三角函数及不等式练习题

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三角函数不等式练习题及解答

三角函数不等式练习题及解答一、简介三角函数是数学中的一类特殊函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

在解三角函数不等式时，我们需要运用这些函数的性质和相关的数学知识。

本文将为大家提供一些三角函数不等式的练习题及解答，帮助大家更好地掌握这一内容。

二、练习题与解答1. 解不等式sin(x) > 0的解集。

解析：根据正弦函数的性质可知，当角度x在区间(0, π)和(2π, 3π)等以π为周期的区间时，sin(x) > 0。

因此，该不等式的解集为S = {x | x∈ (0, π) ∪ (2π, 3π)}。

2. 解不等式cos(2x) ≥ 0的解集。

解析：将不等式转化为等价形式，cos(2x) = 0。

则有2x = π/2 + kπ (k 为整数) 或2x = 3π/2 + kπ (k为整数)。

化简得x = π/4 + kπ/2 或x = 3π/4+ kπ/2。

因此，该不等式的解集为S = {x | x ∈ [π/4 + kπ/2, 3π/4 + kπ/2]，k为整数}。

3. 解不等式tan(x) < 2的解集。

解析：tan(x) < 2可转化为tan(x) - 2 < 0。

根据正切函数的性质可知，tan(x) - 2 < 0的解集为角度x在区间(-π/4, arctan(2))和(arctan(2) + kπ, π/4+ kπ)，其中k为整数。

因此，该不等式的解集为S = {x | x ∈ (-π/4, arctan(2)) ∪ (arctan(2) + kπ, π/4 + kπ)，k为整数}。

4. 解不等式sin(3x) ≤ cos(2x)的解集。

解析：将不等式转化为等价形式得sin(3x) - cos(2x) ≤ 0。

对于这种类型的不等式，我们可以使用图像法和代数法来求解。

图像法解析：将sin(3x)和cos(2x)的图像绘制在同一坐标系中，找到它们的交点，即满足sin(3x) - cos(2x) ≤ 0的解集。

三角函数的方程与不等式练习题

三角函数的方程与不等式练习题1. 解方程：a) 解方程sin(x) = 0.5，其中0 ≤ x ≤ π。

解答：根据 sin(x) = 0.5 的定义，可以推导得到x = π/6 或x = 5π/4。

然而，由于题目给定了0 ≤ x ≤ π 的范围限制，因此只有x = π/6 符合条件。

b) 解方程3sin(2x) + 2 = 0，其中0 ≤ x ≤ 2π。

解答：将方程转化为 sin(2x) = -2/3。

根据 sin(2x) = -2/3 的定义，可以推导得到 x = (7π/6 + 2kπ)/2 或 x = (11π/6 + 2kπ)/2，其中 k 是整数。

然而，由于题目给定了0 ≤ x ≤ 2π 的范围限制，需要筛选符合条件的解。

将 k 代入方程中，可得x = (7π/6, 11π/6, 19π/6, 23π/6)。

其中，只有x = 7π/6 和x = 11π/6 在0 ≤ x ≤ 2π 的范围内。

因此，方程3sin(2x) + 2 = 0 的解为x = 7π/6 和x = 11π/6。

2. 解不等式：a) 解不等式sin(x) > 0.5，其中0 ≤ x ≤ 2π。

解答：首先，解方程sin(x) = 0.5，得到x = π/6 或x = 5π/6。

然后，通过画图或查表可以确定 sin(x) > 0.5 的解在0 ≤ x ≤ 2π 范围内为(π/6, π/2) 和(5π/6, 3π/2)。

因此，不等式sin(x) > 0.5 的解为 x 属于开区间(π/6, π/2) 和(5π/6, 3π/2)。

b) 解不等式2cos(3x) ≤ 1，其中0 ≤ x ≤ 2π。

解答：将不等式转化为cos(3x) ≤ 1/2。

根据cos(3x) ≤ 1/2 的图像或查表可以得到，解在整个定义域内为 (-∞, π/3] ∪ [5π/3, +∞)。

然而，由于题目给定了0 ≤ x ≤ 2π 的范围限制，需要筛选符合条件的解。

高一数学不等式、基本不等式与三角函数复习题(解析版)

0,a,b
的等比中项为
2，则
a
+
1 b
+
b
+
1的最小值为（
a
）
A．3
B．4
C．5
D．4 2
【答案】C
【详解】
∵ a + 1 + b + 1 = (a + b) + a+b = (a + b)(1 + 1 ) = 5 (a + b) ≥ 5 ⋅ 2 ab = 5，
b
a
ab
ab 4
4
等号成立当且仅当 a = b = 2，∴原式的最小值为 5.
（1）∵
a
1
sin
x,
sin
x
，
b
cos
x,1
∴ f x 1 sin x cos x sin x sin x cos x sin x cos x 1 sin 2x
2 ∴ T 2 .
2
（2） g x (1 sin x)cos x sin x sin x cos x sin x cos x
4
8
由图可得 x1 与 x2 关于 x
3 8
对称，
x1 x2
2 3 8
3 4
故选：A
9．已知
sin
6
3 5
，则
cos
4 3
（
）
4
A．
5
【答案】B
3
B．
5
C． 4 5
【详解】
D．- 3 5
cos
4 3
cos(3 2
(
6
)]
sin(
6

综合算式专项练习题三角函数与不等式组

综合算式专项练习题三角函数与不等式组在数学中，三角函数与不等式组是高中阶段的重要知识点，它们广泛应用于几何、代数和数学分析等领域。

通过综合算式专项练习题，我们能够更好地理解和掌握三角函数与不等式组的概念和解题方法。

本文将为大家带来一些综合算式专项练习题，帮助读者加深对此类题型的理解。

练习题一：求解三角函数的值1. 若角A的终边经过点（3，4），则sinA、cosA、tanA的值分别为多少？解析：根据勾股定理可知，当一个角A的终边经过点（3，4）时，其对应的直角三角形的斜边为5（3²+4²=5²）。

因此，sinA=4/5，cosA=3/5，tanA=4/3。

练习题二：解三角方程2. 解方程sinx+cosx=1的解集。

解析：将方程sinx+cosx=1转化为tan(x/2)的方程，有tan(x/2+π/4)=1。

根据解三角方程的一般步骤，解得x=2nπ+π/2和x=2nπ+7π/4，其中n为整数。

练习题三：求解不等式组3. 求解不等式组{sinx>0, cosx≤0}的解集。

解析：首先求解sinx>0的解集，得到x∈(2kπ, (2k+1)π)，其中k为整数。

其次求解cosx≤0的解集，得到x∈[(2k+1)π/2, 2kπ+(3π/2)]，其中k 为整数。

最后求解不等式组的解集，即求解两个不等式的交集，得到x∈(2kπ, (2k+1)π/2]，其中k为整数。

练习题四：变量替换求解4. 求解不等式组{sin^2x+2cos^2x≤1, sinx≥0}的解集。

解析：首先，将sin^2x+2cos^2x≤1转化为2cos^2x≤1-sin^2x，再将其化简为cos^2x+sin^2x≥1/2。

由于cos^2x+sin^2x=1，所以不等式组化简为1≥1/2，因此该不等式组的解集为全体实数。

练习题五：综合运用三角函数与不等式组5. 求解不等式组{tanx<1, cosx>0}的解集。

基本不等式三角函数客观题

考点一线性规划求目标函数最大值或最小值的步骤：作可行域、画平行线、解方程组、求最值.例题1 设z=2x+y中x,y满足下列条件4335251x yx yx-≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩求z的最大值和最小值.解：作出二元一次不等式组43 35251x yx yx-≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域（如图阴影部分所示）即可行域.考虑z=2x+y，将它变形为y=-2x+z，这是斜率为-2,随z变化的一簇平行直线,z是直线在y轴上的截距，当直线截距最大时,z的值最大.当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=2x+y取得最大值；当直线截距最小时，z的值最小，即在满足约束条件时目标函数z=2x+y取得最小值.由图可见，当直线z=2x+y经过可行域上的点A时，截距最大，即z最大.解方程组43035250x yx y-+=⎧⎨+-=⎩得A的坐标为(5,2).∴zmax=2×5+2=12.当直线z=2x+y经过可行域上的点B时，截距最小，即z最小.解方程组4301x yx-+=⎧⎨=⎩得B的坐标为(1,1).∴zmin=2x+y=2×1+1=3.习题1设实数,x y满足不等式组250270,x yx yx+-⎧⎪+-⎨⎪⎩＞＞≥，y≥0，若,x y为整数，则34x y+的最小值是A．14 B．16 C．17 D．19 【答案】B习题2 设m ＞1，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为A ．（1，1 B ．（1+∞）C ．（1,3 ）D ．（3，+∞）【答案】A习题3 若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．【答案】-6考点二基本不等式1、均值定理：若0a >，0b >，则a b +≥，即2a b+≥． ()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭； 2a b+称为正数a 、ba 、b 的几何平均数． 2、均值定理的应用：设x 、y 都为正数，则有⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ．⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值．注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。

高三数学三角函数试题答案及解析

高三数学三角函数试题答案及解析1.在中,已知,若分别是角所对的边,则的最大值为．【答案】【解析】由正余弦定理得：，化简得因此即最大值为.【考点】正余弦定理,基本不等式2. sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（）A．﹣B．C．D．﹣【答案】A【解析】sin7°cos37°﹣sin83°cos53°=cos83°cos37°﹣sin83°sin37°=cos（83°+37°）=cos120°=﹣，故选A．3.三角形ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为(sin A－cos B，cos A－sin C)，则的值是( )A．1B．－1C．3D．4【答案】B【解析】因为三角形ABC是锐角三角形，所以A＋B>90°，即A＞90°－B，则sin A＞sin(90°－B)＝cos B，sin A－cos B＞0，同理cos A－sin C＜0，所以点P在第四象限，＝－1＋1－1＝－1，故选B.4.已知函数则=【答案】【解析】因为函数由需要求的x都是整数，所以当x为奇数时的解析式为，当x为偶数时的解析式为.所以.所以.【考点】1.分段函数的性质.2.归纳推理的思想.3.三角函数的运算.4.等差数列的求和公式.5.若方程有实根，则实数的取值范围为【答案】【解析】由方程得，，即，因为，所以，若方程有实根，则，解得．【考点】方程的根．6.设，将函数在区间内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据三角函数的恒等变换化简，得，再根据三角函数的性质找到极值点，利用等差数列的性质写出数列的通项公式；（2）先根据（1）中的结果写出的通项公式，然后写出的解析式，在构造出，利用错位相减法求，计算量比较大，要细心.试题解析：（1），其极值点为， 2分它在内的全部极值点构成以为首项，为公差的等差数列， 4分所以； 6分（2）， 8分所以，，相减，得，所以. 12分【考点】1、三角函数的恒等变换及化简；2、三角函数的性质的应用；3、等差数列的通项公式；4、错位相减法求数列的前项和；5、等比数列的前项和.7.已知函数d的最大值为2，是集合中的任意两个元素，且的最小值为.（1）求函数的解析式及其对称轴；（2）若，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式、诱导公式、三角函数的最小正周期、单调性等基础知识，考查运算能力.第一问，利用倍角公式化简表达式，先利用周期求出，再求最值，通过解方程求出，确定了解析式后求正弦函数的对称轴；第二问，通过角之间的关系转化角，考查诱导公式和倍角公式.试题解析：（1），由题意知：的周期为，由，知 2分由最大值为2，故，又， 4分∴ 5分令，解得的对称轴为 7分（2）由知，即， 8分∴ 10分12分【考点】1.倍角公式；2.两角和与差的三角函数；3.函数的周期；4.函数的对称轴.8.是偶函数，，则 .【答案】【解析】，，所以，因为为偶函数，所以对任意的，都有即成立，又，所以.【考点】三角函数的恒等变换，偶函数.9.已知方程在上有两个不同的解、，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于方程在上有两个不同的解、，即方程在上有两个不同的解、，也就是说，直线与函数在轴右侧的图象有且仅有两个交点，由图象可知，当时，直线与曲线相切，且切点的横坐标为，当时，，则，故，在切点处有，即，，两边同时乘以得，，故选C.【考点】1.函数的零点；2.函数的图象；3.利用导数求切线的斜率10.将函数图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将函数的图像按题中要求变换后得到函数的图像，令，则，当时，.【考点】1.三角函数的变换；2.三角函数图象的对称轴.11.函数f(x)=sin+ACos(＞0)的图像关于M(,0)对称,且在处函数有最小值,则的一个可能取值是( )A．0B．3C．6D．9【答案】D【解析】根据题意：相邻对称点与最小值之间可以相差也可以是不妨设为：＝，可以为９，故选D.【考点】三角函数的最值；正弦函数的对称性．12.已知函数，（1）求的值；（2）若，且，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直接将代入计算即可；（2）用二倍角的正弦、余弦公式化简，再将正弦、余弦合为同一个的三角函数；根据已知条件，求出的值.试题解析：(1)(2)因为，且，所以，所以【考点】1、三角恒等变换；2、三角函数的基本运算.13.已知函数的最小正周期为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）讨论在区间上的单调性.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当，即时，单调递增；当，即，单调递减.【解析】（1）由题意，所以由（1）知若，则当，即时，单调递增；当，即，单调递减.第（1）题根据三角函数的和差化简，二倍角公式以及辅助角公式，最后化成的形式，利用确定的值；第（2）题用整体法的思想确定的单调性，再反求出在指定范围内的单调性.本题属简单题.【考点】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度.14.已知函数若方程有三个不同的实根，且从小到大依次成等比数列，则m的值为 .【答案】【解析】设三个根由小到大依次为，结合余弦函数图像可知关于直线对称，关于直线对称，代入计算得【考点】三角函数图像及性质点评：题目中主要结合三角函数图像的轴对称性找到三根之间的联系15.已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，即，，所以，=，故选B。

专题十七与三角函数结合之证明不等式问题解析版

专题十七与三角函数结合之证明不等式问题1．已知函数f（x）＝e x sin x﹣ax．（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当a≤0时，判断f（x）在上的单调性，并说明理由；（Ⅲ）当a＜1时，求证：，都有f（x）≥0．【分析】（Ⅰ）根据题意，当a＝0时，f（x）＝e x sin x，计算其导数进而可得f'（0）＝1，又由f（0）＝e0sin0＝0，由直线的点斜式方程计算可得答案；（Ⅱ）根据题意，求出f（x）的导数，由a的范围，结合函数的单调性与函数导数的关系分析可得结论；（Ⅲ）根据题意，分a≤0与0＜a＜1两种情况讨论，利用导数分析函数的单调性与最小值，综合即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝e x sin x，则有f′（x）＝e x sin x+e x cos x，则f'（0）＝1．又f（0）＝e0sin0＝0，所以曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y＝x；（Ⅱ）因为f（x）＝e x sin x﹣ax，所以f'（x）＝e x（sin x+cos x）﹣a＝，因为，所以．所以．所以当a≤0时，f'（x）≥0，所以f（x）在区间单调递增；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当a≤0时，f（x）在区间单调递增，所以时，f（x）≥f（0）＝0．当0＜a＜1时，设g（x）＝f'（x），则g'（x）＝e x（sin x+cos x）+e x（cos x﹣sin x）＝2e x cos x，g （x ），g '（x ）随x 的变化情况如下表：xg '（x ） + 0 ﹣ g （x ）1﹣ag （x ）递增极大值g （x ）递减﹣a所以f '（x ）在上单调递增，在上单调递减，因为f '（0）＝1﹣a ＞0，，所以存在唯一的实数，使得f '（x 0）＝0，且当x ∈（0，x 0）时，f '（x ）＞0，当时，f '（x ）＜0，所以f （x ）在[0，x 0]上单调递增，f （x ）在上单调递减．又 f （0）＝0，，所以当0＜a ＜1时，对于任意的，f （x ）≥0．综上所述，当a ＜1时，对任意的，均有f （x ）≥0．【点评】本题考查函数导数的应用，涉及利用导数求切线方程以及最值问题，属于综合题． 2．已知函数．（Ⅰ）求曲线y ＝f （x ）在x ＝0处的切线方程；（Ⅱ）求f （x ）在（0，π）上的单调区间；（Ⅲ）当m ＞1时，证明：g （x ）在（0，π）上存在最小值．【分析】（I ）利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求解；（II ）令f ′（x ）＝0，即，x ∈（0，π），得，然后分析当x 变化时，f ′（x ），f （x ）变化关系即可；（III ）结合函数的导数与单调性的关系判断g （x ）在（0，π）上单调性，即可证明【解答】解：（Ⅰ）因为f （x ）＝x ﹣2sin x +1，所以f ′（x ）＝1﹣2cos x则f（0）＝1，f′（0）＝﹣1，所以切线方程为y＝﹣x+1……………………（4分）（Ⅱ）令f′（x）＝0，即，x∈（0，π），得当x变化时，f′（x），f（x）变化如下：xf′（x）﹣0+f（x）减最小值增所以函数f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为…………………（8分）（Ⅲ）因为，所以g′（x）＝x﹣m sin x令h（x）＝g′（x）＝x﹣m sin x，则h′（x）＝1﹣m cos x……………（9分）因为m＞1，所以所以h′（x）＝1﹣m cos x＝0，即在（0，π）内有唯一解x0当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，当x∈（x0，π）时，h′（x）＞0，所以h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，π）上单调递增．……………（11分）所以h（x0）＜h（0）＝0，又因为h（π）＝π＞0所以h（x）＝x﹣m sin x在（x0，π）⊆（0，π）内有唯一零点x1……………（12分）当x∈（0，x1）时，h（x）＜0即g′（x）＜0，当x∈（x1，π）时，h（x）＞0即g′（x）＞0，……………（13分）所以g（x）在（0，x1）上单调递减，在（x1，π）上单调递增．所以函数g（x）在x＝x1处取得最小值即m＞1时，函数g（x）在（0，π）上存在最小值……………………………………（14分）【点评】本题主要考查了函数导数与单调性的关系的应用，导数的几何意义的应用，属于综合试题3．已知函数f（x）＝x﹣sin x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（，f（））处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x∈（0，）时，0＜f（x）＜x3．【分析】（Ⅰ）求出f′（x）＝1﹣cos x，利用导数的几何意义能求出曲线y＝f（x）在点（，f（））处的切线方程．（Ⅱ）由f′（x）＝1﹣cos x＞0，得f（x）是增函数，从而f（x）＞f（0）＝0﹣sin0＝0，构造函数g（x）＝x﹣sin x﹣x3＝x﹣﹣sin x，g′（x）＝1﹣﹣cos x，g''（x）＝﹣x+sin x＜0，利用导数性质能证明当x∈（0，）时，0＜f（x）＜x3．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝x﹣sin x，∴f′（x）＝1﹣cos x，∴f′（）＝1，f（）＝﹣1，∴曲线y＝f（x）在点（，f（））处的切线方程为：y﹣+1＝（x﹣），整理得：x﹣y﹣1＝0．证明：（Ⅱ）先证明f（x）＞0，∵f′（x）＝1﹣cos x＞0，∴f（x）是增函数，∴f（x）＞f（0）＝0﹣sin0＝0，构造函数g（x）＝x﹣sin x﹣x3＝x﹣﹣sin x，g′（x）＝1﹣﹣cos x，g''（x）＝﹣x+sin x＜0，∴g′（x）递减，即g′（x）＜g′（0）＝0，∴g（x）递减，g（x）＜g（0）＝0，∴x﹣sin x＜，∴当x∈（0，）时，0＜f（x）＜x3．【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，考查不等式的证明，考查导数的几何意义、导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．4．已知函数，（1）求函数f（x）的极小值（2）求证：当﹣1≤a≤1时，f（x）＞g（x）【分析】（1）f′（x）＝﹣＝，（x∈（0，+∞））．对a分类讨论，利用导数研究单调性极值即可得出结论．（2）令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝lnx+﹣＝，x∈（0，+∞）．当﹣1≤a≤1时，要证f（x）＞g（x），即证F（x）＞0，即xlnx﹣a sin x+1＞0，即证xlnx＞a sin x﹣1．对a分类讨论，利用导数研究单调性极值通过放缩即可证明结论．【解答】解：（1）f′（x）＝﹣＝，（x∈（0，+∞））．当a﹣1≤0时，即a≤1时，f′（x）＞0，函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，无极小值；当a﹣1＞0时，即a＞1时，f′（x）＜0，解得0＜x＜a﹣1，函数f（x）在（0，a﹣1）上单调递减．f′（x）＞0，解得x＞a﹣1，函数f（x）在（a﹣1，+∞）上单调递增．∴x＝a﹣1时，函数f（x）取得极小值，f（a﹣1＝1+ln（a﹣1）．综上所述，当a≤1时，f（x）无极小值；当a＞1时，f（x）极小值＝1+ln（a﹣1）．（2）令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝lnx+﹣＝，x∈（0，+∞）．当﹣1≤a≤1时，要证f（x）＞g（x），即证F（x）＞0，即xlnx﹣a sin x+1＞0，即证xlnx＞a sin x﹣1．①当0＜a≤1时，令h（x）＝x﹣sin x，h′（x）＝1﹣cos x≥0，所以h（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，故h（x）＞h（0）＝0，即x＞sin x．∴ax﹣1＞a sin x﹣1，令u（x）＝xlnx﹣x+1，u′（x）＝lnx，当x∈（0，1），u′（x）＜0，u（x）在（0，1）上单调递减；x∈（1，+∞），u′（x）＞0，u（x）在（1，+∞）上单调递增．故u（x）≥u（1）＝0，即xlnx≥x﹣1．当且仅当x＝1时取等号．又∵0＜a≤1，∴xlnx≥x﹣1≥ax﹣1．由上面可知：xlnx≥x﹣1≥ax﹣1＞a sin x﹣1，所以当0＜a≤1，∴xlnx＞a sin x﹣1．②当a＝0时，即证xlnx＞﹣1．令v（x）＝xlnx，v′（x）＝lnx+1，可得v（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，v（x）min＝v（）＝﹣＞﹣1，故xlnx＞﹣1．③当﹣1≤a＜0时，当x∈（0，1]时，a sin x﹣1＜﹣1，由②知v（x）＝xlnx≥﹣，而﹣＞﹣1，故xlnx＞a sin x﹣1．当x∈（1，+∞）时，a sin x﹣1≤0，由②知v（x）＝xlnx＞v（1）＝0，故xlnx＞a sin x﹣1；所以，当x∈（0，+∞）时，xlnx＞a sin x﹣1．综上①②③可知，当﹣1≤a≤1时，f（x）＞g（x）．另证：xlnx﹣a sin x+1＞0另一种方法：可设其为h（a），﹣1≤a≤1．h'（a）＝﹣sin x．分两类讨论都可以证出结论．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．5．已知函数f（x）＝，0＜x＜π．（Ⅰ）若x＝x0时，f（x）取得极小值f（x0），求实数a及f（x0）的取值范围；（Ⅱ）当a＝π，0＜m＜π时，证明：f（x）+mlnx＞0．【分析】（Ⅰ）根据x＝x0时，f（x）取得极小值f（x0），可得f'（x0）＝0，解方程得a＝sin x0﹣x0cos x0，将a代入f（x）进一步求出f（x0）的范围；（Ⅱ）证明f（x）+mlnx＞0成立，即证明mlnx＞sin x﹣π成立，构造函数g（x）＝mlnx，h（x）＝sin x﹣π，根据g（x）和h（x）的图象和最值可证该不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）＝，0＜x＜π，得f'（x）＝，∵当x＝x0时，f（x）取得极小值f（x0），∴f'（x0）＝0，∴a＝sin x0﹣x0cos x0，∴f（x0）＝，∵0＜x＜π，∴cos x0∈（﹣1，1），∴f（x0）∈（﹣1，1），即f（x0）的取值范围为：（﹣1，1）．（Ⅱ）当a＝时，f（x）＝，要证f（x）+mlnx＝成立，即证mxlnx＞sin x﹣π成立，令g（x）＝mxlnx，h（x）＝sin x﹣π，则g'（x）＝m（lnx+1），h（x）＝sin x﹣π∈（﹣π，1﹣π]，令g'（x）＝0，则x＝，∴当0＜x＜时，g'（x）＜0，此时g（x）递减；当时，g'（x）＞0，此时g（x）递增，∴g（x）min＝g（）＝，显然∀m∈（0，π），＞1﹣π，∴0＜m＜π，g（x）＞h（x），即0＜m＜π时，f（x）+mlnx＞0【点评】本题考查了利用导致研究函数的极值，考查了运算求解能力和化归与转化思想，属难题．6．（1）求证：x≥0时，cos x≥1﹣x2恒成立；（2）当a≥1时，∀x∈[0，+∞），证明不等式xe ax+x cos x+1≥（1+sin x）2恒成立．【分析】（1）令f（x）＝cos x﹣1+x2，x∈[0，+∞），f（0）＝0．利用导数研究其单调性即可证明．（2）由（1）可得：cos x≥1﹣x2，x≥sin x，在x∈[0，+∞）上恒成立．又当a≥1时，∀x∈[0，+∞），xe ax≥xe x．因此当a≥1时，∀x∈[0，+∞），证明不等式xe ax+x cos x+1≥（1+sin x）2恒成立⇔xe x+x（1﹣x2）+1≥（1+x）2，x∈[0，+∞），⇔e x﹣（x2+x+1）≥0，x∈[0，+∞），令g（x）＝e x﹣（x2+x+1），x∈[0，+∞），g（0）＝0．利用导数研究其单调性即可证明．【解答】证明：（1）令f（x）＝cos x﹣1+x2，x∈[0，+∞），f（0）＝0．f′（x）＝﹣sin x+x，令u（x）＝x﹣sin x，x∈[0，+∞），u（0）＝0．则u′（x）＝1﹣cos x≥0，∴函数u（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，∴u（x）≥u（0）＝0．∴函数f（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0）＝0．因此x≥0时，cos x≥1﹣x2恒成立．（2）由（1）可得：cos x≥1﹣x2，x≥sin x，在x∈[0，+∞）上恒成立．又当a≥1时，∀x∈[0，+∞），xe ax≥xe x．∴当a≥1时，∀x∈[0，+∞），证明不等式xe ax+x cos x+1≥（1+sin x）2恒成立⇔xe x+x（1﹣x2）+1≥（1+x）2，x∈[0，+∞），⇔e x﹣（x2+x+1）≥0，x∈[0，+∞），令g（x）＝e x﹣（x2+x+1），x∈[0，+∞），g（0）＝0．g′（x）＝e x﹣x﹣1，x∈[0，+∞）．令h（x）＝e x﹣x﹣1，x∈[0，+∞），h（0）＝0．h′（x）＝e x﹣1≥0，只有当x＝0时取等号，∴g′（x）≥0，在x∈[0，+∞）上恒成立．∴g（x）≥0在x∈[0，+∞）上恒成立．∴当a≥1时，∀x∈[0，+∞），证明不等式xe ax+x cos x+1≥（1+sin x）2恒成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．7．已知函数（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的值域；（2）若不等式f（x）≥k（x﹣1）（1﹣sin x）对任意恒成立，求实数k的取值范围；（3）证明：．【分析】（1）利用导数求函数的值域即可；（2）恒成立问题转化为最值即可；（3）构造函数可解决此问题．【解答】解：（1）f'（x）＝e x﹣e x（sin x+cos x）＝e x（1﹣sin x﹣cos x）＝＝，∵，∴，∴，所以f'（x）≤0，故函数f（x）在上单调递减，函数f（x）的最大值为f（0）＝e0﹣e0sin0＝1；f（x）的最小值为，所以函数f（x）的值域为[0，1]．（2）原不等式可化为e x（1﹣sin x）≥k（x﹣1）（1﹣sin x）…（*），因为1﹣sin x≥0恒成立，故（*）式可化为e x≥k（x﹣1）．令g（x）＝e x﹣kx+k，则g'（x）＝e x﹣k当k≤0时，g'（x）＝e x﹣k＞0，所以函数g（x）在上单调递增，故g（x）≥g（0）＝1+k≥0，所以﹣1≤k≤0；当k＞0时，令g'（x）＝e x﹣k＝0，得x＝lnk，且当x∈（0，lnk）时，g'（x）＝e x﹣k＜0；当x∈（lnk，+∞）时，g'（x）＝e x﹣k＞0．所以当，即时，函数g（x）min＝g（lnk）＝2k﹣klnk＝k（2﹣lnk）＞0，成立；当，即时，函数g（x）在上单调递减，，解得综上，．（3）令，则．由，故存在，使得h'（x0）＝0即．且当x∈（﹣∞，x0）时，h'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0．故当x＝x0时，函数h（x）有极小值，且是唯一的极小值，故函数＝，因为，所以，故，．【点评】本题考查函数的值域的求法，恒成立问题和存在性问题与函数最值的转化．8．已知函数f（x）＝（x﹣m）lnx（m≤0）．（1）若函数f（x）存在极小值点，求m的取值范围；（2）证明：f（x+m）＜e x+cos x﹣1．【分析】（1）求函数的导数，结合函数极值和导数之间的关系进行讨论求解即可．（2）求函数的导数，讨论x的取值范围，结合函数单调性和最值之间的关系进行证明即可．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）＝+lnx＝1﹣+lnx，①当m＝0时，f′（x）＝0得x＝，当x∈（0，）时，f'（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f'（x）＞0，∴x＝是函数f（x）的极小值点，满足题意②当m＜0时，令g（x）＝f′（x），g'（x）＝+＝，令g′（x）＝0，解得x＝﹣m，当x∈（0，﹣m）时，g′（x）＜0当x∈（﹣m，+∞）时，g'（x）＞0∴g（x）min＝g（﹣m）＝2+ln（﹣m），若g（﹣m）≥0，即m≤﹣e﹣2时，f'（x）＝g（x）≥0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值点，不满足题意．若g（﹣m）＝2+ln（﹣m）＜0，即﹣e﹣2＜m＜0时，g（1﹣m）＝1﹣+ln（1﹣m）＞0∴g（﹣m）•g（1﹣m）＜0，又g（x）在（﹣m，+∞）上单调递增，∴g（x）在（﹣m，+∞）上恰有一个零点x1，当x∈（﹣m，x1）时，f'（x）＝g（x）＜0，当e∈（x1，+∞）时，f'（x）＝g（x）＞0，∴x1是f（x）的极小值点，满足题意，综上，﹣e﹣2＜m≤0．（2）当m≤0时，f（x+m）＝xln（x+m）≤xlnx，若xlnx＜e x+cos x﹣1成立，则f（x+m）＜e x+cos x﹣1必成立，①若x∈（0，1]，则e x+cos x﹣1＞0，xlnx≤0，∴xlnx＜e x+cos x﹣1成立，∴f（x+m）＜e x+cos x﹣1成立②若x＞1，令h（x）＝e x+cos x﹣xlnx﹣1，h'（x）＝e x﹣sin x﹣lnx﹣1，令φ（x）＝h’（x），φ'（x）＝e x﹣﹣cos x，∵x＞1，∴φ′（x）＝e x﹣﹣cos x＞0，∴φ（x）在（1，+∞）上单调递增φ（x）＞φ（1）＝e﹣sin1﹣1＞0，即h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（1）＝e+cos1﹣1＞0，∴x＞1时，xlnx＜e x+cos1﹣1成立，∴x＞1时，f（x+m）＜e x+cos x﹣1成立．【点评】本题主要考查导数的综合应用，结合函数的极值，单调性和导数之间的关系，转化为导数问题，以及构造函数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．9．设函数f（x）＝e x cos x，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[，]时，证明f（x）+g（x）（﹣x）≥0；（Ⅲ）设x n为函数u（x）＝f（x）﹣1在区间（2nπ+，2nπ+）内的零点，其中n∈N，证明：2nπ+﹣x n＜．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，可得当x∈（，）（k∈Z）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（，）（k∈Z）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；（Ⅱ）记h（x）＝f（x）+g（x）（），依题意及（Ⅰ），得到g（x）＝e x（cos x﹣sin x），由h′（x）＜0，得h（x）在区间[，]上单调递减，有h（x）≥h（）＝f（）＝0，从而得到当x∈[，]时，f（x）+g（x）（﹣x）≥0；（Ⅲ）依题意，u（x n）＝f（x n）﹣1＝0，即，记y n＝x n﹣2nπ，则y n∈（），且f（y n）＝e﹣2nπ（x∈N）．由f（y n）＝e﹣2nπ≤1＝f（y0）及（Ⅰ），得y n≥y0，由（Ⅱ）知，当x∈（，）时，g（x）在[，]上为减函数，有g（y n）≤g（y0）＜g（）＝0，又由（Ⅱ）知，，得＝＝＜，从而证得2nπ+﹣x n＜．【解答】（Ⅰ）解：由已知，f′（x）＝e x（cos x﹣sin x），因此，当x∈（，）（k∈Z）时，有sin x＞cos x，得f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（，）（k∈Z）时，有sin x＜cos x，得f′（x）＞0，f（x）单调递增．∴f（x）的单调增区间为[，]（k∈Z），单调减区间为[，]（k∈Z）；（Ⅱ）证明：记h（x）＝f（x）+g（x）（），依题意及（Ⅰ），有g（x）＝e x（cos x﹣sin x），从而h′（x）＝f′（x）+g′（x）•（）+g（x）•（﹣1）＝g′（x）（）＜0．因此，h（x）在区间[，]上单调递减，有h（x）≥h（）＝f（）＝0．∴当x∈[，]时，f（x）+g（x）（﹣x）≥0；（Ⅲ）证明：依题意，u（x n）＝f（x n）﹣1＝0，即．记y n＝x n﹣2nπ，则y n∈（），且f（y n）＝＝e﹣2nπ（x∈N）．由f（y n）＝e﹣2nπ≤1＝f（y0）及（Ⅰ），得y n≥y0，由（Ⅱ）知，当x∈（，）时，g′（x）＜0，∴g（x）在[，]上为减函数，因此，g（y n）≤g（y0）＜g（）＝0，又由（Ⅱ）知，，故＝＝＜．∴2nπ+﹣x n＜．【点评】本题主要考查导数的运算，不等式的证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和化归与转化思想，考查抽象概括能力、综合分析问题与解决问题的能力，属难题．。

三角函数与不等式练习题

三角函数与不等式练习题三角函数与不等式是高中数学中的重要内容，通过练习题可以帮助我们巩固和提升对这些概念的理解和运用。

本文将为大家提供一些三角函数与不等式练习题，并对解题方法和思路进行分析。

题目一：求解sin(x) > 0的解集。

解析：首先，我们需要知道sin(x) > 0在何时成立。

根据三角函数的图像和性质，sin(x) > 0是在0到π之间的区间内成立的。

因此，sin(x) > 0的解集为x ∈ (0, π)。

题目二：求解cos(2x) > 1/2的解集。

解析：我们需要利用三角函数的相关性质，将cos(2x)转化为cos(x)的表示形式。

利用余弦函数的倍角公式：cos(2x) = 2cos^2(x) - 1，我们可以得到：2cos^2(x) - 1 > 1/2进一步整理得到：cos^2(x) > 3/4根据平方根的性质，我们可以得到两个不等式：cos(x) > √(3/4) 或 cos(x) < -√(3/4)利用余弦函数的图像和周期性质，我们可以知道：cos(x) > √(3/4)在0到π/6和5π/6到2π之间成立；cos(x) < -√(3/4)在π/3到2π/3之间成立。

因此，cos(2x) > 1/2的解集为x ∈ (0, π/6) ∪ (5π/6, 2π)。

题目三：求解tan(x) ≤ 1的解集。

解析：我们需要注意tan(x)的定义域，即x不可以是π/2 + kπ，其中k为整数。

对于tan(x) ≤ 1，我们可以根据其图像和周期性质进行分析。

在一个周期内，tan(x) > 1的区间为(π/4, 3π/4)，而tan(x) < 1的区间为(3π/4, π)。

由于tan(x)的周期为π，我们可以得到tan(x) ≤ 1的解集为x ∈ (2kπ + π/4, 2kπ + 3π/4]，其中k为整数。

题目四：求解sin(x)cos(x) > 0的解集。

综合算式专项练习题三角函数与不等式

综合算式专项练习题三角函数与不等式综合算式专项练习题——三角函数与不等式一、综合算式专项练习题1. 解方程：$\sin(x+\frac{\pi}{6})=\sin(\frac{\pi}{4}+x)$。

解答：由正弦的周期性可知，$\sin(x+\frac{\pi}{6})=\sin(\frac{\pi}{4}+x)$ 等价于$x+\frac{\pi}{6}-\left(\frac{\pi}{4}+x\right)+2k\pi=x+\frac{\pi}{12}+2k\pi$，其中$k$为整数。

化简得到$x=\frac{\pi}{12}+2k\pi, k \in \mathbb{Z}$。

所以方程的解集为$S=\left\{\frac{\pi}{12}+2k\pi\Bigg|k\in\mathbb{Z}\right\}$。

2. 解方程：$\tan^2(2x-\frac{\pi}{3})=3$。

解答：由正切的周期性可知，$\tan^2 (2x-\frac{\pi}{3})=3$ 等价于$2x-\frac{\pi}{3}=\arctan(\sqrt{3})+k\pi$，其中$k$为整数。

化简得到$x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$。

所以方程的解集为$S=\left\{\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}\Bigg|k\in\mathbb{Z}\right\}$。

二、三角函数与不等式1. 解不等式：$\sin(2x+1)>0$。

解答：考虑正弦函数的取值范围，我们知道 $\sin$ 函数在区间 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上是单调递增的。

首先，我们观察到$2x+1$ 的取值范围为整个实数集$\mathbb{R}$。

当$2x+1\in\left[2k\pi, 2(k+1)\pi\right]$，其中$k\in\mathbb{Z}$，时，$\sin(2x+1)>0$。

(完整版)任意角的三角函数练习题集与答案解析详解

任意角的三角函数一、选择题1．以下四个命题中，正确的是( )A ．在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等B ．｛｜＝k ＋6π，k ∈Z ｝≠｛｜＝-k ＋6π，k ∈Z ｝ C ．若是第二象限的角，则sin2＜0 D ．第四象限的角可表示为｛｜2k ＋23＜＜2k ，k ∈Z ｝2．若角的终边过点(-3，-2)，则( ) A ．sin tan ＞0 B ．cos tan ＞0 C ．sin cos ＞0 D ．sin cot ＞03．角的终边上有一点P (a ，a )，a ∈R ，且a ≠0，则sin 的值是( ) A ．22 B ．-22 C ．±22 D ．14.α是第二象限角，其终边上一点P （x ，5），且cos α＝42x ，则sin α的值为（）A ．410B ．46C ．42D ．－4105.使lg （cos θ·tan θ）有意义的角θ是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一、二象限角或终边在y 轴上6.设角α是第二象限角，且|cos 2α|＝－cos 2α，则角2α是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角7. 已知集合E=｛θ|cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π｝，F=｛θ|tanθ＜si nθ｝，那么E∩F 是区间( )二、填空题1．已知角的终边落在直线y ＝3x 上，则sin ＝________． 2．已知P (-3，y )为角的终边上一点，且sin ＝1313，那么y 的值等于________． 3．已知锐角终边上一点P (1，3)，则的弧度数为________．4．（1）sin49πtan 37π_________ 5.三、解答题1．已知角的终边过P (-3，4)，求的三角函数值2．已知角的终边经过点P (x ，-3)(x >0)．且cos ＝2x，求sin 、cos 、tan 的值．3.(1)已知角α终边上一点P(3k ，－4k)(k ＜0)，求sinα，cosα，tanα 的值；4. 一个扇形的周长为l，求扇形的半径、圆心角各取何值时，此扇形的面积最大．9 .化简或求值：三角函数的诱导公式一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选择中，只有一项是符合题目要求的.）1、与－463°终边相同的角可表示为（） A ．k·360°＋436°（k ∈Z ） B ．k·360°＋103°（k ∈Z ） C ．k·360°＋257°（k ∈Z ）D ．k·360°－257°（k ∈Z ）2、下列四个命题中可能成立的一个是（） A 、21cos 21sin ==αα且 B 、1cos 0sin -==αα且 C 、1cos 1tan -==αα且 D 、α是第二象限时，αααcos tan sia -= 3、若54sin =α，且α是第二象限角，则αtan 的值为（） A 、34- B 、43 C 、43± D 、34±4、若2cos sin =+αα，则ααcot tan +等于（）A 、1B 、2C 、-1D 、-2 1、 ︒︒+450sin 300tan 的值为（） A 、31+ B 、31- C 、31-- D 、31+-5、若A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，则下列等式成立的是（） A 、A C B sin )sin(=+ B 、A C B cos )cos(=+ C 、A C B tan )tan(=+ D 、A C B cot )cot(=+6、)2cos()2sin(21++-ππ等于（）A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos27、sinαcosα＝81，且4π＜α＜2π，则cosα－sinα的值为（） A ．23B ．23-C ．43 D ．43-8、在△ABC 中，若最大角的正弦值是22，则△ABC 必是（） A 、等边三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形9、下列不等式中，不成立的是（）A 、︒︒>140sin 130sin B 、︒︒>140cos 130cos C 、︒︒>140tan 130tan D 、︒︒>140cot 130cot10、已知函数2cos)(xx f =，则下列等式成立的是（） A 、)()2(x f x f =-π B 、)()2(x f x f =+π C 、)()(x f x f -=- D 、)()(x f x f =-11、若θsin 、θcos 是关于x 的方程0242=++m mx x 的两个实根，则m 值为（）A 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈0,34mB 、51-=mC 、51±=mD 、51+=m 12、已知()sin()cos()4f x a x b x παπβ=++++（,,,a b αβ为非零实数），(2011)5f =则(2012)f =（）A ．1B ．3C ．5D ．不能确定二、填空题（本大题共4个小题,每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13、化简=+-+βαβαβα222222cos cos sin sin sin sin .14、若0cos 3sin =+αα，则ααααsin 3cos 2sin 2cos -+的值为 .15、=-︒)945cos( .16、=⋅⋅⋅⋅⋅⋅︒︒︒︒89tan 3tan 2tan 1tan .三、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17、求值22sin 120cos180tan 45cos (330)sin(210)︒+︒+︒--︒+-︒18、化简：)(cos )tan()2tan()cos()(sin 32πααππααππα--⋅+--+⋅+.19、已知21)sin(=+απ，求απααπcos )tan()2sin(⋅-+-的值.20、已知54sin -=α. 求ααtan cos 和的值 .21、（10分）已知α是第三角限的角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+22、已知1)sin(=+βα，求证 0tan )2tan(=++ββα。

基本不等式和三角函数练习

基本不等式和三角函数练习一、选择题1.63)a -≤≤的最大值为 ( ) A.9 B.29 C.3 D. 223 2.设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z =0.则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（） A.0 B.1 C.94D.3 3.设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最大值时， 2x y z +-的最大值为（）A.0B.98C.2D.944.若2x +2y =1,则x+y 的取值范围是 ( )A ．[]0,2B ．[]2,0-C ．[)2,-+∞D ．(],2-∞-8．若正数,a b 满足1a b +=，则11a b +--的最小值为（）A ．4B ．6C ．9D ．1610．已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为__________．11．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是__________．12. 已知正实数,x y 满足ln ln 0x y +=,且22(2)4k x y x y +≤+恒成立,则k 的最大值是________. 13.设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为 .14.设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.15. 设b a ,为正实数，则ba bb a a +++2的最小值为。

16．在锐角△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin(A ＋C )，3)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos2B ，2cos 2B 2－1，且向量m 、n 共线．(1)求角B 的大小； (2)如果b ＝1，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．17、在,,ABC a b c ∆中，分别为内角A,B,C 的对边.已知：)()22sin sin sin ,A C a b B ABC -=-∆的外（1）求角C 和边c ；（2）求ABC ∆的面积S 的最大值并判断取得最大值时三角形的形状.18、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c.已知24sin 4sin sin 22A B A B -+=+（I ）求角C 的大小；（2）若c =ABC ∆面积的最大值基本不等式和三角函数练习一、选择题1. 63)a -≤≤的最大值为 ( ) A.9 B.29 C.3 D.223 【解析】选B. 当6-=a 或3=a 时, 0)6)(3(=+-a a ，当36<<-a 时,29263)6)(3(=++-≤+-a a a a ,当且仅当,63+=-a a 即23=a 时取等号.2.设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z =0.则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（） A.0 B.1 C.94D.3 【解析】选B. 由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+. 所以2214343xy xy x y z x xy y y x ==-++-1≤=，当且仅当4x y y x =，即2x y =时取等号此时22y z =， 1)(max =zxy.xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2y y x y -=-=211122412y y ⎛⎫+- ⎪⎪≤= ⎪⎪⎝⎭. 3.设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最大值时， 2x y z +-的最大值为（）A.0B.98C.2D.94【解析】选C. 由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+.所以1342344322=-⋅≥-+=+-=xyy x x y y x xy y xy x xy z ，当且仅当4x y y x =，即2x y =时取等号此时22y z =，所以()222222242222222=⎪⎭⎫⎝⎛-+≤-=-=-+=-+y y y y y y y y y z y x ，当且仅当y=2-y 时取等号.4.若2x +2y =1,则x+y 的取值范围是 ( )A ．[]0,2B ．[]2,0-C ．[)2,-+∞D ．(],2-∞-【解析】选D. 2x +2y =1,所以2x+y ≤14,即2x+y ≤2-2,所以x+y ≤-2.8．若正数,a b 满足1a b +=，则11a b +--的最小值为（） A ．4 B ．6 C ．9 D ．16时取等号，又2x ＋1y ＝1，此时x ＝4，y ＝2.∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y ＞m 2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y )min ＞m 2＋2m 成立，即8＞m 2＋2m ，解得－4＜m ＜2.答案：D二、填空题10．已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为__________．解析：log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )．∵log 2a ＋log 2b ≥1，∴ab ≥2且a ＞0，b ＞0.3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥23a ·32b ＝23a ＋2b ≥2322ab≥232×2＝18，当且仅当a ＝2b ，即a ＝2，b ＝1时等号成立．∴3a ＋9b 的最小值为18.答案：1811．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是__________．解析：∵xy ≤14(x ＋y )2，∴1＝x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ≥(x ＋y )2－14(x ＋y )2＝34(x ＋y )2，∴(x ＋y )2≤43，∴－233≤x ＋y ≤233，当x ＝y ＝33时，x ＋y 取得最大值233.答案：23312. 已知正实数,x y 满足ln ln 0x y +=,且22(2)4k x y x y +≤+恒成立,则k 的最大值是________.213.设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为 .【解题指南】将1||2||a a b+中的1由a + b 代换，再由均值不等式求解.【解析】因为a + b = 2, b >0，所以1||||||2||4||4||4||++=+=++a ab a a b a a b a b a a b||214||4||4||≥+⨯=+a b a a a a b a ，当且仅当||4||=b a a b 时等号成立，此时2=-a ，或23=a ，若2=-a ，则314||4+=a a ，若23=a ，则51.4||4+=a a 所以1||2||a a b +的最小值为3.4【答案】3414.设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.【解题指南】将1||2||a a b+中的1由a + b 代换，再由均值不等式求解.【解析】因为a + b = 2, b >0，所以1||||||2||4||4||4||++=+=++a ab a a b a a b a b a a b||214||4||4||≥+⨯=+a b a a a a b a ，当且仅当||4||=b a a b 时等号成立，此时2=-a ，或23=a ，若2=-a ，则314||4+=a a ，若23=a ，则51.4||4+=a a 所以1||2||a a b +取最小值时，2=-a . 【答案】-215. 设b a ,为正实数，则ba bb a a +++2的最小值为。

函数导数、三角函数、不等式(二)：高考数学一轮复习基础必刷题

函数导数、三角函数、不等式（二）：高考数学一轮复习基础必刷题姓名：___________��班级：___________��学号：___________一、单选题1．函数41y x =-的定义域为（）A ．[)0,1B ．()1,+∞C ．()()0,11,+∞ D ．[)()0,11,+∞ 2．设a >0，b >0，化简2115113366221()()()3a ab a ⋅-÷的结果是（）A ．2313a -B ．233a -C ．13a-D ．-3a 3．已知不等式240x ax ++ 的解集为,R 则a 的取值范围是（）A ．[]4,4-B ．()4,4-C ．][(),44,∞∞--⋃+D ．()(),44,-∞-+∞ 4．曲线31y x =+在点(1,)a -处的切线方程为（）A ．33y x =+B ．31y x =+C ．31y x =--D ．33y x =--5．下列命题中正确的是（）A ．若0ab >，a b >，则11a b<B ．若a b <，则22ac bc <C ．若a b >，c d >，则a c b d ->-D ．若a b >，c d <，则a b c d>6．下列判断正确的是（）A ．命题“对顶角相等”的逆命题是真命题B ．命题“若1x <，则21x >”的否命题是“21x <，则1x <”C ．“1a =”是“函数()22cos sin f x ax ax =-的最小正周期是π”的必要不充分条件D ．“0b =”是“函数()2f x ax bx c =++是偶函数”的充要条件7．已知集合{lg(2)}A xy x ==-∣，{}2120B x x x =--<∣，则A B = （）A ．()2,4B ．()3,4-C ．()2,3D ．()4,3-8．已知函数21()23ln 2f x x x x =+-，则()f x 的单调递减区间是（）A ．(3,1)-B ．(0,1)C ．(,3)(1,)-∞-+∞ D ．(1,)+∞9．已知函数f （x ）＝sin （ωx +2φ）﹣2sinφcos （ωx +φ）（ω＞0，φ∈R ）的图象的相邻两条对称轴相距2π个单位，则ω＝（）A ．1B ．12C ．13D ．210．公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割数12，其近似值为0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为2sin18a =，若24a b +=，则21cos 72a b=-（）A ．12B ．2CD ．411．已知不等式5132-≤-x x 的解集为A ，关于x 的不等式2220-+>ax x 的解集为B ，且⊆ A B B ，则实数a 的取值范围为（）A ．(0,)+∞B ．1,16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭12．设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．0,2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题13．若1tan 3α=-，则3sin 2cos 2sin cos αααα+=-_______.14．已知关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，则b 的值为______．15．已知tan 312πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则tan 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.16．已知偶函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，且(1)0f -=，则()0f x x<的解集__________三、解答题17．已知函数3()395f x x x =-+.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 在[]3,3-上的最大值和最小值.18．已知312sin ,,,cos ,5213πααπββ⎛⎫=∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求（1）cos α与sin β的值；（2）cos()αβ-．19．已知函数()()21ln 12f x a x x a x =+-+.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )≥0对定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围.20．已知函数()ln 2f x x x ax =-+(a 为实数)（1）若2a =，求()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦的最值；（2）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.21．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足cos cos 2cos a B b A c B +=，b .（1）求B ；（2）若2a c -=，求ABC 的面积.22．设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.参考答案：1．D 【解析】【分析】由题意列不等式组求解【详解】由题意得2010x x ≥⎧⎨-≠⎩，解得0x ≥且1x ≠，故选：D 2．D 【解析】【分析】由分数指数幂的运算性质可得结果.【详解】因为0a >，0b >，所以2115211115113366326326221()()()333a b a b b a ba +-+-⋅-÷=-⋅=-.故选：D.3．A 【解析】【分析】利用判别式小于等于零列不等式求解即可.【详解】因为不等式240x ax ++ 的解集为,R 所以2Δ4140a =-⨯⨯ ，解得44a -，所以a 的取值范围是[]4,4-，故选：A.4．A 【解析】【分析】求出导函数，进而利用导数的几何意义得到切线的斜率，再求出a 的值，利用点斜式求出切线方程.【详解】()23f x x '=，所以()13f '-=，又当1x =-时，31110a x =+=-+=，所以31y x =+在点(1,)a -处的切线方程为：()31y x =+，即33y x =+故选：A 5．A 【解析】【分析】利用不等式的基本性质可判断A 选项，利用特殊值法可判断BCD 选项.【详解】因为0ab >，a b >，所以a b ab ab >，即11a b<，所以A 正确；若a b <，0c =，则22ac bc =，所以B 错误；取2a c ==，1b d ==，则a c b d -=-，所以C 错误；取2a =，1b =，2c =-，1d =-，则a bc d=，所以D 错误.故选：A.6．D 【解析】【分析】逐项进行判断，根据逆命题、否命题、充分条件、必要条件的定义进行判断即可.【详解】对A ，命题“对顶角相等”的逆命题为：“相等的两个角为对顶角”，假命题，故错；对B ，命题“若1x >，则21x >”的否命题是“1x ≤，则21x ≤”，故错；对C ，()22cos sin sin 2f x ax ax ax =-=，最小正周期为π，所以212a aππ=⇒=±所以“1a =”是“函数()22cos sin f x ax ax =-的最小正周期是π”的充分不必要条件，故错；对D ，函数()2f x ax bx c =++是偶函数，则函数不含有奇次项，所以0b =故“0b =”是“函数()2f x ax bx c =++是偶函数”的充要条件.7．A 【解析】【分析】求出集合,A B 可得A B .【详解】(2,)A =+∞，(3,4)B =-，故(2,4)A B ⋂=，故选：A.8．B 【解析】【分析】利用导数研究()f x 的单调递减区间.【详解】由题设，2323()2x x f x x x x+-'=-+=，又定义域为(0,)+∞，令()0f x '<，则223(3)(1)0x x x x +-=+-<，解得31x -<<，故01x <<，∴()f x 在(0,1)上递减.故选：B.9．D 【解析】【分析】分析角度的关系将sin(2)x ωϕ+展开,再合一变形求得()f x 的解析式,再根据图象的相邻两条对称轴相距2π个单位求得周期再求ω即可.【详解】()sin(2)2sin cos()sin()cos cos()sin 2sin cos ()f x x x x x x ωϕϕωϕωϕϕωϕϕϕωϕ=+-+=+++-+()sin()cos sin cos()sin sin x x x x ωϕϕϕωϕωϕϕω=+-+=+-=⎡⎤⎣⎦.即()f x =sin xω又图象的相邻两条对称轴相距2π个单位,故()f x 的周期为π.故22ππωω=⇒=.故选：D本题主要考查了三角函数的和差角公式以及周期的求法,属于基础题型.10．B 【解析】【分析】根据同角三角函数平方关系可求得24cos 18b = ，利用二倍角公式化简所求式子即可得到结果.【详解】2sin18a = ，()2222444sin 1841sin 184cos 18b a ∴=-=-=-=，22222216sin 18cos 184sin 3621cos 72112sin 362sin 36a b ===--∴+.故选：B.11．B 【解析】【分析】解出不等式5132-≤-x x 可得集合A ，由⊆ A B B 可得A B ⊆，然后可得2220-+>ax x 在(3,7]x ∈上恒成立，然后分离参数求解即可.【详解】由5132-≤-x x 得51032x x --≤-，()7023x x -≤-，解得37x <≤，因为⊆ A B B ，所以A B⊆所以可得2220-+>ax x 在(3,7]x ∈上恒成立，即222->x a x 在(3,7]x ∈上恒成立，故只需2max 22-⎛⎫> ⎪⎝⎭x a x ，222211111111,,2241673-⎛⎫⎡⎫=-+=--+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭x x x x x x ，当114x =时，2max 21216-⎛⎫= ⎪⎝⎭x x ，故116a >．故选：B 12．C 【解析】【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即02e <≤；当32b b c->-，即22b c <时，42222max b PB a b c =++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．【点睛】本题解题关键是如何求出PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．13．35-【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系，分子、分母同除以cos α即可求解.【详解】将原式分子、分母同除以cos α3sin 2cos 3tan 212322sin cos 2tan 1513αααααα++-+===-----故答案为：35-【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、齐次式，属于基础题.14．2【解析】【分析】由题意可得1和b 是方程2320ax x -+=的两个根，由根与系数的关系可得321,1b b a a+=⨯=，从而可求出b 的值【详解】因为关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，所以1和b 是方程2320ax x -+=的两个根，所以321,1b b a a+=⨯=，解得1,2a b ==，故答案为：215．12-【解析】【分析】tan tan 6124πππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后算出即可.【详解】tan tan1124tan tan 612421tan tan 124ππαπππααππα⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=-+==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭.故答案为：12-【点睛】本题考查正切函数的和差公式，找出已知角与所求角的关系是解题的关键.16．(1,0)(1,)-È+¥【解析】【分析】分0x >和0x <两种情况讨论x 的范围，根据函数的单调性可得到答案.【详解】因为()f x 是偶函数，且(1)0f -=，所以(1)(1)0f f =-=，又()f x 在(0,)+∞上是减函数，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数，①当0x >时，由()0f x x<得()0f x <，又由于()f x 在(0,)+∞上为减函数，且(1)0f =，所以()(1)f x f <，得1x >；②当0x <时，由()0f x x<得()>0f x ，又(1)0f -=，()f x 在(,0)-∞上是增函数，所以()>(1)f x f -，所以10x -<<.综上，原不等式的解集为：(1,0)(1,)-È+¥.故答案为：(1,0)(1,)-È+¥.【点睛】方法点睛：本题主要考查函数相关性质，利用函数性质解不等式，运用函数的奇偶性与单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段.奇函数在对称区间上的单调性相同，且()() f x f x -=-.偶函数在对称区间上的单调性相反，且()()() f x f x f x =-=..17．（1）()1,1-；（2）最大值为59，最小值为49-【解析】（1）求出()f x '，令()0f x '<，得到函数()f x 的单调递减区间；（2）求出函数在[]3,3-的单调性，根据极值和端点值，求得最值.【详解】（1）()2999(1)(1)f x x x x =-+-'=，x ∈R令()0f x '<，得11x -<<，所以()f x 的减区间为()1,1-.（2）由（1），令()0f x '>，得1x <-或1x >知：[]3,1x ∈--，()f x 为增函数，[]1,1x ∈-，()f x 为减函数，[]1,3x ∈，()f x 为增函数.()349f -=-，()111f -=，()11f =-，()539f =.所以()f x 在区间[]3,3-上的最大值为59，最小值为49-.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题.18．（1）4cos =5α-，5sin 13β=-；（2）3365【解析】【分析】（1）根据平方关系计算即可得出cos α，sin β；（2）由（1）的结果，结合两角差的余弦公式求解即可.【详解】（1）由3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得4cos 5α=-.又由12cos 13b =-，β是第三象限角，得5sin 13β===-.（2）由（1）得4123533cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.19．(1)答案见解析(2)12a ≤-【解析】【分析】（1）求导数，然后对a 进行分类讨论，利用导数的正负，可得函数()f x 的单调区间；（2）利用（1）中函数的单调性，求得函数在1x =处取得最小值，即可求实数的取值范围.(1)解：求导可得()(1)()(0)>'--=x a x f x x x①0a ≤时，令()0f x '<可得1x <，由于0x >知01x <<；令()0f x '>，得1x >∴函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；②01a <<时，令()0f x '<可得1<<a x ；令()0f x '>，得1x >或x a <，由于0x >知0x a <<或1x >；∴函数()f x 在(,1)a 上单调递减，在(0,),(1,)+∞a 上单调递增；③1a =时，()0f x '≥，函数()y f x =在(0,)+∞上单调递增；④1a >时，令()0f x '<可得1x a <<；令()0f x '>，得x a >或1x <，由于0x >知01x <<或x a>∴函数()f x 在(1,)a 上单调递减，在(0,1),(,)+∞a 上单调递增；(2)由（1）0a ≥时，1(1)02f a =--<，（不符合，舍去）当0a <时，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故函数在1x =处取得最小值，所以函数()0f x ≥对定义域内的任意x 恒成立时，只需要(1)0f ≥即可∴12a ≤-.综上，12a ≤-.20．（1）最小值为 2e -，最大值为2；（2）(],1ln 2-∞+.【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得到函数的最小值，再求出区间端点的函数值，即可求出函数在区间上的最大值；（2）首先求出函数的定义域，参变分离，即可得到2ln x a x +≥恒成立，令()2 ln =+g x x x ，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解；【详解】（1）当2a =时，() ln 22=-+f x x x x ，()ln 1f x x '=-由()0f x '<得0 x e <<，由()0f x '>得x e >，所以()f x 在()0,e 上单调递减，在()e +∞，上单调递增，且() ln 2 2 2=-+=-f e e e e e ，() 1 1ln12 2 0f =-+=，()2222 ln 2 2 2-+==f e e e e 则函数()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上的最小值为 2e -，最大值为2.（2）由题得函数的定义域为()0,∞+，若()0f x ≥恒成立，则ln 20x x ax -+≥，即2ln x a x+≥恒成立，令()2 ln =+g x x x ，则()22122 x g x x x x -'=-=，当02x <<时，()0g x '<；当2x >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，则()min 21ln 2()==+g x g ，所以1ln 2a ≤+，故a 的取值范围为(],1ln 2-∞+.21．（1）3π；（2【解析】（1）利用正弦定理的边角互化以及两角和的正弦公式可得sin()2sin cos A B C B +=，再利用三角形的内角和性质以及诱导公式即可求解.（2）根据余弦定理求出3ac =，再由三角形的面积公式即可求解.【详解】解：（1）由正弦定理知sin cos sin cos 2sin cos A B B A C B +=，sin()2sin cos A B C B +=，因为,(0,)A B C C ππ+=-∈，所以sin 2sin cos C C B =，由sin 0C ≠，故1cos 2B =.因为(0,)B π∈，所以3B π=.（2）由余弦定理及2a c -=知2222cos b a c ac B =+-.227a c ac ∴+-=，2()7a c ac ∴-+=，47ac ∴+=，3ac ∴=.11sin 32224ABC S ac B ∴==⨯⨯= .22．（1）()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭；（2）1a e >.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据()10f >及（1）的单调性性可得()min 0f x >，从而可求a 的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+，又()23(1)()ax ax f x x+-'=，因为0,0a x >>，故230ax +>，当10x a<<时，()0f x '<；当1x a >时，()0f x '>；所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭.（2）因为()2110f a a =++>且()y f x =的图与x 轴没有公共点，所以()y f x =的图象在x 轴的上方，由（1）中函数的单调性可得()min 1133ln 33ln f x f a a a ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭，故33ln 0a +>即1a e>.【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.。

高考立体几何、数列、三角函数、不等式、平面向量综合经典试题练习(含答案)

cos
x

0

2

的部分图象如图所示，f
x0

f
0 ，
则正确的选项是（）
试卷第 2页，总 9页
A．

6
,
x0

1
C．

3
,
x0

1
B．

6
,
x0

4 3
D．

3
,
x0

2 3
20．已知 | a | 1,| b | 2, a 与 b 的夹角为 600,若 a kb 与 b 垂直,则 k 的值为（）
B． 2 2
C． 3 2
D．1
22 ．．设 G 是 ABC 的重心，且
(56 sin A)GA (40 sin B)GB (35 sin C)GC 0 ，则角 B 的大小为
（）
A．45° B．60° C．30° D．1 5°
23．在△ABC 中，a=2，b=2 ，B=45°，则 A 等于（）

CC1 c 则A1B
(A) a+b-c
(B) a–b+c
(C)-a+b+c．
(D)-a+b-c
18．函数 f x sin 2 x
3
sin
x
cos
x
在区间
4
,
2

上的最大值为（
）
（A） 3 2
（B）1 3
（C）1
（D） 1 3 2
19．已知函数

基本不等式三角函数客观题

考点一线性规划求目标函数最大值或最小值的步骤：作可行域、画平行线、解方程组、求最值.例题1 设z=2x+y中x,y满足下列条件4335251x yx yx-≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩求z的最大值和最小值.解：作出二元一次不等式组43 35251x yx yx-≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域（如图阴影部分所示）即可行域.考虑z=2x+y，将它变形为y=-2x+z，这是斜率为-2,随z变化的一簇平行直线,z是直线在y轴上的截距，当直线截距最大时,z的值最大.当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=2x+y取得最大值；当直线截距最小时，z的值最小，即在满足约束条件时目标函数z=2x+y取得最小值.由图可见，当直线z=2x+y经过可行域上的点A时，截距最大，即z最大.解方程组43035250x yx y-+=⎧⎨+-=⎩得A的坐标为(5,2).∴zmax=2×5+2=12.当直线z=2x+y经过可行域上的点B时，截距最小，即z最小.解方程组4301x yx-+=⎧⎨=⎩得B的坐标为(1,1).∴zmin=2x+y=2×1+1=3.习题1设实数,x y满足不等式组250270,x yx yx+-⎧⎪+-⎨⎪⎩＞＞≥，y≥0，若,x y为整数，则34x y+的最小值是A．14 B．16 C．17 D．19 【答案】B习题2 设m ＞1，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为A ．（1，1 B ．（1+∞）C ．（1,3 ）D ．（3，+∞）【答案】A习题3 若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．【答案】-6考点二基本不等式1、均值定理：若0a >，0b >，则a b +≥即2a b+≥ ()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭； 2a b+称为正数a 、ba 、b 的几何平均数． 2、均值定理的应用：设x 、y 都为正数，则有⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ．⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。

1.解三角函数不等式练习题

[][]12123432411sin 2sin 122,20,0,,2,,2x y x y x x x x x x x x ππππ===+=-+=①②图中画出了两个周期T 的图象，可以看出有两组解，在，这一个例解方程：解析：看成函数与函数周期内有解,在这一个相等的问题;即知道其周期内有中一个解解且，可两组解的关系知道另是:一个解；()4345661sin 526sin sin sin sin 6666x x x x x x πππππππππππ⎧=-=⎪⎪==⇒⎨⎛⎫⎪=-⇒=-⇒=-= ⎪⎪⎝⎭⎩由对称性可知道③由容易得到由诱导公式三角函数专题（一）一、三角函数方程与不等式1212341324,.2,,,2,2T x x x x x x x x x x πππ+=+=知识点：①②解三角函数方程与三角函数不等式，主要用到方程每个周期内都有两个解每个周期内的解相差一个周期；如：若周期为T=，第一个周期内的解为第二个与函数，数形结合的思想，即利用图象解方程与不等式；③主要利用三角函数的图象的对称性或诱导公周期内的解式求根为，则与解集；1x 2x 3x 4x ()1324121172,26615sin 2,2,.2266x x x x x x k x k k Z k πππππππππ∴=-=-=-=-==+=+∈解：解集为注：后缀的表明每个周期内有这样子的一个解()()11sin 252,2,6612sin 272,2,66x k k k Zx k k k Zππππππππ>⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭<⎛⎫-++ ⎪⎝⎭∈解不等式：解：如图阴影部分，解集为解集为1x 2x 3x 4x 1x 2x 3x 4x 12y =12y =12y =2x 1x 3x 4x ()()2313421211sin 21sin 2667665112,26615sin 2,2,266x x x x x x x x x x x k x k k Zπππππππππππππ=-=⇒==-=+==-=-=+=∴=-=-+=-+∈例2 解方程：解析：由由对称性易知从而可知提示：知道一个解，可求另一解的解集为6x π↑1x 2x 3x 4x ()17(2)sin 2,2266153sin 2,2266x k k x k k ππππππππ⎛⎫>-⇒-++∈ ⎪⎝⎭⎛⎫<-⇒-+-+∈ ⎪⎝⎭解集为,k Z 解集为,k Z 12y =-()()()343413243411cos 21cos 23,1cos cos cos 224422,2333333124cos 22,233x x x x x x x x x x x x k x k k Zπααππαπααππππππππππππππ=-=⇒==-=+=-=-∴=-=+⇒=-=-=-=-∴=-=+=+∈例3 解方程：解析：观察发现关于对称，则由诱导公式=,= 的最后解集为或2x 1x 3x 4x α()1(2)cos 2222,23313cos 2242,233x k k x k k ππππππππ>-⎛⎫⇒-++ ⎪⎝⎭∈<-⎛⎫⇒++∈ ⎪⎝⎭解集为,k Z解集为,k Z2x 1x 3x 4x()()()sin 2203..55 . 3626f x x f x A B C D ππππϕϕπ⎛⎛⎫=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭例5 已知，且过点，则的值可以是．以上例题表明，解三角函数方程是解不等式以及解其他题目的关键。

三角不等式

定义域：解sinx<a （或sinx>a ）。

以sinx<a 为例： ①在y 轴上取有向线段OP ,使得Op=a.(a>0时在在y 轴正半轴取有向线段Op 。

(a<0时在在y 轴负半轴取有向线段Op 。

)②过P 点做与x 轴平行的虚线，交单位圆与12p p 、两点，连接12op p 、o 。

则在扇形12p op 的下方，sinx<a 。

在扇形12p op 的上方，sinx>a 。

③标方向：沿逆时针方向在阴影外标出小角、大角。

④找锐角代表：设sin x a x =⇒=锐锐。

⑤找阴影两头代表：正角代表角找法。

第一象限：α锐。

第二象限：πα-锐；第三象限：πα+锐。

第四象限2πα-锐。

负角代表角的找法：第四象限α-锐。

第三象限：πα-+锐。

第二象限；则它是πα--锐；。

第一象限：2πα-+锐 ⑥从阴影外标出小角到大角代表写出范围，后加2()k k Z π∈。

注：若阴影含x 轴的正半轴，则开始出发的角选为负角。

y =如求函数（∵）122120--⎛⎝ ⎫⎭⎪=-≥cos sin πx x ∴，如图：sin x ≤22()∴，25424012k x k k Z y ππππ-≤≤+∈≤≤+解cosx<a （或cosx>a ）①在x 轴上取有向线段OM,使得OM=a.(a>0时在在x 轴正半轴取有向线段OM 。

(a<0时在在x 轴负半轴取有向线段OM 。

)②过P 点做与y 轴平行的虚线，交单位圆与12M M 、两点，连接12OM M 、O。

则在扇形12M OM 的左方，cosx<a 。

在扇形12M OM 的右方，cosx>a 。

③标方向：沿逆时针方向在阴影外标出小角、大角。

④找锐角代表：设cos x a x =⇒=锐锐。

⑤找阴影两头代表：正角代表角找法。

第一象限：α锐。

第二象限：πα-锐；第三象限：πα+锐。

第四象限2πα-锐。

高一数学不等式、基本不等式与三角函数复习题(学生版)

16．若正数 x, y 满足 x 4 y 2xy 0 ，则 x y 的最小值为______.
三、解答题
17．已知函数

f
(x)
sin(x ) tan(x )
sin(x 3 ) cos(x 2
cos(x 3 )
)
2
.
（1）化简 f (x) ；
（2）若 f ( ) 1 ，求 sin cos 的值. 3
20．解关于
x
的不等式：
(a
2)x x 1
2
0
.
21．已知函数
f
x
A sin
x
x
R,
A
0,
0, 0
2
的图像如图所示.
（1）求函数 f x 的解析式；
（2）求函数 g x
f
x
12
f
x
12
的单调递增区间.
试卷第 3页，总 3页
π 8
cos
x
π 8
的单调递减区间为（
）
A．
kπ
3 4
π,
kπ
7 4
π
，
k
Z
B．
kπ
3 8
π,kπ
7 8
π
，
k
Z
C．
kπ
1 4
π,kπ
3 4
π
，
k
Z
D．
kπ
1 8
π,
kπ
3 8
π
，
k
Z
6．已知是第二象限角，且 sin( ) 3 ，则 tan 2 的值为（） 5
4
A．
5
B． 23 7
C． 24 7

函数导数、三角函数、不等式(一)：高考数学一轮复习基础必刷题

函数导数、三角函数、不等式（一）：高考数学一轮复习基础必刷题姓名：___________��班级：___________��学号：___________一、单选题1．若函数()26ln f x x x x =--，则()f x 的单调增区间为（）A ．()3,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,2C ．()2,+∞D ．()30,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭2．已知函数()f x 在0x x =处的导数为()0f x '，则()()0003lim x f x x f x x∆→+∆-=∆（）A ．()013f x -'B ．()03f x -'C ．()03f x 'D ．()013f x '3．已知函数()f x 的导函数的图象如图所示，则()f x 的极值点的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．34．在平面直角坐标系xOy 中，角α和角β的顶点均与原点O 重合，始边均与x 铀的非负半轴重合，它们的终边关于y 轴对称，若2cos 3α=，则cos β=（）A ．B ．23-C ．23D ．35．若角θ满足tan 0θ>，sin 0θ<，则角θ所在的象限是（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知a ，b ，c 都是实数，则“a b <”是“22ac bc <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若函数()y f x =的大致图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．()1x f x x =-B ．()1x f x x =-C ．()21x f x x =-D ．()21x f x x =-8．已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，1()e x f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线斜率是（）A ．1B ．2C ．eD ．2e 1---9．函数()()=2sin 0,2f x x πωθωθπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＞≤≤的部分图象如图所示，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为8B ．()13=2f -C ．32x =是函数()f x 的图象的一条对称轴D ．函数()f x 向右平移一个单位长度后所得的函数为偶函数10．如果函数()sin(2)f x x ϕ=+的图像关于点2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则||ϕ的最小值是（）A ．6πB ．3πC ．56πD ．43π11．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当0x >时，2()()0xf x f x x '->，且f (-1)=0，则不等式()0f x x>的解集是（）A ．(1，0)(0，1)- B ．(1)(1)-∞+∞ ，，C ．(，1)(0，1)-∞- D ．(1，0)(1，)-+∞ 12．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222cos cos a b c ab c a B b A+-=+，若2a b +=，则c 的最小值为（）A ．1B ．32C ．54D ．34二、填空题13．已知幂函数()y f x =的图象过点13,9⎛⎫⎪⎝⎭，则(2)f =___________.14．)11x dx -=⎰___________.15．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()0xf x f x '->，且()20f -=，则不等式()0f x x>的解集是___________.16．函数()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()0f x k ->只有两个整数解，则实数k 的取值范围是_________三、解答题17．已知函数()()22cos cos sin f x x x x x x R =+-∈.(1)求()f x 的最小正周期；(2)当02x π<<时，求()f x 的值域.18．已知角θ的终边经过点()()3,40P a a a >．(1)求sin θ的值；(2)求()3sin cos 2πθθπ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭的值．19．如图，在ABC 中，342,,cos ,25AB DC A CB ===的垂直平分线交边AC 于点D ．（1）求AD 的长；（2）若AD AB >，求sin ACB ∠的值．20．为了印刷服务上一个新台阶，学校打印社花费5万元购进了一套先进印刷设备，该设备每年的管理费是0.45万元，使用x 年时，总的维修费用为()120x x +万元，问：(1)设年平均费用为y 万元，写出y 关于x 的表达式；（年平均费用=总费用年限）(2)这套设备最多使用多少年报废合适？（即使用多少年的年平均费用最少）21．已知函数()2sin cos cos 6f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最值；（2）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，12A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a =ABCsin sin B C +的值.22．已知二次函数2()1()=-+∈f x x kx k R ．（1）若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，求实数k 的取值范围；（2）若()0f x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．参考答案：1．C 【解析】【分析】求出导函数()f x '，令()0f x '>解不等式即可得答案.【详解】解：因为函数()26ln f x x x x =--，所以()()2626210x x f x x x x x--'=--=>，令()0f x '>，得2x >，所以()f x 的单调增区间为()2,+∞，故选：C.2．C 【解析】【分析】利用导数的定义即可求解.【详解】根据题意，()()()()()00000033lim 3lim33x x f x x f x f x x f x f x xx'∆→∆→+∆-+∆-==∆∆.故选：C 3．C 【解析】【分析】含导函数图象确定()f x 的极值点个数，要保证导函数的零点左右两边导函数函数值一正一负.【详解】因为在0x =左、右两边的导数值均为负数，所以0不是极值点，故由图可知()f x 只有2个极值点.故选：C 4．B 【解析】【分析】根据三角函数的定义可求.【详解】设α的终边上有一点(),x y ，则2cos 3α==，因为角α和角β的终边关于y 轴对称，则(),x y -是角β终边上一点，所以2cos 3β==-.故选：B.5．C 【解析】【分析】根据tan 0θ>，sin 0θ<，分别确定θ的范围，综合即得解.【详解】解：由tan 0θ>知，θ是一、三象限角，由sin 0θ<知，θ是三、四象限角或终边在y 轴负半轴上，故θ是第三象限角．故选：C 6．B 【解析】【分析】利用充分、必要条件的定义，结合不等式的性质判断题设条件间的推出关系，即可知条件间的充分、必要关系.【详解】当a b <时，若0c =时22ac bc <不成立；当22ac bc <时，则必有a b <成立，∴“a b <”是“22ac bc <”的必要不充分条件.故选：B 7．C 【解析】【分析】利用排除法，取特殊值分析判断即可得答案【详解】解：由图可知，当(0,1)x ∈时，()0f x <，取12x =，则对于B ，112(101212f ==>-，所以排除B ，对于D ，1122()012314f ==>-，所以排除D ，当0x >时，对于A ，()1111x f x x x ==+--，此函数是由1y x =向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以1x >时，()1f x >恒成立，而图中，当1x >时，()f x 可以小于1，所以排除A,故选：C 8．B 【解析】【分析】利用偶函数求0x >的解析式再求导，根据导数的几何意义即可求(1,2)处的切线斜率.【详解】设0x >，则0x -<，1()e x f x x --=+，又()f x 为偶函数，∴1()e x f x x -=+，则对应导函数为1()e 1x f x -'=+，∴(1)2f '=，即所求的切线斜率为2.故选：B 9．D 【解析】【分析】根据图象可得6T =，56πθ=，从而求出解析式，再结合三角函数的性质逐一判断即可.【详解】由三角函数的图象可得()22245B A x x -+=，解得3B A x x -=，所以6T =，故A 错误；又26T πω==，所以3πω=，因为()02sin 1f θ==，所以1sin 2θ=，由2θπ≤≤π，所以56πθ=，所以()5=2sin 36f x x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()532sin 16f ππ⎛⎫∴=+=- ⎪⎝⎭，故B 错误；令5,362x k k Z ππππ+=+∈，解得31,x k k Z =-∈，令3312k -=，解得56k Z =∉，故C 错误；由()5=2sin 36f x x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭右平移一个单位长度后所得的函数为52sin 2sin 2cos 336323y x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此函数为偶函数，故D 正确.故选：D 10．B 【解析】【分析】根据三角函数的对称性，带值计算即可.【详解】根据题意，2sin 203πϕ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，即4,3k k Z πϕπ-+=∈，解得4,3k k Z πϕπ=+∈；当1k =-时，ϕ取得最小值3π.故选：B.11．D 【解析】【分析】根据题意可知，当0x >时，()0f x x '⎡⎤>⎢⎣⎦，即函数()f x x 在()0,∞+上单调递增，再结合函数f (x )的奇偶性得到函数()f x x的奇偶性，并根据奇偶性得到单调性，进而解得答案.【详解】由题意，当0x >时，()2()()0f x xf x f x x x '⎡⎤-=>⎢⎥⎣⎦'，则函数()f x x 在()0,∞+上单调递增，而f (x )是定义在R 上的偶函数，容易判断()f x x是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，于是()f x x在(),0∞-上单调递增，而f (-1)=0，则()()110,011f f -==-.于是当(10)(1)x ∞∈-⋃+，，时，()0f x x>.故选：D.12．A 【解析】先利用余弦定理和正弦定理求出3C π=，然后再利用余弦定理和基本不等式，求出c 的最小值.【详解】因为222cos cos a b c abc a B b A+-=+，且222cos 2a b c C ab +-=，所以2cos cos cos ab C ab c a B b A=+，且sin sin sin a b cA B C ==，所以2cos 11sin sin cos sin cos sin()C C A B B A A B ==++，又因为sin()sin 0A B C +=≠，所以1cos 2C =，又因为(0,)C π∈，所以3C π=，又因为222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-222()3()312a b a b ab a b +⎛⎫=+-+-= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时取等号，故c 的最小值为1.故选：A 【点睛】本题考查解三角形的正弦、余弦定理以及基本不等式求最值，考查学生的逻辑推理及运算求解能力，属于一般题.13．14##0.25【解析】【分析】设()f x x α=，代入点求解即可.【详解】设幂函数()y f x x α==，因为()y f x =的图象过点1(3,)9，所以139α=，解得2α=-所以2()f x x -=，得21(2)24f -==.故答案为：1414．2π【解析】【分析】利用定积分的几何意义及其计算公式求解.【详解】)111111---=+⎰⎰⎰x dx x dx dx，由定积分的几何意义可知11dx -⎰等于半径为1的半圆的面积，即112dx π-=⎰，12111012xdx x -==-⎰，所以)112π-=⎰x dx .故答案为：2π15．(2,0)(2,)-+∞ 【解析】【分析】构造函数，利用导数、函数的奇偶性进行求解即可.【详解】设()()''2()()()f x xf x f x g x g x xx-=⇒=，因为当0x >时，()()0xf x f x '->，所以当0x >时，'()0,()g x g x >单调递增，因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以当0x ≠时，()()()()f x f x g x g x xx--==-=--，所以函数()g x 是奇函数，故当0x <时，函数()g x 也是增函数，因为()20f -=，所以()20f =，所以()20g -=，()20g =，当0x >时，由()0(2)2g x g x >=⇒>，当0x <时，由()0(2)220g x g x x >=-⇒>-⇒-<<，故答案为：(2,0)(2,)-+∞ 16．ln 6,ln 23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，数形结合可得出实数k 的取值范围.【详解】函数()()ln 2x f x x=的定义域为()0,∞+，()()21ln 2x f x x -'=，令()0f x '=，可得2e x =，列表如下：x 0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭2e ,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '+0-()f x 极大值所以，函数()f x的极大值为1222e f e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()1,22e ∈ ，且()()12ln 2f f ==，()ln 633f =，如下图所示：要使得关于x 的不等式()0f x k ->只有两个整数解，则ln 6ln 23k ≤<.因此，实数k 的取值范围是ln 6,ln 23⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：ln 6,ln 23⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查利用不等式的整数解的个数求参数的取值范围，解题的关键在于利用导数分析函数的单调性与极值，然后在同一直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.17．(1)π(2)(]1,2-【解析】【分析】（1）根据辅角公式可得()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由此即可求出()f x 的最小正周期；（2）根据02x π<<，可得72666x πππ<+<，在结合正弦函数的性质，即可求出结果.(1)解：()cos22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭所以()f x 最小正周期为π；(2)02x π<<Q ，72666x πππ∴<+<1sin 2126x π⎛⎫∴-<+≤ ⎪⎝⎭，()f x ∴的值域为(]1,2-.18．(1)45；(2)65-.【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义即可求解；（2）三角函数的定义求出cos θ的值，再根据诱导公式，即可求出结果．(1)点P 到坐标原点的距离5d a ==．∵0a >，∴5d a =，∴44sin 55a a θ==．(2)由三角函数的定义，可得33cos 55a a θ==，∴()36sin cos cos cos 2cos 25πθθπθθθ⎛⎫-+-=--=-=- ⎪⎝⎭．19．（1）52AD =或710；（2）sin 5ACB ∠=．【解析】【分析】（1）在ADB △中，利用余弦定理可求出AD 的长；（2）由（1）可得52AD =，在ABC 中，由余弦定理求出BC ，再利用正弦定理可求出sin ACB ∠的值【详解】解：（1）在ADB △中，2224cos 25AD AB BD A AD AB +-==⋅，整理得22064350AD AD -+=，即()()251070AD AD --=，所以52AD =或710．（2）因为AD AB >，由（1）得52AD =，所以4AC AD DC =+=．在ABC 中，由余弦定理得2224362cos 41622455BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=．所以5BC =．由4cos 5A =，得3sin 5A ==．在ABC 中，由正弦定理得sin sin BC AB A ACB∠∠=，即253sin 5ACB ∠=，所以sin ACB ∠=20．(1)()*50.5N 20x y x x =++∈(2)最多使用10年报废【解析】【分析】（1）根据题意，即可求得年平均费用y 关于x 的表达式；（2）由50.520x y x =++，结合基本不等式，即可求解.(1)解：由题意，设备每年的管理费是0.45万元，使用x 年时，总的维修费用为()120x x +万元，所以y 关于x 的表达式为()()*150.455200.5N 20x x x x y x x x +++==++∈.(2)解：因为*N x ∈，所以50.50.5 1.520x y x =++≥=，当且仅当520x x =时取等号，即10x =时，函数有最小值，即这套设备最多使用10年报废.21．（1）()min 14f x =，()max 14f x =；（2）2.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和两角和的正弦公式化简()f x ，进而由x 的取值范围得出函数的最值；（2）利用面积公式，余弦定理和正弦定理求解即可．【详解】（1）()21sin cos sin cos 22f x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭221cos sin cos 22x x x x =-+1cos 21cos 2sin 2442x x x -+=-312cos 244x x =++1sin 2234x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 52336x πππ∴≤+≤1sin 2123x π⎛⎫∴≤+≤ ⎪⎝⎭∴当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()min f x =()max f x =（2）1sin 12234A f A π⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 32A π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭()0,A π∈ 4,333A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭3A π∴=1sin2ABC S A === 4bc ∴=又a =222cos 2b c a A bc +-∴=22128b c +-=()2208b c +-=12=()224b c ∴+=b c ∴+=又4sin sin sin a b c A B C===()1sin sin 42B C b c ∴+=+=22．（1）4k ≤；（2）k 2≤.【解析】（1）解不等式22k ≤即得解；（2）化为1≤+k x x 在(0,)x ∈+∞恒成立，令1()g x x x =+，求出函数()g x 的最小值即可.【详解】（1）若()f x 在(2,)x ∈+∞单调递增，则22k ≤，所以4k ≤；（2）因为()0f x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，所以210-+≥x kx 在(0,)x ∈+∞恒成立，即1≤+k x x在(0,)x ∈+∞恒成立令1()g x x x =+，则1()2=+≥=g x x x ，当且仅当1x =时等号成立所以k 2≤.【点睛】方法点睛：处理参数的问题常用的方法有：（1）分离参数法（先分离参数转化为函数的最值）；（2）分类讨论法（对参数分类讨论求解）.。

三角函数不等式的解法试题

三角函数不等式的解法试题在解三角函数不等式时，我们需要考虑三角函数的周期性和性质，并运用代数方法进行求解。

本文将介绍三角函数不等式的解法方法以及相关的应用。

一、正弦函数的不等式解法对于sin(x) > a或sin(x) < a的不等式，我们可以按照以下步骤进行求解：1. 首先，我们需要确定sin(x)在一个周期内的区间分布。

由于sin(x)的值域为[-1,1]，所以我们可以得到一个周期的解集为[-π/2+kπ, π/2+kπ]，其中k为整数。

2. 其次，我们需要画出sin(x)函数的图像，并确定不等式所表示的区域。

例如，如果不等式为sin(x) > a，则需要确定sin(x)在图像上大于a的部分所对应的区间。

3. 最后，我们需要根据sin(x)函数的周期性，结合不等式的要求，将解集表示为一个周期的形式。

形如[-π/2+kπ, π/2+kπ]的解集即为不等式sin(x) > a的解集。

二、余弦函数的不等式解法对于cos(x) > a或cos(x) < a的不等式，我们可以按照以下步骤进行求解：1. 首先，我们需要确定cos(x)在一个周期内的区间分布。

由于cos(x)的值域为[-1,1]，所以一个周期的解集为[2kπ, 2kπ+π]或[2kπ, 2kπ-π]，其中k为整数。

2. 其次，我们需要画出cos(x)函数的图像，并确定不等式所表示的区域。

例如，如果不等式为cos(x) > a，则需要确定cos(x)在图像上大于a的部分所对应的区间。

3. 最后，我们需要根据cos(x)函数的周期性，结合不等式的要求，将解集表示为一个周期的形式。

形如[2kπ, 2kπ+π]或[2kπ, 2kπ-π]的解集即为不等式cos(x) > a的解集。

三、正切函数的不等式解法对于tan(x) > a或tan(x) < a的不等式，我们可以按照以下步骤进行求解：1. 首先，我们需要确定tan(x)在一个周期内的区间分布。

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