谈初中函数与方程(不等式)的关系

点方法也同此。另一种方法是当条件较复杂，无法直接得到这个点的完整坐标时，那么往往先由条件找出它的
横（纵坐标），然后将其代入二元二次方程 y=ax2+bx+c，看其是否有实数解。以上两种方法都体现了方程思想
的运用。其实，哪里有等式，哪里就有方程。函数与方程有着千丝万缕的关系，所以列方程、解方程是解决函
垫和重要性。
在学习一次函数图象时，往往有根据图象比较两者的函数值，如图：问何时 y1 的值大于 y2 的值？
在解决这类题wk.baidu.com时，一些同学不理解
这两个一次函数图象位于同一坐标系时的意义。 还有一些同学对这个结果的表达形式也不会作
y
y1 y2
答。这是因为没有理解好其实质就是取相同自
2
变量时代数式值的比较亦或可看作一个不等式 在图形上的表达。当然作为函数图象的形式
数有关问题时的不可或缺的一种方法。
函数方程思想在初中数学里始终贯穿于整个教学体系，因此，我们应注重函数思想的挖掘、渗透，在学好
方程的同时，用发展变化的观点去看待两者之间的关系，从而使掌握的知识层次更具深度和广度。
（责编：张军）
x
x
图象，来判断出交点的横坐标的大小应介于 1 和 1 之间。 2
函数图象往往可以使 某 些 抽 象 的 数 学 问 题 直 观 化 、 生 动 化 ，让抽象思维和形象思维结合，通过“以形助
数”，有 助 于 把 握 数 学 问 题 的 本 质 ， 从而起到优化解题途径的目的， 使 很 多 问 题 迎 刃 而 解 ， 且 解 法 简 捷 。
那么学习一次函数的时候，学生对下面这道题目会束手无策：
例：以方程 2x 3y 5 的解为坐标，所有点组成的图象是直线
A． y 2 x 5 B． y 2 x 5 C． y 2 x 5 D． y 2 x 5 （ ）
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解答这道题的障碍来源于方程与函数之间的理解而非等式变形。由此也体现出函数思想“隐”于方程的铺
轴的正半轴上，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A，B，且满足 6a-3b=2，
（1）求抛物线的解析式；
Y
（2）如果点 P 由点 A 出发沿
AB 边以 2cm/s 的速度向点 B 运动，同时
点 Q 由点 B 出发沿 BC 边以 1cm/s 的速度 向点 C 运动，当其中一点到达终点时， 另一点也随之停止运动。设S=PQ2(cm2)
（1，-2），Q（2，-1.5）。然后根据给出的三个定点 P，Q，B 来确定 R 的坐标。一般采取两种方法：一是根据平
行四边形的性质，直接确定点 R 的坐标，然后来验证其是否为二元二次方程的解即可。如在本题中，其中一种
是 PQ∥BR 且 PQ=BR 时，得 R（3，1.5），再将其代入 y=ax2+bx+c，发现左右相等，即确定已存在一点，其余几
o3
x
出现，则更好地表现出两者比较的发展趋势。
同样，在学习了一元二次方程和二次函数后，教学中更是频繁的提到两者之间的关联。如求二次函数图象
中的与 x 轴的交点，就是解令 y =0 的一个一元二次方程；拓展一下，一条直线与一条抛物线的交点也可以用求 方程的解来解答。与此同时，一元二次方程 ax2+bx+c=0 解的个数决定着二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与横轴的
①该商场决定用不超过 85000 元采购冰箱，彩电共 40 台，且冰箱的数量不 少于彩电数量的 5 。请你帮助该商场设计相应的进货方案；②哪种进货方案商场获得利润最大，最大利润是多
6 少？
解析：详解略。①有 3 种进货方案：冰箱 19 台，彩电 21 台；冰箱 20 台，彩电 20 台；冰箱 21 台，彩电
19 台。
②在求最大利润时，y 利润=20x+3200 ，x 代表冰箱的数量。可以采用一一代入的方法比较得到，但是当方 案数较多时，只要运用一次函数的增减性代入一次即可得到答案。在这种种情况下运用函数思想解决问题的优
势是较为明显的。
（2） 用函数图象解答方程或实际问题 函数的一大特点是运动状态的描述，而函数图象当仁不让的担当起这个角
C
O PQ
x
1 试求出 S 与运动时间 t 之间的函数
关系式，并写出 t 的取值范围；
A
B
②当 S= 5 时，在抛物线上是否存在点 R，使得 P，B，Q，R 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出 4
R 点的坐标；如果不存在，请说明理由。
解析：作为压轴出现的函数题常常有类似是否存在这种题型出现。解答上题的（2）中的②时，由 S= 5 得 P 4
谈初中函数与方程（不等式）的关系
岱山县高亭中学 郑金姬
函数描述了自然界中数量之间的关系，它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。而方程思想即将问
题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决。在初中数学里，我们常需要用函数模型，刻画运动变
化的规律；刻画变化过程中同类量之间的大小，需要用不等式模型；同时刻画运动变化过程中的某一瞬间，又需要用
方程模型。所以在某种程度上说方程中有函数，函数中又包含了方程。
在北师大版八年级上册还出现“二元一次方程组与一次函数”的章节，谈到方程组中每个含有二元的一次
方程都可看作一次函数，解方程组也是求二个函数图象的交点坐标。更进一步点明方程与函数思想的互溶，显
现出水乳交溶的现象。同样，在浙教版的教材中，函数也是以一种“先抑后扬”的方式贯穿于整个初中阶段，
通过逐步渗透，螺旋式的上升知识层次来达到函数思想的大现。也正是这种融会贯通的特性，要求我们在平常
的学习中能进一步揭示两者的内在联系，以求在解决相关问题时达到最佳效果。
一、函数与与方程（不等式）的有机融合
在浙教版的七（上）中有《代数式》实一章的教学内容。在教授代数式的
值这一节内容过程时，一些老师可能没有引起足够的重视，甚至于认为代入求值这个过程实在太简单，以致于
求，也存在一定的难度。同时它运用运动、变化、联系的观点去分析数学或现实生活中的数量关系。由此我们
常常借助函数来解决一些非函数问题。
（1） 用函数的增减性来求得方案中的最值问题 例：某商场指定型号的冰箱和彩电的进价和售价如下表：
类别
冰箱
彩电
进价（元/台） 2320
1900
售价（元/台） 2420
1980
色。数无形，少直观。有了函数图象的描述，可以让抽象的问题更直观化、具体化。也可使所要讨论的问题化
难为易，化繁为简。
①一巡逻艇和一货轮同时从 A 港口前往相距 100km 的 B 港口，巡逻艇和货轮的速度分别为 100km/h 和 20km/h，巡逻艇不停的往返于 A，B 两港口巡逻（巡逻艇调头的时间忽略不计），问货轮从 A 港口出发后直到 B 港口与巡逻艇一共相遇了几次？
A． 1 x 0 B． 0 x 1
2
2
C． 1 x 1 2
D．1 x 3 2
解答：对于这个方程，如果用初中已有的知识来解决是有困难的。而用函数图象来解决也有一定难度。因为 y x3
的图象初中数学中没有出现。但是我们可以让这个方程变形为： x2 1 1 。然后分别作出 y x2 1和 y 1 的
2．用方程思想解答函数中的问题 函数它包括了各式各样的知识点，是中学数学的一条主线索；而这一知识的精髓在于函数思想，函数思想
的应用不但是中考必考内容，常出现在压轴题上。尽管如此，函数的刻画还是离不开方程。
例：如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 OABC 的边长为 2cm，点 A，C 分别在 y 轴的负半轴和 x
此类问题小学里的数量关系也有涉及并可以解决，但是由于多次相遇显然难度大大增加，即使运用初中的
方程思想还是相当复杂。此时，函数图象的直观性就体现得淋漓尽致。在同一坐标系中构造出巡逻艇和货轮运
动的函数图象，如图：
y(km) 100
o 2 4 x(h)
由图象易得两者会相遇 4 次。
②运用函数图象求方程判断 x3 x 1 0 的解所以范围为（ ）
交点个数。其实，函数的动态描述往往离不开瞬间的刻画，而函数的动态也为瞬间提供了发展的趋势，所以两
种不同的思想方法函数与方程（不等式）却又在许多处不期而遇，体现出它们的不可分割性。
二、函数与方程（不等式）之间的有效转化
1．用函数思想解答非方程问题 函数涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要
忽略了它里面所包含的一一对应的初步的函数思想，这种教学就显得有点暴殄天物了，函数的思想已暴露无遗，
此时不加以渗透又更待何时？
接着，在学习二元一次方程时，映射思想再一次得到体现，而后又学习了等式变形。对于 3x+2y=6，如何
用 x 来 y 表示的题型，如果只是机械的运用等式的性质解答这类题目而没有从量之间的关系去加以理解的话，