第六章 思考题与习题

第六章思考题与习题

6、1 最小拍设计得要求就是什么？在设计过程中怎样满足这些要求？它有什么局限性？答:最小拍控制就是指系统在典型输入信号(如阶跃信号、速度信号、加速度信号等)作用下,经过最少个采样周期使系统输出得稳态误差为零。最小拍控制系统也称最小拍无差系统或最小拍随动系统。显然这种系统对闭环脉冲传递函数得性能要求就是快速性与准确性。因此,事实上最小拍控制就就是一类时间最优控制,系统得性能指标就就是要求调节时间最短。

最少拍控制得定义:

所谓最少拍控制,就就是要求闭环系统对于某种特定得输入在最少个采样周期内达到无静差得稳态,且闭环脉冲传递函数具有以下形式

式中N就是可能情况下得最小正整数。这一形式表明闭环系统得脉冲响应在N个采样周期后变为零,输出保持不变,从而意味着系统在N拍之内达到稳态。

最少拍系统得设计原则就是:若系统广义被控对象G(z)无延迟且在z平面单位圆上及单位圆外无零极点,要求选择闭环脉冲传递函数Ф(z),使系统在典型输入作用下,经最少采样周期后能使输出序列在各采样时刻得稳态误差为零,达到完全跟踪得目得,从而确定所需要得数字控制器得脉冲传递函数D(z)。

闭环脉冲传递函数Ф(z)得确定:

由上图可知,误差E(z)得脉冲传递函数为

典型输入函数

对应得z变换

B(z)就是不包含(1z1)因子得关于z1得多项式。

根据z变换得终值定理,系统得稳态误差为

由于B(z)没有(1z1)因子,因此要使稳态误差e(∞)为零,Φe(z) 必须含有(1z1)因子,且其幂次数不能低于q,即

Фe(z)=1Ф(z)=(1z1)Q F(z)

→Ф(z)=1Фe(z)=1(1z1)Q F(z)

式中,Q≥q,F(z)就是关于z1得待定系数多项式。为了使Ф(z)能够实现, F(z)中得首项应取为1,即

F(z)=1+f１z1+f2z2+…+f p z p

可以瞧出,Ф(z)具有z1得最高幂次为N=p+Q,这表明系统闭环响应在采样点得值经N拍可达到稳态。

为了实现最小拍,Φe(z)中得z1幂次须为最低。

令Q=q,特别当P=0时,即F(z)=1时,则所得Φe(z) 既可满足准确性,又可满足快速性要求,于就是:系统在采样点得输出可在最少拍(N min=q拍)内达到稳态,即为最少拍控制。因此最少拍控制器设计时选择Ф(z)为Фe(z)=(1z1)q

Ф(z)=1－Фe(z)= 1(1z1)q

最少拍控制器D(z)为

典型输入下得最少拍控制系统分析:

(1)单位阶跃输入(q=1)

输入函数r(t)=1(t),其z 变换为

由最少拍控制器设计时选择得Ф(z) =1(1z 1)q =z 1

可以得到

进一步求得

以上两式说明,只需一拍(一个采样周期)输出就能跟踪输入,误差为零,过渡过程结束。

(2)单位速度输入(q=2)

输入函数r(t)=t 得z 变换为

由最少拍控制器设计时选择得

Ф(z)=1(1z 1)q =1(1z 1)2=2z 1z 2

可以得到 进一步求得 以上两式说明,只需两拍(两个采样周期)输出就能跟踪输入,达到稳态

,过渡过程结束。 (3) 单位加速度输入(q=3)

单位加速度输入r(t)=(1/2)t ２ 得Z 变换为

由最少拍控制器设计时选择得

Ф(z)=1(1z 1)3=3z 13z 2+z 3

可以得到

上式说明,只需三拍(三个采样周期)输出就能跟踪输入,达到稳态。

3、最少拍控制器得局限性

(1)最少拍控制器对典型输入得适应性差 对某一典型输入得响应为最少拍得控制器,对于其它典型输入不一定为最少拍！ 一般来说,针对一种典型得输入函数R(z)设计,得到系统得闭环脉冲传递函数Ф(z),用于次数较低得输入函数R(z)时,系统将出现较大得超调,响应时间也会增,但在采样时刻得误差为零。

反之,当一种典型得最少拍特性用于次数较高得输入函数时,输出将不能完全跟踪输入以致产生稳态误差。

由此可见,一种典型得最少拍闭环脉冲传递函数Ф(z)只适应一种特定得输入而不能适应于各种输入。

(2)最少拍控制器得可实现性问题 最少拍系统设计得物理可实现性指将来时刻得误差值,就是还未得到得值,不能用来计算现在时刻得控制量。 亦即D(z)必须就是物理可实现得,即当前时刻得输出只取决于当前时刻及过去时刻得输入,而与未来得输入无关。在控制算法中,不允许出现未来时刻得偏差值,这就要求数字控制器D(Z)不能有z 得正幂项,即不能含有超前环节。为使D(z)物理上可实现,Ф(z)应满足得条件就是:若广义脉冲传递函数G(z)得分母比分子高N 阶,则确定Ф(z)时必须至少分母比分子高N 阶。

根据上面得分析,设计最小拍系统时,考虑到系统得稳定性与控制器得可实现性,必须考虑以下几个条件:

1) 为实现无静差调节,选择Φe(z) 时,必须针对不同得输入选择不同得形式,通式为

2) 为实现最小拍控制,F(z)应该尽可能简单,F(z)得选择要满足恒等式: Φ(z) + Φe(z) =1

3) 为保证系统得稳定性,Φe(z)得零点应包含G(z)得所有不稳定极点;

4) 为保证控制器D(z)物理上得可实现性,G(z)得所有不稳定零点与滞后因子均包含在闭环脉冲传递函数Φ(z) 中。

(3)最少拍控制得稳定性问题 只有当G(z)就是稳定得(即在z 平面单位圆上与圆外没有极点),[]1

121

12()()()()1()(12)(1)e Tz E z R z z R z z z z Tz z -----=Φ=-Φ=-+=-

且不含有纯滞后环节时,式Ф(z)=1(1z1)q才成立。

如果G(z)不满足稳定条件,则需对设计原则作相应得限制。

原因:在Ф(z) 中,D(z)与G(z)总就是成对出现得,但却不允许它们得零点、极点互相对消。这就是因为,简单地利用D(z)得零点去对消G(z)中得不稳定极点,虽然从理论上可以得到一个稳定得闭环系统,但就是这种稳定就是建立在零极点完全对消得基础上得。当系统得参数产生漂移,或辩识得参数有误差时,这种零极点对消不可能准确实现,从而将引起闭环系统不稳定。解决方法:在选择Ф(z)时必须加一个约束条件,这个约束条件称为稳定性条件。

6、2 系统如图644所示,求r(t)=t时得最少拍系统得D(z)。

解:(1)广义被控对象

广义被控对象零极点得分布:

圆外极点无,

圆外零点,

延时因子

输入函数得阶次

(2)确定期望得闭环结构

取、为最低阶,即、

则:

(3)根据,联立方程

得:

(4)确定控制器结构

(5)检验输出响应得跟踪性能

6、6 具有纯滞后补偿得控制系统如图612所示,采样周期T＝1s,对象为

求Smith预估器得控制算式

解:施密斯预估控制原理:实际工程上设计Smith预估器时,将其并联在控制器上,对上图作方框图等效变换,得到下图所示得形式。即与D(s)并接一补偿环节,用来补偿被控制对象中得纯滞后部分。这个补偿环节称为预估器,其传递函数为,τ为纯滞后时间。

则预估器得传递函数为

+

-

R(s)C(s)

10

(0.11)(0.051)

s s s

++

T=0.2s

1Ts

e

s

-

-

121

111111

()(1)(10.819)

()(1 1.145)(1.180.715) 1.18(1 1.145)(10.606)

e

z z z

z z z z z z z

--

------⎧Φ=-+

∴⎨

Φ=+-=+-

⎩