27315_高中数学必修2同步第十讲精品拓展
人教版高中数学必修第二册第十章 概率 章末复习提升课
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第十章 概率
13
主题 3 事件的相互独立性 (2020·高考天津卷)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12 和13 .假定
两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________； 甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．
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第十章 概率
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第十章 概率
24
甲分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
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第十章 概率
25
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率； (2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润 为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？ 【解】 (1)由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品 为 A 级品的概率的估计值为14000 ＝0.4； 乙分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率的估计值为12080 ＝0.28.
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第十章 概率
11
(2)设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则四位同学排成 一列，所有可能的结果用树状图表示为
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第十章 概率
12
共 24 种结果，其中两位女同学相邻的结果有 12 种，所以 P(两位女同学相邻) ＝2142 ＝12 ，故选 D.
2022届高中数学新教材同步必修第二册 第10章 章末复习课
章末复习课一、随机事件的概率1．通过具体实例，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．了解概率的意义及频率与概率的区别．2．掌握随机事件概率的应用，提升数学抽象和数学运算素养．例1 随机抽取一个年份，对某市今年4月份的天气情况进行统计，结果如下： 日期123456789101112131415天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨(1)在4月份任取一天，估计该市在该天不下雨的概率；(2)该市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．解 (1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，该市不下雨的概率为P ＝2630＝1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨，的频率为78以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.反思感悟(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．(2)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在实验前已经确定，与试验次数无关，可以用频率估计概率．跟踪训练1电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大(只需写出结论)?解(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50.＝0.025.故所求概率为502 000(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.故所求概率估计为1－372＝0.814.2 000(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．二、互斥事件、对立事件与相互独立事件1．互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．2．若事件A，B满足P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A，B相互独立，且当A与B相互独立时，A 与B，A与B，A与B也相互独立．3．掌握互斥事件和对立事件的概率公式、相互独立事件的判断方法及应用，提升逻辑推理和数学运算素养．例2一个射手进行射击，记事件E1：“脱靶”，E2：“中靶”，E3：“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是()A．E1与E2B．E1与E3C．E2与E3D．以上都不对答案 B解析事件E1与E2互斥且对立；E1与E3是互斥而不对立事件，E2与E3既不互斥也不对立．反思感悟事件间的关系的判断方法(1)判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系．(2)对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法．判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断．(3)判断两事件是否相互独立，有两种方法：①直接法；②看P(AB)与P(A)·P(B)是否相等，若相等，则A，B相互独立，否则不相互独立．跟踪训练2(1)若干个人站成一排，其中为互斥事件的是()A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾”D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”答案 A解析由互斥事件的定义可得，“甲站排头”与“乙站排头”为互斥事件．(2)有以下三个问题：①掷一枚骰子一次，事件M ：“出现的点数为奇数”，事件N ：“出现的点数为偶数”； ②袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸出2个球，事件M ：“第1次摸到白球”，事件N ：“第2次摸到白球”；③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M ：“第1枚正面”，事件N ：“2枚结果相同”． 其中，M ，N 是相互独立事件的有________(填序号)． 答案 ③解析 在①中，掷一枚骰子一次，事件M ：“出现的点数为奇数”，事件N ：“出现的点数为偶数”，事件M 发生与否和事件N 有关，故M 和N 不是相互独立事件；在②中，袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸出2个球，事件M ：“第1次摸到白球”，事件N ：“第2次摸到白球”，事件M 发生与否和事件N 有关，故M 和N 不是相互独立事件；在③中，分别抛掷2枚相同的硬币，事件M ：“第1枚正面”，事件N ：“2枚结果相同”，事件M 发生与否与事件N 无关，事件N 发生与否与事件M 无关，故M 和N 是相互独立事件． 三、古典概型1．古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其他概率模型的基础，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P (A )＝mn 时，关键在于正确理解试验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数n 和事件A 的样本点个数m . 2．掌握古典概型的概率公式及其应用，提升数学抽象、数据分析的数学素养．例3 袋中装有除颜色外其他均相同的6个球，其中4个白球、2个红球，从袋中任取两球，求下列事件的概率． (1)A ：取出的两球都是白球；(2)B ：取出的两球一个是白球，另一个是红球．解 设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个球中任取2个球，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共15个样本点，且每个样本点出现的可能性相同．(1)“从袋中的6个球中任取2球，所取的2球全是白球”为事件A ，则A ＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共含有6个样本点．所以P (A )＝615＝25. (2)“从袋中的6个球中任取2球，其中一个是白球，另一个是红球”为事件B ，则B ＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}，共含有8个样本点，所以P (B )＝815. 反思感悟 在古典概型中，计算概率的关键是准确找到样本点的数目，这就需要我们能够熟练运用图表和树状图，把样本点一一列出．而有许多试验，它们的可能结果非常多，以至于我们不可能将所有结果全部列出，这时我们不妨找找其规律，算出样本点的数目．跟踪训练3 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．解 (1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人， 故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝1545＝13.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，A 3B 1，A 3B 2，A 3B 3，A 4B 1，A 4B 2，A 4B 3，A 5B 1，A 5B 2，A 5B 3}，共含15个样本点．根据题意这些样本点出现的可能性相等．事件“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的样本点有A 1B 2，A 1B 3，共2个． 所以其概率为P ＝215.四、相互独立事件概率的计算1．相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．2．掌握相互独立事件的概率公式的应用，提升数学抽象和逻辑推理的数学素养．例4 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第二轮考核的概率．解 记“该选手正确回答第i 轮问题”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝45，P (A 2)＝35，P (A 3)＝25.(1)该选手进入第三轮才被淘汰的概率为P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝45×35×⎝⎛⎭⎫1－25＝36125. (2)该选手至多进入第二轮考核的概率为P (A 1＋A 1A 2)＝P (A 1)＋P (A 1)P (A 2)＝⎝⎛⎭⎫1－45＋45×⎝⎛⎭⎫1－35＝1325. 反思感悟 解此类题的步骤如下 (1)标记事件． (2)判断事件的独立性．(3)分清所涉及的事件及事件状态(互斥还是对立)． (4)套用公式．跟踪训练4 设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.(1)分别求甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率； (2)计算这一小时内至少有一台机器需要照顾的概率．解 记甲、乙、丙三台机器在某一小时内需要照顾分别为事件A ，B ，C ，则A ，B ，C 两两相互独立． (1)由题意得P (AB )＝P (A )P (B )＝0.05， P (AC )＝P (A )P (C )＝0.1， P (BC )＝P (B )P (C )＝0.125，∴P (A )＝0.2，P (B )＝0.25，P (C )＝0.5，∴甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率分别为0.2,0.25,0.5.(2)∵A ，B ，C 两两相互独立， ∴A ，B ，C 两两相互独立，∴甲、乙、丙每台机器在一个小时内都不需要照顾的概率为 P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝0.8×0.75×0.5＝0.3， ∴这一小时内至少有一台需要照顾的概率为 P ＝1－P (A B C )＝1－0.3＝0.7.1．(多选)有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥的两个事件是( ) A ．至少有1件次品与至多有1件正品 B ．至少有1件次品与都是正品 C ．至少有1件次品与至少有1件正品 D ．恰有1件次品与恰有2件正品 答案 BD解析 对于A ，至少有1件次品与至多有1件正品，都包含着“一件正品，一件次品”，所以不是互斥事件，故A 不正确；对于B ，至少有1件次品包含着“一件正品一件次品”“两件次品”，与“两件都是正品”是对立事件，故B 正确；对于C ，至少有1件次品与至少有1件正品都包含着“一件正品，一件次品”，所以不是互斥事件，故C 不正确；对于D ，恰有1件次品与恰有2件正品是互斥而不对立事件，故D 正确．2．甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时，甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是( ) A ．甲得9张，乙得3张 B ．甲得6张，乙得6张 C ．甲得8张，乙得4张 D ．甲得10张，乙得2张答案 A解析 由题意，得骰子朝上的面的点数为奇数的概率为12，即甲、乙每局得分的概率相等，所以继续游戏甲获胜的概率是12＋12×12＝34，乙获胜的概率是12×12＝14，所以甲得到的游戏牌为12×34＝9(张)，乙得到的游戏牌为12×14＝3(张)，故选A.3．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率为89的是( )A ．颜色相同B ．颜色不全同C ．颜色全不同D ．无红球答案 B解析 有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色相同的结果有3种，其概率为327＝19；颜色不全同的结果有24种，其概率为2427＝89；颜色全不同的结果有6种，其概率为627＝29；无红球的结果有8种，其概率为827.4．一枚硬币连掷三次，事件A 为“三次反面向上”，事件B 为“恰有一次正面向上”，事件C 为“至少两次正面向上”，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝________. 答案 1解析 事件A ，B ，C 之间是互斥的，且又是一枚硬币连掷三次的所有结果，所以P (A )＋P (B )＋P (C )＝1.。
随机事件与概率_课件
教材解难
1．教材思考 体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号0,1,2 ，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察 这个球的号码．这个随机试验共有多少个可能结果？如何表示 这些结果？ 提示：观察球的号码，共有10种可能结果．用数字m表示“摇 出的球的号码为m”这一结果，那么所有可能结果可用集合表 示为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
规律方法
确定样本空间的方法 (1)必须明确事件发生的条件: (2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案，特别要注意结果 出 现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.
1.写出下列各随机试验的样本空间: (1)采用抽签的方式，随机选择--名同学，并记录其性别； (2)采用抽签的方式，随机选择- -名同学，观察其ABO血型 : (3)随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别 : (4)射击靶3次。观察各次射出中靶或脱和情况: (5)射击靶3次。观察中靶的次数。
研究某种随机现象的规律，首先要观察它所有可能的结果．例 如，将一枚硬币抛掷两次，观察正面、反面出现的情况，你能 将所有的情况都列举出来吗？
样本空间
随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随__机__试__验__ (random experiment)，简称试验，常用字母E表示．
样本空间
教学重点
通过实例，理解样本点、样本空间的含义并能写出试验的样本空 间及随机事件包含的样本点； 随机事件的并、交、互斥与对立的含义 ；古典概型的定义及概率公式 ；随机事件概率的运算法则
教学．难点
写出随机事件包含的样本点 ;随机事件的关系与集合关系的解释 ；会用列举法计算随机事件所包含的样本点数及其发生的概率 ；利用随机事件概率的运算法则解题 ．
人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第10章 概率 本章 总结提升
(2)这场比赛甲获胜对应的事件B有两种可能,事件B1:比赛两局结束且甲获
胜;事件B2:比赛三局结束且甲获胜.
9
3
2 3
2 3
3
P(B1)=25,P(B2)=5 × 5 × 5 + 5 × 5 × 5
9
36
∴P(B)=P(B1+B2)= +
25
125
=
81
.
125
=
36
,
125
规律方法 求相互独立事件同时发生的概率的主要方法
生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
解 (1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为
(0.02+0.04)×10=0.6,所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.
所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4.
(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为
1
以顾客所获得的减免金额为80元的概率为P(B)= 15 ,
14
故减免金额低于80元的概率P=1-P(B)= 15 .
规律方法 古典概型的解题方法主要有以下两种:
(1)采取适当的方法,按照一定的顺序,把试验的所有结果一一列举出来,正
确理解样本点与事件A的关系.应用公式P(A)= 计算概率.
(2)若所求概率的事件比较复杂,可把它分解成若干个互斥的事件,利用概
女2
(男,女2)
(女1,女2)
(女2,女1)
所有可能的结果共有6种情况,其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4
4
种,所以 P=6
=
2
.
3
规律方法
1.概率和统计的交汇题在统计方面一般考查简单随机抽样和
2021高中人教A版数学必修第二册课件：第10章
C
【方法技巧】求相互独立事件同时发生的概率的步骤 （1）首先确定各事件是相互独立的；（2）再确定各事件会同时发生；（3）先求每个 事件发生的概率，再求其积.
B C
C
A
◆求较为复杂事件的概率的方法 1.列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示； 2.理清事件之间的关系（两事件是互斥还是对立，或者是相互独立），列出关系式； 3.根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算； 4.当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再 求出符合条件的事件的概率.
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值分组 频数
［90，94） 4
［94，98） ［98，102） ［102，106） ［106，110］
12
42
32
10
2.［2020·安徽省明光中学高二月考］已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的 概率为0.2，要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，至少需要布 置 11 门高炮.（用数字作答，已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 （ ）
A.0.35
B.0.25
C.0.20
D.0.15
D B
◆利用随机模拟估计概率的常用方法 用随机模拟估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试 验结果.我们可以从以下三个方面考虑： 1.当试验的样本点等可能时，样本点总数即为产生随机数的范围，每个随机 数代表一个样本点； 2.研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字 个数及总个数； 3.当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理， 此时一定要注意每组中的随机数字能否重复.
2021届高中数学新教材同步必修第二册 第十章 再练一课(范围：10.1.3～10.1.4)
再练一课(范围：10.1.3～10.1.4)1.从甲、乙、丙、丁4名选手中选取2人组队参加奥林匹克竞赛，其中甲被选中的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.35答案 B解析 这个试验的样本空间Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}，其中甲被选中包含3个样本点，故甲被选中的概率为12. 2.甲、乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为( ) A.13 B.14 C.15 D.16答案 A解析 甲、乙两人参加学习小组，若以(A ，B )表示甲参加学习小组A ，乙参加学习小组B ，则基本事件有(A ，A )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，A )，(B ，B )，(B ，C )，(C ，A )，(C ，B )，(C ，C )，共9种情形，其中两人参加同一个学习小组共有3种情形，根据古典概型概率公式，得P ＝13. 3.在国庆阅兵中，某兵种A ，B ，C 三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B 先于A ，C 通过的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.23答案 B解析 用(A ，B ，C )表示A ，B ，C 通过主席台的次序，则所有可能的次序有(A ，B ，C )，(A ，C ，B )，(B ，A ，C )，(B ，C ，A )，(C ，A ，B )，(C ，B ，A )，共6种，其中B 先于A ，C 通过的有(B ，C ，A )和(B ，A ，C )，共2种，故所求概率P ＝26＝13. 4.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( ) A.23 B.25 C.35 D.910答案 D解析 由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P ＝910. 5.从集合A ＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限的概率为( )A.29B.13C.49D.59答案 A解析 直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≤0，b ≥0，将取出的两个数记为(k ，b )，则一共有(－1，－2)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2,1)，(2,2)九种情况，符合题意的有(－1,1)，(－1,2)两种情况，所以所求概率为29. 6.现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.则所取的2道题不是同一类题的概率为________.答案 815解析 将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的.用B 表示“不是同一类题”这一事件，则B 包含的基本事件有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8个，所以P (B )＝815. 7.从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任取两台，则两种品牌都齐全的概率为________.答案 35解析 3 台甲型电脑为1,2,3,2台乙型电脑为A ，B ，则所有的样本点为(1,2)，(1,3)，(1，A )，(1，B )，(2,3)，(2，A )，(2，B )，(3，A )，(3，B )，(A ，B )，共10个.记事件C 为“一台为甲型，另一台为乙型”，则符合条件的样本点有6个，所以P (C )＝610＝35. 8.先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数分别为x ，y ，则x y是整数的概率是________. 答案 718解析 先后两次抛掷一枚骰子，得到的点数分别为x ，y 的情况一共有36种，其中x y是整数的情况有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,6)，共14种.故x y 是整数的概率为718. 9.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题.(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解 把3个选择题记为x 1，x 2，x 3,2个判断题记为p 1，p 2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x 1，p 1)，(x 1，p 2)，(x 2，p 1)，(x 2，p 2)，(x 3，p 1)，(x 3，p 2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p 1，x 1)，(p 1，x 2)，(p 1，x 3)，(p 2，x 1)，(p 2，x 2)，(p 2，x 3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 1)，(x 2，x 3)，(x 3，x 1)，(x 3，x 2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p 1，p 2)，(p 2，p 1)，共2种.因此基本事件的总数为6＋6＋6＋2＝20.(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为620＝310，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为620＝310，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为310＋310＝35. (2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为220＝110，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－110＝910. 10.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率.解 (1)从袋中随机取两个球，该试验的样本空间Ω1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共含有6个样本点.记“取出的球的编号之和不大于4”为事件A ，A ＝{(1,2)，(1,3)}，含2个样本点.故P (A )＝26＝13. (2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，则样本空间Ω2＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共含16个样本点，记“满足n <m ＋2”为事件B ，B ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共含有13个样本点，故“满足条件n <m ＋2”的事件的概率P (B )＝1316.11.从分别写有A ，B ，C ，D ，E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好按字母顺序相邻的概率是( )A.15B.25C.310D.710答案 B解析 从5张卡片中任取2张，样本空间Ω＝{AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE }，共含有10个样本点，而恰好按字母顺序相邻为事件A ，A ＝{AB ，BC ，CD ，DE }，含有4个样本点，故此事件的概率P (A )＝410＝25. 12.“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配成1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3.5元的概率是( )A.12B.25C.35D.45答案 B解析 由题意知共有(1.72,1.83)，(1.72,2.28)，(1.72,1.55)，(1.72,0.62)，(1.83,1.72)，(1.83,2.28)，(1.83,1.55)，(1.83,0.62)，(2.28,1.72)，(2.28,1.83)，(2.28,1.55)，(2.28,0.62)，(1.55,1.72)，(1.55,1.83)，(1.55,2.28)，(1.55,0.62)，(0.62,1.72)，(0.62,1.83)，(0.62,2.28)，(0.62,1.55)，20个基本事件， 而满足条件的有(1.72,1.83)，(1.72,2.28)，(1.83，1.72)，(1.83,2.28)，(2.28,1.72)，(2.28,1.83)，(2.28,1.55)，(1.55,2.28)，共8个，故所求概率为820＝25. 13.已知a ∈{0,1,2}，b ∈{－1,1,3,5}，则函数f (x )＝ax 2－2bx 在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是( )A.512B.13C.14D.16答案 A解析 ∵a ∈{0,1,2}，b ∈{－1,1,3,5}，∴基本事件总数n ＝3×4＝12.函数f (x )＝ax 2－2bx 在区间(1，＋∞)上为增函数，①当a ＝0时，f (x )＝－2bx ，符合条件的只有(0，－1)，即a ＝0，b ＝－1；②当a ≠0时，需要满足b a≤1，符合条件的有(1，－1)，(1,1)，(2，－1)，(2,1)，共4种. ∴函数f (x )＝ax 2－2bx 在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是P ＝512. 14.设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N )，若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为________.答案 3或4解析 点P 的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上(2≤n ≤5，n ∈N )，则当n ＝2时，P 点是(1,1)，当n ＝3时，P 点可能是(1,2)，(2,1).当n ＝4时，P 点可能为(1,3)，(2,2)，当n ＝5时，P 点是(2,3)，即事件C 3，C 4的概率最大，故n ＝3或4.15.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为( )A.13B.14C.15D.16答案 D解析 设齐王的下等马、中等马、上等马分别记为a 1，a 2，a 3，田忌的下等马、中等马、上等马分别记为b 1，b 2，b 3，齐王与田忌赛马，其情况有：(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 3)，齐王获胜；(a 1，b 1)，(a 2，b 3)，(a 3，b 2)，齐王获胜；(a 2，b 1)，(a 1，b 2)，(a 3，b 3)，齐王获胜；(a 2，b 1)，(a 1，b 3)，(a 3，b 2)，齐王获胜；(a 3，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 3)，田忌获胜；(a 3，b 1)，(a 1，b 3)，(a 2，b 2)，齐王获胜，共6种等可能结果.其中田忌获胜的只有一种(a 3，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 3)，则田忌获胜的概率为16，故选D.16.有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座时.(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；(3)求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率.解将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：如上图所示，本题中的样本点的总数为24.(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个样本点，所以P(A)＝1 24.(2)设事件B为“这四个人恰好都没有坐在自己的席位上”，则事件B包含9个样本点，所以P(B)＝924＝3 8.(3)设事件C为“这四个人恰有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个样本点，所以P(C)＝824＝13.为大家整理的资料供学习参考，希望能帮助到大家，非常感谢大家的下载，以后会为大家提供更多实用的资料。
高中数学新教材同步必修第二册 第10章课件 概率
(2)从一批产品中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况.
解 设正品为H，次品为T， 样本空间Ω2＝{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT}.
二、随机事件的表示
例2 试验E：甲、乙两人玩出拳游戏(锤子、剪刀、布)，观察甲、乙出拳的情况. 设事件A表示随机事件“甲乙平局”； 事件B表示随机事件“甲赢得游戏”； 事件C表示随机事件“乙不输”. 试用集合表示事件A，B，C.
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5.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件M＝{(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)}， 则事件M的含义是__抛__骰__子__两__次__，__向__上__点__数__之__和__为__8_.
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课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)随机试验. (2)样本空间. (3)随机事件. 2.方法归纳：列表法、树状图法. 3.常见误区：在列举样本点时要按照一定的顺序，要做到不重、不漏.
跟踪训练1 写出下列试验的样本空间： (1)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况； 解 如图，
设甲、乙、丙、丁分别为1,2,3,4， 所 以 样 本 空 间 Ω1 ＝ {(1,2,3,4) ， (1,2,4,3) ， (1,3,2,4) ， (1,3,4,2) ， (1,4,2,3) ， (1,4,3,2) ， (2,1,3,4) ， (2,1,4,3) ， (2,3,1,4) ， (2,3,4,1) ， (2,4,1,3) ， (2,4,3,1) ， (3,1,2,4) ， (3,1,4,2) ， (3,2,1,4) ， (3,2,4,1) ， (3,4,1,2) ， (3,4,2,1) ， (4,1,2,3) ， (4,1,3,2) ， (4,2,1,3) ， (4,2,3,1) ， (4,3,1,2)，(4,3,2,1)}.
新教材人教版高中数学必修第二册 第10章 10.1.1 应用案巩固提升
[A基础达标]1．下列事件中是随机事件的是()A．在数轴上向区间(0，1)内投点，点落在区间(0，1)内B．在数轴上向区间(0，1)内投点，点落在区间(0，2)内C．在数轴上向区间(0，2)内投点，点落在区间(0，1)内D．在数轴上向区间(0，2)内投点，点落在区间(－1，0)内解析：选C.当x∈(0，1)时，必有x∈(0，1)，x∈(0，2)，所以A和B都是必然事件；当x∈(0，2)时，有x∈(0，1)或x∉(0，1)，所以C是随机事件；当∈(0，2)时，必有x∉(－1，0)，所以D是不可能事件．故选C.2．同时投掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件的个数是()A．3B．4C．5 D．6解析：选D.有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)共6个基本事件．3．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为() A．3件都是正品B．至少有1件次品C．3件都是次品D．至少有1件正品解析：选C.25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品．4．在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是()A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．以上选项均不正确解析：选C.若取1，2，3，则和为6，否则和大于6，所以“这三个数字的和大于6”是随机事件．5．一个家庭中先后有两个小孩，则他(她)们的性别情况可能为()A．男女、男男、女女B．男女、女男C．男男、男女、女男、女女D．男男、女女解析：选C.用列举法可知，性别情况有男男、男女、女男、女女，共4种可能．6．下列给出五个事件：①某地2月3日下雪；②函数y＝a x(a>0，且a≠1)在定义域上是增函数；③实数的绝对值不小于0；④在标准大气压下，水在1 ℃结冰；⑤若a，b∈R，则ab＝ba.其中必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________．解析：由必然事件、不可能事件、随机事件的定义即可得到答案．答案：③⑤④①②7．做掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数，则这个试验不同的结果数有________种．解析：将这个试验的所有结果一一列举出来为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．共有36种．答案：368．从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为________．解析：从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)共10种情况，其中(1，2，4)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，4，5)中三个数字之和为奇数．答案：49．做试验“从0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验样本点的总数；(3)用集合表示“第1次取出的数字是2”这一事件．解：(1)这个试验的样本空间Ω＝{(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，2)，(2，0)，(2，1)}．(2)易知这个试验的基本事件的总数是6.(3)记“第1次取出的数字是2”这一事件为A，则A＝{(2，0)，(2，1)}．10．某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列事件是否是互斥事件；如果是，判断它们是否是对立事件：(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.解：(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件；由于事件B发生会导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E也是对立事件．(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．(4)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．(5)由上述分析，事件E“一种报纸也不订”仅仅是事件C中的一种可能情况，事件C 与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．[B能力提升]11．打靶3次，事件A i表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示()A．全部击中B．至少击中1发C．至少击中2发D．以上均不正确解析：选B.A1∪A2∪A3所表示的含义是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发，故选B.12．已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件“3件产品全不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是()A．F与G互斥B ．E 与G 互斥但不对立C ．E ，F ，G 任意两个事件均互斥D ．E 与G 对立解析：选D.由题意得事件E 与事件F 不可能同时发生，是互斥事件；事件E 与事件G 不可能同时发生，是互斥事件；当事件F 发生时，事件G 一定发生，所以事件F 与事件G 不是互斥事件．故A ，C 错．事件E 与事件G 中必有一个发生，所以事件E 与事件G 对立，所以B 错误，D 正确．13．已知集合A ＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，从集合A 中任取不相同的两个数作为点P 的坐标，则事件“点P 落在x 轴上”包含的样本点共有( )A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个解析：选C.“点P 落在x 轴上”包含的样本点的特征是纵坐标为0，横坐标不为0，因A 中有9个非零数，故选C.14．将一枚质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x ，第二次朝下面的数字为y ，用(x ，y )表示一个样本点．(1)请写出所有的样本点；(2)满足条件“x y为整数”这一事件包含哪几个样本点？ 解：(1)先后抛掷两次正四面体的样本点：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个样本点．(2)用A 表示满足条件“x y为整数”的事件，则A 包含的样本点有：(1，1)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，4)，共8个样本点．[C 拓展探索]15．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S 1，S 2，…，S 10站．若甲在S 3站买票，乙在S 6站买票，设样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A 表示甲可能到达的站的集合，B 表示乙可能到达的站的集合．(1)写出该事件的样本空间Ω；(2)用集合表示事件A 、事件B ；(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？解：(1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；(2)A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；B＝{S7，S8，S9，S10}；(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，从S2站发车的车票共计8种，…，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．。
【高一升高二衔接教材高二预科班数学精品课程二十讲】第十讲 三角函数同步提升训练(附解析)
一、选择题：（每题4分，共40分） 1.已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（ ） A .43-B .34-C .43D .342．若α是第四象限的角，则πα-是（ ）A .第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角3．已知)1(,sin <=m m α，παπ<<2，那么=αtan （ ）．A ．21m m-B ．21m m--C ．21mm-±D ．m m 21-±4．若角α的终边落在直线0=+y x 上，则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-的值等于（ ）． A ．2B ．2-C ．2-或2D ．05．已知3tan =α，23παπ<<，那么ααsin cos -的值是（ ）． A ．231+-B ．231+-C ．231-D ．231+ 6.若10<<a ，ππ<<x 2，则11cos cos )(2--+---x xa ax x a x x a 的值是（ ）A ．1B ．1-C ．3D ．3-7.若02,sin απαα≤≤>，则α的取值范围是：( )（Ａ）,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭8.要得到函数y=sin(2x-3π)的图象，只要将函数y=sin2x 的图象() A.向左平行移动3π个单位B.向左平行移动6π个单位C.向右平行移动3π个单位D.向右平行移动6π个单位9.集合A={α|α=6πk ,k ∈Z },B={β|β=3πn +6π,n ∈Z }的关系是()A.A ⊂BB.A ⊃BC.A ⊆BD.A=B10. 若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)π内α的取值范围是（ ）A ．35(,)(,)244ππππB .5(,)(,)424ππππC .353(,)(,)2442ππππD .33(,)(,)244ππππ二、填空题11．设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是。
苏教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第10章 三角恒等变换 章末总结提升
A
A.B.C.D.
[解析] 由,得,则,.故选A.
（2）已知,,,,则__.
[解析] ,,,,,,.故答案为.
要点二 三角函数式的化简与证明
三角函数式的化简与证明,主要从三个方面寻求思路: （1）观察函数特点,已知和所求中包含什么函数,它们可以怎样联系. （2）观察角的特点,它们之间可通过何种形式联系起来. （3）观察结构特点,它们之间经过怎样的变形可达到统一.
1
网络构建·知识导图
2
要点归纳·典例提升
01
网络构建·知识导图
02
要点归纳·典例提升
要点一 三角求值
“给角求值”,一般给出的角都是非特殊角,从表面看较难,但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系,如和或差为特殊角,当然还有可能需要运用诱导公式. “给值求值”,即给出某些角的三角函数式的值,求另外一些三角函数式的值,这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角,合理拆、配角.当然在这个过程中要注意角的范围. “给值求角”,本质上还是“给值求值”,只不过往往求出的是特殊角的值,在求出角之前还需结合函数的单调性确定角,必要时还要讨论角的范围.
跟踪训练2化简:.
要点三 三角函数公式与图象性质的综合应用
解决三角恒等变换与三角函数综合问题的关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法,对其解析式变形、化简,尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数.解决与图象和性质有关的问题,在进行恒等变换时,既要注意三角恒等思想（切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、角的代换）的运用,还要注意一般的数学思想方法（如换元法等）的运用.
【典例3】已知函数.
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
解 .的最小正周期,,,,,的单调递减区间为.
2021年高中数学新人教A版必修第二册 10
不互斥,则不是对立事件,故C错误;当事件A与事件B互斥时,则事件
A,B中至少有一个发生的概率与A,B中恰有一个发生的概率相等,故
D错误.
答案:A
激趣诱思
知识点拨
(2)(多选题)(2020江苏海安高级中学高一月考)抛掷一枚骰子1次,记
5
1
当堂检测
1
1
解:由题意知 P(A)=12,P(B)=3,P(C)=6,P(D)=12,且事件 A,B,C,D 彼此
为互斥事件,所以
(1)“取出 1 球为红球或黑球”的概率为
5
1
3
P(A∪B)=P(A)+P(B)=12 + 3 = 4.
(2)(方法一)“取出 1 球为红球或黑球或白球”的概率为 P(A∪B∪
,
12
2
(⋃⋃) = () + () + () = 1-() = ,
3
1
1
1
1
解得 P(B)=4,P(C)=6,P(D)=4,所以取到黑球的概率为4,取到黄球的概
1
1
率为6,取到绿球的概率为4.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
概率一般加法公式的应用
例4甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛,他们跑每一棒的概
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟 1.将所求事件转化为彼此互斥的若干个事件的和,利用
概率的加法公式求解.互斥事件的概率加法公式可以推广为
P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An),其使用的前提条件仍
2023版高中数学新同步精讲精炼(必修第二册) 10
10.1 随机事件与概率(精讲)考点一事件类型的判断【例1】(2021·全国·高一课时练习)已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是( )A．事件“都是红色卡片”是随机事件B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件【一隅三反】1．(2021·全国·高一课时练习)下列事件为确定事件的有( )(1)在一标准大气压下，20C︒的水结冰(2)边长为a，b的长方形面积为ab(3)抛一个硬币，落地后正面朝上(4)平时的百分制考试中，小白的考试成绩为105分．A．1个B．2个C．3个D．4个2．(2021·全国·高一课时练习)下列事件中，不可能事件是( )A．三角形内角和为180︒B．三角形中大边对大角，小边对小角C．锐角三角形中两个内角和等于90︒D．三角形中任意两边之和大于第三边3．(2021·全国·高一课时练习)下列试验能构成事件的是( )A．掷一次硬币B．标准大气压下，水烧至100CC．从100件产品中任取3件D．某人投篮5次，恰有3次投中考点二确定样本空间【例2】(2021·全国·高一课时练习)连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.(1)写出对应的样本空间；(2)求这个实验的样本空间中样本点的个数；(3)写出“恰有两枚正面向上”这一事件的集合表示.【一隅三反】1．(2021·全国·高一课时练习)指出下列试验的样本空间和样本点个数：(1)从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d这4个球的袋中，任取1个球；(2)从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d这4个球的袋中，任取2个球.2．(2021·全国·高一课时练习)指出下列试验的样本空间：(1)某人射击一次命中的整环数；考点三事件关系的判断【例3】(2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高二期中)某人在打靶中，连续射击3次，至多有一次中靶的互斥不对立事件是( )A．至少有一次中靶B．三次都不中靶C．恰有两次中靶D．至少两次中靶【一隅三反】1(2021·安徽省涡阳第一中学)从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是( )A．至少有一个白球与都是红球B．恰好有一个白球与都是红球C．至少有一个白球与都是白球D．至少有一个白球与至少一个红球2．(2021·四川省仁寿第一中学校北校区)从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论不正确的是( )A．A与B互斥且为对立事件B．B与C互斥且为对立事件C．A与C存在有包含关系D．A与C不是对立事件3．(2021·浙江·宁波赫威斯肯特学校)从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件( )A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与至少有一个白球C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D．至少有一个黑球与都是白球考点四事件的运算【例4】(2021·全国·高一专题练习)抽查10件产品，设试验的样本空间为Ω，A＝“至多有1件次品”，B＝“至少有两件次品”，则( )A．A⊆BB．B⊆AC．A∩B≠∅D．A∩B＝∅，且A∪B＝Ω【一隅三反】1．(2021·全国·高一课时练习)某人打靶时，连续射击两次，事件A＝“至少有一次中靶”，B＝“两次都不中靶”，则( )A．A⊆B B．B⊆AC．A∩B＝∅D．A∩B＝∅2(2021·湖北·应城市第一高级中学高二月考)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系不正确的是( )A．A⊆DB．B∩D＝∅C．A∪C＝DD．A∪B＝B∪D3．(2021·全国·高一课时练习)抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( )A．A B⊆=B．A BC ．A B +表示向上的点数是1或2或3D ．AB 表示向上的点数是1或2或34．(2021·全国·高一课时练习)设A ，B ，C 表示三个随机事件，试将下列事件用A ，B ，C 表示出来.(1)三个事件都发生；(2)三个事件至少有一个发生；(3)A 发生，B ，C 不发生；(4)A ，B 都发生，C 不发生；(5)A ，B 至少有一个发生，C 不发生；(6)A ，B ，C 中恰好有两个发生.5．(2021·全国·高一课时练习)记某射手一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环分别为事件A ，B ，C ，D ，指出下列事件的含义：(1)A B C ； (2)B C ∩； (3)B C D ∪∪.考点五 古典概型【例5】73．(2021·广东顺德·高二期中)某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按[)2,4，[)4,6，[)6,8，[]8,10分组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)分别求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)若产品的质量指数在[]8,10内，则该产品为优等品.现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率.【一隅三反】1．(2021·贵州·贵阳六中 )2021年9月26日，中国国际大数据产业增会在用行，大会指出了交通对旅游业的发展有着深刻的影响，并引起了相关部门的高度重视．现针对贵阳市区重要道路网中的20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如下图所示．(交通指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记为T ，其范围为[0,10]，分别有五个级别：2)[0,T ∈，畅通；4)[2,T ∈，基本畅通；6)[4,T ∈，轻度拥堵；[6,8)T =，中度拥堵；0[]8,1T ∈，严重拥堵)(1)利用频率分布直方图估计贵阳市区这20个交通路段的交通指数的众数；(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，再从这6个路段中任取3个，求至少有2个路段为中度拥堵的概率．2(2021·广东·仲元中学开学考试)某汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中的参数a ，估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的众数、平均数；(2)采取分层抽样的方式从[)5,6，[)6,7两组中共抽取了6人，现从这6人中随机抽2人，求这2人来自不同组的概率.3．(2021·广东·广州市协和中学 )某消费者协会在3月15号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识，组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按年龄将这120名群众分成5组：第1组[20,30)，第2组[30,40)，第3组[40,50)，第4组[50,60)，第5组[60,70]，得到的频率分布直方图如图所示.(1)求图中m 的值；(2)估算这120名群众的年龄的中位数(结果精确到0.1)；(3)已知第1组群众中男性有2人，组织方要从第1组中随机抽取2名群众组成维权志愿者服务队，求恰有一名女性的概率.考点六 概率的性质【例6-1】(2021·山西怀仁·高一期末)若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且()2P A a =-，()45P B a =-，则实数a 的取值范围是A ．(1,2)B ．53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．54,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．54,43⎛⎤ ⎥⎝⎦【例6-2】(2021·全国·高一课时练习)在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为110.那么以下理解正确的是( )A．某顾客抽奖10次，一定能中奖1次B．某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖C．某顾客消费210元，一定不能中奖D．某顾客消费1000元，至少能中奖1次【一隅三反】1．(2021·安徽省涡阳第一中学 )下列说法正确的是( )A．某医院治疗某种疾病的治愈率为20%，前8人没有治愈，则后两个人一定治愈B．甲乙两人乒乓球比赛，乙获胜的概率为25，则比赛5场，乙胜2场C．某种药物对患有咳嗽的400名病人进行治疗，结果有300人有明显效果.现对咳嗽的病人服用此药，则估计会有明显疗效的可能性为75%D．随机试验的频率与概率相等2．(2021·全国·高一课时练习)有下列说法：(1)某人连续12次投掷一枚骰子，结果都是出现6点，他认为这枚骰子的质地是均匀的．(2)某地气象局预报，明天本地下雨概率为70%，由此认为明天本地有70%的区域下雨，30%的区域不下雨．(3)抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，都出现反面的概率是14．(4)围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次从中随机摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，认为一定有一次会摸到黑子．其中正确的个数为( )A．0 B．2 C．3 D．13．(2021·全国·高一课时练习)袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率是512．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．4．(2021·全国·高一课时练习)某转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜.猜数方案从以下两种方案中选一种：A.猜“是奇数”或“是偶数”；B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”.请回答下列问题：(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？。
高中数学第10章三角恒等变换章末综合提升课件必修第二册高一必修第二册数学课件
题 型 探 究
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返 首 页
12/12/2021
第十一页，共三十三页。
[证明] 证明原不等式成立，即证明
·
巩 固
1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)成立．
层
知
∵tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)
识
章
整 合
＝csoins 22θθ(2cos22θ＋2sin 2θcos 2θ)
知
识 整
章
(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的 末
合
综
拆分，从而正确使用公式．
合
测
提 升
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用 评
层
题 的公式，常见的有“切化弦”．
型
探 究
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．
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整
末
合
－β 的值．
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合
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提
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[思路点拨] 先求 tan(2α－β)的值，再结合 2α－β 的范围求 2α－ 评
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题 型
β 的值．
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巩 固
[解] ∵tan α＝13＞0，
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知 识 整
∴α∈0，π2，2α∈(0，π)，
章 末
合
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题
∴tan 2α＝1－2tatnanα2α＝12－×13132＝34＞0，
合
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2021届高中数学新教材同步必修第二册 第十章 微专题4 古典概型的应用
微专题4 古典概型的应用古典概型求概率问题在考试中经常出现，在解决这类问题时，首先要审题，正确理解样本点与事件的关系，求某个事件包含的样本点的常用方法是列举法(画树状图、列表).注意做到不重不漏，对于用直接方法难以解决的问题，可以先求其对立事件的概率，再求所求概率.一、“放回”与“不放回”问题例1 从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取1件，连续取两次.(1)若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率；(2)若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率.解 (1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，样本空间Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，由6个样本点组成，而且这些样本点的出现是等可能的.用A 表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}.事件A 由4个样本点组成，所以P (A )＝46＝23. (2)有放回地连续取出两次，样本空间Ω＝{(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)}，共9个样本点.由于每一件产品被取到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的.用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}.事件B 由4个样本点组成，因而P (B )＝49. 反思感悟 抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对样本点的总数有影响.另外，不放回抽样看作无序或有序抽取均可，有放回抽样要看作有序抽取.二、概率模型的多角度构建例2 口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一个球.试计算第二个人摸到白球的概率.解 方法一 需要找出4个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可能结果数.解题过程如下：用A 表示事件“第二个人摸到白球”，把2个白球编上序号1,2；2个黑球也编上序号1,2.于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一个球的所有可能结果，可用树状图直观地表示出来，如图所示：由上图可知，试验的所有可能结果数是24，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以，这24种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有12种，故第二个人摸到白球的概率P (A )＝1224＝12. 方法二 把2个白球编上序号1,2，两个黑球也编上序号1,2,4个人按顺序依次从袋中摸出一球，前两人摸出的球的所有可能的结果如图所示：由图可知，试验的所有结果数是12，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这12种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有6种，故第二个人摸到白球的概率P (A )＝612＝12. 反思感悟 当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们可借助树状图直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法.树状图可以清晰准确地列出所有的样本点，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况.另外，如果试验结果具有对称性，可简化结果以便于模型的建立与解答.三、“正难则反”思想，利用对立事件求概率例3 有3个完全相同的小球a ，b ，c ，随机放入甲、乙两个盒子中，求两个盒子都不空的概率.解a，b，c三个小球随机放入甲、乙两个盒子的基本事件为：两个盒子都不空的对立事件是至少有一个盒子为空，所包含事件：甲盒子a，b，c，乙盒子空；甲盒子空，乙盒子a，b，c，共2个，故P＝1－28＝34.反思感悟在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)求得或采用正难则反的原则，转化为其对立事件，再用公式P(A)＝1－P(A)求得.四、古典概型的综合应用例4甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间；(2)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则，则乙胜.你认为此游戏是否公平？说明你的理由.解(1)方片4用4′表示，试验的样本空间为Ω＝{(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)}，则样本点的总数为12.(2)不公平.甲抽到牌的牌面数字比乙大有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，甲胜的概率为P1＝512，乙胜的概率为P2＝712，因为512<712，所以此游戏不公平.反思感悟游戏公平性的标准及判断方法(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说获胜的可能性或概率是否相同.若相同，则规则公平，否则就是不公平.(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较.为大家整理的资料供学习参考，希望能帮助到大家，非常感谢大家的下载，以后会为大家提供更多实用的资料。
2021届高中数学新教材同步必修第二册 第十章 10.1.2 事件的关系和运算
10.1.2事件的关系和运算学习目标 1.理解事件的关系与运算.2.通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念.知识点一事件的关系定义符号图示包含关系一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等A＝B知识点二交事件与并事件定义符号图示并事件(或和事件)一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(或积事件)一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)知识点三互斥事件和对立事件定义符号图示互斥事件一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)A∩B＝∅对立事件一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为AA∪B＝ΩA∩B＝∅1.若A，B表示随机事件，则A∩B与A∪B也表示事件.(√)2.若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件.(×)3.若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件.(√)4.若事件A与B是互斥事件，则在一次试验中事件A和B至少有一个发生.(×)一、互斥事件和对立事件的判断例1某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”.判断下列事件是否为互斥事件，如果是，判断它们是否为对立事件.(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.解(1)由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E 是互斥事件.由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件.(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件.(4)事件B“至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”，“只订乙报”，“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”.即事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件.(5)由(4)的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E 可能同时发生，故C与E不是互斥事件.反思感悟判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们在一次试验中能否同时发生，若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件；判断两个事件是否为对立事件，主要看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生.这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件.跟踪训练1(1)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是()A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球D.恰有一个红球与恰有两个红球答案 D解析根据互斥事件与对立事件的定义判断.A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件.(2)有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是()A.互斥但非对立事件B.对立事件C.非互斥事件D.以上都不对答案 A解析由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件.二、事件的运算例2在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.解(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.反思感悟事件间运算方法(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.跟踪训练2抛掷相同硬币3次，设事件A＝{至少有一次正面向上}，事件B＝{一次正面向上，两次反面向上}，事件C＝{两次正面向上，一次反面向上}，事件D＝{至少一次反面向上}，事件E＝{3次都正面向上}.(1)试判断事件A与事件B，C，E的关系；(2)试求事件A与事件D的交事件，事件B与事件C的并事件，并判断二者的关系.解(1)B⊆A，C⊆A，E⊆A，且A＝B＋C＋E.(2)A∩D＝{有正面向上，也有反面向上}，B∪C＝{1次正面向上或2次正面向上}，A∩D＝B∪C.三、随机事件的表示及含义例3设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.(1)三个事件都发生；(2)三个事件至少有一个发生；(3)A发生，B，C不发生；(4)A，B都发生，C不发生；(5)A，B至少有一个发生，C不发生；(6)A，B，C中恰好有两个发生.解(1)ABC(2)A∪B∪C(3)A B C(4)AB C(5)(A∪B)C(6)AB C∪A B C∪A BC延伸探究本例条件不变，试用A，B，C表示以下事件.(1)三个事件都不发生；(2)三个事件至少有两个发生.解(1)A B C(2)ABC∪AB C∪A B C∪A BC(或AB∪BC∪AC)反思感悟清楚随机事件的运算与集合运算的对应关系有助于解决此类问题.跟踪训练35个相同的小球，分别标上数字1,2,3,4,5，依次有放回的抽取两个小球.记事件A为“第一次抽取的小球上的数字为奇数”，事件B为“抽取的两个小球上的数字至少有一个是偶数”，事件C为“两个小球上的数字之和为偶数”，试用集合的形式表示A，B，C，A∩B，A∩C，B∩C.解总的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，B＝{(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,2)，(5,4)}，C＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}. A∩B＝{(1,2)，(1,4)，(3,2)，(3,4)，(5,2)，(5,4)}，A∩C＝{(2,1)，(2,3)，(2,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)}，B∩C＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}.1.某人射击一次，设事件A为“击中环数小于4”，事件B为“击中环数大于4”，事件C 为“击中环数不小于4”，事件D为“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是()A.A与B为对立事件B.B与C为互斥事件C.C与D为对立事件D.B与D为互斥事件答案 D2.抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为()A.至多有2件次品B.至多有1件次品C.至多有2件正品D.至少有2件正品答案 B解析至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件.共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品.3.设M，N，P是三个事件，则M，N至少有一个不发生且P发生可表示为()A.(M∪N)PB.(M N)PC.(M∪N)∪PD.(M N)∪(M N)答案 A4.甲、乙两人破译同一个密码，令甲、乙破译出密码分别为事件A，B，则A B∪A B表示的含义是________，事件“密码被破译”可表示为________.答案只有一人破译密码A B∪A B∪AB5.从0,1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个不重复的两位数.事件A表示组成的两位数是偶数，事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件A∩B用样本点表示为_______. 答案{10,20,30,40,50,32,42,52,54}1.知识清单：(1)事件的包含关系与相等关系.(2)交事件和并事件.(3)互斥事件和对立事件.2.方法归纳：列举法、Venn图法.3.常见误区：互斥事件和对立事件之间的关系易混淆.1.下列各组事件中，不是互斥事件的是()A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B.统计一个班级期中考试数学成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分C.播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒D.检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%答案 B2.许洋说：“本周我至少做完三套练习题.”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为()A.至多做完三套练习题B.至多做完二套练习题C.至多做完四套练习题D.至少做完二套练习题答案 B解析至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6，…套练习题，故它的对立事件为做完0,1,2套练习题，即至多做完2套练习题.3.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()A.对立事件B.相等C.互斥但不对立事件D.以上说法都不对答案 C解析因为只有1张红牌，所以这两个事件不可能同时发生，所以它们是互斥事件；但这两个事件并不是必有一个发生，所以它们不是对立事件.4.向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件A表示两次点数之和小于10，事件B表示两次点数之和能被5整除，则事件A B用样本点表示为()A.{(5,5)}B.{(4,6)，(5,5)}C.{(6,5)，(5,5)}D.{(4,6)，(6,4)，(5,5)}答案 D5.设A，B为两事件，则(A∪B)(A∪B)表示()A.必然事件B.不可能事件C.A与B恰有一个发生D.A与B不同时发生答案 C解析A∪B表示事件A，B至少有1个发生，A∪B表示事件A，B至少有一个不发生，∴(A∪B)(A∪B)表示A与B恰有一个发生.6.设某随机试验的样本空间Ω＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{2,3,4}，B＝{3,4,5}，C＝{5,6,7}.则：(1)A∪B＝________________；(2)A∩B＝________；(3)A∩(B∩C)＝________.答案(1){2,3,4,5}(2){5}(3)∅7.在某大学的学生中任选一名学生，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是大三学生，事件C表示该生是运动员，则事件AB C的含义是________________.答案该生是大三男生，但不是运动员8.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A，B，C，D，E，则事件取出的是理科书可记为________.答案B∪D∪E解析由题意可知事件“取到理科书”可记为B∪D∪E.9.从某大学数学系图书室中任选一本书.设A＝{数学书}；B＝{中文版的书}；C＝{2000年后出版的书}.问：(1)A∩B∩C表示什么事件？(2)在什么条件下有A∩B∩C＝A?(3)如果A＝B，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的？解(1)A∩B∩C＝{2000年或2000年前出版的中文版的数学书}.(2)在“图书室中所有数学书都是2000年后出版的且为中文版”的条件下才有A∩B∩C＝A.(3)是.A＝B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书.同时A＝B又可等价成B＝A，因而也可以解释为：图书室中所有数学书都不是中文版的，而且所有外文版的书都是数学书.10.盒子里有3个红球，2个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.求：(1)事件D与事件A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？(3)把红球记为1,2,3，白球记为a，b，试用集合的形式表示A∪C，C∩D.解(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B. (2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球或3个红球，故C∩A ＝A.(3)A∪C＝{(1,2，a)，(1,2，b)，(1,3，a)，(1,3，b)，(2,3，a)，(2,3，b)，(1,2,3)，(1，a，b)，(2，a，b)，(3，a，b)}，C∩D＝{(1，a，b)，(2，a，b)，(3，a，b)，(1,2，a)，(1,2，b)，(1,3，a)，(1,3，b)，(2,3，a)，(2,3，b)}.11.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是()A.A⊆DB.B∩D＝∅C.A∪C＝DD.A∪B＝B∪D答案 D12.(多选)一箱产品有正品4件、次品3件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有()A.“恰有1件次品”和“恰有2件次品”B.“至少有1件次品”和“都是次品”C.“至少有1件正品”和“至少有1件次品”D.“至少有1件次品”和“都是正品”答案AD解析对于A，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，与“2件都是次品”显然是互斥事件；对于B，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是次品”可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件；对于C，“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”，与“至少有1件次品”不是互斥事件；对于D，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是正品”显然是互斥事件，故AD是互斥事件.13.盒子内分别有3个红球，2个白球，1个黑球，从中任取2个球，则下列选项中的两个事件互斥而不对立的是()A.至少有1个白球，至多有1个白球B.至少有1个白球，至少有1个红球C.至少有1个白球，没有白球D.至少有1个白球，红球、黑球各1个答案 D解析当取出的2个球是1白1红时，A中两个事件同时发生，所以A中的两个事件不是互斥事件，此时B也一样，所以排除A，B；C中，两个事件不可能同时发生，但是必有一个发生，所以C中的两个事件是对立事件，所以排除C；D中，两个事件不可能同时发生，但是当取出的2个球都是红球时，这两个事件都没有发生，所以D中的两个事件是互斥事件但不是对立事件.14.电路如图所示.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝____________.(用B，C，D间的运算关系式表示)答案(BC)∪(BD)或B∩(C∪D)15.如果A，B是互斥事件，那么()A.A∪B是必然事件B.A与B一定是互斥事件C.A与B一定不是互斥事件D.A∪B是必然事件答案 A解析由互斥事件的概念，A，B互斥即A∩B为不可能事件，所以A∪B是必然事件，故A正确；C选项中，当B＝A时，A与B互斥，故C错误；D和B可举反例，如投掷骰子试验中，A表示向上数字1，B表示向上数字为2，A∪B不是必然事件，A与B不是互斥事件，故B，D错误.16.投掷一枚均匀的硬币，连续投掷3次.A i表示第i次正面朝上，试用文字叙述下列事件.(1)A1∪A2；(2)A1∪A2∪A3；(3)A2A3；(4)A1∪A2；(5)A1∩A2；(6)A1A2∪A2A3∪A1A3.解(1)A1∪A2表示第1次和第2次投掷硬币至少有1次正面朝上.(2)A1∪A2∪A3表示3次投掷硬币中至少有1次正面朝上.(3)A2A3表示第2次投掷硬币反面朝上且第3次正面朝上.(4)A1∪A2表示第1次和第2次投掷硬币均反面朝上.(5)A1∩A2表示第1次和第2次投掷硬币均反面朝上.(6)3次投掷硬币中至少有2次正面朝上.为大家整理的资料供学习参考，希望能帮助到大家，非常感谢大家的下载，以后会为大家提供更多实用的资料。
2023版高中数学新同步精讲精炼(必修第二册) 10
10.1 随机事件与概率(精练)【题组一 事件类型的判断】1(2021·全国·高一课时练习)下列事件是必然事件的是( )A ．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签B ．函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)为增函数C ．平行于同一条直线的两条直线平行D ．随机选取一个实数x ，得2x <0 【答案】C【解析】A 是随机事件，5张标签都可能被取到.B 是随机事件，当a >1时,函数y ＝log a x 为增函数，当0<a <l 时,函数y ＝log a x 为减函数.C 是必然事件，实质是平行公理.D 为不可能事件，根据指数函数2x y =的图像可得，对任意实数x ,都有20x >. 选故：C2．(2021·陕西咸阳·高一期末)下列事件是随机事件的是( ) ①连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上； ②异性电荷相互吸引；③在标准大气压下，水在100C 时结冰； ④任意掷一粒均匀的骰子，朝上的点数是偶数. A ．①② B ．②③C ．③④D ．①④【答案】D【解析】①④中的事件为随机事件，②中的事件为必然事件，③中的事件为不可能事件. 故选：D.3(2021·全国·高二课时练习)袋中有2个黑球、6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( ) A ．取到的球的个数 B ．取到红球的个数 C ．至少取到1个红球 D ．至少取到1个红球的概率 【答案】B【解析】A 的取值不具有随机性，C 是一个事件而非随机变量，D 中概率值是一个定值而非随机变量，只有B 满足要求故选：B4．(2021·全国·高一课时练习)(多选)下列事件是随机事件的是( )A ．函数f (x )＝x 2－2x ＋a 的图象关于直线x ＝1对称B ．某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码C ．直线y ＝kx ＋6是定义在R 上的增函数D ．某人购买福利彩票一注，中奖500万元 【答案】BCD【解析】A.根据二次函数2y ax bx c =++ 的对称轴为2bx a=-，可得f (x )＝x 2－2x ＋a 图像关于 x ＝1对称，是必然事件；B.因为忘记最后一个数字，随意拨了一个数字，故是随机事件；C.因为k 的不确定，所以也有可能是减函数；D.彩票由很多张，买了一张中奖，当然是随机事件； 所以A 为必然事件；B ，C ，D 为随机事件． 故选：BCD5．(2021·全国·高一专题练习)(多选题)在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中是随机事件的是( ) A ．3件都是正品 B ．至少有1件次品 C ．3件都是次品 D ．至少有1件正品【答案】AB【解析】25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品， 则“3件都是次品”不是随机事件，是不可能事件，又25件产品中只有2件次品，从中任取3件产品，则“至少有1件正品”为必然事件， 而A ，B 是随机事件．故选：AB6．(2021·全国·高一课时练习)指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件： (1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元； (2)三角形的内角和为180；(3)没有空气和水，人类可以生存下去； (4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；(5)从分别标有1、2、3、4的四张标签中任取一张，抽到1号标签； (6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．【答案】(1)随机事件；(2)必然事件；(3)不可能事件；(4)随机事件；(5)随机事件；(6)不可能事件. 【解析】(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件；(2)所有三角形的内角和均为180，所以是必然事件；(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件；(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件；(5)任意抽取，可能得到1、2、3、4号标签中的任一张，所以是随机事件；(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．【题组二确定样本空间】1．(2021·浙江·台州市路桥区东方理想学校 )集合A＝{2，3}，B＝{1，2，4}，从A，B中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为( )A．8 B．9 C．12 D．11【答案】D【解析】根据题意，所有样本点为：21，22，24，31，32，34，12，13，23，42，43，共11个，故选：D2．(2021·河北承德第一中学开学考试)同时掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记事件A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点数是( )A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】因为事件A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)}，共包含6个样本点3．(2021·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高一期末)做试验“从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，不放回地取两次小球，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第一次取到的小球上的数字，y 为第二次取到的小球上的数字”.(1)求这个试验样本点的个数；(2)写出“第一次取出的小球上的数字是2”这一事件.【答案】(1)12；(2){(2，1)，(2，3)，(2，4)}.【解析】(1)当x=1时，y=2，3，4；当x=2时，y=1，3，4；同理当x=3，4时，也各有3个不同的有序数对，所以共有12个不同的有序数对.故这个试验结果样本点的个数为12.(2)记“第一次取出的小球上的数字是2”为事件A，则A={(2，1)，(2，3)，(2，4)}.4．(2021·全国·高一课时练习)写出下列各随机试验的样本空间：(1)采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别；(2)采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其ABO 血型； (3)随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别； (4)射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况； (5)射击靶3次，观察中靶的次数.【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)详见解析(4)详见解析(5)详见解析【解析】(1)一名同学的性别有两种可能结果：男或女.故该试验的样本室间可以表示为Ω={男，女}； (2)一名同学的血型有四种可能结果：A 型、B 型、AB 型、O 型.故该试验的样本空间可表示为{},,,A B AB O Ω=； (3)每个小孩的性别有男或女两种可能，两个小孩的性别情况有四种可能，故该试验的样本空间可表示为{(男、男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}；(4)每次射击有中靶或脱靶两种可能，射击3次有八种可能，用1表示中靶，用0表示脱靶，该试验的样本空间可表示为()()()()()()()(){}0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1N =；(5)射击3次，中靶的次数可能是0，1，2，3，故该试验的样本空间可以表示为{}0,1,2,3N =.5．(2021·全国·高一课时练习)袋子中有4个大小和质地相同的球，标号为1，2，3，4，从中随机摸出一个球，记录球的编号，先后摸两次.(1)若第一次摸出的球不放回，写出试验的样本空间； (2)若第一次摸出的球放回，写出试验的样本空间. 【答案】(1)详见解析(2)详见解析【解析】用m 表示第一次摸出球的编号，用n 表示第二次摸出球的编号，则样本点可用(),m n ，{},1,2,3,4m n ∈表示.(1)若第一次摸出的球不放回，则m n ≠，此时的样本空间可表示为()()()()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3Ω=，共有12个样本点.(2)若第一次摸出的球放回，则m ，n 可以相同.此时试验的样本空间可表示为(){}{},,1,2,3,4m n m n Ω=∈，共有16个样本点.6．(2021·全国·高一课时练习)如图，一个电路中有A ，B ，C 三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效，把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.(1)写出试验的样本空间；(2)用集合表示下列事件：M =“恰好两个元件正常”；N =“电路是通路”；T =“电路是断路” 【答案】(1)详见解析(2)详见解析【解析】分别用12,x x 和3x 表示元件A ，B 和C 的可能状态，则这个电路的工作状态可用()123,,x x x 表示，进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态。
2023版高中数学新同步精讲精炼(选择性必修第二册) 拓展一 利用递推公式求通项公式常用方法(精练)
拓展一 利用递推公式求通项公式常用方法(精练)【题组一 累加法】1．(2021·全国)在数列{}n a 中，12a =，11ln 11n n a a n n n +⎛⎫⎪⎝+++⎭=，则n a =( ) A ．8a B ．()21ln n n +-C ．1ln n n ++D ．2ln n n n +【答案】D 【解析】由题意得，11ln 1n n a a n n n n++=++， 则1ln 11n n a a n n n n -=+--，121ln 122n n a a n n n n ---=+---…，212ln 211a a =+， 由累加法得，112ln ln ln1121n a a n n n n n -=+++--， 即112ln 121n a n n a n n n -⎛⎫=+⋅⋅⋅ ⎪--⎝⎭， 则2ln na n n=+， 所以2ln n a n n n =+， 故选：D2．(2021·全国高二专题练习)已知数列{}n a 中，111,3nn n a a a n +=-=-，求数列{}n a 的通项公式．【答案】()1113222n n n n a -=⨯--【解析】依题意111,3nn n a a a n +=-=-，当2n ≥时，()1131n n n a a n ---=--，所以()()()()32211112n n n n n a a a a a a a a a a -------=+++++()()()123331211n n n n --=+++--+-+++⎡⎤⎣⎦()()131********n n n --+-=-⨯-+-()1113222n n n -=⨯--. 3．(2021·全国高二课时练习)已知数列{}n a 满足：123a =，22a =，34a =，且数列{}1n n a a +-是等差数列，求数列{}n a 的通项公式． 【答案】()113n a n n =+【解析】因为123a =，22a =，34a =， 所以2143a a -=，()()32322122,3a a a a a a -=---=， 故数列{}1n n a a +-是以43为首项，23为公差的等差数列，所以()()142211333n n a a n n +-=+-=+．由累加求和，得()()1212(23)12333n a a n n n n -=+++=+-≥，所以()()1123n a n n n =+≥，又123a =符合()113n a n n =+， 所以()113n a n n =+．4．(2021·山西祁县中学)已知各项都不相等的数列{}n a 满足2132n n n a a a ++=-． (1)证明：数列{}1n n a a +-为等比数列； (2)若11a =，23a =，求{}n a 的通项公式．【答案】(1)证明见解析；(2)21nn a =-.【解析】(1)证明 由2132n n n a a a ++=-，可得，()2112n n n n a a a a +++-=-， 因为各项都不相等，所以210a a -≠，{}1n n a a +-是公比为2的等比数列．(2)解 由(1)知{}1n n a a +-是公比为2的等比数列， 且212a a -=， 所以当2n ≥时，()2112122n n n n a a a a ----=-⋅=，2122n n n a a ----=， 3232n n n a a ----=，…212a a -=，累加，得21122222n nn a a --=++⋅⋅⋅+=-，所以21nn a =-．当1n =时，11211a -==满足上式，故21nn a =-．5．(2021·全国)已知数列{}n b 满足11b =-，()()1211,2,3,n n b b n n +=+-=⋅⋅⋅.求数列{}n b 的通项公式.【答案】22n b n n =-.【解析】由()121n n b b n +=+-，可得： 211b b -=， 323b b -=，435b b -=，…，123n n b b n --=-，各式相加得21(1)(123)135(23)(1)2n n n b b n n -+--=+++⋅⋅⋅+-==-.因为11b =-，所以22n b n n =-.6．(2021·全国)已知数列{}n a 满足11a =-，111,*1n n a a n N n n +=+-∈+，求数列的通项公式n a ． 【答案】*1,n a n N n=-∈【解析】∵1111n n a a n n +-=-+， ∴211112a a -=-，321123a a -=-，431134a a -=-，…，()11121n n a a n n n--=-≥-， ∴2132431()()()()n n a a a a a a a a -+-+--++⋯－ 1111112231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即()1112n a a n n-=-≥．∴()11111112n a a n n n n=+-=-+-=-≥， 又当1n =时，1a =-1，也符合上式． ∴1,*n a n N n=-∈．7．(2021·湖北)设数列{}n a 满足11a =，112,3n n n a a n N *+--=∈.求数列{}n a 的通项公式； 【答案】2143n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭【解析】由1123n n n a a +--=，得 2132431221112=2=2=2333n n n a a a a a a a a ---=-⨯-⨯-⨯，，，，，由累加法，得2122111122223()3333n n n a a ---=+⨯+⨯++⨯=-，所以221113()=4()33n n n a a --=-+-；8．(2021·全国高二专题练习)已知数列{a n }满足()12211,3,32n n n a a a a a n *++===-∈N ，(1)证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； (2)求数列{}n a 的通项公式.【答案】(1)证明见解析；(2)21nn a =-.【解析】(1)因为()2132n n n a a a n *++=-∈N ，所以()+12+111+1+1+1232=2n n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a a +++----==---，又因为121,3a a ==，则212a a -=，则数列{}1n n a a +-是以2为首项，2为公比的等比数列，(2)由(1)知：则数列{}1n n a a +-是以2为首项，2为公比的等比数列，则1+1222n nn n a a --=⨯=，112n n n a a ---=，2122n n n a a ----=2322a a -=，1212a a -=，则()()()()122111232212222n n n n n n a a a a a a a a ------+-++-+-=++++，即()1121212n n a a -⨯--=-，所以21nn a =-.【题组二 累乘法】1．(2021·全国高三专题练习(文))已知{}n a 中，11a =，()11n nna n a +=+，则数列{}n a 的通项公式是______________． 【答案】n a n =【解析】由()11n n na n a +=+，可得：11n n a n a n++=，又11a =， ∴321121n n n a a a a a a a a -=⋅⋯⋅＝231121n n n ⨯⨯⋯⨯⨯=-． ∴n a n =． 故答案为：n a n =2．(2021·贵州师大附中)设数列{}n a 是首项为1的正项数列，且()221110n n n n n a na a a +++-+⋅=，则它的通项公式n a =______. 【答案】1n【解析】由()221110n n n n n a na a a +++-+⋅=，则()()1110n n n n n a na a a ++⎡⎤+-+=⎣⎦又数列{}n a 为正项数列，即0n a >，11a = 所以()101n n n a na ++-=，即11n n a a nn +=+ 所以1211211211112n n n n n a a a n n a a a a a n n n-----=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=- 故答案为：1n3．(2021·全国高二专题练习)设{}n a 是首项为1的正项数列且22*11(1)(21)0(N )n n n n na n a n a a n ++++-+=∈，求数列{}n a 的通项公式. 【答案】1n a =或n a n =【解析】依题意11a =，22*11(1)(21)0(N )n n n n na n a n a a n ++++-+=∈所以()()1110n n n n a a na n a ++--+=⎡⎤⎣⎦， 当10n n a a +-=时，1n n a a +=，所以1n a =. 当()101n n na n a +-+=时，()111,21n n n n a a n nn a n a n +-+==≥-， 所以13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅ 13211221n n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅=--， 1a 也符合上式.所以()*N n a n n =∈.综上所述，1n a =或n a n =.4．(2021·全国高二专题练习)已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ∈N 且n ≥2时，(2n ＋1)a n ＝(2n －3)a n －1，求通项公式a n . 【答案】a n ＝3(21)(21)n n -+，n ∈N *.【解析】当n ≥2，∵(2n ＋1)a n ＝(2n －3)a n －1， ∴1n n a a -＝2321n n -+， 31241232113525233............5792121(21)(21)n n n n a a a a a n n a a a a a n n n n -----∴⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-+-+ 133(21)(21)(21)(21)n n a a a n n n n ∴=∴=-+-+ 当n ＝1时符合上式，3(21)(21)n a n n ∴=-+，n ∈N *5．(2021·全国高二专题练习)设{}n a 是首项为1的正项数列，且22*11(2)20()n n n n n a na a a n N +++-+=∈ ，求通项公式n a . 【答案】2(1)n a n n =+【解析】由22*11(2)20()n n n n n a na a a n N +++-+=∈，得11[(2)]()0n n n n n a na a a +++-+=， ∵0n a >，∴10n n a a ++>，∴1(2)0n n n a na ++-= ， ∴12n n a na n +=+， ∴324112311232121(2)3451(1)n n n a a a a n n a a n a a a a n n n n ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=≥++， 又a 1＝1满足上式， ∴2(1)n a n n =+.6．(2021·全国高二专题练习)在数列{}n a 中，()11212,n n n a a a n++==，求数列{}n a 的通项公式． 【答案】2nn a n =⋅【解析】依题意得()121n n n a a n ++=，()1221n n a n n a n -=≥-， 所以13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅ ()212232221221n n n n -⨯⨯=⋅⋅⋅⋅⋅--2,(1n n n =⋅=也满足). 7．(2021·全国高二专题练习)已知数列{}n a 满足12a =，1(1)2(2)n n n a n a ++=+，求数列{}n a 的通项公式.【答案】1(1)2n n a n -=+⋅.【解析】因为1(1)2(2)n n n a n a ++=+，所以12(2)(1)n n a n a n ++=+，则 1123411123134512(1)2(2)234n n n n n a a a a n a a a n n a a a a n ---+⎛⎫=⋅⋅⋅=⋅⋅⨯⨯⨯⨯=+⋅≥ ⎪⎝⎭当1n =时，12a =满足上式，所以1(1)2n n a n -=+⋅.8．(2021·全国)已知数列{}n a 的首项为12，且满足()()()*1112,n n n a n a n n N -+=-≥∈.求{}n a 的通项公式.【答案】()11n a n n =+.【解析】由()()111n n n a n a -+=-，得111n n a n a n --=+， 又112a =，所以当2n ≥时， 123211232112321······1143n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n --------=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+-()1121n n ⋅=+，又1n =也满足上式，所以()11n a n n =+；【题组三 公式法】1．(2021·全国高二单元测试)已知数列{}n a 满足11a =，()12311111231n n a a a a a n n -=+++⋅⋅⋅+>-．数列{}n a 的通项公式是______． 【答案】1,1,22n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩【解析】1231111(1)231n n a a a a a n n -=++++>-，11a = 当2n =时，211a a == 当2n >时，112311111231n n n a a a a a a n n+-∴=+++++-， 两式相减得：11n n n a a a n+-=，即11n n n a a n++=， ∴11n n a n a n++=， 11n n a n a n -=-， 1212n n a n a n ---=-， ⋯3232a a =， 累乘得：22na na =，所以2n n a =，()2n >1,1,22n n a n n =⎧⎪∴=⎨≥⎪⎩，故答案为：1,1,22n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩.2．(2021·全国(文))已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n +=，则n a =___________. 【解析】当1n =时，111121,3a a a +==，当2n ≥时，112,21n n n n S a n S a n --+=+=-，两式相减得()111212321,,11333n n n n n n a a a a a a ----==+-=-，所以数列{}1n a -是首项为1213a -=-，公比为23的等比数列，则213n n a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以213nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故答案为：213n⎛⎫- ⎪⎝⎭3．(2021·全国(理))设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()213n n S a n N *=-∈，则n S =___________．【答案】215n⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】213n n S a =-，故111221133S a S =-=-，解得135S =，当2n ≥时，()1213n n n S S S -=--，整理得到()12115n n S S --=-， 故1nS 是首项为25-，公比为25得到等比数列，故122155n n S -⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭，即215nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，验证1n =时满足，故215nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故答案为：215n⎛⎫- ⎪⎝⎭.4(2021·全国高二课时练习)已知数列{}n a 的前n 项和32nn S =+，求n a .【答案】15,1,2,2,n n n a n n N -*=⎧=⎨≥∈⎩ 【解析】当1n =时，11325a S ==+=，由32nn S =+，当2n ≥时，1132n n S --=+，故111222n n n n n n a S S ---=-=-=，又因为111521a -=≠=，所以15,1,2,2,n n n a n n N -*=⎧=⎨≥∈⎩. 5(2021·全国高二课时练习)已知数列{a n }满足2112333+3+++n n a a a a -=3n，求数列{a n }的通项公式．【答案】a n ＝13n. 【解析】当n ≥2时，由2112333+3+++n n a a a a -=3n ， 得a 1＋3a 2＋32a 3＋＋3n －2a n －1＝13n -， 两式相减得3n －1a n ＝3n －13n -＝13，则a n ＝13n . 当n ＝1时，a 1＝13，满足a n ＝13n ，所以a n ＝13n. 6．(2021·全国高二课时练习)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝3×2n－3，其中n ∈N *.求数列{a n }的通项公式．【答案】132n n a -⨯＝.【解析】由S n ＝3×2n －3，n ∈N *，得 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×21－3＝3.当n ≥2时，1111()()32(33233)2232n n n n n n n n a S S --------⨯⨯⨯⨯－＝＝＝＝，又当n ＝1时，a 1＝3也满足上式． 所以数列{a n }的通项公式为132n n a -⨯＝.7．(2021·全国高二课时练习)设数列{}n a 的前n 项和22nn n S a =-.(1)求3a ，4a ；(2)证明：1{2}n n a a +-是等比数列； (3)求{}n a 的通项公式.【答案】(1) 316a =，440a =；(2)证明见解析；(3)1(1)2n n n a -+=.【解析】(1)由22nn n S a =-和11a S =可得，11122a S a ==-，解得，112a S ==，2122222a a S a +==-，解得，26a =，28S =， 3233322S a S a +==-，解得，316a =，324S =， 4344422S a S a +==-，解得，440a =，故 316a =，440a =.(2)证明：因为22nn n S a =- ①，故11122n n n S a +++=- ②，由②-①得，111222n n n n n n a S S a a +++=-=--，即122nn n a a +-=，当2n ≥时，11222n nn n a a a a +--=-，又因为2122a a -=，∴数列1{2}n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列.(3)由(2)知122nn n a a +-=，等号两端同时除以12n +，得111222n n n n a a ++-=，且112a=， ∴数列{}2n n a是以1首项，以12为公差的等差数列，∴111(1)222n n a n n +=+-⨯= ，即1(1)2n n n a -+=. 故{}n a 的通项公式为1(1)2n n n a -+=.8．(2021·全国高二专题练习)设n S 为数列{}n a 的前n 项的和，且()*31N ,2n n S a n =-∈，求数列{}n a 的通项公式．【答案】3nn a =【解析】依题意()*31N ,2n n S a n =-∈ 当1n =时，()11113132a S a a ==-⇒=， 当2n ≥时，()()11331122n n n n n a S S a a --=-=---， 化简得13nn a a -=. 所以数列{}n a 是以13a =，公比为3的等比数列，所以3nn a =.【题组四 构造法】1．(2021·全国高三专题练习(理))在数列{}n a 中，11a =，122nn na a a +=+，n ∈+N ，则n a =( ) A ．21n a n =+ B ．21n na n =+ C ．12n n a n+=D ．221n n a n +=+ 【答案】A【解析】在{}n a 中，11a =， 由122n n n a a a +=+可得1211122n n n n a a a a ++==+， 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以111a 为首项，公差为12的等差数列，所以1111(1)22n n n a +=+-⋅=， 所以21n a n =+， 故选：A.2．(2021·河南高二期末(理))已知数列{}n a 满足112a =，12nn n a a a +=-，若11nn b a =-，则数列{}n b 的通项公式为n b =____________． 【答案】12n - 【解析】因为12nn na a a +=-， 所以1121n na a +=-， 所以11211221n n n a a a +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭， 而1111a -=，且11n nb a =-， ∴数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列， 11122n n n b --∴=⨯=.故答案为：12n -3．(2021·全国高二课时练习)数列{}n a 满足113a =，且()1123n n n n a a n a a ++-=+，求数列{}n a 的通项公式．【答案】()12n a n n =+【解析】∵113a =，且()1123n n n n a a n a a ++-=+，∴1111123n n n n n n a a n a a a a +++--==+， ∴当2n ≥时，12132111111111n nn a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()35721n =+++⋅⋅⋅++()3212n n ++=()2n n =+，又113a =也满足()12nn n a =+， ∴()12n a n n =+．4．(2021·全国高二专题练习)数列{}n a 中，1121,1n n a a a +=+=，求数列{}n a 的通项公式．【答案】21nn a =-【解析】依题意1121,1n n a a a +=+=，()1121n n a a ++=+，所以数列{}1n a +是以112a +=为首项，公比为2的等比数列， 所以12nn a +=，所以21nn a =-.5．(2021·云南昆明一中高三月考(理))已知数列{a n }中，a 1=3，11323n n n a a ++=+⋅，n ∈N *.求数列{a n }的通项公式；【答案】(21)3nn a n =-⋅【解析】由11323n n n a a ++=+⋅得：111123333n n n n n n a a ++++⋅=+，∴11233n n n n a a ++-=，即数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列， ∴213nn a n =-，故(21)3n n a n =-⋅. 6．(2021·全国高三专题练习)(1)在数列{}n a 中，11a =-，11243n n n a a -+=+⋅，求通项公式n a ；(2)在数列{}n a 中，11a =，()2*12n n a a n n +=+∈N ，求通项公式n a ．【答案】(1)114352n n n a --=⋅-⋅；(2)127223n n a n n -=⨯---．【解析】(1)设()11323n n n n a a λλ-++⋅=+⋅，比较系数得4λ=-，()1143243n n n n a a -+∴-⋅=-⋅．则数列{}143n n a --⋅是一个等比数列，其首项111435a --⋅=-，公比是2．114352n n n a --∴-⋅=-⋅，即114352n n n a --=⋅-⋅．(2)设()221(1)(1)2n n a n k n c a n kn c ++++++=+++．当212n n a a n +=+代入上式比较系数得2k =，3c =．于是()221(1)2(1)3223n n a n n a n n ++++++=+++ ()221(1)2(1)3223n n a n n a n n ++++++=+++，令223n n b a n n =+++，则{}n b 是公比为2，首项为2111237b a =+++=的等比数列，所以111272n n n b b --=⋅=⨯，故212237223n n n a b n n n n -=---=⨯---．7．(2021·全国高二专题练习)设数列{}n a 满足：*111,22,n n n a a a n +==+∈N .求数列{}n a 的通项公式.【答案】12n n a n -=⋅.【解析】由122nn n a a +=+知：111222n n n n a a ++-=，而1122a =， ∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项、公差为12的等差数列，即11(1)2222n n a n n =+⨯-=， ∴12n n a n -=⋅.8．(2021·全国)已知数列{}n a 中，11a =，121nn naa a +=+，求{}n a 的通项公式.【答案】121n a n =-. 【解析】121n n n a a a +=+，两边取倒数得121112n n n n a a a a ++==+，即1112n n a a +-=， 又因为111a ，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列，所以()112121n n n a =+-=-，故121n a n =-； 9．(2021·全国)已知数列{}n b 满足12b =，()1322,n n b b n n N *-=+≥∈，求数列{}n b 的通项公式.【答案】31nn b =-.【解析】数列{}n b 满足12b =，()1322,n n b b n n N *-=+≥∈.整理得()1131n n b b -+=+，所以数列{}1n b +是以113b +=为首项，3为公比的等比数列.故11333n n n b -+=⨯=， 31n n b ∴=-；10．(2021·江苏高三月考)已知数列{}n a 满足113,21n n a a a n +==-+，求数列{}n a 的通项公式；【答案】2nn a n =+【解析】121n n a a n +=-+，()()112n n a n a n +∴-+=- 由此可得数列{}n a n -构成以112a -=为首项，公比2q 的等比数列，利用等比数列通项公式得： 1222n n n a n --=⨯=，所以数列{}n a 的通项公式为：2nn a n =+.11(2021·全国高二专题练习)数列{}n a 中，12a =-，1212n n na a a +-=-，求n a 的通项公式. 【答案】2113n na =-- 【解析】1212n n n a a a +-=-，121212111222n n n n n n n na a a a a a a a +--+-+∴+=+==---两边取倒数得：()11321311111n n n n n n a a a a a a +-++-===-+++++， 令11n n b a =+，则113n n b b +=-+,可得111322n n b b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭又1111132122b a -=-=-+ 所以数列12n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为32-，公比为3的等比数列113322n n b -∴-=-⨯，故1131313322222n nn n b --=-⨯=-=即11312n n a -=+，解得2113n na =--.。