模型实验。因此引起的问题是应怎样设计 和安排实验才能保证模型实验能真实地反映全尺寸飞机的 飞行情况呢？
第二章
初等模型
8
2.5 量纲分析与无量纲化
2.5.1 量纲齐次原则 物 理 量 的 量 纲
长度 l 的量纲记 L=[l] 质量 m的量纲记 M=[m] 时间 t 的量纲记 T=[t] 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=LMT-2 引力常数 k 的量纲 [k] =[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2
f = l gρψ (π1,π 2 )
3
可得原 型船所 π ′ = v1 , π ′ = s1 1 2 2 受阻力 l1 g1l1
′ ′ f1 = l13g1ρ1ψ (π1,π 2 )
ห้องสมุดไป่ตู้
f , s,l,v, ρ , g
~模型船的参数(均已知) 注意：二者的ψ相同
f 1 , s 1 , l1 , v 1 , ρ 1 , g 1