24.1.4圆周角 公开课获奖课件

复习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？ 顶点在圆心的角叫圆心角。
能仿照圆心角的定义，给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角 叫做圆周角．
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P
P
P
P 不是
顶点不在 圆上。
是
顶点在圆上，两 边和圆相交。
∠A=21°
3. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D 为半圆上的两点，∠COD=50°，则
∠CAD=__5_0_°__；
4、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)°
和(5x-30)°，则x=_20°_；
拓展练习
如图,点P是⊙O外一点,点A、B、Q是⊙O上的点。 （1）求证∠P＜ ∠AQB （2）如果点P在⊙O内， ∠P与∠AQB有怎样的关系？为什么？
C
6
A
O
B
P 10
D
练习:如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若 ∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
D
A
O 40° B
C
5.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？
与同学交流一下．
方法三
方法一
A
B
C
O
方法二
O
方法四
A D
·
O
B
例2 在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN 进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图2)．此时甲是 自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外 迫强敌 ，内失 人和。 魏师至 ，方征 兵四方 ，未至 而城见 克。在 幽逼求 酒，饮 之，制 诗四绝 。后为 梁王詧 所害。 】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿 里，终 非封禅 时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼 蚁，一 旦损鲲 鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载 后，谁 畏轩辕 台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树 杏，空 得动耕 人。
D、120°
4、如图，△ABC的顶点A、B、C 都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 则⊙O的半径是 2 。
解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2。
A
ED O
B
C
C
O
A B
3.已知⊙O中弦AB的等于半径， 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
A B
C D
相等的圆周角所对的弧相等.
⌒⌒
如图, 若 AC = BD 则 ∠ D=∠A
∴AB∥CD
探究与思考：
问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问：
∠C1、∠C2、∠C3的度数是 90° 。
C1 C2
A
O
C3 B
问题2： 若∠C1、∠C2、∠C3是直角，那么 ∠AOB是 180°。
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直90°
不是
两边不和圆相 交。
不是
有一边和圆不相 交。
A
⌒ ⌒
O
B
C
有没有圆周角？ 有没有圆心角？
它们有什么共同的特点？ 它们都对着同一条弧
画一个圆,再任意画一个圆周角,看一下圆心在什么位置?
圆心在一边上
圆心在角内
圆心在角外
• 如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?
A C
●O
C
A
B
P
练一练
3、如图，∠A=50°， ∠AOC=60 ° BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ B ） A、70°； B、110°； C、90°；
B
D、120°
A ED
O
C
3、如图，∠A=50°， ∠AOC=60 °
BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ B ）
A、70°；
B、110°；
C、90°；
第24章
24.1圆、、垂径定理、圆心角、圆周角（1） 24.1.4 圆周角
人教版·九年级上册
学习目标：
• 1.理解圆周角定义，了解圆周角与圆心角的关系，会在具体情景中 辨别圆周角。
• 2.掌握圆周角定理及推论，并会运用这些知识进行简单的计算和证 明。
• 3.经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动过程，体 验圆周角定理的探究过程，培养合情推理能力、逻辑思维能力、推 理论证能力和用几何语言表达的能力。
解 考虑过M、N以及A、B中的任一点作一 圆，这里不妨作出⊙BMN，显然，A点在 ⊙BMN外，设MA交圆于C，则 ∠MAN＜∠MCN，而∠MCN=∠MBN， 所以∠MAN＜∠MBN． 因此，甲应将球回传给乙，让乙射门.
如图所示，已知⊿ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是⊿ABC的高， AE是⊙O的直径. 求证：∠BAE＝∠CAD
（2）△ABC是锐角三角形。 由（1）知，∠B=∠C＜90 ° 连接BF，则∠AFB=90 °，∴∠A＜90 ° ∴△ABC是锐角三角形
A
O· F
B
D
C
1.AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使 如果∠ADB=35° ，
AD=AB，
求∠BOC的度数。
∠BOC =140° 2、如图，在⊙O中， ⌒BC=2D⌒E， ∠BOC=84°， 求∠ A的度数。
A
O
D
B
C
探究
3、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使 DC=BD，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合。
（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？
（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理
由。
A
O· F
B
D
C
解：（1）AB=AC。 证明：连接AD ∵AB是直径，∴∠ADB=90°， 又∵DC=BD，∴AB=AC。
C2 C3
·O
B
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等
练习：
1.求圆中角X的度数
D C 120°
O.
C
O.
70° x
X
B
A
B
A
O
A
B
C
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=__________。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对 弧一定相等吗？为什么？
C G
A B
O F
E
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相 等，它们所对的弧一定相等．
过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD
=
1∠AOD,∠CBD
2
=1 ∠COD,
2
∴ ∠ABC = 1∠AOC.
2
你能写出这个命题吗?
A C
●O B
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
巩固练习：
如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个 内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
• 蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》 郭璞的《游仙诗》 鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》 都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
A Qp
O B
作业：
• 1.课本p88页练习：1、2、3、4题。 • 2.课本p88页习题：5、6、14题。
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八 拍》 郭璞的《游仙诗》 鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》 都特别喜欢。不过都是组诗，太长了 ，就不 贴了orz 。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四 首：
D
A
1
2
87
3 4
B
6
5
C
在同圆或等圆中， 圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系 在同圆或等圆中，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
归纳：
定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这 条弧所对的圆心角的一半．
推论
半圆（或直径）所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径．
C1 A
∠ABD
=
1∠AOD,∠CBD
2
= 1∠COD,
2
∴ ∠ABC =
1 ∠AOC.
2
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
ADΒιβλιοθήκη C●OB第三种情况：如果圆心不在圆周角的一边上,结果
A
C
会怎样?
●O
3.当圆心O在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角
∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
B
提示:能否也转化为1的情况?
∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径,
1
∴∠ACB= ×180°= 90°.
2
∴ △ABC 为直角三角形.
C
A
·
B
O
课堂练习
• 1.如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，∠ACB
与∠BAC的大小有什么关系？为什么？
C O
B A
•2.如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，且 ∠BCD=100°，求∠BOD（ 所对的圆心角） 和∠BAD的大小。
分析 在真正的足球比赛中情况会很复杂，这里仅用数学方法从 两点的静止状态加以考虑，如果两个点到球门的距离相差不大 ，要确定较好的射门位置，关键看这两个点分别对球门MN的 张角大小，当张角较小时，则球容易被对方守门员拦截.怎样比 较A、B两点对MN张角的大小呢？