基尔霍夫公式

的影响。
于是公式（14）对 1 的的积分：
1
4
E
1
n
exp jkr
r
E
n
exp
r
jkr
d
0
（15）
.
⑵ 应用瑞利－索末菲条件
对于
2
上任意点
P1
，取格林函数
G
P1
exp
jkR
R
于是：
G P1 cos n
n, R
jk
1 R
e jkR R
jkG
因为:R , con n, R 1
.
图2
3． 应用格林定理 格林定理表示为：
v
G2E E2G
dv
S
G
E n
E
G n
d
（5）
式中 E 为包围 P 点的任意封闭面 S 上的电场，格林函数 G exp jkr 为从小面元 d 发出的球面子波对 P 点
r
的贡献量。应用上述定理，可将 E p 和包围 P 点的封闭面 S 上的电场 E ， E ， G ， G 联系起来。
E Q
e jkr0
A
，
r0
G Q e jkr
r
（22）
E Q
n
cos
n
,
r0
jk
1 r0
E
p
1 4
1 2
E
n
exp jkr
r
E
n
exp .
r
jkr
d
（14）
为了确定这三个面上的 E ，E 值，可以应用基尔霍夫边界条件（或基尔霍夫 n
近似）：
⑴
在屏的开孔
上，
E
，
E n
值由证明孔径的入射波决定，完全不受
1
的影
响；
⑵
在不透明屏
1
的右侧，
E
，
E n
值为零，完全不受开孔
0
（19） （20）
由于对 2 的积分为零，于是亥姆霍兹－基尔霍夫积分简化为对衍射孔径 的积分：
E
p
1 4
E
n
G
E
G n
d
（21）
.
⑶ 亥姆霍兹－基尔霍夫积分的进一步化简
如图 x 所示，对孔径平面上的任意点 Q ，设 E 是从 S0 点发出的单色球面波在 Q 点的分布，格林函数为 Q 点
发出的球面子波对考察点 P 的贡献量，于是有：
所示的闭合面传播时，光波复振幅
E
r
可用上式来描述。 .
2．亥姆霍兹－基尔霍夫定理 1882 年，基尔霍夫从亥姆霍兹方程出发，利用数学上的格林定理，导出
了一个求解标量波衍射的基本公式，即亥姆霍兹－基尔霍夫定理：
E p
1 4
s
E
n
exp jkr
r
E
n
exp
r
jkr
d
（4）
按照亥姆霍兹－基尔霍夫定理，首先将光波作为标量波，即只考虑电磁波的
（16）
于是，对 2 的积分化简为：
1 4
1
G
E n
E
jkG d
R
E n
jkEGR d
（17）
上式中， 是 2 对 P 点所张的立体角， d 是立体角元。由于
GR exp jkR 在 2 上一致有界，只要满足下述的索末菲辐射条件：
Rli mR
E n
j k E
0
对 2 的积分就会随着 R 而消失。
.
（18）
下面以单色球面波为例来证明索末菲辐射条件。
设
E
exp
jkR
R
为任意点源发出球面波在
2
上的复振幅，有：
E
n
cos
n, R
jk
1 R
e jkR R
1 R
jk
E
因为:con n, R 1
代入索末菲辐射条件式（18）的左边，得到：
lim
R RR
R
1 R
jk
E
jkE
r e jkr
1 r
n
r
r n
cos n, r
jk
1 r
e jkr r
（10）
对于
S
上的任意点
P1
，格林函数
G
P1
exp j
k
，
cos n ,
r
1
所以有：
G P1
n
1
jk
e jk
（11）
因为
G
，
G n
在
S
上为常数，
E
，
E n
在
S
上单值连续，应用积分中值定理：
S
G
E n
E
G n
d
4 2
附录：基尔霍夫衍射积分公式（4－7）证明
1． Helmholtz 方程 在均匀、各向同性、透明的无源媒质中，光波电磁场的传播可用由麦克斯韦方程组导出的波动微分方 程描述：
2E 2E 1 2E t 2 v2 t 2
（1）
如果用电矢量 E r,t 表示某种单色光波，其波函数为：
E r, t 0Ee x p j kr t E erxp j （t 2） 其中 E r 称为光波的复振幅。将 E r,t 代入波动微分方程（1）
n
n
由于应用格林定理时要求 E ， E ， G ， G 在 S 包围的空间 V 内单值连续，而 P 点是一个奇异点，为此，
n
n
用半径为 的小球面 S 将 P 点排除。于是封闭面由 S S S 组成。列出 E ， G 满足的 Helmholtz 方程：
2E K 2E 0
（6）
2E K 2E 0
E
n
e jk
E
1
jk
e jk
对上式取极限：
（12）
lim 4
0
P1 P
E n
e jk
E 1
jk e jk
4 E p
最后得出亥姆霍兹－基尔霍夫定理：
（13）
E p
1 4
s
E n
exp
r
jkr
E
n
exp
r
jkr
d
（4）
.
3． 基尔霍夫衍射积分公式的证明 ⑴ 应用基尔霍夫边界条件
一个分量，具体说就是以电矢量 E r,t 表示光波，并且认为在衍射空间只存
在入射波和衍射波；然后，将衍射空间任意点 P 的电场 E p ，用包围这一点
的任意封闭面 S 上的电场 E 和一阶外法向偏导数 E 来表示（图 1）。下面介 n
绍亥姆霍兹－基尔霍夫定理的推导过程。 r
n
r P1
P
S S
V
图1
左边： 2E r,t 2E rexp jt
右边：
1 v2
t
E r,t Байду номын сангаас
t
j 2
v2
E r exp
jt
K 2E r exp
jt
消去时间位相因子，即可导出：
2E r K2E r 0
（3）
上式称为 Helmholtz（亥姆霍兹）方程，它是光波复振幅满足的波动微分方程，当单色波通过图 4－3
为了简化亥姆霍兹－基尔霍夫公式，使其成为更便于计算衍射问题的形式，可按图 x 的方式选
取闭合面 S 1 2 ，其中
图3
1 －位于 , 平面上一个无穷大的不透明屏；
－不透明屏上一个开孔（衍射孔径）；
2 － 以考察点 P 为球心，半径 R 趋于无穷大的 球面。
于是公式（4）的亥姆霍兹－基尔霍夫积分可表示为：
并将上述方程代入格林定理，容易证明其左边：
G2E E2Gdv 0 v
于是，格林定理化简为：
S
G
E n
E
G n
d
S
G
E n
E
G n
d
（7） （8） （9）
.
3． 导出亥姆霍兹－基尔霍夫定理
在公式（9）中，对于
S
上的任意点
P1
，格林函数
G
P1
exp
r
jkr
G P1 1 e jkr n r r