高中数学数列知识点归纳及常考题型分析

数列知识点归纳及常考题型 一、 知识要点

1．数列的定义： 叫做数列。

2．数列中的每一个数都叫做这个数列的 ，其中第n 项记作n a ； 数列 ,,,,,321n a a a a 简记作{n a }。 3．数列的前n 项和n n

a a a a S ++++= 321与通项n a 的关系是： 。

4．数列的单调性与最值：数列{n a }是递增数列，则 ；数列{n a }是递减数列，则 。 5．等差数列与等比数列性质对比

二、 典型例题和基本方法

【题型一】根据递推关系求通项公式

1． 形如)(1n f a a n n +=+型的数列求通项公式可用累加法；)(1

n f a a n n =-用累乘法：

)()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a ；

例1． 在数列{}n a 中，12a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫

=++

⎪⎝⎭

，则n a = 2． 由含n S 与通项n a 的递推关系式求n a ，可用)2(,1≥-=-n S S a n n n ；

与数列各项的和有关的式子求n a ，可写出1-n 时的关系式，两式相减得)2(≥n a n 。 例2．设数列{}n a 满足2

1

123333

3

n n n a a a a -++++=

…，a ∈*

N ．求数列{}n a 的通项；

例3．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2(1)n

n n ba b S -=-．

（Ⅰ）证明：当2b =时，}2{1-⋅-n n n a 是等比数列； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式．

3． 形如d a a n n +=-1及q a a n n 1-=型的递推式求通项公式直接用等差数列、等比数列通项公式；或者把一个数列问

题转化成基本数列求解 例4．数列{}n a 中，11

=a ，231+=-n n a a ，=n

a

例5．在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*

N ．证明数列{}n a n -是等比数列.

例6．设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*

n ∈N ．

（Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若1n n a a +≥，*

n ∈N ，求a 的取值范围．

【题型二】数列求和

1．公式法求和： 等差、等比数列求和；

)1(2

11+=∑=n n k n

k ； )12)(1(6112

++=∑=n n n k n

k ；2

13)]1(2

1[+=∑=n n k n k 例7．已知数列{}n a 的通项n n a n -=2，求其前n 项和n S .

例8．已知数列))}(1({log *2N n a n

∈-为等差数列，且9,331==a a ，

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）证明11

1112312<-++-+-+n

n a a a a a a

2．倒序相加法、错位相减法、分组转化法、裂项相消法求和裂项求和：

1

1

1)1(1+-=+n n n n ；（!)!1(!n n n n -+=⋅）

例9．数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*

12()n n a S n +=∈N ．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T ．

例10．在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*

N ．

（Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*

N 皆成立．

例11．等差数列{}n a 的各项均为正整数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列，11b =，且2264b S =，{}n a b 是公比为64的等比数列．（1）求n a 与n b （2）证明：12

11

1n S S S +++

34

<．

练习：设数列{}n a 的前n 项的和1412

2333

n n n S a +=

-⨯+， ,3,2,1=n （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2n

n n T S =， ,3,2,1=n ，证明：1

32n

i i T =<∑

【题型三】等差数列、等比数列性质的应用

例12．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ ）

A.5

B.4

C. 3

D.2

例13．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6

S 12

＝ (A)

（A ）310 （B ）13 （C ）18 （D ）19

例14．设{n a }为公比q>1的等比数列，若2004a 和2005a 是方程03842

=+x x 的两根，则

=+20072006a a __________.

例15．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ） Ａ．2

Ｂ．4

Ｃ．6

Ｄ．8

例16．已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ A ）

A ．100 B. 101 C.200 D.201 练习：

1．等差数列的前n 项和为30，前2n 项和为100，则它的前3n 项和为( )

A 130

B 170

C 210

D 260 2．}{n a 为等差数列，n s 是前n 项和且===k s s s s k 则,,783

（ ）

A 2

B 11

C 4

D 12

3．等差数列{}n a 的公差是

2

1

，145100=S ，则99531a a a a ++++ 的值为 4．设{}n a 是公差为2-的等差数列，如果5097741=++++a a a a ，那么=++++99963a a a a

5．三个数n

m 1,1,1成等差数列，又2

2,1,n m 成等比数列，则n m n m ++22等于

6．等差数列{}n a 中，

9

3a a =，公差0

7．

}{},{n n b a 是等差数列且前n 项和分别为n n T S ,且

99

5321n n S a n T n b +==-则 8．已知正项数列{}n a 中，16a =

，点(n n A a 2

1y x =+上；数列{}n b 中，点(,)n n B n b 在过点()0,1，

以方向向量为()1,2的直线上。

（1） 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

(2) 若(()(n n a n f n b n ⎧=⎨

⎩为奇数）为偶数）

问是否存在k N *

∈，使(27)4()f k f k +=成立，若存在，求出k 值，若不存在，说

明理由；