第五章定积分的应用

“微元法”的思想及其应用是本章重点也是本章的难点。
三、对学习的建议
在本章所有讨论的问题中，积分式的建立都依赖于“微 元
法”这种数学思想，对于非均匀变化问题，这是求整体量的 普
在几何方面的应用，已经利用“微元法”推导出一些公式， 只需正确地使用公式即可，不需要再从“微元法”做起。要 注意的是这类题目一定要先画出正确的草图，以便确定积分 变量取 x 还是取 y，或是图形是否需要进行分割。
及y c，y d (c d )所围成的图形面积为
d
A c [g2 ( y) g1( y)]dy
(5-3)
(4) 一般而言，当曲边梯形的曲边由参数方程
x x(t)
y
y(t)
给出时，则梯形的面积为
A y(t)x(t)dt
(5-4)
其中，y(t) 0，与分别是由曲边左端点和右端点所对应的参 数值。即 x( ) x( ).
y
解 设所求体积为Vx，
b
由方程 x2 a2
y2 b2
1，
a
O
x ax
解得
y2
b2
1
x2 a2
，
于是有
b 图 5-3 例 3 示意
Vx
a y2dx
a
a b2
a
1
x2 a2
dx
4 ab2.
3
(类似可求椭圆绕 y 轴旋转所得的旋转体的体积，
Vy
b x2dy
b
b a2
A
2
0 [g2 ( y) g1( y)]dy
2
0
4
2
y
y2 4
dy
2y
y2 4
y3 12
2 0
7. 3
例2 求抛物线 y x2 2x与其过点 A(0, 4)的切线所围成的平面
图形的面积。 解 如图5-2所示，先求出过点
By
A(0, 4)与抛物线相切的切线
方程。由于 y 2x 2，所以 过抛物线上的点(x0 , y0 )的切线 方程为y y0 (2x0 2)(x x0 )， 因该切线过点A(0, 4)，代入该 方程可求得两个交点B(2, 8)， C(2, 0)。这时切线AB与AC的方
则所求平面曲线弧长为
l
b a
1 ( y)2 dx
b a
1
xdx
2
(1
3
x)2
b
3
a
2
[(1
3
b) 2
(1
3
a)2
]
3Байду номын сангаас
例6 求心形线 r a(1 cos ) 的周长。 y
解 取为积分变量，且
r( ) a sin，利用公式(5-10)
O
及对称性(见图5-5)所求周长为
2a x
图5-5 例 6 示意
2、在极坐标系下
若曲线方程由极坐标给出：r r( )， ，则由
曲线r r( )，半直线 ，半直线 所围成的曲边
扇形面积为
A 1 [r( )]2 d 2
(5-5)
在具体面积的求解中，可直接利用以上公式，而没有必
要再重复“微元法”的过程，这样可以简化求解过程。
例1 求由抛物线 y2 4x，( y 0)，与直线 2x y 4 0 及 y 0
0 2
1 3
x3
2
x
2
4
x
2 0
16 . 3
二、求旋转体的体积的方法
在第十七章，已经利用微元法建立了求旋转体体积的公式
如下： 1、由曲线 y f (x)，直线 x a，x b(a b)及 x 轴所围成 的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积为
V b y2dx b f 2 (x)dx
0
1 a3
8
(压力单位).
六、引力的求法
例9 设有一长度为 l、线密度为 的均匀细杆，在杆的中垂
线上，并且距杆 a 个单位长度处有一个质量为 m 的质点M。
求细杆对质点的引力。 解 用定积分的微元法. (1) 取变量，定区间
y l
2
y dy
y
r
取杆的中心为原点，杆位于 y
O
轴上，建立如图5-8所示的坐
(三) 思考题
1、定积分的几何应用有哪些？
答案
2、在直角坐标系下由上，下两条连续曲线 y f2 x，
y f1 x f2 x f1 x 及 x a，x b a > b所
围成的图形的面积 A 的计算公式是什么?
答案
3、求旋转体体积时，应注意及掌握哪些规律及方法？ 答案
4、请简要说明利用定积分微元法解决物理问题的步骤. 答案
O
C
x
A
图5-2 例 2 示意
程分别为 y 6x 4 与 y 2x 4。根据题意，取 x 为积分
变量较为简便，x [2, 2]。
在区间[2, 0]上，取上曲线 y f2 (x) x2 2x，下曲线 y f1(x) 6x 4，所对应的面积记为 A1。
在区间[0, 2]上，取上曲线 y f2 (x) x2 2x，下曲线 y f1(x) 2x 4，所对应的面积记为 A2。
t
给出， 则所求的弧长为
l [(t)]2 [ (t)]2 dt
(5-9)
若平面光滑曲线是由极坐标 r r( )，(1 2 )给出，
则所求弧长为
l 2 [r( )]2 [r( )]2 d 1
(5-10)
例5
求曲线
y
2
x
3 2
上相应从
a
到
b(0 a b)
的一段弧长。
3
1
解 取 x 为积分变量，并且 y x2，利用公式(17-8)，
(3) 在求解时，注意利用对称性，以简化求解过程.
三、求平面曲线弧长的方法
前面已经利用“微元法”求得平面光滑曲线 y f (x) 在
相应区间[a, b]上的弧长为
l b 1 ( y)2 dx b 1 [ f (x)]2 dx
a
a
若平面光滑曲线是由参数方程
(5-8)
x
y
(t) ， (t)
(4) 写出积分式 b f (x)dx，解之。 a
四、本章关键词
微元法
(二) 常见问题分类及解法
一、求平面图形面积的方法
到目前为止，已经利用定积分的几何意义和定积分的微元
法求得如下面积公式。
1、在直角坐标系下
(1) 连续曲线 y f (x) 0，x a，x b(a b)及 x 轴所围
x x dx
拉上建筑物顶所做的功，即功微元为 dW 5.88xdx.
(3) 求积分，算整量 所做的功为
x
W
50 5.88xdx
0
5.88 2
x2
50
0
7350.4(W
).
图5-6 例7 示意
五、求液体的侧压力的方法
例8 一个边长为 a 的正三角形薄板垂直地沉没在水中，它
的一个边与水面平齐，求薄板一侧所受的压力 (水的相对密
a
a
(5-6)
2、由曲线 x ( y)，直线 y c，y d (c d )与 y 轴所围成
曲边梯形绕 y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积为
V
d x2dy
d
2
(
y
) dy
c
c
(5-7)
在具体计算时，可直接利用以上公式求解旋转体的体积。
例3
求椭圆 x2 a2
y2 b2
1
绕
x
轴旋转所得的旋转体的体积。
l2
[r( )]2 [r( )]2 d
0
2a
(1 cos )2 ( sin )2 d
0
2a
2 2 cos d
2a
2 cos
d
0
0
2
2a
2 cos d
0
2
8a
sin
2
0
8a.
一般讲，求平面曲线弧长应注意以下两点：
① 由曲线方程的形式，确定积分变量、积分区间及相应的
求弧长公式。
(四) 课堂练习题
1、设一物体以速度 V t 4t t2 作直线运动，求物体从
开始运动到任一时刻 t 0 t 6 所经过的路程.
答案
2、求由曲线 y ln x，x 1，x e 所围曲边梯形的面积 S.
VF
k
m dy
a2 y2
于是VF在水平方向的分力VFx的近似值，即微小细杆对质点M
的引力在水平方向的分力微元为
am dy
dFx k
3
(a2 y2 )2
(3) 求积分，算整量 求积分得引力在水平方向的分力为
Fx
l
2 l
2
k
amdy
3
(a2 y2 )2
2kml
a 4a2 l2
另外，由对称性知道，引力在铅直方向的分力为Fy 0.
a
• M
x
标系，取 y 为积分变量，积
分区间为
l 2
,
l 2
；
l 2
图5-8 例 9 示意
(2)
取近似，定微元
在
y
的变化区间
l 2
,
l 2
内，视任一小
区间[ y, y dy]对应的一小段细杆为一个质点，其质量为 dy，
与M 相距r a2 y2，因此可求出这一小段细杆对质点M的引
力VF的大小为
0
注：a a2 y2 dy 由几何意义知其值为 1 a2.
0
4
在求一般旋转体的体积时，应注意掌握以下规律和求解方法：
(1) 明确旋转轴是 x 轴或是 y 轴，若是 x 轴，则被积表达
式为 f 2 (x)dx；若是 y 轴，则被积表达式为 2 ( y)dy.
(2) 画出草图，以帮助明确积分区间.
度为 )。
解 用定积分的微元法.
(1) 选变量，定区间 建
立如图5-7所示的直角坐 标系，并画出草图，写出AB的
直线方程 y a 3 x，取 x 为 23
积分变量，0,
3 2
a
为积分区间；
O
A
0,
a 2
x
y
x dx
x
B
3 2
a,
0
图5-7 例 8 示意
(2)
取近似，定微元
在
x
的变化区间
所围成的平面图形的面积。
y
4
解 如图5-1所示，求曲线 y2 4x
y2 4x
与直线 2x y 4 0 的交点为
2
(1, 2)
(1, 2)，取 y 为积分变量较简便，
2x y 4 0
y [0, 2]，x
g1( y)
y2 ， 4
O
2
x
图 5-1 例 1 示意
x
g2 (
y)
4
2
y
，利用公式(17-3)可得所求面积为
b
1
y2 b2
dy
4 a2b)
3
例4 求圆心在 (b，0)，半径为 a(b a) 的圆绕 y 轴旋转而成 的环状体的体积。
解 圆的方程为
ya
(x b)2 y2 a2
显然，此环状体的体积等
于由右半圆周
O
(b, 0)
x
x2 2 ( y) b a2 y2
和左半圆周
a
x1 1( y) b a2 y2
第五章 定 积 分 的 应 用 (一) 本 章 内 容 小 结 (二) 常见问题分类及解法 (三) 思 考 题 (四) 课 堂 练 习
(一) 本章内容小结
一、主要内容
利用“微元法”推导了平面图形面积、旋转体体积、曲线 弧
长的公式以及利用“微元法”解决了变力做功、引力、质量 和液
二体、压重力点等物和理难方点面的问题。
对于物理问题的应用，就必须从“微元法”做起。问题是 多种多样的，但一般步骤都是相同的。
(1) 画出正确的草图，建立适当的坐标系以确定积分变量。
(2) 确定积分变量变化区间[a,b]，在其中任取一子区间 [x, x dx]。
(3) 应用“以直代曲”、“以不变代变”的思想求出对应于 子区间[x, x dx]的待求整体量的微元 f (x)dx。
② 注意利用对称性以简化求解过程。
四、求变力做功的方法
例7 一条长 50m，质量为30kg的均匀链条悬挂于一建筑物 顶部，问把这链条全部拉上建筑物顶端，需做多少功？
解 用定积分的微元法来计算.
O
(1) 选变量，定区间 如图5-6所示，取链条向上 拉动的距离x 为积分变量，它的变化区间是[0,50]. (2) 取近似，定微元 任取一微小区间[x, x dx]，与之 对应的一小段链条的质量为5.88dx (N )，而将该小段
0,
3 2
a内任取一微小
的区间 [x, x dx]，将竖直放置的细条(见图17-7中阴影部分)近
似看作水平放置，即得到压力微元为
dF
xdA
xg2 ydx
ax
23 3
x2
dx；
(3) 求积分，算整量 所求的压力为
F
3a
2
0
ax
23 3
x2
dx
1 2
ax2
23 9
x3
3a 2
若记所求的面积为A的话，则 A A1 A2，利用公式(17-2)， 因此可得
A A1 A2
0 [(x2 2x) (6x 4)]dx 2[(x2 2x) (2x 4)]dx
2
0
0 (x2 4x 4)dx 2 (x2 4x 4)dx
2
0
1 3
x3
2x
2
4
x
图5-4 例4示意
分别与直线 y a，y a及y 轴所成的曲边梯形绕 y 轴
旋转所产生的旋转体之差(见图5-4)，因此所求的环状体
的体积
V
a a
2 2
(
y)dy
a a
2 1
(
y)dy
a
[(b
a2 y2 )2 (b
a2 y2 )2 ]dy
a
a
8 b
a2 y2 dy 2 2a2b.
图形面积为
b
A a f (x)dx
(5-1)
(2) 由上、下两条连续曲线 y f2 (x)，y f1(x)[ f2 (x) f1(x)]
及x a，x b(a b)所围成的图形的面积为
b
A a [ f2 (x) f1(x)]dx
(5-2)
(3) 由左、右两条连续曲线 x g1( y)，x g2 ( y)，[g2 ( y) g1( y)]