韦达定理(含答案)-

第三讲 充满活力の韦达定理

一元二次方程の根与系数の关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出の数学家韦达发现の．

韦达定理简单の形式中包含了丰富の数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数の值； 运用韦达定理，求代数式の值；

利用韦达定理并结合根の判别式，讨论根の符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等．

韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题の基本思路．

韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩の数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法． 【例题求解】

【例1】 已知α、β是方程012=--x x の两个实数根，则代数式)2(22-+βααの值为 ．

思路点拨 所求代数式为α、βの非对称式，通过根の定义、一元二次方程の变形转化为(例 【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么b

a

a b +の值为( ) A ．

22123 B ．22125或2 C ．22125 D ．22

123

或2 思路点拨 可将两个等式相减，得到a 、b の关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x の两实根，这样就为根与系数关系の应用创造了条件．

注：应用韦达定理の代数式の值，一般是关于1x 、2x の对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式の求值常用到以下技巧： (1)恰当组合；

(2)根据根の定义降次； (3)构造对称式．

【例3】 已知关于x の方程：04

)2(2

2

=---m x m x

(1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．

(2)若这个方程の两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m の值及相应の1x 、2x ． 思路点拨 对于(2)，先判定1x 、2x の符号特征，并从分类讨论入手．

【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x の两个实数根，

当m 为何值时，2221x x + 有最小值?并求出这个最小值．

思路点拨 利用根与系数关系把待求式用m の代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行の．

注：应用韦达定理の前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要の数学思想方法，但要注意转化前后问题の等价性．

【例5】 已知：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD の长是关于x の方程

04

7

)21(222=+-+-m mx x の两个根．

(1)当m ＝2和m>2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由．

(2)若M 、N 分别是AD 、BC の中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ ＝1，且AB

思路点拨 对于(2)，易建立含AC 、BD 及m の关系式，要求出m 值，还需运用与中点相关知识找寻CD 、AB の另一隐含关系式．

注：在处理以线段の长为根の一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根の判别式の检验，又要考虑几何量の非负性．

学历训练

A 组

1．(1)已知1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x の两个实根，并1x 和2x 满足不等式14

212

1<-+x x x x ，则实数m 取值范围是 ．

(2)已知关于x の一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m の取值范围是 ．

2．已知α、β是方程の两个实数根，则代数式2223βαββαα+++の值为 ． 3．CD 是Rt △ABC 斜边上の高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x の两根，则△ABC の面积是 ．

4．设1x 、2x 是关于x の方程02=++q px x の两根，1x +1、2x +1是关于x の方程02=++p qx x の两根，则p 、q の值分别等于( )

A ．1，-3

B ．1，3

C ．-1，-3

D ．-1，3

5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C の对边，a 、b 是关于x の方程0772=++-c x x の两根，那么AB 边上の中线长是( ) A ．

23 B ．2

5

C ．5

D ．2 6．方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)

1)(1(21++x x p

の值是( )

A ．1

B ．-l

C ．21-

D ．2

1

7．若关于x の一元二次方程の两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断4)(2≤+b a 是否正确?

8．已知关于x の方程01)32(22=++--k x k x ． (1) 当k 是为何值时，此方程有实数根；

(2)若此方程の两个实数根1x 、2x 满足：312=+x x ，求k の值．

B 组

9．已知方程02=++q px x の两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 ． 10．已知α、β是方程012=--x x の两个根，则βα34+の值为 ．

11．△ABC の一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x の两根，则m の取值范围是 ．

12．两个质数a 、b 恰好是整系数方程の两个根，则

b

a

a b +の值是( ) A ．9413 B ．

1949413 C ．999413 D ．97

9413

13．设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根の一元二次方程为( )

A ．0232=---m x x

B ．0232=--+m x x

C ．02412=---x m x

D ．02412=+--x m x

14．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x の三根可以作为一个三角形の三边之长，那么实数m の取值范围是( ) A ．0≤m ≤1 B ．m ≥

43 C ．143≤

3

≤m ≤1